Luận văn thạc sĩ kỹ thuật Chuyên ngành Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp: Lời giải số của phương trình chuyển động khi phân tích động kết cấu khung ngang nhà công nghiệp một tầng bằng bê tông cốt thép

BO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT TRUONG ĐẠI HỌC THỦY LỢI

TRAN XUAN ĐỊNH

LOI GIẢI SO CUA PHƯƠNG TRÌNH CHUYEN ĐỘNG

KHI PHAN TÍCH DONG KET CÁU KHUNG NGANG

NHA CONG NGHIEP MOT TANG BANG BE TONG COT THEP

LUAN VAN

HA NỘI, NAM 2018

BQ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT TRUONG ĐẠI HỌC THỦY LOL

TRAN XUAN ĐỊNH

LOI GIẢI SỐ CUA PHƯƠNG TRÌNH CHUYEN ĐỘNG:

KHI PHAN TÍCH ĐỘNG KET CÁU KHUNG NGANG

NHÀ CÔNG NGHIỆP MOT TANG BANG BE TONG COT THÉP.

Chuyên ngành: Ky thuật xây dựng công trình DD&CN

Mã số 60-58-02-08

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC: TS NGUYEN ANH DŨNG

HA NỘI, NĂM 2018

LỜI CAM DOAN

‘Tac giả xin cam đoan diy là công trình nghiên cứu của bản thân tác giả Cúc kết quả

nghiên cứu và các kết luận trong Luận văn là trung thực, không sao chép tử bắt kỳ một

nguồn nào và đưới bắt kỳ hình thức nào Việc tham khảo các nguồn tài liệu đã được

thực hiện trích dẫn và ghỉ nguồn ti liệu tham khảo đúng quy định

“Tác giả Luận van

Trần Xuân Định

LỜI CÁM ƠN

Xi lòng biết ơn sâu sắc của mình, em xin chân thành cảm ơn thấy giáo hud

TS Nguyễn Anh Dũng đã tin tinh hướng dẫn, giáp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi

giúp em hoàn thành luận văn va năng năng lực nghiên cứu khoa học.

Em xin cảm ơn các thầy cô trong bộ môn xây dựng công trình DD&CN, các thầy cô giảng day tại trường Dai học Thủy Lợi đã giúp đỡ em trong suỗt quế trình học tập và nghiên cứu,

Trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài tôi luôn nhận được sự động viên của bạn bẻ, đồng nghiệp và người thân trong gia đình Tôi xin chân thành cảm on!

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH ANH v

DANH MỤC BANG BIEU vũ DANH MỤC CÁC TỪ VIET TAT, Vii Mo DAU 1

2 Mục tiêu của để tài 1 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1 4 Nội dung nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu 2 CHUONG 1 TONG QUAN VE PHAN TICH ĐỘNG KET CAU CÔNG TRÌNH 3 1.1 Cúc két cấu dom giản 31.2 Hệ một bậc ty do 71.3 Quan hệ lực - chuyền vj, 81.3.1 Hệ tuyến tính dan hồi 8 13.2 Hệ không din hồi 10 1.4 Lực cản nhốt 21.5 Phương tình chuyển động: Ngoại lục “1.5.1 Sự đụng Định luậ II Newton 41.5.2 Bong lực cân bằng Is 1.5.3 Độ cứng, giảm chin và các thành phần khối lượng 1s 1.6 Hệ khối lượng - lò xo - giảm chắn 16

1.7 Phương trình chuyển động: Động dat tác dụng 17

CHUONG 2 CƠ SỐ KHOA HỌC CUA LOI GIẢI SO KHI PHAN TÍCH ĐỘNG 20

2.1 Phương pháp bước thời gian 20

2.2 Phương pháp sai phân trung tâm, 212.3 Phương pháp Newmark 25

2.3.2 Trường hợp đặc biệt 25

2.3.3 Công thức không vòng lặp 26

2.4 Sự dn định và lỗi tính toán 2.4.1 Sự ôn định

2.4.2 Lỗi tính toán

2.5 Phân tích phân ứng phí tuyển: Phương pháp sai phân trung tâm,

2.6 Phân tích phản ứng phi tuyến: Phương pháp Newmark.

1G ĐỘNG CUA HỆ KET CAU KHUNG NGANG NHÀ CONG NGHIỆP MOT TANG BANG BE TONG COT THÉP.

CHUONG 3 PHAN

3.1 Xây dựng bai toán chuyển động cho khung ngang nhà công nghiệp một tng bằng bê1g cốt thép,

3.2 Lời giải theo phương pháp sai phân trung tâm

3.3 Lời giải theo phương pháp Newmark

3.4 Phân tích, so ánh kết qua tinh toán sử dạng hai phương pháp KET LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO.

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Gian che ti Macuto-Sheraton gần Caracas, Venezuela đã bị phá hu bối động đắt ngày 29/7/1967 [1] 3 Hình 1.2 Bé chứa nước bằng bê tông cốt thép ở độ cao 40ft trên cột đơn bê tông gin sân bay Valdivia [1] 4Hình 1.3 Các hệ lý tưởng hóa 5 Hình 1.4 Mô hình và kết quả dao động tự do của mô hình khung nhôm và mô hi

khung kính nhựa đẻo [1] 6Hình 1.5 Hệ một bậc tự do THình 1.6 Quan hệ lực - chuyển vị 8Hình 1.7 Hệ tuyển tính đàn hồi 9 Hình 1.8 Sự thay dồi độ cứng ben, k, với ỷ lệ độ cứng dằm - 66, 10

Hình 1.9 Quan hệ lực - chuyển vị của một edu kiện kết cầu thép [1] "

inh 1.10 Mô hình phòng thí nghiệm 21.11 Khung một ting lý tưởng hoá ngoại lực ác động, 14 Hình 1.12 Hệ khung một ting 1s Hình 1.13 Hệ khối lượng lò xo - giảm chắn "

Hình 1.14 Hệ một ting lý tưởng bị kích thích động đất và sơ đồ lự tác dụng 17

Hình 1.15 Lực động đất hiệu quả: chuyển động ngang của mặt đắt 19 inh 1.16 Lực hiệu quả của động đắc Chuyển động quay của mặt đắt 19 inh 2.1 Ký hiệu cho phương pháp bước thời gian 21 Hình 2.2 Kết quả giải bài toán bằng bốn phương pháp số và theo lý thuyết 31 Hình 2.3 Sự phân tín AD và chu ky kéo dài PE: 3 Hình 2.4 Độ cứng cát tuyến và độ cứng tiếp tuyết 34 Hình 2.5 Quan hệ lực - biến dạng 36 Hình 2.6 Biểu đồ lap trong một bước thờ gian cho các hệ phi uyển + in 3.1 Mặt bằng kết cầu và khung điễn hình 41Hình 3.4 Lý tưởng hoá khung ngang chịu tác động của động đất 42 ‘Hinh 3.2 Gia tốc nền động dat loại I trong tiêu chuẩn thiết kế JRA của Nhật Bản 43

Hình 3.3 Gia tốc nề ế IRA của Nhật Bản 44động đất loại I trong iêu chuẩn thiết Hình 3.5 Sơ đồ tóm tắt các bước giải dựa trên phương pháp sai phân trung tâm 5

Hình 3 6 Biểu đồ lịch sử chuyển vị tính toán với gia tốc nền động đất loại I tho

phương pháp sai phân trang tâm 48 Hình 3.7 Biểu đồ vận tố tính toán vớ gia tốc nén động đắt loi I theo phương pháp sai phân trang tâm 49 Hình 3.8 Biểu dé gia tốc tính toán với gia tốc nền động đắt loại I theo phương pháp sai

phân trung tâm 49

Hình 3.9 Biểu dd lich si chuyỂn vị tính toán với gia te nền động dit loi I theo phương pháp sai phân trung tâm 32

Hình 3.10 Biểu đồ vận tốc tính toán với gia tốc nén động đắt loại II theo phương pháp

sai phân trừng tâm 33 Hinh 3.11 Biểu đồ gia td tính toán với gia tốc nền động dt log I theo phương pháp sai phân trang tâm 33inh 3.12 Sơ đồ tóm tt các bước giải dựa trên phương pháp NewMark 5s

Hình 3.13 Đồ thị lịch sử chuyên vị tinh toán với gia tốc nÊn động đắt loại theo Hình 3.19 Sự sai khác của chuyển vị với gia tổ 64 Hình 3.20 Sự sai khác của vận tốc với gia tố 65 Hình 3.21 Sự sai khác của gia tốc với gia tố 65 Hình 3.22 Sự sai khác của chuyển vị với gi 66

Hình 3.23 Sự sai khác của vận tốc với gia the nén loại IL 66

Hình 3.24 Sự sai khác của gia tốc với gia tốc nền loại II 6T

DANH MỤC BANG BIEU

Bảng 2.1 Phương pháp sai phân trung tim 24

Bang 2.2 Phuong phip gia tốc trung bình và gia tốc tuyển tính 26

Bang 2.3 Phương pháp NewMark: Hệ tuyển 29 Bang 2.4 Vòng lặp Newton - Raphson cải tid 38 Bảng 2.5 Phương pháp Newmark: Hệ phi tuyển 39

Bảng 3.1 Tom tắt ké qua tinh toán với gia tốc nỀn động đất loại I theo phương pháp

sai phân trung tâm 46 Bang 3.2 Tóm tắt kết quả tính toán với gia tốc nền động đắt loại II theo phương pháp sai phân trung tâm, SI Bang 3.3 Tóm tit kết qua tính toán với gia tốc nén động đất loại I theo phương php Newmark 56

Bảng 3.4 Tóm tắt kết quả tính toán với gia tốc nền động đất loại I theo phương pháp

Newmark 60

1 Tính cấp thiết của đề tài

“Trong lịch sử tổn tại và phát triển, nhân loại phải đối đầu với các tai hoạ thiên nhiên như lũ It, hạn hán, bão 16, động đắt, núi lửa, sóng thần Trong đó, động đắt là một hiện tượng thiên nhiên gây ra những thăm hoạ kinh khẳng nhất cho con người và các công trình xây dựng ĐỂ bảo vệ sinh mạng của mình và các tài sản vật chat xã hội, con

người đã có rit nhiều nỗ lực tong việc nghiên cứu phòng chống động dit, Tuy đã cónhững bước ngoặt rit ngoạn mục trong lĩnh vực này nhưng cho đến nay con người vẫn

không ngăn được những thảm hoạ do động dat gây ra Các trận động đất xảy ra trong.

những năm gần đây nhất tai Nhật Bản (1995), Thổ Nhĩ Kỳ (1999), Hy Lạp (1999), Đài

Loan (1999), An Độ (2001), Apganistan (2002), Iran (2004), Inđônêsia (2004), Haiti (2010), Chile (2010), Trung Quốc (2010), Inđônêxia (2010) đã chứng minhđóVới trình độ khoa học - công nghệ hiện nay, con người chưa có khả năng dự báo mộtcách chính xác động đất sẽ xây ra lúc nào, ở đâu, con người chưa có biện pháp phòng chống động đất chủ động như phòng chống bão hay lũ lụ Trong hoàn cảnh đó con

người ngoài việc phải nghiên cứu các phương pháp nhằm hoàn thiện hơn nữa khả năng

dy báo về động đắc chúng ta cũng phải tip tục nghiên cứu các phương pháp tinh toán xây dựng các kết cầu công trình chịu tác động của động đất.

“Trên thể giới và Việt Nam có nhiều nghiên cứu và phương pháp tính kết clu chịu động

đất khác nhau Nhưng tính toán động đất luôn la vấn để phúc tạp vì vây việc nghiên sứ các phương phip tính oán và trên cơ sỡ đó rút ra ác kết luận, đánh giá luôn luôn có ý nghĩa thực tế nhằm phục vụ cho công tác thiết ké công trình,

2 Mục tiêu của đề tài

“Tim phản ứng động của kết cấu khung ngang nhà công nghiệp một ting bằng bê tôn

sốt thép theo phương pháp số.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Ứng xử của khung ngang nhà công nghiệp một tằng bằng bê tông cốt thép khi động của động đất

4 Nội dung nghiên cứu.

~ Nghiên cứu về phân ích động kết cầu công tình.

- Nghiên cứu lời giải số của phản ứng động.

~ Nghiên cửu phân ứng động của khung ngang nhà công nghiệp một bằng bằng bê tông

cốt thép khi chịu tác động của động đắt.

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập thông tin: thư thập từ ede ti liệu, đề ti, dự ániên quan đến phân tích động kết cấu công trình

- Phương pháp phân tích, tổng hợp.

'CHƯƠNG 1 TONG QUAN VE PHAN TÍCH ĐỌNG KET CAU CONG TRINH

1.1 Các kết cấu đơn giãn

“Chúng ta bắt đầu nghiên cứu về động lực công trình với các kết cầu đơn giản như giảnche 6 Hình 1.1 và bể chứa nước trên cao ở1.2 Trong thực tếng ta phải quan tâm đến sự ng động của các kết cấu này khi phải chịu lực ngang ở chuyển động rên mặt đt hoặc chịu lực ngang gây ra do một trận động đắc Hệ gọi la kết cầu dom giản vì chúng có thể lý tưởng hóa như một khi lượng tập trung hoặc một khdi lượng m được chống đỡ bởi một kết cấu không khối lượng có độ cứng k theo phương ngang Sự lý tưởng hỏa như vậy phù hợp với giàn che này với một mái bê tông nặng được chống đỡ bởi các cật ông thép nhẹ, có thé được coi là không có khối lượng Mái b tông rất cứng

Hệ t

linh hoạt của kết cấu trong chuyển vị ngang được cung cấp hoàn toàn tử cột 2g lý tưởng được thể hiện trong Hình L3a với một cặp cột chống đỡ độ di nhánh của mái bẽtông Hệ thống này có khối lượng m bằng khối lượng của mái và độ cứng k của nó là tổng độ cứng của các cột ống iêng lẻ

Hình 1.1 Giàn che tại Macuto-Sheraton gần Caracas, Venezuela đã bị phá huỷ bởi

động đắt ngày 29/7/1967 [1]

Hình 1.2 BỂ chứa nước bằng bê tông cốt thép ở độ cao 40fttrên cột đơn bể tông gin sin bay Valdivia [1]

Sự lý tưởng hoá tương tự, thể hiện trong Hình 1.36, phù hợp với bể chứa khi nó dy

nước Với việc xả nước không thé thực hiện được trong bể chứa diy, n6 là một khối nặng m được chống đỡ bởi một thấp trong đối có thể dược giả định là không có khối lượng Thấp côngsôn chống đỡ bể nước cũng cắp độ cứng k cho kết cấu Trong thời điểm này, chúng ta sẽ gia định rằng chuyển động ngang cin kế cấu này là nhỏ theo nghĩa các kết cau đỡ bị biển dạng trong giới han co giãn tuyến tính của chúng.

Trong chương này chúng ta sẽ xét phương trình vỉ phần diễu khiển sự địch chuyển

ngang u(t) của các kết cầu ý tưởng mà không có lục kích thích bên ngoài hoặc chuyển

động của đất là

mũ + kủ =0) ay

Kết qua của phương trình này chỉ ra rằng nếu khi lượng của cáchệ lý tưởng hoá của.Hình 1.3 được đặt qua một số chuyển vị ban đầu u(0), sau đó được giải phóng và chophép chuyển động tự do hoặc chuyển động về phía trước và về trang thấi cân bằngban đầu, Như trong Hình 1.3c, sự dịch chuyển tối đa tương tự xảy ra dao động sau dao động: những dao động nay tiếp tục mãi mãi và những hệ thong lý tưởng này sẽ không bao giờ đừng lại Tắt nhiên điều này không thực tổ Trực giác cho thấy rằng nếu mái của Giàn che hoặc trên cing của bể nước được kéo bing một sợi đây thững và diy thùng bị cắt đột ngột, kết cầu sẽ dao động với biên độ luôn luôn giảm và cuỗi

Các thí nghiệm như vậy đã được thực hiện tên các mô hình phòng thí nghiệm củacác khung một nhịp và kết quả do được về phản ứng động tự do của chúng đượcnh bày trong Hình 1.4 Theo kỳ vọng, sự chuyển động của các mô hình kết cầu nàysẽ dùng lại theo thời gian, đối với mô hình kính nhựa dẻo sự dừng lại nhanh hơn sovới khung nhôm,

0 1 2 3 ca 1 8ó 7 8

“Thời gan,

(4) Hình ảnh của mô hình khung nhôm và kính nhựa déo được đặt tiên một ban rung nhỏ sử dụng để tình diễn trong lớp học ại đại học Califoia tại Berkeley; (b) Kết quả

đao động tự do của mô hình khung nhôm; (c) Kết quả dao động tự do của mô hình khủng kính nhựa dễo

Hình 1.4 Mô hình và kết quả dao động tr do của mé hình khung nhôm và mô hìnhkhung kính nhựa do [1]

Quá trình làm rung động ổn định theo biên độ được gọi là giảm chắn Trong giảm chắn

động năng và năng lượng biển dang của hệ thống rung động được tiêu tan bởi các cơ chế khác nhau mà chúng ta sẽ dé cập đến sau đây Chúng ta có thé nhận ra rằng một cơ

chế hip thụ năng lượng nên được bao gồm sự sự lý tưởng hóa kết cầu để diễn ta được đặc tính chuyển động trễ quan sit được trong các thí nghiệm dao động tự do của một kết cu Các yếu tổ giảm chin được sử dụng phổ biển nhất là bộ giảm chấn nhớt, một phần bởi vì nó là đơn giản nhất để xử lý về mặt toán học.

1.2 Hệ một bậc tự đo

Hệ khảo sit được thể hiện qua sơ đỗ Hình 1.5 Hệ bao gdm một khối lượng tập tring ở mức mái, một khung không khối lượng có độ cứng, và một bộ giảm chấn làm tiêu hao năng lượng rung của hệ Các đẫm và cột được gi định fa không cổ biển dạng dọc trục

Hệ này có thể được coi là một sự ý tưởng hoá kết cấu nhà một ting Mỗi thành phần

kết cấu (dim, cột, tưởng ) của công trình thực sẽ góp phần vào quán tính (khối lượng), din hai (độ cứng hoặc tính dẻo), và sự tiêu hao năng lượng (giảm chắn) của

kết cấu Trong hệ lý tưởng hóa này có ba thành phần riêng biệt thành phn khối

lượng thành phần độ cứng, và thành phần giảm chin,

Số lượng chuyển vị độc lập cần thiết dé xác định các vị trí dịch chuyển của tit cả các điểm khối khối lượng của hệ liên quan đến vị ti ban đầu được gọi là số bậc tự do để phân tích động (DOF thiết để xác định tính chất về

độ cứng của kết sấu so với bậc tự do cin thiết để phân tích động Xét khung một ting

Cée bậc tự do thông thường.

của Hình L5, bị hạn chế chỉ dã chuyển theo hướng lực tác dụng, Các vẫn để phân tích

tình phải được xây dựng với ba bộc tự do chuyỂn vị thẳng và bai chuyển vị xoay ti nút

để xác định độ cứng bên của khung Ngược lại, kết cầu chỉ có một bộc tự do sự dich

chuyển bên để phân tích động nếu nó được lý tưởng hoá với khối lượng tập trung ở một vị tí, điển hình ở cao độ mái Do đó, chúng ta gọi đây là hệ một bậc tự do (SDF)

Hai loại động lực tác dung sẽ được xét(1) ngoại lực p(t) theo phương ngang (Hình

1.52), và (2) chuyển động của dit do động đắt u() (Hình 1.5b) Trong cả bai trường,

hợp, biểu thị sự dịch chuyỂn tương đối giữa khổi lượng và chân công tình

1.3 Quan hệ lực - chuyển vị

Xếthệ như trong Hình 1.6a không chịu lực động tác dung chỉ chịu ấp lực tĩnh được tác động bên ngoài fs đọc theo bộc tự do u như trên hình Cúc nội lực chống lại sự dịch chuyển u bằng nhau và ngược với ngoại lực fs (Hình 1.6b) Để xác định mối quan hệ giữa lực fS và chuyển vị tương đối u phụ thuộc vào biển dang của hệ kết cầu Méi quan hộ giữa lực - chuyển vị này có thé là tuyển tính ở các biển dạng nhỏ nhưng sẽ trở nên phi tuyến khi biến dạng lớn; hai mối quan hệ tuyến tính và phi tuyến được thể hiện

“Trong đó: k là độ cứng ngang của hệ, đơn vị của nó là Iye/chigu đàNem giả thiết

trong phương trình 1.2 là mỗi quan hệ tuyến tinh xác định cho các biển dạng nhỏ của

kết cầu cũng có giá tỉ tương đối với các biển dang lớn hơn Bởi vì lực cản là một hàm 6 giá tị của u, hệ này có tinh din hồi; do đó chúng ta sử dụng thuật ngữ tuyển tính đàn hồi

éu cao h, môđun din hỗi E, Xét khung như Hình L7a với chiều dồi nhịp L c

môment quán tính của mặt cắt ngang đổi với trục uốn bằng Ih và Te cho dim và cột tương ứng: Các cột được ngầm cổ định tại chân cột Độ cũng bên của khung có thể

đảng xác định cho hai trường hợp nguy hiểm: Nếu dim cứng (nghĩa là độ cứng uốn

Hình 1.7 Hệ tuyển tính din hồi

(Quan sát thấy rằng hai giá tri nguy hiểm của độ cứng dim, độ cứng bên của khung là

độc lập với L, chiều đài dim,

‘DG cứng bên của khung cùng độ cứng tổng thể, thực tế của dim có thể được tính bằng các phương pháp chuẩn về phân tích kết cấu tĩnh Ma trận độ cứng của khung được cấu thành đối với ba DOF: chuyển vị bên u và góc xony của hai mỗi nối oft dim

(Hình 1.7a) Bằng cách cân bằng tĩnh hoặc loại bỏ bậc tự do góc xoay, mỗi quan hệ lực.

+ chuyên vị của phương trình L2 sẽ được sắc định Ap dụng phương pháp này vào một

khung với L = 2h và Eh1 Độ cứng bên của nó đạt được k2

Độ cứng bên của khung có thé được tinh tương tự đối với bắt kỳ git l và

dạng các hệ số độ cũng khung đã được nghiên cứu trong Phụ lục 1 Nếu các biển dạng cắt trong các phần tir bị loại bỏ, kết quả có thé được viết dưới dạng:

24EL, 12p+l

Trong đó: p=BAL, là tỷ lệ độ cứng của dim với cật Đi với p~0, z và —, phương trình L6 trở vỀ kết quả của các phương trình 1.3, 1.4, và 1.5 tương ứng Độ cứng bên

được về như một hàm của p trong Hình 1.8; nó được tăng theo cấp số nhân của 4 cũng

như p tang từ 0 đến vô cùng

Hình 1.8 Sự thay đổi độ cứng bên, k, với tý 1 độ img dằm - cột p 1.3.2 Hệ không dan hỗi

dạng đối với các kết cấu điễn hình bị biến dạng theo chu kỳ Mỗi quan hệ lực - bi

được thể hiện tong Hình 1.9 Đường cong tải ban đầu là phi tuyén ở các biên độ biển dang lớn hơn, và các đường đỡ vả tăng tải lại khác với đường tải ban đầu.

10

Hình 1.9 Quan hệ lực - chuyển vị của một edu kiện kết cầu thép [1]

Điều này ngụ ý rằng lự 1 tương ứng với biển dang u không phả là một giá tị và phụ thuộc vào lịch sử của các biển dạng và về việc liệu sự biển dang dang tăng (vận tốc dong) hoặc giảm (vận tốc âm) Như vậy, phản lực có thể biểu diỄn như sau:

=u ay ‘Quan hệ lực - biển dang của khung một ting lý tong hoá (Hình 1.6a) biển dang trong miễn không din hỏi có thé xác định bằng một trong hai cách Một phương pháp tiếp sân là sử dung các phương pháp phân tich cấu trúc tĩnh phí tuyển Ví dụ, trong việc phân tích một kết cấu thếp với một quy luật ứng suit biển dạng giã định: việc phân tích theo doi sự bắt đầu và sự lan rộng của ứng suất ở các vị trí quan trọng và sự hình thành các khớp déo dé đạt được đường cong tải ban đầu (o-a) thể hiện trọng Hình 6c Cie đường tải (a-c) và tải lại (ca) có thé được tinh toán tương tự hoặc có thé được định nghĩa từ đường cong tải đầu tiên bằng các giả thuyết hiện tại Một các tiếp cận khác la xắc định lực không din hồi - mỗi quan hệ của bé mặt như một phiên bản lý tưởng của dữ liệu thực nghiệm, như trong Hình 1.9.

“Chúng ta quan tâm đến nghiên cứu phản ứng động của các hệ không đàn hỏi bởi vì nhiễu kết cấu được thiết kế với mong muốn ring chúng sẽ chịu được nứt ứng suit và thiệt hại trong quá trình rung ắc mạnh do động đất gây ra

1.4 Lực cân nhớt

Nhu đã dé cập ở trên, quá trình dao động tự do giảm din theo biên độ được gọi là giảm.hác“Trong giảm chắn, năng lượng của hệ rung lắc bị tiêu hao bởi các cơ cl

nhau, và thường có nhiều cơ chế có thể hiện diện cùng một lúc Trong các hệ "sạch”đơn giản như.ic mô hình phòng thí nghiệm ở hình 1.4.1, hầu hết sự tiêu hao năng,lượng có thể x din hồi của vật Tigathực tế, chúng bao gm các ma sit kết nối thép, mở và đồng các vết nứt nhỏ trong bê tông, ma á giữa kế ấu và các yêu tổ không kết cấu như các trồng ngăn, Cổ vẻ như không thể xác định hoặc mô tả toán học được từng cơ chế giải phóng năng lượng này trong một và từ ma sắt trong khi một chit rắn bj biển dạng Tuy nhiên, trong các kết cá

toà nhà thực

Chính vì vậy sự giảm chấn tong các công trình thực tế thường được diễn giải theo

cách thức lý tưởng hoá cao Đối với nhiều mục đích, sự giảm cÍ rong kếtcấu của hệ một bậc tự do động có thé được lý tưởng hoá một cách thoi ding bởi một bộ chống rung nhớt hoặc bộ giảm chấn Hệ số giảm chin được lựa chọn sao cho năng, lương rung lắc tiêu hao trơng đương với ning lượng đã được phân tin rong tắt cả các car chế giảm chin, kết hợp, iện tại nó à kết cấu thực tẾ Sự lý trởng hoá này đo đồ được gọi là lực cân nhớt tương đương.

Tình 1.10 cho thấy một bộ giảm chấn nhớt tuyển tính chị lực dọc theo bộc tự do Nội lực của bộ giảm chất

Như thị

bằng nhau và ngược lại với ngoại lực tác dụng (Hình 1.10b),mm trong Hình 1.10¢, lực giảm chấn liên quan đến vận tốc u xuyên qua bộ

Không giống như độ cứng của kết cu hệ số cản nhớt không thể được tính từ kích thước của kết cấu và kích thước của các phần tử kết cấu Điều này không đáng ngạc nhiên bởi vi, như chúng ta đã ni ở trên, không thể xá định được tắt cả các cơ chế tiêu tán năng lương rung lắc của các kết cấu thực tế Do dé các thí nghiệm rung lắc trên kết cấu thực tẾ cung cấp dữ iệu để đánh giá hệ số giảm chắn Dây có thé à các thí nghiệm rung lắc tự do dẫn đến các dữ liệu như được thể hiện trong Hình 1.10: tốc độ đo được ‘ota chuyển động tễ trong dao động tự do sẽ là cơ sở để đánh giá hệ số cản nhớt Tính chit giảm chan cũng cổ thể được xác định từ các thí nghiệm dao động bit buộc

Bộ giảm chắn nhớt tương đương được ding để mô phỏng sự iêu hao năng lượng ở các biến độ si lệch rong giới hạn co giãn tuyến tính của toàn bộ kết cấu Trong phạm vỉ tiến dạng này, hệ số căn nhớt e được xác định từ các thí nghiệm có thể thay đổi theobiên độ bị

xết trong phân tích động Nó có thể được xử lý gián ¡ biên độ biết

dang liên quan đến giới hạn đàn hồi tuyển tính của kết cấu.

th của bộ giảm chin này thường không được dạng, Tính không tuyể!

p bằng cách chọn một giá tị cho hệ số cán nhớt phù hợp n dang dự kiến, thường được coi là biến

Nang lượng bổ sung bị hấp thy do ứng xử phi tuyển của kết cầu khi các biến dang lớn. hơn Dưới các lực tuẫn hoàn hoặc biến dạng, hành vi này bao hàm sự hình thành một

vòng lặp trễ giữa biến dang và lực (Hình 1.6c) Năng lượng hắp thụ trong một chu kỳ

biển dang giữa giới hạn biến dang đượcđình 1

giảm chin nhớt, đặc biệt nế

bằng diện tích của vòng tròn trễ abcda ) Sự hấp thụ năng lượng này thưởng không được mô phông bing một bộ "ích thích là chuyển động của động đất, Thay vào đó, cách tgp cận pho biển và trực tiếp nhất để giải thích sự tiêu hao năng lượng thông quatinh không đàn hi là mỗi quan hệ không dan hỗi giữa lực cản và biển dạng, như trong Hình lóc và 1.9, để giải phương trình chuyển động Các mi quan hệ lực biến dạng như vậy thu được từ các thí nghiệm trên các kết cấu hoặc các kết edu ở tốc độ biến dang chậm, do đó loại trừ bắt kỳ sự tiêu hao năng lượng nào phát sinh từ các phản img phu thuộc tốc độ Cách tip cận thông thường là mô hình sự hp thy này rong miễn

phi ruyén của biển dang bằng một phẫn từ giống phần từ chống rùng nhớt (viscous damper, phần từ này đã được định nha từ trước đó cho ác biển dang nhỏ hom trongmiễn dan hồi tuyến tính.

1.5 Phương trình chuyển động: Ngo:

Hình 1.11a thể hiện khung một ting được lý tưởng hoá đã được trình bày ở phần trước,tải trọng động p(t) được tác dụng bên ngoài theo hướng bac tự do u Ký hiệu này được hiểu rằng lực p thay đổi theo thời giant

rủ bã bãst 2 >,=< "=<

Minh 1.11 Khung một ting lý tường hoá ngoại lực tác động.

Sự chuyển vị của khối lượng cũng thay đổi theo thi giam: nỗ được biểu diễn bằng u() Trong các phin 1.5.1 và 1.52, chúng ta nhận được phương trình vi phân điều khiển sự dịch chuyển u() bằng hai phương pháp: sử dụng định luậ II NewTon (1) và sự cân bing

động năng (2) Một quan điểm thay thé khác cũng sẽ được trình bày trong phan 1.5.3.

1.5.1 Sự dụng Định luật II Newton

Các lực tác động lên khối lượng tại một thời điểm nào đó được thể hiện trong Hình 1.11b Chúng bao gồm ngoại lực p(0, lực đản hồi (hoặc không đàn hồi) Í, và lực giảm chấn Íy Chiều đương của ngoại lực p(t) chuyển vi a() vận tốc ad) và gi tốc HA) cùng chigu đương của trục x Các lực din hồi và giảm chin được t theo hướng neue lại vì chúng à nội lực chống lại sự biển dạng và vận ốc tương ứng

Két quả lực dọc theo trục x là pf, -f,, và định luật II Newton cho phương trình:

mil q9)

mũi #f, +f, =p) 10)

Phương trình nay sau khi thay thé phương trình (1.2) và (1.8) trở thành:

mù + ear ku = pt) aay, Đây là phương trình chuyển động diéu chỉnh sự biển dang hoặc chuyển vị u(t) của kết cấu lý tưởng trong Hình 1.119, được cho là tuyển tính din hồi, chịu ngoại lực động p(t) Các đơn vị khi lượng là lucia tốc.

Kết quả này có thé d ding được mở rộng đến các hệ không đàn hồi Phương trinh (19) và (1.10) vẫn còn hiệu lực và tắt cá những gì cin làm là thay thé phương trình (12), giới hạn cho các hệ tuyển tính, bằng phương tình (L7), cổ giá tị đổi với hệ không đàn hỏi Đối với các hệ như vậy, phương trình chuyển động là

mũ + ever £ (08 = ptt) (112)

1.5.2 Động lực cân bằng

Theo kiến thức đã học về cân bằng lực, các kỹ sư có thể dim thấy nguyên tắc

DAlembert của động lực cân bằng Nguyên tắc này dựa trên khái niệm lực quán tính

hur edu, một lục tương đương với khỏi lượng tăng sắp nhiều lần và hoại động theo

hướng ngược với gia tốc, Có thể cho rằng vớ lực quán tính xuất hiện, một hệ sẽ dạt

trang thi cân bằng tai mỗi thời điểm tức thời Do đó một sơ đồ của một khối lượng

dich chuyển có thể nút ra và các nguyên tắc tinh học có th được sử dụng để phát triển các phương trình chuyển động.

Hình 1.11¢ là sơ đồ tại thời điểm t với khối lượng được thay thể bằng lực quấn tính han biệt lực "hư cấu” nảy với lực của nó, được thể

thực Thiết

thấy phần trước bằng cách sử dụng định luật II Newton, bằng một đường nét đứt

lập tổng của tắt cả các lực bằng 0 cho phương trình (1.10), đã được tim 15.3 Độ cứng, giảm chắn và các thành phần khối lượng

“Trong phần nảy, phương trinh cho khung một ting được xây dựng dựa trên một quan điểm khác Dưới tác động cia ngoại lực p(t) trang thái của hệ được mô tả bằng chuyển vi u(t), vận tốc We) và gia tốc WO) (Hình 1.124)

Hình dung hệ như là sự kết hợp của ba thành phần thuần tuý: (1) thành phần độ cứng: khung không có giảm chin hoặc khối lượng (Hình 1.12b); (2) thành phn giảm chấn: khung có tính giảm chấn nhưng không có độ cứng hoặc khối lượng (Hình 1.12); và

(3) thành phần khối lượng: khối lượng mái mà không có độ cứng hoặc giảm chắn của.

khủng (Hình 1.124) Ngoại lục f, đối với thành phần độ cứng cổ liên quan đến chuyển vị w bởi phương trình (1.2) nếu hệ có tính din hỗi tuyển tính, ngoại lực , trên thành phần giảm chấn có liên quan đến vận tốc ý theo công thức (L8), và ngoại lực f, trên thành phần khối lượng có liên quan đến gia tốc bằng f= ml, Ap lực ngoài ple) áp dụng cho toàn bộ hệ do d6 có thể được hình dung như phần bổ giữa ba thành phần của

kết cấu, và f +f, +f, phải bằng lục tác dụng p(t) dẫn đến phương trình (1.10) Mặc

dù quan điểm thay thé này dường như không cần thiết đối với hệ đơn giản như Hình 1.12a, nhưng nó tắt hữu ích cho các hệ phức tạp

1.6 Hệ khối lượng fo xo giảm chắn

Hệ một bậc tự do động đã được giới thiệu bằng cách IY tướng hoá một kết cấu khung một ting (Hình 1.11a) Thông thường hệ một bậc tự do là một hệ khối lượng lò xo

-giảm chắn như trong Hinh 1.13a Các động lực của hệ này được phát triển rong sách giáo khoa về chuyển động cơ học và vật lý cơ bản Nếu chúng ta xét các lờ xo và bộgiảm chắn không khối lượng, khối lượng tuyệt đổi cứng và tắt cả các chuyển động

theo hướng trục x, ta được hệ một bậc tự do động Hình 1.13b cho thấy các lực tác dụng lên khối lượng: chúng bao gồm lực kháng din hồi, f, = ku, được thực hiện bởi

một lò xo tuyển tính của độ cứng k, lực cản giảm chắn, f, = ef, do một bộ giảm chin

nhót tuyển tính Ap dụng định luật II Newton sau đồ cho ta được phương trình (1.10) "Ngoài ra, phương trình tương tự thu được bằng cách sử dụng nguyên lý D'Alembert và viết ra phương trình cân bằng cho các lực trong sơ đổ lực ngẫu nhiên bao gồm lực từ trước cho quán tính (Hình 1.13) RO rằng là phương tỉnh chuyển động bắt ng

khung lý tưởng một ting trong Hình 1.11a cồng cỏ gi trị đối với hệ thông khuếch đại khối lượng ở hình 1.13a

“Trong các vùng dễ bị động đắt, vẫn 48 chính của động lực kết cầu liên quan đến các kỹ sự là ứng xử của các kết cầu chịu động đắt gây ra bởi sự chuyển động của chuyển động

cửa nên của kết cấu, Sự dich chuyển của mặt đất được biể diễn bội uạ sử dịch chuyển

tuyệt đối của khối lượng bằng tÝ và sự địch chuyển tương đối gia khí lượng và mặt đất bằng u (Hình 1.14) Tại mỗi thời điểm, sự dịch chuyển này liên quan đếm

“rong đốc và cùng trong một hệ tam chu và chiều dương của chứng Ia cùng chiều Phương tình chuyển động của hệ một ting lý tưởng trong Hình 1.1éa bị kích thích động đất có thé được rút ra bằng bit kỳ phương phấp nào trong mục 1.5 Ở đây chúng

Chỉ sự chuyển động tương đối giữa khối lượng và chân của hệ do sự biến dang của kết

cấu tạo ra lực din hồi và giảm chắn (nghĩa là, chuyển vị tổng thể của khung cứng

không tạo ra nội lục) Như vậy đối với một hệ tuyển tỉnh các phương trình (1.2) và (1.8) vẫn có hiệu lực Lực quán tính f, iên quấn đến gia tốc đ của khối lượng:

mi: q15)

Thể các phương trình (1.2, (1.8) và(I.15) vio phương nh (114) và áp dụng phương trình (1,13) được:

me exe ku = -mfŠ(0) q16)Diy là phương trinh chuyển động về sự dịch chuyển hoặc biển dang tương đối của cắu tuyến tính ong Hình 14a khi bị tác độ 1 bởi gia tốc nền RA)

Đối với các hệ không din hồi, phương tình (1.14) có giá tỉ nhưng tương đương phương trinh (1.2) nên được thay bằng phương trinh (L7) Kết quả phương nh chuyển động là

mi cứết fy (ua = -mể(0) aay

So sánh các phương trình (1.11) va (1.16), hoặc các phương trình (1.12) va (1.17), thấy rằng các phương trình chuyển động cho hệ kết cầu chịu hai sự tác động khác nhau - gia tốc nền (0) và ngoại lực = -mt() là một và giống nhau Do đó, chuyển vị hoặc ig hệt chuyển vị u(t) tiến dụng tương đốt (7) của kết cấu do gì tốc nền (9 sẽ

của hệ kết cấu nếu chân của nó.inh và chịu một lực tác động = -md(t) Như

trong Hình 1.15, chuyển động của mặt đất có thể được thay thể bằng lực động đất hiệu

«qua (thé hiện bằng chỉ số “et?

Past) (0) q18) Lực này bằng tich của khối lượng và gia ốc nén, và ngược li với gia tốc nền Điều quan trọng là lực động dat hiệu quả ty lệ thuận với khối lượng của kết cầu Vì vậy, nhà thiết kế kết cấu làm tăng lục động đắt hiệu quả nếu khối lượng kết cầu tăng lên.

Pet) ==mi()

= t0

4 Mong cố định

Hin 1.15 Lực động đất hiệu quả: chuyển động ngang của mặt đất

Mac dù cúc thành phần quay của chuyển động rên mặt dit không được đo trong các trận động dit, nhưng chúng có thể được ước tinh từ các biển đổi cia thành phần đo được và nó là mỗi quan tâm để áp dụng các khái niệm trước cho dang tác động này Với mục dich này, xế thấp công xôn trong Hình 1.16a, có thể được coi

tưởng hoá bể chứa nước wong Hình 1.2, chịu lực xoay dưới chân 0,

một sự lý

+ Peal)

——., J2; Móng ngàm cổ định inh 1.16 Lực hiệu quả của động đắc Chuyển động quay của mặt đắt

‘Ting chuyển vị u" của khối lượng được ạo ừ hai phần: u liên quan đến sự biển dang

của kết cu và thành phan thân tuyệt đối cứng hô, trong dé h là chiều cao của khối lượng so với chân hệ Tại mỗi thai điểm, sự địch chuyển liên quan đến

u40) = u60) +h9,(0) (19)

‘Cie phương trình (1.14) và (1.15) vẫn còn hiệu lực nhưng toàn bộ gia tốc Ht) bây giờ

phải xác định từ phương trình (1.19) Liên kết tat cả phương trình với nhau ta được:

nae a = nh) (120)

Lire động đất hiệu quả với thành phần quay của chuyển động trên mặt dt là

sot) aa

CHUONG 2 CƠ SỞ KHOA HỌC CUA LOI GIẢI SÓ KHI PHAN TICH

3.1 Phương pháp bước thời gian

Đối với một hệ không đản hồi, phương trình chuyển động được giải quyết bằng sổ là

Tuy thuộc vào điều kiện ban đầu: u = u(0); đ= 0)

Hệ được gia định có độ cân nhớt tuyển tính, các dạng giảm chắn khác, như giảm chấn

phí tuyển cũng sẽ được xét đến và làm rõ sau Điều này hiểm khí được thực hiện vìthiểu thông tin vé giảm chắn, đặc biệt ở các biên độ chuyển động lớn Lực tác động

p(t) được cho bởi một tập hợp các giá trị rời rac p,=p(t),¡=0 đến N (Hình 2.1)

Quang thời gián:

“4 22)“Thường được coi là không đổi, tuy nhiên điều ày không cần thiết, Phản ứng được xác định tại các thời điểm rời rạc t,, được biểu thị bằng thời gian ¡; Chuyển vị, vận tốc và ốc tương ứng của hệ một bậc tự do là u,, wh, để Các giá trị này được cho là đã biết, áp dụng phương trình (2.1) tại thời điểm i:

mi cất ([,), = @3)“Trong đó: (f,), là lực cản tai thời điểm i; (f,), =ku, cho một hệ tuyển tinh dân hồi

nhưng sẽ phụ thuộc vào lịch sử trước của sự địch chuyển và vận tốc nếu hệ Không dn hồi Các phương pháp số sẽ cho phép chúng ra xác định số lượng phản ứng tụ,.

đy,, và đụ, tại thời điểm tức thì (L+ 1) mà thoả mãn phương tinh (2.1) tại thời

êm (+1)

my, + cất, + Ear = Pr 24)

20

Hình 2.1 Ký hiệu cho phương pháp bước thời gian

Khi áp dụng liên tếp với 0,1, 2, 3, phương pháp thời gian đưa ra đáp ứng mong, , 1, 2, 3, Các điều kiện ban đầu đã biết cung cấp cin muốn tại mọi thời điểm ¡ =

thông tin cn thiết để áp dụng phương pháp.

Bước từ thời gian ¡ đến ¡ + 1 thường không phải là một phương pháp chính xác Nhiều

phương pháp gin ding cổ thé được thực hiện theo phương pháp số Ba yếu tổ quan

trong đối với một phương pháp số là (1) hội tụ - khi thi gian giảm, phương số phải

tiếp cận phương pháp chính xác, (2) tinh én định - phương pháp,

có mặt của các lỗi làm tròn số, (3) độ chính xác - các phương pháp số phải cung cấp kết quả gần đủ đẻ phương pháp chính xác.

2.2 Phương pháp sai phân trung tâm.

Phương pháp này dựa trên sự chẳnh lệch khác biệt hữu hạn của các dẫn xuất thời gian “của sự dich chuyển (tức là vận tốc và gia tốc) Thực hiện các bước thời gian không đổi,

Ai, = Ar, biểu thức sai phân trung tâm của vận tốc và gia tốc tại thời điểm ¡ là:

Thể các biểu thie gin đúng này cho vận tốc và gia tốc vào phương trnh (2.3), chuyển

về các hệ đàn hôi tuyển tính, được:

Trong phương trình này u, và t,, được giả định là đã bid (ur việc thực hiện phương pháp cho các bước bước thời gian trrớc đó) Chuyén các đại lượng đã biết sang bên sử dụng phương trình (2.4), phương trình chuyển động tại thờ

lực đản hồi và giảm chấn có thể được tính toán rõ ràng bằng cách sử dụng những.

2

chuyển vị đã biết tu, ue, và vận ốc af, Wh, Các phương pháp này được gọi là phương pháp hiện.

Do đó tú, và wy là cần thi Š sắc định uy; chuyển vị ban đầu 0, là đã biết Để xác định uw, sử dụng phương trình (2.5) và 2.6) cho i= 0:

Phương pháp sai phân trung tâm sẽ không chính xác, cho kết quả vô nghĩa, do si sốt trong làm tn số nếu bước thời gian được chọn không đủ ngắn Yêu cầu cụ thể về sự ổn định là

<t (2.18)

Điều này không bao giờ hạn chế đổi với các hệ một bậc tự do vì nên chọn bước thời

gian nhỏ hơn nhiều lần để có được kết quả chíxác, Thông thường, AUT, <0,1 để

xác định đáp ứng diy đủ và trong hẳu hết các phân tích phản ứng động đất có th là ”

một bước thời gian ngắn hơn, thường là At=0,01 đến 0,02 gidy, được chọn để xác định chính xác gia tốc nền ag (0)

Bảng 2.1 tóm tit các giải pháp bước thời gian bằng cách sử dụng phương pháp sai phân rung tâm được thực hiện trên máy tính

Bang 2.1 Phương pháp sai phân trung tâm. Bước 1: Tính các gi tr ban đầu

'Bước 3: Lap lại bước thời gian tiếp theo

Thay i bằng i+ và lấp lại bước 2.1, 22, và 23 cho bước thi gian tgp theo

”

2.3 Phương pháp Newmark

2.3.1 Phương trình cơ bản

Năm 1959, N M Newmark phát triển một nhóm các phương pháp bước thời gian dựa

trên các phương trình sau:

1 =U, H(At)aBE+[(0.5-B)( At)” JH [D(At) J, (2.20)

Cée tham số y và B xác định sự thay đổi gia tốc qua một bước thời gian và xác định

tính ổn định, chính xác của phương pháp Lựa chọn điển ình y= và =<<~ là thoảAm.

mãn tit cả các quan điểm, cả về độ chính xác Hai phương trinh này, kết hop với

phương trình cân bằng (2.4) vào bước thời gian cuối cùng, cung cắp nên ting cho việctính toán u,.„, Wf, và Mk, tại thời điểm i+] từ u,, We và đ tại thời điểm i đã biết Phép.lập là cần thiết để thực biện các tính toán này vì đt, chưa biết xuất hiện bên về phải

của phương trình (2.19) và (2.20).

Đối với hệ tuyến tinh, có thể sửa đổi công thúc ban đầu của Newmark, tuy nhiên, để 10) mà không cần phép lặp Trước khi mô tả sửa đổi này, chúng ta chứng minh hai trường hợp đặc biệt của phương pháp.

cho phép giải phường trình (2.4) và (2.19); (

Newmark là các phương pháp gia the tung bình và gia tốc tuyến tính ổi tiếng

2.3.2 Trường hợp đặc biệt

Đối với hai phương pháp này, Bảng 2.2 tôm tắt sự phát iển của mỗi quan hệ giữa các

ip án Uy và Ấy, tạ thời điểm i+l với số lượng tương ta thời điểm i Phương trình (221) mô tà các giả định rằng sự thay đối gia tốc qua một bước thỏi gian là không đối, bằng giá tốc trung bình hoặc tuyển tính

Lay tích phân của dt) được phương trình (2.22) cho biến tết) của vận tốc qua bước thời gian tại đô v~ÁC được thay thé để có được phương tình (2.23) cho vận tốc Wi, tại thời điểm i+ Lay tích phân của alex) được phương trình (2.24) cho biến u(t) của

chuyển vị qua bước thời gian tại đó tt được thay thé dé được phương trình (2.25)

tương ứng với giá thuyết gia tố biển thiên tuyến tính

Bảng 2.2 Phương pháp gia ốc trung bình và gia ốc tuyẾn tính

Gia tốc trung bình không déi Giatốctuyếnính

2.3.3 Công thức không vòng lip

Bây git chúng ta quay t li với phương tinh (2.1); (220) và sử lại nó đ tính lặp đi ap lại và sử dụng đại lượng số gia

26

uu, AWHaE AEMểt G26

APP, 2.27) Mặc dù hình thức gia tăng là không cần thiết cho việc phân ích c¿ hệ tuyển tinh, nóđược trình bày vì nó cung cấp sự mở rộng thuận tiện cho các hệ phi tuyến Phương

“Thu được bằng cách khử phương tinh (2.1.3) từ phương trình (2.14), cả hai đều là các hệ tuyển tính với (5), = ku, và (R),,=ku„, Sự thay thé này cho ta

“Trong đó:

63)Và

AB =Apt 635)par vài l5 vals 3 |mm

Voi É và AB, được biết từ các thông số của hệ m, k, và e, các thông số thuật toán + và

6 Va tai đầu bước thời gian, chuyển vị tăng thêm được tin từ:

Khi du, được biét, AW: và A& có thé được tính từ các phương trình (2.30) và (2.31),

tương tự, cả t„,, để, và ấy, được tính từ phương trình (2.26)Gia tốc cũng có thể thu được từ phương trình chuyển động tại ty

Pay ky om

‘Thay vì sử dụng phương trinh (2.26) va (2.30) Phương trình (2.37) lả cần thiết để có được đy để bắt đầu tính toán (xem phương trình 2.17).

“Trong phương pháp Newmark, giải pháp tại thời điểm i+! được xác định từ phương trình (2.32), tương đương với việc sử dụng điều kiện cân bằng, phương trình (2.4), tại thời điểm i+1, Các phương pháp này được gọi là phương pháp ẩn.

Phương pháp Newmark là ôn định nếu:

Điều này cho thấy phương pháp gia tốc trung bình là én định cho bit kỳ Ar nào không quan trọng lớn như thé nào; tuy nhiễn, nó chính xác chỉ khi Ar đủ nhỏ Với

2s

ed VÀ B=Ƒ, phường tình 2.38) chỉ ra rằng phương pháp gia tốc tuyễn tính là ổn

định nếu: 0,551

Tuy nhiên, như trong trường hợp phương pháp sai phân trung tim, điều kiện này í6 ý nghĩa trong việc phân tích các hệ một bộc tr do vì phải sử đụng một bước thồi sian ngắn hơn nhiều so với 0.551T, để có được một mô ta chính xác sự kích thích và

phản ứng

Bing 2.3 tóm tit các giải pháp bước thời gian bằng cách sử dụng phương pháp

Newmark được thực hiện trên máy tính.

Bảng 2.3 Phuong pháp NowMark: Hệ tuyển tính Cac trường hợp đặc biệt

Phương pháp gia tốc trung bình (y=

Phuong pháp gia tốc tuyến tính (y= ;g=)

Bước I: Tính các gi tr ban đầu

etyLi

L2 Chọn at

13 Ê=kk Yee TC,at war

14 aetimete; be tmear{ t-te

BAO Be 2B Q28.)

Bude 2; Tinh toán tai từng bước thời gian i

2.1 Ap, “Ap, +a bd

”