Bài giảng môn toán lớp 10 Bài toán 1: sử dụng phương pháp biến đổi tương đương51523

WWW.K2PI.NET PH CH CỄC PH NG TRỊNH- B T PH NG I: PH NG PHỄP GI I NG TRỊNH- H M - LÔGARIT NG PHỄP GI I PH NG TRỊNH- B T PH NG TRỊNH- H M BIểN SO N GV NGUY N TRUNG KIểN 0988844088 CH I:PH NG TRÌNH M D NG PH NG PHỄP BI N IT NG NG I Ph ng pháp: Ta s d ng phép bi n đ i t ng đ ng sau: a  a   f  x g  x a   0  a  a ho c   a  1  f  x  g  x     f  x  g  x  II VD minh ho : BÀI TOỄN 1: S  VD1: Gi i ph Gi i: Ph ng trình:  x  x2 ng trình đ  sin    x  x2  2 cosx c bi n đ i v d ng: 1  x  2(*)  x x         x2  x   0(1)  2  x  x  1 sin x   cos x      sin x  cos x  2(2)   1 tho mãn u ki n (*)      cos x   sin x  x     x    2k  x   2k , k  Z Gi i (2): sin x  2 3  nghi m tho mãn u ki n (*) ta ph i có:       1   2k    1    k      k  0, k  Z ta nh n đ c x3  6 2  6 2  6  1 ; x 3 V y ph ng trình có nghi m phân bi t x1,2  Gi i (1) ta đ VD2: Gi i ph Gi i: Ph c x1,2  ng trình:  x  3 ng trình đ x2  x    x2  6x  c bi n đ i v d ng:  x  3 x2  x x2 5 x 2   x      x   x  x      0  x     x    x     3x  x   x  x    x  x  10  V y ph ng trình có nghi m phân bi t x=4, x=5 TÀI LI U TOÁN THPT DeThiMau.vn x2  x   x  3 2( x2  x 4) WWW.K2PI.NET BÀI TOỄN 2: S D NG PH NG PHỄP LÔGARIT HOỄ VÀ A V CỐNG C I Ph ng pháp: chuy n n s kh i s m lu th a ng i ta có th logarit theo c s c v c a ph ng trình, ta có d ng: D ng 1: Ph ng trình:  0  a  1, b  a f  x  b     f  x  log a b D ng 2: Ph ng trình : a f  x  b g ( x)  log a a f ( x)  log a b f ( x)  f ( x)  g ( x).log a b ho c logb a f ( x)  logb b g ( x)  f ( x).logb a  g ( x) II VD minh ho : VD1: Gi i ph ng trình: x 2 x  Gi i: L y logarit c s hai v ph ng trình ta đ c: log 2 x 2 x  log  x2  x  log   x2  x   log  , Ta có     log  log  suy ph ng trình có nghi m x =  log VD2: Gi i ph x1 x ng trình: 5x.8  500 Gi i: Vi t l i ph ng trình d 5x.8 x1 x1 x  500  5x.2 i d ng:  53.22  5x3.2 x3 x 1 L y logarit c s v , ta đ c: x    x  x3 log  5x3.2 x    log x3  log  x     x  3 log  log 2  x     x  1    x  3  log      x   x  log    log Chú ý: i v i ph ng trình c n thi t rút g n tr c logarit hoá BÀI TOỄN 3: S D NG PH NG PHỄP T N PH - D NG I Ph ng pháp: Ph ng pháp dùng n ph d ng vi c s d ng n ph đ chuy n ph ng trình ban đ u thành ph ng trình v i n ph Ta l u ý phép đ t n ph th ng g p sau: D ng 1: Ph ng trình  k   k 1a ( k 1) x .1a x  0  V y ph ng trình có nghi m phân bi t: x  3; x   TÀI LI U TOÁN THPT DeThiMau.vn S WWW.K2PI.NET c:  kt k   k 1t k 1 1t  0  Khi đ t t  a x u ki n t>0, ta đ M r ng: N u đ t t  a f ( x) , u ki n h p t>0 Khi đó: a f ( x)  t , a f ( x)  t , , a kf ( x)  t k Và a  f ( x)  t D ng 2: Ph ng trình 1a x   a x  3  v i a.b=1  Khi đ t t  a x , u ki n t0, suy b f ( x)  t x 2x 2x D ng 3: Ph ng trình 1a    ab   3b  chia v c a ph ng trình cho b x >0 ( ho c a ,  a b  ), ta đ x 2x 2x x a a c: 1          b b x a t t    , u ki n t0 b D ng 4: L ng giác hoá Chú ý: Ta s d ng ngôn t u ki n h p t>0 cho tr ng h p đ t t  a f ( x) vì: - N u đ t t  a x t>0 u ki n - N u đ t t  x 1 t>0 ch u ki n h p, b i th c ch t u ki n cho t ph i t  i u ki n đ c bi t quan tr ng cho l p toán có ch a tham s II VD minh ho : sin2 x 2   (1) VD1: Gi i ph ng trình: Gi i: i u ki n sin x   x  k , k  Z (*)   cot g x nên ph ng trình (1) đ c bi t d Vì sin x cot g x i d ng: cot g x 4cot g x  2.2   (2) cot g x t t2 u ki n t  cot g x   2cot g x  20  Khi ph ng trình (2) có d ng: t   2cot g x   cot g x  t  2t     t  3  cot gx   x    k , k  Z tho mãn (*) TÀI LI U TỐN THPT DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET V y ph ng trình có h nghi m x    k , k  Z   Gi i: Nh n xét r ng:      ;   2    1 Do n u đ t t     u ki n t>0, thì:        t VD2: Gi i ph   x x ng trình:      x x x  t2 Khi ph ng trình t ng đ ng v i: t  t     t  2t     t  1 t  t     t t  t   0(vn)    2  x  1 x  V y ph ng trình có nghi m x=0 Nh n xét: Nh v y ví d b ng vi c đánh giá:  74  2        Ta l a ch n đ c n ph t     x cho ph ng trình Ví d ti p theo ta s miêu t vi c l a ch n n ph thông qua đánh giá m r ng c a a.b=1, là: a b a b  c   t c v i ph ng trình có d ng: Aa x  Bb x C  c c Khi ta th c hi n phép chia c v c a ph ng trình cho c x  , đ nh n đ c: x x x a b a A    B    C  t thi t l p n ph t    , t  suy c c c x b    c t VD3: Gi i ph ng trình: 22 x 1  9.2x  x  Gi i: Chia c v ph ng trình cho 22 x  ta đ c: 2 22 x 2 x1  9.2 x 2 x2    22 x 2 x  x  x   x2 2 x x2  x  2.2  9.2 40 2 t t  x  x u ki n t>0 Khi ph ng trình t ng đ ng v i: t   x  x  22  x2  x   x  1     2t  9t    t   x  x  1  x   x  x  21  2 V y ph ng trình có nghi m x=-1, x=2 Chú ý: Trong ví d trên, tốn khơng có tham s nên ta s d ng u ki n cho n ph ch t>0 th y v i t  vô nghi m Do v y n u tốn có ch a tham s c n xác đ nh u ki n cho n ph nh sau: TÀI LI U TOÁN THPT DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET 2 1 1  x2  x   x       x  x   t  2 4  12 VD4: Gi i ph ng trình: 23 x  6.2 x  3 x1  x  2 Gi i: Vi t l i ph ng trình có d ng:  x 23   x    x     x   (1)     23  x  2  3x      x   3.2 x  x  x   t  6t x 3x 2     Khi ph ng trình (1) có d ng: t  6t  6t   t   x  x  x t u  , u  ph ng trình (2) có d ng: u  1(1) u  u   2x   x  u    u2  u     u  V y ph ng trình có nghi m x=1 Chú ý: Ti p theo s quan tâm đ n vi c s d ng ph ng pháp l t t  2x  VD5: Gi i ph ng trình:   ng giác hố   22 x    22 x x Gi i: i u ki n  22 x   22 x   x    Nh v y  x  , đ t x  sin t , t   0;   2 Khi ph ng trình có d ng:     sin t  sin t   sin t   cos t  1  cos t  sin t  cos t t 3t t t 3t   sin t  sin 2t  cos  2sin cos  cos 1  sin   2 2 2 2 t     x cos  0(1) t    x  1     2  x  3t x  t      sin    2 V y ph ng trình có nghi m x=-1, x=0 BÀI TOỄN 4: S D NG PH NG PHỄP T N PH - D NG I Ph ng pháp: Ph ng pháp dùng n ph d ng vi c s d ng n ph chuy n ph ng trình ban đ u thành ph ng trình v i n ph nh ng h s v n ch a x Ph ng pháp th ng s d ng đ i v i nh ng ph ng trình l a ch n n ph cho bi u th c bi u th c cịn l i khơng bi u di n đ c tri t đ qua n ph ho c n u bi u di n đ c cơng th c bi u di n l i ph c t p Khi th ng ta đ c ph ng trình b c theo n ph ( ho c v n theo n x) có bi t s  m t s ph ng II VD minh ho : TÀI LI U TOÁN THPT DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET  VD1: Gi i ph  ng trình: 32 x  x  3x  9.2x  t t  3x , u ki n t>0 Khi ph ng đ ng v i: 2 t  t  x  t  9.2 x  0;   x   4.9.2 x  x    x t  Khi đó: + V i t   3x   t  Gi i:    ng trình t    x 3 + V i t       1 x  2 V y ph ng trình có nghi m x=2, x=0 2 VD2: Gi i ph ng trình: x  x2  3x  x2   x x x   Gi i: t t  3x u ki n t  x2   3x  30  Khi ph ng trình t ng đ ng v i: t  x2  t  x2   2   2 t    x2   2 x2   x2    t   x Khi đó: + V i t   3x   x2  log3  x   log3       + V i t   x2  3x   x2 ta có nh n xét: x2 VT  VT   3     x0  x   VP  VP    V y ph ng trình có nghi m x   log3 2; x  BÀI TOỄN 5: S D NG PH NG PHỄP T N PH - D NG I Ph ng pháp: Ph ng pháp dùng n ph d ng s d ng n ph cho bi u th c m ph khéo léo bi n đ i ph ng trình thành ph ng trình tích II VD minh ho : 2 VD1: Gi i ph ng trình: 4x 3 x2  4x 6 x5  42 x 3 x7  Gi i: Vi t l i ph ng trình d i d ng: 4x 3 x  42 x  x  x 3 x 2.4 2x  6x  u  x 3 x t  , u, v  x2  x v  Khi ph ng trình t ng đ ng v i: u  v  uv    u  11  v  2 x  x   x  3x   1 u         x  1  42 x  x5   x  x  v    x  5 V y ph ng trình có nghi m x2 3 x 2 TÀI LI U TỐN THPT DeThiMau.vn ng trình WWW.K2PI.NET VD2: Cho ph ng trình: m.2x 5 x6  21 x  2.265 x  m(1) a) Gi i ph ng trình v i m=1 b) Tìm m đ ph ng trình có nghi m phân bi t Gi i: Vi t l i ph ng trình d i d ng: 2 m.2 x 5 x6  21 x  27 5 x  m  m.2 x 5 x6  21 x  2 2  m.2 x 5 x6  21 x  x 5 x6.21 x  m u  x 5 x t:  , u, v  Khi ph ng trình t 1 x2 v  2 2  ( x2 5 x 6)  1 x2  m ng đ ng v i: x   x  x   u  mu  v  uv  m   u  1 v  m      x  v  m  21 x  m  1 x2   m(*) V y v i m i m ph ng trình ln có nghi m x=3, x=2 a) V i m=1, ph ng trình (*) có d ng: 21 x    x2   x2   x  1 V y v i m=1, ph ng trình có nghi m phân bi t: x=3, x=2, x=  b) (1) có nghi m phân bi t  (*) có nghi m phân bi t khác m  m   Khi u ki n là: (*)       x log m x log m 2   m   m  m  1  log m    1   m   m   0;  \  ;    256  1  log m   1  log m   m  256  1  V y v i m   0;  \  ;  tho mãn u ki n đ u  256  BÀI TOỄN 6: S D NG PH NG PHỄP T N PH - D NG I Ph ng pháp: Ph ng pháp dùng n ph d ng vi c s d ng k n ph chuy n ph ng trình ban đ u thành h ph ng trình v i k n ph Trong h m i k-1 ph ng trình nh n đ c t m i liên h gi a đ i l ng t ng ng Tr ng h p đ c bi t vi c s d ng n ph chuy n ph ng trình ban đ u thành h ph ng trình v i n ph n x, ta th c hi n theo b c: B c 1: t u ki n có ngh a cho bi u t ng ph ng trình B c 2: Bi n đ i ph ng trình v d ng: f  x,   x  B c 3: t y    x ta bi n đ i ph  y    x ng trình thành h :   f  x; y   II VD minh ho : TÀI LI U TOÁN THPT DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET VD1: Gi i ph 2x 18  x1 1 x x1 x 1  2   18 ng trình d i d ng: x1  1 x  x1 1 x 1    ng trình: Gi i: Vi t l i ph  x1  u   t:  , u, v  1 x v     Nh n xét r ng: u.v  x1  21 x   x1  21 x   u  v    Ph ng trình t ng đ ng v i h : 18 8 u  v  u  8v  18      u v u  v   u  9; v  u  v  uv   u  v  uv  x1  2    x 1 c:  1 x 2     2 x1   9  + V i u=9 v  , ta đ c:  1 x  x4 2    V y ph ng trình cho có nghi m x=1 x=4 + V i u=v=2, ta đ VD2: Gi i ph Gi i: ng trình: 22 x  2x   t u  x , u ki n u>0 Khi ph ng trình thành: u  u   t v  u  6, u ki n v   v2  u  Khi ph ng trình đ c chuy n thành h :  u  v  u  v   u  v2    u  v   u  v u  v      u  v   v  u  u  + V i u=v ta đ c: u  u      2x   x    u 2(1)  + V i u+v+1=0 ta đ c:  1  21 u  21  21  u2  u      2x   x  log 2  1  21 (1) u   21 1 V y ph ng trình có nghi m x=8 x= log 2 BÀI 7: S D NG TệNH CH T N I U C A HÀM SÔ I Ph ng pháp: S d ng tính ch t c a hàm s đ gi i ph ng trình d ng tốn quen thu c Ta có h ng áp d ng: H ng1: Th c hi n b c sau: B c 1: Chuy n ph ng trình v d ng: f(x)=k TÀI LI U TOÁN THPT DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET bi n) B c 2: Xét hàm s y=f(x) Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n u( gi s đ ng B c 3: Nh n xét: + V i x  x0  f  x  f  x0   k x  x0 nghi m + V i x  x0  f  x  f  x  k ph ng trình vơ nghi m + V i x  x0  f  x  f  x0   k ph ng trình vơ nghi m V y x  x0 nghi m nh t c a ph ng trình H ng 2: Th c hi n theo b c: B c 1: Chuy n ph ng trình v d ng: f(x)=g(x) B c 2: Xét hàm s y=f(x) y=g(x) Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s y=f(x) Là đ ng bi n hàm s y=g(x) hàm h ng ho c ngh ch bi n Xác đ nh x0 cho f  x0   g  x0  H B c 3: V y ph ng trình có nghi m nh t x  x0 ng 3: Th c hi n theo b c: B c 1: Chuy n ph ng trình v d ng: f(u)=f(v) (3) B c 2: Xét hàm s y=f(x) Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n u ( gi s đ ng bi n) B c 3: Khi đó: (3)  u  v v i u, v  D f II VD minh ho : VD1: Gi i ph ng trình: x  2.3log2 x  (1) Gi i: i u ki n x>0 Bi n đ i ph ng trình v d ng: 2.3log2 x   x (2) Nh n xét r ng: + V ph i c a ph ng trình m t hàm ngh ch bi n + V trái c a ph ng trình m t hàm đ ng bi n Do v y n u ph ng trình có nghi m nghi m nh t Nh n xét r ng x=1 nghi m c a ph ng t rình (2) 2.3log2 x   V y x=1 nghi m nh t c a ph ng trình   1 VD2: Gi i ph ng trình: log3 x2  3x      5 x  Gi i: i u ki n: x2  3x     x  x x2 1  (1) t u  x2  3x  , u ki n u  suy ra: x2  3x   u  3x  x2    u 1u 1 Khi (1) có d ng: log  u      5 1 x2 1 Xét hàm s : f ( x)  log  x      5 + Mi n xác đ nh D  0; ) + o hàm: f  2  log  x    x2 1  x.5x ln  0, x  D Suy hàm s t ng D  x   ln TÀI LI U TOÁN THPT DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET M t khác f 1  log3 1     Do đó, ph ng trình (2) đ c vi t d i d ng: f  u   f 1  u   x2  3x    x  V y ph ng trình có hai nghi m x  3 3 2 x2  mx  x2  2mx  m ng trình: 5x  mx  a) Gi i ph ng trình v i m   b) Gi i bi n lu n ph ng trình Gi i: t t  x2  2mx  ph ng trình có d ng: 5t  t  52t m2  2t  m  (1) Xác đ nh hàm s f  t   5t  t + Mi n xác đ nh D=R + o hàm: f  5t.ln 1  0, x  D  hàm s t ng D V y (1)  f  t   f  2t  m  2  t  2t  m   t  m    x2  2mx  m  (2) VD2: Cho ph x  c: x  x    x  x     x   5  V y v i m   ph ng trình có 2nghi m x  2; x   5 b) Xét ph ng trình (2) ta có:  '  m  m + N u  '   m2  m    m  Ph ng trình (2) vơ nghi m  ph ng trình (1) vơ nghi m + N u  '   m=0 ho c m=1 v i m=0 ph ng trình có nghi m kép x=0 v i m=1 ph ng trình có nghi m kép x0=-1 m  ph ng trình (2) có nghi m phân bi t x1,2  m  m2  m c ng + N u '    m  nghi m kép c a (1) K t lu n: V i m=0 ph ng trình có nghi m kép x=0 V i m=1 ph ng trình có nghi m kép x0=-1 V i 01 nên s bi n thiên c a hàm s ph thu c vào s bi n thiên cc a hàm s t  x2  x  ta có: 2 a) V i m=8 ph ng trình có nghi m nh t x=1 b) V i m=27 ph ng trình có nghi m phân bi t x=0 x=2 c) Ph ng trình có nghi m m>8 x2  x 1 VD2: V i giá tr nƠo c a m ph ng trình:   5 Gi i: Vì m  m   v i m i m ph ng trình t x2  x   log m4  m2       m4  m2  có nghi m phân bi t ng đ ng v i: t log m4  m2   a , đó: x2  x   a Ph ng trình ban đ u có nghi m phân bi t  ph ng trình (1) có nghi m phân bi t  đ ng th ng y=a c t đ th hàm s y  x2  x  t i m phân bi t   x  x  3khix  1hoacx  Xét hàm s : y  x  x      x  x  3khi1  x  2 x  4khix  1hoacx o hàm: y '   2 x  4khi1  x  TÀI LI U TOÁN THPT 11 DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET B ng bi n thiên: T đó, đ ng th ng y=a c t đ th hàm s y  x2  x  t i m phân bi t     a    log m4  m2    V y v i  m  ph  m4  m2     m  ng trình có nghi m phân bi t VD3: Gi i vƠ bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình: x   m x  Gi i: t t  x , t  ph ng trình đ c vi t d i d ng: t 3  m (1) t   m t2 1  t2 1 t 3 v i đ ng th ng (d):y=m S nghi m c a (1) s giao m c a đ th hàm s (C): y  t2 1 t 3 Xét hàm s : y  xác đ nh D  0;   t2 1  3t + o hàm: y '  ; y '    3t   t t 1 t 1   + Gi i h n: lim y  1 t    + B ng bi n thiên: Bi n lu n: V i m  ho c m  10 ph ng trình vơ nghi m V i  m  ho c m  10 ph V i  m  10 ph ng trình có nghi m phân bi t CH D NG PH BÀI TOỄN I: S I Ph ng pháp: Ta s d ng phép bi n đ i t D ng 1: V i b t ph ng trình có nghi m nh t ng trình: a II:B T PH NG TRÌNH M NG PHỄP BI N IT NG ng đ f  x NG ng sau:  a   a   f  x  g  x  a g  x   ho c   a  1  f  x  g  x    0  a     f  x  g  x TÀI LI U TOÁN THPT 12 DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET  a     f  x  g  x a  f  x g  x D ng 2: V i b t ph ng trình: a ho c  a  a    a  1  f  x  g  x  0  0  a     f  x  g  x Chú ý: C n đ c bi t l u ý t i giá tr c a c s a đ i v i b t ph ng trình m II VD minh ho : VD1: Gi i b t ph ng trình: a)  x1 x2  x  b) 10   x x1 Gi i: a) Bi n đ i t   10  ng đ  x1 x ng trình v d ng:  1  x   1 x x2  x  x  x  1 1     x  2x  1 x    x   1 x   2 2     x2  x  1  x2   V y nghi m c a b t ph ng trình x  Chú ý: tránh sai sót khơng đáng có bi n đ i b t ph ng trình m v i c s nh h n em h c sinh nên l a ch n cách bi n đ i:  x1  2 x 2 x  x1   x2  x  x   x2  x   x  x  2 x 2 x b) Nh n xét r ng: Khi b t ph  10    x x1   ng b t ph 10  ng trình đ  10   x1 x   10    10   c vi t d    10   1 i d ng: 10   x3 x1  x1 x 1  3  x   x  x 1 x2   0 0 x 1 x   x  1 x  3 1  x  V y nghi m c a b t ph    ng trình là: 3;   1;  BÀI TOỄN 2: S D NG PH NG PHỄP LOGARIT HOỄ VÀ A V CỐNG C S I Ph ng pháp: chuy n n s kh i s m lu th a ng i ta có th logarit hố theo c s c hai v c a b t ph ng trình m Chúng ta l u ý s tr ng h p c b n sau cho b t ph ng trình m : TÀI LI U TOÁN THPT 13 DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET D ng 1: V i b t ph ng trình: a f ( x) D ng 2: V i b t ph ng trình: a f ( x)  a     f  x  log a b  b ( v i b>0)    0  a    f  x  log a b   a    f  x    b    b     a       f ( x)  log a b     0  a     f ( x)  log a b     D ng 3: V i b t ph ng trình: a f ( x)  b g ( x)  lg a f ( x)  lg b g ( x)  f ( x).lg a  g ( x).lg b ho c có th s d ng logarit theo c s a hay b II VD minh ho : VD: Gi i b t ph ng trình: 49.2x  16.7x Gi i: Bi n đ i t ng đ ng ph ng trình v d ng: 2x4  x2 L y logarit c s hai v ph ng trình ta đ c:  log 2x 4  log x2  x2    x   log  f ( x)  x2  x log  2log   Ta có:   log2  8log2  16   log2 7 4   4 log2 7 Suy f(x)=0 có nghi m: log    log  x    x2  log   x1 V y b t ph ng trình có nghi m x>2 ho c x  log  BÀI TOỄN 3: S D NG PH NG PHỄP T N PH - D NG I Ph ng pháp: M c đích c a ph ng pháp chuy n toán cho v b t ph quen bi t đ c bi t b t ph ng trình b c ho c h b t ph ng trình II VD minh ho : x1,2  VD1: Gi i b t ph  ng trình : x    2 x     2x  Gi i: i u ki n 2x    x  t t t  x  , u ki n t  , đó: 2x  t  B t ph ng trình có d ng:    t    1  t   t  1  t  3 1  t    t  1   t  3 t  1    t  1  t  1   t  3     1 2 2 2 2 2 2 2 2   t  1  2t      t  1  t   2x 1   2x   x  TÀI LI U TỐN THPT 14 DeThiMau.vn ng trình đ i s WWW.K2PI.NET ng trình  0;1) V y nghi m c a b t ph  VD2: Gi i b t ph ng trình:   11  x  2 52  x 2  3  x 1 Gi i: Nh n xét r ng:   11 5    3 x  x    x      x 3      x    3     3 Do n u đ t t    x    x 3   3   x 3     x   1  x  , u ki n t>0  3  x Khi b t ph ng trình t ng đ ng v i: t  2t    t  2t  t   t   t    t  1 t   t  t    2  t   c:  t    K t h p v i u ki n c a t ta đ V y nghi m c a b t ph VD3: Gi i b t ph ng trình x0    Khi b t ph 2     t  21  21 t    t  5t    t  t 2 ng trình có d ng: x  21   21   21     1  x    2   V y nghi m c a ph ng trình là:  1;1 ng trình : 5x  2.5x 3 52 x  Gi i: i u ki n 52 x    x  log5  x  log5 (*) VD4: Gi i b t ph t u  5x , u ki n u>2, b t ph ng trình có d ng: u  TÀI LI U TOÁN THPT 15 DeThiMau.vn 2u u2  3 (1) WWW.K2PI.NET Bình ph ng v ph ng trình (1) ta đ c: 4u 4u u2 u2   45    45 (2) u2  u 4 u 4 u2  u2  u2 t  , t  Khi b t ph ng trình (2) có d ng: t u2  u2   u  25u  100  t  4t  45   t   u 4  x  log 20 u  20 5 x  20(*) u  20     x log  x  u  u  5   2   1  ng trình x   log5 2;   log5 20;  2  D NG PH NG PHỄP T N PH - D NG V y nghi m c a b t ph BÀI TOỄN 4: S I Ph ng pháp: Ph ng pháp gi ng nh ph ng trình m II VD minh ho : VD1: Gi i b t ph ng trình: 4x  2x1  4x  Gi i: t t  x u ki n t>0 ng trình có d ng: t  2t  x  Ta có:  '   x  2  '  4 x   x   1  x   Do đó: (2)      x0 b  x  x t t 1        2a  V y b t ph ng trình có nghi m nh t x=0 VD2: Gi i b t ph ng trình : 9x   x  5 3x  9 2x  1  Khi b t ph 2 Gi i: t t  3x u ki n t>0 b t ph ng trình t ng đ ng v i: 2 f  t   t   x  5 t   x  1  Ta có  '   x  5   x  1   x   Do f(t)=0 có nghi m t=9 ho c t=2x+1 Do b t ph ng trình có d ng:  t   t  x  1   3x   t    x   x    3  x  1Bemouli t  x   x   x  x      x  t    x    0  x       3x  x   t  x    0  x   V y b t ph ng trình có nghi m x  ho c  x  BÀI TOỄN 5: S D NG PH NG PHỄP T N PH - D NG I Ph ng pháp: S d ng n ph cho bi u th c m b t ph ng trình khéo léo bi n đ i b t ph trình thành ph ng trình tích, l u ý: TÀI LI U TOÁN THPT 16 DeThiMau.vn ng WWW.K2PI.NET  A   A    B  B   AB 0 0 AB  A   A      B    B  II VD minh ho : VD1: Gi i b t ph ng trình : 6x  2x2  4.3x  22 x Gi i: Vi t l i b t ph ng trình d i d ng: 2x.3x  4.2x  4.3x  22 x  u  3x t  u ki n u,v>0 b t ph ng trình có d ng: x v  uv  4v  4u  v2    u  v v     3x  x  u  v   x   x    2  v   x      x x  u  v   x   3      x  v     x   2  V y b t ph ng trình có nghi m x  ho c x  ng trình : 2x  x   22 x1  x  Gi i: i u ki n: x    x   VD2: Gi i b t ph Vi t l i b t ph ng trình d i d ng: x  2x   2.22 x  2 2x  1 u  x t  u ki n u>0 v  Khi b t ph v  x    ng trình đ c bi n đ i v d ng: u  v  2u  2v2   u  v  2u  2v2   u  v  2  u  v  2x  2x  x  2 x  Ta xét ph ng trình:  x    x     x   x      1 V y b t ph ng trình có nghi m x    ;   / 0;     2 x 2x VD3:B t ph ng trình : 5x   5x   52 xlog5  2.5 x1  16 có nghi m a) x  b) x>1 Gi i: Vi t l i b t ph ng trình d i d ng: 5x   5x   2.52 x  10.5 x1  16      5x   5x   5x   x  TÀI LI U TOÁN THPT 17 DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET u  5x   t  B t ph x v   i u ki n: 1   x  x ng trình đ c bi n đ i v d ng: u  v  u  v  u  v  2u  2v2     u  v  5x   5x   2 2  u  v  2u  2v  u  v  x x 5   5     2x  x 1 x x x     5  7.5  10  V y b t ph ng trình có nghi m x=1 CỄC B T PH NG TRỊNH M C GI I B NG NHI U CỄCH I TV N : Nh v y thơng qua tốn trên, bi t đ c ph ng pháp c b n đ gi i b t ph ng trình m thơng qua ví d minh ho c ng có th th y m t u r ng, m t b t ph ng trình có th đ c th c hi n b ng nhi u ph ng pháp khác Trong m c s minh ho nh ng ví d đ c gi i b ng nhi u ph ng pháp khác v i m c đích c b n là: + Giúp em h c sinh ti p nh n đ y đ ki n th c toán THPT tr nên linh ho t vi c l a ch n ph ng pháp gi i + Giúp em h c sinh l p 10 11 l a ch n đ c ph ng pháp phù h p v i ki n th c c a II VD minh ho : VD: Tìm m d ng đ b t ph ng trình sau có nghi m:  2  x2  x m  m2  m1    2    x2  x m  m2  m1  8 Gi i: Nh n xét r ng:     Nên n u đ t u    Thì   x2  x m  m2  m  x  x m  m  m  u ki n u>1 Khi b t ph u    u  u      u    u    2   ng trình có d ng:  4u   x2  x m  m2  m    x2  x  m  m2  m  1(1) Ta có th l a ch n cách gi i sau: Cách 1: S d ng ph ng pháp đ t n ph t t=x-m, b t ph ng trình có d ng: t   t  mt   2m2  m   (2) + V i t  (2)  f  t   t   m  1 t  2m2  m   (3) V y (2) có nghi m  (3) có nh t nghi m t  f(t)=0 có nh t nghi m t  (0  t1  t2 ho c t1   t2 ) TÀI LI U TOÁN THPT 18 DeThiMau.vn WWW.K2PI.NET  1  m      m  1  2m2  m      '     m      2m2  m     af (0)          m  1  1  m    s  m         m       2m2  m     af (0)   1  m   2 + V i t  (2)  g (t )  t   m  1 t  2m  m   (3) V y (2) có nghi m  (3) có nh t nghi m t   t1  t2    ph ng trình g(t)=0 có nh t (1) nghi m t      t1   t2   1  m     m  12  2m2  m      '      m      2m  m      ag (0)         1  m  s  m 1  m          2   1  m   2m  m    ag (0)   V y b t ph ng trình có nghi m  m  Cách 2: S d ng ph ng pháp đ t n ph t t  x  m , u ki n t  B t ph ng trình có d ng: h(t )  t  2t  2mx  m   (4) V y b t ph ng trình có nghi m  h(t )  0(t  0) (5) Nh n xét r ng h(t) Parabol có đ nh t=-10 Khi h (I) đ c bi n đ i v d ng: y v  9u  6u    x  9u  4v2  17  x  1  u  3    3 3   6u y 1 6u  3v  v   2 y  v    V y h có c p nghi m (-1;1) x 1   y  2m m3 VD2: Cho h ph ng trình:  x 1  m2 y  m   3 a) Tìm m đ h có nghi m nh t b) Tìm m nguyên đ nghi m nh t c a h nghi m nguyên u  x 1 Gi i: t  u ki n u  v>0 Khi h (I) đ c bi n đ i v d ng: y v  Gi i: mu  v  2m (II) Ta có:  u  mv  m  m 2m m 2m  m2  ; Du   2m2  m  1; Dv   m2  m m m 1 m m 1 a) H có nghi m nh t khi:   m2   D  m  1   Du   2m   3    2  m  1  2  m  1 u  D   m 1 m  1  m   Dv   m  v   D  m  V y h có nghi m 2  m  1 a) V i m nguyên ta có m=-2 h có nghi m là: 3 x 1   x    x  u       y  v  y 1 2  y 1  V y v i m=-2 h có nghi m nguyên (0;1) 2cot gxsin y  3 9 VD3: Cho h ph ng trình:  sin y cot gx  2m  9  81 a) Gi i h ph ng trình v im=1 D b) Tìm m đ h có c p nghi m (x;y) tho mãn  y   u  v  2m Gi i: Bi n đ i h v d ng:  u.v  3 Khi u, v nghi m c a ph a) V i m=1 ta đ c: ng trình f (t )  t  2mt   (1) TÀI LI U TOÁN THPT 20 DeThiMau.vn ... x 2 x b) Nh n xét r ng: Khi b t ph  10    x x1   ng b t ph 10  ng trình đ  10   x1 x   10    10   c vi t d    10   1 i d ng: 10   x3 x1  x1 x 1  3  x ... m  ho c m  10 ph ng trình vơ nghi m V i  m  ho c m  10 ph V i  m  10 ph ng trình có nghi m phân bi t CH D NG PH BÀI TOỄN I: S I Ph ng pháp: Ta s d ng phép bi n đ i t D ng 1: V i b t ph... x=8 x= log 2 BÀI 7: S D NG TệNH CH T N I U C A HÀM SÔ I Ph ng pháp: S d ng tính ch t c a hàm s đ gi i ph ng trình d ng tốn quen thu c Ta có h ng áp d ng: H ng1: Th c hi n b c sau: B c 1: Chuy n