Biểu diễn glauber đối với biên độ tán xạ của các hạt dirac năng lượng cao trong thế nhẵn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phan Thị Giang BIỂU DIỄN GLAUBER ĐỐI VỚI BIÊN ĐỘ TÁN XẠ CỦA CÁC HẠT DIRAC NĂNG LƯỢNG CAO TRONG THẾ NHẴN Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội - 2013 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: BÀI TỐN TÁN XẠ TRÊN THẾ NGỒI 1.1 Biên độ tán xạ hạt 1.2 Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ 1.3 Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt có spin 15 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÁN XẠ VÀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐỐI TÍNH 2.1 Phương trình Dirac 18 2.2 Thế tĩnh 19 CHƯƠNG 3: TÁN XẠ HẠT DIRAC LÊN THẾ NGOÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM 3.1 Biểu diễn biên độ tán xạ dạng tích phân phiếm hàm 21 3.2 Biên độ tán xạ hạt Dirac trường khác 24 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 PHỤ LỤC A 34 PHỤ LỤC B 36 MỞ ĐẦU Biểu diễn eikonal (Glauber) cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm học lượng tử phi tương đối tính trước đây, sử dụng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm tán xạ hạt với lượng lớn /9/ Chính vậy, vùng tương đối tính lượng cao việc tổng quát hoá gần eikonal sở lý thuyết chặt chẽ toán lý thú lý thuyết trường lượng tử /310/ Phép gần eikonal thực tế lý thuyết trường tương ứng với việc tuyến tính hố hàm truyền hạt tán xạ, theo xung lượng hạt trao đổi nhỏ Phép gần sử dụng để nghiên cứu trình tán xạ hạt lượng cao gọi phép gần quỹ đạo thẳng /6, 8, 15-18/ Bức tranh vật lý sau: Các hạt lượng cao bị tán xạ cách trao đổi liên tiếp độc lập lượng tử ảo, đồng thời khơng có liên hệ tương thích q trình trao đổi lượng tử ảo riêng biệt với Tại vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ phương pháp nêu trên, cho ta biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ ( hay gọi biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ) Tán xạ lượng cao nhiều tác giả nghiên cứu gần eikonal, song nghiên cứu chủ yếu dành cho hạt vô hướng với trường Thật lý thú mở rộng phép gần cho toán tán xạ hạt có spin Mục đích Luận văn Thạc sĩ khoa học nghiên cứu toán tán xạ hạt Dirac Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục tài liệu dẫn Chương 1, Bài toán tán xạ ngồi Việc tìm biên độ tán xạ ngồi tiến hành theo hai cách: i/ tìm biểu thức xác hàm sóng sau tán xạ; ii/ tìm hàm Green hạt ngồi Trong chương 2, vận dụng cách tìm thứ nhất, chương ta vận dụng cách thứ hai tìm biên độ tán xạ Trong $ 1.1 chương 1, dựa vào phương trình Schrodinger tơi giới thiệu vắn tắt cách thu nhận biên độ tán xạ hạt ngồi Ở vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ ta thu nhận biểu diễn Glauber (hay người ta gọi biểu diễn eikonal ) cho biên độ tán xạ Việc tổng quát hóa kết cho hạt với spin tán xạ lên ngồi trình bầy mục $ 1.2 Ở biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ có T-tích ngồi thời điểm khác trùng với tích thơng thường ngồi, giao hoán tử chúng thời điểm khác khơng Chương 2, Bài tốn tán xạ cho hạt Dirac trường Cách thu nhận biên độ tán xạ hạt phương pháp tương tự chương qua việc tìm hàm sóng Xuất phát từ phương trình tương đối tính cho hạt Dirac trường biên độ tán xạ hạt nhận công thức tương tự (1.1.15) Trong mục $ 2.1 tìm biên độ tán xạ tổng quát cho hạt ngồi sử dụng phương trình Dirac cải biến-phương trình Dirac dạng tồn phương, thay cho phương trình Dirac dạng tuyến tính thơng thường Việc cải biến cho ta đưa vào phương trình tham số  , song mặt khối lượng hai loại phương trình Dirac cho biểu thức biên độ tán xạ, điều có nghĩa mặt khối lượng biên độ tán xạ không phụ thuộc vào tham số  Ở mục $ 2.2 trường ngồi khơng phụ thuộc vào thời gian, vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ ta thu biểu diễn eikonal cho hạt Dirac tán xạ ngoài, ta bàn luận trường hợp T-tích ngồi thời điểm khác trùng với T- tích thơng thường tốn tử ngồi Chương 3, Bài tốn tán xạ phương pháp tích phân phiếm hàm Khác với hai chương 1&2 xuất phát từ phương trình cho hạt trường ngồi, việc tìm biên độ tán xạ cách tìm hàm sóng sau tán xạ, ta tìm biên độ tán xạ qua việc tìm hàm Green hạt ngồi Bước đầu thu biểu thức tổng quát cho hàm Green hạt ngồi dạng tích phân phiếm hàm Bằng việc tách cực điểm liên quan đến đường hàm Green hạt ngồi, tìm biểu thức giải tích tổng quát cho biên độ tán xạ hạt lên ngồi dạng tích phân phiếm hàm Việc tính tích phân phiếm hàm ta sử dụng phép gần eikonal hay phép gần quỹ đạo thẳng Trong mục $ 3.1 ta giới thiệu cách thu nhận biên độ tán xạ hạt trường dạng tích phân phiếm hàm Trong mục $3.2, với trường cụ thể khác nhau, vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ ta thu biểu diễn tán xạ Glauber hạt Dirac ngồi Khác với q trình tán xạ hạt khơng có cấu trúc nội tại- khơng có spin lên ngồi, biên độ tán xạ hạt có spin xuất thêm số hạng bổ xung biên độ tán xạ Số hạng bổ xung diễn tả việc quay spin hạt trình tán xạ CHƯƠNG BÀI TOÁN TÁN XẠ TRÊN THẾ NGỒI Trong chương tơi nghiên cứu tốn tán xạ thế, việc tìm biên độ tán xạ qua việc tìm hàm sóng sau tán xạ dựa vào phương trình Schrodinger trường ngồi cho hạt khơng có spin mục $ 1.1 Mục $ 1.2 dành cho việc thiết lập biểu thức cho biên độ tán xạ hạt Nếu V - độ lớn , E lượng hạt,  -là góc tán xạ, a  chiều dài tán xạ; k  eikonal hợp lệ với điều kiện sau 2m E phép gần 2 1 V  ka   V E V E E   thỏa mãn, ta thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta gọi biểu diễn Glaubert, người thu công thức học lượng tử /22/ Kết thu mục $ 1.2 tổng qt hóa cho tốn tán xạ hạt có spin mục $1.3 Ở vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ, ta thu biểu diễn Glauber cho hạt có spin tán xạ trường ngồi, điều kiện giao hốn tử thời điểm khác giao hốn với Bài toán tán xạ học lượng tử nghiên cứu sở phương trình Schrodinger : r ù r r é h2 êúy (r ) = E y (r ) Ñ + U ( r ) ê 2m ú ë û Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào gốc tọa độ 0, chọn hướng dòng hạt tới dọc theo trục 0z Ta thấy xa tâm tán xạ hạt tới chuyển r động tự nên chuyển động mơ tả sóng phẳng : Ytoi (r ) = e ikz Ở gần tâm tán xạ hạt bị tán xạ Hàm U(r) mô tả tương tác hạt với tâm lực giả thiết hàm khác không miền không gian hữu hạn r < a mà ta gọi miền tác dụng lực Khi hàm sóng bị thay đổi Sau hạt bị tán xạ xa tâm lại chuyển động tự Chuyển động hạt bị tán xạ phải mô tả sóng phân kỳ Hàm sóng tồn phần mơ tả chuyển động hạt tới hạt tán xạ khoảng cách lớn (r>a) tâm tán xạ tổng sóng tới sóng tán xạ :   ikr   tán xa  r    toi  r   f ( , ) e r (1.1.1) Biên độ sóng phân kỳ f ( ,  ) gọi biên độ tán xạ $ 1.1 Biên độ tán xạ hạt ngồi Q trình tán xạ học lượng tử mơ tả phương trình Schrodinger: é h2 r ù r r êÑ + V (r )úψ(r ) = Eψ(r ) (1.1.2) ê 2m ú ë û r r 2mE 2mV (r ) sử dụng ký hiệu k = U (r ) = phương trình (1.1.2) có dạng : h h2    2  k  (r )  U (r ) (r ) (1.1.3) Nghiệm phương trình vi phân (1.1.3) viết dạng phương trình tích phân:       (r )  (r )   d r ' G0 (r, r ')U (r ')(r ') (1.1.4)  hàm ( r ) thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do: r éÑ + k ùf (r ) = ú ëê û (1.1.5) Nghiệm phương trình (1.1.5) có dạng sóng phẳng hướng theo trục 0z chọn : r r f (r ) = e i k z (1.1.6)   Hàm Green G0 (r, r ') nghiệm phương trình:     2  k  G0 (r, r ')  (3) (r  r ') 1     G0  r , r '      k   (r  r ') =    is r  r /   2   e  k  s2 d s (1.1.7) Chuyển sang tọa độ cầu  s, ,   : d s = s ds sin θdθdφ    is r  r /   2      i s r  r / cos e s2 d s  ds d  sin  e  k  s2 0 k  s 0 0 Ta có :  e   is r  r / cos    is r  r / cos e sin  d     / is r  r       eis r  r /  e-is r  r /     is r  r /     is r  r /         is r  r ' -is r  r '  e 2  se se   2 d s      2 ds   2 ds  k s i r  r ' 0 k  s k s  2 =   i r r '   is r  r '  se  k  s ds (1.1.8) Áp dụng lý thuyết thặng dư hàm phức :    is r  r ' se  k  s ds    is r  r '    se ik r  r ' ds    ie k  s2 (1.1.9) Thay kết (1.1.9) vào (1.1.7) ta thu biểu thức tường minh hàm Green: r r ik r - r ' r r e G (r , r ') = r r 4p r - r ' (1.1.10) Thay (1.1.10) (1.1.6) vào (1.1.4) ta thu nghiệm phương trình (1.1.3): ur y (r ) = e ikz 4p r r ik r - r ' r r e ò d r ' r r U (r ')y (r ') r- r' (1.1.11) Như phân tích trên, biên độ tán xạ thu miền tiệm cận hàm sóng Trong phần lớn toán mà xem xét, U(r) xác định thể tích hữu hạn khơng gian máy dò (detectors) hiệu ứng tán xạ đặt xa vùng có chứa U(r) Từ đó, kết luận r '  r suy gần sau:    r '   r.r ' r r'  r   O    r  r   (1.1.12) Từ (1.1.12), viết lại biểu thc (1.1.11) dng: y rđ Ơ r (r ) = e ikz 4p òd r 'r e ik ( r - r ur r r ' ) r r r U (r ')y (r ') (1.1.13) suy ra:   r   r  = e ikz + f ( q, j ) e ikr r (1.1.14) với f ( q, j ) = - 4p r r rr - ikr d r ' e U ( r ') y ( r ') ò   r hiểu biên độ tán xạ hạt U(r), k  k r (1.1.15) $1.2 Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ Trong phần này, ta hợp lý phép gần eikonal cho trình bao gồm góc tán xạ nhỏ xung lượng vào lớn Xuất phát từ phương trình Schrodinger (1.1.3)    2  k  (r )  U (r ) (r ) rr  ikr r r Ta đặt: Ψ (r ) = e φ(r ) chọn k dọc theo hướng z Khi ta có:        k  eikr   r   U  r  eikr   r            eikr   r    k eikr   r   U  r  eikr   r       ikr         ike   r      eikr   r    k 2eikr   r   U  r  eikr   r       2ik   r   U  r    r    2  r       2ik   U  r     r    2  r     Sử dụng ký hiệu r  (b, z) chọn k dọc theo hướng z suy ra:  (1.2.1)  r ù r r é ¶ ê2ik - U (b , z )úφ(b , z ) = - Đ 2φ(b , z ) êë ¶ z ú û (1.2.2) (1.2.3) Nghiệm phương trình (1.2.3) viết dạng: r r φ(b , z ) = η(b , z ) - +¥ r r r 2 d b ' ò ò dz ' Ge (b , z, b ', z ')Ñ φ(b ', z ') (1.2.4) - ¥  (b, z) thoả mãn phương trình:      ik  U ( b , z)  (b, z)   z   (1.2.5)      b, z  U b, z  b, z z    b, z   z   U b, z 2ik  b, z  2ik             r r Lấy tích phân hai vế với điều kiện biên η(b ) = η(b , z ® - ¥ ) = ta thu được: z r U ( b ,u ) du r ik ò η(b , z ) = e - ¥ (1.2.6)  ( x )  b (  )2 ( x )  ib (  ) ( x ), M ( x |  )   2 ( )  a( ) b (  ) ( x )        x  x  a ( )   ( )d ; a ( )  p ( )  2q ( ), (3.1.10) 1,   0,   ( )  1/ 2,   0,  0,   0,       exp i   ( )d        ,      exp i   ( )d  (3.1.11) T ký hiệu T-tích ma trận Dirac $3 Biên độ tán xạ hạt Dirac trường khác Như chứng minh cơng trình /6/, tán xạ lượng cao nhẵn đối số (3.1.11) bỏ qua phụ thuộc biến số phiếm hàm    với độ xác tới số hạng triệt tiêu po , qo   Nói cách khác đóng góp vào tích phân phiếm hàm (3.1.9) quỹ đạo hạt hàm số thời gian riêng  định hướng dọc theo xung lượng p ( )  q ( )  qua điểm x   Để đơn giản ta nghiên cứu đối xứng cầu, không phụ thuộc vào thời gian giới hạn góc tán xạ nhỏ, ta bỏ qua phụ thuộc vào việc truyền xung lượng, ngoại trừ luỹ thừa thứ (3.1.9) đồng quay spin hạt tán xạ với thay đổi độ xoắn (3.1.9) Trong giả thiết u p uq nghiệm phương trình Dirac tự tiệm cận có dạng:   p u ( p )   p 1,  m;  | p|   u (q )    p   q m,    | p |  (3.2.1)  p  q - spinor hai thành phần thông thường Chọn ký hiệu x  (t , r ); r  ( z , x ) chọn trục z dọc theo xung lượng p Lưu ý tất gần 25 trên, biểu thức biên độ tán xạ /9/ lúc ta nhận biểu diễn eikonal /6/ F ( p, q )  2 ( p0  qo ) f ( p, q ), f ( p, q )  ipz  p  d x eix ( p  q ) ( x )  1 q , ( x )   ˆ    ˆ i (1,  z )T e   (3.2.3) dz   (  ) pb (r )    (r )  ib (  ) (r )     2p       z  (3.2.2)   (3.2.4) z b (  ) ,   xác định công thức (3.1.5) Thêm vào đó, pb (  ) p0 po   , ngoặc vng biểu thức (3.2.4) bỏ qua số hạng khơng phụ thuộc vào lượng  ˆ    ˆ Lưu ý, trường hợp khác   dz  ( ) pb (r ) pz   (3.2.5) pz 1 , po   tồn vùng lượng số hạng gần bậc Born đắn, tiết diện giảm theo luỹ thừa lượng Khi nhận công thức (3.2.2)-(3.2.5) biểu thức (3.1.9) ta thực ˆ nói chung phụ phép thay pz   z /6/, ta có ngụ ý ma trận   thuộc vào z tham số thứ tự Thế B ( x) tổng loại năng, vô hướng, giả vô hướng, véctơ hay ten xơ Nghiên cứu trường hợp riêng rẽ Sử dụng tuỳ ý giá trị tham số tồn phương  chọn +1 hay -1 từ lập luận đơn giản b (  ) Sự lựa chọn khác làm phức tạp hố -Thế vơ hướng B  V (r ) Từ công thức (3.1.5) ta nhận 26 b(  )  0,  (  ) (r )  V (r )  (2m  i )V (r ) Chuyển sang toạ độ trụ x   n; n  (cos  ,sin  ) Khi ma trận ( x ) (xem (3.2.3) ) : ( x )  1 i (  ) e 1,  z  Yˆ ( x )   ,  z  (3.2.6)  ( )   pz   dz(V (r )  2mV (r )),    dz   ( z )n   ,V (r )   ( z ) zV (r )   Yˆ ( x )  T exp     pz  (3.2.7) Khai triển (3.2.7) theo chuỗi  xếp lại  -matrận theo số thứ tự, ta nhận /12/   ( )m  m  ds j Yˆ     s j V (s j , )  cos m (, s1 , , sm )  i n sin m (, s1 , , sm ) m!  j 1  pz m0  (3.2.8)   m (  , s1 , , sm )  m dz  V ( r )  ( s j  z );  pz   j 1   1, s   1, s   (s)   Cuối ta tìm biểu thức ma trận ( x )  ds j   m ( x )  e   s j V ( s j ,  )  cos 2 m  i   n z sin 2 m    m  (2 m)!  j 1  pz   i (3.2.9) -Thế giả vô hướng B  V (r ) b(  )  0,  (  ) (r )  V (r )  i   V (r ) Tính tốn hàm số ( x ) tương tự trường hợp ta thu dạng (3.2.9), i   n  , cần thay   n , 27  ( )  pz   dzV (r )  Dễ dàng nhận thấy giới hạn po   công thức (3.2.9) trùng với kết cơng trình /9/ - Thế véctơ B  Aˆ b(  )  A Trong trường hợp sau xét thế, thành phần 4chiều thoả mãn điều kiện pA 0( p0 ) Khi pha   cơng thức (3.2.5) Dễ dàng thấy tán xạ lên véctơ  ( x )  ei    ,    dz  pA(r ) pz (3.2.10) tiệm cận biên độ hồn tồn khơng phụ thuộc vào spin ( xem /8/) -Thế trục B   Aˆ Thay b(  )   A (xem (3.1.5)) vào (3.2.5) (3.2.3), thu  ( x )  cos   i sin  ,    dz  pA(r ) pz (3.2.11) trường hợp có dấu pha phụ thuộc vào spin - Thế ten xơ B    F “ xếp lại  ma trận Xem xét trường hợp đơn giản tán xạ với moment từ dị thường trường điện từ F  (  A   A ), b(  )  ˆ A    Aˆ , A  (V , 0, 0, 0) Ta thu biểu thức ˆ -ma trận ( x )   p 1,  z  T exp i  pz    dz  ( z )n   V (r )  (  28 0     pz ) z V ( r )     p0    z  (3.2.12) Lưu ý, khai triển biểu thức cuối theo chuỗi luỹ thừa (   thực tế theo đại lượng (   pz ), p0 pz m2 )   p0 pz 1,  z  (   pz   )    p0   z  Chính số hạng thứ hai dấu hàm mũ (3.2.12) bỏ Khi ta thu kết ˆ đơn giản sau p ˆ ( x )  ch  (  )   n   z sh  ,    )  pz   dz  V (r ) (3.2.13)  Thay (3.2.13) vào (3.2.2) lấy tích phân (3.2.2) theo biến số góc (xem /1,3/) ta thu biên độ f ( p, q)   p  f0 (| p  q |)  (  m) f1 (| p  q |)  q , m f ()  pq , | pq | pz   d  J (  )  ch    )  1, 2 i 0 f1 ()  (3.2.14) (3.2.15) pz   d  J1 ( ) sh    ) 2 0 (3.2.16) Như thấy ten xơ mà cho đóng góp khơng triệt tiêu vào tiết diện với quay spin vùng lượng cao - Trường điện từ A ,   A  , ta xét trường hợp đơn giản với momen từ ~ dị thường trường điện từ ngồi, tenxơ trường có dạng B  σ μν Fμν Fμν   μ A ν   ν Aμ  ; ˆ; b μ   ˆ A μ   μ A Ta thu biểu thức Γ - Ma trận: 29 A   V,0,0,0 ; Γ x            1, σ z Tγ expi p  dz γz n  ρ Vr   γ  γ p z  z Vr    p0   p z      σ z  (3.2.17) Lưu ý rằng, việc mở rộng biểu thức cuối (3.1.6) vào chuỗi lũy thừa   p   γ  γ z  p0    p  m2  γ  γ z    p0  pz  thực quan trọng  1 0 p  σ z  1, σ z  γ  γ p z   Vì số hạng thứ hai đối số số mũ (3.2.17) bỏ qua hồn tồn Sau đó, ta thu kết đơn giản Γ - ma trận:  Γx    chχ ρ   n  σ z shχ ρ  ; χ ρ   p0 dz  ρ Vr  p z  (3.2.18) Sau (3.2.18) vào (3.2.2) thực lấy phép tích phân (3.2.2) qua biến góc ta thu biểu thức biên độ tán xạ: f p, q   Ψ p f  p  q   σ  m f1  p  q Ψ q m (3.2.19) pq pq f  p  q   f   f1  p  q   f1   mơ tả q trình quay spin mô tả qua biểu thức: f ()  pz   d  J (  )  ch    )  1, 2 i 0 pz  f1 Δ   ρdρJ1 ρΔ shχ ρ  2π 0 (3.2.20) (3.2.21) So sánh kết (3.2.19) - (3.2.21) mà ta thu với kết tác giả khác, kết luận văn có quay spin hạt q trình tán xạ Đó kết thành công Các kết thu áp dụng lực hấp dẫn lượng tử tương lai gần 30 KẾT LUẬN Trong Luận văn Thạc sỹ khoa học, nghiên cứu toán tán xạ hạt với trường ngồi, phương pháp tích phân phiếm hàm Bước đầu thu biểu thức tổng quát cho hàm Green hạt trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm Bằng việc tách cực điểm liên quan đến đường ngồi hàm Green, tìm biểu thức giải tích tổng quát cho biên độ tán xạ hạt trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm Việc tính tích phân phiếm hàm ta sử dụng phép gần eikonal hay phép gần quỹ đạo thẳng Kết thu Luận văn bao gồm : Tại vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ ta thu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt vơ hướng lên ngồi Đối với hạt có spin tán xạ lên ngồi điều kiện đủ để biên độ tán xạ có dạng eikonal thơng thường giao hốn tử ngồi thời điểm khác phải khơng Khi hạt có spin ½ tán xạ trường tùy ý, ta chứng minh mặt khối lượng hàm Green phương trình Dirac tuyến tính hàm Green dạng phương trình Dirac tồn phương cho biểu thức biên độ tán xạ 3.Tại vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ ta thu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt Dirac Khác với trường hợp tán xạ hạt vô hướng, biên độ tán xạ hạt Dirac gồm hai số hạng, số hạng thông thường, xuất bổ xung thêm số hạng liên quan đến việc quay spin hạt trình tán xạ Những kết thu mở rộng để nghiên cứu giao thoa Coulomb tốn tán xạ hai hạt hadron tích điện, ví dụ tán xạ pion –nucleon " N " toán tán xạ hạt spin ½ hấp dẫn lượng tử, mà dự kiến thời gian tới 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2011), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH Abarbanel, H D I and Itzykson, C (1969),“Relativistic eikonal approximation”, Phys Rev Letters, (23), pp 53 - 56 Barbashov B.M (1965), “Functional Integrals in Quantum Electrodynamics and Infrared Asymptotic of Green Function”, JEFT, (48), pp 607 – 621 Barbashov B.M and Volkov M.K (1966), “Investigation of Infrared Singularities of the Scatterring Cross Section by the Functional Integration Method”, JEFT, (23), pp 438 - 444 Barbashov B M, Kuleshov S P, Matveev V A, Pervushin V.N, Sissakian A.N, Tavkhelidze A.N (1970), “Eikonal Approximation in Quantum Field Theory”, Teor Mat.Fiz ,(3), pp 342 - 352 Barbashov B.M, Kuleshov S.P., Matveev V.A, Pervushin V.N, Sissakian A.N, (1971), “The Poisson Distribution of Secondary Particles in Straight–line Paths Approximation”, Nuovo Cimento 4A, pp 431- 442 Barbashov B.M, Kuleshov S.P., Matveev V.A., Pervushin V.N., Sissakian A.N., Tavkhelidze A.N (1971), “Straight-line Paths Approximation in Quantum Field Theory”, Phys Lett 33B, pp 484 - 488 10 Bogoliubov N.N and Shirkov D.V (1959), Introduction to the Theory of Quantized Fields, New York 32 11 Fock V.A (1961), The Theory on Space, Time and Gravity, Fizmatgiz Moscow 12 Feynman R.P (1948), “Space-time Approach to non-relativistic Quantum Mechanics”, Rev Mod Phys (20), pp 367–387 13 Feynman R.P (1951), “An Operator Calculus having Applications in Quantum Electrodynamics”, Phys Rev (84), pp 108 - 128 14 Feynman R.P and Hibbs A (1965), Quantum Mechanics and Path Integrals, McGrawHill, New York 15 Glauber R.J (1959), Lectures in Theoretical Physics, New York Press, 315p 16 Garsevanishvili V.R, et al Phys.Lett 29B(1969)191 17 Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V (1974), “High Energy Scattering of the Composite Particle in the Functional Approach”, JINR, P2 – 8258, Dubna, pp.1- 21; Journal of Theor And Math.Phys, vol.24 (2) (1975), pp 768 775, TMF, vol.24 (2) (1975) pp 195 - 205 18 Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V (1976), “Bramsstrahlung Approximation for Inclusive Processes”, Journal of Theor And Math.Phys, vol.29 pp 1003 - 1011 19 Nguyen Suan Han, Pervushin V.N (1976), “High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in Quantum Field Theory”, Journal of Theor And Math.Phys, vol.29 (2), pp 1003 - 1011, TMF, vol.29 (2), pp 178 - 190 20 Nguyen Suan Han (2000), “Straight-Line Paths Approximation for the HighEnergy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity”, European Physical Journal C, vol.16 (3), pp 547 - 533 Proceedings of the 4th International Workshop on Graviton and Astrophysics held in Beijing, from October 10-15, 1999 at the Beijing Normal University, China.; Ed By Liao Liu, Jun Luo, Xin-zhou Li, Jong-Ping Hsu, World Scientific, Singapore (2000), pp 319 - 333 21 Nguyen Suan Han (2002), “Infrared Singularities of Fermion Green’s Function and the Wilson Loop” VNU Journal of Science, Mathematics-Physics (1) 33 22 Nguyen Suan Han, Phan Thi Giang and Nguyen Nhu Xuan, “ Eikonal Representation for Scattering Amplitude of the Dirac Particles on Smooth Potentials and Quasipotential Equation” Hội Nghị Vật Lý Lý Thuyết Toàn Quốc từ ngày đến tháng năm 2012 Cửa Lò, Nghệ An, Việt Nam 23 Pervushin V.N (1970), “Method of Functional Integration and Eikonal Approximation for Potential Scattering Amplitudes”, Journal of Theor and Math Phys 4, pp - 32 34 PHỤ LỤC A Chứng minh J  lim ( p  m )  d xd yeipxiqy B ( x)G ( x, y | B)  2 (A.1) p m Để loại bỏ cực ( p  m2 ) sử dụng biểu diễn hàm Green dạng tích phân phiếm hàm /10/  s   s s G ( x, y | B)  i  ds e  im s   0 C  0   x  y  2  )d , 0   (A.2) s C  0  s  ( x )  b ( x )  ib ( x )   ,  T exp i  d   2 b ( x )       0   (xem ký hiệu cho công thức (2.9)) x  x    )d Thay (A.2) vào (A.1) ta có: J  lim ( p  m )  d x.d y.eipx iqy B( x) 2 p m (A.3) s   s s  i  ds.e  im s   0 C  0  ( x  y   ( )d )  0   Lấy tích phân nhờ hàm delta theo x ta có: s s d s x.eipx B( x). ( x  y  2 ( )d )  eipy B( y  2 ( )d ).e  ip  ( ) d ) 0 thực phép thay         p ta thu s s  J  lim ( p  m ).i. ds e  im s   0  d yei ( p  q ) y B ( y    )d ).e 2 p m 0  ip  ( ) d s C  0 s   lim ( p  m ).i. ds eis ( p 2 p m s  m2 ) i ( pq ) y   0  d ye B ( y  ps  2  )d )C   p 0 s s 35 (A.4) s Do s  ( ( )  p)d  ps   ( )d 0 s s B( y   ( ( )  p)d )  B( y  ps   ( )d ) Nên s s exp(ip 2 ( ( )  p )d )  eip s exp(ip  ( )d ) 0 Để (A.4) tách cực, ta sử dụng hệ thức  lim   0; p  m ( p  m )i  ds eis ( p 2 2  m )  s f ( s )  f ( ) p f(s) – hàm hữu hạn; lim B ( x  ps  2  )d )  s  tốn tán xạ B ()  (A.4) không nên (A.1) không 36 PHỤ LỤC B Chứng minh biên độ xác định nhờ công thức (3.1) (3.8) trùng Xem bậc ba biểu thức (3.8), mà ta biểu diễn 2mF (3) ( p, q | B )  u p  d k1d k2  L3  K (3)  uq , L 3 tương ứng với tương tác tuyến tính     m(1   )  i  x   iB x  2b i        K (3) kể đóng góp bình phương  B Đối với L 3 ta thu biểu thức  B1 ( pˆ  kˆ1  m)   ( pˆ  m) B1     B pˆ  kˆ  kˆ  m   ( pˆ  kˆ  m) B   L  2    m  ( p  k1 )2       B (m  qˆ )   pˆ  kˆ  kˆ  m B  3   2  m  ( p  k1  k2 )  B1,2  B (k1,2 ); B (k )   d xeikx B ( x); B3  B   k1  k2  p  q   L(3)  [ B1 ( p  k1  m) B ( p  k1  k  m) B (m  q )   ( p  m) B1 B ( p  k1  k  m) B (m  q )   B1 ( p  k1  m)( p  k1  m) B B (m  q )   B1 ( p  k1  m) B ( p  k1  k  m)( p  k1  k  m) B3  ( p  m) B1 ( p  k1  m) B B (m  q )   B1 ( p  k1  m)( p  k1  m) B ( p  k1  k  m) B3  ( p  m) B1 B ( p  k1  k  m)( p  k1  k  m) B   ( p  m) B1 ( p  k1  m) B ( p  k1  k  m) B ] 37 (B.1)  [m  ( p  k1 ) ][m  ( p  k1  k2 )2 ] 2 hay L(3)  [ B1 ( p  k1  m) B ( p  k1  k  m) B (m  q )   B1 ( p  k1  m)( p  k1  m) B B (m  q )   B1 ( p  k1  m) B ( p  k1  k  m)( p  k1  k  m) B3   B1 ( p  k1  m)( p  k1  m) B ( p  k1  k  m) B ]  [m  ( p  k1 ) ][m  ( p  k1  k2 )2 ] 2 Do số hạng thứ 2, thứ 5, thứ thứ khơng lấy giới hạn p2m2 lấy tích phân Rút gọn biểu thức ta được: L(3)  2mB1 ( p  k1  m) B ( p  k1  k  m) B [m  ( p  k1 )2 ][m  ( p  k1  k2 ) ]  2m B1 B B  B1 ( p  k1  m) B B  B1 B ( p  k1  k  m) B   [m  ( p  k1  k2 )2 ] [m  ( p  k1 ) ] [m  ( p  k1  k2 ) ] ( p  k1  m)  m  ( p  k1 )2 Với ( p  k1  k  m)  m  ( p  k1  k2 )2 Vậy: (3) L     2mB1 ( pˆ  kˆ1  m) B pˆ  kˆ1  kˆ2  m B3  m  ( p  k1 )2   m  ( p  k1  k2 )    (B.2)   2m   pˆ  kˆ  kˆ  m B  B1 ( pˆ  kˆ1  m) B B3   B    B 2 2 m  ( p  k1 ) m  ( p  k1  k2 ) 38 K (3)  Xét [ B1 ( p  k1  m)   ( p  m) B1  B2 B3 [m  ( p  k1 )2 ]   B1 B  K (3)    [ B (m  q )   ( p  k1  k  m) B [m  ( p  k1  k2 )2 ] B1 ( p  k1  m) B B3  ( p  m) B1 B B  2 2 [m  ( p  k1 ) ] [m  ( p  k1 )2 ]   B1 B B3 (m  q ) B1 B ( p  k  k  m) B   [m  ( p  k1  k2 )2 ] [m  ( p  k1  k2 )2 ] Vậy  K (3)     B1 ( p  k1  m) B2 B3 2mB1 B2 B3 B1 B2 ( p  k  k  m) B3     [m2  ( p  k1 )2 ] [m2  ( p  k1  k2 )2 ] [m2  ( p  k1  k2 )2 ] (B.3) Nhận thấy hai số hạng cuối (B.2) B(3) với dấu ngược lại Thay (B.2) (B.3) vào (B.1) ta biên độ tán xạ F (3) ( p, q | B)  u p  d k1d k2   B1 ( pˆ  kˆ1  m) B2 pˆ  kˆ1  kˆ2  m B3  m  ( p  k1 )   m  ( p  k1  k2 )  uq (B.4) Biểu thức biên độ tán xạ (B.4) trùng với bậc ba biểu thức biên độ (2.1) Tương tự ta tính cho số hạng bậc cao 39 ... BÀI TỐN TÁN XẠ TRÊN THẾ NGỒI 1.1 Biên độ tán xạ hạt 1.2 Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ 1.3 Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt có spin 15 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÁN XẠ VÀ... đổi lượng tử ảo riêng biệt với Tại vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ phương pháp nêu trên, cho ta biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ ( hay gọi biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ) Tán xạ lượng cao. .. nhận biểu diễn Glauber (hay người ta gọi biểu diễn eikonal ) cho biên độ tán xạ Việc tổng quát hóa kết cho hạt với spin tán xạ lên ngồi trình bầy mục $ 1.2 Ở biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ