Phương pháp sai phân hữu hạn cân bằng cho hệ phương trình euler đẳng entropy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC NGUYỄN THỊ NGÂN TRÚC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CÂN BẰNG CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH EULER ĐẲNG ENTROPY KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn TS ĐÀO HUY CƯỜNG Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2022 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học, TS Đào Huy Cường, người ln nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện để em hồn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý Thầy, Cô khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để em có tảng tri thức kinh nghiệm sống quý báu làm hành trang sau Em xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ em suốt q trình học tập làm khóa luận Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy, Cô dành thời gian quý báu để xem xét góp ý cho điểm cịn thiếu sót giúp em rút kinh nghiệm cho khóa luận Rất mong nhận bảo Quý Thầy, Cơ góp ý bạn để bổ sung hoàn thiện đề tài Em xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2022 Nguyễn Thị Ngân Trúc Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kết hệ hyperbolic định luật bảo tồn 1.1.1 Tính hyperbolic 1.1.2 Sự không tồn nghiệm cổ điển 1.1.3 Nghiệm yếu điều kiện bước nhảy Rankine-Hugoniot 1.1.4 Tính khơng nghiệm yếu 1.2 Bài toán Riemann nghiệm toán Riemann 1.2.1 Sóng giãn 1.2.2 Sóng sốc tiếp xúc gián đoạn 1.3 Hệ phương trình Euler đẳng entropy 1.3.1 Nguồn gốc 1.3.2 Các tính chất 1.3.3 Sóng tĩnh 1.3.4 Sóng giãn 1.3.5 Sóng sốc 5 10 11 12 13 13 13 17 18 20 22 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN CHO HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN 2.1 Phương pháp số cho hệ tuyến tính 2.1.1 Sơ lược phương pháp sai phân hữu hạn 2.1.2 Sai số toàn cục hội tụ 2.1.3 Sai số chặt cụt địa phương 2.1.4 Tính ổn định 2.1.5 Điều kiện CFL 2.2 Các phương pháp bảo tồn cho tốn phi tuyến 2.2.1 Các định nghĩa 2.2.2 Tính tương thích 2.2.3 Định lý Lax-Wendroff 2.2.4 Lược đồ Lax-Friedrichs cho hệ phương trình Euler đẳng entropy 24 24 24 26 27 28 29 30 32 34 37 40 CÁC THỬ NGHIỆM SỐ 3.1 Thử nghiệm số 3.1.1 Trường hợp sóng tĩnh xảy 3.1.2 Trường hợp sóng tĩnh xảy 3.2 Thử nghiệm số 3.3 Thử nghiệm số 3.4 Thử nghiệm số 41 41 41 42 43 45 46 theo theo điều kiện (*) điều kiện (**) PHẦN KẾT LUẬN 48 PHỤ LỤC 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong vật lý kỹ thuật, động lực học chất lưu phân ngành học chất lưu mơ tả dịng chảy chất lưu, bao gồm chất lỏng chất khí Động lực học chất lưu có nhiều ứng dụng, bao gồm tính tốn lực momen máy bay, xác định tốc độ dòng chảy dầu mỏ qua đường ống dẫn, dự đoán kiểu thời tiết, Các toán đặt thường liên quan đến việc tính tốn đặc tính khác chất lưu vận tốc dòng chảy, áp suất, mật độ nhiệt độ, hàm không gian thời gian Hệ phương trình Euler đẳng entropy chiều khí động học mơ hình dịng chảy chất lưu ống thiết lập từ định luật bảo toàn khối lượng, bảo toàn động lượng bảo toàn lượng Cụ thể, đại lượng entropy đo lường rối loạn hệ số phương trình bảo toàn lượng rút gọn, thu dạng hệ phương trình Euler đẳng entropy sau:  ∂t ρ + ∂x (ρv) =
, ∂t (ρv) + ∂x ρv + p = 0, x ∈ R, t > ρ(x, t) mật độ, v(x, t) vận tốc, p(x, t) áp suất chất Hệ định luật bảo toàn hệ phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ toán động lực học chất lưu Các lý thuyết hệ định luật bảo toàn nghiên cứu phát triển nhiều năm qua nhà toán học P D Lax, A Bressan, E Godlewski, P A Raviart, Rất nhiều lược đồ sai phân xấp xỉ cho nghiệm hệ định luật bảo toàn đưa K O Friedrichs, P D Lax, B Wendroff, S K Godunov, Bên cạnh đó, hệ phương trình Euler đẳng entropy viết dạng hệ định luật bảo toàn: ut + f (u)x = 0,   ρ u = , ρv   ρv f (u) = ρv + p Vì vậy, hệ phương trình Euler đẳng entropy có tính chất hệ định luật bảo toàn phương pháp số áp dụng cho hệ định luật bảo tồn áp dụng cho hệ phương trình Euler đẳng entropy Khóa luận đặt mục tiêu xây dựng phương pháp sai phân hữu hạn cân cho hệ phương trình Euler đẳng entropy với mơ xấp xỉ nghiệm sóng cho tốn Riemann lược đồ, từ kết luận tính hiệu phương pháp Mục đích nghiên cứu - Thiết lập mơ hình hệ phương trình Euler đẳng entropy từ định luật bảo tồn khối lượng, bảo toàn động lượng MỤC LỤC - Xây dựng lược đồ sai phân hữu hạn cân Lax-Friedrichs cho hệ phương trình Euler đẳng entropy - Kiểm định tính hiệu phương pháp thơng qua tính toán độ chênh lệch nghiệm xấp xỉ nghiệm xác phần mềm Matlab Phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu mơ hình hệ phương trình Euler đẳng entropy - Tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn Cauchy tổng quát lược đồ LaxFriedrichs Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu sách chuyên khảo báo khoa học có liên quan đến đề tài; phân tích, tổng hợp kiến thức thu trình bày chúng theo thể thống nhất, khoa học - Sử dụng phần mềm Matlab để viết code mô nghiệm xấp xỉ toán Cấu trúc khóa luận tốt nghiệp Khóa luận ngồi phần mở đầu, phần kết luận gồm chương: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân hữu hạn cho hệ hyperbolic định luật bảo toàn Chương 3: Các thử nghiệm số Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kết hệ hyperbolic định luật bảo toàn 1.1.1 Tính hyperbolic Cho Ω ⊂ Rm tập mở Giả sử Ω xác định hàm khả vi liên tục với giá trị vectơ f : Ω → Rm Dạng tổng quát hệ luật bảo toàn biến không gian (1D) là: ∂ ∂u + f (u) = 0, ∂t ∂x x ∈ R, t > 0, (1.1) u : R × [0, +∞) → Ω, u = u(x, t), x ∈ R, t ≥ vectơ m chiều đại lượng bảo toàn, biến trạng thái, chẳng hạn khối lượng, động lượng lượng toán động lực học chất lỏng Cụ thể hơn, tập Ω R x2 gọi tập trạng thái uj hàm mật độ cho biến trạng thái thứ j , với u (x, t)dx tổng đại lượng biến trạng thái đoạn [x1 , x2 ] thời x1 j điểm t R +∞ Thực tế biến trạng thái bảo tồn có nghĩa −∞ uj (x, t) khơng đổi t Bản thân hàm uj , đại diện cho phân bố không gian biến trạng thái thời điểm t Giả thiết (1.1) cho biết giá trị u(x, t) thời điểm thời điểm định cho phép xác định tốc độ dịng chảy, thơng lượng, biến trạng thái (x, t) Thông lượng thành phần thứ j cho hàm fj (u(x, t)) Hàm có giá trị vectơ f (u) với thành phần thứ j , fj (u) gọi hàm thơng lượng hệ luật bảo tồn Hơn nữa, ta nói hệ (1.1) viết dạng bảo toàn Bây ta phát biểu khái niệm hệ hyperbolic luật bảo toàn Gọi ma trận Jacobi f (u)   A(u) = ∂fi (u) ∂uk 1≤i,k≤m Định nghĩa 1.1.1 Hệ (1.1) gọi hyperbolic với u ∈ Ω ma trận A(u) có m giá trị riêng λ1 (u) ≤ λ2 (u) ≤ ≤ λm (u), với hệ m vectơ riêng tương ứng độc lập tuyến tính r1 (u), r2 (u), , rm (u) Khi A(u)rk (u) = λk (u)rk (u), ≤ k ≤ m Hơn nữa, tất giá trị riêng λk (u) phân biệt, hay λ1 (u) < λ2 (u) < < λm (u), hệ (1.1) gọi hyperbolic ngặt CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giả sử hệ (1.1) hyperbolic, ta định nghĩa vectơ riêng trái A(u): Vì ma trận ma trận chuyển vị có tập giá trị riêng nên tồn vectơ riêng lk (u) ứng với giá trị riêng λk ma trận AT (u), tức AT (u)lk (u) = λk (u)lk (u), k = 1, , m Lấy chuyển vị hai vế ta lkT (u)A(u) = λk (u)lkT (u), k = 1, , m Từ đó, vectơ lk thường gọi vectơ riêng trái, vectơ rk thường gọi vectơ riêng phải ma trận A Định nghĩa 1.1.2 Bài toán Cauchy hệ (1.1) toán sau đây: Tìm hàm u : R × [0, +∞) → Ω nghiệm (1.1) thỏa mãn điều kiện đầu u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R, (1.2) u0 : R → Ω hàm cho trước Trong trường hợp hàm kiện đầu u0 có dạng ( uL , x < u0 (x) = , uR , x > (1.3) toán Cauchy gọi tốn Riemann Tính chất 1.1.1: Giả sử hệ (1.1) hyperbolic ngặt Khi đó, li (u) · rj (u) = 1.1.2 ∀i 6= j, ∀u ∈ Ω, ω 6= (1.4) Sự không tồn nghiệm cổ điển Định nghĩa 1.1.3 Hàm u : R × [0, +∞) → Ω gọi nghiệm cổ điển toán Cauchy (1.1), (1.2) u hàm khả vi liên tục thỏa mãn phương trình (1.1), (1.2) điểm Tuy nhiên, nhiều trường hợp, tốn (1.1), (1.2) khơng tồn nghiệm cổ điển số khoảng thời gian hữu hạn, điều kiện ban đầu u0 (x) hàm trơn Ví dụ, giả sử u nghiệm cổ điển toán Cauchy (1.1), (1.2) trường hợp m = 1, f : R → R hàm C Khi cách đặt a(u) = f (u) ta viết lại tốn dạng phi bảo tồn sau: ut + a(u)ux = Đường cong đặc trưng phương trình (1.1) xác định đường cong tích phân phương trình vi phân dx = a(u(x(t), t)) dt (1.5) Mệnh đề 1.1.4 Giả sử u nghiệm trơn phương trình (1.1) Các đường cong đặc trưng phương trình (1.5) đường thẳng dọc theo u số CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chứng minh Xét đường cong đặc trưng qua điểm (x0 , 0) nghiệm phương trình vi phân thường sau: ( dx = a(u(x(t), t)) dt x(0) = x0 Đường cong tồn khoảng thời gian nhỏ [0, t0 ] Dọc theo đường cong, u số vì: ∂u ∂u dx d u(x(t), t) = (x(t), t) + (x(t), t) (t) dt ∂t ∂x dt  ∂u ∂u = + a(u) (x(t), t) = ∂t ∂x Do đó, từ (1.5) ta thấy đường cong đặc trưng đường thẳng có hệ số góc phụ thuộc vào điều kiện đầu, đường thẳng qua điểm (x0 , 0) xác định phương trình x = x0 + ta (u0 (x0 )) (1.6) Đây tính chất quan trọng để xây dựng nghiệm trơn Một tập u(x, t) = u0 (x0 ) , với x0 thỏa (1.6), gọi phương pháp đặc trưng Ví dụ 1.1.5 Xét phương trình Burgers ∂t u + u∂x u = 0, với điều kiện đầu   1, x≤0 u(x, 0) = u0 (x) = − x, ≤ x ≤  0, x>1 Bằng cách sử dụng phương pháp đặc trưng, ta giải đến thời điểm đường đặc trưng cắt Từ (1.6), ta có đường đặc trưng qua điểm (x0 , 0) xác định x = x (x0 , t) = x0 + tu0 (x0 ) Do đó, ta có   x0 + t, x0 ≤ x (x0 , t) = x0 + t (1 − x0 ) , ≤ x0 ≤  x0 , x0 ≥ CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hình 1.1.([2], tr.14) Phương pháp đặc trưng cho phương trình Burgers Với t < 1, đường đặc trưng khơng cắt (Hình 1.1) Do đó, lấy điểm (x, t) với t < 1, vẽ đường đặc trưng qua điểm này, ta xác định x0 tương ứng sau    x − t, x ≤ t < 1−x x0 = , t ≤ x ≤   1−t 0, x ≥ Giá trị di chuyển sang phải độ dốc tăng dần trở thành "sốc" (Hình 1.1) Sự gián đoạn u tương ứng với thực tế thời điểm t = 1, đường đặc trưng cắt Tóm lại, cách sử dụng phương pháp đặc trưng, người ta chứng minh u đủ trơn, nghiệm cổ điển (1.1), (1.2) tồn khoảng thời gian nhỏ Mặt khác, thấy trường hợp phi tuyến a0 (u) 6= gián đoạn xảy sau thời gian hữu hạn Do ta cần khái niệm "nghiệm yếu" 1.1.3 Nghiệm yếu điều kiện bước nhảy Rankine-Hugoniot m ∞ Xét toán Cauchy (1.1), (1.2) giả sử u0 ∈ L∞ loc (R) , với Lloc không gian hàm đo địa phương Giả sử u nghiệm cổ điển hàm ϕ ∈ C∞ (R × [0, +∞))m (C∞ không gian hàm khả vi vơ hạn lần có support compact) Áp dụng công thức Green ta CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Z ∞Z 0=− (ut + f (u)x ) ϕdxdt ∞Z Z R Z = (uϕt + f (u)ϕx ) dxdt + R u(x, 0)ϕ(x, 0)dx R Nghĩa nghiệm cổ điển u thỏa mãn đẳng thức tích phân  Z ∞Z Z (uϕt + f (u)ϕx ) dxdt + R u0 (x)ϕ(x, 0)dx = (1.7) R m Rõ ràng (1.5) có nghĩa với giả thiết u ∈ L∞ loc (R × [0, +∞)) m Định nghĩa 1.1.6 Hàm u ∈ L∞ loc (R × [0, +∞)) gọi nghiệm yếu toán Cauchy (1.1), (1.2) u(x, t) ∈ Ω hầu khắp thỏa mãn (1.7) với m hàm thử ϕ ∈ C∞ (R × [0, +∞)) Định lý 1.1.7 Nghiệm yếu u hàm khả vi liên tục toán Cauchy (1.1), (1.2) u nghiệm cổ điển Chứng minh Rõ ràng nghiệm cổ điển nghiệm yếu Ngược lại, giả sử hàm khả vi liên m tục u nghiệm yếu Lấy ϕ ∈ C∞ (R × [0, +∞)) , tích phân hệ thức (1.5) ta  Z ∞Z (ut + (f (u))x ) · ϕdxdt = R m nên (1.1) thỏa Hệ thức với hàm thử ϕ ∈ C∞ (R × [0, +∞)) mãn điểm m Bây ta nhân (1.1) với hàm thử tùy ý ϕ ∈ C∞ (R × [0, +∞)) Sau tích phân phần so sánh với (1.5) ta Z (u(x, 0) − u0 (x)) ϕ(x, 0)dx = R Vì ϕ tùy ý nên hệ thức cuối kéo theo (1.2) điểm Như vậy, ta chứng minh nghiệm yếu u hàm khả vi liên tục u nghiệm cổ điển Tiếp theo, ta xét nghiệm yếu (1.1) hàm trơn mảnh có gián đoạn Cụ thể, hàm u C mảnh tồn hữu hạn mặt định hướng trơn Σ mặt phẳng (x, t) cho hàm u C mặt thừa nhận gián đoạn Cho trước mặt gián đoạn Σ u, ký hiệu n = (n0 , n1 )T vectơ pháp tuyến Σ gọi u+ , u− giới hạn bên u Σ, tức u± = lim u((x, t) ± εn) ε→0+ Định lý 1.1.8 Giả sử u : R × [0, +∞) → Ω hàm C mảnh Khi đó, u nghiệm yếu (1.1) hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn (i) u nghiệm cổ điển (1.1) miền mà u C λp k , (2.23) ν = max p h số Courant, gọi số CFL, cho tính tốn cụ thể Khi đó, điều kiện cần để ổn định phương pháp 3-nút số Courant khơng lớn Nói cách khác, ta viết lại (2.23) dạng sau ∆t max {|λp |} = CFL < ∆x 2.2 Các phương pháp bảo tồn cho tốn phi tuyến Khi chuyển sang tốn phi tuyến, số khó khăn khác phát sinh, phổ biến trường hợp phương pháp hội tụ đến hàm khơng phải nghiệm yếu phương trình ban đầu Ví dụ, xét phương trình Burgers’: 1  ut + u2 = (2.24) x Bằng cách nhân phương trình (2.24) với 2u, ta thu 2uut + 2u2 ux = 0, viết lại thành
 3 u2 t + u = (2.25) x Cả hai phương trình (2.24) (2.25) có nghiệm trơn giống Tuy nhiên, chúng có nghiệm yếu khác nhau, xét toán Riemann với uL > uR Nghiệm yếu (2.24) sóng sốc với tốc độ lan truyền  2 s1 = 2u [u] = (uL + uR ) , nghiệm yếu (2.25) sóng sốc với tốc độ lan truyền  3   s2 = Suy s2 − s1 = 3u [u2 ] = uR − uL u2R − u2L (uL − uR )2 > 0, dẫn đến s2 6= s1 nên hai phương trình (2.24) (uL + uR ) (2.25) có nghiệm yếu khác 30 CHƯƠNG XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN CHO HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN Mặt khác, xét phương pháp sai phân hữu hạn phù hợp với phương trình (2.24), sử dụng định nghĩa tính tương thích tốn tuyến tính đó, phương pháp phù hợp với phương trình (2.25) khai triển chuỗi Taylor giống hai trường hợp Tuy nhiên, phương pháp hội tụ đến hàm nghiệm yếu hai, điều vơ lý hai nghiệm yếu khác đề cập Ví dụ 2.2.1 Viết lại phương trình Burgers’ (2.24) dạng tựa tuyến tính ta ut + uux = (2.26) Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn thu cách rời rạc hệ (2.26) xấp xỉ sai phân cho ut ux điểm lưới (xj , tn ): ut |(xj ,tn ) ≈ thu Ujn+1 − Ujn k Ujn+1 − Ujn k ux |(xj ,tn ) ≈ , + Ujn n Ujn − Uj−1 h n Ujn − Uj−1 h , = 0, hay
k n Ujn+1 = Ujn − Ujn Ujn − Uj−1 h (2.27) Ta chứng minh phương pháp (2.27) tương thích phương trình (2.26) Thật vậy, sai số chặt cụt địa phương k Lk (x, t) = u (x, t + k) − u (x, t) + u (x, t) [u (x, t) − u (x − h, t)] h = u + kut + k utt + k uttt + h i k 1 −u + u u − u + hux − h2 uxx + h3 uxxx − h
= k (ut − uux ) + k (kutt − huxx ) + O h Từ (2.26) ta có ut = −uux
Suy utt = −ut ux − uutx = −uu2x − u(ut )x = −uu2x − u −u2x − uuxx = u2 uxx Thay vào Lk (x, t) ta

Lk (x, t) = k ku2 − h uxx + O k = O(k) k → Phương pháp (2.27) thích hợp cho nghiệm trơn nhìn chung khơng hội tụ thành nghiệm yếu khơng liên tục phương trình Burgers (2.24) lưới tinh chỉnh Ví dụ, xét kiện đầu: ( 1, x < u0 (x) = 0, x > Viết lại dạng rời rạc ta ( Uj0 = j < 0, j ≥ 1, 31 (2.28) CHƯƠNG XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN CHO HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN Nhận thấy từ (2.27) ta suy Uj1 = Uj0 với j Tương tự với bước ta có Ujn = Uj0 với j n, với k h Khi lưới tinh chỉnh, nghiệm số hội tụ tốt với hàm u(x, t) = u0 (x) Đây nghiệm yếu (2.24) (hoặc (2.25)) Trong ví dụ này, nghiệm rõ ràng sai, thực tương tự với liệu ban đầu khác cho kết hợp lý khơng xác Hình 2.1 cho thấy nghiệm tính tốn thời điểm t = với kiện Riemann uL = 1.2 uR = 0.4 Chúng ta nhận nghiệm đẹp lan truyền với tốc độ hồn tồn sai Hình 2.1 ([4], tr.124) Nghiệm nghiệm số phương trình Burgers’ sử dụng phương pháp khơng bảo tồn 2.2.1 Các định nghĩa Có điều kiện đơn giản tự nhiên mà áp đặt cho phương pháp số, điều đảm bảo không hội tụ đến hàm không nghiệm Khi yêu cầu phương pháp phải dạng bảo tồn, có nghĩa có dạng Ujn+1 = Ujn −

 k n n n n n n F Uj−p , Uj−p+1 , , Uj+q − F Uj−p−1 , Uj−p , , Uj+q−1 , (2.29) h với hàm F có p + q + đối số F gọi hàm thông lượng số Trường hợp đơn giản nhất, p = q = 1, F hàm hai biến (2.29) trở thành Ujn+1 = Ujn −

 k n n F Ujn , Uj+1 − F Uj−1 , Ujn h 32 (2.30) CHƯƠNG XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN CHO HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN Dạng biểu diễn hoàn toàn tự nhiên ta xem Ujn xấp xỉ cho giá trị trung bình u¯nj xác định Z xj+1/2 n u (x, tn ) dx (2.31) u¯j ≡ h xj −1/2
Ta lấy tích phân hệ luật cân ut +f (u)x = hình chữ nhật xj−1/2 , xj+1/2 × (tn , tn+1 ): Z Z Z Z xj+1/2 tn+1 tn+1 xj+1/2 ut dtdx + xj−1/2 f (u)x dxdt = tn tn xj−1/2 Khi nghiệm yếu u(x, t) thỏa mãn dạng tích phân hệ luật cân bằng: Z xj+1/2 Z xj+1/2 u (x, tn+1 ) dx = xj−1/2 u (x, tn ) dx xj−1/2 Z tn+1 −

f u xj+1/2 , t tn+1 Z

dt − f u xj−1/2 , t tn  dt tn Chia hai vế cho h sử dụng cơng thức tính giá trị trung bình (2.31) ta thu  Z tn+1 Z tn+1



u¯n+1 = u¯nj − f u xj−1/2 , t dt (2.32) f u xj+1/2 , t dt − j h tn tn So sánh (2.32) với (2.30), ta thấy hàm thơng lượng số F (Uj , Uj+1 ) đóng vai trị giá trị trung bình thơng lượng qua điểm xj+1/2 khoảng thời gian [tn , tn+1 ] F (Uj , Uj+1 ) ∼ k Z tn+1

f u xj+1/2 , t dt (2.33) tn Một cách khác để suy phương pháp số dạng bảo toàn sử dụng rời rạc sai phân hữu hạn bắt đầu với dạng bảo toàn phương trình vi phân phần dạng tựa tuyến tính Ví dụ, ta tổng qt hóa phương pháp (2.27) lên phương trình Burgers’ cách sử dụng dạng (2.24) thay (2.26), thu h
2 n
2 i k Ujn+1 = Ujn − Ujn − Uj−1 (2.34) h 2 Đây dạng (2.30) với F (v, w) = v (2.35) Lược đồ Lax-Friedrichs Ta xấp xỉ đạo hàm riêng ut f (u)x công thức sai phân sau: ut (x j ,tn ) f (u)x (x ≈ Ujn+1 − Ujn j ,tn ) k ≈ f n Uj+1 ,
n − f Uj−1 2h Rời rạc hệ luật cân ut + f (u)x = ta
n+1 n n Uj − Uj k + n f Uj+1 − f Uj−1 2h 33

= 0,