Thông thường, sự xuất hiện của tham số này dẫn đếnmột lớp biên mở rộng của nghiệm và cần phải phân tích các đặc điểm củanó để tìm lời giải số.Trong các công trình nghiên cứu hiện nay, có
Hàm Green
Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bài toán giá trị biên Đặc biệt, hàm Green là công cụ quan trọng để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán.
Xét bài toán giá trị biên tuyến tính thuần nhất
= 0, i = 1, n, (1.2) trong đó p i (x),i = 0, , nlà các hàm liên tục trên (a, b), p 0 (x) 6= 0 với mọi điểm thuộc (a, b). Định nghĩa 1.1 (xem [9]) HàmG(x, t) được gọi là hàm Green của bài toán giá trị biên (1.1)-(1.2) nếu xem như hàm của biến x, nó thoả mãn các điều kiện dưới đây với mọi t ∈ (a;b): i) Trên [a, t) và (t;b], G(x, t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tới cấp n và thoả mãn phương trình (1.1) trên (a, t) và (t, b), tức là:
L[G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L[G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b). ii) G(x, t) phải thoả mãn các điều kiện biên trong (1.2), tức là
M i (G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, , n. iii) Tại x = t, G(x, t) và tất cả các đạo hàm riêng theo biến x tới cấp n−2 là các hàm liên tục x→tlim +
∂x k = 0, k = 0, , n−2. iv) Đạo hàm riêng cấp n −1 của G(x, t) theo biến x của G(x, t) là gián đoạn khi x = t, cụ thể x→tlim +
∂x n−1 = − 1 p 0 (t). Định lí sau chỉ ra điều kiện về sự tồn tại và duy nhất của hàm Green Định lý 1.1 (xem [9]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất trong (1.1)-(1.2) chỉ có nghiệm tầm thường thì tồn tại duy nhất hàm Green tương ứng với bài toán.
Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất
L[y(x)] ≡p 0 (x)d n y dx n +p 1 (x)d n−1 y dx n−1 +ã ã ã+p n (x)y = −f(x) (1.3) với các điều kiện thuần nhất
= 0, i = 1, n, (1.4) trong đó các hệ số p j (x) và các hàm vế phải f(x) trong phương trình (1.3) là các hàm liên tục, với p 0 (x) 6= 0 trên (a;b) và M i biểu diễn các dạng độc lập tuyến tính với các hệ số hằng. Định lí sau thể hiện quan hệ giữa tính duy nhất nghiệm của (1.3)-(1.4) với bài toán thuần nhất tương ứng. Định lý 1.2 (xem [9]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứng với (1.3)-(1.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.3)-(1.4) có nghiệm duy nhất biểu diễn dưới dạng y(x) Z b a
G(x, t)f(t) dt,trong đó G(x, t) là hàm Green của bài toán thuần nhất tương ứng.
Một số ví dụ sau đây chỉ ra cách xác định hàm Green đối với bài toán giá trị biên cụ thể.
Ví dụ 1.1 Xét bài toán
(1.5) Hàm Green được tìm dưới dạng sau
(1.6) trong đó A 1 , A 2 và B 1 , B 2 là các hàm của t Hàm Green này thoả mãn điều kiện(i) Do hàm GreenG(x, t) thoả mãn bài toán biên với các điều kiện biên thuần nhất (ii) ta suy ra A1 = B1 = 0 Do đó, hàm Green của bài toán là
(1.7) Điều kiện liên tục (iii) cho ta phương trình
Từ điều kiện (iv) ta được
Ta có thể tìm các hệ số A 2 , B 2 bằng cách giải hệ phương trình (1.8) và (1.9). Kết quả ta được A2 = 1−t, B2 = t.
Thay các hệ số tìm được vào phương trình (1.7) ta được hàm Green
Do đó, nghiệm của bài toán (1.5) biểu diễn dưới dạng u(x) Z 1 0
Ví dụ 1.2 Xét bài toán
(1.11) Hàm Green được tìm dưới dạng sau
(1.12) trong đó A 1 , A 2 , A 3 , A 4 và B 1 , B 2 , B 3 , B 4 là các hàm của t Hàm Green này thoả mãn điều kiện (i) Do hàm Green G(x, t) thoả mãn bài toán biên với các điều kiện biên thuần nhất (ii) ta suy ra được
Do đó, hàm Green của bài toán là
(1.13) Điều kiện liên tục (iii) cho ta phương trình
Từ điều kiện (iv) ta được
Ta có thể tìm các hệ số A 4 , B 1 , B 2 , B 4 bằng cáh giải các phương trình (1.14) và (1.15) Kết quả ta được
Thay các hệ số tìm được vào (1.13) ta được hàm Green
Do đó, nghiệm của bài toán (1.11) biểu diễn dưới dạng u(x) Z 1 0
Ví dụ 1.3 Xét bài toán
(1.17) Khi đó hàm Green tương ứng với bài toán này có dạng:
Do đó, nghiệm của bài toán (1.17) biểu diễn dưới dạng u(x) Z 1 0
Ví dụ 1.4 Xét bài toán
(1.19) Khi đó hàm Green tương ứng với bài toán này có dạng:
Do đó, nghiệm của bài toán (1.19) biểu diễn dưới dạng u(x) Z 1 0
Lưới phân phối đều thích hợp
Trong mục này, chúng tôi trình bày lưới phân phối đều thích hợp cho bài toán giá trị biên một chiều, tuyến tính, khuếch tán - truyền tải dạng parabolic với 2 tham số nhỏ Lưới thích hợp theo không gian được xây dựng bằng cách tịnh tiến một số lượng cố định các điểm nút lưới để tự động đạt được các lớp lưới thích hợp Xét bài toán giá trị biên một chiều tuyến tính, nhiễu suy biến dạng parabolic [3] sau đây trong miền Ω = Ω x ×(0, T] với
Lu(x, t) := −u xx −àb(x, t)u x +c(x, t)u, (1.22) trong đó u xx = ∂ 2 u
0 < 1 và 0 < à 1 là hai tham số nhiễu nhỏ, giả thiết cỏc hàm hệ số b(x, t), c(x, t) và f(x, t) đủ trơn và thoả mãn các ràng buộc β 1 > b(x, t) > β 2 > 0 và c(x, t) ≥ 1 trên tập đóng Ω x = [0,1] Giả thiết các tham số và à thoả món ràng buộc à 2 ≤ Với cỏc điều kiện cỏc hàm trong (1.21) đủ trơn và thỏa mãn các điều kiện tương thích thì bài toán (1.21) có một nghiệm duy nhất u(x, t), nghiệm này thỏa mãn các điều kiện lớp biên trong lân cận của cả hai biên x = 0 và x= 1 (xem [3]).
Lưới khụng gian Ω n x ≡ 0 = x n 0 < x n 1 < ã ã ã < x n M −1 < x n M = 1 , trong bước lưới thời gian thứ n của phương pháp sai phân hữu hạn theo không gian và thời gian được gọi là phân phối đều, nếu
Z 1 0 Φ(s, u(s, tn)) ds, m = 1, , M, (1.23) trong đó Φ(s, u(s, t)) > 0 là hàm chỉ số lưới Khi đó ta xác định nghiệm rời rạc tương ứng với u(x, t) là U m n tại điểm (x n m , t n ) Lưới phân phối đều có thể xem như một ánh xạ x n = x n (ψ) từ toạ độ tính toán ψ ∈ [0,1] tới toạ độ thực tế x n ∈ Ω x , xác định bởi
Ngoại suy Richardson
Ngoại suy Richardson được Lewis Fry Richardson giới thiệu từ đầu thế kỉ
20 có nhiều ứng dụng trong tính toán số Đây là một phương pháp được sử dụng để cải thiện tốc độ hội tụ của một dãy các ước lượng của một giá trị nào đó A ∗ = lim h→0A(h) để thu được giá trị của A(h) với các giá trị của h Ta có thể tính A ∗ bằng cách ngoại suy các ước lượng với h = 0.
Một số ứng dụng thực tế của phép ngoại suy Richardson như tích phân Romberg, áp dụng phép ngoại suy Richardson cho quy tắc hình thang và thuật toán Bulirsch – Stoer để giải các phương trình vi phân thường.
Giả sử để tính gần đúng A ∗ , chúng ta dùng hàm A(h) phụ thuộc vào một tham số nhỏ h sao cho A(h) = A ∗ +Ch n +O(h n+1 ).
Ta xác định một hàm mới
R(h, t) := t n A(h/t)−A(h) t n −1 , trong đó h và h/t là hai bước với kích thước khác nhau Khi đó
R(h, t) được gọi là phép ngoại suy Richardson của A(h) và có ước lượng sai số bậc cao hơn O(h n+1 ) so với A(h).
Thông thường, sẽ dễ dàng hơn để đạt được độ chính xác cho trước bằng cách sử dụng R(h) hơn là A(h 0 ) với h 0 nhỏ hơn nhiều.
Giả sử A(h) là một giá trị gần đúng của A ∗ (giá trị chính xác) phụ thuộc vào cỡ bước h > 0 với công thức sai số có dạng
A ∗ = A(h) +a 0 h k 0 + a 1 h k 1 +a 2 h k 2 + ,trong đóa i là hằng số chưa biết và k i là hằng số đã biết thỏa mãnh k i > h k i+1 Hơn nữa k0 là bậc của sai số chặt cụt
A ∗ = A(h) +O(h k 0 ). Giá trị chính xác có thể được cho bởi
Sử dụng cỡ bước h và h t cho mỗi hằng số t, hai công thức cho A là
A ∗ = A(h t) +a 0 (h t) k 0 +O(h k 1 ) (1.26) Nhân phương trình (1.26) với t k 0 và trừ đi phương trình (1.25) ta được
Do đó, sử dụng R(h, t) t k 0 A(h t)−A(h) t k 0 −1 , sai số chặt cụt được giảm xuống O(h k 1 ) So với A(h), sai số chặt cụt là O(h k 0 ) với cùng một cỡ bước h.
Bằng quá trình này, ta đã đạt được một xấp xỉ tốt hơn cho A bằng cách trừ đi số hạng lớn nhất trong sai số là O(h k 0 ) Quá trình này có thể được lặp lại nhiều lần để loại bỏ các thành phần sai số để đạt được các giá trị gần đúng chính xác hơn.
Với giá trị ban đầu A 0 = A(h), công thức lặp xác định các giá trị gần đúng:
Ai+1(h) t k i Ai(h t)−Ai(h) t k i −1 , trong đó k i+1 thoả mãn
Phép ngoại suy Richardson có thể được xem như là một phép biến đổi chuỗi tuyến tính.
Ngoài ra, công thức chung có thể được sử dụng để ước lượng k 0 (theo cỡ bước của sai số chặt cụt) khi cả giá trị của nó và A ∗ (giá trị chính xác) đều không biết trước Kỹ thuật này có thể hữu ích cho việc xác định tốc độ hội tụ chưa biết Với các giá trị gần đúng của A từ 3 cỡ bước riêng biệt h, h t và h s, mối quan hệ của chúng là:
Phương trình trên có thể giải được bằng các phương pháp số để thu được k 0 với mỗi giá trị tùy ý của h, s và t.
Lược đồ sai phân ngược chiều
Lược đồ sai phân ngược chiều thường được sử dụng trong các phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân đạo hàm riêng hyperbolic. Để mô tả phương pháp, xét phương trình khuếch tán một chiều tuyến tính sau:
Phương trình (1.27) mô tả hiện tượng truyền sóng theo trục x với tốc độ a. Xét một điểm lưới đặc biệt i, khi đó sẽ có hai hướng: bên trái i hướng về âm vô cùng và bên phải i hướng tới dương vô cùng Nếu a dương thì hướng của sóng lan truyền sang phía bên phải và phía trái của i được gọi là vế ngược chiều, vế phải của i được gọi là vế xuôi chiều Ngược lại, trong trường hợp a âm thì hướng của sóng lan truyền sang phía bên trái và phía phải của i được gọi là vế ngược chiều và vế trái của i được gọi là vế xuôi chiều Nếu lược đồ sai phân hữu hạn cho phương trình đạo hàm riêng mà thành phần ∂u/∂x chứa nhiều điểm trong vế ngược chiều thì được gọi là lược đồ sai phân ngược chiều.
Lược đồ sai phân ngược chiều bậc nhất có dạng: u n+1 i −u n i
Nếu đặt a + = max{a,0}, a − = min{a,0} và u − x = u n i −u n i−1
∆x , thì lược đồ (1.28) có thể viết lại dưới dạng compact: u n+1 i = u n i −∆t[a + u − x +a − u + x ].
Lược đồ sai phân ngược chiều (1.28) sẽ ổn định nếu thỏa mãn điều kiện Courant–Friedrichs–Lewy: c = |a∆t
Phương pháp sai phân cấp cao giải phương trình parabolic nhiễu suy biến
Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng, sự ổn định, sai số cho bài toán sai phân của bài toán đối với phương trình parabolic nhiễu suy biến, hàm chỉ số và phương pháp tìm nghiệm hội tụ cấp 2 trên lưới không đều thích hợp theo không gian và thời gian, được tham khảo chính trong tài liệu [2].
Bài toán liên tục và rời rạc
Bài toán liên tục
Xét phương trình parabolic nhiễu suy biến sau trong miền Ω = Ω x ×(0, T] với Ω x = (0; 1):
∂t, Ωx = [0,1] Ở đây 0 < ε ≤ 1 là tham số nhiễu rất nhỏ Giả thiết các hàm a(x), b(x), f(x, t) đủ trơn và thỏa mãn a(x) ≥ a > 0, b(x) ≥ 1 trên tập đóng Ω x Với các điều kiện đủ trơn và thích hợp của các hàm trên, bài toán giá trị biên (2.1) có duy nhất nghiệm u(x, t) và nó có một lớp biên trong lân cận của x = 0.
Theo [7] nghiệm liên tục và các đạo hàm của nó thỏa mãn:
(2.3) trong đó C là hằng số phụ thuộc ε.
Một khụng gian lưới Ω M x ≡ {0 = x 0 < x 1 < ã ã ã < x M = 1} được gọi là phân phối đều, nếu
Z 1 0 ΦEqui(x, ε) dx, m = 1, , M, (2.4) ở đó ΦEqui(x, ε) > 0 là hàm chỉ số Do đó, nếu chúng ta có thể tìm ra một hàm chỉ số Φ Equi (x, ε) khả tích trong L 1 (Ω x ) , thì sai số sẽ có bậc nhất (Biểu thức vế trái thường biểu thị sai số trong các phương pháp số).
Trong chương này, chúng tôi sử dụng một số kí hiệu và khái niệm sau: với miền D bất kỳ, ký hiệu D và ∂D tương ứng là tập đóng và biên của miền D.
W m,p là không gian Sobolev thông thường Chuẩn của hàmφ trên miền D là φ(x)
D = max η∈D φ(η) Ta cũng sử dụng chuẩn φ(x)
R1 x φ(x) dx+c cho φ ∈ L 1 (D), với D = (0,1) Giá trị rời rạc của φ(x) tại x = xi sẽ được ký hiệu là φi và φ i±0 ký hiệu là giới hạn một phía φ(x i ±0) Khi miền D chưa xác định, ta sử dụng ã thay cho ã
Bài toán rời rạc theo không gian và thời gian
Sử dụng lưới khụng đềuΩ M x ≡ {0 = x 0 < x 1 < ã ã ã < x M = 1}theo khụng gianΩ x và lưới đềuΩ N t ≡ {0 = t 0 < t 1 < ã ã ã < t N = T}theo thời gian[0, T]. Bước lưới theo không gian được xác định bởi hm+1 = xm+1 − xm, m 0, , M −1, các nút lưới theo thời gian t n = n∆t, n = 0, , N, trong đó bước lưới ∆t = T /N.
Kí hiệu hàm lưới V m n là giá trị xấp xỉ của u(x m , t n ) Xét các toán tử sai phân sau:
∆t là các xấp xỉ đạo hàm cấp một theo không gian và thời gian.
Khi đó sử dụng lược đồ sai phân ngược chiều, toán tử liên tục L trong (2.2) sẽ được xấp xỉ bởi toán tử sai phân sau:
Lu n m = −εD x + D − x u n m −a m D x + u n m +b m u n m và ta có lược đồ sai phân cho bài toán (2.1):
(2.6) trong đó U m n là nghiệm rời rạc tại điểm (xm, tn).
Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày sự ổn định và sai số của bài toán rời rạc(2.6).
Sự ổn định, đánh giá sai số của bài toán rời rạc
Sự ổn định
Bổ đề 2.1 Giả sử hàm lưới z thỏa mãn bài toán rời rạc theo thời gian sau:
(2.7) trong đó L z m ≡ −εD x + D − x z m −a m D + x z m +b m z m Khi đó, nghiệm rời rạc của (2.7) thỏa mãn đánh giá sau max n=1, ,N z n
(2.8) và nó ổn định đều.
Chứng minh Viết lại bài toán rời rạc (2.7) (hoặc tương ứng (2.6)) như sau:
Quy nạp theo k = 1, , n, ta thu được z n
Ma trận tương ứng với lược đồ ngược chiều theo không gian và thời gian(2.6) là M - ma trận (các ma trận có các phần tử ngoài đường chéo chính không dương và có giá trị riêng không âm) Do đó bài toán rời rạc là ổn định đều theo không gian và thời gian.
Bài toán dừng
Xét bài toán khuếch tán truyền tải dừng sau:
(2.10) lược đồ sai phõn ngược chiều trờn miềnΩ M x = {0 = x 0 < x 1 < ã ã ã < x M = 1} có dạng:
(2.11) Giả sử các hàm hệ số a(x), b(x) củaLu thỏa mãn a(x) ≥ a > 0 và b(x) ≥ 1.
Tính chất của nghiệm dừng
Nghiệm của bài toán dừng (2.10) thỏa mãn đánh giá sau theo [7] u k (x)
≤C(1 +ε −k exp(−αx ε )), k = 1,2,3, với x ∈ Ω x , (2.12) trong đó hằng số C không phụ thuộc vào ε Gọi G là hàm Green tương ứng với toán tử dừng liên tục L Khi đó, nghiệm của (2.10) có thể được viết dưới dạng u(x) Z 1 0
Hàm Green G thỏa mãn ràng buộc
≤ 1 α (xem [1]) Nghiệm liên tục u(x) của (2.10) thỏa mãn tính chất ổn định [1] u
, với hằng số C không phụ thuộc vào ε Tương tự, nghiệm rời rạc của (2.11) có thể được viết dưới dạng
X k=1 h k G j,k [LU] k với mọi U ∈ R M 0 +1 , trong đó Gi,k = G(xi, ξk) và G : Ω M x ×Ω M x → R xác định hàm Green tương ứng với toán tử rời rạc L với điều kiện biên Dirichlet Theo [1], hàm Green rời rạcG i thỏa mãn
Ω M x ≤ 1 α và nghiệm rời rạcU cũng thỏa mãn đánh giá ổn định:
Ω M x là chuẩn rời rạc tương ứng với φ
−1,∞ (2.14) cũng cho ta tính ổn định của nghiệm tương ứng với chuẩn maximum vì ã
∞. Tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng ổn định (2.14) để đánh giá sai số.
Sai số của bài toán dừng
Từ đánh giá (2.14) ta có: uưU
Xét các toán tử sau Λ 1 u := −εu x −au−
(a x +b)u x dx,Φ 1 :Z 1 f(x) dx, với toán tử rời rạc tương ứng là Λ 2 U := −εD x − U −aU −
Ta cóLu = (Λ 1 u) 0 vàf = −Φ 0 1 trên Ω x ;Lu = D x + Λ 2 U và f = −D x + Φ 2 trên
Ω M x Do đó Λ1u+ Φ1 ≡ c1 trên Ωx, Λ2u+ Φ2 ≡ c2 trên Ω M x , với c 1 và c 2 là các hằng số Sử dụng các hàm trên với chuẩn ã
Tiếp theo, xét c = c 2 −c 1 , ta có
Từ vế phải của phương trình trên ta thấy rằng sai số có độ chính xác bậc nhất Do đó, ta cần thiết lập lưới sai phân và lược đồ sai phân để đạt được sai số với độ chính xác cao hơn Trước tiên, theo hướng tiếp cận trong [4] , kí hiệu ξ 1 là nghiệm của
(2.17) trong đó h(x) = x−x p−1 , với x ∈ (x p−1 , x p ) và g = f −bu Lấy tích phân của Lξ 1 = λ 0 trên (x i , x M ) với hàm khả vi liên tục từng phần λ, ta được εξ 1,i−0 0 −εξ 1,M−0 0 + (aξ 1 ) i −(aξ 1 ) M +
Từ toán tử rời rạc L, ta có
Thay giá trị của (aξ 1 ) i −(aξ 1 ) M từ (2.18) vào (2.19) ta nhận được
Do đó, áp dụng (2.15) vào (2.17) suy ra
Tiếp theo, sử dụng tính ổn định của nghiệm rời rạc (2.14) để suy ra giới hạn trên cho u−ξ 1 −U Khi đó, hàm chỉ số có thể thu được bằng phép ngoại suy để mỗi thành phần của biểu thức trên có bậc hai.
Xét số hạng đầu tiên của biểu thức vế phải của (2.21) Từ [4], khai triển chuỗi Taylor và (2.12) suy ra ε
, (2.22) ở bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta sử dụng nhận xét: nếu χ là một hàm đơn điệu giảm thì
Do đó, có thể chọn 1 + ε −1 exp(−αx
2ε) là hàm chỉ số cho (2.4) Khai triển Taylor của hàm χ với dạng tích phân là χ(x) = χ i−1 + (x−x i−1 )χ x (x)−
Lấy tích phân biểu thức trên trong (x i−1 , x i ) ta được
Do đó, thayχ bằng g(= bu−f), ta nhận được cận trên của thành phần thứ hai của (2.21) :
Tương tự, số hạng thứ tư của (2.21) cũng có đánh giá như trên Bây giờ chúng ta xét số hạng thứ ba của (2.21), sử dụng các giới hạn đạo hàm sau trong Linò [4]: ξ 1 (x) ≤C, (2.25) ξ 1 0 (x) ≤C
Z x i x i−1 Φ Equi (s, ε) ds, trên x∈ (x i−1 , x i ), (2.28) khi hàm φ(x) = h(x)Φ Equi (x, ε)−
Z x i x i−1 Φ Equi (s, ε) ds, với x ∈ (x i−1 , x i ) thỏa mãn φ(x i−1 ) = 0 và φ 0 (x) ≤0 trong (x i−1 , x i ).
Tiếp theo, ta sử dụng các giới hạn đạo hàm của ξ1 để tìm đánh giá sai số cho (2.21) Trước tiên, giới hạn đạo hàm của ξ 1 (x) ở (2.26) cho ta: ε [D − ξ 1 ] i −ξ 1,i 0 ≤ max
Z x i x i−1 Φ Equi (x, ε) dx (2.29) Điều này đảm bảo sự hội tụ bậc nhất nếu lấyΦEqui(x, ε) = 1+ε −1 exp(−αx
2ε) làm hàm chỉ số tương ứng với biến không gian Sau đó, nghiệm này sẽ được sử dụng để đạt được tốc độ hội tụ tốt hơn (thông qua phép ngoại suy Richard- son) của nghiệm gần đúng Từ bất đẳng thức (2.23), (2.28) và giới hạn đạo hàm bậc hai (2.27) của ξ 1 (x), theo [4] suy ra ε [D − ξ 1 ] i −ξ 1,i 0 = ε hi
Tiếp theo, xét số hạng thứ năm và sáu của (2.21), khai triển chuỗi Taylor với dạng tích phân ta được: h k+1 χ k −
(2.31) Áp dụng giới hạn đạo hàm (2.26) vào đẳng thức đầu tiên của (2.31) ta thu được cận trên của thành phần thứ sáu trong (2.21).
Tương tự, áp dụng (2.26) và (2.31) ta cũng thu được cận trên của thành phần thứ năm trong (2.21) Như vậy, kết hợp tất cả các đánh giá ở trên và sự ổn định của bài toán rời rạc (2.14), từ (2.21) suy ra: ku−ξ 1 −Uk ∞,Ω M x ≤Cmax i
Tiếp theo, xột lưới Ω M x ≡ {0 = x0 < x1 < ã ã ã < x2M = 1} thu được bằng cách chia đôi lưới Ω M x Các bước lưới là h i = x i −x i−1 Trên lưới Ω M x , các toán tử rời rạc trong không gian (từ (2.5)) được xác định lại là
D + x v m = v m+1 −v m h m và D − x v m = v m −v m−1 h m−1 , (2.34) với hàm lưới {v i } 2M i=0 trên Ω M x Bài toán rời rạc dừng tương ứng (2.10) có dạng sau:
L Um ≡ −εD + x D − x Um−amD + x Um+ bmUm = f m với i = 1, ,2M −1,
Toán tử rời rạc ngược chiều trên là ổn định và thỏa mãn đánh giá ổn định
2 Do đó, từ biểu thức sai số bậc nhất (2.35) và hệ quả của đánh giá ổn định (2.14) cho Um, suy ra:
, (2.36) với i = 1, , M −1 Áp dụng (2.31) - (2.32) cho thành phần thứ tư của vế phải bất đẳng thức trên, khi đó nó sẽ được giới hạn bởi thành phần cấp 2.Tương tự, các thành phần còn lại cũng bị chặn bởi sử dụng đạo hàm của hàm lưới cho các thành phần sai số trong (2.21) Thật vậy, áp dụng kỹ thuật trong [4] Xét thành phần thứ ba của (2.36) Ký hiệug p+1/2 = g(x p +x p+1/2 ), sử dụng (2.2.2) và khai triển Taylor của g đối với x p+1/2 , ta có:
Do đó, sử dụng đánh giá ổn định cho toán tử rời rạc (2.35), từ (2.36) ta có u− ξ 1
Như vậy, có thể thu được nghiệm ngoại suy chính xác cấp cao hơn Kí hiệu U extp là nghiệm gần đúng thu được bằng phép ngoại suy Richardson trên không gian và Uextp,m = 2U2m −Um với m = 0, , M.
Kết hợp (2.33) và (2.39), ta có uưUextp
Như vậy sai số (2.16) trên lưới phân bố đều (tức là trước khi áp dụng ngoại suy theo không gian) có bậc nhất, trong khi đó nghiệm số dựa trên ngoại suy trên cùng lưới đó cho ta nghiệm hội tụ đều cấp hai.
Đánh giá sai số theo thời gian
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu sai số ngoại suy tương ứng với thời gian rời rạc Xét bài toán bán rời rạc Euler lùi sau tương ứng với bài toán liên tục (2.1) trên lưới thời gian đều Ω N t
Trong trường hợp này, bài toán (2.41) được quy về một hệ phương trình vi phân với N + 1 biến, trong đó nghiệm y(x) = y(x, t 0 ), , y(x, t N ) T chưa biết với mỗix cố định Tiếp theo, chúng ta đi tìm sai số ngoại suy theo thời gian bởi cố định biến không gian Đặt
Khi đó nghiệm của L n y = f(x, t n ) với 1 ≤ n ≤ N thỏa mãn nguyên lý cực đại Tiếp theo, kí hiệu u(x) = u(x, t0), , u(x, tN) T với 1 ≤ n ≤ N, ta có
≤ C∆t,(2.43) với t ∗ n ∈ (t n−1 , t n ) Tương tự như phương trình sai số (2.17) theo không gian, ta xét phương trình sau cho sai số theo thời gian
Lưu ý rằng|u tt | ≤ C theo (2.3) Do đó, sử dụng nguyên lý cực đại ta có ξ 2 (x, t) ≤ C Lấy vi phân các điều kiện biên đối với t ta được ξ 2 t (0, t) ξ 2 t (1, t) = 0 nên ξ 2 t (x,0)
≤ C Lấy vi phân bài toán (2.44) đối với t ta được L x,t ξ 2 t = uttt
2 (x, t), với t ∈ (t n−1 , t n ) Theo (2.3) hàm vế phải bị chặn Do đó theo nguyên lý cực đại ξ 2 t ≤ C Tiếp tục tiến hành như trên suy ra ξ 2 tt ≤ C.
= ∆tL x,t ξ2(x, tn) +O(∆t 2 ), (2.45) từ (2.44), suy ra:
Do đó từ (2.45) và (2.46), ta có
Tiếp theo, chúng ta sử dụng một lưới thời gian khác với 0 = t 0 < t 1 < ã ã ã < t2N = 1 thu được bằng cỏch chia đụi lưới thời gian ban đầu Ω N t Do đó bước lưới trên lưới này là t i −t i−1 = ∆t/2 Trên lưới này, xác định toán tử bán rời rạc L 2n (tương tự như L n trong (2.42)) và nghiệm tương ứng là y Kí hiệu nghiệm ngoại suy theo thời gian là y extp (x, t) = 2y(x, t)−y(x, t) với (x, t) ∈ Ω x ×Ω N t
Chú ý rằng toán tử bán rời rạc L 2n cũng thỏa mãn nguyên lý so sánh. Khi đó
Từ (2.47) và (2.48) suy ra y extp −u
Do đó, nghiệm bán rời rạc ngoại suy hội tụ cấp hai theo thời gian Như vậy, kết hợp đánh giá (2.40) và (2.49) có thể khẳng định nghiệm rời rạc của(2.6) có độ chính xác cấp hai theo không gian và thời gian khi sử dụng ngoại suy trên cả hai biến.
Đánh giá sai số cho bài toán rời rạc hoàn toàn phụ thuộc thời gian
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày cách kết hợp các đánh giá sai số nội suy trong không gian và thời gian để đạt được sự hội tụ với cấp cao hơn.
Kí hiệu E m n = u n m −U m n là sai số của nghiệm của (2.6) tại điểm lưới (xm, tn). Khi đó sai số tại điểm lưới (x m , t n ) có thể phân tích được thành
D t − E +LE n m = χ n 1,m +χ n 2,m , (2.50) với χ n 1,m = Lu n m − Lu n m và χ n 2,m = D t − u n m −(u t ) n m
Tách sai số E m n tại mỗi điểm lưới (x m , t n ) thành E = φ +ψ Khi đó xác địnhEextp = φextp+ψextp, trong đó φextp và ψextp là các sai số của phép ngoại suy tương ứng với các thành phầnφ vàψ Với sự phân tích này, tại mỗi bước thời gian n = 0, , N, hàm φ n m có thể được coi là nghiệm của bài toán giá trị biên sau
Lφ n m = χ n 1,m , m = 1, , M −1, φ n 0 = φ n M = 0, (2.51) trong đó ψ m n là nghiệm của bài toán parabolic rời rạc sau:
Phương trình (2.51) là bài toán giá trị biên ổn định trong đó χ n 1,m xác định sai số tại điểm (xm, tn) Áp dụng (2.40), thu được đánh giá sai số của (2.51): φ n extp,m
, (2.53) trong đó φ n extp là sai số ngoại suy tương ứng với φ n trên Ω M x Do đó, chúng ta có thể nói rằng kỹ thuật ngoại suy đối với không gian cho ta nghiệm hội tụ đều cấp hai trên lưới phân bố đều.
Tiếp theo, xét bài toán sai phân theo thời gian (2.52) Áp dụng thời gian ổn định (2.8) cho bài toán này, suy ra: kψk ≤ C
Xét ảnh hưởng của phép ngoại suy đối với mỗi số hạng vế phải của (2.53) một cách riêng biệt và kí hiệu chúng bởi (.) extp Lưu ý rằng nghiệm ngoại suy tương ứng với φ 0 m , tức là φ 0 extp,m bị chặn bởi số hạng cấp hai xuất hiện ở vế trái của (2.53) Xét χ n 2,m = D t − u n m −(ut) n m Thành phần này là sai số tại xm theo thời gian nửa rời rạc trong biểu thức (2.45) Ta đã chứng minh trong (2.49) rằng cách tiếp cận ngoại suy dựa trên thời gian nửa rời rạc sẽ loại bỏ thành phần sai số bậc nhất và cung cấp độ chính xác đều cấp hai theo thời gian Do đó, ta có χ n extp,2,m
Xét thành phần D − t φ n m Bài toán giá trị biên (2.51) chỉ ra rằng D − t φ n m thỏa mãn
(2.57) và Lu t = (Lu) t Khi đó, phương trình trên có thể được viết lại dưới dạng
Sai số thu được từ đánh giá trên sẽ không bị ảnh hưởng bởi đạo hàm theo t, vì các giới hạn đạo hàm của nghiệm (xem (2.3)) không bị ảnh hưởng bởi đạo hàm theo t.
Do đó, áp dụng phân tích ngoại suy cho bài toán (2.56) như (2.40), chúng ta thu được đánh giá:
, (2.59) trong đó D t − φ n extp,m xác định nghiệm ngoại suy của D t − φ n extp,m Do đó kết hợp các đánh giá (2.53), (2.55) và (2.59), ta thu được ψ extp,m n
(2.61) trong đó, ∆t= N −1 và hằng số C không phụ thuộc vào ε Do đó, từ (2.61), ta có thể chọn φ Equi (x, ε) = 1 +ε −1 exp(−αx
2ε) làm hàm chỉ số để tạo ra lưới thích hợp Với việc lựa chọn hàm chỉ số này, số hạng ở vế phải của (2.4) có bậc là O(M −2 ) Do đó, ta thu được kết quả chính như sau: Định lý 2.1 Gọi u(x, t) là nghiệm của (2.1) và U m n là nghiệm số của (2.6) trên lưới Ω M x ×Ω N t , trong đó Ω M x nhận được bằng cách phân bố lưới của hàm chỉ số Φ Equi (x, ε) = 1 +ε −1 exp(−αx/2ε) Giả sử U 2n 2m là nghiệm của (2.6) trờn lưới Ω 2M x ì Ω 2N t , Ω 2M x ≡ {0 = x0 < x1 < ã ã ã < x2M = 1} và Ω 2N t ≡
0 = t 0 < t 1 < ã ã ã < t 2N = 1 Đặt U extp,m n = 2U 2n 2m −U m n là nghiệm ngoại suy trên Ω M x ×Ω N t Khi đó u(x m , t n )−U extp,m n
Ω m x ×Ω N t ≤ C(M −2 +N −2 ), (2.62) trong đó hằng số C không phụ thuộc vào ε, M và N.
Thực nghiệm số
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số ví dụ số để thể hiện độ chính xác cao hơn trong không gian cũng như trong thời gian dựa trên kỹ thuật ngoại suy Phương pháp nghiệm lớp thích nghi trên lưới này bắt đầu với việc tạo lưới phân bố đều Sau đó, lưới không gian - thời gian sẽ được chia đôi để thu được một nghiệm khác trên lưới mịn hơn Kết hợp 2 nghiệm này cho ta nghiệm với độ chính xác cao hơn Thuật toán sau sẽ tạo ra lưới phân bố đều thích ứng Lưu ý rằng dạng rời rạc của nguyên lý phân bố đều (2.4) ở mỗi mức thời gian có thể được định dạng lại thành Φ m h m ≤ C 0
X j=1 Φ j h j , m = 1, , M, (2.63) trong đó Φ m là xấp xỉ rời rạc của hàm chỉ số Φ Equi (x, ε) trong khoảng con (x m−1 , x m ) và PM j=1Φ j h j là rời rạc của dạng tích phân trên (0,1) C 0 > 1 là tham số được lựa chọn đủ lớn để thuật toán thực hiện với ít phép lặp hơn. Tuy nhiên, nếu C0 gần bằng 1, thì sẽ đạt được nghiệm với độ chính xác cao hơn với nhiều lần lặp.
Thuật toán (Xác định nghiệm với độ chính xác cao hơn)
1 Bắt đầu với n = 1 (tương ứng với bước thời gian t= ∆t của Ω N t ) để thu được lưới thích nghi cho mọi thời điểm.
2 Xác định lưới không gian n x (p) o, trong đó p = 0 xác định lưới đều n x (0) : x (0) m = m/M,0≤ m ≤ Mo tại n = 1
3 Đặt h (p) m = x (p) m − x (p) m−1 với m = 1, , M Xác định hàm chỉ số rời rạc tùy ý với một số κ : Φ (p) m = 1 +κε −1 exp(−αx (p) m
Tính toán tích phân rời rạc bằng cách sử dụng công thức hình thangΓ (p) j P(p) m=1h (p) m (Φ (p) m−1 + Φ (P m ) )/2 với m = 0, , M Chọn hằng số C 0 > 1 Nếu thỏa mãn bất đẳng thức sau: m=1, ,Mmax h (p) m (Φ (p) m + Φ (P) m−1 )/2 Γ (p) M
≤ C 0 M thì đây là lưới phân phối đều và chuyển sang Bước 5, ngược lại thì chuyển sang Bước 4.
4 Tạo một lưới mới bằng cách sử dụng hàm sai số và đánh giá Γ (p) M từ Bước 3: đặt Ym (p) = mΓ (p) M /M với m = 0, , M Nội suy (Ym (p) , x (p+1) m ) thành(Γ (p) M , x (p) m ) sử dụng phép nội suy tuyến tính từng phần để tạo một lưới mới x (p+1) ≡ n0 = x p+1 0 < ã ã ã < x (p+1) M = 1o và quay lại Bước 3 với p = p+ 1.
5 Đặt Ω M x ∗ ≡ 0 = x ∗ 0 < x ∗ 1 < ã ã ã < x ∗ M = 1 = x (p+1) là lưới thớch nghi với các lớp thời gian Tìm nghiệm thích nghi U n,∗ = {u n m } trên Ω M x ∗ × Ω N t bằng cách giải bài toán rời rạc theo không gian (2.6) ở bước thời gian thứ n.
6 Chia đôi lưới thích nghi theo không gian (Ω M x ∗×Ω N t ) để thu đượcΩ 2M x ∗ ×Ω 2N t và ký hiệu nghiệm trên đó là U 2n 2m Do đó chúng ta có thể xác định nghiệm ngoại suy U extp,m n = 2U 2n 2m −U m n trên Ω M x ∗ ×Ω N t Thực hiện quá trình này trờn cỏc bước lưới thời gian t n = n∆t, n = 2,ã ã ã , N sẽ thu được nghiệm số với độ chính xác cao hơn.
Ví dụ 2.1 Xét bài toán parabolic nhiễu suy biến sau trên (x, t) ∈ (0,1)×
(2.64) với nghiệm đúng: u(x, t) = exp(−t)(c 1 + c 2 x−exp(−(1−x)/ε)), trong đó c 1 = exp(−1/ε) và c 2 = 1 − c 1 Sai số lớn nhất trong tất cả các bước thời gian trước và sau khi ngoại suy được kí hiệu bởi
E extp,ε M,N = max x m ∈Ω M x ,t n ∈Ω N t u(xm, tn)−U extp,m n
, trong đó U extp,m n = 2U 2n 2m − U m n Ở đây U 2n 2m là nghiệm trên lưới chia đôi
Bảng 2.1 Sai số và bậc hội tụ trước và sau khi ngoại suy cho Ví dụ 2.5.1 trên lưới thích nghi với các mức thời gian.
Số khoảng không gian M/ kích thước bước lưới thời gian ∆t ε Ngoại suy 64/ 1
Bảng 2.2 Sai số lớn nhất trong Ví dụ 2.1 trên lưới đều với ε = 10 −3 tại thời điểm t = ∆t.
Số khoảng không gian M/ kích thước bước lưới thời gian ∆t
Hình 2.1: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo các bước thời gian với M = 256 , ε = 10 −7 cho Ví dụ 2.1 (trái) và M = 256 , ε = 10 −8 cho Ví dụ 2.2 (phải) tương ứng
Ví dụ 2.2 Tiếp theo chúng ta xét một ví dụ khác chưa biết trước nghiệm đúng Xét bài toán nhiễu suy biến sau:
Do chưa biết trước nghiệm đúng nên chúng ta sẽ xác định sai số thông qua nguyên lý lưới kép Điều này được thực hiện như sau: Lưới thích ứng
Ω M x ×Ω N t thu được theo nguyên tắc phân bố đều được chia đôi để tạo ra một tập hợp lưới khác Ω 2M x ×Ω 2N t với 2M khoảng không gian và 2N khoảng thời gian Đối với mỗi giá trị cố định M và N, ta ký hiệu sai số lớn nhất bởi
(2.66) trước và sau khi ngoại suy tương ứng với các bước thời gian Trong đó,U 2n extp,2m là nghiệm ngoại suy trên lưới Ω 2M x ×Ω 2N t Chúng ta cũng xác định các sai số đều là E M,N và E extp M,N trước và sau khi ngoại suy, tương ứng trên một tập hợp lớn S chứa các giá trị khác nhau của ε và xác định các sai số này là
Tỷ lệ hội tụ của các phương pháp số được tính theo cách sau r M,N ε = log 2 E ε M,N
Bảng 2.3 Sai số lớn nhất và bậc hội tụ trước và sau khi ngoại suy trên lưới thích nghi cho Ví dụ 2.2 với các mức thời gian.
Số khoảng không gian M /kích thước bước thời gian t ε ∈ S Ngoại suy 64/ 1
Luận văn đã trình bày được một số vấn đề sau:
Sự ổn định, đánh giá sai số của bài toán rời rạc theo không gian và thời gian cho bài toán khuếch tán, truyền tải dạng parabolic nhiễu, suy biến.
Lưới thích hợp được tạo ra bởi hàm chỉ số dương và áp dụng ngoại suy để đạt được nghiệm số trên lưới đó với độ chính xác cao.
Một số ví dụ áp dụng phương pháp giải gần đúng nghiệm của phương trình parabolic nhiễu suy biến với sai số cấp hai.
Nghiên cứu phương pháp sai phân giải phương trình parabolic nhiễu suy biến với điều kiện biên dạng Neumann là hướng nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi.