Luận văn thạc sĩ khoa học: Sử dụng phương pháp biến đổi để giải hệ phương trình hai ẩn

Một số phương pháp biến đổi để sáng tác và giải hệ phương trình.Nội dung chương này gồm hai phan là sáng tác và giải hệ phương trình bang cáchbiến đổi Với mỗi phần tác giả đều lấy các bà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ HUONG

SU DUNG PHUONG PHAP BIEN DOI

LUAN VAN THAC Si KHOA HOC

Hà Nội — năm 2016.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ HUONG

SU DUNG PHUONG PHAP BIEN DOI

Chuyén nganh : Phuong phap toan so cap

Mã số : 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - năm 201

LOI NÓI ĐẦU ¿2-5 ©522E2EEEEEEE21121121127171121121121111121121111 11.211.11.11 re 3CHƯƠNG 1 CÁC KIÊN THỨC CHUAN BỊ -2- 2222 ©5£+2+++£x+2E+vzxezzxesred 5

1.1 CÁCH GIẢI MỘT SO HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN - 5

¡.1 Hệ phương trình đối xứng loại Dacseeseessesssesssesssesssessesssssssessssssesssecsssssesssecssecsees 5i2 Hệ phương trình đối xứng loại ÌÌ - 2 s-©5++s2+E+E+EEeEEezEeEkerkerrrreersee 51.3 Hệ phương trình bậc hai tOng quát - 5-55 5cSt‡E£+E+E‡E‡EEeEEeEeEkerkrrrrree 51.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BAC BA TONG QUÁTT - - scssxecsserred 61.3 GIẢI MỘT SO PHƯƠNG TRÌNH BAC BON -. -5-©75cccccxcccee 7

¡.] Giải phương trình trùng phương ax* +bx” +€ =O .òeScĂccSc ca 7

i.2 Giải phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(X+d) =X? 7

i3 Giải phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+e)(x+d)=m 7

i.4 Giải phương trình dạng (x+a} +(x+Ð} FC cescscsssesssssssesesescscssseseseeeseseseaesees 7

1.4 CÁC BIÊU THUC LIÊN HOP ccecceccsccssessessssssessessessssssessessecssessessessessessseeses 81.5 HAM SO DONG BIEN, NGHICH BIEN ccsscsscsssssssesssesssesssessecssesssessesssecsees 8

CHUONG 2 MOT SO PHUONG PHAP BIEN DOI DE SANG TAC VA GIAI HE

PHƯƠNG TRINH o.0 ccscssesssssessessessssssessessesssssssssecsecsusssessecsessussuessecsessussseesessesssseneeseess 10

2 1 GIẢI HE PHƯƠNG TRINH BANG CÁCH BIEN DOI THÀNH HANG

Bai tap tur (9:0 11177 4 ÔỎ 18

2.2 GIẢI HE PHƯƠNG TRINH BANG CÁCH CONG DAI SỐ - 19

I;58r]s0n gi i0 30

2.3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIEN DOI DUA VỀ PHƯƠNG

TRÌNH BAC HAI CÓ DENTA LA BÌNH PHƯƠNG CUA MỘT BIÊU THUC 30

Bai tap tu ii ©0111 -‹+- 7 39

2 4 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIEN DOI TẠO NHÂN TỬ

CHƯNGG - 2-52-5252 SSSEEEEEE1921211211211212111111111 111.2111111 11 1111111111111 re 40

Bài tập tự luyỆn - - - - c HS HH SH TH TH TH HH HH 51

2.5 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BANG CÁCH SỬ DUNG LIEN HỢP 52

Bài tập tự luyỆn -L TH TH TH TH TH HH HH TH 63

CHƯƠNG III MỘT SO BÀI TOÁN TRONG CÁC DE THI HỌC SINH GIỎI KET LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

LOI NÓI DAU

Hệ phương trình là một nội dung lâu đời va quan trong của Toán học Ngay từ

đầu, sự ra đời và phát triển của hệ phương trình đã có sức hút mạnh mẽ đối với nhữngngười yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ân nó mang đến luôn

thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo Ngày nay, hệ phương trình vẫn luôn

chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện dày đặc trong các kì thi quốcgia, quốc tế Giải quyết hệ phương trình hầu hết các học sinh thường chỉ biết sử dụngkinh nghiệm giả toán nhờ vào việc đã gặp hướng giải quyết trước đó mà quên mấtrằng mọi thứ đều có nguyên do của nó Chúng ta có thé bắt gặp rất nhiều tài liệu nói

về phương pháp giải hệ phương trình nhưng có rat it tài liệu chỉ ra nguồn gốc vào bài

hệ phương trình đó ? Ai là người nghĩ ra và nghĩ như thế nào dé có một bài giải hệphương trình Chính vì lí do đó tác gia đã lựa chon đề tài “Sử dung phương phápbiến đổi dé giải hệ phương trình hai ẩn” Trong luận văn này tác giả sẽ trình bày chỉtiết cách biến đổi dé sáng tạo và giải một hệ phương trình với từng loại phương phápgiải Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều các bài toán giải hệ phương trình với các

mục đích khác nhau.

Luận văn gồm 3 chươngChương 1 Các kiến thức cơ bản Trong chương nay, tác giả sẽ nhắc lại cáchgiải một số hệ phương trình cơ bản như hệ phương trình đối xứng loại I loại II, vacách giải phương trình bậc ba, bậc bốn mà người đọc cần nắm vững

Chương 2 Một số phương pháp biến đổi để sáng tác và giải hệ phương trình.Nội dung chương này gồm hai phan là sáng tác và giải hệ phương trình bang cáchbiến đổi Với mỗi phần tác giả đều lấy các bài toán minh họa phương pháp sau đó ta sẽvận dụng dé sáng tác các bài toán theo mong muốn Sau khi hiểu ý tưởng sáng tác cácbài toán ta sẽ đứng trên góc nhìn của một người đã từng ra đề để dự đoán ý tưởng ra

đề của tác tac giả khác dé có lời giải các bài toán một cách tự nhiên nhất

Chương 3 Một số bài toán trong các dé thi học sinh giỏi Trong chương này tác

gia sẽ hệ thông lại một sô bài toán xuât hiện trong các đê thi hoc sinh giỏi của các tinh

3

và đê thi học sinh giỏi quôc gia Cuôi chương còn có một sô bài tập đê bạn đọc tự

luyện.

Đề hoàn thành được luận văn này, đầu tiên tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâusắc tới T.S Pham Văn Quốc , thay đã dành thời gian hướng dẫn, chỉ bảo, tận tình giúp

đỡ trong quá trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải quyết các vẫn đề nảy sinh trong

quá trình làm luận văn và hoàn thành luận văn đúng định hướng ban đầu.

Qua đây tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô đã đọc, kiểmtra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được hoàn thiện và phong phú

hơn.

Tac giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học,

khoa Toán — Cơ — Tin trường Dai học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợitrong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng là sự biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè đã thông cảm,động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực dé hoàn thành luận văn

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đềtrong luận văn van chưa được trình bay sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính

mong nhận được sự chỉ bảo của thây cô và các bạn.

Tac gia xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, năm 2016

Nguyễn Thị Hường

CHƯƠNG 1 CÁC KIÊN THUC CHUAN BỊ

1.1 CÁCH GIẢI MỘT SO HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BAN

il Hệ phương trình đối xứng loại I

Hệ phương trình đối xứng hai ân loại I là hệ phương trình chứa hai ân x,y mà khi tathay đổi vai trò x, y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi

ƒ(x:y)=0(x:y)=0 Ta có phương pháp giải tổng quát

s\1:y)=

Tức là | , trong đó | (

nhu sau.

Bước 1: Đặt điều kiện các biến ( nếu có)

Bước 2: Đặt S=x+y; P=xy (với S?>4P).

Khi đó, ta đưa hệ phương trình về hệ mới chứa S,P

Bước 3 : Giải hệ mới tìm S,P Chọn S,P thỏa mãn điều kiện $? >4P

Bước 4: Với S,P tìm được thi x,y là nghiệm của phương trình X*-SX +P=0.

i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ấn x,y mà khi đổi vi tri của x,y cho

i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát

a,x” +by? toxy+dxteyt+f, =0

Xét hệ phương trình đối xứng bậc hai dang | Mota,x +b,y” +c,xy+d,x+e,y+ ƒ, =0.

phương trình muốn có phân tích được nhân tử hay không phải xem biệt thức dentatheo biến x hoặc y có phải là số chính phương hay không Nếu một trong hai biệtthức denta của một trong hai phương trình là số chính phương trình cách giải khá đơngiản, khi đó ta chỉ cần tìm nghiệm rồi phân tích nhân tử ra là được mối liên hệ giữahai biến và thế vào phương trình còn lại Thế nhưng nếu cả hai phương trình đều cho

5

denta không chính phương ta cần phải sử dụng tới phương pháp tìm hệ số bất định —UCT Ta sẽ lựa chọn hăng số thích hợp nhân vào một phương trình rồi cộng đại số với

phương trình còn lại thì sẽ ép được cho biệt thức denta chính phương Tức là tìm một

số k sao cho (PT (1)+k.PT(2))

Ta sẽ làm theo các bước sau

Đặt a=a,+ka,; b=b, +kb,; c=c, +ke,; đ = dị +kd,; e=e,+ke,; ƒ = f +Rƒ,.

Khi đó & là nghiệm của phương trình sau cde+4abf = ae*+bd’ + fc? với a0.

1.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BAC BA TONG QUÁT

Xét phương trình bậc ba có dạng tổng quát x*+ax* +bx+c=0(1) Tác giả xin trìnhbày vắn tắt cách tìm nghiệm của phương trình này bằng phương pháp Cardano

Đặt x=:—— Khi đó phương trình được biến đổi thành ?' + pt+q=0, (2)

3

2 3

„ ` 2a —9ab

trong đó p=b—“— và q=c4 g Pp 3 q 2

Ta sẽ tìm các số u,v sao cho qua hệ w—vỶ =q va war (3)

Một nghiệm của nó được tìm từ việc đặt t=v—u, có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá

trị vào (2) nhờ hằng đăng thức (v-u} +3i(y—w)+(wŸ -v')=0.

Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai bằng cách rút vay Thay vey vao

u u

3

phương trình thứ nhất trong (3) ta có „`— 4=4: Phương trình này tương đương

2 3

với phương trình bậc hai với uw’ Khi đó ta w=‡ st ato (4)

Vì t=v—u va r=x+“ tatim duoc x= -u_Š,

3 aut

Chú ý rằng có sau giá trị „ tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với + và mỗi

căn bậc ba có ba giá trị Tuy nhiên dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x,không gặp trường hợp chia cho không Nếu p=0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao

cho u khác 0,i,e,u = 3q Nếu q= p=0 thi xs.

6

1.3 GIẢI MOT SO PHƯƠNG TRÌNH BAC BÓN

¡.] Giải phương trình trùng phương ax‘ +bx” +c =0.

Giải Dat t= x°,t >0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với at? +bí +e=0.

Đây là một phương trình bậc hai với biến ¿, ta dé dang tìm ra ¡ và suy ra được x

i2 Giải phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=ex’ có ad =bc=m.

Giải Trường hợp 1 x=0 có phải là nghiệm không ?

Đây là một phương trình bậc hai với biến w, ta dé dang tìm ra u và suy ra x

i3 Giải phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m có a+b=c+d=p.

Giải Phương trình đã cho tương đương với (x° + px ab)(x° + px+cd ) =m,

2

Dat t= x” + px,t> = Phương trình trở thành (t+ab)(t+cd)=m

Day là một phương trình bậc hai với biến ¿, ta dé dang tìm ra ¢ và suy ra x

i.4 Giải phương trình dạng (x+a) +(x+b) =e với e>0.

Giải phương trình trùng phương này ta sẽ tìm được biến y và suy ra biến x

i5 Giải phương trình x* =ax” +bx+c.

Giải Ta sẽ đưa phương trình trên về dạng A? = 8? để giải.

Phương trình đã cho tương đương với phương trình (x + m) =(2m+a)x° +bx+c+m’.

Ta sẽ di tìm m để về phải của phương trình là bình phương của một biểu thức Khi đó

biệt thức denta của về phải bằng không, tức là A=0 SD? -4(c +m )(2m +a)=0

© 8m +4am +4ac—b? =0 Day là phương trình bậc ba với biến m, ta đã có cách giải

1.5 HÀM SÓ DONG BIEN, NGHỊCH BIEN

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f(x) là ham số xác địnhtrên K Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên K

Định lí 1:

a, Nêu đạo hàm f'(x)>0 với mọi xe K và dau băng xảy ra chỉ tại một sô hữu han

điêm thì ham sô đồng biên trên K.

b, Nếu đạo hàm ƒ'(x)<0 với mọi xeK và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn

điểm thì thì hàm số nghịch biến trên K.

Định lí 2 Nếu hàm số ƒ(x) xác định trên một tập K va hàm số f(x) luôn đồng biến(hoặc nghịch biến) thì phương trình ƒ(x)=0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duynhất trên tập K

Định li 3 Nếu hàm số ƒ(x) xác định trên một tập K và hàm số f(x) luôn đồng biến(hoặc nghịch biến) Khi đó với mọi a,b thuộc tập K thỏa mãn f (a)= ƒ (b)khi và chi

khi a=b.

CHƯƠNG 2 MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỎI ĐỀ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Biến đổi phương trình là một phương pháp rất quan trọng trong các phương pháp giải

hệ phương trình Ta có thé sử dụng biến đổi này giúp ta đơn giản các hệ phương trìnhphức tạp qua đó lời giải bài toán trở nên dé dang hơn Trong các cách biến đổi đó, tácgiả sẽ trình bày về phép biến đổi tạo thành hằng đẳng thức Qua đó ta dễ dàng sử dụngđược tính chất các hang đăng thức dé tháo nút thắt của các bai toán

2.1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BANG CÁCH BIEN DOI THÀNH

HÀNG ĐĂNG THỨC

Trong phan này tác giả sẽ trình bay cách sử dụng một số tính chất của các hằng đăng

thức, từ đó ta sẽ sáng tác và giải các hệ phương trình, tìm ra môi liên hệ của các

nghiệm dé giải hệ

Tính chất I Nếu ta cô A`=B` A=B

Từ ý tưởng này ta muốn đi xây dựng một phương trình khi giải ra sẽ được mối liên hệ

giữa các biến, giả sử như y=x+l Suy ra x+2=y4l c©e(x+2} =(y+l)’ Bién déi

tương đương ta thu được phương trình thứ nhất là x° — yÌ+12x—3y =3y" —6x? -7 Giờ

ta đi sáng tác phương trình thứ hai, giả sử chọn nghiệm trước của hệ phương trình là

x=2, ta có thé lấy phương trình chứa căn như sau x +3x—9—xÍx—1=0 Vì khi giải

được phương trình thứ nhất ta sẽ thế y=x+1nén thay ngược lại ta có phương trình

x*+3x-9=./2y—x—3 Vậy ta có bài toán sau.

oe 2 43x-9=./2y—x-3

Bài toán 1 Giải hệ phương trình J” “7” „ở

xì`—y°+12x—-3y=3y”T—6x”—7.

Giải Điều kiện: 2y—x—3>0

Phương trình thứ hai của hệ tương đương (x+ 2} =(y +1 ©y=x+l

Thay y=x+1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

++3x—9—xÍx—1=0 ( điều kiện x>1)

= (x +2x-8)+(x-1-Vx-1}=0 ©(x-2)(x+4)+x-I x-2 =0

Vx-14+1_

10

vx-1+1

Với x=2=> y=3 Đối chiếu lại thấy thỏa mãn

=b-2|[xre Jo x-2=0©x=2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2:3).

Nhận xét: Thực sự bài toán này không khó, nhưng đây chính là ý tưởng tự nhiên của

các tác giả sáng tác cho các bai dang này, nếu muốn bài toán khó hơn ta chỉ việc dichọn mối liên hệ của biến phức tạp rồi sau đó biến đôi tương đương các phương trìnhchứa hằng đăng thức này là xong Ta sẽ thử đi làm một bài toán khác khi đã biết được

ý tưởng sáng tác của bài dạng này như nào.

(x-»)(* +xy+yŸ +3)=3(x° +y?)}+2

4x+2+.J6—3y =x?+8

Bài toán 2 Giải hệ phương trình |

Phân tích: Với hệ này ta thay phương trình thứ hai có về trái là căn thức, về phải là đathức bậc hai nếu muốn bỏ căn thì phải bình phương hai về sẽ rất phức tạp Xét phươngtrình thứ nhất là một phương trình đa thức bậc ba với cả hai biến hơn nữa khi cô lậphai biến lại có kha năng xuất hiện hang dang thức là rat cao với bộ số tỉ lệ 1:3:3 nên

ta sẽ dồn suy nghĩ vào giải phương trình thứ nhất của hệ Ta có lời giải cho bài toán

trên như sau

toe TRÀ TA 1

Giải Điêu kiện x > —2; y =

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với (x-U =(y+ 1) ©y=x-2

Thế y= x—2 vào phương trình thứ hai ta được

Do f'(t)>0 mà có ƒ(-I)=0 nên x=-1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Với x=-1> y=-3.

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = {(2:0) (-1:-3 )

Tinh chất 2 Nếu ta có A?=0<>A=0

Với ý tưởng này ta sẽ đi xây dựng một hệ gồm hai phương trình trong đó phương trìnhđầu sẽ mang mối liên hệ giữa các biến và phương trình thứ hai sẽ cho nghiệm chínhxác Gia sử ta chon hai nghiệm trước là x=1 và y=1 khi đó giá trị biểu thức

Vx +y ~2=0 Nên ta sẽ ép phương trình thứ nhất khi biến đổi đưa về được phương

trình (vx tify -2} =0 Biến đổi tương đương dé che giấu hang dang thức này ta có

phương trình x+y+4=2(2Njx+2y -|äy ) Giờ phương trình thứ hai ta cho một

phương trình như (3x+2y)(2y—x—1)=0 Bây giờ ta đã có một hệ phương trình như

sau

3x+2y+4xy =3x”—4y?

x+y+4=2(2jx+2 ly =vjxy).

Bài toán 3 Giải hệ phương trình

Giải Điều kiện x>0; y>0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương

Với Hệ này vô nghiệm.

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =(1:1).

12

Nhận xét : Muôn nâng dân độ khó của bài toán dạng này, ta sẽ đi chọn một biêu thức

sao cho môi liên hệ giữa các biên phức tạp sau đó rôi biên đôi tương đương đê làm

loạn lên là được.

Vi dụ ta thử sang tác khó hơn như sau, trước tiên chọn nghiệm của hệ là x=1 va

16(x-+ y+2yxy)=144=9x"y’ Giờ biến đổi tương đương phương trình ta có được

24(x—Vx —/y xy fay ứ 3) lgxt?- 32 cay, Vậy ta có bai toán sau

phương trình thứ hai là

24(x=y) -16* 53 = +99

Bai toan 4 Giai hé phuong trinh ve Mã we

Giải Điều kiện x>0;y >3;x # y

Bình phương hai về phương trình thứ hai ta được

x+y—3+2,/x(y—3) =xy~2x- y~2 ©x(y~3)—22jx(y~3) +1=0

=«(G-3)-!} =0©x(y-3)=l@y= 1+3.

x

Biến đổi tương đương phương trình thứ hai và kết hợp điều kiện ta được

24(ý+ vy) i = + +) - at 9x9 = (Je )-16 Fer Fe} ~9xy=0

13

Vậy hệ phương trinh có nghiệm (x; y) = (1:4).

Trên đây là cách tự nhiên mà chúng ta đã cùng nhau sáng tác một bài toán giải hệ

phương trình, với ý tưởng mà đã sử dụng ở trên ta sẽ đi dự đoán ý tưởng của tác giả dé

đi tìm lời giải trong bài toán sau

Bài toán 5 Giải hệ phương trình

4 3

(19-2) x6y =3{ 3)

x Xx

[3 Lot 12x)4 KỆ ) s1]=15{ Ga],

Phân tích : Xét trong hai phương trình thì phương trình thứ hai khá phức tạp và cồng

kênh, phương trình thứ nhất lại có xuất hiện các bộ số tỉ lệ và mang dáng dấp của một

hăng đăng thức bậc hai khi khai triển về phải Sau khi thấy được mối quan hệ giữa haibiến thì công việc còn lại chỉ là thế vào phương trình thứ hai và tìm ra nghiệm của bải

Voi x= ; => y =-8 Thử lại thay ca hai cặp nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (Ca 3) )},

Nhận xét : Một bài toán dang này muốn tăng dan độ khó ta sẽ cho mối liên hệ của baitoán trong một biéu thức phức tạp hoặc sau khi tìm được mối liên hệ đó yêu cầu ngườigiải phải biến đổi để có thé sử dụng vào phương trình còn lại của hệ Tuy nhiên trongdạng này tác giả không chú tâm vào việc này lắm mà chỉ muốn gửi tới người đọc cách

dé bat cứ ai cũng có thé sáng tác được một bài hệ phương trình theo cách này mà thôi

15

, A=0

Tinh chat 3 Nêu ta có A”+B” =0 =|) 0

Ta sẽ thử di sáng tác bài toán dé hướng lời giải theo cách sử dung tính chất trên nhưsau Trước tiên ta sẽ đi chọn biểu thức thé hiện mối liên hệ của hai nghiệm, vi dụ là

y =2x+1 Vì lí do khi ta giải phương trình sẽ thu được hai biểu thức nên khi chọn haibiểu thức A và ø không được mâu thuẫn với nhau và cùng thể hiện mối liên hệ lày=2x+1, vi dụ ta chọn biểu thức A=./x°+y—x—l và B=2x—y+l Vậy ta đã có

được phương trình sau khi biến đổi là (Je +y-x i) t(2x— y3 ly =0.

Biến đôi tương đương ta sé có phương trình thứ nhất của hệ là

6x(x L 1) 4xy+1 1=2(x I) x? +y—-(y-).

Lưu ý trong qua trình chon biêu thức can phải tìm điêu kiện của các biên nêu có, đặc

biệt trong trường hợp ta chọn biéu thức có chứa căn thức Giờ ta sẽ đi sáng tác phươngtrình thứ hai của hệ, ta cũng muốn xuất hiện một biéu thức liên hệ giữa hai biến nữa ví

` 2 z 2

dụ như 3x— y=1 Do đó ta cân ép đê xuât hiện phương trình (v3 -jy+1) =0.

Biến đổi tương đương phương trình này ta được 9x? + y* —6xy +2y—6x41=0

Vậy ta có bai toán sau

( 7, (vẻ

Bài toán 6 Giải hệ phương trình O° (8+) 49 #1 = 22a ty“)

9x °+y”—6xy+2y—-6x+1=0.

Giải Điều kiện x° + y>0

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất ta được

x + y—2(x41) yx" +y+(xtl) +4x° +4x—4xy+ y* —2y+1=0

x? = 2-1

WESs-rrjsressy eos| wry Haiy=2x+l y=2x+I.

Biến đổi tương đương phương trình thứ hai của hệ ta được

9x°+yŸ +l+6xy+2y+6x=12x(y+l) ©3x+y+I=2./3x(y+1)

=|w%+ Js+T} =0 3x—y=l.

16

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (2:5).

Tinh chất 4 Nếu ta có A? =B? A= B hoặc A=-B

Dé sáng tác bài tập dé giải theo cách này ta chỉ cần chọn hai biểu thức và ép chochúng bằng nhau là được Độ khó của bài toán dang này phụ thuộc vào hai biểu thức

ta chọn có phức tạp hay không Thêm một điểm đặc biệt là khi ta chọn một biéu thức

là căn thức thì biéu thức đó luôn không âm, nếu ta giới hạn ấn dé chứng minh biểuthức còn lại luôn âm hoặc luôn đương thì ta chỉ cần xét một trường hợp chứ khôngphải là hai trường hợp như lí thuyết bên trên

Thí dụ ta chọn A=.jy+2—x+2 và B=4x+l khi ta giải ra thì ta sẽ có hai trường hợp

là fy+2=5x-1 và 4jy+2=-3x—3 Giờ ta cho thêm điều kiện của x chang hạn như

x >S bằng cách cho xuất hiện J10x—3 trong phương trình thứ hai thì ta sẽ loại đi

được trường hợp Jy+2 =-3x—-3.

Giờ ta lập phương trình thứ hai, dé bài toán đơn giản thi dir kiện ở phương trình thứnhất cần xuất hiện thuận lợi ở phương trình thứ hai, phương trình thứ nhất có chứa

\jy+2 =5x—1 nên ta có thé cho đại lượng {y+2 Giờ ta chỉ cần chọn nghiệm thích

hợp dé các căn thức đó là số đẹp và cân bằng là được, ở đây tác giả chọn nghiệm là

(x:y)= (2-1) va phuong trinh 1a 5x’ (aly +2 -2) = 2(1-6x+Vi0x-3), Vậy ta có bài

Với x= : — y=—1 Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = l'¬3).

Bài tập 3 Hé này vô nghiêm al tap y +2 Jae y—4 =2(2Ve-1 - 2) Ệ nay vo nghiệm

2 45y?) =2 fey (6-2? Sy?) +36

Bai tap 4 (3 3 ) vol —" (x3 y) = {(s1);(-L-1)}Sy? —x* =6x" +2xy-6y.

2.2 GIẢI HE PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH CỘNG ĐẠI SO

Khi nghe tới tên phương pháp này chac chúng ta đã hiệu ý tưởng của phương pháp

trình một Nhưng khi nào thì chúng ta áp dụng phương pháp này để giải bài toán ? Ở

phần này tác giả không nhắc tới những bài giải hệ phương trình đối xứng loại hai vì ta

dễ dàng nhận ra được là phải trừ về với về của hai phương trình cho nhau , nên ta sẽ

bỏ qua dạng đối xứng này và xét những bài toán dạng khác Trước tiên dé hiểu về

cach sử dụng phương pháp này như thé nào ta sẽ thử đi giải một số bài toán dé phát

hiện ra điều này Trước tiên là một bài toán được trích ra từ đề tuyển sinh của trường

DH An ninh năm 1999.

Jrtxtytltx+ yy +xtytl+y=18 Jxtxtytl xtiy +xt+ytl-y=2

Phân tích : Khi nhìn cau trúc của hệ nay ta có một sô nhận xét sau

Bài toán 1 Giải hệ phương trình

Đầu tiên ta thấy là hệ mà đều có chứa hai đại lượng chứa căn thức khá phức tạp là

Vx txty+l và Jy? +x+y4l nên ta sẽ nghĩ ngay tới việc trừ hai về dé giản ước hai

đại lượng nay.

Tiếp theo lại thấy hai đại lương x,y có dấu trái nhau, khi đó ta cộng hai phương trình

này lại thì sẽ chỉ còn hai đại lượng 4|x”+x+y+1 và Jy? +x+y4l.

Vậy nếu ta cộng và trừ hai về của hai phương trình thi sẽ có một hệ đơn giản hơn ratnhiều Với ý tưởng này ta có lời giải cho bài toán trên như sau

Giải Diéu kiện x°+x+y+1>0,y?+x+y+1>0

Cộng và trừ hai về của hai phương trình cho nhau ta được một hệ phương trình

19

lên tytl+ Jy? +x4 petaia, Me soe 16 =10

Đôi chiêu với điêu kiện thay thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (4:4).

Nhận xét Đây là bài toán tuy không khó nhưng nó đã khơi gợi sự ra đời của rất nhiềubài toán giải bằng cách cộng trừ hai phương trình dé tạo thành một hệ đơn giản hơn.Mục đích của dang này là làm biến mat đi các biểu thức phức tạp hoặc không cùngdạng với nhau, đó có thé là cùng mắt đi căn thức, mat đi một biéu thức cùng xuất hiệntrong hệ hoặc đơn giản là mất đi các số hạng tự do (thường xuất hiện trong giải hệ

phương trình đối xứng loại hai) Khi biết được bản chất của việc cộng đại số ta sẽ đi

sang tác một bai toán thử xem sao.

Giờ ta muốn loại bỏ một biểu thức cồng kềnh xuất hiện trong hệ là 4x* bang cachcộng hai vế, khi đó dau của biểu thức này trong hai phương trình phải trái dau Tiếptheo, muốn biểu thức có dạng một phương trình bậc ba với biến là xy, ta sẽ làm xuấthiện các biểu thức xy’, xy’, xy Dé cân bằng các đại lượng này ta chọn nghiệmtrước, ví dụ như xy =1 Khi đã chọn được nghiệm rồi, ta cân bằng giá trị các đại lượng

để tạo thành phương trình, ví dụ muốn có hệ phương trình biểu thị hệ giá trị

3x y -7=-4x*

Bai toan 2 Giai hé phuong trinh

xy +xy =4x* -2.

Giải.

Cộng hai về của hai phương trình của hệ ta được phương trình

4x°y° +xy~5=0 © (xy-1)(4x° y? +429 +5) =0 ©xy—I=0©xy=l.

Thay xy =1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được phương trình

=l—=y=l A

file | » Thử lai thấy thỏa mãn.

x =1

x=-l>y=-l.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = {(11): (-L-1 )

Phân tích : Bài toán trên là một bai toán rất co bản, hướng giải quyết bài toán xuấtphát từ việc muốn triệt tiêu đại lượng x* lạc long Nếu dang của hệ phương trình nàygiữ nguyên và thay đôi toàn bộ hệ số thì việc giải bài toán cũng không khó khăn, vìlúc đó ta chỉ cần triệt tiêu đại lượng lạc lõng đó và đưa về phương trình bậc ba vớibiến xy Với phương trình này ta hoàn toàn giải quyết được

ax +by ` +cxy+dix+ey+ ƒ =0

Xét với hệ phương trình dạng | đã có phương phápa,x +b,y” +c,xy+d,x+e,y+ f, =0

giải từ trước nhưng trong phan này tác giả sẽ di theo một hướng khác dé giải quyếtkhác là đưa bải toán về hệ đăng cấp bằng cách đặt thích hợp Vì hệ trên được cấu tạobởi hai phương trình bậc hai tổng quát nên mỗi phương trình sẽ có các cặp (x;y) đểthực hiện phép tịnh tiến riêng lẻ, thực tình ta không mong muốn điều này xảy ra Vànếu điều đó không xảy ra thật thì ta sẽ có một lời giải vô cùng ưng ý Ta sẽ thử đi xét

một ví dụ cụ thê như sau.

© wu? +3v? —2uv+(a? +3b°)+(2a—2b—10)w +(6b—2a +22)v— 10a +22b =0.

Ata sở k Xr , 2a—2b—10=0 a=2

Dé hệ đăng cap ta can co <>

dang cap sau |

Với một chút may mắn, bai toán đã được giải quyết hoàn toàn Tuy nhiên đôi khi takhông may mắn được như vậy, giờ tác giả sẽ trình bày lời giải theo cách sử dụng hệ sốbất định mà phương pháp đã được đưa ra ở chương 1 Giờ đứng dưới góc nhìn củamột người giải bài toán, ta sẽ suy nghĩ như nào dé có lời giải Trước tiên ta thấy cả haiphương trình của hệ này đều là phương trình bậc hai đối với biến, ta suy nghĩ ngay tớiviệc phân tích nhân tử ở mỗi phương trình Nhưng điều này không thực hiện được vìdenta của các phương trình đối với an x hay y không phải là số chính phương Tớiđây ta sẽ nghĩ ra các khử các đại lượng bình phương nhằm mục dich thế ân vào

phương trình còn lại.

Trong bài này ta có thể đặt ân phụ nhằm đưa phương trình này về một hệ phương trìnhđăng cấp, nhưng dé tổng quát hóa bài này ta bằng phương pháp hệ số bat định dé ghép

hai phương trình tạo thành một phương trình bậc hai có đenta chính phương Nhân cả

hai về của phương trình thứ hai với k rồi cộng về với về phương trình thứ nhất ta

được

x” +3y? —2xy-10x+22y +34+k (2° +5y” =4xy— 16x + 38y +68) =0

<> (l+k)x° —2(y +54 2ky +8k)x+22y+3y" +5ky” + 38ky +34+ 68k =0.

Ta có A', =(y+5+2ky+8k) ~(I+k)(22y+3y” +5ky” +38ky +34 + 68k )

Ta có thể chọn bất cứ một giá tri này nhưng dé được đơn giản nhất ta chọn k =-1.Như vậy việc cộng đại số hai phương trình của hệ phương trình này sẽ tự nhiên hơn làviệc lấy về trừ về của hai phương trình cho nhau dù các bước làm giống hệ nhau Nhưvậy việc tìm mối liên hệ giữa hai biến đã xong Ta có lời giải như sau

Giái Lẫy phương trình thứ hai nhân với (-1) và cộng với phương trình thứ hai ta

y +8y+17 +3y?—2 y +8y117 y-102- 1532 „22x34 =0

y+3 y+3 y+3

& 2y* +24y? +99y* +162y +85 =0

Vậy hệ có nghiệm (x;y) = [19h {22 a k =a 6 =}.

Trong chương thứ nhất của luận văn này có trình bay phương pháp dé tim ra hằng số

a,x +by’ +cxy+dix+e,y+ ƒ =0

k trong hệ dạng | , và ở phan trên tác giả đã sửa,x +b,y” +c,xy+d,x+e,y+ ƒ, =0

dụng phương pháp này để giải quyết hoàn toàn bài toán Tới đây lại nảy sinh vấn đềnếu có được hệ dạng này ta sẽ giải ra được, vậy nếu muốn có hệ này tác giả sẽ phảixây dựng từ đâu Tới đây tác giả sẽ trình bày một cách để tạo ra hệ kiểu này Ở đây tácgiả sử dụng ý tưởng xuất phát từ tính chat A’ = 8` © A= B8 Muốn có biéu thức liên

23

hệ giữa các biến là y=2x—3 hay 2x—1= y+2 bang cách ép xuất hiện phương trìnhcuối là (2x-1)` =(y+2) ©8x+Ì~12x” +6x—1= y°+6y”+12y+8

8x -y° — 63 = 6(2x" +y’ +2y-x-9).

Suy ra nếu tìm được cặp (x;y) thỏa mãn phương trình 8x°— y’-63=0 thi (x;y) cũng

là nghiệm của phương trình 2x” + y”+2y—x—9=0 Từ đó ta có hệ phương trình sau

cả hai phương trình lại dé nhóm được nhân tử Tức là ta sẽ nhân một phương trình vớimột số k và cộng đại số với phương trình còn lại

Vì phương trình thứ nhất có bậc cao hơn nên ta ưu tiên giữ phương trình này lại và

nhân k vào phương trình thứ hai Ta có 8x°- y° —63-k(2x" +y? +2y-x-9) =0 Vi

các biến phân li với nhau nên ta có thé hi vọng biến đổi về phương trình có tính đốixứng có dạng (2x+a) = (y+b) Khi đó ta chon k,a,b sao cho

8x`—2k+? +x— yŸ—ky?—2ky—63+9k =(2x +a) —(y +b)

k =-6a;k = 6a? k=6

Đồng nhất hệ số hai về của phương trình trên ta được {k =3b;2k =3b?> <= {a=-1

-63+9k =a`—bÌ b=2.

Vậy ta đã có được ý tưởng dé giải cho bài toán trên

Giải Hệ phương trình đã cho được viết lại thành

§x°—y`—~63=0 8x° — y`—=63=0

2S 2

2x +y? =-2y+x4+9 6.(2x7 + y? +2y-x-9)=0.

Lay về trừ về hai phương trình của hệ trên ta được

24

8x`—12x”+6x—l= yÌ`+6y?+12y+8 ©(2x-1)` =(y+2) ©y=2x-3.

Thay y=2x—3 vào phương trình thứ nhất của hệ ban dau ta được

x=2=y=l

2x?-3x-2=0<> -]

x= = ya.

Thử lai thay thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (G0) E 3Ì

Tiép theo ta sẽ tìm hiéu thêm một ví dụ nữa bang cach cộng dai sô dé giải, với ý tưởng

được sử dụng trong bài toán này, tác gia hi vọng sẽ cho người đọc một cách nhìn mới

đê sáng tác một bài toán với dạng này Ta đi giải bài toán sau.

vì không tìm ra được cách đặt, thứ hai là phương trình thứ hai không có đenta chính

phương với cả hai biến Giờ ý tưởng đã đi vào bế tắc Nhưng vì đối với phương trình

đôi xứng có chứa căn này chính là khử căn, vậy sao ta không thử môi liên hệ của hai

căn Vx+2 và 4/2y+1 xem sao Nếu Jx+2=/2yt+lox=2y-l

Khi đó đặt f (x;y) =2x° +x+Wx+2—2y”—y—j2y+l

=2(2y-1) +(2y-1)+J2y41 2y —y-J2y+l1 =6y”—7y+1.

Và g(x:y)=x”+2y?~2x+y~2 =(2y-1) +2y?~2(2y—1)+y~2 =6y°—7y+I.

Toi đây dự đoán hướng giải của bài toán đã có, ta sẽ di trừ về với vê cua hai phương trình trong hệ với nhau Với ý tưởng trên ta có lời giải cho bài toán trên như sau.

25

coe TRÀ TA -I ``

Giai.Diéu kiện x > —2, y > >

Dé thay (x; y)= [-2 >) không phải là nghiệm của phương trình.

, > X ae -l

Do đó ta chỉ cân xét với x>~2⁄y>TT:

Lay về trừ về của hai phương trình trong hệ cho nhau ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =4 (151); ea lt

Nhận xéi : Nếu ta muốn ép xuất hiện mối liên hệ giữa các biến thì cách sử dụng ýtưởng này để sáng tác các bài toán theo lớp thực sự rất hay và độc đáo Giờ ta thử

sáng tác một bài tập theo hướng này nhé.

Trước tiên ta xác định môi liên hệ của hai biên là 2x+3y =0 Trước tiên ta sẽ cho một

phương trình 8x° +30y°+2xy+4y”—4=0 Với ràng buộc x= = thi giá trị của hàm

số f (x) =8x' +30y' +2xy +4y’ -4 =3y' + y?—4 Giờ công việc của ta sẽ phải di sangtác phương trình thứ hai sao có dang k(3 yt+y? -4) =0 Ta có thê tùy chọn giá trị k,

ở day tac gia chọn k=3.

Ta có thể phân tích hàm số

2 2

g(x):=3(3y' +y?-4)=3y" -4(=?] 12 =3)? +42) y-10-2

=3y”+4x7y—10—.J2x+3y+4 (do 2x+3y =0).

Vậy ra có được phương trình thứ hai là 3y” +4x”y—10—.|2x+3y+4=0

> 3y’ +4x7y =104+ /2x4+3y+4 > (3y-+4x) fy = twee toy tt An

y

Vay ta co bai toan sau.

2(4x° + y)x =4-2y? (2+15y)

Bai toan 6 Giai hé phuong trinh [ cp 8 (3y+4x°) fy = 2x+3y+4

vy

Phân tích : Trong quá trình xây dựng ta đã biết được mối liên hệ 2x+3y =0 của bàitoán nên ta đễ dàng có được câu trả lời Điều tác giả muốn phân tích ở đây là đứngdưới góc độ của người giải toán là làm thé nào dé có được lời giải mang tính tự nhiênnhất

Trước tiên cấu trúc hệ này không dé dé xác định là ta sẽ phải đi giải phương trình nao.Trước tiên ta hãy biến đổi dé hệ dé nhìn hon bang cách phá tung ngoặc, chuyền về vớiphương trình thứ nhất và trục căn thức ở phương trình thứ hai Bây giờ trong hệ của ta

chỉ còn xuất hiện một căn thức j2x+3y+4 ở phương trình thứ hai, còn lại là các biểu

thức đa thức mà về phải của phương trình là một số nguyên, nên ta dự đoán nếu mà

2x+3y là các số vô tỉ thì j2x+3y+4 là các số vô tỉ thì khả năng xảy ra dấu bằng của

phương trình thứ hai là rất thấp Chính vi thé ra dự đoán căn thức /2x+3y+4 là một

số chính phương suy ra 2x+3y phải là các số đẹp Trước tiên ta thử với

Và g(x)=3y?+4x°y—10—.J2x+3y+4 =3y? +4) y-12=3(3y`+y?~4).

Thật may man đây chính là điều chúng ta cần tìm Vậy ta có lời giải sau

27

Giải Điều kiện y>0;2x+3y+4>0.

§x`+30yÌ+2xy+4y”—4=0

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

3y?+4x?y—10—./2x+3y+4 =0.

Nhân 3 vào cả hai về của phương trình thứ nhất rồi trừ về với về phương trình thứ hai

của hệ phương trình trên ta được

Thay x= vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3yÌ°+y?-4=0

©(7~I)(8y? +4y+4)=0© y=1= x= Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = S4)

Nhận xét : Đây là một bài toán rất khó muốn giải được bài toán trên phải kết hợp

nhiều kĩ năng, với những bài toán có căn thức này thường các tác giả sẽ phải có các

biểu thức đánh giá thuận lợi và thêm một điều mà tác giả muốn gửi tới là trong khigiải đôi khi can có một chút may mắn dé giải bài toán Thêm một điều nữa, với nhữngbài toán mang tính sáng tạo này cũng không nên làm quá khó vì như thé lời giải mang

tính ép buộc, không tự nhiên và tính cá nhân của người ra đê.

Dé kết thúc phan trình bày trong phần này tác giả sẽ gửi đến người doc một bài tậpkhác cũng phải kết hợp hai phương trình trong hệ dé giải, nhưng theo một cách khác

là nhân hai về của phương trình lại với nhau Ta đi tìm hiểu bài toán sau

Đây là một hệ có hai phương trình là các đa thức bậc ba và dé dang tìm được mối liên

hệ giữa hai biến nhưng không thé thé vào được vì khi đó biểu thức sẽ rất lớn.Mộthướng ý tưởng khác là trừ hai về dé tìm được nhân tử chung, nhưng cach này cũngkhó vì hệ số tự do không triệt tiêu được với nhau Tới đây ta sẽ có tách về phải của hai

phương trình nhờ nghiệm của phương trình bậc ba, nhưng cũng không cho được

nghiệm nguyên, ta làm theo mẹo sau, nếu chuyền các số hạng tự do sang về phải của

phương trình thì phương trình thứ nhất ta có nghiệm xấp xi là 2,87;-1,14;-2,72,conphương trình thứ hai ta sẽ dược nghiệm xấp xi là 3,14 Ta sẽ lay số tự nhiên ở giữa hai

số 2,87 và 3,14 là 3 Tới đây ta thử lại có

pee of ee of ee

y-15=-x° — x? +8x y-3=-x —x° +8x412 y-3=-(x-3)(x+2}

Chính vi thé ta có lời giải cho bai toán trên như sau

Giái Biến đôi tương đương hai phương trình của hệ ta được

Nhân chéo hai về của hai phương trình ta được

-(x-3} (x+2} =(y-3(y+2} e(x-3} (x+2Ÿ +(y-3(y+2) =0

x=3 x=-2

y=3 y=-2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3:3).

Thử lại chỉ thấy cặp (x; y) = (3:3) thỏa mãn

Nhận xét : Giải hệ phương trình bằng cách cộng đại số thực chất mang bàn chất củaphương pháp biến đổi để giải phương trình Với hệ ban đầu khi may mắn ta có thểtrực tiếp biến đổi dé phân tích thành hệ đơn giản hơn, còn với phương pháp cộng đại

số này thì ta chưa sử dụng phép biến đổi trực tiếp được mà phải thông qua việc cộng

đại số hai phương trình thì mới giải quyết được.

29

Trong phan này tác giả sẽ trình bày cách sáng tác các bài tập đưa về phương trình bậc

Bài tập 4 | (Đề thi thử lần 1 chuyên quốc học Huế)

hai có đen ta là số chính phương, lưu ý không nhất thiết là phương trình đó phải cóbậc hai mới sử dụng được Bản chất cơ bản của việc giải bằng cách sử dụng biệt thứcđenta cũng chính là việc xác định nhân tử chung nếu có Trong trường hợp biệt thứcđenta không phải là số chính phương thì ta có cố gắng may thi cũng không thé phantích được nhân tử Chính vì thế đây chính là phép thử rất tốt giúp ta dự đoán đượcnhân tử chung ( nếu có) Giờ chúng ta hãy thử đi xét hai bài tập này trước dé hiểu sơqua phương pháp và sau đó ta sẽ chuyển qua việc sáng tác các bài tập giải hệ phương

VÀ TA 4

Điêu kiện y<2xx<¡2x—y+90,

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được

2x7 +x-3(xy+l)—2y =0oy +(3x+2) y+2x° +x-3=0

Ta có A= (x+4) Suy ra phương trình có nghiệm là y =x—].

Thay y=x—I vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Với x=0— y=-—l Thử lại thấy thỏa mãn

Với x=—l—= y=-—2 Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = {(0:-1).(—1:-2))

Vx434 xy 4x4+3y 43 txtl=2ytJytl

(x-3)(y +1) =(y-1)(x? -2x+3)(Vx+1-2).

Bai toan 2 Giai hé phuong trinh |

Giải Điều kiện x >—-1; y>-—l;xy+x+3y+3>0

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được

(x+3)+ x+3(I+ y+1)-2(y+1)- y+1=0

Coi phương trình trên là một phương trình bậc hai đối với biến Jx+3 ta có

2

A=(I# y+1) +4[2(y+1)+\jy+1]=9(y+1)+6 y+I+1=(3 y+1+])

31

-(I+ y+1)+(3 y+1+])

| (Vev1) +2|( Vai +2)=[(x-1)+2][(e-1 +2].

Xét ham số #()=(+2)(# +2) Ta có ƒ'(¡)>0với r>0 Suy ra hàm số luôn đồng

biến Từ đó ƒ/(Vx+1)= ƒ(x=1)x+l=x-lœx=3.

Nghiệm này trùng với nghiệm trên.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (3:5).

Nhận xét : Qua hai bài toán trên cho thấy răng không phải lúc nào bài toán đưa vềphương trình bậc hai phải là một phương trình có bậc băng hai, mà phương trình đóchỉ cần có bậc hai với biến mà ta lựa chọn Ý tưởng sáng tác bài toán dạng như này

không khó, ta sẽ thử đi sáng tác một bài dạng này.

Trước tiên phương trình cần lập là một phương trình bậc hai đối với biến y, tiếp theo

ta cần chọn một biểu thức denta chính phương trước Giả sử ta chọn biệt thức

2

A =(x° —x+1]) Do biệt thức đenta với phương trình bậc hai được tính bằng công

32

thức A=b -4a.c nên ta sẽ phân tích biệt thức denta đã chọn dưới dạng đó

A = (x —x+1) =(x +x+1) -4(xÌ +x) nên ta có thé chon b=x?+x+l1, a=l,

c=x'+x Giờ ta đã có một phương trình bậc hai với biến y có biệt thức denta đãchọn ban đầu là y? -(* +x+l)y +x°+x=0 Khi đó giải ra ta sé được mối liên hệ giữahai biến là y=x hoặc y=1+x? Với hai mối liên hệ này ta sẽ chọn mối liên hệ y= x

dé sáng tác phương trình thứ hai, khi đó ta phải chấp nhận mdi liên hệ y=1+x” sẽ chonghiệm (nếu có) không được đẹp như ý muốn được

Phương trình thứ hai tác giả muốn lấy ý tưởng cách giải dựa trên tính chất hàm số đặctrưng, ở đây tác giả chọn hàm đồng biến là ƒ (1)=1(ve +3+2) va cho xuat hién

phương trình có dang f (2x+1)=f (-3x).

Biến đổi tương đương phương trình này ta đc phương trình thứ hai của hệ là

3(2+9x'+3)+(4y+2)[jI+x+x” +1)=0.

Từ đó ta có bai toán sau.

Bài toán 3 Giải hệ phương trình

Xét f(t)= i(vr +3 +2) Ta có f'(t)>0 với Vr Suy ra hàm số luôn đồng biến.

Vì f (2x+1)= ƒ(-3x) Nên 2v—I=<ây c>x— ===.

+ Với y=l+x” Thay y=1+.x° vào phương trình thứ hai của hệ ta được

3(L+2°)(2+V9x" +3)+(4x° +6)(Vitxtx +1) =0 Phuong trình này vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-š-‡}'

Nhận xét : Việc chọn biến có phức tạp hay không dé sáng tác phương trình là yếu tốthen chốt quyết định xem bài toán có phức tạp hay không, nếu muốn bài toán nâng cao

độ khó ta chỉ cần xét với những biến phức tạp là được Bên cạnh đó việc lựa chọn biệtthức đenta cũng góp phần không nhỏ nâng cao độ khó bài toán, với những trường hợp

mà biến số không thuận lợi với biệt thức denta trong việc rút thế tìm mối quan hệ vớibiến sẽ là một bài toán không hề đơn giản Chính vì vậy khi sáng tác thì ta cần phảitránh trường hợp này dé làm cho bài toán không phải là bài đánh đố người giải

Sau đây tác giả sẽ sáng tác một bài toán liên quan đến việc chọn biến là căn thức Ta

chọn biến trong bài toán này là Ve +1 và biệt thức A= (4y +3).

Khi đó ta biến đổi được thành A= (4y-1Ÿ —4.2.(2y-1) Vậy ta sẽ chọn các sốa=2;b=4y—l;c=2y—1 Ta có phương trình đầu tiên như sau

2

(vx +1] ~(4y—1)\3)+I+2y—1=0 ©(4y—I)\x?+1=2x?+2y+1.

Khi chọn biến Vx? +1 và biệt thức A= (4y +3) ta lựa chọn ngẫu nhiên nên khi giải ranghiệm ta sẽ thu được x° =4y(y—1) nên khi sáng tác phương trình thứ hai dé khôngđánh đồ người giải ta sẽ sáng tác phương trình sao cho sử dụng thuận lợi mối liên hệ

đó Đó sẽ là một phương trình chỉ chưa bậc chin đối với biến x, chả hạn như

x*+xˆy+y” =l Vậy ta có bài toán sau

tàn TA : 4y-1 ?*+1=2x?+2y+l

Bài toán 4 Giải hệ phương trình (4y=1)jà * yt

x4txeyty =l.

34

Giải Đặt r =x|x? +1 >1 Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại thành

Với y=1=x=0 Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =(0:1).

Đề nâng dần bài khó lên nữa, ta sẽ làm theo hai bước : một là, lựa chọn một biến

không đơn giản như x,y,.j/ (x) do người giải sẽ dễ nhận biết được biến ; hai là

chọn một biệt thức denta cồng kénh hơn Vi dụ như ta chọn biến của phương trình bậc

hai ở đây là (y+1) và biệt thức A'= (zx' "ì Với cách chọn biến (y+1) thực sự sẽ

làm bài toán khó lên rất nhiều do khi phân tích người đọc sẽ ít để ý tới thêm hằng số

vào biến.Giờ ta có thé phân tích biệt thức A'= (2x -1) = (x' +1) +x? (3x° 6x") Ta

sẽ chon a=x”, b'=x* +1, c=3x°—6x’ Khi đó ta có một phương trình bậc hai thỏa

mãn các dữ kiện đã chọn là +” ( y +1) +2(x4 +1)(y +1)—3x” +6x” =0 hay tương đươngvới phương trình 2(y+1+x*y)+x?(y? +2y+7)= x4 (3x° -2) Nếu ta muốn làm cho ýtưởng tiếp tục bị che bớt khiến người giải phải suy nghĩ ta tiếp tục biến đổi tương

đương phương trình thu được

Luu ý khi giải phương trình trên ta sẽ thu được y=-3x”—1 hoặc y= —1 Vi

mối liên hệ này khá phức tạp nên ta có thể chọn nghiệm trước rồi cân bằng giá trị cho

phù hợp là được.

Chọn x=2=y=-13 Khi đó cặp (x:y)=(2:-13) là nghiệm của phương trình

Wx-14+3xJ4-y =x y+72.

35

Từ đó ta có bài toán sau

Giải Điều kiện x>l;y<—4

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được

2(y+1+a*y)+x° (s7 +2y+T)=x* (3x°-2) = x (y+l) +2' +1)(y+1)-3x° +6x° =0.

Xét phương trình là phương trình bậc hai của biến y +1 ta có

Ma ƒ(2)=0 Nên phương trình sẽ nhận nghiệm duy nhất là x =2

Ta có f'(t) +12?+2>0 với z>1 Suy ra hàm số luôn đồng biến

Với x=2> y=-13.

x'-2 x'-2

7 y=

x Xx

+ Với y+1= -1.Vi x>l—=y>-2.

Mà theo điều kiện ta có y <—4.Suy ra không tồn tại giá trị thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) =(2;—13).

Nhận xét: Qua những bài sáng tác ở trên, tác giả hi vọng người đọc đã nắm đượcphương pháp sang tác một bai tap dạng như này, do việc chon biến và biệt thức đentanên ta hoàn toàn sáng tác được các lớp bài toán với độ khó tăng dần tùy dé thỏa ý tác

36

giả Giờ ta sẽ mang những ý tưởng bên trên để tìm ý tưởng của tác giả của các bài

toán sau

yề +5y “+ y+5=8§xy°+8§x” —xy+3x

4x?—5x+3x+l—y=0.

Bài toán 6 Giải hệ phương trình |

Phân tích : Trong hai phương trình của hệ ta thay phương trình thứ hai có thé thé biến

dễ dang là y=4+?—5x+xl3x+1 nhưng khi thế vào phương trình đầu của hệ thì lại quá

phức tạp nên ta không thé giải theo cách này được Đề ý kĩ thấy đây là một phươngtrình đa thức bậc ba với biến y và bậc hai với x Vì lợi thế bậc nhỏ hơn nên việc

phân tích theo biến x gần như sẽ đơn giản hơn Chính vi thế ta sẽ biến đổi tương

đương đề đưa về thành phương trình bậc hai đối với biến x

Ta có lời giải cho bai toán như sau.

Giải Điều kiện x> = Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được

8x” +(8y”— y+3)x—y°—5y”—y—5 =0.

Ta có A=(§y°~y+3) +4.8(y`+5y?+ y+5)=(§y?+ y+13)

› „ +n y+5

Suy ra phương trình có nghiệm x ==— © y=8x-—5.

Thay y=8x—5 vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Thử lại nghiệm thay thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm (so)= [ME oa) (SF 10-7}8

37

Nhận xét : Nhờ việc đã dự đoán được ý tưởng của tác giả bài toán từ trước nên việc

giải bài toán trên đã làm bài toán dé dàng đi rất nhiều Còn việc giải phương trình khithé mối quan hệ của hai biến vào là đòi hỏi phải có sự tinh tế trong quan sát và nămđược một số phương pháp cơ bản trong việc đặt ân phụ trong giải phương trình Ta sẽ

đi xét tiếp một bài toán nữa dé kết thúc phần giải hệ phương trình bang cách đưa về

phương trình bậc hai tại đây.

2(y? +3)

h yy +x =3(4x-1)

x

aly? —7x+27 +V12—x =2(8x-y”’).

Phân tích : Với cau trúc trong bài toán này ta sẽ phải di giải phương trình thứ nhất của

Bài toán 7 Giải hệ phương trìn

hệ, vì phương trình thứ hai có bậc của các biểu thức quá lộn xộn, không có điểmchung Xét phương trình đầu tiên của hệ, ta thấy biểu thức trong căn có đại lượngy? +3 mà ở bên ngoài cũng có nên ta có thé dự đoán được sẽ đưa về phương trình bậc

hai với biến là một căn thức trong đó biến sẽ có thành phan là VÍy?+3 Điều ta để ý

2(y? +3)

x

thay ở đây trong căn có nên ta nghĩ tới hai hướng xử lí phương trình này,

một là phải khử mẫu đi bằng cách nhân Vx , hoặc hai là phải làm biểu thức y? +3

2

Len ? +3 "" „ sow rq pk ap: ae

xuất hiện dang ~ +3 hay y Te Rõ rang theo hướng thứ hai sẽ có lợi thê vi khi đó

x Xx

y +3 4, ` -Ä , Log 2(y? +3) ho "chính là một biêu thức bậc hai với ,|————— Vậy ta đã có ý tưởng giải cho

x x

bai toan nay nhu sau.

Gidi Diéu kién x>0.

Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được