TÍNH TRUYỀN NHIỆT KHI CẤP ĐÔNG CRYO BỀ MẶT PHẲNG VẬT ẨM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

Thái Ngọc Sơn, Hồng Ngọc Đồng, Lê Minh Trí 44 TÍNH TRUYỀN NHIỆT KHI CẤP ĐƠNG CRYO BỀ MẶT PHẲNG VẬT ẨM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN USING FINITE DIFFERENCE METHODS TO CALCULATE HEAT TRANSFER IN FREEZING THE FLAT SURFACE OF HUMID MATERIALS BY CRYOGENIC TECHNIQUE Thái Ngọc Sơn1, Hồng Ngọc Đồng1, Lê Minh Trí2 Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng; thaingocson@gmail.com, hndong@dut.udn.vn Trường Cao đẳng Cơng nghiệp Huế; lmtri@hueic.edu.vn Tóm tắt - Một cách để tiêu diệt tế bào ung thư làm lạnh đến nhiệt độ thấp kỹ thuật cryo Để thực liệu pháp này, cần xác định tốc độ đóng băng phân bố nhiệt độ khối u hóa rắn Trong [1], tác giả sử dụng phương pháp giải tích để giải vấn đề Bài báo trình bày tính truyền nhiệt cấp đơng cho bề mặt phẳng vật ẩm phương pháp sai phân hữu hạn, [2]qua tính độ dày lớp băng hình thành theo thời gian cấp lạnh Đây toán sở giúp nhà khoa học xác định thời gian làm lạnh cần thiết để tiêu diệt có định hướng tế bào ung thư kỹ thuật cryo Tác giả thiết lập phương trình, xây dựng phần mềm môi trường Excel, dùng VBA để giải tốn Kết tính tốn so sánh với kết tính theo phương pháp giải tích phương pháp số khác Sai số kết tính phương pháp nhỏ 15% Abstract - One of the methods to destroy cancer cells is freezing them to very low temperatures using cryogenic technique To perform this technique, we need to answer these questions: How process of freezing tumor occurs, how fast the freezing and distributing of temperature in the ice is, etc In [1], the authors use calculus and analysis to solve the above problems This paper presents the heat transfer when freezing the flat surface of humid materials using finite difference method, thereby, calculating the thickness of the ice sheet formed during the freezing time This is a fundamental problem that helps scientists determine the freezing time needed to destroy cancer cells with cryogenic technique The author has set up equations, built software in the Excel, and used VBA to solve the problem The results are compared with the ones under analysis and other calculus methods The calculation error between methods is less than 15% Từ khóa - lỏng nitơ; truyền nhiệt; ung thư; kỹ thuật cryo; phương pháp sai phân hữu hạn Key words - liquid nitrogen; heat transfer; cancer; cryogenic technique; finite difference method Đặt vấn đề Cấp đông cryo bề mặt phẳng vật ẩm kỹ thuật sử dụng khí hóa lỏng có nhiệt độ thấp phun cho tiếp xúc trực tiếp với bề mặt phẳng vật ẩm Kỹ thuật sử dụng y học để điều trị bệnh sẹo lồi [3], bệnh chàm mạn tính tăng sừng [4], bệnh rối loạn da lành tính ác tính [[5]5], bệnh mụn cóc, nốt ruồi, thẻ da, keratoses lượng mặt trời, u dây thần kinh Morton ung thư da nhỏ [6] … Nhằm tiến đến phá hủy có kiểm sốt tổ chức bệnh lý tế bào ung thư, chúng tơi tính truyền nhiệt cấp đơng cryo vật ẩm, qua xác định thời gian cấp lạnh cần thiết để làm đóng băng hóa rắn khối tế bào có độ dày cho trước Đây việc làm cần thiết có ý nghĩa ứng dụng kỹ thuật lạnh cryo vào lĩnh vực y tế Chúng ta tính độ dày lớp băng tạo phương pháp giải tích với số giả thiết [1], có giả thiết: Xem thông số vật lý (hệ số dẫn nhiệt, nhiệt dung riêng ) không đổi suốt q trình đóng băng Tuy nhiên, chúng tơi giải tốn theo cách khác: sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, so sánh kết tính phương pháp Khi giải tốn theo phương pháp số, có phương pháp sai phân hữu hạn, thơng số vật lý tính tốn theo nhiệt độ, qua làm giảm sai số so với phương pháp giải tích ẩm = 75%; nhiệt chuyển pha nước rc= 334.100J/kg Vật cấp đông thiết bị áp lạnh với nguồn thu nhiệt lỏng nitơ có nhiệt độ tf= -196°C Hãy xác định độ dày lớp băng hình thành theo thời gian (Hình 1) Kết nghiên cứu khảo sát 2.1 Mơ hình tốn Giả sử vật ẩm có thơng số vật lý: nhiệt độ đóng băng t0= 0°C; nhiệt độ ban đầu t1= 37°C; khối lượng riêng i [kg/m3]; nhiệt dung riêng Ci [J/kgK]; hệ số dẫn nhiệt nhiệt độ nhỏ 0°C i [W/mK]; độ ẩm tồn phần vật Hình Mơ hình tốn 2.2 Giải tốn Đây xem phần mở rộng tốn tính truyền nhiệt thiết bị áp lạnh [1], nghĩa khảo sát trường nhiệt độ phẳng rộng vô hạn với biên loại với thông số vật lý phụ thuộc nhiệt độ Từ thời điểm τ, quãng thời gian Δτ, lớp vật ẩm có bề dày δ hạ nhiệt độ từ t xuống đến t0 sau hóa rắn Gọi quãng thời gian để mô sống hạ nhiệt độ từ t xuống đến t0 Δτh, ta có: Lượng nhiệt thải vật ẩm hạ nhiệt độ từ t1 xuống đến t0: 𝑞ℎ = 𝛿𝜌𝑖 𝐶𝑖 (𝑡1 − 𝑡0 ), J/m2 Lượng nhiệt ẩn thải vật ẩm hóa rắn: 𝑞𝑎 = 𝛿𝜌𝑖 𝜔𝑟𝑐 , J/m2 Phương trình dẫn nhiệt từ lớp mơ qua lớp băng hình thành trước thời điểm τ, có nhiệt độ t, nhiệt trở R có dạng: ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(118).2017 - Quyển Ký hiệu: 𝑡1 − 𝑡 Δ𝜏ℎ = 𝛿𝜌𝑖 𝐶𝑖 (𝑡1 − 𝑡0 ) 𝛿 +𝑅 𝜆𝑖 𝑡0 − 𝑡 Δ𝜏𝑎 = 𝛿𝜌𝑖 𝜔𝑟𝑐 𝛿 + 𝑅 { 𝜆0 𝐸1 ≜ 𝜌𝑖 𝐶𝑖 (𝑡1 − 𝑡0 ) 𝐸2 ≜ 𝜌𝑖 𝜔𝑟𝑐 Biết: 𝛥𝜏 = 𝛥𝜏ℎ + 𝛥𝜏𝑎 Suy ra: 𝛿𝐸1 𝛿 𝛿𝐸2 𝛿 ( + 𝑅) + ( + 𝑅) = 𝛥𝜏 𝑡1 − 𝑡 𝜆𝑖 𝑡0 − 𝑡 𝜆0 𝐸1 𝐸2 𝐸1 𝑅 𝐸2 𝑅 𝛿2 [ + ]+𝛿[ + ] = 𝛥𝜏 𝜆𝑖 (𝑡1 − 𝑡) 𝜆0 (𝑡0 − 𝑡) 𝑡1 − 𝑡 𝑡0 − 𝑡 Ký hiệu: 𝐸1 𝐸2 𝐸≜ + 𝜆𝑖 (𝑡1 − 𝑡) 𝜆0 (𝑡0 − 𝑡) 𝐸2 𝑅 𝐸1 𝐸2 𝐸1 𝑅 + = 𝑅( + ) 𝐹≜ 𝑡1 − 𝑡 𝑡0 − 𝑡 𝑡1 − 𝑡 𝑡0 − 𝑡 Giải phương trình bậc 2, khử nghiệm âm khơng thích hợp, ta có phương trình: 𝛿= −𝐹+√𝐹2 +4𝐸Δ𝜏 b Quá trình hình thành lớp băng thứ N=2 từ thời điểm τ1=Δτ đến thời điểm τ2= τ1+Δτ=2Δτ Trong quãng thời gian từ thời điểm τ1 đến thời điểm τ2, trường nhiệt độ lớp băng thứ N=1 (hình thành từ thời điểm τ0 đến thời điểm τ1) thay đổi Vì quãng thời gian Δτ nhỏ, nhiệt độ thay đổi từ tf đến t0 lớn nên giả thiết trường nhiệt độ thay đổi theo quy luật tuyến tính Khi đó, sử dụng cơng thức (1) để tính bề dày lớp băng thứ N=2, nhiệt trở R nhiệt trở dẫn nhiệt qua lớp băng chiều dày δ1 𝐸2 𝐸1 + 𝐸= 𝜆𝑖 (𝑡1 − 𝑡𝑓 ) 𝜆0 (𝑡0 − 𝑡𝑓 ) 𝐹= 𝐸1 𝐸2 𝛿1 ( + ) 𝜆1 𝑡1 − 𝑡𝑓 𝑡0 − 𝑡𝑓 Trong đó, λ1 hệ số dẫn nhiệt trung bình theo nhiệt độ trung bình lớp băng thứ N=1 (W/mK) Thay vào (1) tính bề dày lớp băng thứ N=2, hình thành từ thời điểm τ1 đến thời điểm τ2 (1) 2𝐸 Giá trị δ bề dày lớp băng hình thành từ thời điểm τ đến thời điểm τ +Δτ, phụ thuộc vào nhiệt trở trường nhiệt độ lớp băng hình thành trước thời điểm τ Phương pháp sai phân hữu hạn giúp ta tìm trường nhiệt độ lớp băng hình thành trước thời điểm τ Cụ thể bước tiến hành sau: a Quá trình hình thành lớp băng thứ N=1 từ thời điểm τ0=0 đến thời điểm τ1=Δτ Trong cơng thức (1) dùng để tính δ, hệ số tỏa nhiệt  chất lỏng sơi lớn, vách ngăn mỏng có hệ số dẫn nhiệt  lớn nên nhiệt trở R nhỏ, bỏ qua Do đó, F =0 Thay vào (1), ta có bề dày δ1 lớp băng thứ N=1 hình thành từ thời điểm τ0=0 đến thời điểm τ1=Δ τ: 𝛿1 = √ 45 Δ𝜏 𝐸 Trường nhiệt độ thời điểm τ1 có dạng: Hình Trường nhiệt độ lớp băng thứ N=1 Hình Trường nhiệt độ lớp băng thứ N=2 c Quá trình hình thành lớp băng thứ N (N≥3) từ thời điểm τN-1=(N-1)Δτ đến thời điểm τN=τN-1+Δτ=NΔτ Trong quãng thời gian từ thời điểm τN-1 đến thời điểm τN, trường nhiệt độ lớp băng hình thành từ thời điểm τ0 đến thời điểm τN-1 với bề dày thay đổi: 𝑁−1 𝛿 = ∑ 𝛿𝑖 𝑖=1 Giá trị Δτ nhỏ (chọn Δτ=0,1s) nên giá trị δi nhỏ Chia bề dày lớp băng thành N-1 phần, gọi sai phân theo tọa độ x: 𝛿 𝛥𝑥𝑁 = 𝑁−1 Ký hiệu tọa độ mặt phân chia xi, 𝑖 ∈ [0, 𝑁 − 1] ⊂ ℕ0 Nhiệt độ tọa độ tương ứng thời điểm τj ti,j Phương trình vi phân dẫn nhiệt lớp băng: 𝜕𝑡 𝜌𝑟 𝐶𝑟 = 𝛻(𝜆𝑟 𝛻𝑡) 𝜕𝜏 Trong đó: ρr, Cr, λr ứng với khối lượng riêng, nhiệt dung riêng hệ số dẫn nhiệt băng Trong khoảng thời gian Δτ xét, xem thơng số khơng đổi phụ thuộc theo nhiệt độ trung bình phần lớp băng Khi phương trình vi phân có dạng: Thái Ngọc Sơn, Hồng Ngọc Đồng, Lê Minh Trí 46 𝜕𝑡 = 𝑎𝑟 𝛻 𝑡 𝜕𝜏 Trong đó, ar hệ số khuếch tán nhiệt băng (m2/s) Chuyển phương trình vi phân thành phương trình sai phân, ta có: 𝛥𝑥 𝑡 𝛥𝜏 𝛥𝜏 𝑡 = 𝑎𝑟 ( ) 𝛥𝜏 𝛥𝑥 𝛥𝑥 Trong đó, số x, τ biểu diễn biến khơng đổi tính độ chênh nhiệt độ Phương trình sai phân theo sơ đồ ẩn cho điểm ti, j không nằm biên vùng khảo sát có dạng: 𝑡𝑖,𝑗 − 𝑡𝑖,𝑗−1 𝑡𝑖−1,𝑗 − 2𝑡𝑖,𝑗 + 𝑡𝑖+1,𝑗 = 𝑎𝑟 𝛥𝜏 𝛥𝑥 Với ar xác định theo nhiệt độ trung bình: 𝑡𝑖,𝑗−1 + 𝑡𝑖,𝑗 𝑡𝑖 = Ta lập hệ gồm N-2 phương trình với N-2 ẩn ti, j (i=1÷N-2) giải Tuy nhiên, hệ số khuếch tán nhiệt ar phụ thuộc nhiệt độ nên giải toán phức tạp Do vậy, xây dựng phần mềm môi trường Excel, dùng VBA để giải toán theo phương pháp lặp để xác định trường nhiệt độ lớp băng Sử dụng công thức (1) để tính bề dày lớp băng thứ N, với R nhiệt trở dẫn nhiệt qua lớp băng chiều dày ΔxN, nhiệt độ bên bề mặt tN-2, N, tN-1, N=t0 Khi đó: 𝐸1 𝐸2 𝐸= + 𝜆𝑖 (𝑡1 − 𝑡𝑁−2,𝑁 ) 𝜆0 (𝑡0 − 𝑡𝑁−2,𝑁 ) 𝐹= 𝐸1 𝐸2 𝛥𝑥𝑁 ( + ) 𝜆𝑁−1 𝑡1 − 𝑡𝑁−2,𝑁 𝑡0 − 𝑡𝑁−2,𝑁 Trong đó, λN-1 hệ số dẫn nhiệt lớp băng, tính theo nhiệt độ trung bình lớp băng (W/mK) 𝑡𝑁−2,𝑁 + 𝑡𝑁−1,𝑁 𝑡𝑁−1 = Hình Trường nhiệt độ lớp băng thứ N≥3 Thay giá trị E, F vào (1), tính bề dày lớp băng thứ N hình thành từ thời điểm τN-1 đến thời điểm τN Bề dày lớp băng hình thành từ thời điểm τ0=0 đến thời điểm τN là: 𝑁 𝛿𝑠 = ∑ 𝛿𝑖 𝑖=1 2.3 Kết giải phương pháp sai phân hữu hạn Dữ liệu tính tốn thể Bảng Các thông số vật lý tính tốn phụ thuộc theo nhiệt độ trung bình lớp băng theo công thức tài liệu [8] Kết kích thước lớp băng tạo thể Bảng Bảng Dữ liệu tính toán giải phương pháp sai phân hữu hạn Thông số Khoảng thời gian khảo sát Bước thời gian tính tốn Ký hiệu τ Δτ Trị giá 10 0,1 Đơn vị s s Bước thời gian in kết ΔτIn s Sai số tính tốn nhiệt độ εΔt 0,01 °C Bảng Độ dày lớp băng hình thành theo thời gian Thời gian [s] 10 δs [mm] 0,907 1,316 1,629 1,890 2,116 2,317 2,495 2,655 2,799 2,928 So sánh kết tính phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp giải tích Tiến hành giải tốn phương pháp giải tích theo [1], so sánh kết tính tốn hai phương pháp, ta lập Bảng Bảng So sánh kết tính độ dày lớp băng tạo phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp giải tích theo tài liệu [1] Thời gian [s] 10 Sai phân Sai số tuyệt đối Sai số tương đối x()[mm] s [mm] 1,080 0,907 1,528 1,316 1,871 1,629 2,161 1,890 2,415 2,116 2,646 2,317 2,858 2,495 3,055 2,655 3,241 2,799 3,416 2,928 Sai số trung bình abs(-x) [mm] 0,173 0,212 0,242 0,271 0,299 0,329 0,363 0,400 0,442 0,488 0,300  [%] 16,0 13,9 12,9 12,5 12,4 12,4 12,7 13,1 13,6 14,3 13,4 Giải tích Nhận xét Sai số kết tính tốn phương pháp giải tích theo [1] phương pháp sai phân hữu hạn nêu 13,4% Trong phạm vi định toán nhiệt, sai số chấp nhận So sánh kết tính phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp số So sánh kết xác định trường nhiệt độ theo phương ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(118).2017 - Quyển pháp sai phân hữu hạn với thông số vật lý tương đồng với phương pháp số phun lỏng lên bề mặt da [8] Kết giải phương pháp số phun lỏng lên bề mặt da thể Hình Có thể thấy, bề mặt phun lỏng dạng mặt phẳng, bán kính lỏng phun bé (quãng mm), nên thực chất mơ hình tính tốn theo phương pháp sai phân hữu hạn tác giả phương pháp số theo [8] khơng tương đồng mặt hình học Ngồi ra, khơng có mơ hình khác thích hợp nên ta lấy kích thước lớp băng vị trí trục ống phun r=0 để so sánh Kết so sánh thể Bảng 47 cấp đông cho bề mặt phẳng phương pháp sai phân hữu hạn Khi tính tốn sử dụng thơng số vật lý phụ thuộc theo nhiệt độ trung bình lớp băng, nhiệt độ lớp băng thay đổi thơng số vật lý thay đổi theo Trong theo phương pháp giải tích, tất thơng số vật lý số suốt trình tính tốn Đây ưu điểm phương pháp số, có phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp giải tích Sai số kết tính phương pháp giải tích phương pháp sai phân hữu hạn 13,4% Điều cho thấy, bước tiến hành phương trình thiết lập giải tốn truyền nhiệt cấp đơng cryo bề mặt phẳng vật ẩm xác có độ tin cậy cao Sai số kết tính tốn phương pháp số theo [8] phương pháp sai phân hữu hạn tác giả nhỏ 15% phạm vi so sánh, có số điểm khơng tương đồng mặt hình học, điều kiện biên hai mơ hình Sai số chấp nhận toán nhiệt, cho thấy tốn giải thành cơng theo phương pháp sai phân hữu hạn TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình Trường nhiệt độ giải theo phương pháp số theo F Sun [8] Bảng So sánh kết hình thành trường nhiệt độ theo thời gian theo phương pháp sai phân hữu hạn tài liệu [8] Vùng khảo sát -10°C -5°C Thời gian [s] 1s 3s 7s 1s 3s 7s Sun z [mm] 0,75 1,7 2,7 0,8 1,8 2,9 Sai phân HH x [mm] 0,81 1,52 2,35 0,83 1,56 2,51 Sai số tuyệt đối abs(z-x) [mm] 0,06 0,18 0,35 0,03 0,24 0,39 Sai số tương đối % 8,0 10,6 13,0 3,8 13,3 13,4 Nhận xét Sai số kết tính tốn phương pháp số theo [8] phương pháp sai phân hữu hạn nêu nhỏ 15% Trong phạm vi định tốn nhiệt, sai số chấp nhận Kết luận kiến nghị Tác giả giải thành cơng tốn truyền nhiệt [1] Hồng Ngọc Đồng, Nguyễn Bốn, Lê Minh Trí, “Q trình truyền nhiệt, truyền chất không ổn định với biên di động hóa rắn vật ẩm kỹ thuật cryo”, Tạp chí Năng lượng Nhiệt, năm thứ 21, Số 117, 2014, trang 15-20 [2] Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С., Теплопередача, Москва: Энергоиздат, 1981 [3] Phạm Trí Dũng, Nguyễn Thị Cẩm Hường, Phạm Văn Trinh, Đánh giá hiệu lỏng nitơ bệnh nhân sẹo lồi Khoa Da liễu Bệnh viện An Giang, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Bệnh viện An Giang, 2015 [4] http://123doc.org//document/2045706-tac-dung-cua-nito-longtrong-dieu-tri-benh-cham-man-tinh-tang-sung-ppt.htm [truy cập: 01/10/2016] [5] eMedicine.com – Dermatology – Cryotherapy [6] http://www.podiatrytoday.com/closer-look-cryosurgery-neuromas [Truy cập: 01/10/2016] [7] http://cancer.com.vn/index.php/lieu-phap/lieu-phap-phau-thuatlanh [Truy cập: 18/4/2016] [8] F Sun, L Martínez-Suástegui, G.-X Wang, K.M Kelly, and G Aguilar, “Numerical prediction of the intracellular ice formation zone during cryosurgery on a nodular basal cell carcinoma using liquid nitrogen spray”, International Journal of Spray and Combustion Dynamics, Volume 4, Number 4, 2012, pp 341-380 [9] Nguyễn Bốn, Các phương pháp tính truyền nhiệt: Giáo trình cao học ngành Cơng nghệ Nhiệt – Điện lạnh, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng, 2007 [10] Đặng Quốc Phú, Trần Thế Sơn, Trần Văn Phú, Truyền nhiệt, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2007 (BBT nhận bài: 12/7/2017, hoàn tất thủ tục phản biện: 24/8/2017)