Nghiệm renormalized cho phương trình parabolic phi tuyến trong không gian musielak orlicz tổng quát với hàm dữ liệu thô

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Khoa Tốn - Tin học KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP CHUN NGÀNH GIẢI TÍCH Tên đề tài: NGHIỆM RENORMALIZED CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN TRONG KHƠNG GIAN MUSIELAK - ORLICZ TỔNG QUÁT VỚI HÀM DỮ LIỆU THÔ Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Trọng Sinh viên thực hiện: Huỳnh Cao Trường Mã số sinh viên: 44.01.101.040 Thành phố Hồ Chí Minh - Tháng năm 2022 Mục lục Mở đầu Giới thiệu toán số kết chuẩn bị 1.1 Không gian Musielak-Orlicz 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất 1.2 Hội tụ biting 10 1.3 Kĩ thuật độ đo Young 11 1.4 Giới thiệu toán 12 Nghiệm yếu tốn liệu bị chặn 15 2.1 Cơng thức tích phân phần 15 2.2 Bài toán chỉnh hóa 16 2.3 Sự tồn nghiệm yếu toán với hàm liệu bị chặn 17 2.3.1 Phần I 18 2.3.2 Phần II 21 2.3.3 Phần III 22 Sự tồn nghiệm Renormalized 3.1 25 Tính ổn định theo dãy 25 3.2 Nghiệm Renormalized 29 KẾT LUẬN 36 Tài liệu tham khảo 36 Mở đầu Cho Ω miền bị chặn RN (N > 1) với biên ∂Ω (if N ≥ 2) Đầu tiên, thảo luận lí xuất khái niệm nghiệm renormalized cho phương trình ( − div(|∇u|p−2 ∇u) = f in Ω, (P, f ) u=0 on ∂Ω Trong trường hợp < p < ∞ f ∈ W −1,p (Ω), từ định lí Minty-Browder ta thấy tồn nghiệm u ∈ W01,p (Ω) Ω theo nghĩa phân bố Tuy nhiên < p < N liệu f ∈ L1 (Ω), mong đợi u ∈ W01,p (Ω) Thật vậy, giả sử với f ∈ L1 (Ω), tồn u ∈ W01,p (Ω) nghiệm toán (P, f ) Vì u ∈ W01,p (Ω) nên ta có − div(|∇u|p−2 ∇u) ∈ W −1,p (Ω) 0 Do f ∈ W −1,p (Ω) Như vậy, L1 (Ω) ⊂ W −1,p (Ω) Bởi đối ngẫu, điều cho ta, W01,p (Ω) ⊂ L∞ (Ω) Theo định lí nhúng Sobolev, ta thấy điều không < p < N Giả sử < p < tồn u ∈ W01,1 (Ω) nghiệm yếu (P, f ) Khi  N |∇u|p−2 ∇u ∈ L1/(p−1) (Ω) Vậy − div(|∇u|p−2 ∇u) ∈ W −1,1/(p−1) (Ω) Và đó, 1,1/(2−p) L1 (Ω) ⊂ W −1,1/(p−1) (Ω) Nhờ đối ngẫu, điều dẫn đến W0 (Ω) ⊂ L∞ (Ω) Bởi phép nhúng Sobolev, điều p > − 1/N Do ta khơng thể mong đợi tốn (P, f ) có nghiệm u ∈ W01,1 (Ω) < p < − 1/N f ∈ L1 (Ω) Trong trường hợp p > − 1/N , tồn nghiệm phân bố u (P, f ) không gian [ W01,q (Ω) q< N (p−1) N −1 chứng minh [5] Như chứng minh [30, 27], nghiệm phân bố u khơng Như ta cần khái niệm nghiệm với nghiệm ta hi vọng thu tính nghiệm Khái niệm nghiệm renormalized giới thiệu [28] phát triển tác giả [21, 23] giải yêu cầu Để đưa khái niệm nghiệm renormalized, họ đề xuất việc xem xét hàm chặt cụt Tk (u) thay làm việc với ∇u, họ làm việc với ∇Tk (u) Sau đó, Maso cộng [22] tổng quát kết nghiệm renormalized cho trường hợp f độ đo Radon Sự tồn nghiệm renormalized cho toán parabolic    ut − divA (t, x, ∇u) = f ∈ L (ΩT ) u=0   u(0, ·) = u0 ΩT (0, T ) × ∂Ω Ω (1) f ∈ L1 ((0, T ) × Ω), u0 ∈ L1 (Ω) A tăng trưởng đa thức, chứng minh [6] Từ đó, chủ đề nghiệm renormalized cho phương trình parabolic nghiên cứu sôi (xem [7, 2, 8, 1, 15, 16, 29, 25, 26, 20, 10]) Sự tồn nghiệm renormalized cho phương trình parabolic liên kết với khơng gian loại Orlicz xem xét [19, 3], liên kết với không gian loại Lp(x) xem xét [11], liên kết với không gian loại Musielak-Orlicz (viết tắt M-O) [18, 12, 13] Cho Ω tập mở bị chặn Rd với biên ∂Ω biên Lipschitz d ≥ 2; cho [0, T ] khoảng hữu hạn biến thời gian ΩT = (0, T ) × Ω Ta quan tâm đến tồn nghiệm Renormalized cho toán Parabolic phi tuyến sau đây:    ΩT ∂t u − divA (t, x, ∇u) = f ∈ L (ΩT ) (2) u=0 (0, T ) × ∂Ω   u(0, x) = u0 ∈ L1 (Ω) Ω với f ∈ L1 (ΩT ) u0 ∈ L1 Cụ thể hơn, làm việc khơng gian khơng gian M-O khơng phản xạ Trường hợp A = a(x, ∇u) không phụ thuộc vào biến thời gian, tồn nghiệm renormalized xây dựng [18] Như vậy, mở rộng kết [18] cho trường hợp A(t, u, ∇u) Chúng tơi đưa định lí tồn nghiệm Renormalized (xem Định lí 3.2.1) Để làm điều tơi cần xây dựng số kết quan trọng cho nghiệm toán với liệu bị chặn (xem Mệnh đề 2.3.2) Những công cụ quan trọng sử dụng kể đến: phương pháp hàm chặt cụt (Truncation function), kĩ thuật độ đo Young, cơng thức tích phân phần cho khơng gian M-O khơng phản xạ Tính nghiệm xem xét tương lai Nội dung cấu thành khóa luận chúng tơi với tên gọi NGHIỆM RENORMALIZED CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN TRONG KHƠNG GIAN MUSIELAK - ORLICZ TỔNG QUÁT VỚI HÀM DỮ LIỆU THƠ Cấu trúc khóa luận bao gồm phần mở đầu, giới thiệu toán số kiến thức chuẩn bị, hai chương chính, kết luận, tài liệu tham khảo Cụ thể tóm tắt sau: + Chương giới thiệu tốn, kết kiến thức chuẩn bị + Chương trình bày cơng thức tích phân phần khơng gian M-O khơng phản xạ ứng dụng để xây dựng tồn đánh giá cho nghiệm yếu toán với liệu bị chặn + Chương dành cho việc chứng minh định lí tồn nghiệm Renormalized Chúng sử dụng kĩ thuật hội tụ độ đo Young phương pháp ta giới hạn yếu * để hoàn thành chứng minh Cuối cùng, để tiện theo dõi, lưu ý khóa luận này, ta kí hiệu R \ E E c 1E hàm đặc trưng E Tất số dương kí hiệu C Giá trị C thay đổi dòng từ dòng sang dòng khác n Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, nhận hướng dẫn tận tâm thầy Tiến Sĩ Nguyễn Ngọc Trọng, giảng viên khoa Toán - Tin học trường đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Là lần đầu chập chững tham gia làm nghiên cứu, dù cố gắng tham khảo nhiều tài liệu nước để chất lượng khóa luận tốt hơn, nhiên thiếu sót điều khơng thể tránh khỏi Vì thế, lời khuyên từ TS Nguyễn Ngọc Trọng vô quý báu Và sẵn sàng nhận góp ý từ người đọc để khóa luận ngày hồn thiện Thành phố Hồ chí Minh, tháng 04 năm 2022 Sinh viên thực Huỳnh Cao Trường Chương Giới thiệu toán số kết chuẩn bị Trước hết, ta có số kí hiệu để thuận tiện sử dụng phần tiếp theo: Với ΩT = (0, T ) × Ω, hàm u : ΩT → Rd k ≥ 0, ta kí hiệu {|u| ≤ (, ≥, =)k} viết tắt cho tập hợp {(t, x) ∈ ΩT : |u(t, x)| ≤ (, ≥, =)k} Với r ∈ R, kí hiệu hl (r) ánh xạ từ R R định nghĩa hl (r) = min((l + − |r|)+ , 1) Không gian Musielak-Orlicz Ta viết tắt không gian Musielak-Orlicz không gian M-O Mục lấy từ [18, 12, 13, 14] 1.1.1 Định nghĩa Trước hết ta có định nghĩa N -hàm sau: Định nghĩa 1.1.1 ([18, trang 6]) Cho Ω tập mở bị chặn Rd Hàm số M : Ω × Rd → R+ gọi N - hàm thỏa mãn điều kiện sau: M hàm Carathéodory (tức hàm đo theo biến thứ nhất, liên tục theo biến thứ hai), thỏa mãn M (x, ξ) = M (x, −ξ) h.k.n Ω M (x, ξ) = ⇔ ξ = M (x, ξ) hàm lồi theo biến ξ M (x, ξ) = với h.k.n x ∈ Ω |ξ|→0 |ξ| (1.1) M (x, ξ) = ∞ với h.k.n x ∈ Ω |ξ|→∞ |ξ| (1.2) lim lim Hàm liên hợp M ∗ N -hàm M định nghĩa là:
M ∗ (x, ξ) = sup ξ · η − M (x, η) với ξ ∈ Rd , x ∈ Ω (1.3) η∈Rd Ta có (M ∗ )∗ = M Với ΩT = (0, T ) × Ω, ta có định nghĩa lớp hàm M-O không gian M-O sau: Định nghĩa 1.1.2 ([18, trang 7]) Lớp hàm M-O, kí hiệu LM (ΩT , Rd ), định nghĩa tập hợp tất hàm đo ξ : ΩT → Rd thỏa mãn: Z M (x, ξ(t, x))dxdt < ∞ ΩT Định nghĩa 1.1.3 ([18, trang 7]) Khơng gian M-O, kí hiệu LM (ΩT , Rd ), định nghĩa tập hợp tất hàm đo ξ : ΩT → Rd thỏa mãn: Z M (x, λξ(t, x))dxdt → λ → ΩT Nếu ξ ∈ LM (ΩT , Rd ) ta xét chuẩn Luxemburg (kí hiệu k·kM ) định nghĩa sau: ) (   Z ξ(t, x) dxdt ≤ (1.4) kξkM = inf λ > : M x, λ ΩT Ngoài ra, ta kí hiệu EM (ΩT , Rd ) bao đóng tập hợp tất hàm số đo bị chặn ΩT theo chuẩn Luxemburg k·kM Ta nói m tăng trưởng nhanh M M (s) = 0, s→∞ m(s) lim B(s) = esssup{x∈Ω,|ξ|=s} B(x, ξ) Ta nói M thỏa mãn điều kiện ∆2 tồn hàm g khả tích, khơng âm Ω số C > thỏa mãn: M (x, 2ξ) ≤ CM (x, ξ) + g(x) (1.5) với ξ ∈ Rd h.k.n x ∈ Ω 1.1.2 Một số tính chất Ta có sup ess sup M (x, ξ) < ∞ sup ess sup M ∗ (x, ξ) < ∞, ξ∈B(0,R) x∈Ω ξ∈B(0,R) (1.6) x∈Ω với số thực R > Hơn nữa, ta có Lớp hàm M-O LM (ΩT , Rd ) tập lồi không không gian tuyến tính LM (ΩT , Rd ) ⊂ L1 (ΩT , Rd ) Không gian M-O LM (ΩT , Rd ) khơng khả li khơng phản xạ Không gian EM (ΩT , Rd ) khơng gian tuyến tính lớn thỏa mãn bao hàm thức nghiêm ngặt EM (ΩT , Rd ) ( LM (ΩT , Rd ) ( LM (ΩT , Rd ) Không gian EM (ΩT , Rd ) khả li Cc∞ (ΩT , Rd ) trù mật EM (ΩT , Rd ) Không gian liên hợp
của không gian EM (ΩT , Rd ) không gian LM ∗ (ΩT , Rd ), ∗ nghĩa EM (ΩT , Rd ) = LM ∗ (ΩT , Rd ) Do đó, topo yếu * LM (ΩT , Rd ) LM ∗ (ΩT , Rd ) hiểu σ(LM , EM ∗ ) σ(LM ∗ , EM ) tương ứng Khi m tăng trưởng nhanh M ta có Lm (ΩT , Rd ) ⊂ LM (ΩT , Rd ) 8 L∞ (ΩT , Rd ) ⊂ EM (ΩT , Rd ) Nếu M ∈ ∆2 EM (ΩT , Rd ) = LM (ΩT , Rd ) = LM (ΩT , Rd ) Khi LM (ΩT , Rd ) khả li 10 Nếu M, M ∗ ∈ ∆2 LM (ΩT , Rd ) phản xạ Mệnh đề 1.1.4 Nếu M N -hàm M ∗ hàm liên hợp với M bất đẳng thức Fenchel - Young sau thỏa mãn: |a · b| ≤ M (x, a) + M ∗ (x, b) với a, b ∈ Rd h.k.n x ∈ Ω Ngoài ra, bất đẳng thức Holder tổng quát thỏa mãn: Chương Nghiệm yếu toán liệu bị chặn Cơng thức tích phân phần
Định nghĩa 2.1.1 Với Cc∞ [0, T ) × Ω khơng gian hàm khả vi vơ hạn lần có giá compact [0, T ) × Ω, ta định nghĩa khơng gian tuyến tính V gồm tất ∞ hàm ϕ ∈ L1loc (ΩT ) cho tồn {ϕj }∞ j=1 ⊂ Cc ([0, T ) × Ω) thỏa mãn điều kiện sau ∗ yếu • ∇ϕj −−−−→ ∇ϕ LM (ΩT , Rd ), • ϕj → ϕ L1 (ΩT ), yếu ∗ • ϕj −−−−→ ϕ L∞ (ΩT ) Chúng ta cần đến cơng thức tích phân phần sau Bổ đề 2.1.2 ([18, Bổ đề 4.1]) Giả sử M thỏa điều kiện (M1 ), (M2 ), (M3 ) Cho u : ΩT → R hàm đo cho u ∈ L∞ ([0, T ]; L1 (Ω)) với k ≥ 0, ta có Tk (u) ∈ V Cho u0 ∈ L1 (Ω) thỏa mãn u0 (x) = u(0, x) với h.k.n x ∈ Ω Hơn nữa, ta giả sử tồn G1 ∈ EM ∗ (ΩT ; Rd ), G2 ∈ L∞ (ΩT ; Rd ) G3 ∈ L1 (ΩT ) thỏa mãn Z Z Z (u − u0 )∂t ξdxdt = (G1 + G2 ).∇ξdxdt + G3 ξdxdt, (2.1) ΩT ΩT ΩT với ξ ∈ Cc∞ ([0, T ) × Ω) Khi đó, ta có ! Z Z u Z Z h(σ)dσ ∂t ξdxdt = (G1 + G2 ).∇(h(u)ξ)dxdt + ΩT u0 ΩT ΩT 15 G3 h(u)ξdxdt, (2.2) (i) với h ∈ W 1,∞ (R), supp(h0 ) compact với ξ ∈ V thỏa mãn ∂t ξ ∈ L∞ (ΩT ), (ii) với h ∈ W 1,∞ (R), supp(h0 ) compact, h(0) = với ξ ∈ Cc∞ ([0, T ) × Ω) Bài tốn chỉnh hóa Trong [18, trang 10], tác giả xây dựng N -hàm m : R+ → R+ đối xứng xuyên tâm (tức tồn m ¯ : R → R cho m(ξ) = m(|ξ|)) tăng trưởng nhanh ∗ M liên hợp m thỏa mãn điều kiện ∆2 Thêm nữa, kí hiệu ∇m(ξ) := ∇ξ m(|ξ|) Ta giả thiết thêm thỏa mãn dấu bất đẳng thức Fenchel - Young ∇m(ξ) · ξ = m(|ξ|) + m∗ (|∇m(ξ)|) ≥ (2.3) thỏa mãn tính đơn điệu (∇m(ξ) − ∇m(η)) · (ξ − η) > ∀ξ, η ∈ Rd Ta định nghĩa toán tử Aθ (t, x, ξ) := A(t, x, ξ) + θ∇m(ξ) với ξ ∈ Rd , s ∈ R h.k.n x ∈ Ω (2.4) Ta thấy Aθ (t, x, ξ).ξ ≥ θm(|ξ|) Từ (1.7) tính lồi hàm m∗ ta có ! ! c Aθ (t, x, ξ).ξ ≤ m ξ + m∗