Luận văn thạc sĩ khoa học: Gần đúng eikonal cho biên độ tán xạ thế và phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYEN THỊ HAI YEN GAN DUNG EIKONAL CHO BIEN DO TAN XA THE VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHAN PHIEM HAM TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ HAI YEN

GAN DUNG EIKONAL CHO BIEN DO TAN XA THE

VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHAN PHIEM HAM

TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THI HAI YEN

GAN DUNG EIKONAL CHO BIEN DO TAN XA THE

VA PHƯƠNG PHAP TÍCH PHAN PHIEM HAM

TRONG CƠ LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý Lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS CAO THỊ VI BA

Hà Nội - 2016

LỜI CÁM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tớiTS.Cao ThiVi Ba,người đã tận tinh

hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận

van.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Khoa Vật ly và phòng Sau đại học

của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên — Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện

tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý lý

thuyết, khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên — Đại học Quốc gia Hà

Nội, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên tôi.

Cuôi cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những người thân trong gia đình, ban bè va

đồng nghiệp đã động viên cho tôi hoàn thành luận văn này.

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thé tránh khỏi nhữngthiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn

Một lan nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 9 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Hải Yến

MỤC LỤC

Chuong 1 Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ - ccc55- 4

1.1 Gần đúng eikonal trong quang học ‹ - << esses 1.2 Phát biểu bài toán tán Xạ -.c nh nhe 8

1.3 Lời giải phương trình Schrodinger -: 14

Chương 2 Công thức eikonal và phương pháp tích phân phiếm ham 25

2.1 Hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở trường ngoài 25

2.2 Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thắng -. . -30

Chương 3 Tan xạ trên thế ngoài cụ thễ - ccccc5<<-c< - -.4Ï EM) àán 41 3.2 Thé GauS§ C1 1111111222222 111111111 1111 2115511111111 xxe45

CE c2 2211111111221 1n nn TT k kg Tnhh vết 50

Tài liệu tham khảo - HH nh nhớt 52

MỞ ĐẦU

Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1959trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các sốliệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao [10].Biéu diễn eikonal này có

thé thu được bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp sóng riêng phan (tìm hàm

sóng ở xa vô cùng), phương pháp ham Green (giải phương trình vi tích phân) và

phương pháp chuẩn cô điển (giải phương trình Schrodinger bằng gần đúng chuẩn cổ

điển) [3].Các phương pháp này nói chung dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và khó sử dụng trong lý thuyết trường lượng tử Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tôi muốn giới

thiệu một phương pháp mới, đó là phương pháp tích phân phiém hàm cho bài toán tán

xạ trong cơ học lượng tử phi tương đối tínhkhông dựa vào lý thuyết nhiễu loan[9]

Trong vùng tương đối tính và năng lượng cao, việc tổng quát hoá gần đúngeikonaltrên cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trườnglượng tử.Cơ học lượng tử phi tương đối tính là lý thuyết đơn giản nhất mà trong khuônkhổ của nó với giả thiết tính nhăn của thé năng, đã thành công trong việc giải thích vật

lý những đặc trưng cơ bản tán xạ năng lượng cao của các hadron Do mô hình quang

học và phép gần đúng eikonal liên quan đến phép gần đúng tổng quát hơn là phép gầnđúng chuẩn cô điển trong cơ học lượng tử nên lý thuyết tán xạ thé cho ta cơ sở dé đưavào Vật lý hiện đại phép gần đúng eikonal hay gần đúng quang học

Ở đây, chúng tôi trình bay van tắt các kết quả vận dụng phương pháp chuẩn cô điển

hay còn gọi là phương pháp WKB cho bài toán tan xạ năng lượng cao Phương pháp

WKB được hiểu là phép gần đúng mà theo nó pha tán xạ tỷ lệ với hàm tác dụng cô

điên.

Phép khai triển theo sóng riêng phan là một phương pháp chủ yếu dé nghiên cứu tán xạnăng lượng cao, song năng lượng hạt càng cao thì ta phải tính một số lượng khổng 16

sóng riêng phần thì phương pháp này trở nên kém hiệu quả Vì vậy, người ta phải đềxuất các cách tiếp cận khác dé nghiên cứu bai toán tan xạ năng lượng cao của các hạt

cơ bản Một trong các cách tiếp cận khác đơn giản hơn và rõ ràng về mặt vật lý chính

là biểu diễn eikonal hay biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ[3] Lưu ý, biểu diễneikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ đã được sử dụng rộng rãi dé phan tich cac số liệu

thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao.

Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ nănglượng cao ở trường ngoài bằng phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng

tử.

Luận văn gồm các phần:Mở đầu, Nội dung nghiên cứu được viết thành ba chương, Kết

luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục.

Phân nội dung của luận văn gôm:

Chương 1.Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ thế ngoài.

¢ Mục I.1:Giới thiệu van tắt gần đúng eikonal được sử dụng trong quang học

© Mục 1.2: Phát biéubai toán tán xạ trong cơ học lượng tử

e Mục 1.3: Lời giải phương trình Schrodinger dừng với thế ngoài ở xa vô cùng,

từ đó rút ra công thức eikonal hay công thức Glauber cho biên độ tan xa.

Chương 2.Công thức eikonal và phương pháp tích phân phiếm hàm

Trong chương này, chúng ta rút ra công thức eikonal cho biên độ tán xạ bằngphươngpháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử

e_ Mục 2.1: Giới thiệu biểu diễn hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger

ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm.

¢ Mục 2.2: Tach các cực điểm từ hàm Green của hạt ở trường ngoài dé thu được

biên độ tán xạ thế.Trong mục này, giới thiệu cách tính gần đúng tích phânphiếm hàm bằng gần đúng quỹ đạo thăng và khảo sát đáng điệu tiệm cận của

biên độ tán xạ thế ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ Điều kiện sử dụnggần đúng này được thảo luận từ những giới hạn lênthế năng, năng lượng của hạt

và góc tán xạ.

Chương 3.Tan xạ trên thế ngoài cụ thể

Sử dụng công thức eikonal thuđược hai chương trên cho một số thế ngoài cụ thé.

e_ Mục 3.1: Nghiên cứu tán xạ thé Yukawa

e Mục 3.2: Nghiên cứu tan xạ thế Gauss

Phan kết luận: Tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận những hướngnghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới

Trongluậnvăn, chúng tôi sử dụng hệ don vi nguyên tử #=c=1 va metric Feynman.

Vớivéctơ tọa độ phản biến là

1.1 Gan đúng eikonal trong quang hoc

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu gần đúng eikonal trong quang học Phương trình

mô tả việc truyền sóng ánh sáng trong môi trường có chiết suất n mà trong trường hoptổng quát là hàm số của tọa độ n(7) và có dạng

ở đây là thành phan bat kỳ của các vectơ E và 7

Nếu ø là không đổi thì nghiệm riêng của phương trình (1.1) là sóng phẳng đơn sắc

(kor

vane (1.2)

Sô song k = lk , tan sô @ và bước sóng 4 liên hệ với nhau bang hệ thức

@o 2z k=n—=— 1.3mG (1.3)

Giả thiết rằng,phương truyền sóng và biên độ của sóng phang trong toàn không gian là

không đồi

Nếu môi trường không đồng nhất thì n(7) sẽ là hàm của tọa độ và sóng phăng (1.2)

với vecto sóng (1.3) sẽ không thỏa mãn phương trình (1.1).

Tuy nhiên, nếu bước sóng 4 nhỏ hơn nhiều khoảng cách đặc trưng d, mà ở đó chiếtsuất n(7) thay đổi đáng ké, thì ở khoảng cách nhỏ đó sóng ánh sáng vẫn được coi là

sóng phăng truyền theo hướng vuông góc với mặt sóng Các hướng như vậy được gọi

là tia.

Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1) trong trường hợp này dưới dạng

y = dể” (1.4)

Ở những khoảng cách nhỏ của không-thời gian, hàm ø được gọi là eikonal Ta có thểkhai triển nó thành chuỗi

ph r7Vprr (1.5)

Vi ở những khoảng cách nhỏ của tương tác thế giới vi m6,y có thé coi là sóng phẳng

nên so sánh (1.5) và (1.4) với (1.2) chúng ta tìm được

= V?ae" + Vaie®V $+ iVae*V 6 + iae"iV pV $+ iae”V°?ó: i“ (1.8)

=[V7a+2iVaV 9+ iaV7—a(V 9) |e”

Tương tự ta có

6”, „y |Ca ôaô6 PP (ô66Ý|„

ap (ae )= my 2i OP ar ia a a P e (1.9)

Thế (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta được

hang chứa Aa, Ag, Va.Vớõ, ; › tang a, Ag, VaVó or’ ô ` Ot at rong (1.10), chung ta thu dugc phuong

trinh eikonal cho ¢

(va) -(22) (%) (1.11)

Thay (1.6) vao (1.11) ta duoc

Các phương trình (1.11) va (1.12) được gọi là các phương trình eikonal.

Như vậy, trong gần đúng eikonal các mặt sóng là các mặt

V(F,f)= const, (1.13)

còn các tia được hướng theo k = Vợ.

Lưu ý sự tương tu ở đây, giữa các phương trình eikonal (1.11) và (1.12) với phương

trình Hamilton-Jacobi, ma trong cơ học cổ điển mô tả chuyển động của hạt trong

trường thế ngoài' Trong trường hợp khi ham Hamilton # (7,p) không phụ thuộc

tường minh vào thời gian, thì phương trình Hamilton-Jacobi có dạng

a(n), (1.14)

ở đây E là năng lượng cua hạt, S(7,r)=5,(7)—£r là ham tac dụng Xung lượng của

hạt bằng

p=VS(7,t)=VS,(7) (1.15)

Theo Vat ly cô điền, chuyền động của hạt trong hình thức luận Hamilton-Jacobi có thể

so với các mặt sóng mà nó được xác định bằng phương trình

S(¥,t) =const (1.16)

Quỹ dao của hạt, như ta có thé suy ra từ (1.1), hướng theo pháp tuyến của các mặt này”.

Đối với hạt chuyên động trong trường thế r(r) thì xung lượng của hạtđược xácđịnh

bởi

p°=2m(E—VŒ)).(1.17)

Từ (1.15) ta có

p =(VSY.(1.18)

'Sự tương đương giữa phương trình Hamilton -Jacobi và phương trình eikonal được Hamilton

thiết lập vào năm 1834.

? Lưu ý, tốc độ dịch chuyền của mặt Š (7.2) = cons¿ trong không gian không trùng với tốc

- ¬ Ty E

độ v của hạt và liên hệ với vbang hệ thức u =——.

mv

Kết hop (1.17) và (1.18) ta thay phương trình (1.14) có dang

(Vs) =2m(z-r(z)) (1.19)

So sánh (1.15), (1.16) và (1.19) với (1.6), (1.13) và (1.12), ta suy ra rằng trong cơ học

cô điển, ham tác dụng s(z,:) chính là eikonal ø(z,:) trong quang hình học và đại

lượng 2z(E—V (7)) tương tự với tổ hợp các đại lượng quang học Onl? ).

ty lệ liên hệ giữa n?(7#)va 2m| E-V (7) |—, là một đại lượng có thứ nguyên và không

@

thé xác định được nó nếu ta chỉ dừng trong Vật lý cô điển Nếu sử dụng sự tương tự

này gitta quang hoc sóng và cơ học cô điên thi ta có thê viet

2

()= zL£=Y(Z)]Ss.0-20)

1.2 Phat biếu bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử

Trước tiên, chúng ta xem xét gan đúng eikonal trong cơ học lượng tử dựa vào việc phát

biêu bài toán tán xa Nêusự tán xạ xảy ra trong thê năng có đôi xứng câu thi ham sóng

ở xa vô cùng gôm sóng phăng tới và sóng câu tán xạ có dạng

Theo công thức tính tiết diện ta cần phải tính mật độ dòng của các hạt tới và mật độdòng các hạt tán xạ theo công thức tổng quát

h —ikz > ikz ikz > sikz (

=—— k)e” — kmm é(ike —e ”é (—ik)e ]

=- 2q), _ =ve,=V,

2mi m

trong đó, é, là véc tơ đơn vi theo trục z, ý là van tốc của hạt tới.

Như vậy, mật độ dòng tới 7, có độ lớn là

Ty lệ giữa xác suât hat tan xa rơi vào góc khôi dQ va mật độ dong xác suat của các hat

tớiđược gọi là tiết điện tán xạ vi phân

dơ =|7(ø) dQ.(1.32)

Mật độ tiết diện tán xạ được xác định bởi

do _

3a 7 (9) 33)

Nhu vay, viéc xac dinh tiết diện tán xa hoặc mật độ tiết diện tán xạ quy về việctìm biên

độ tán xạ Việc tính biên độ tán xạ thường được tiễn hành như sau: Tim nghiệm củaphương trình Schrodinger cho chuyên động của hạt trong trường của tâm tán xạ Tạicác khoảng cách ở xa tâm, nghiệm có dạng (1.21).Khi đó Z(ø) là biên độ cần tìm

Dé tìm biên độ tán xạ / (0), ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger

SyA+£-f0)]fz)=00139

2m

Khi r >othiy(7)co dạng tiệm cận (1.21).

Trong nhiều trường hợp ta có thé kết hợp phương trình Schrodinger (1.34) và các điềukiện biên (1.21) vào một phương trình tích phân Điều này có thê thực hiện được nếu ta

sử dụng hàm Green của phương trình Schrodinger tự do G, (7, 7), mà nó thỏa mãn

phương trình

(E-H, tứ)@ (R7 )=[E+#TAxie ]@(n7)=ð{r=r}(138)

Ta cho AG, (7.7) =-q”Œ, (7.7) , rồi thế vào (1.35) ta được

lãi

Nhờ có G, (F fF ) phương trình (1.34) sẽ chuyên thành phương trình tích phân

vy; (7)=9; (7)+[G (77 )V (Fy; (7 Jar, (1.38)

ở đây ø, (z) là nghiệm bat kỳ của phương trình Schrodinger tự do,vi dụ: ø; (7) = ef

Bay giờ, ta chứng minh y, (7) được xác định bằng phương trình (1.38) khi z->œ có

dang tiệm cận (1.21).

Thay (1.37) vào (1.38) ta được

F te (1.39)

12

Khi lấy tích phân theo df’ ta chọn gốc tọa độ tại vùng tác dụng của thế năng r{r)(xem hình 1) Khi r > cta có thé tính gần đúng như sau

ự,(z)=e# 2 1 2m e"V(F ly, (7 ar (1.41)

Dai lượng k = k— là vectơ sóng theo hướng của vectơ bán kính, và nó đặc trưng cho

r

hướng truyền các sóng cầu phân kỳ

Hình 1.Chọn hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.39)

So sánh (1.41) và (1.21), chúng ta thu được biéu thức cho biên độ tán xạ

——T

nh?

f(9)= ƒ<“rữ}w;()œ.a42)

Biểu thức (1.42) cho ta biên độ tán xạ f (8), nếu biết nghiệm của phương trình

Schrodinger ự„ (z') Lưu ý, trong biểu thức (1.42) ta cần hiểu y, (z') không phải toàn

bộ không gian, mà chỉ ở vùng tác dụng của thế V(F')

13

1.3 Lời giải của phương trình Schrodinger trong gần đúng eikonal

Chúng ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.34) có dạng song phang mà trong quá trìnhtương tác với thé năng sẽ xuất hiện thêm số hạng dịch pha bésung z(7) Ta thu được

ự()=e”z), (1.43)

Thay (1.43) vào (1.34), ta có phương trình chính xác cho y

rổ ays” [2Sy +(92) |+yŒ)=0 (1.44)2m 2m

Néu ta gia thiét rang xz(7) là ham nhăn của toa độ, như ta đã làm khi rút ra phương

trình eikonal trong quang học (1.12) thi trong (1.44) ta sẽ bỏ qua đạo ham bậc hai của

+ Như vậy trong cơ học lượng tử, phương trình tương tự với phương trình eikonal là

2#Šz(r)+(Šz()} =_^ y(z) (1.45)

So sánh (1.43) với (1.4) ta có vai trò eikonal bây giờ là đại lượng #7 + z(?)

Nếu năng lượng của các hạt va chạm là lớn, thì ở về trái (1.45) SỐ hạng thứ nhất

2kVz (Vz) là vượt trội, va khi đó

Khiz=-œ thì chi tồn tại sóng tớiự(7)=e“ Từ phương trình (1.43) ta suy ra

tan xa đ có thé lây với độ chính xác 1 vuông góc với & ,, tức là vuông góc với trục Oz.

Trong trường hợp này,tích phân theo đztrongbiêu thức (1.50) là của một vi phân toànphan bởi vi GF đ7, nên không phụ thuộc vào z (các vecto nay là vecto hai chiều,vuông góc với trục z và chúng ta ký hiệu bằng L) Lay tích phân theo dz trong (1.50),

ta co

15

70) “Sạn [J axdveTMTM |v (x,»,z)e ”” a

== 2n [are Í[- hy yee

"

= san Ỉ d°?b,eth ” Jjrœuz) 4

ở đây b, =(x,y,0); kan ae

Đối với các thế năng có tính đối xứng thì trong (1.51) có thé lấy tích phân theo góc

phương vi Sử dụng công thức tích phan Bessel

Trong công thức (1.51) ta thay

a V (5, ,z'}dz'

e ”” —l=const,

^ + H ^ 0 < b <r

nén khi chuyén hé ii} dxdy = ff bdbdg 0<ø<2z

=/(9)= ⁄ ,#) = const [ bab | dọe*hw%# = —— const| babar, (qb)27i ọ ọ 2Zi ọ °

— œ _= [y0.z)&

=/|# ,k)=-ik [bdbJ, (4b)|e ”” -1l, (1.54)

0

8

với q=2ksin— , Ø là góc giữa k và k'.

Biểu thức (1.51) cho phép giải thích vật lý dưới đây (xem hình 2) Từng phần của sóngphang tới, đi qua vùng tác dụng của thé với thông số ngắm b, sẽ nhận sự dịch chuyêncủapha,mà nó tỷ lệ với tích phân dọc theo quỹ đạo thắng, song song với trục z:[r(B.z)&'.

Hình 2 Việc lấy tích phân trong pha eikonal trong công thức (1.51)

được tiến hành dọc theo đường cham cham, I- vùng tương tác của thé, II- sóng phẳng tới.

Bây giờ chúng ta sẽ tìm các điều kiện cho thế năng, năng lượng của hạt bị tán xạ và

góc tán xạ, để cho biểu thức (1.51) là đúng Đề đạt được mục tiêu này, ta cần thiết lập

17

Nếu đưa vào khoảng cách đặc trưng là a, mà ở đó thế năng tác dung V(F) sao cho

alVV (7) ~V thì bat đăng thức thu được sẽ tương đương với

A ahavka l1 (1.57)

Như vay,(1.57) là điều kiện cần tìm cho thé năng

Bây giờ ta đánh giá số hạng thứ hai dé có thé bỏ qua

ve) 1 (1.59)

Như vậy, (1.59) chính là điều kiện phải tìm cho năng lượng để có gần đúng ekoinal

Bây giờ chúng ta tìm tiêu chuẩn cho độ nhỏ của góc dé có thể chuyên từ (1.50) đến

công thức eikonal (1.51) và (1.54) Điều này chỉ xảy ra trong trường hợp khi ¢.z 1

` R 1

Vi ạ =k(1—cosØ) nên l— cosØ la

a

Lúc trước với ka ta đã tìm được điều kiện (1.57) ka 1, nénl—cos@ phải là đại lượng

bé Vì thế nên cosØ có thể khai triển thành chuỗi

2

1~cosØ=2sin? 2 „ É” -Lhayø _—— .(1.60

2 2_ ka Tha‘ )

Vậy (1.60) chính là điều kiện can tìm cho góc tán xa @

Như vậy, điều kiện để áp dụng gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ thế là (1.57) và (1.59) Nếu có bé sung điều kiện góc tán xạ (1.55) thì biên độ tán xạ có thể biểu diễn

eikonal ở dạng (1.51) hay (1.54).

Khi rút ra biéu diễn eikonal cho biên độ tán xạ, ta đã không cần đặt điều kiện cho théngoài phải là hàm thực Như đã biết ở một số trường hợp, ví dụ như tán xạ lên hệ phứctạp (hạt nhân nguyên tử), ta cần nghiên cứu thế năng phức mô tả tương tác hiệu dụng

của hạt với bia phức tạp có sự hấp thụ.

19

Nếu thế là phức, thì với mật độ dòng xác suất (1.22) ta không thẻ viết định luật bảo

toàn div j.

Thay vào đó ta có

div == Inv (F)y" (Fw (7) (1.61)

Do tương tac vớibia, hạt có thé tan xa đàn hồi hay hap thu, thì div7 phải bằng không,hoặc là số âm Suy ra ImV (F)<0

Trong trường hợp thé là hàm phức, theo công thức (1.51) pha eikonal cũng là một số

phức, thêm vào đó Im y >0.

Chúng ta dẫn ra biéu thức dé cho tiết diện tán xạ khi biên độ được biểu diễn ở dang

eikonal (1.51) Ta viết pha y dưới dạng phức

o, = 2k [hab fad, Jin 60467, [2 sin 5] Jy 2%, sin Sle -1)(e"") -1)

20

Vùng lấy tích phân theo dx có thé coi xét đến vô cùng”

[rate (dx)Jy (box) frets, (x) Jy (b5x) = £6 (b =ð,)(1.68)

Thay (1.65)vao (1.64) ta duoc

Oy = 2z |b,db, foae, „ö(h —b,)(e70) -1)(ez2 — )

0 0 1

= 2z |b.db, (zz= -1)(e"TM -1) (1.66)

0

Chuyén ky hiéu b, >bva đặt y(b)= yx, +iz,, ta có

er He (e atin, -I)(e uit, -l)=e xn nh xu 44-7,+i7, -4,-i7, 24, -#-I ~#,+iy,

) = 2(1-e*

cos z.)-(-e”

} (1.67)

Thay (1.67) vào (1.66) ta được

o,, =4Z[bdb(L—e Z cos z,)—2z [bdb(L—e ”“.).(1.68)

0 0

Số hạng cuối của (1.68) chính là tiết điện tán xạ không đàn hồi

Øy„= 2z |bab(I —e?) (1.69)

Tiết điện tán xạ toàn phần theo (1.68) và (1.69) bằng

Ơ,=Ø,+Ø„= 4z | bdb(1 —e* cosy, ) (1.70)

0

Từ các biểu thức cho biên độ tán xạ (1.54) và tiết điện toàn phan (1.70), dé dàng chứng

minh được định ly quang học

Thay (1.73) vào (1.71) ta được

Ø, “ a cos Z, )= 4z [bdb(1-e* cos z, ).(1.74)

Xét vi dụ tan xạ trong giếng thé hình cầu có bán kính z

roy khi r<a,W >0 (1.75)

đỡ _ ; (2 4 _ 2 Ji (a4)

23

ở đây g= 2ak sin,

Biểu thức này quen thuộc với chúng ta trong quang hoc Nó xác định cường độ tan xạánh sáng khi nhiễu xạ lên hình cầu (nhiễu xạ Fraunhofer) Lấy tích phân (1.79) theo

=za7 [1-75 (2ak)- J7 (2ak) | ma’ +04}, ak —y œ.

Tiết diện tán xa không đàn hồi (hấp thụ) theo (1.69) được xác định bằng biểu thức sau

4 AW 1 "

C., ~ 2nfpar| 1exp( Fe a?—bˆ lo I-sp0~« “(I+4p)]J,(0180

ở đây? = “ Col 7 1 như trước đây, chúng ta thu được

y

Oi, =O _ =Za”(1.82)

Đây là trường hợp riêng của nguyên lý Babine trong quang học.

24

Chương 2

CONG THỨC EIKONAL CHO BIEN ĐỘ TAN XA THE

BANG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHAN PHIEMHAM

2.1 Ham Green cho hạt trong trường ngoai[4]

Khi giải thích biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ, như đã nói đến ở chương 1, ta cóthé coi các hat tán xạ chuyển động theo các quỹ đạo thăng Để nhận được biểu diễn

eikonal này trong bài toán tán xạ, người ta sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm

trong cơ học lượng tử do Feynman khởi xướng.

Biên độ xác suất dời chuyền một hệ lượng tử từ trạng thái a đến trạng thái b được xácđịnh bằng tổng (hay tích phân) theo tất cả các quỹ đạo trong không gian pha {q(t)} của

biểu thức esp{2.s[z0)| , trong đó S[4]= [z[a6).40)}m là tác dụng cô điển của hệ.

Thay E thành £+ié trong (2.1) cho phép nhận được ham Green mà nó chỉ chứa sóng phân kỳ khi ro.

Áp dụng biểu diễn giả thiết của Fock viết toán tử ngược dưới dạng hàm mũ, ta thu

được

~ by + < N | N — “I — + ttNE” ¬

ở đây ø(£)=-—Ý, (é)

Hàm mũ trong công thức (2.2), mà ở lũy thừa của hàm này có các đại lượng không

giao hoán Ÿ?và v(F), được hiểu như T- hàm mũ theo chi số thứ tự ¿.“Gỡ rối” biểu

thức (2.2) không thê thực hiện được nếu không khai triển nó thành chuỗi, vì ở lũy thừa

của ham mũ có đạo ham vi phân bậc hai.

Ta có thé hạ bậc toán tử V ở lũy thừa hàm mũ (2.2) được nhờ phép biến đổi hình thức

mà nó chứa tích phân phiém hàm ba chiều

Trongcông thức (2.2) ta xét thừa số

26

ll °o ae ) 27(6) ~ hộ

PCS)

—+V(6) Jase | Í [ae F276) as]

0 exp| —i

Ta sử dung tích phân Gauss dé tim C"

Từ biểu thức của tích phân Gauss

+00

mm (x+b) ‘are [= Ísel —ax’|

(tích phân này không phụ thuộc vào b)

ở dayC,' = [Tle if ins.

seu 12 [meres Joo | reas 20 -#),

Jes eres awry

oday eff? | P(@) pews] là toán tử dich chuyên ham toa độđi mộtđoạn ‘a | P(đ)đ£

mo my

, “sap xếp” lại biểu thức toán tử Hàm Green của phương trình Schrodinger ở trường

ngoài V (7), có thể viết dưới dang

G(7,7")=- lực (E+iz) slIt*6 oho npr] nde

G(Z,Z')= (5 pete, ine Z0ep| [20040001 |.

Jacobian của phép biến đổi này không phụ thuộc vào biến phân phiém hàm mới x (t)

[Zena " =da |2 |a(r—ryo Ø(¡"~?)|

Như vậy nó là một hang sô nào day mà ta có thê gộp nó vào hang sô chuân hóa CŒ,.

mx© (2)

>oa'(t)= 5Thế (2.7) vào (2.5), ham Green G(7,7") có dạng

2.2 _ Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thang[5-8], [11-13]

Biên độ tán xạ liên quan tới hàm Green của phương trình Schrodinger đầy đủ

Ta có thêthực hiện cách làm nêu trên như sau:

Trước tiên ta tìm ảnh Fourier G(7,7'')

ø#) =G(k,k') = Gay farar'e®TM G(F,F) 2.11)

Thay(2.4) vào (2.11) ta có

nã 1(~)Ƒ - x

(oxy e sjII# (7)

<0 ban-[ 7s W 2 freon ls} [ren

Ta cho 7'= z+n |Ê filnan Khi đó

—ik'F +iKF'=—iK'F +i.| Z—¬ “I + ot Km] (2.13)

Thay (2.13) vào (2.12) ta được

31

(IG#)=@Œ,#)= Nuớn | lặnh ef [I“0)

-enljø (n)dn “iy [re FE fata 2a (2)

Néu trong (2.16) ta cho V = 0 ;Œ|J]J#2(n) Jes if

Luu ý: Đối số của V lay tích phân theo nên ¿ chạy từ0—>z

Khi é<ø thì cumkO(a—)+k'0(E-a)=k (trước tán xa)

Khi >a thì cụm#Ø(z-£)+k'Ø(£@—øœ)=' (sau tán xa)

Xét fen me =exp| i(k —k)F+ if oO inn (2.22)

0

Ta co

34

2 ir 2 i RY) h_ i, _ J! 32

B® (m)+5 8 (n-a)(k-K) +2 =5(n)8(n=z)(W=#)=#(n)

Thay (2.23) vào (2.22), ta có

Ha Flot Ete)

Pa: "exp i(k —k')| ¥-n [a(n Jays Ee a)

Iơ~Gj|È) = “lee on nk TL (r-az)(ˆ -F)}s

xC,, 4 (nso eft a exp| i(k 9# | V(ä)x

35

*2esl¬2j[s- nJ2|ptn Jan ( c-z)[felz~2)‹E(zz)||2ẻ,

Thay đổi thứ tự lấy tích phân theor và ø và giả thiết z =z, +a, ta có

[ar[az =[dz[ar =[dafar,

0 0 0 a 0 0

Mặt khác, khi đổi biéno,(7) =a@,(n +a) thì

fe (n)dn fo (n-a)d(n a)=| o; (q)dn.

Ta đặt thêm ¿ = £—ø thì từ (2.25) ta có

Iø~Gj|#) =-|Mz[an on ne Je foo [z- ve Js

n Hà “5 eID jII#s ines} aon [rộ V(X)exp| i(k (k

-con vz m2] [2.(n Jan ef O(-&,)+k (sy) 46}

Trong (2.26), đổi biéné, thành , ta được