1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Phổ của một họ toán tử tuyến tính compact và ứng dụng

37 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 37
Dung lượng 292,41 KB

Nội dung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ THÚY HẰNG PHỔ CỦA MỘT HỌ TỐN TỬ TUYẾN TÍNH COMPACT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ THÚY HẰNG PHỔ CỦA MỘT HỌ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH COMPACT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Thanh Hóa, 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Nguyễn Thị Thúy Hằng ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, người bảo tận tình cho tác giả nhận xét quí báu để tác giả hồn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, người tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn cách thuận lợi Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường THPT Tĩnh Gia 2, gia đình, bạn đồng nghiệp, bạn học viên, người động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành khóa học Do khả thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn chưa đầy đủ có thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa hướng dẫn GS - TSKH Phạm Kỳ Anh Thanh Hóa, tháng 10 năm 2014 Tác giả iii Bảng cơng thức kí hiệu Các kí hiệu ρ (A) Tập giá trị qui toán tử A σ (A) Phổ toán tử A Rn×n Khơng gian ma trận cấp n × n với phần tử thực Cn×n Khơng gian ma trận cấp n × n với phần tử phức Từ d(x, S) = λd(x, S) Nếu x ∈ /S λ = 1, suy ω0 ≡ y0 Nếu x ∈ S ω0 = y0 = x Như trường hợp y0 20 (i) Điều kiện cần Với α ∈ (0, 1] với y ∈ S (cố định) ta có kαy + (1 − α)y0 − xk2 ≥ ky0 − xk2 Do α2 ky − y0 k2 + 2α< hy − yo , y0 − xi ≥ 0, ∀α ∈ (0, 1] Chia hai vế cho α > , cho α → +0 ta suy < hy − yo , y0 − xi ≥ (ii) Điều kiện đủ Với y (cố định) ta có ky − xk2 = ky0 − x + y − y0 k2 = ky0 − xk2 +2< hyo − x, y − yo i+ky − yo k2 Kết hợp với giả thiết < hyo − x, y − yo i ≥ ta có ky0 − xk = d (x, S) Một điểm x tập lồi S gọi điểm cực biên, không tồn y, z ∈ S λ ∈ (0, 1) , cho x = λy + (1 − λ) z Bao lồi đóng họ tùy ý M không gian tô pô lồi địa phương kí hiệu CoM Trong phần sau, kí hiệu E tập tất điểm cực biên M ⊂ K (H) Ta cần đến định lý Krein-Milman sau Định lý 3.1.1 Nếu M tập compact lồi khác rỗng khơng gian tơ pơ lồi địa phương X, M = coE Chứng minh Trước hết ta ý a ∈ E hai điểm x1 , x2 ∈ X, < t < cho a = tx1 + (1 − t) x2 ta có x1 ∈ / M , x2 ∈ / M , x1 = x2 = a , ngược lại Do a ∈ E M\ {a} tập lồi mở Chúng ta tìm tập lồi mở thực lớn M Gọi U họ tất tập lồi mở thực M Vì X không gian tô pô lồi địa phương, M khác rỗng nên U 6= ∅ 21 Giả sử U0 xích U đặt U0 = ∪ {U : U ∈ U0 } Hiển nhiên U0 tập mở, U0 xích, nên U0 lồi Nếu U0 = M , từ tính compact M suy tồn U0 ∈ U cho U = M Điều mâu thuẫn với U tập thực M Do U0 ∈ U theo Bổ đề Zorn, U có phần tử cực đại U Với x ∈ M ≤ λ ≤ , ta đặt Tx,λ : M → M xác định  P n = Tx,λ (y) = λy + (1 − λ) x Tx,λ liên tục Tx,λ j=1 αj yj Pn Pn j=1 Tx,λ (yj ) với y1 , , yn ∈ M , α1 , , αn ≥ 0, j=1 αj = Nếu x ∈ U −1 −1 (U ) (U ) Tx,λ ≤ λ < , Tx,λ (U ) ⊆ U Do U ⊆ Tx,λ tập lồi mở −1 Nếu y ∈ U \U Tx,λ (y) ∈ [x, y) ⊆ U , từ suy U ∈ Tx,λ (U ).Từ −1 (U ) = M Điều có nghĩa Tx,λ (U ) ⊆ U tính cực đại U suy Tx,λ x ∈ U ≤ λ < Do tính cực đại U ta có, V tập lồi mở M V ∩ U = U V ∩ U = M Tiếp theo ta M\U tập chứa điểm Thực vậy, tồn a, b ∈ M\U a 6= b ta gọi Va , Vb tập lồi mở rời M cho a ∈ Va b ∈ Vb Theo ta có Va ∩ U = M a ∈ / U Nhưng b ∈ / Va ∩ U = M Điều mâu thuẫn chứng tỏ M\U = a a ∈ E Do E 6= ∅ Nếu V tập lồi mở X E ⊆ V M ⊆ V Thật vậy, giả sử ngược lại M ⊆ V khơng Ta có M\U = a với a mà a ∈ E ⊆ V Mặt khác, V tập lồi mở nên a ∈ V ∩ M ∈ U chứa phần tử cự đại U U hay a ∈ U Điều mâu thuẫn M ⊆ V Đặt E = coE Nếu x∗ ∈ X ∗ , α ∈ R E ⊆ {x ∈ X : < hx, x∗ i < α} := V M ⊆ V Theo định lý Hand-Banach ta có M = E 22 Bổ đề 3.1.2 Giả sử M tập compact, lồi toán tử compact không gian Hilbert phức H Với x, y ∈ H , ta có khẳng định sau sup < < Ax, y >= sup < < Ax, y > A∈M A∈E Chứng minh Theo định lý Krein-Milman điểm cực biên ta có M = coE Do d := sup < < Ax, y >= sup < < Ax, y >≥ d := sup < < Ax, y > A∈M A∈CoE A∈E Mặt khác, ∀ε ≥ 0, ∃n = n(ε) ∈ N, ∃Ai ∈ E, ∃αi ≥ 0, (i = 1, , n) P P P cho ni=1 αi = d − ε ≤ < h( ni=1 αi Ai ) x, yi = ni=1 αi < hAi x, yi ≤ P ( ni=1 αi ) d = d ≤ d Do d = d , điều phải chứng minh 3.2 Tiêu chuẩn để phổ tập tốn tử compact nằm ngồi tập cho trước Vì M ⊂ K (H) , tập phổ σ (M) chứa gốc tọa độ, nghĩa ∈ σ (M) Trong phần đưa điều kiện cần đủ cho phổ σ (M) nằm bên Λ Tức σ (M) ∩ Λ = ∅ Giả sử Λ0 = Λ\∂Λ Ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.2.1 Cho ∈ / Λ biên ∂Λ đường cong đóng đơn vuốt thẳng Giả sử σ (M) ∩ ∂Λ = ∅ (3.4) Hơn nữa, giả sử tồn toán tử A1 ∈ M cho σ (A1 ) ∩ Λ0 = ∅ Khi σ (M) ∩ Λ = ∅ (3.5) 23 Chứng minh Chúng ta chứng minh bổ đề phản chứng Giả sử ngược lại σ (M )∩Λ 6= ∅ , nghĩa là, tồn A0 ∈ M cho σ (A0 )∩Λ 6= ∅ Từ (3.4) suy σ (A0 ) ∩ Λ0 6= ∅ (3.5’) Ta xét toán tử compact Aα := αA1 + (1 − α)A0 với α ∈ [0, 1] Điều kiện (3.4), (3.5) kéo theo σ (A1 ) ⊂ C\Λ Sử dụng tính compact tập phổ σ (Aα ) , tính mở C\Λ tính nửa liên tục ánh xạ Aα 7→ σ (Aα ) (Định lý 1.5.1), có σ (Aα ) ⊂ C\Λ với α đủ gần Đặt α := inf {α ∈ [0, 1] : σ (Aβ ) ⊂ C\Λ, ∀β ∈ (α, 1]} Nếu σ (Aα ) ⊂ C\Λ, tính chất nhỏ α, suy α = Điều dẫn đến mâu thuẫn với (3.5’) Do σ (Aα ) ∩ Λ 6= ∅ Dựa vào mối quan hệ (3.4), ta xác định σα := σ (Aα ) ∩ Λ0 6= ∅ Tính mở Λ0 tính compact σ (Aα ) suy σα (ε) := {λ ∈: d (λ, σα ) < ε} ⊂ Λ0 ε đủ nhỏ Do phổ toán tử compact Aα phân tích thành hai phần σα σ α0 := σ (Aα ) \σα đường cong đóng đơn vuốt thẳng ∂Λ Hơn nữa, σα chứa hữu hạn giá trị riêng Aα Mặt khác giá trị riêng đó, có thể, hội tụ đến điểm λ = ∈ / Λ Theo định lý 1.5.2, thành phần phổ σα thay đổi liên tục theo Aα Do tồn α0 ∈ (α, 1] đủ gần α , cho σ (Aα0 ) có phần σα0 ⊂ σα (ε) ∈ Λ0 , điều suy σ (Aα0 ) ∩ Λ0 6= ∅ Điều mâu thuẫn với cách định nghĩa α Bổ đề chứng minh Bây phát biểu kết Chương Định lý 3.2.1 Giả sử Λ ⊂ C tập lồi đóng ∈ / Λ Hơn nữa, giả sử M ⊂ K (H) tập compact lồi Khi đó, điều kiện cần đủ cho đẳng thức σ (M) ∩ Λ = ∅ phát biểu sau 24 (i) Tồn toán tử A ⊂ M , cho σ (A) ∩ Λ0 6= ∅ (3.6) (ii) ∀x ∈ H\ {θ} , ∃y = y (x) ∈ H : inf < hλx, yi > sup < hAx, yi λ∈∂A (3.7) A∈E Chứng minh Điều kiện cần Giả sử σ (A)∩Λ0 = ∅ Khi đó, khẳng định (3.6) hiển nhiên Với điểm cố định tùy ý x 6= θ ta xét hai tập lồi đóng S1 = {λx : λ ∈ Λ} S2 = {Ax : A ∈ M} Khi tập S = S1 − S2 = {y = λx − Ax : λ ∈ Λ; A ∈ M } tập lồi đóng Hơn nữa, θ ∈ / S, khơng tồn λ ∈ σ (A)∩Λ ⊂ σ (M)∩Λ, điều mâu thuẫn với σ (A) ∩ Λ0 = ∅ Theo Bổ đề 3.1.1(i), tồn điểm y0 cho < kyo k ≤ kyk , ∀y ∈ S Hơn nữa, theo Bổ đề 3.1.1(ii) < hy0 , y − y0 i ≥ 0, ∀y ∈ S Bất đẳng thức cuối suy < hλx, y0 i − < hAx, y0 i ≥ ky0 k2 > 0, ∀λ ∈ Λ; ∀A ∈ M Do inf < hλx, y0 i > sup < hAx, y0 i λ∈∂A A∈M Theo Bổ đề (3.1.2) supA∈M < hAx, y0 i = supA∈E < hAx, y0 i Ngoài ra, infλ∈∂A < hλx, y0 i ≥ inf λ∈Λ < hλx, y0 i Do hệ thức (3.7) chứng minh Điều kiện đủ Giả sử điều kiện (3.6) (3.7) thỏa mãn Trước hết hệ thức (3.4) Giả sử ngược lại tồn A ∈ M , λ ∈ ∂A x ∈ H\ {θ} , thỏa mãn Ax = λx, hay tương đương, hλx, yi = hAx, yi ,∀y ∈ H Sử dụng Bổ đề 3.1.2 kết hợp với bất đẳng thức cuối 25 cùng, ta có infλ∈∂A < hλx, y0 i ≥ supA∈M < hAx, yi = supA∈E < hAx, y0 i ∀y ∈ H, điều mâu thuẫn (3.7) cho y = y (x) Do (3.4) chứng minh Cuối cùng, hệ thức (3.2) suy từ Bổ đề (3.2.1) Bây xem xét ba trường hợp (a) Λ lồi đóng khơng có điểm trong, tức Λ = ∂Λ Từ lập luận trình bày trên, ta thấy điều kiện (3.7) suy (3.4), hay σ (M ) ∩ Λ = ∅ (b) Λ lồi, đóng, giới nội, có phần khác rỗng Khi theo kết biết tơpơ hình học ([8]), ∂Λ đường cong đóng đơn vuốt thẳng Sử dụng điều kiện (3.4), suy từ (3.7), (3.6), áp dụng Bổ đề 3.2.1, ta thu hệ thức σ (M) ∩ Λ = ∅ (c) Λ lồi, đóng, khơng giới nội, có phần khác rỗng Vì M compact nên tồn số dương r thỏa mãn kAk ≤ r với A ∈ M Hơn nữa, tồn số n > r đủ lớn cho tập Λn = {µ ∈ Λ : |µ| ≤ n} khác rỗng Để ý σ (M) ⊂ Sr := {µ : |µ| ≤ r} , ta dến kết luận σ (M) ∩ Λ = ∅ σ (M) ∩ Λn = ∅ Bây Λn tập lồi, đóng, giới nội, nên có biên đường cong đóng đơn vuốt thẳng ∂Λn = L1,n ∪L2,n Trong L1,n = {λ ∈ ∂Λ : |λ| ≤ n} L2,n = {λ ∈ Λ0 : |λ| = n} Rõ ràng ∈ / Λn σ (M)∩∂Λn = (σ (M) ∩ L1,n )∪ (σ (M) ∩ L2,n ) Như vậy, tất điều kiện Bổ đề 3.2.1 cho Λn thỏa mãn, σ (M) ∩ Λn = ∅, điều phải chứng minh Chú ý 3.1 Tính chất ∂Λ đường cong đóng đơn vuốt thẳng cần cho chứng minh Bổ đề 3.2.1, đó, dùng cho chứng minh điều kiện đủ Định lý 3.2.1 Nếu Λ = ∂Λ , chẳng hạn, Λ 26 tập điểm, Λ đường thẳng, đoạn thẳng, ta có hệ sau Hệ 3.2.1 Giả sử Λ ⊂ C tập đóng, cho Λ = ∂Λ giả sử M ∈ K (H) tập compact lồi Khi đó, (3.2) ∀x ∈ H\ {0} ; ∃y = y (x) ∈ H : inf < hλx, yi > sup < hAx, yi λ∈∂A 3.3 (3.8) A∈E Ví dụ áp dụng Ví dụ 3.1 Cho Ai , i = 1, 2, 3, tốn tử compact khơng gian `2 xác định ma trận đường chéo khối vô hạn chiều Ai = diag (A1i , A2i , , Ani , ) , với Ani ma trận đường chéo khối cấp hai, phần tử khối −(n + i)−1 , n = 1, 2, ; i = 1, 2, Giả sử Λ = {z ∈ C : z = a + ib; ≤ a ≤ 2; ≤ b ≤ 2} Gọi M bao lồi  toán toán tử Ai , i = 1, 2, Khi E = A1 , A2 , A3 Điều kiện (3.7) thỏa mãn với x 6= θ y = x Thật vậy, ta có sup < hAx, yi = − A∈E ∞ X (n + 1)−1 |x2n−1 + x2n |2 ≤ n=1 Mặt khác < kxk2 = inf < hλx, xi λ∈∂Λ Do supA∈E < hAx, yi < infλ∈∂Λ < hλx, xi Theo Định lý 3.2.1, hệ thức (3.2) Nếu Λ tập lồi, hệ thức (3.2) không thiết suy (3.7) 27 Ví dụ 3.2 Giả sử Λ = {z ∈ C : |z| ≥ 1} Xét hai toán tử compact A = O B = diag (B1 , B2 , , Bn , ) , Bn ma trận cấp hai với phần tử (n + 2)−1 Rõ ràng, phổ đoạn M = [O, B] nằm Λ Tuy nhiên điều kiện (3.7) khơng đúng, với x 6= θ với y ta có inf < hλx, yi = inf sup < hAx, yi λ∈∂A A∈E (3.7) 29 Luận văn dừng lại kết lý thuyết Trong tương lai có điều kiện sử dụng kết vào việc nghiên cứu tính ổn định ơn định vững (robust stability) hệ động lực trường hợp nhiễu không thiết bé 30 Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàmNXB đại học trung học chuyên nghiệp, Hà nội [2] P.K Anh, N.X.Thảo (2010), Remarks on the spectrum of a compact convex set of compact operators, Journal of Applied Analysis 16 (2010), 259–264 [3] S Bialas(1985), A necessary and sufficient condition for the stability of convex combinations of stable polynomials and matrices, Bull Polish Acad Sci Tech Sci., vol 33, pp 473–480 [4] N Cohen and I Lewkowicz(1993), A necessary and sufficient criterion for the stability of a convex set of matrices, IEEE Trans Automat Contr, vol 38, pp 611–615 [5] J.B.Conway(1985) A course in Funtional analysis, Springer - Verlag, New York, Berlin, Heidelberg,Tokyo [6] T Kato(1980), Pertubation Theory for Linear Operators, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg,New York [7] V.V Monov(1999), On the spectrum of convex sets of matrices, IEEE Trans Automat.Contr, Vol 44, No 5, pp 1009-1012 31 [8] V.A Toponogov (2005), Differential geometry of curves and surfaces, Birkhauser

Ngày đăng: 17/07/2023, 23:18

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w