Nghiên cứu xây dựng và ứng dụng phương trình luồng giao thông trên một tuyến phố, sử dụng mathlab tính mật độ phương tiện trong trường hợp cụ thể

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 200(07): 49 - 53 NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG VÀ ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LUỒNG GIAO THƠNG TRÊN MỘT TUYẾN PHỐ, SỬ DỤNG MATHLAB TÍNH MẬT ĐỘ PHƯƠNG TIỆN TRONG TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ Lại Văn Trung*, Hoàng Phương Khánh, Quách Mai Liên Trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông – ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Trong năm gần đây, tốn giao thơng nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu Việc tìm mật độ giao thơng thời điểm giúp ta dự báo có xảy tắc nghẽn giao thông không Vấn đề giải thơng qua việc giải tốn phương trình luồng giao thơng Bài báo trình bày mơ hình tốn học cho tượng xe lưu thông tuyến phố thông qua phương trình luồng giao thơng Các tham sớ mơ tả chuyển động của phương tiện giao thông gồm tham số mô tả mật độ; tham số mô tả vận tốc; tham số mô tả lưu lượng xe Bằng cách sử dụng phương pháp sai phân phương trình đạo hàm riêng, báo giải toán cụ thể cho phương trình luồng giao thơng tuyến phớ Từ khóa: Phương trình luồng giao thơng, mật độ, lưu lượng, vận tốc, sai phân Ngày nhận bài: 04/3/2019; Ngày hoàn thiện: 02/4/2019;Ngày duyệt đăng: 07/5/2019 RESEARCHING TO BUID AND APPLY THE TRAFFIC FLOW EQUATION ON A STREET, CALCULATE VEHICLE DENSITY IN SPECIFIC CASES BY USING MATHLAB Lai Van Trung*, Hoang Phuong Khanh, Quach Mai Lien University of Information and Communication Technology - TNU ABSTRACT In recent years, traffic problems are interested in reseach by many domestic and foreign scientists Finding traffic density at a time help us predict whether traffic congestion occurs This problem will be solved through solving the problem of the flow equation The paper presents a mathematical model for the phenomenon of vehicles traveling on a street through the traffic flow equation The parameters describe the movement of vehicles including parameters describing the density, velocity, flux By using the differential derivative equation method, the paper addresses a specific problem for the traffic flow equation on a street Keywords: Equation of traffic flow, density, flux, velocity, difference Received: 04/3/2019; Revised: 02/4/2019;Approved: 07/5/2019 * Corresponding author: Tel: 0978 752611; Email: lvtrung@ictu.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 49 Lại Văn Trung Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 49 - 53 Giới thiệu hàm hai biến x, t (với x vị trí cịn t thời Trong toán học kỹ thuật lưu lượng giao thông nghiên cứu tương tác xe cộ, tài xế sở hạ tầng (bao gồm đường cao tớc, biển báo thiết bị kiểm sốt giao thơng), nhằm mục đích phát triển tới ưu mạng lưới đường với lưu lượng giao thông hiệu giảm thiểu tắc nghẽn giao thông [1] gian), ký hiệu   x, t  xác Lý thuyết tốn học của lưu lượng giao thơng phân tích cân giao thơng lần giới thiệu Frank Knite vào năm 1920, giải Wardrop với nguyên lý cân thứ hai Giả sử x đủ nhỏ để chứa ô tô vùng lân cận của điểm x0 đủ lớn để chứa ô tô Khi m   x0 , t0   lim x 0 2x Định nghĩa 2.2 (Hàm lưu lượng) Hàm lưu lượng hàm hai biến x, t (với x vị trí cịn Mark H Holmes [3] giới thiệu mơ hình tốn học cho tượng xe lưu thông đường phố dạng phương trình đạo hàm riêng Vấn đề tìm lời giải sớ cho tốn chưa quan tâm Bằng phương pháp số, mà cụ thể phương pháp sai phân phương trình đạo hàm riêng, báo trình bày việc giải toán cụ thể tuyến phố định   x0 , t0   m1 , m1 số 2x lượng xe từ vị trí x0  x đến vị trí x0  x thời điểm t  t0 t thời gian), ký hiệu J  x, t  xác định J  x0 , t0   m2 , 2t m2 số lượng xe chạy qua vị trí x0 từ thời điểm t0  t đến Cấu trúc của báo gồm phần: Sau phần giới thiệu Phần 2, trình bày mơ hình tốn học của tốn luồng giao thơng; Phần trình bày lược đồ sai phân của phương trình luồng giao thơng; Phần trình bày kết thực nghiệm của tốn; Ći phần kết luận thời điểm t0  t Mơ hình tốn học tốn luồng giao thơng thời gian) ký hiệu v  x, t  xác Trong mơ hình tốn học, đới tượng xác định ô tô đường đường cao tốc Trong báo giả định đối tượng đủ nhiều đến mức không cần thiết phải theo dõi đối tượng riêng lẻ ta sử dụng giá trị trung bình Sau báo trình bày sớ tham sớ của toán Định nghĩa 2.1 (Hàm mật độ) Hàm mật độ 50 đủ t m J  x0 , t0   lim t 0 2t Giả sử nhỏ, Định nghĩa 2.3 (Hàm vận tốc) Hàm vận tốc hàm hai biến x, t (với x vị trí cịn t n  vi , vi n i 1 ( i  1, 2, , n ) vận tốc của xe thứ i khoảng thời gian t0  t đến t0  t từ vị định v  x0 , t0   trí x0  x đến x0  x Từ định nghĩa 2.2 2.3 ta có lưu lượng vận tớc liên hệ đẳng thức J  .v Để làm rõ tham sớ trên, ta xét mơ hình giao thông phân bố đồng sau: http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Lại Văn Trung Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 49 - 53 Hình Phân bố đồng Giả sử đoạn đường cao tớc, xe có độ dài l khoảng cách xe d Hình Khi đó: Sớ xe từ vị trí x  x đến vị trí x  x 2x , mật độ xác định ld 2x   x, t   lim l  d  x 0 2x ld Số lượng xe qua vị trí x từ thời điểm t  t đến thời điểm t  t 2vt , lưu lượng ld 2vt v xác định J  x, t   lim l  d  t 0 2t ld Một vấn đề đặt phải thiết lập mối liên hệ của tham số mật độ, lưu lượng vận tốc Luật cân cho mật độ sau thiết lập mối liên hệ tham số Luật cân cho mật độ (xem [3]) Đặt N1 sớ lượng xe từ vị trí x0  x đến vị trí x0  x thời điểm t0  t ; N số lượng xe từ vị trí x0  x đến vị trí x0  x thời điểm t0  t ; M sớ lượng xe qua vị trí x0  x khoảng thời gian t0  t đến t0  t ; M số lượng xe qua vị trí x0  x khoảng thời gian t0  t đến t0  t Khi N1  N2  M1  M2 (1) Từ định nghĩa mật độ, lưu lượng từ luật cân ta có: 2x    x0 , t0  t     x0 , t0  t    2t  J  x0  x, t0   J  x0  x, t0   (2) Sử dụng khai triển Taylor (2) trở thành:  1 1 3    2x    2t t   t  tt   t  ttt       t t   t  tt   t  ttt    6      1 1 3     2t  J  xJ x   x  J xx   x  J xxx     J  xJ x   x  J xx   x  J xxx    6     Rút gọn hai vế đẳng thức ta     t  O  t    J x  O  x  http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 2 (3) 51 Lại Văn Trung Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ĐHTN Cho x  t  (3) trở thành  J   , điều dẫn tới t x     v   t x Xét đoạn đường có độ dài L, phương trình luồng giao thơng đoạn đường sau:     t  x  v   0,  x  L, t  0,   f  x,   x,0    g t  ,   0, t   (4) hàm f  x  mật độ ban đầu vị trí x tai thời điểm t  0, cịn hàm g  t  điều kiện biên của tốn, mật độ vị trí x  thời điểm t 200(07): 49 - 53 Trong báo này, ta xét vận tốc v  a không đổi, tốn (1)     t  a x  0,  x  L, t  0,   f  x,   x,0    g t    0, t   (5) Xét miền Q  ( x, t ) :0  x  L;0  t  T  , chia miền Q thành ô đường thẳng x  xi , i  0,1,2, , n; t  t j , j  0,1,2, , m L T ta có ,  n m xi  ih, i  0,1,2, ,n; t j  j., j  0,1,2, , m Đặt h Mục tiêu của phương pháp tìm nghiệm gần của toán nút  i , j  Áp dụng cơng thức Taylor ta có Lược đồ sai phân phương trình luồng giao thơng ( xi , t j 1 )  ( xi , t j 1 ) 2 Thay (6) vào (5) ta  ( xi 1 , t j )  ( xi 1 , t j )   ( xi , t j )  o() ;  ( xi , t j )  o(h) (6) t 2h x    xi , t j 1     xi , t j 1    xi 1 , t j     xi 1 , t j    a  0,i  1, 2, , n  1; j  1, 2, , m  1, 2 2h     xi ,0   f  xi  ,i  0,1, 2, , n,    0, t j   g  t j  , j  0,1, 2, , m   Bằng cách chuyển vế ta a.      xi , t j 1    h   xi 1 , t j     xi 1 , t j      xi , t j 1  ,i  1, 2, , n  1; j  1, 2, , m  1,    xi ,0   f  xi  ,i  0,1, 2, , n,    0, t j   g  t j  , j  0,1, 2, , m  (7) Lược đồ (7) gọi lược đồ sai phân của tốn (5), cho phép ta tính mật độ vị trí i thời điểm thứ j  thông qua thời điểm trước Kết thực nghiệm 52 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Lại Văn Trung Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 49 - 53 Xét tuyến phớ có độ dài khoảng 10 km, giả sử xe có độ dài 5.2 m, chuyển động với vận tốc 50 km/h Với giả thiết mật độ ban đầu thời điểm t  vị trí x đoạn đường   x 20     x  1, f  x      điều kiện biên của toán mật độ vị trí x  thời 10  x  10   20 1  t   t  1, điểm t g  t    Bằng cách sử dụng Mathlab với lược đồ sai phân (7) ta t   0 kết sau với lưới chia x  0,5km; t  Bảng Kết thực nghiệm toán (Kết làm tròn đến hàng đơn vị)  x  km  ; t  h    0;   xe    km   x  km  ; t  h     x, t    xe    km    x, t   1   0,5;  6   1  1;   3  1  2;   2 1   2,5;  2   2  2;   3 20 126 135 124 110 118 146  5;1  1  7;   2  7,5;1  5  8;   6  1  8;   2  2  9;   3  9,5;1 143 122 145 163 117 100 96 Kết luận Bài báo giới thiệu mơ hình tốn học của phương trình luồng giao thơng lời giải sớ cho tốn Đây kết quan trọng bước đầu để nhóm tác giả phát triển sang việc giải toán mơ hình thành phớ bao gồm nhiều tuyến phớ liên thông với Lời cảm ơn Bài báo sản phẩm khoa học của đề tài cấp sở có mã sớ T2019-07-19, tài trợ kinh phí của Trường Đại học Cơng nghệ Thơng tin Truyền thông http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn  3;1 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Đức, Nghiên cứu ứng dụng giao thông thông minh quản lý khai thác, điều hành giao thơng thu phí hệ thống đường tô cao tốc Việt Nam, Viện Khoa học Công nghệ GTVT, tr 182-207, 2014 [2] Alberto Bressan and Khai T Nguyen, “Conservation law models for traffic flow on a network of roads”, Networks & Heterogeneos Media, 10(2), pp 255-293, 2015 [3] Mark H Holmes (2009), Introduction to the Foundations of Applied Mathematics, Springer Science+Business Media, pp 205-264, 2015 [4] S R Khadka,“Optimal traffic planning for efficcient evacuation”, Journal of Advanced College of Engineering and Management, Vol.1, 119-126, 2015 53 54 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn