Bài toán tán xạ trong mô hình bloch nordsieck bằng phương pháp tích phân phiếm hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐỖ THỊ NGOAN BÀI TOÁN TÁN XẠ TRONG MƠ HÌNH BLOCH-NORDSIECK BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THANH HÓA, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐỖ THỊ NGOAN BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG MƠ HÌNH BLOCH-NORDSIECK BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 Giáo viên hƣớng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn THANH HÓA, NĂM 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Ngƣời cam đoan Đỗ Thị Ngoan ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới: Thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, ngƣời trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Cô, Tập thể cán Khoa Khoa học tự nhiên, toàn thể ngƣời thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hoàn thành luận Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy Cô Khoa Khoa học tự nhiên dạy bảo tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt trình học tập hồn thành Bản luận văn em Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn Luận văn có nhiều thiếu sót, em mong nhận đƣợc góp ý thầy cô bạn Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2017 Học viên Đỗ Thị Ngoan iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn Bố cục Luận văn CHƢƠNG I BIỂU DIỄN HÀM GREEN MỘT HẠT Ở TRƢỜNG NGỒI DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM 1.1 Hàm Green hạt trƣờng 1.2 Hàm Green hạt trƣờng cụ thể 13 CHƢƠNG II DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ Ở VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO VÀ GÓC TÁN XẠ NHỎ 16 2.1 Biên độ tán xạ hạt trƣờng 16 2.2 Tán xạ trƣờng ngồi vơ hƣớng 19 2.3 Tán xạ trƣờng hấp dẫn 25 CHƢƠNG III BIỂU DIỄN EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT 28 3.1 Tán xạ hai hạt hạt trao đổi vô hƣớng 28 3.2 Tán xạ hai hạt qua việc trao đổi hạt tensor 34 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 PHỤ LỤC A P1 PHỤ LỤC B P3 PHỤ LỤC C P11 MỞ ĐẦU Tóm tắt: Dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ lƣợng cao cho hạt có spin mơ hình Bloch-Nordsieck lý thuyết trƣờng lƣợng tử đƣợc nghiên cứu phƣơng pháp tích phân phiếm hàm Schwinger-Fradkin Đánh giá biên độ tán xạ lƣợng cao góc tán xạ nhỏ dƣới dạng tích phân phiếm hàm, ta sử dụng phép lấy gần “quỹ đạo thẳng” hạt tán xạ đƣợc sử dụng hiệu quả, kết biểu diễn Glauber (hay gọi biểu diễn eikonal) cho biên độ tán xạ tìm đƣợc Các cực điểm biên độ tán xạ liên quan đến trạng thái liên kết đƣợc thảo luận, tiết diện tán xạ vi phân tƣơng ứng trƣờng ngồi cụ nhƣ trƣờng vơ hƣớng trƣờng hấp dẫn tìm đƣợc Lý chọn đề tài Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm đƣợc vào năm 1959 học lƣợng tử phi tƣơng đối tính, đƣợc sử dụng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm tán xạ hạt với lƣợng lớn Nghiên cứu toán tán xạ lƣợng cao lý thuyết trƣờng lƣợng tử thông thƣờng sử dụng hai phƣơng pháp trái ngƣợc sau: i/ nhƣ lấy tổng giản đồ Feynman [5] lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến theo số tƣơng tác điện từ điện động lực học lƣợng tử (QED), phƣơng pháp sóng riêng phần hay phƣơng trình chuẩn [14] ii/ phƣơng pháp tích phân phiếm hàm1 [6, 16-20] vượt khỏi khn khổ lý thuyết nhiễu loạn kể Kết biểu diễn biên độ tán xạ lƣợng cao góc tán xạ nhỏ, ta thu đƣợc biểu diễn Glauber (hay gọi biểu diễn eikonal), mà đƣợc áp dụng rộng rãi để giải thích số liệu thực nghiệm [22,23] Phương pháp tích phân phiếm hàm tốn học cịn gọi phương pháp tích phân liên tục, cịn vật lý phương pháp gọi phương pháp tích phân quĩ đạo hay tích phân theo lộ trình Mơ hình Bloch-Nordsieck mơ hình lý thuyết đƣợc đề xuất vào năm 1937 để lảng tránh kỳ dị “hồng ngoại” điện động lực học lƣợng tử Mơ hình đơn giản, nên đƣợc sử dụng để “thí nghiệm” nhiều giả thiết vật lý, nhƣ cơng cụ tính tốn trƣớc đƣợc vận dụng vào toán thực tế [7, 22] Cần lƣu ý rằng, trình tán xạ lƣợng cao cho hạt có spin gần eikonal, đƣợc nhà lý thuyết thực nghiệm quan tâm phát triển, liên quan đến số liệu thực nghiệm thu đƣợc máy gia tốc lớn Geneva- Thụy Sỹ, Fermilab – Mỹ [22,23] Mục đích nghiên cứu Mục tiêu Luận văn thạc sỹ dành cho nghiên cứu toán tán xạ lƣợng cao với ngồi mơ hình Bloch-Nordsieck phƣơng pháp tích phân phiếm hàm Schwinger- Fradkin Lƣu ý, lời giải phƣơng pháp lời giải gần cho hàm Green hạt trƣờng ngồi mà lời giải gần eikonal, cịn trƣờng ngồi trƣờng vơ hƣớng hay trƣờng hấp dẫn Phƣơng pháp nghiên cứu Hàm Green hạt trƣờng ngồi biểu diễn dƣới dạng tích phân phiếm hàm cách sử dụng phƣơng pháp gần Schwinger – Fradkin Tách hai cực hàm Green hạt mặt khối lƣợng để tìm biên độ tán xạ thế, hay tách bốn cực tìm hàm Green hai hạt để tìm biên độ tán xạ hai hạt Dựa vào lời giải gần cho hàm Green hạt trƣờng ngoài, cách lấy trung bình phiếm hàm trƣờng ngồi, ta tìm đƣợc hàm Green hai hạt, mà đƣợc nghiên cứu ta tìm biên độ tán xạ sau xét toán tán xạ vùng lƣợng cao lƣợng truyền nhỏ, kết ta thu đƣợc dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ dƣới dạng Glauber hay dạng eikonal Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Phép gần eikonal mà xuất quang hình học, giúp ta tìm dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ vùng lƣợng cao học lƣợng tử tƣơng đối tính lý thuyết trƣờng lƣợng tử Phép gần eikonal tƣơng ứng với “phép gần quỹ đạo thẳng” cho toán tán xạ lƣợng cao Bức tranh vật lý nhƣ sau: hạt lượng cao bị tán xạ cách trao đổi liên tiếp với trường (tán xạ ) hay trao đổi lượng tử ảo (tán xạ hai hạt với nhau), trao đổi diễn độc lập, khơng có tương thích hai lần trao đổi liên tiếp với trình tán xạ Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn Các kết giải tích tiết diện tán xạ vi phân thu đƣợc phục vụ cho việc phân tích số liệu thực nghiệm cho trình tán xạ hạt lƣợng cao máy gia tốc giới Bố cục Luận văn Bản Luận văn thạc sỹ bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng phần kết luận Chƣơng 1: Nghiên cứu biểu diễn hàm Green hạt trƣờng ngồi dƣới dạng tích phân phiếm hàm Mục $1.1 dành cho việc tìm lời giải phƣơng trình Dirac thuộc mơ hình Bloch-Nordsieck trƣờng ngồi tùy ý dƣới dạng tích phân phiếm hàm Hàm Green hạt trƣờng ngồi cụ thể nhƣ trƣờng vơ hƣớng hay trƣờng hấp dẫn đƣợc thảo luận mục $ 1.2 Chƣơng 2: Tìm dáng điệu tiệm cận tán xạ vùng lƣợng cao góc tán xạ nhỏ Trong mục $ 2.1, sử dụng biểu diễn hàm Green hạt trƣờng dƣới dạng tích phân phiếm hàm, ta tiến hành tách cực điểm liên quan đến hai “chân” hàm Green hạt qua hàng loạt phép thay biến tích phân biểu thức tích phân phiếm hàm Nói cách khác, việc tách cực điểm từ hàm Green thừa số liên quan đến đƣờng ngoài, tƣơng ứng với hạt chuyển động tự hạt, triệt tiêu Kết ta thu đƣợc biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ trƣờng Dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ trƣờng ngồi cụ thể: trƣờng vơ hƣớng hay trƣờng hấp dẫn vùng lƣợng cao góc tán xạ nhỏ đƣợc trình bày mục $2.2 Chƣơng 3: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt Trong mục $ 3.1, sử dụng dạng tƣờng minh hàm Green hạt trƣờng phép lấy trung bình phiếm hàm theo trƣờng ngồi (vơ hƣớng, trƣờng tensor) ta trình bày cách tìm hàm Green hai hạt Tƣơng tự nhƣ việc tách “cực điểm” liên quan đến đƣờng ngoài, việc tìm biên độ tán xạ hat hạt đƣợc giới thiệu mục $3.2 Dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ hai hạt hệ khối tâm đƣợc thảo luận mục $ 3.3 Kết thu đƣợc biểu diễn eikonal biên độ tán xạ hai hạt Cuối hệ thống lại kết nhận đƣợc Bản luận văn Thạc sỹ Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c metric giả Euclide (metric Feynman) tất bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn thực A  A0 , A gồm thành phần thời gian thành phần không gian, số 0,1, 2,3 , theo quy ƣớc ta gọi thành phần phản biến véctơ 4- chiều ký hiệu thành phần với số  A0 , A A A0 , A1 , A2 , A3 def A (0.1) Các véctơ phản biến tọa độ: x0 x t , x1 x, x y, x3 z  t, x , (0.2) Thì véctơ tọa độ hiệp biến: x g x x0 t , x1 x, x2 y, x3 z  t, x (0.3) Véc tơ xung lƣợng: p  E, p E , px , p y , pz (0.4) Tích vơ hƣớng hai véc tơ đƣợc xác định: AB g A B  AB A0 B0 AB (0.5) Tensor metric có dạng: g g 0 0 0 0 0 (0.6) Chú ý, tensor metric tensor đối xứng g g g g Thành phần véc tơ hiệp biến đƣợc xác định cách sau: A g A , A0 A0 , Ak Ak Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến (0.7) P1 PHỤ LỤC A Hấp dẫn lƣợng tử tuyến tính với tƣơng tác vật chất có spin ½ Chúng ta viết tác dụng Einstein-Hilbert tuyến tính gắn với trƣờng vật chất có spin 1/2 Sau metric g đƣợc khai triển Minkowski phẳng, g h , tác dụng tuyến tính cố định chuẩn 1 d4x h 16 G 2 S h h h 16 GT h (A.1) C , ta chọn chuẩn DeDonger C Trong số hạng cố định chuẩn h h Hàm tác dụng vật chất tuyến tính (A.1) có T i i (A.2) Chú ý thành phần hấp dẫn (A.1) dẫn đến hàm truyền hấp dẫn D (k ) 16 G k2 i (A.3) Viết Lagrangian tƣơng tác vật chất dƣới dạng i L( , , h ) h T m Ta thu đƣợc phƣơng trình hàm Green cho nguyên lý tác dụng tối thiểu m i x i x h ( x) h ( x) i x G x, y h (x y) (A.4) Có nhiểu phƣơng pháp để giải xấp xỉ (A.4) Vì ta xét trình tán xạ đàn hồi với trao đổi số lƣợng graviton nhẹ, ta giải (4) phƣơng pháp Bloch-Nordsieck (BN) Với lý đó, ta bắt đầu sử dụng phép biến đổi bán Fourier P2 d p ipx e G p, y h (2 ) G x, y h (A.5) Bằng cách này, ta thu đƣợc biểu thức sau m i x d p ipx e e (2 ) G x, y h ipy Trong phƣơng trình này, ta bỏ qua số hạng h ( x) p G p, y h i x h ( x) (A.6) i h( x) mà dẫn tới tƣơng tác self-coupling, có số u Chú ý, hợp trƣờng hấp dẫn, mà đƣợc xác định metric tenxơ g ( x) Metric tenxơ g ( x) khai triển theo trƣờng Minkowski phẳng giới hạn trƣờng hấp dẫn gần bậc g ( x) h ( x) , tenxơ Minkowski với 16 G, G số hấp dẫn; - metric 1, 1, 1, Lagrangian tƣơng tác trƣờng hấp diag dẫn bậc với trƣờng vật chất có spin ½ đƣợc xác định cơng thức [7] Lint ( x) T ( x)h ( x) , (A.7) đó: T ( x) i i tenxơ xung lƣợng trƣờng vật chất có spin ½ , (A.8) P3 PHỤ LỤC B Tán xạ trƣờng hấp dẫn Trong mục ta xem xét toán tán xạ lƣợng cao hấp dẫn nhẵn ( x) u p h ( x) p p 4m h ( x) Việc tính tốn phức tạp liên quan đến ngồi hấp dân , song phƣơng pháp tính hồn toàn tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp tán xạ ngồi vơ hƣớng mà chúng tơi trình bày i/ Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ Xét trƣờng hợp đơn giản không phụ thuộc thời gian  (r ) ( x) p p 4m  h (r ) , (B.1) đó:  d 3rdy0e F ( p, q | ) d e  i rT p p iy0 ( p0 q0 ) e 4m i 4m d p p h  h (r )   p (r ) m (B.2) 4m dy0e iy0 ( p0 q0 )   p q  i rT  p p h (r ) d ei  (r ) 2(2 )2 (q0  T  d 3re  (r ) p0 ) f ( p, q) ,  d p p h (r 4m  p ) , hàm delta diễn tả bảo toàn m lƣợng trình tán xạ: f ( p, q)  d re 16 m  i rT  p p h (r ) d ei  (r ) (B.3) Trong tính tốn với spinor, phải kẹp biểu thức (B.3) u ( p) u (q) , biểu thức (B.3) chuyển thành: P4  d re f ( p, q) 16 m  i rT  p p h (r ) d e   p ) m i (r (B.4) Đối với tốn hạt, biểu thức dƣới dấu tích phân (B.4) không chứa số Điều cho phép ta lấy tổng theo số và (2.44), kết đƣợc:  d re f ( p, q) m  i rT  p p h (r ) d e i   p ) m (r (B.5)  Hƣớng trục z theo vector xung lƣợng p trục x nằm mặt phẳng đƣợc xác   định hai véctơ p q , pha Eikonal có dạng:  u ) (r  d p p h (r 4m  p ) m 4m  dsp p h (b , z s) pz pz  d p p h (b , z  dzp p h (b , z ) pz  dzp p h (r ) :  b pz ) m (B.6) Sử dụng công thức (2.4) (B.6) ta viết lại (B.5) dạng: f ( p, q )  d re m m  i rT i  e p p h (r ) i  d 3re  i rT  b 0  p p h (r )  b i pz e i pz dzp p h  (r )  dzp p h (r ) (B.7) P5 ipz m  d 2be  ibT dze izTz  p p h (r ) e  dzp p h (r )  ipz d 2be m  ibT i pz  M (b , Tz ) i  e M (b ,0) dzp p h  (r )  b (B.8) , Trong ký hiệu:  M (b , Tz ) dze izTz  p p h (r ) (B.9) Tại góc tán xạ nhỏ, xung lƣợng truyền gần nhƣ vng góc với trục z nên ta gần Tz  , từ (B.9) ta thu đƣợc biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ: f ( p, q)  ipz d 2be m  b  ibT pz e i  b (B.10)  dzp p h (r ) ii/ Thế Yukawa Xét trƣờng hợp hấp dẫn yếu, tensor h ( x) có dạng h ( x) ( x) , đó:  p p h (r ) p p  p2 p02 ( x) (B.11) ( x) Với ( x) dạng Yukawa cho trƣờng hấp dẫn, ta có:  p p h (r ) p02  p2  b ( x) pz p02 dz  p2 M p02 Me r r  e p2 M p02  e p2 r r r r (B.12) P6  Do ta xét tán xạ góc nhỏ, tƣơng ứng với xung lƣợng truyền nhỏ, nên p02 , p2 coi lƣợng xung lƣợng hạt trƣớc tƣơng tác (hạt trạng thái tự  p , từ ta đƣợc: do) Khi p02  b Mp02 pz dz e  b z2  b2 2 Mp02 e b z dz  pz b z2 z2 (B.13) Để tính tích phân (B.13) ta tiến hành đổi biến số lấy tích phân:  b2 z2 t2 tdt dz t  , b2 ta đƣợc: 2  b Mp02 pz Đặt t  b Mp02 e b z dz  pz b z2 tdt  b t2  b2 Mp02 e t dt  pz b t2 b2 t e t đƣợc:  b Mp02 e t dt  pz b t2 b  b  Mp02 e d( b )   pz ( b )2 b (B.14) ta có  b Mp02 d pz  b e Lƣu ý biểu thức hàm MacDonal: Mp02 d e pz  b 1 (B.15) P7 n ( z) 2z n n dxe zx ( x 1) n (B.16) Ta đƣợc:  b Mp02 d e pz  b Mp02 pz Theo Arfken & Weber, ứng với giá trị z thỏa mãn 0 ( z) ln  ( b) (B.17) z thì: z C (B.18) C số Euler Trong giới hạn , theo (2.58) ta đƣợc:  b Mp02 pz  b) 0(  b Mp02 ln pz  b C ln C (B.19) Mp02 pz Thay vào (B.18) ta đƣợc: f ( p, q )  ipz d 2be m  b  ibT 2i ln e C (B.20) (B.21) Bỏ qua số hạng tự (B.20) ta đƣợc: f ( p, q )  ipz d 2be m  b   2i ibT e Biểu thức (B.21) viết thành: f ( p, q )  ipz d 2be m  ibT i C e  b 2i ln C P8  d 2be 2i ipz eC m  b  ibT 2i (B.22) Để tính tích phân (B.22) ta chuyển sang hệ tọa độ cực: x r cos( ) y r sin( )   b ; r ; D ( x, y ) D(r , ) J   p q nằm mặt phẳng Oxz Tx Ta có Ty T (B.23) r T sin góc tán xạ Xét tán xạ góc nhỏ ta có:  bT xTx yTy rT sin cos  rT xTx cos (B.24) Từ (B.23) (B.24), tích phân (B.22) tọa độ cực là: ipz eC m f ( p, q ) 2i rdr r 2ipz eC m d eirT cos (B.25) 2 Lƣu ý hàm Bessel bậc có dạng J ( z ) f ( p, q ) 2i d eiz cos nên: 2i 2i rdr r n i (B.26) J (rT ) Dựa vào tính chất hàm Bessel: dxJ n ( x) x1 2i 21 2i (B.27) n i ta tính biểu thức (B.27) nhƣ sau: f ( p, q ) 2ipz eC m 2i 2i T T (rT )d (rT ) rT 2i J (rT ) P9 2i 4ipz eC m T T e T Mp02 2i ln e i i pz Mp02 m pz T m T i i 1 2i i i C d J0 ( ) T 4ipz m T 2i 2 i 4ipz m T pz m 2i ln e i i i i 2i C T C T 2i ln e ln e T C T C (B.28) Đến ta tìm đƣợc biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hạt fermion trƣờng hấp dẫn: f ( p, q ) Mp02 m T i i i e Mp02 ln pz T C (B.29) c/ Cực điểm biên độ tán xạ xác định bởi: i n (B.30) Mp02 i 2n (B.31) n số nguyên dƣơng Thay Mp02 vào (B.26) ta tìm đƣợc: pz pz P10 Trên mặt khối lƣợng p0 m nên: pz Mm2 2n i (B.32) Gọi M khối lƣợng hạt sinh trƣờng hấp dẫn, đó, hệ khối tâm, lƣợng hệ là: E pz2 (B.33) khối lƣợng rút gọn hệ: mM m M (B.34) (m M ) pz2 2mM (B.35) Công thức (B.33) đƣợc viết lại là: E thay pz từ (B.22) ta đƣợc: En m3 M (m M ) n2 (B.36) Trƣờng hợp hai hạt có khối lƣợng nhƣ thì: En m5 (B.37) n2 Trong trƣờng hấp dẫn, lƣợng liên kết tỉ lệ với lũy thừa bậc khối lƣợng hạt P11 PHỤ LỤC C Hàm Green hạt trƣờng ngồi tensor có dạng: s GGN (p, p' | h) i d x ei (p p') x ds.e is (m up i ) e i u p d h (x u ) (C.1) 0 Hàm Green hai hạt đƣợc tính từ hàm Green hạt nhờ hệ thức: G BN (p1 , p , p1' , p '2 ) exp i dz1dz2 D h (z1 ) (z1 z ) h (z ) GBN (p1 , p1' | h )GBN (p , p '2 | h ) (C.2) Ta biểu diễn lại hàm Green hạt nhờ hàm delta nhƣ sau: i G (p, p' | h) i d x ei (p p') x is (m up i ) ds.e e p p 2m s d dzh (z) x z u 0 i d x e i (p p') x ds.e is (m up i ) e i p p 2m dzh ( z ) j (z) (C.3) Trong đó: s j (z) d (C.4) (x z u ) Khi đó: G(p1 , p , p1' , p'2 ) i d x1 d x2e i p1 p1' x1 i p2 p2' x2 ds1 ds2e i exp dz1dz2 D h (z1 ) i d x1 d x2e (z1 z ) i p1 p1' x1 i p2 p2' x2 ds1 ds2e exp i p1 p1 p2 p2 4m h (z ) e i p1 p1 2m dz1h is1 (m u1p1 ) is (m u p ) dz1dz2 j (z1 ) D is1 (m u1p1 ) is (m u p2 ) (z1 z ) j (z ) ( z1 ) j (z1 ) i e p2 p2 2m dz2 h ( z2 ) j (z ) P12 i d x1 d x2e i p1 p1' x1 i p2 p2' x2 ds1 ds2e exp i s1 p1 p1 p2 p2 4m is1 (m u1p1 ) is (m u p ) (C.5) s2 d d 2D x1 x2 u1 u2 Biên độ tán xạ thu đƣợc nhờ phép cắt xung lƣợng ngoài: i (2 ) 4 (p1 p p1' p 2') F(p1 , p1'; p , p 2') lim u(k) pk m u(k) pk ' m (u(1) p1 m)(u(2) p2 m)(u(1) p1 ' m)(u(2) p2 ' m) G'(p1 , p1'; p , p 2') Với: G'(p1 , p1'; p , p 2') G(p1 , p1'; p , p 2') G (p1 , p1'; p , p 2') i d x1 d x2e i p1 p1' x1 i p2 p2' x2 ds1 ds2e exp i i3 s1 p1 p1 p2 p2 4m p1 p1 p2 p2 4m s1 s2 d d 2D x1 x2 u1 d x1 d x2e i p1 p1' x1 i p2 p2' x2 x1 x2 u1 u2 0 i d exp is1 (m u1p1 ) is (m u p2 ) ds1 ds2e d 2D u2 s2 d is1 (m u1p1 ) is (m u p ) p1 p1 p2 p2 4m s1 s2 d d 2D x1 x2 u1 u2 (C.6) Ta tiến hành đổi biến: xk xk uk sk sk k k Thì: is1 (m u1p1 ) is (m u p ) i( p1 is1 m u1p1 i m u1 p1' p1 ') x1 i(p p2 ') x2 is (m u p ) i( p1 i p1 ') x1 i(p p2 ') x2 (C.7) m u p'2 Đồng thời đổi cận tích phân: sk dsk d k 0 d dsk k k (C.8) P13 Ta có: i3 G'(p1 , p1'; p , p 2') d d ds1 ds2e p1 p1 p2 p2 4m is1 m u1p1 d x1 d x2e is2 (m u p2 ) i m u1 p1' i i p1 p1' x1 i p2 p2' x2 m u p'2 D (C.9) x1 x2 d exp 2 i s1 p1 p1 p2 p2 4m s2 d d 2D x1 x2 u1 1 u2 2 Sử dụng giới hạn (2.13), ta có: F (p1 , p1'; p , p 2') i d exp i p1 p1 p2 p2 4m p1 p1 p2 p2 4m d x1 d x2 e i p1 p1' x1 i p2 p2' x2 D x1 x2 (C.10) d d 2D x1 x2 u1 1 u2 2 Trong biên độ (C.10), ta bỏ qua thành phần non spin-flip Ta thực tính tốn hệ khối tâm hƣớng xung lƣợng theo trục z p1 (p10 , 0, 0, p) p2 (p 20 , 0, 0, p) p10 p20 p0 (C.11) s (p1 p ) 2 4p t (p1 p1' ) q2 Ta đổi biến: b x1 x2 y x1 x2 k Khi đó: k (C.12) k P14 4 d x1 d x2e (2 ) y i ( p1 d e iqb p1 ' p2 ') d be i ( p1 p1 ') x1 i (p p2 ') x2 ( p1 p2 p2 p1 ' p2 ') y d 4b e iqb (C.13) Nhƣ biên độ tán xạ (C.10) trở thành: F( p1 , p2 , p1' , p2' ) i3 d exp p1 p1 p2 p2 4m p1 p1 p2 p2 4m 2 i d d 4be iqb D b (C.14) d 2D b u1 u2 Tiến hành tính toán đổi biến tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp hạt trao đổi vô hƣớng, ta thu đƣợc biểu thức cho biên độ tán xạ hai hạt vùng lƣợng cao: 2is d 2b e F (s) iq b ei (C.15) Với hàm pha tán xạ: i i i p1 p1 p2 p2 4m 2 q1q2 d m4 d 2D d 2k 8sm 2 e k2 b u1 ik b u2 G (s) i sm 2 d 2k 2 e k2 (C.16) ik b Trong đó: (s) q1q2 2 m4 s 2m2 2m4 (C.17) Lấy tích phân theo k (C.16), ta thu đƣợc: i i G (s) d k e sm2 (2 )2 k Thay vào (C.15), ta có: ik b i G (s) ln b sm (C.18) P15 2is d 2b e F (s) 4i s q2 4i s q2 ei iG (s) m2 s e 2q e 2q iq b d(qb)(qb) iG (s) m2 s iG (s) m2 s 8i s q2 iG (s) m2 s J qb iG (s) 2m s iG (s) m2 s iG (s) m2 s 2 e q2 i (s) 2 G (s) tm iG (s) m2 s e t iG (s) 2m s iG (s) m2 s 1 i (s) i (s) (C.19) Với: G (s) m2s (s) Nhƣ tiết diện tán xạ: G 2 (s) t m4 s F d  dt 16 s 2 e t 2i (s) i (s) i (s) (C.20) Ở vùng tiệm cận lƣợng cao, ta có: (s) s 2m2 2m4 s (C.21)