Luận văn biên độ tán xạ thế của các hạt dirac năng lượng cao (tt)

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Biểu diễn eikonal (Glauber) cho biên độ tán xạ nhận học lượng tử [5, 1959] sử dụng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm tán xạ hạt với lượng cao xung lượng truyền nhỏ Việc mở rộng cách tiếp cận (gần eikonal) để thu biểu diễn tương tự cho học lượng tử tương đối tính hay lý thuyết trường lượng tử [6-16, 20-25] thiết thời Các hiệu ứng spin tỷ số biên độ quay spin biên độ không quay spin hay giao thoa hai Coulomb – hadron vùng lượng cao có vai trị quan trọng phân tích số liệu thực nghiêm máy gia tốc RHIC hay LHC [26-29], đòi hỏi phải khái quát hóa phép gần eikonal cho toán tán xạ với hạt tán xạ với spin Lưu ý biểu diễn eikonal biên độ tán xạ hạt Dirac chuyển động tương đối tính trường Coulomb tính [17] [18] Tuy nhiên phương pháp kể áp dụng cách tổng quát, chẳng hạn trường vô hướng trường giả vô hướng, cụ thể nghiên cứu tương tác hardon vùng lượng cao Phương pháp trình bầy luận văn này[10] tổng quát áp dụng cho ngồi tuỳ ý Lý xem xét hình thức luận hai thành phần gần phi tương đối tính hai thành phần cho hai trường hợp phương trình Klein-Gordon phương trình Dirac trường ngồi Mục đích nghiên cứu Luận văn Thạc sĩ dành cho việc nghiên cứu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt có spin ½ nhẵn dựa sở phương trình tương đối tính cho hạt trường ngồi, cụ thể phương rình Klein-Gordon phương trình Dirac trường ngồi hình thức luận hai thành phần Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu bao gồm bước sau đây: i/ thực gần tương phi tương đối tính cho phương trình tương đối tính Klein- Gordon Dirac cho tốn tán xạ hạt nhanh trường ngồi Việc tách phần không phụ thuộc vào thời gian khỏi phương trình tương đối tích, giúp ta tách đại lượng lượng E dạng tường minh Khi lượng hạt lớn việc so sánh đại lượng khác toán dễ dàng gần phi tương đối tính hình thức luận hai thành phần ; ii/ Với giả thiết trường hàm nhẵn rút biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt nhanh với góc tán xạ nhỏ Ta xét tốn tán xạ trường ngồi mà bao gồm hai số hạng: trường trường tương tác spin – quỹ đạo dựa vào phương trình Klein – Gordon, iii/ Tiếp theo ta xet toán tương tự dựa vào phương trình Dirac cho hạt có spin Biểu diễn Glauber tìm cho biên độ tán xạ nhẵn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Sử dụng phép gần eikonal để nghiên cứu trình tán xạ cho hạt có spin hay tán xạ hai hạt có spin vùng lượng cao hay tán xạ hai giao thoa Coulomb – hadron Phạm vi nghiên cứu bao gồm trình tán xạ cho hạt có spin học lượng tử, học lượng tử tương đối tính lý thuyết trường lượng tử 3 Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn Các kết nghiên cứu cho hạt có spin đòi hỏi để hiểu rõ chất tương tác hạt có spin cần thiết phân tích số liệu thực nghiệm thu máy gia tốc RHIC hay LHC Bố cục Luận văn Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục Chương Phương trình cho hạt trường ngồi gần phi tương đối tính Chương dành cho việc thực gần phi tương đối tính cho phương trình tương đối tính Klein-Gordon Dirac cho tốn tán xạ hạt nhanh trường Việc tách phần không phụ thuộc vào thời gian khỏi phương trình tương đối tính, giúp ta tách đại lượng lượng E dạng tường minh Khi lượng hạt lớn việc so sánh đại lượng khác toán dễ dàng gần phi tương đối tính hình thức luận hai thành phần Trong mục 1.1, ta thực việc gần phi tương đối tính cho phương trình Klein-Gordon Một cách hoàn toàn tương tự ta thực việc gần phi tương đối tính cho phương trình Dirac mục 1.2 Chương Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ nhẵn Với giả thiết trường hàm nhẵn rút biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt nhanh với góc tán xạ nhỏ Trong mục 2.1 ta xét tốn tán xạ trường ngồi mà bao gồm hai số hạng: trường ngồi trường tương tác spin – quỹ đạo dựa vào phương trình Klein-Gordon Mục 2.2 dành cho việc xem xét toán tương tự Khác với toán tán xạ hạt khơng có spin, biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt có spin ½ , có xuất thêm thành phần mơ tả phép quay spin trình tán xạ Chương Tán xạ cụ thể Yukawa Gauss Chương dành cho việc nghiên cứu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ, thu chương 2, trường thế Yukawa Gauss tính tiết diện tán xạ vi phân cho ngồi tương ứng Việc tính hai giúp ta xem xét toán giao thoa hai Coulomb – hadron cần cho phân tích số liệu thực nghiệm RHIC Trong mục 3.1, ta xét trường Yukawa, trường Gauss nghiên cứu mục 3.2 Phần kết luận hệ thống lại kết thu luận văn thảo luận dự kiến nghiên cứu Trong luận văn này, sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1 metric giả Euclide - metric Feynman Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH CHO HẠT Ở TRƯỜNG NGOÀI TRONG GẦN ĐÚNG PHI TƯƠNG ĐỐI TÍNH Các phương trình tương đối tính Klein-Gordon Dirac chuyển đến dạng gần phi tương đối tính cho tốn tán xạ hạt nhanh trường ngồi, Sau tách phần khơng phụ thuộc vào thời gian khỏi phương trình tương đối tính, thực chất ta tách đại lượng lượng E dạng tường minh E đại lượng quan trọng toán Khi lượng hạt lớn việc so sánh đại lượng khác toán dễ dàng gần phi tương đối tính hình thức luận hai thành phần Trong mục 1.1, ta thực việc gần phi tương đối tính cho phương trình Klein-Gordon Một cách hoàn toàn tương tự ta thực việc gần phi tương đối tính cho phương trình Dirac mục 1.2 1.1 Phương trình Klein – Gordon hạt trường ngồi gần phi tương đối tính Xuất phát từ phương trình Klein-Gordon cho hạt tự mà có dạng:  m2    r , t   ,   t2  2  m2    r , t   (1.1) Khi có mặt trường ngồi không phụ thuộc vào thời gian U  r  , tương tự phương trình cho Klein Gordon có dang :    U  r      m    r , t    t  (1.2) Để tìm phương trình dừng tương ứng ta tìm nghiệm phương trình (1.2) dạng:   r , t   eiEt  r  (1.3) Thay (1.3) vào (1.2), ta thu phương trình Klein-Gordon dừng trường ngoài:  p  2iEU  U  2   r   (1.4) Trong giới hạn phi tương đối tính phương trình (1.4), ta giả thiết p U m, m, E  m phương trình (1.4) trở thành: p  2imU  2   r   (1.5) Như vậy, tương tự phương trình Pauli hàm sóng spinor hai thành   r    hạt tuân theo phương trình dạng Klein-Gordon  r     phần   r    dừng trường ngoài, song có dạng tương tự với phương trình Schrodinger dừng sau: p  2   r   V  r   r  (1.6) Tán xạ đàn hồi nucleon hạt nhân [6] mơ tả trường ngồi V  r  mà bao gồm hai số hạng: trường trường tương tác spin – quỹ đạo V  r   V0 (r )  V1 (r )( L); L  -i[r  ] (1.7) Phần ảo (1.7) mô tả hấp thụ nucleon hạt nhân, song ta bỏ qua luận văn 1.2 Phương trình Dirac hạt trường gần phi tương đối tính Tương tự với cách tiếp cận trình bầy mục trước, ta xét tốn tán xạ hạt Dirac có spin ½ trường ngồi gần phi tương đối tính Xuất phát từ phương trình Dirac cho tán xạ hạt nhanh trường ngồi vơ hướng nhẵn V  r  có dạng:  p    m  V  r    r , t   i   r ,t  (1.8)  i     m  V  r    r ,t   i   r ,t  (1.9) t hay: t Sử dụng tách biến phần phụ thuộc thời gian hàm sóng phương trình Dirac, ta đặt:   r , t   eiEt  r  (1.10) Thay (2.10) vào (2.9), ta hàm sóng   r  thỏa mãn phương trình:  E  i    m  V  r   r   (1.11) Phương trình Dirac dừng (1.11) trường ngồi V  r  sử dụng để nghiên cứu toán khác cho nguyên tử hay toán tán xạ 7 Chương BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI NHẴN Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt lượng cao góc tán xạ nhỏ thu học lượng tử, sau thu lý thuyết trường dựa phương trình chuẩn [10] Giả thiết tính nhẵn giả định xứ tương tác, mặt cho phép ta cho đặc trưng tán xạ lượng cao hadron, mặt khác dẫn đến tranh định tính đơn giản tương tác hạt lượng tiệm cận cao 2.1 Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trường dựa vào phương trình Klein-Gordon Đối với nhẵn, điều kiện chuẩn cổ điển thõa mãn [20-25]: V Vp 1; V p2 (2.1) Ta tìm nghiệm (1.8) dạng:   r   eipz  r  (2.2) Trong  (r ) spinor hai thành phần thỏa mãn điều kiện biên:  (r ) z  0 Chọn p hướng theo trục z, r  (b,z) , đồng thời ý với điều kiện (2.1),  (r ) hàm biến đổi chậm Điều kiện biến đổi chậm  (r ) có nghĩa số hạng chứa đạo hàm cấp  (r ) xấp xỉ Như vậy,  (r ) xấp xỉ thỏa mãn: 2i p   V0 (r )  V1 p[  r ]z  (r ) z (2.4)  z  V0 (b,z')  V1 p[  r ]z dz '    2ip     0 exp  Để ý r  (b , z ) ; n = (2.5) b = (cos, sin) ,  góc cực; (2.5) có b thể viết lại:  z  [n   ]z b z V (b,z') dz '  i V1 (b,z')dz'     2ip   (2.6) z V0 (b,z')dz' 2ip  (2.7) b z V1 (b,z')dz'  (2.8)   0 exp  Đặt:  (b,z)  1 (b,z)  Ta viết gọn (2.6) sau:   0 exp0 (b,z)  i[n   ]z 1 (b,z) (2.9) Như nghiệm phương trình (1.8) có dạng:  (r )  0 exp (b,z)  i[n   ]z 1 (b,z) eipz (2.10) Biên độ tán xạ lúc này: dr.e ip ' r0* (p')  V0 (r)  V1 p[  r ]z  (r )   4 p  d 2b.e ib0* (p') e 0 i[n  ]z 1  10 ( p)  2i f (p, )   (2.11) đó,   p ' p; 0  0 (b, ), 1  1 (b, ) Chú ý rằng: [n   ]z   ycos -  x sin  Dùng biểu diễn tích phân hàm Bessel: J ( x)  2 2  d e  ix cos  i ; J1 ( x )   2 2  d e  ix cos  cos Ta thu biểu thức biên độ tán xạ sau: (2.12) f  0* (p')[A   y B]0 ( p) (2.13)    A  ip  bdbJ (b ) e 0 cos1  (2.14)  B  ip  bdbJ1 (b )e 0 sin1 (2.15) Hàm sóng spin hạt trị riêng theo Helicity    p / p ,  '   p '/ p ' 1 0 tương ứng là: 0 ( p)        1/ 1/ 0 1  cos /   sin  /    cos /   '  1/ 1/  góc tán xạ   sin  /    0 ( p ')   cos /   2 / p  ; sin  /   / p  p   Như giá trị A B xác định theo công thức (2.14) (2.15) So với tán xạ khơng có spin, biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ (2.13) có chứa thêm thành phần B mơ tả việc quay spin q trình tán xạ 2.2 Biễu diễn Glauber cho biên độ tán xạ trường ngồi dựa vào phương trình Dirac Phương trình Dirac dừng trường ngồi V  r  gần phi tương đối tính (1.11) có dạng:  E  i    m  V  r   r   (2.16) Tương tự, nghiệm phương trình (2.16) tìm dạng:  (r )  eipz F (  ) (r )  eipz F ( ) (r ) (2.17) với: E  m2  p  pz  p Thay (2.17) vào (1.16), ý với p lớn số hạng khơng chứa thừa số p có đóng góp khơng đáng kể, ta có: 10  z F (  ) (r )   F (  ) (r ) (2.18) Từ (2.18) ta suy rằng, biểu diễn Dirac (biểu diễn tiêu chuẩn) F (  ) (r ) có dạng sau: F (  ) (r )  đó:   ()   (r )   z  (2.19) thừa số chuẩn hóa,  (  ) (r ) spinor thành phần Ta thấy hàm sóng mơ tả trình tán xạ hạt Dirac nhanh (2.17) bao gồm hai số hạng mơ tả sóng tới sóng phản xạ theo trục z Ta có điều kiện biên sau:  (  ) (r ) r   0 ;  (  ) ( r ) r  0 (2.20) Hay ta có hệ hai phương trình:   (  ) 2ipz  W      z   (  ) (r ) i z  e  () i   e2ipz  W+       (  ) (r )  z  z (2.21) (2.22) đó: W = m + V(r) Tích phân hai phương trình (2.21) (2.22) cộng với điều kiện biên (2.9), ta được: z  (z,b)  0  i  dz ' e2ipz '  W       z   ( ) (z',b) () (2.23)  z'  (z',b)  i  dz '' e2ipz ''  W+      z   (  ) (z'',b) () (2.24)      ,  với p lớn, p  , từ phương trình (2.24),  x y   với r = (z, b);     ta có:  (  ) (z',b)    2ipz ' e  W       z   (  ) (z',b)  O   2p p  (2.25) 11 Thay (2.25) vào lại (2.23), ta được: dW  (  )   (z,b)  0  dz '  W   2    n  z  (z',b)  2ip   db  z () (2.26) m2  2 Bỏ qua số hạng chứa , thay W = m + V(r) ta thu biểu thức 2p sau:  z dV     (z,b)  0 exp  dz ' V  mV  i   n      z db    2ip   () (2.27) Hàm sóng spinor (2.27) có dạng giống với hàm sóng spinor (2.9) Biểu thức biên độ tán xạ tìm cách tích phân phương trình (1.11) ( p2  2  W  m2  iW ) (r )  (2.27) Vậy: f ( p,  )   dr e ipr  (0)* p ' ( r )(V  2mV  iV )ψ(r)  4 (2.28) Spinor: ip ' r  (0)* p ' (r )  e   z   '0  (2.29) Mô tả tán xạ hạt có xung lượng lớn dọc theo trục z Từ (2.17) điều kiện (2.20) có biểu thức biên độ tán xạ cho hạt Dirac có dạng (2.13) với  0 (  )  dz V (  , z )  2mV (  , z )   2ip  (2.30)  dV (  , z ) 1 (  )   dz  p  d (2.31) Ta nhận thấy phần spin-flip biên độ tán xạ hạt Dirac chuyển động tương đối tính vô hướng hiệu ứng tương đối tính 12 Điều thú vị (2.30) hàm pha eikonal, tìm thấy bậc bậc hai giới hạn tương đối tính, V m , số hạng bậc hai bỏ qua, cơng thức (2.30) có dạng:  p i  (  )    dzV (  , z ) với v  z m v  (2.32) 0 (  ) trùng với kết thu dựa phương trình Schrodinger V(r) học lượng tử Ngược lại, trường hợp siêu tương đối tính V m , ta phải đưa thành phần bậc hai (2.30) để tính tốn Phương pháp sử dụng gần biểu diễn Eikonal tán xạ hạt Dirac tương đối tính ngồi Chẳng hạn trường hợp giả vơ hướng, ta có phương trình ( E  i   m   5.V (r )) (r )  (2.33) Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt Dirac lượng cao góc nhỏ: f ( p, )  0* ( p ')[a  i xb]0 ( p) (2.34) đó: a b giống với cơng thức (2.13, A B xác định công thức (2.13) (2.16) , với pha eikonal  0 (  )   dzV (  , z )  2ip  (2.35)  dV (  , z ) 1 (  )  dz  p  d (2.36) Kết thu (2.34) - (2.36) sử dụng mơ tả tán xạ hạt tương đối tính có spin hạt nhân nặng sử dụng để phân tích cách tượng luận tán xạ pion - nuclei lượng cao 13 f  0* ( p ')[A  y B]0 ( p) (2.37) với A B xác định công thức (2.14) (2.15), song trường hợp này, ta có: 0   dz V  2mV   pi  (2.38)  dV dz p  d  (2.39) 1   Lưu ý biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt Dirac chuyển động tương đối tính trường Coulomb nghiên cứu [17] [18] Tuy nhiên phương pháp áp dụng cách tổng quát được, chẳng hạn trường vô hướng giả vô hướng, cụ thể nghiên cứu tương tác hardon lượng cao Phương pháp trình bày luận văn tổng quát áp dụng cho tương tác tuỳ ý Chương TÁN XẠ TRÊN CÁC THẾ CỤ THỂ: THẾ YUKAWA VÀ THẾ GAUSS Sử dụng biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ thu chương 2, trường thu chương 2, chúng tơi tính tiết diện tán xạ vi phân cho cụ thể : Yukawa Gauss [9] Trong mục 3.1 ta xét trường Yukawa, trường Gauss nghiên cứu mục 3.2 3.1 Tán xạ Yukawa Thế Yukawa có dạng: 14 g  r g  Rr U(r )  e  e r r (3.1) g số có thứ nguyên lượng, R kích thước hiệu dụng vùng mà có giá trị khác khơng ,   , ta có thay (3.1) R vào (2.14) (2.15) , kết ta có:  g   g   A( )  ip  bdbJ (b) exp  K ( b)  cos   K1  b    1 ,  4m    ip     g   g  B( )  ip  bdbJ1 (b)exp  K ( b)  sin   K1  b   ,   ip   4m  3.2   3.3 Trong giới hạn tiệm cận, tiến hành khai triển Taylor đến bậc ta có: g  g exp  K ( b)    K ( b) ip  ip  (3.4) g  g  sin   K1  b     K1  b  4m  4m  (3.5) Khi đó:  g  g  g   A( )  ip  bdbJ (b) exp  K ( b) .cos   K1  b    1  2  4m      ip    (3.6)  g   g   igp B( )  ip  bdbJ1 (b)exp  K ( b)  sin   K1  b    (3.7) 2 ip m m        Từ tiết diện tán xạ bằng: d d  A    B    C   p 22        2   16m  g2  p sin ( / 2)  1   2 16m4     p sin ( / 2)   g 2 Lấy mặt khối lượng p2 = m2 ta thu được: (3.8) 15 d d C     sin ( / 2)       p2 sin ( / 2)   g2 (3.9) Đưa vào số không thứ nguyên: q  p   p   q (tham khảo Quantum Mechanics 2, Landau Elastic scattering and the path integral, Efimov) d g2     sin ( / 2)   2 d   1  4q sin ( / 2)    (3.10) 3.2 Tán xạ Gauss Thế Gauss có dạng:  r  U  r   e r   exp     2R  (3.11) Trong λ số có thứ nguyên lượng, R kích thước hiệu dụng vùng mà có giá trị khác khơng,   ta có: 2R , Khi đó:   ge b A( )  ip  bdbJ (b) exp   2ip           bge b  cos  4m         1    (3.12) 2  ip  bdbJ (b) exp e b cos Nbe b  1    ge b B( )  ip  bdbJ1 (b)exp   2ip            bge b  sin  4m    ip  bdbJ1 (b)exp Me b sin Nbe b 2     (3.13) Ở vùng tiệm cận, ta tiến hành khai triển đến bậc cho mũ lũy thừa ta có: 16 A    2   g2  exp    16  2  2  gp      g p     B     exp   exp      3/2  4   256m   2  16m  2 2 (3.14) Tiết diện tán xạ vi phân bằng: d d C      g2 p 22  exp      16  2  16m   p sin ( / 2)  p sin ( / 2)   g2  exp   1   16 2 16m4    (3.15) Lấy mặt khối lượng p2 = m2 ta thu được: d d C   p sin ( / 2)    g2  exp   sin (  / 2)    16     (3.16) Áp dụng biểu thức cho biên độ tán xạ cho cụ thể Yukawa Gauss tìm tiết diện tán xạ vi phân ngồi Tính số vẽ đồ thị thích hợp cho việc phân tích số liệu thực nghiệm RHIC LHC hiệu ứng spin tỷ số biên độ không quay spin biên độ quay spin hay giao thoa Culomb –hadron [25-29] 17 KẾT LUẬN Trong luận văn, xem xét tán xạ hạt nhanh có spin ½ ngồi nhẵn hình thức luận hai thành phần Với giả thiết hàm nhẵn vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ, thu kết sau: Chúng ta tìm biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt với spin ½ nhẵn hạt tới có lượng cao góc tán xạ nhỏ So với trường hợp tán xạ hạt vô hướng, biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt có spin ½ ngồi xuất thêm số hạng mơ tả việc quay spin hạt trình tán xạ Áp dụng biểu thức cho biên độ tán xạ cho cụ thể Yukawa Gauss tìm tiết diện tán xạ vi phân ngồi Tính số vẽ đồ thị thích hợp cho việc phân tích số liệu thực nghiệm RHIC LHC hiệu ứng spin tỷ số biên độ không quay spin biên độ quay spin hay giao thoa Culomb – hadron So với phương pháp khác nghiên cứu toán tán xạ hạt spin ½ phương pháp giả thiết luận văn tổng quát hơn, chẳng hạn trường vô hướng giả vô hướng, cụ thể nghiên cứu tương tác hardon lượng cao Những kết thu Luận văn mở rộng để nghiên cứu nhiều toán tán xạ hạt chứa spin khác nhau, mà dự định nghiên cứu thời gian tới 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh Alliluyev S.P., Gerrshtein S.S and Logunov A.A (1965), Phys Lett 18, 195 Davydov A S (1963) Quantum Mechanics, Fizmatgiz Glauber R.J (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, 315p Garsevanishvili V.R., Matveev V.A Slepchenko L.A and Tavkhelidze A.N (1969) Phys Lett 29B, p 191 Garsevanishvili V.R., Goloskokov S.V., Matveev V.A Slepchenko L.A and Tavkhelidze A.N, (1971), Allowance for Corrections to the Eikonal Approximation in the Quasipotential Approach, Journal of Theor And Math Phys.V.6, N1, pp 36-41 Logunov A A and Tavkhelidze A.N (1963), “Quasipotential approach in quantum field theory”, Nuovo Cimento 29 (2) pp 380-399 Efimov G.V (2014) Elastic Scattering and the Path Intergral, 179 (3); 695-711 10 Kuleshov S.P Matveev, and A.N Sisakyan (1970) Glauber type representation for the scattering amplitude of high-energy Dirac particles on smooth potentials, v2 N3 pp 73-78 19 11 Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V (1975), ”High Energy Scattering of the Composite Particle in the Functional Approach”, Journal of Theor And Math.Phys, vol.24 (2) pp.768-775 12 Nguyen Suan Han, Pervushin V.N (1976), “High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in Quantum Field Theory”, Journal of Theor And Math.Phys, vol.29(2), pp.1003-1011 13 Nguyen Suan Han, Eap Ponna (1997), “Straight-Line Path Aprroximation for the Studying Planckian- Energy Scattering in Quantum Gravity”, ICTP, IC/IR/96/36, Trieste, pp.1-15; IL Nuovo Cimento A, Vol 110A(5), pp 459-473 14 Nguyen Suan Han (2000), “Straight-Line Paths Approximation for the High-Energy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity”, Eur, Phys, Journal C, vol.16(3), pp 547-553 15 Nguyen Suan Han, Nguyen Nhu Xuan, Le Hai Yen (2012) High Energy Scattering in the Quasipotential Approach, Int Journal of Mod Phys A, vol 27, N1, 1250004 (19 pages) 16 Nguyen Suan Han, Le Anh Dung, Nguyen Nhu Xuan, Vu Toan Thang,High Energy Scattering of Dirac Particles on Smooth Potentials (2016), arXiv: 1603.09336 v2 [hep-th] Jun 2016; To be published in the Int J of Mod Phys A 17 Schiff L.I (1956), 443Approximation Method for High-Energy Potential Scattering Phys Rev (1956) 103, p.443-450 18 Saxon D.S and Schiff L.I (1957), “Theory of high-energy potential scattering”, Nuovo Cimento, pp.614 – 627 20 19 Savrin V.I , Tuyrin N.E Khrustalev O.A (1970) Amplitude characteristic of forward scattering at high energies, Journal of Theor And Math.Phys, 3,pp 338-342 20 Tuyrin N.E Khrustalev O.A (1974) Amplitude characteristic of forward scattering at high energies , Journal of Theor And Math.Phys, 20,pp 3-17 21 Savrin V I., Khruststalev, (1968), Soviet J Nuc Phys 8, p 1016 22 Savrin V I.Tyurin N.E., Khrustalev O.A Scattering of fast particles by Coulomb and short-range potentials, Journal of Theor And Math.Phys, 5:1 (1970), 47–56 23 Savrin V I.Tyurin N.E., Khrustalev O.A (1970), Amplitude characteristic of forward scattering at high energies Journal of Theor And Math.Phys, 2:3 pp 338–342 24 Pervushin V.N (1970), “Method of Functional Integration and Eikonal Approximation for Potential Scatterring Amplitudes”, Journal of Theor and Math Phys 4, pp 2-32 25 Predazzi E and Selyugin O V (2002) Behavior of the Hadron Potential at Large Distances and Properties of the Hadron Spin-Flip Amplitude , The European Physical Journal A 13, pp.471-475 26 Trueman T.L (1996), CNI Polarimetry and the Hadron Spin Dependence of pp Scattering / hep-th/9610429 27 Kopeliovich B.Z (1998) High Energy Polarimetry at RHIC , hep – th/9801414 21 28 Selyugin O V (2002) Properties of the Spin- Flip Amplitude of Hadron Elastic Scattering and Possible Polarization Effects at RHIC, hep-ph/0210418 v1 22 23 24