Các hệ suy biến mô tả bởi toán tử khả nghịch phải và khả nghịch suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC —————————————— VŨ THỊ TƯƠI CÁC HỆ SUY BIẾN MƠ TẢ BỞI TỐN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– VŨ THỊ TƯƠI CÁC HỆ SUY BIẾN MÔ TẢ BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS HỒNG VĂN THI THANH HĨA, 2017 Danh sách hội đồng chấm luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng PGS.TS Trần Đình Kế ĐHSPHN Chủ tịch GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Viện toán học Phản biện PGS.TS Cung Thế Anh ĐHSPHN Phản biện GS.TSKH Lê Dũng Mưu Viện toán học Ủy viên TS Vũ Việt Hùng ĐH Tây Bắc Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Ngày 25 tháng 08 năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết đưa hồn tồn trung thực, đảm bảo tính khoa học Người cam đoan Vũ Thị Tươi ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Hồng Đức, lãnh đạo phòng ban, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Tự nhiên, Bộ mơn Tốn Giải tích, thầy cô tham gia giảng dạy Trường Đại học Hồng Đức; Đặc biệt, hướng dẫn TS Hoàng Văn Thi, tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giúp đỡ chân tình Thầy, dẫn bước truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm quý báu nghiên cứu khoa học tác giả hồn thành luận văn Thanh Hóa, tháng năm 2017 Vũ Thị Tươi iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC KÝ HIỆU iv MỞ ĐẦU Chương : TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG .3 1.1 Toán tử khả nghịch phải khơng gian tuyến tính 1.1.1 Khơng gian tuyến tính tốn tử tuyến tính 1.1.2 Tính chất tốn tử khả nghịch phải 1.1.3 Tốn tử ban đầu tính chất 1.1.4 Một số ví dụ 1.2 Toán tử khả nghịch suy rộng 10 Chương HỆ SUY BIẾN MƠ TẢ BỞI TỐN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI 14 2.1 Bài toán giá trị ban đầu hệ bậc 14 2.2 Bài toán giá trị ban đầu hệ suy biến mơ tả tốn tử khả nghịch phải 17 Chương HỆ SUY BIẾN MÔ TẢ BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG 25 3.1 Bài toán giá trị ban đầu phương trình tốn tử khả nghịch suy rộng 25 3.2 Bài toán giá trị ban đầu hệ suy biến mô tả toán tử khả nghịch suy rộng 27 KẾT LUẬN 33 Tài liệu tham khảo 34 iv DANH MỤC KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức L (X → Y ) Tập toán tử tuyến tính có miền xác định X nhận giá trị Y Lo (X) := L0 (X → X) V (X) Tập toán tử Volterra domA Miền xác định toán tử A ImA Tập giá trị toán tử A kerD Nhân toán tử D dim (ker D) Số chiều khơng gian kerD I Tốn tử đồng D Toán tử khả nghịch phải R Toán tử nghịch đảo phải R (X) Tập toán tử nghịch đảo phải RD Tập nghịch đảo phải D RD x Tích phân khơng xác định x F Toán tử ban đầu D FD Tập toán tử ban đầu D ∆ Toán tử khả nghịch trái L Toán tử nghịch đảo trái Λ (X) Tập toán tử khả nghịch trái L∆ Tập toán tử nghịch đảo trái ∆ v V Toán tử khả nghịch suy rộng W Toán tử nghịch đảo suy rộng W (X) Tập toán tử khả nghịch suy rộng WV Tập tất nghịch đảo suy rộng V WV1 Tập tất hầu nghịch đảo V F (r) Toán tử ban đầu phải F (l) Toán tử ban đầu trái (r) FV (l) FV Tập toán tử ban đầu phải V Tập toán tử ban đầu trái V MỞ ĐẦU Lý thuyết toán tử khả nghịch phải bắt đầu cơng trình nghiên cứu Danuta Przeworska- Rolewicz, sau phát triển H von Trotha, Z Binderman, M Tasche, N V Mậu nhiều nhà toán học khác giới Với đời lý thuyết này, ngôn ngữ thống (tốn tử khả nghịch phải) mơ hình hóa phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình sai phân, thành phương trình tốn tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng Trên sở lý thuyết toán tử khả nghịch, kết liên quan tổng quát hóa A Pogorzelec trường hợp toán tử giải khả nghịch phía Nguyễn Văn Mậu hệ mơ tả tốn tử khả nghịch suy rộng Tuy nhiên, kết hệ suy biến mơ tả tốn tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng chưa nghiên cứu đầy đủ sâu sắc Lí chọn đề tài Trong thời gian qua, số nhà toán học quan tâm giải toán liên quan đến hệ suy biến mơ tả tốn tử khả nghịch phải PrezeworskaRolewicz, N D Quyet, H V Thi, có nhiều cách tiếp cận khác nhau, song đề tài luận văn thạc sĩ này, chúng tơi giải tốn giá trị ban đầu hệ suy biến mơ tả tốn tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng Mục đích nghiên cứu Đề tài luận văn thạc sĩ tập trung giải toán giá trị ban đầu hệ suy biến mơ tả tốn tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kỹ thuật Đại số, Giải tích hàm kiến thức lý thuyết toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng Nội dung nghiên cứu Luận văn gồm: Phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Phần mở đầu, trình bày nguồn gốc, động cơ, mục đích nghiên cứu đề tài, đối tượng phương pháp nghiên cứu, nội dung chương luận văn Chương 1, trình bày khái niệm, tính chất Toán tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng, số ví dụ minh họa Chương 2, trình bày tốn giá trị ban đầu hệ suy biến mơ tả tốn tử khả nghịch phải Chương 3, trình bày tốn giá trị ban đầu hệ suy biến mô tả toán tử khả nghịch suy rộng 21 W0 = I + RWA,B [(I − A) D + B] Từ suy (2.19) cho ta nghiệm hệ (2.13) dạng ∼ x = {I = RWA,B [(I − A) D + B]} (Ry + z) + z ∼ z ∈ kerD, z ∈ ker {I − R [(I − A) D + B]}  Tiếp theo trình bày số kết toán giá trị ban đầu hệ suy biến, với giả thiết phần Giả sử D ∈ R (X), dim (kerD) 6= 0; F toán tử ban đầu D tương ứng với R ∈ RD ; toán tử A, B ∈ L0 (X), với A 6= không khả nghịch Xét toán giá trị ban đầu hệ suy biến dạng: ADx = Bx + y, y ∈ X (2.20) Fx = x0 , x0 ∈ kerD (2.21) Định nghĩa 2.2.7 Bài toán giá trị ban đầu (2.20) - (2.21) gọi đặt có đói với y ∈ Y , x0 ∈ kerD Trái lại, tốn (2.20) - (2.21) gọi khơng đặt tồn y ∈ Y x0 ∈ kerD cho tốn khơng có nghiệm, tốn tương ứng có nghiệm khơng tầm thường Định lý 2.2.8 Giả sử giả thiết Định lý 2.2.6 thỏa mãn Khi đó, tốn giá trị ban đầu (2.20) - (2.21) có nghiệm Fx = x0 , x0 ∈ kerD (2.22) Hơn nữa, i) A − BR ∈ R (X) RAB ∈ RA−BR , nghiệm tốn giá trị ban đầu (2.20) - (2.21) cho ∼ ∼ x = {I + RRAB [(I − A) D + B]} (Ry + x0 ) + z , z ∈ ker {I − R [(I − A) D + B]} ii) A − BR ∈ Λ (X) LAB ∈ LA−BR ,thì nghiệm tốn giá trị ban đầu (2.20) - (2.21) xác định x = {I + RLAB [(I − A) D + B]} (Ry + x0 ) iii) A - BR khả nghịch, tốn (2.20) - (2.21) đặt nghiệm n o −1 x = I + R(A − BR) [(I − A) D + B] (Ry + x0 ) 22 iv) A − BR ∈ W (X) WAB ∈ WA−BR nghiệm tốn (2.20) - (2.21) cho ∼ ∼ x = {I + RWA,B [(I − A) D + B]} (Ry + x0 ) + z , z ∈ ker {I − R [(I − A) D + B]} Chứng minh Theo chứng minh Định lý 2.2.6, hệ (2.20) với điều kiện y ∈ (AD − B) domD tương đương với {I − R [(I − A) D + B]} x + Ry + z, Z ∈ kerD Do đó, tác động hai vế đẳng thức toán tử F sử dụng tính chất tốn tử ban đầu ta có Fx − FR [(I − A) D + B] x + FRy + Fz hay Fx = Fz, z ∈ kerD Vì sử dụng điều kiện (2.21) cho ta x0 = Fx = Fz = z Từ kết suy toán (2.20) - (2.21) tương đương với {I − R [(I − A) D + B]} x = Ry + x0 (2.23) nghĩa điều kiện (2.22) thỏa mãn Giả thiết A − BR ∈ W (X) WA,B ∈ WA−BR , theo Mệnh đề 2.1.4 I − R [(I − A) D + B] khả nghịch suy rộng tồn nghịch đảo suy rộng có dạng W0 = I + RWA,B [(I − A) D + B] Điều kiện (2.22) chứng tỏ phương trình (2.23) có nghiệm, nghiệm (2.20) - (2.21) xác định ∼ ∼ x = {I + RWA,B [(I − A) D + B]} (Ry + x0 ) + z , z ∈ ker {I − R [(I − A) D + B]}  Hệ 2.2.9 Nếu A, B toán tử dừng A − BR khả nghịch, tốn giá trị ban đầu (2.20) - (2.21) có nghiệm x = (A − BR)−1 (Ry + x0 ) Chứng minh Giả thiết A, B tốn tử dừng, nên ta có AD − B = D (A − BR) , 23 (2.20) trở thành D (A − BR) x = y Điều kéo theo (A − BR) x = Ry + z, z ∈ kerD Tương tự chứng minh Định lý 2.1.8, từ điều kiện (2.21) suy z = x0 Hơn nữa, A − BR khả nghịch, tốn (2.20) - (2.21) có ngiệm x = (A − BR)−1 (Ry + x0 )  Ví dụ 2.2.10 Giả sử X không gian tất dãy số thực xn , n = 0, 1, 2, với phép cộng phép nhân vô hướng sau: Nếu x = xn , y = yn , λ ∈ R x + y = {xn + yn } , λ x = {λ xn } , ∀λ ∈ R Đặt {en } = {1, 1, 1, } , {0n } = {0, 0, 0, } , D {xn } = {xn+1 − xn } , R {xn } = {yn }, n−1 y = 0, yn = ∑ xk , n > F {xn } = x0 {en } Như Ví dụ 1.1.3 chứng k=0 minh D toán tử khả nghịch phải, R ∈ RD , F toán tử ban đầu D tương ứng với R kerD = {c {en } : c ∈ R} Xét toán giá trị ban đầu ADx = Bx + y, y ∈ X, (2.24) Fx = x¯0 , x¯0 ∈ kerD, (2.25) với A, B đước xác định A {xn } = {xn+1 } , B {xn } = {xn+2 − xn } , y = {yn } ∈ X , x¯0 = x0 {en } ∈ kerD cho trước Dễ dàng kiểm chứng tốn tử A 6= khơng khả nghịch, toán tử giải A − BR khả nghịch, A − BR = (A − BR)−1 = −I Hơn nữa, Ry + x¯0 ∈ {I − R [(I − A) D + B]} domD, theo Định lý 2.1.8, tốn có nghiệm n o −1 x = I − R(A − BR) [(I − A) D + B] (Ry + x¯0 ) = {I − R [(I − A) D + B]} (Ry + x¯0 ) = {x0 , x0 − y0 , x0 − y0 − y1 , x0 − y0 − y1 − y2 , } = {an } , n−1 a0 = x0 , an = x0 − ∑ yi , n = 1, 2, 3, i=0 Ví dụ 2.2.11 Giả sử X, D, R xác định Ví dụ 2.1.10 Đặt A {xn } : = {2x0 + x1 , 0, x2 + x3 , x3 + x4 , } , B {xn } : = {x2 − x0 , 0, x4 − x2 , x5 − x3 } 24 Khi đó, A 6= khơng khả nghịch, ker A = {{x0 , −2x0 , x2 , −x2 , x2 , −x2 , } : x0 , x2 ∈ R} 6= {0} vAX 6= X Xét toán ADx = Bx + y (2.26) Fx = x¯0 , x¯0 ∈ kerD (2.27) Toán tử A − BR khả nghịch suy rộng Thật vậy, (A − BR) I (A − BR) {xn } = (A − BR) {xn } Do đó, ta có A − BR ∈ W (X) I ∈ WA−BR Hơn nữa, ker {I − R [(I − A) D + B]} = {{0, 0, x2 , x3 , x4 , } , xn ∈ R, n = 2, 3, } Theo Định lý 2.1.8, nghiệm bải toán giá trị ban đầu (2.26) - (2.27) x = {I + R [(I − A) D + B]} (Ry + x¯0 ) + z˜, z˜ ∈ ker {I − R [(I − A) D + B]} = {x0 , x0 + yo , x0 + yo + 2y1 + x˜2 , x0 + yo + 2y1 + 2y2 + x˜3 , } , z˜ = {0, 0, x˜2 , x˜3 , } ∈ ker {I − R [(I − A) D + B]} tùy ý 25 Chương HỆ SUY BIẾN MƠ TẢ BỞI TỐN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG Trong chương này, trình bày toán giá trị ban đầu hệ suy biến mơ tả tốn tử khả nghịch suy rộng 3.1 Bài toán giá trị ban đầu phương trình tốn tử khả nghịch suy rộng Cho V ∈ W (X) với dim (kerV ) 6= 0, (có nghĩa V toán tử khả nghịch suy rộng không khả nghịch); F (r) , F (l) toán tử ban đầu phải, trái V tương ứng với W ∈ WV1 Giả sử A ∈ L (X) thỏa mãn A ∈ dom (V ) ⊂ ImV Xét toán giá trị ban đầu V x = Ax + y, F (r) x = x0 , y ∈ X, ∀x0 ∈ kerV (3.1) (3.2) Định nghĩa 3.1.1 Bài toán (3.1) - (3.2) gọi đặt có nghiệm y ∈ Y, x0 ∈ kerV Trái lại, toán (3.1) - (3.2) gọi không đặt tồn y ∈ Y, x0 ∈ kerV cho tốn khơng có nghiệm, tốn tương ứng có nghiệm khơng tầm thường Bổ đề 3.1.2 [11] Bài tốn (3.1) - (3.2) có nghiệm Wy + x0 ∈ (I − WA) Xy , (3.3) Xy xác định n o (l) Xy = x ∈ domV : F (Ax + y) = , y ∈ X Định lý 3.1.3 [11] Giả sử y ∈ Y, x0 ∈ kerV điều kiện (3.3) thỏa mãn Khi toán (3.1) - (3.2) gọi đặt toán tử I −WA khả nghịch Hơn nữa, toán (3.1) - (3.2) gọi đặt nghiệm xác định 26 n o (l) Xy = x ∈ domV : F (Ax + y) = , y ∈ X Giả sử V ∈ W (X) với dim (kerV ) 6= 0, (có nghĩa V tốn tử khả nghịch (r) suy rộng không khả nghịch) Cho F (r) ∈ FV toán tử ban đầu phải V tương ứng với W ∈ WV1 Xét toán giá trị ban đầu V x = y, F (r) x = x0 , y ∈ X, (3.4) ∀x0 ∈ kerV (3.5) (r) Định lý 3.1.4 Giả sử V ∈ W (X) với dim (kerV ) 6= 0, F (r) ∈ FV toán tử ban đầu phải V tương ứng với W ∈ WV1 y ∈ ImV Khi tốn giá trị ban đầu (3.7) - (3.8) có nghiệm nhất: x = Wy + x0 Chứng minh Giả thiết y ∈ ImV , tồn x1 ∈ domV cho y = V x1 Bởi V = VWV nên phương trình (3.7) viết dạng V (x −WV x1 ) = Điều kéo theo x −WV x1 = z, với z ∈ kerV , x = Wy + z, z ∈ kerV Từ đẳng thức với điều kiện (3.8), áp dụng tính chất tốn tử ban đầu ta có x0 = F (r) x = F (r) (Wy + z) = F (r)Wy + F (r) z = z Bởi vậy, nghiệm Bài toán (3.7) - (3.8) là: x = Wy + x0  Ví dụ 3.1.5 Cho X = C (R) không gian hàm liên tục R Lấy D := dtd , (Px) (t) = 12 (x (t) + x (−t)) , (Qx) (t) = 21 (x (t) − x (−t)), (Ax) (t) = a (t) x (t) , a ∈ C1 (R) Xét toán giá trị ban đầu (P + DQAQ) x = y, Qx = x0 , x0 ∈ kerP (3.6) (3.7) 27 Dễ dàng kiểm tra P2 = P, Q2 = Q, PQ = QP = Do đó, P ∈ W (X) P ∈ W1P Từ suy toán tử ban đầu phải, trái P tương ứng với P xác định F (r) = I − PP = Q, F (l) = I − PP = Q Do QDQ = nên ta có điều kiện cần đủ để toán (3.4) - (3.5) có nghiệm Qy = (3.8) Nếu (3.6) thỏa mãn tốn (3.4) - (3.5) tương đương với (I + PDAQ) x = Py + x0 Bởi toán tử (I + PDAQ) khả nghịch (I + PDAQ)−1 = I − PDAQ, nghiệm toán (3.4) - (3.5) xác định sau x = Py + x0 − PDAx0 3.2 Bài toán giá trị ban đầu hệ suy biến mô tả toán tử khả nghịch suy rộng Định nghĩa 3.2.1 Giả sử V ∈ W (X) với dim (kerV ) 6= 0, toán tử A, B ∈ L0 (X) A 6= khơng khả nghịch hệ tuyến tính dạng AV x = Bx + y, x ∈ X, (3.9) gọi hệ suy biến Nhận xét rằng: Nếu toán tử A khả nghịch hệ (3.9) chuyển hệ tuyến tính bậc nhất, xem xét N.V Mậu số tác giả khác (Xem [4], [5]) (r) Mệnh đề 3.2.2 Giả sử V ∈ W (X) với dim (kerV ) 6= 0, F (r) ∈ FV toán tử ban đầu phải V tương ứng với W ∈ WV1 , toán tử A, B ∈ L0 (X) Khi đồng thức sau domV AV − B = (A − BW )V − BF (r) (3.10) 28 Chứng minh Do công thức (1.11) ImF (r) = domV , domV ta có: AV − B = (AV − B) I   (r) = (AV − B) F +WV = AV F (r) + AVWV − BF (r) − BWV = AV − BWV − BF (r) = (A − BW )V − BF (r)  Định nghĩa 3.2.3 Toán tử A − BW gọi toán tử giải hệ (3.9) Nếu A − BW khả nghịch hệ (3.9) gọi xác định đắn, trái lại hệ gọi không xác định đắn Mệnh đề 3.2.4 Giả sử tất giả thiết Mệnh đề 3.2.2 thỏa mãn Khi y ∈ (AV − B) (domV) tồn z ∈ kerV cho: y + Bz ∈ (A − BW ) (ImV ) Chứng minh Giả sử y ∈ (AV − B) (domV) Khi tồn x ∈ domV cho y = (AV − B) x Sử dụng Mệnh đề 2.2.3 ta được: y = (A − BW )V x − BF (r) x Đặt F (r) x = z y + Bz = (A − BW )V x, nghĩa tồn z ∈ kerV cho: y + Bz ∈ (A − BW ) (ImV ) Ngược lại, y + Bz ∈ (A − BW ) (ImV ) tồn x ∈ domV thỏa mãn y + Bz = (A − BW )V x Do đó, từ Mệnh đề 3.2.2 suy ra: h i (r) y + Bz = (AV − B) + BF x = (AV − B) x + BF (r) x Theo Định lý 1.2.4 x ∈ domV biểu diễn dạng x = W x1 + z, x1 ∈ ImV Do y + Bz = (AV − B) x + BF (r) (W x1 + z) = (AV − B) x + BF (r) z = (AV − B) x + Bz 29 Từ suy y = (AV − B) x, nghĩa y ∈ (AV − B) (domV )  Định lý 3.2.5 Giả sử tất giả thiết Mệnh đề 3.2.2 thỏa mãn y ∈ (AV − B) (domV) Khi đó: i) Nếu A − BW ∈ R (X) RAW ∈ RA−BW , nghiệm hệ (3.9) xác định x = W [RAW (y + Bz1 ) + z] + z2 , z1 , z2 ∈ kerV , z ∈ ker (A − BW ); ii) Nếu A − BW ∈ Λ (X) LA ∈ LA−BW tất nghiệm hệ (3.9) x = W LAW (y + Bz1 ) + z2 , z1 , z2 ∈ kerV ; iii) Nếu A − BW khả nghịch hệ (3.9) có nghiệm x = W (A − BW )−1 (y + Bz1 ) + z2 , z1 , z2 ∈ kerV ; iv) Nếu A − BW ∈ W (X) WAW ∈ WA−BW , tất nghiệm hệ (3.9) x = W [WAW (y + Bz1 ) + z] + z2 , z1 , z2 ∈ kerV , z ∈ ker (A − BW ) Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.5 ta có hệ (3.9) với điều kiện y ∈ (AV − B) domV tương đương với tồn z1 ∈ kerV cho y + Bz1 = (A − BW )V x (3.11) Do (3.9) có nghiệm (3.11) có nghiệm Giả sử toán tử giải A − BW ∈ W (X) WAW ∈ WA−BW Khi (3.11) tương đương với V x = WAW (y + Bz1 ) + z, với z ∈ ker (A − BW ) Bởi vậy, tương tự chứng minh Định lý 2.2.1 nghiệm hệ (3.11) viết dạng x = W [WAW (y + Bz1 ) + z] + z2 , z1 , z2 ∈ kerV , z ∈ ker (A − BW )  Tiếp theo, xét toán giá trị ban đầu hệ suy biến dạng AV x = Bx + y, y ∈ X, (3.12) F ((r) x = x0 , x0 ∈ kerV (3.13) 30 Định lý 3.2.6 Giả sử tất giả thiết Mệnh đề 3.2.2 thỏa mãn Khi tốn (3.12) - (3.13) có nghiệm y + Bx0 ∈ (A − BW ) (ImV ) (3.14) Hơn nữa, giả sử (3.14) thỏa mãn Khi i) Nếu A − BW ∈ R (X) RAW ∈ RA−BW , tất nghiệm toán giá trị ban đầu (3.12) - (3.13) xác định x = W [RAW (y + Bx0 ) + z] + x0 , z ∈ ker (A − BW ); ii) Nếu A − BW ∈ Λ (X) LA ∈ LA−BW tất nghiệm toán giá trị ban đầu (3.12) - (3.13) xác định x = W LAW (y + Bx0 ) + x0 ; iii) Nếu A − BW khả nghịch tốn (3.12) - (3.13) đặt có nghiệm x = W (A − BW )−1 (y + Bx0 ) + x0 ; iv) Nếu A − BW ∈ W (X) WAW ∈ WA−BW , tất nghiệm toán giá trị ban đầu (3.12) - (3.13) xác định x = W [WAW (y + Bx0 ) + z] + x0 , z ∈ ker (A − BW ) Chứng minh Khơng tính tổng quát, ta chứng minh trường hợp A − BV khả nghịch suy rộng Do Mệnh đề 2.2.3 hệ (3.11) tương đương với (A − BW )V x − BF (r) x = y, điều kiện ban đầu (3.13) phương trình trở thành (A − BW )V x = y + Bx0 , (3.15) nghĩa điều kiện (3.14) thỏa mãn Giả sử (3.14) thỏa mãn A − BW ∈ W (X) WAW ∈ WA−BW , suy phương trình (3.15) ln có nghiệm Bằng phương pháp chứng minh tương tự Định lý 2.2.1 từ (3.15) cho ta V x = WAW (y + Bx0 ) + z, z ∈ ker (A − BW ) 31 Do đó, tốn giá trị ban đầu (3.12) - (3.13) tương đương với toán giá trị ban đầu V x = WAW (y + Bx0 ) + z, z ∈ ker (A − BW ), F ((r) x = x0 Từ áp dụng Định lý 2.2.1 nghiệm toán giá trị ban đầu (3.12) (3.13) ) x = W [WAW (y + Bx0 ) + z] + x0 , z ∈ ker (A − BW ) tùy ý  Ví dụ 3.2.7 Giả sử X khơng gian dãy số thực {xn }, n = 0, 1, Lấy V, A, B ∈ L0 (X) sau: V {xn } = {vn } , = xn , n = 0, 1, = 0, n ≥ 3; A {xn } = {an } , a0 = x0 + x1 , a1 = x1 + x2 , a3 = x3 , an = 0, n ≥ B {xn } = {xn+1 } , n = 0, 1, Khi kerV = {{0, 0, 0, x3 , x4 , x5 , } : xn ∈ R, n = 3, 4, } 6= {0}, V X 6= X VVV {xn } = V {xn } điều chứng tỏ V toán tử khả nghịch suy rộng có nghịch đảo suy rộng W = V ∈ WV1 Do đó, tốn tử ban đầu phải F (r) V tương ứng với hầu nghich đảo suy rộng W xác định F (r) {xn } = (I −WV ) {xn } = { fn }, fn = 0, n = 0, 1, 2, fn = xn , n ≥ Hơn tốn tử A 6= khơng khả nghịch Thật vậy, ta có AX = {A {xn } = {x0 + x1 , x1 + x2 , x2 , x3 , 0, 0, } : {xn } ∈ X}, kerA = {{0, 0, 0, 0, x4 , x5 , x6 , } : xn ∈ R, n = 4, 5, } 6= {0}   Lấy y = y0n ∈ X x0 = 0, 0, 0, 0, x30 , x40 , x50 , ∈ kerV , xn0 ∈ R với n = 3, 4, 5, thỏa mãn xn0 = −y0n−1 n ≥ Xét toán giá trị ban đầu Ta có: AV x = Bx + y, (3.16) F (r) x = x0 (3.17) 32 ker (A − BW ) = {{0, 0, 0, 0, x4 , x5 , x6 , } : xn ∈ R, n = 4, 5, } 6= {0}, (A − BW ) I (A − BW ) {xn } = {x0 , x1 , x2 , x3 , 0, 0, } = (A − BW ) {xn } Do đó, toán tử giải A − BW khả nghịch suy rộng, với WAW = I ∈ WA−BW Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra được: y + Bx0 ∈ (A − BW) ImV Theo Định lý 2.2.7, nghiệm toán (3.21) - (3.22) x = W [WAW (y + Bx0 ) + z] + x0 , z = {0, 0, 0, 0, z4 , z5 , z6 , } ∈ ker (A − BW ) = {xn }, đây: x0 = y00 , x1 = y01 , x2 = y02 + x30 , x3 = x30 xn = −y0n−1 , n ≥ 33 KẾT LUẬN Trong luận văn tác giả trình bày Các hệ suy biến mơ tả tốn tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng Nội dung luận văn là: Hệ thống hóa kiến thức toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng, toán tử ban đầu, tính chất ví dụ minh họa Trình bày toán giá trị ban đầu hệ suy biến mơ tả tốn tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng, đưa công thức nghiệm số toán giá trị ban đầu hệ bậc mơ tả tốn tử khả nghịch phải, toán tử khả nghịch suy rộng Chứng minh chi tiết số định lý điều kiện đủ để hệ có nghiệm, biểu diễn nghiệm hệ dạng tường minh dạng biểu thức đại số Mặc dù cố gắng song luận văn cịn nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp q thầy anh chị học viên 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Z Binderman(1991), "Initial operators for generalized Invertible operators", Comment Math., Vol.31, pp 25-37 N V Mau (1989), "Remarks on initial value problems for equation with right invertible operators" , Preprint No 451, Institute of Mathematics, Polish Acad Sci Warsaw N V Mau (1992), "Properties of generalized almost inverses", Demonstratio Math., Vol 25 pp 493-511 N V Mau (1992), Boundary value problems and controllability of linear systems with right invertible operators, Dissertationes Math., Warszaw A Pogorzelec (1983), "Initial value problem with ill- determined linear systems with right invertible operators"Demonstratio Math., Vol 16 pp 407420 A Pogorzelec (1983), Solvability and controllability of ill- determined systems with right invertible operators, , Ph.D Diss., Institute of MathematicsTechnical University of Warsaw D Prezeworska Rolewicz (1973), "Algebraic theory of right invertible operators" Studia Math, 48, pp 129-143 D Prezeworska Rolewicz (1988), Algebraic Analysis,PWN and reidel, Warszawa Dordrecht D Prezeworska Rolewicz (1990), Spaces of D-paraanalytic elements, Dissertationes Math., CCCII, Warsaw 10 D Prezeworska Rolewicz and S.Rolewicz(1968), Equations in Linear Spaces, Monografie Math 47, PWN-Polish Scientific Publishers, Warsaw 11 N D Quyet and H V Thi (2002), "The controllability of degenerate system described by right invertible operators"VNU Journal of Science Mathematics-Physics, Vietnam National University, Ha Noi, T.XVIII (3), pp 37-48 12 H V Thi (2005), "Degenerate systems described by generalized invertible operators and controllability" Demonstratio Mathematica, Vol 38 (No2) pp.419-430 35