Phương pháp sai phân cấp cao giải phương trình parabolic nhiều suy biến

Thông thường, sự xuất hiện của tham số này dẫn đếnmột lớp biên mở rộng của nghiệm và cần phải phân tích các đặc điểm củanó để tìm lời giải số.Trong các công trình nghiên cứu hiện nay, có

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐỨC DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN CẤP CAO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NHIỄU SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 Thái Nguyên - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐỨC DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN CẤP CAO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NHIỄU SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 Cán hướng dẫn: TS Trần Đình Hùng Thái Nguyên - 2021 Lời cam đoan Em xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn TS Trần Đình Hùng Em khơng chép từ cơng trình khác Các tài liệu luận văn trung thực, em kế thừa phát huy thành khoa học nhà khoa học với biết ơn chân thành Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2021 Học viên Nguyễn Đức Dũng Xác định nhận khoa Xác nhận người hướng chuyên môn dẫn khoa học i Lời cảm ơn Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, TS Trần Đình Hùng Tơi vơ biết ơn giúp đỡ tận tình, q báu mà Thầy dành cho tơi suốt q trình thực luận văn Thầy dành cho nhiều quan tâm, dẫn động viên giúp tơi hồn thành đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy, giáo Bộ mơn Giải tích Tốn ứng dụng nói riêng thầy, giáo Khoa Tốn nói chung tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng để luận văn hoàn thiện cách tốt điều kiện thời gian lực thân hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hồn thiện Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2021 Học viên Nguyễn Đức Dũng ii Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm Green 3 1.2 1.3 Lưới phân phối thích hợp Ngoại suy Richardson 1.4 Lược đồ sai phân ngược chiều 11 Phương pháp sai phân cấp cao giải phương trình parabolic nhiễu suy biến 13 2.1 Bài toán liên tục rời rạc 13 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 Bài toán liên tục Bài toán rời rạc theo không gian thời gian 13 14 Sự ổn định, đánh giá sai số toán rời rạc 2.2.1 Sự ổn định 15 15 2.2.2 2.2.3 Bài toán dừng Đánh giá sai số theo thời gian 16 25 2.2.4 Đánh giá sai số cho tốn rời rạc hồn tồn phụ thuộc thời gian Thực nghiệm số 27 30 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iii Mở đầu Một số tượng vật lý lý thuyết điều khiển [6], học chất lỏng [8], đạo hàm bậc cao xuất mơ hình có liên quan tới tham số nhiễu loạn Thông thường, xuất tham số dẫn đến lớp biên mở rộng nghiệm cần phải phân tích đặc điểm để tìm lời giải số Trong cơng trình nghiên cứu nay, có số lượng đáng kể nghiên cứu toán nhiễu suy biến Một số cách tiếp cận kể đến phương pháp mở rộng tiệm cận, phương pháp đa bước, phương pháp Sinc Galerkin, nhiên phương pháp có độ xác cấp Các lưới thích hợp xây dựng để tìm nghiệm hội tụ đều, lưới phần thường sử dụng để tìm nghiệm hội tụ với cấp cao Trong trường hợp này, có hai cách tiếp cận, lược đồ hỗn hợp phát triển phương pháp xử lý bước sau, mà phổ biến phương pháp hội tụ với cấp cao Lược đồ sai phân hữu hạn ngược chiều, lược đồ hỗn hợp, phương pháp ngoại suy Richardson [5] sử dụng lưới phần giúp tăng độ xác lên cấp hai với hệ số logarit Phương pháp sai phân cấp cao thực lưới không sử dụng ngoại suy Richardson nhằm đạt độ xác cấp biến khơng gian thời gian sau kết hợp chúng lại Đề tài “Phương pháp sai phân cấp cao giải phương trình parabolic nhiễu suy biến” nhằm trình bày phần phương pháp là: cách xây dựng hàm số mơ hình tốn sai phân phương pháp tìm nghiệm hội tụ cấp lưới phần theo không gian thời gian Ngoài phần "Mở đầu", "Kết luận" "Tài liệu tham khảo", kết luận văn trình bày chương:  Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kiến thức liên quan đến hàm Green, ngoại suy Richardson lưới phân phối thích hợp  Chương 2: Phương pháp sai phân cấp cao giải phương trình parabolic nhiễu suy biến Chương trình bày lược đồ sai phân ngược chiều, ổn định tốn rời rạc hồn tồn Đánh giá sai số cấp cao dựa phép ngoại suy Richardson phân tách sai số theo không gian thời gian, sau kết hợp chúng lại Xây dựng hàm số để thiết lập hội tụ cấp Một số ví dụ thực nghiệm thực để minh họa cho tính hữu hiệu phương pháp Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức hàm Green, ngoại suy Richardson lưới phân phối thích hợp, tham khảo tài liệu [3] [9] 1.1 Hàm Green Hàm Green có ứng dụng rộng rãi nghiên cứu toán giá trị biên Đặc biệt, hàm Green công cụ quan trọng để tồn nghiệm toán Xét toán giá trị biên tuyến tính L[y(x)] ≡ p0 (x) Mi (y(a), y(b)) ≡ n−1 X k=0 dn−1 y dn y + p (x) + · · · + pn (x)y = 0, dxn dxn−1 k αki k d y(b) d y(a) + βki k dx dxk (1.1) ! = 0, i = 1, n, (1.2) pi (x), i = 0, , n hàm liên tục (a, b), p0 (x) 6= với điểm thuộc (a, b) Định nghĩa 1.1 (xem [9]) Hàm G(x, t) gọi hàm Green toán giá trị biên (1.1)-(1.2) xem hàm biến x, thoả mãn điều kiện với t ∈ (a; b): i) Trên [a, t) (t; b], G(x, t) hàm liên tục, có đạo hàm liên tục tới cấp n thoả mãn phương trình (1.1) (a, t) (t, b), tức là: L[G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L[G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b) ii) G(x, t) phải thoả mãn điều kiện biên (1.2), tức Mi (G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, , n iii) Tại x = t, G(x, t) tất đạo hàm riêng theo biến x tới cấp n − hàm liên tục ∂ k G(x, t) ∂ k G(x, t) lim − lim− = 0, k = 0, , n − x→t+ x→t ∂xk ∂xk iv) Đạo hàm riêng cấp n − G(x, t) theo biến x G(x, t) gián đoạn x = t, cụ thể lim+ x→t ∂ n−1 G(x, t) ∂ n−1 G(x, t) − lim = − x→t− ∂xn−1 ∂xn−1 p0 (t) Định lí sau điều kiện tồn hàm Green Định lý 1.1 (xem [9]) Nếu toán giá trị biên (1.1)-(1.2) có nghiệm tầm thường tồn hàm Green tương ứng với tốn Xét phương trình tuyến tính khơng dn y dn−1 y L[y(x)] ≡ p0 (x) n + p1 (x) n−1 + · · · + pn (x)y = −f (x) dx dx với điều kiện ! n−1 k k X d y(b) d y(a) + βki = 0, i = 1, n, Mi (y(a), y(b)) ≡ αki k k dx dx k=0 (1.3) (1.4) hệ số pj (x) hàm vế phải f (x) phương trình (1.3) hàm liên tục, với p0 (x) 6= (a; b) Mi biểu diễn dạng độc lập tuyến tính với hệ số Định lí sau thể quan hệ tính nghiệm (1.3)-(1.4) với toán tương ứng Định lý 1.2 (xem [9]) Nếu toán giá trị biên tương ứng với (1.3)-(1.4) có nghiệm tầm thường tốn (1.3)-(1.4) có nghiệm biểu diễn dạng Z b y(x) = G(x, t)f (t) dt, a G(x, t) hàm Green tốn tương ứng Một số ví dụ sau cách xác định hàm Green tốn giá trị biên cụ thể Ví dụ 1.1 Xét toán  u00 (x) = −ϕ(x), u(0) = u(1) = 0 < x < 1, Hàm Green tìm dạng sau  A + A (x), ≤ x ≤ t ≤ 1, G(x, t) = B + B (1 − x), ≤ t ≤ x ≤ 1, (1.5) (1.6) A1 , A2 B1 , B2 hàm t Hàm Green thoả mãn điều kiện (i) Do hàm Green G(x, t) thoả mãn toán biên với điều kiện biên (ii) ta suy A1 = B1 = Do đó, hàm Green tốn  A (x), ≤ x ≤ t ≤ 1, G(x, t) = (1.7) B (1 − x), ≤ t ≤ x ≤ Điều kiện liên tục (iii) cho ta phương trình B2 (1 − t) − A2 (t) = (1.8) B2 + A2 = (1.9) Từ điều kiện (iv) ta Ta tìm hệ số A2 , B2 cách giải hệ phương trình (1.8) (1.9) Kết ta A2 = − t, B2 = t Thay hệ số tìm vào phương trình (1.7) ta hàm Green  x(1 − t), ≤ x ≤ t ≤ 1, (1.10) G(x, t) = t(1 − x), ≤ t ≤ x ≤ Do đó, nghiệm toán (1.5) biểu diễn dạng Z u(x) = G(x, t)ϕ(t) dt = φ(x) = max φ(η) Ta sử dụng chuẩn φ(x) Φ = =φ η∈D Φ:Φ D −1,∞ ∞ R x φ(x) dx + c cho φ ∈ L1 (D), với D = (0, 1) Giá trị rời rạc c∈R φ(x) x = xi ký hiệu φi φi±0 ký hiệu giới hạn phía φ(xi ± 0) Khi miền D chưa xác định, ta sử dụng · thay cho · D 2.1.2 Bài toán rời rạc theo không gian thời gian Sử dụng lưới không ΩM x ≡ {0 = x0 < x1 < · · · < xM = 1} theo không gian Ωx lưới ΩN t ≡ {0 = t0 < t1 < · · · < tN = T } theo thời gian [0, T ] Bước lưới theo không gian xác định hm+1 = xm+1 − xm , m = 0, , M − 1, nút lưới theo thời gian tn = n∆t, n = 0, , N, bước lưới ∆t = T /N Kí hiệu hàm lưới Vmn giá trị xấp xỉ u(xm , tn ) Xét toán tử sai phân sau: n n Vmn − Vm−1 Vm+1 − Vmn − n + n := := , D x Vm (2.5) Dx Vm hm+1 hm 14 Dt− Vmn := Vmn − Vmn−1 ∆t xấp xỉ đạo hàm cấp theo khơng gian thời gian Khi sử dụng lược đồ sai phân ngược chiều, toán tử liên tục L (2.2) xấp xỉ toán tử sai phân sau: Lunm = −εDx+ Dx− unm − am Dx+ unm + bm unm ta có lược đồ sai phân cho toán (2.1):  n n   D− U n + LUm = fm , m = 1, , M − 1,   t m n U0n = 0, UM = 0, với n = 0, , N,    U = u0 , m = 1, , M − 1, m n = 1, , N, (2.6) m n nghiệm rời rạc điểm (xm , tn ) Um Tiếp theo chúng tơi trình bày ổn định sai số toán rời rạc (2.6) 2.2 Sự ổn định, đánh giá sai số toán rời rạc 2.2.1 Sự ổn định Bổ đề 2.1 Giả sử hàm lưới z thỏa mãn toán rời rạc theo thời gian sau:  D− Z n + Lz n = f n , m = 1, , M − 1, n = 1, , N, t m m m (2.7) z n = 0, z n = 0, với n = 0, , N, m Lzm ≡ −εDx+ Dx− zm − am Dx+ zm + bm zm Khi đó, nghiệm rời rạc (2.7) thỏa mãn đánh giá sau   n max z ≤ C z + T max f n n=1, ,N n=1, ,N (2.8) ổn định Chứng minh Viết lại tốn rời rạc (2.7) (hoặc tương ứng (2.6)) sau: −ε∆tDx+ Dx− z k − a∆tDx+ z k + (1 + ∆tb)z k = z k−1 + ∆tf k , 15 k = 1, , N