Phổ nguyên tố của vành phổ nguyên tố của đồng cấu vành

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN - LÊ QUỐC HÙNG PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA ĐỒNG CẤU VÀNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ĐẠI SỐ MÃ SỐ : 1.01.02 Thành phố Hồ Chí Minh 05 - 1998 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN - LÊ QUỐC HÙNG PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA ĐỒNG CẤU VÀNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ĐẠI SỐ MÃ SỐ : 1.01.02 Thành phố Hồ Chí Minh 05 - 1998 LUẬN VĂN ĐƢỢC HOÀN THÀNH TẠI: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: PTS Mỵ Vinh Quang Khoa toán ĐHSP Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: PTS Nguyễn Viết Đơng Khoa Tốn ĐHKH Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: PTS Trần Huyên Khoa Toán ĐHSP Tp Hồ Chí Minh Người thực hiện: Lê Quốc Hùng Khoa tự nhiên Trƣờng CĐSP Bến Tre Luận văn khoa học đƣợc bảo vệ Hội Đồng chấm luận văn Thạc Sỹ toán học Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm - Thành Phố Hồ Chí Minh LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, tơi xin kình gởi đến Thầy PTS Mỵ Vinh Quang - Khoa Toán Đại Học Sƣ Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh - ngƣời tận tính hƣớng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy: PTS Trần Huyên - Khoa Tốn Đại Học Sƣ Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, PTS Nguyễn Viết Đơng - Khoa Tốn Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chì Minh đọc thảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Tốn, Khoa Tâm Lý - Giáo Dục, Phịng Nghiên Cứu Khoa Học thuộc Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Khoa Triết Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chì Minh tận tình truyền đạt kiến thức nhƣ hỗ trợ tƣ liệu, thủ tục hành chánh cho suốt trình học tập làm việc Xin cám ơn bạn khóa Cao học Khoa Tốn Đại Học Sƣ Phạm Thành Phố Hồ Chì Minh quan tâm, giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Một lần xin đƣợc kính gởi đến Quý Thầy, Cô Bạn Hữu lời cảm ơn chân thành, sâu sắc Thành phố Hồ Chì Minh tháng 05 năm 1998 Lê Quốc Hùng Lời nói đầu Trong lớp vành giao hoán Ideal nguyên tố , Ideal tối đại có vai trị cất quan trọng Để nghiên cứu cấu trúc Ideal nguyên tố Ideal tối đại vành giao hoán mối liên hệ tập ldeal nguyên tố vành, đƣa vào khái niệm phổ nguyên tố vành hay cịn gọi khơng gian tơpơ Zariski xác định vành , kết tôpô kéo theo kết cấu trúc Ideal nguyên tố vành ngƣợc lại Mục tiêu luận văn nghiên cứu số tính chất phổ nguyên tố vành , phổ nguyên tố đồng cấu vành mô tả phổ nguyên tố số vành đặc biệt ,cụ thể phổ nguyên tố vành ,vành Bull ,vành Noëther ,vành Artin ,vành tích trực tiếp ,vành thƣơng Luận văn nầy gồm chƣơng Chƣơng I : Xác định nghiên cứu số tính chất phổ nguyên tố vành giao hốn có đơn vị Chƣơng II : Mơ tả nghiên cứu số tính chất phổ nguyên tố vành : Vành ,vành Bull ,vành Noëther ,vành Artin ,vành tích trực tiếp Chƣơng III : Xác định nghiên cứu số tính chất phổ nguyên tố đồng cấu vành.Trên sở tính chất phổ nguyên tố đồng cấu vành mô tả phổ nguyên tố vành thƣơng Mục lục CHƢƠNG : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG I: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH I.Phổ nguyên tố vành II.Tính chất phổ nguyên tố vành 16 CHƢƠNG II: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA MỘT SỐ VÀNH ĐẶC BIỆT 23 I.Phổ nguyên tố vành 23 II Phổ nguyên tố vành Bull 27 III.Phổ nguyên tố vành Noëther 33 IV.Phổ nguyên tố vành ARTIN 51 V Phổ nguyên tố vành tích trực tiếp 54 CHƢƠNG III: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA ĐỒNG CẤU VÀNH 64 I.Định nghĩa phổ nguyên tố đồng cấu vành 64 II.Tính chất phổ nguyên tố đồng cấu vành 65 III.Phổ nguyên tố vành thƣơng 85 CHƢƠNG : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong luận văn nầy chúng tơi nghiên cứu vành giao hốn có đơn vị phần tử khác phần tử 0, trừ trƣờng hợp có lƣu ý ngƣợc lại Do khơng có nhầm lẩn,để đơn giản chúng tơi nêu vành Trong phần nầy nêu lại số kiến thức mà tính chân thực đƣợc xác định Các phần tử đặc biệt vành: + Cho A vành,với phần tử a ∈ A , ta có: • a khả nghịch tồn a'∈ A cho aa'=l • a ƣớc tồn a' ∈ A , a'≠0 cho aa'=() • a lũy đẳng a2=a • a lũy linh tồn n ∈ N ,n ≥ cho an=() + Cho A vành , a ∈ A.Ta có: Nếu a lũy linh thí 1-a khả nghịch Ideal vành: + Cho A vành,một tập α ≠ A đƣợc gọi Ideal vành A Ký hiệu: α ∆ A ,nếu: nhóm nhóm (a,+) + α ∆ A α đƣợc sinh phần tử a i ∈ A,i ∈ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , Ký hiệu: α = < a i , i ∈ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , > + Một Ideal α vành A,đƣợc gọi Ideal nguyên tố, Ký hiệu + Một Ideal α vành A đƣợc gọi Ideal tối đại, Ký hiệu: Trang | + Mệnh đề: Cho A vành, α ∆ A.Ta có miền nguyên trƣờng + Đinh lý: Mọi vành A ≠ {0} tồn Ideal tối đại • Hệ quả: Cho A vành,ta có • Hệ quả: Cho A mội vành,với phần tử a ∈ A, a khơng khả nghịch tồn 3.Nilradical vành: + Tập N tất phần tử lũy linh vành A đƣợc gọi Nilradical vành A Ký hiệu: N = rad A +Mệnh đề: Cho A vành , ta có: 4.Radial extention: + Cho A vành ,α ∆ A Ta định nghĩa radial extention hay gọi mở rộng Ideal α tập + Mệnh đề: Cho A vành , ta có: Trang | Đồng cấu vành: +Một ánh xạ f từ vành A tới vành B đƣợc gọi đồng cấu ∀a,b∈A , ta có: f(a+b) = f(a) + f(b) f(a.b) = f(a).f(b) f(l) =1 +Mệnh đề: f: A → B đồng cấu vành.Ta có Cái mở rộng tạo ảnh Ideal: Cho đồng cấu vành f: A → B Khi : +Với α ∆A , ta gọi mở rộng Ideal α Ideal B sinh f(α) Ký hiệu : αe = < f(α) > = l(α) B +Với β∆B,ta có tạo ảnh f1(β) Ideal A Ký hiệu: βc = f1(β) Trang | CHƢƠNG I: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH I.Phổ nguyên tố vành Nhƣ biết , giả sử X tập hợp , họ T tập X đƣợc gọi tôpô X họ T thỏa mãn điều kiện sau: Một không gian tôpô tập hợp X với tôpô tập ấy.Khi phần tử họ T đƣợc gọi tập mở không gian tôpô X.Nhƣ không gian tôpô X: 1.Tập ϕ tập mở,tập X tập mở Hợp họ tùy ý tập mở tập mở Giao hai tập mở tập mở giao số hữu hạn tập mở tập mở Một tập hợp F không gian tơpơ X đƣợc gọi tập đóng phần bù X \ F tập mở Từ tính chất tập mở,ta suy khơng gian tơpơ X: Tập ϕ tập đóng,tập X tập đóng Giao họ tùy ý tập đóng tập đóng Hợp hai tập đóng tập đóng ví hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng Trong chƣơng nầy sẻ nghiên cứu không gian tôpô đặc biệt Không gian tôpô đƣợc xây dựng sở tập tất Ideal ngun tố vành giao hốn có đơn vị Trang | Mệnh đề 3.16 : Cho A,B hai vành tùy ý, f:A B đồng cấu vành ,f*: Y= Spec (B) → X= Spec (A) phổ nguyên tố đồng cấu f Khi f* ánh xạ đóng thí f có tình chất tăng Chứng minh : Với cho có thỏa = f(A) ∩ β, xét thỏa v Ta có : Mặt khác : Từ suy f1 (v) = f1 (α) Ta lại có Do f-1 (β) = f-1 (α) Suy V (f-1 (β)) = V (f-1 (α)) Ta đƣợc f-1 (v) ∈ V (f-1 (β)) Mà f* ánh xạ đóng nên mệnh đề 3.5, ta đƣợc : V (f-1 (β)) = f* (V(β)) Từ ta có : Suy tồn , cho : Tƣơng đƣơng Ta chứng minh Thật : Hiển nhiên v ⊂ Mặt khác,nếu có b ∈ γ Ta có : b ∈ f(A) Do b v suy a f (A) mà b ∃a ∈ A :b = f(a) f-1 (v) Mâu thuẫn b ∈ γ suy a ∈ f-1 (γ) Mà f-1(γ) = f-1 (v) Trang | 79 Vậy v = f(A) ∩ γ Suy với thỏa v tồn thỏa f(A) ∩ γ = v Vậy đồng cấu f có tính chất tăng Cho A,B hai vành tùy ý, f: A B đồng cấu vành, với q B, đặt v = f-1(q), ta đƣợc v ∆ A Khi đồng cấu f cảm sinh đồng cấu: Thật vậy,với Ta có : Từ f(a) + q = f(a’) +q Vậy: f : A/v a +v B/q f(a) +q ánh xạ Mặt khác ánh xạ f : A/v → B/q xác định nhƣ đồng cấu hiển nhiên f: A → B đồng cấu Đặt f*: Spec(B/q) → Spec (A/v) phổ nguyên tố đồng cấu f: A/v → B/q, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.17 Cho A,B hai vành tùy ý ,f: A → B đồng cấu vành Khi ta có : f có tính chất tăng với ,ánh xạ f* : Spec (B/ q) → Spec (A/v) toàn ánh Trang | 80 Chứng minh : đặt ( )Với Ta đƣợc : Khi dó : Do ⊃ ( ) Suy ker f ⊂ α Từ suy Ta đƣợc Do f* có tính chất tăng Suy tồn cho ⊃ q f(A) = f(α) Từ suy : f-1(γ) = f-1(f(α)) Do mệnh đề 3.8 ta đƣợc : Suy với α ∈ V(v), tồn γ ∈ V(q) cho f1 (γ) = α Nghĩa f* (γ) = α Mặt khác , với γ ∈ V(q), ta đƣợc: γ⊃q f1(γ) ⊃ f1 (q) = v Suy f1(γ) ∈ V(v) Vậy f* : V(q) → V(v) toàn ánh Do hệ 3.10 ta có đồng phơi sau: p1* : Spec (B/q) → V(q) p2* : Spec ( A/v) → V(v) Trang | 81 Từ ta có sơ đồ sau : Cho ta : f*0 p1* = p2* f* Do p1*, p2* song ánh f* : V(q) → V(v) toàn ánh, suy ra: f* : Spec (B/q) → Spec (A/v) toàn ánh ( ) Với ánh xạ f* : Spec (B/q) → Spec (A/v) toàn ánh Tƣơng tự chứng minh trên,sơ đồ giao hoán nêu cho ta ánh xạ f* : V(q) → V(v) tồn ánh Ta chứng minh đồng cấu f có tính chất tăng Với cho có thỏa ( ) q Đặt v= f-1 (q), ta đƣợc f-1 ( ) = v Xét Ta đƣợc: Suy f-1 ( ) ∈ V(v) Trang | 82 Do chứng minh ta có : f* : V(q) → V(v) toàn ánh Nên tồn γ ∈ V(q) cho f* (γ) = f-1 (β) Ta đƣợc f-1 (γ) = f-1(β) Ta chứng minh γ f (A) = β Với b ∈ β ta có b ∈ f (A), tồn a ∈ f(A) cho b = f(a) Mà b ∈ β nên a ∈ f-1 (β) Từ a ∈ f-1 (γ) Suy b = f(a) ∈ γ Vậy b ∈ f(A) ∩ γ Ta đƣợc β ⊂ f(A) ∩ γ (1) Ngƣợc lại, với b ∈ f(A) ∩ γ Ta có b ∈ f(A) , nên tồn a ∈ A cho f(a) = b Ta lại có b ∈ γ a ∈ f-1 (γ) Suy a ∈ f-1 (β) Vậy b ∈ Ta đƣợc (2) Từ (1),(2) suy Vậy với thỏa , tồn thỏa q γ f(A) γ = β Suy f có tính chất tăng Từ mệnh đề 3.16 ,3.17 ta suy đƣợc hệ sau : Hệ 3.18 : Cho A,B hai vành f :A→ B đồng cấu vành , f* : Spec (B) → Spec (A) phổ nguyên tố đồng cấu f Khi ta có: Nếu f* ánh xạ đóng thí với ánh xạ: f*: Spec (B\q) → Spec (A/v) toàn ánh Trang | 83 Mệnh đề 3.19 : Cho A,B hai vành cho không gian Spec (B) không gian Noëther , f :A→B đồng cấu vành , f* : Spec (B) → Spec (A) phổ nguyên tố đồng cấu f Khi : f* ánh xạ đóng f có tính chất tăng Chứng minh : ( ) Hiển nhiên mệnh đề 3.16 ( ) Với tập đóng V (β) Đặt T tập ideal nguyên tố B tối tiểu V(β ) Ta có khơng gian Spec(B) khơng gian Nther nên theo mệnh đề 2.17 ta đƣợc không gian V ( β ) Noëther Từ hệ 2.20 suy T tập hữu hạn Ta lại có : Mặt khác , f có tính chất tăng , suy : Với q ∈ T , ánh xạ : f* : V(q) → V(qc) Là tồn ánh Từ đó: Suy : Do T tập hữu hạn nên tập đóng Spec (A) Vậy với tập đóng V (β) Spec ( B), f * ( V(β)) tập đóng Spec (A) Ta đƣợc f* ám xạ đóng Trang | 84 III.Phổ nguyên tố vành thƣơng Cho A vành giao hốn có đơn vị , tập S⊂ A đƣợc gọi tập có tính nhân A s chứa ổn định phép nhân A Khi tập tích A X s ta xác định quan hệ tƣơng đƣơng ~ nhƣ sau: , ta có : Ta ký hiệu a/s lớp tƣơng đƣơng ( a,s ) S-1 A tập thƣơng (A x S)/ ~ Cần ý ∈ S S-1 (A) chứa phần tử , cụ thể 0/1 Trên tập thƣơng S-1 A ta định nghĩa phép cộng phép nhân nhƣ sau : Khi ta đƣợc S-1 A vành giao hốn có đơn vị 1/s đƣợc gọi vành thƣơng vành A tập có tính nhân S Xét vành A vành thƣơng S-1 A , ta có mối quan hệ sau : Có tƣơng ứng 1-1 tập ideal nguyên tố S-1 α vành S-1 A với tập ideal nguyên tố vành A Trang | 85 Mệnh đề 3.20 : Cho A vành , s tập có tính nhân A, Với đồng cấu: Đặt φ* phổ nguyên tố φ Khi ta có φ*: Spec (S-1A) → X’ phép đồng phơi Chứng minh : Ta có ánh xạ Do tƣơng ứng 1-1 Y với X' , ta có : song ánh Ta chứng minh φ* ánh xạ mở Với tập mở Với a/s , ta có : ,ta có : S-1 suy a α Vậy α ∈ Xa song ánh , ta có α ∈ X’ Mặt khác Suy α ∈ (X’ Xa) Ta đƣợc Ngƣợc lại: Với Do song ánh , nên α ∈ X’ suy S-1 α ∈ Y Ta chứng minh a/s S-1 ,s ∈ S Trang | 86 Giả sử tồn b ∈ α cho : Từ suy : Do Ta đƣợc : at - bs ∈ α Mà b ∈ α nên bs ∈ α Từ ta có: at ∈ α Do t ∈ S Suy a ∈ α Mâu thuẫn a α Vậy a/s S-1 α Suy S-1 α ∈ Ya/s Vậy α ∈ φ* (Ya/s ) Suy ( X’ Xa) ⊂ φ* (Ya/s ) (2) Từ (1) , (2) suy : mở X’ Do tập Ya/s sở không gian Y = Spec (S-1 A) ta suy φ* ánh xạ mở từ Y vào X’ Vậy φ*: Spec (S-1A) → X’ phép đồng phôi Nhận xét : Từ mệnh đề 3.20 , xét khơng gian Y = Spec (S-1 A) ta có: Mỗi tập đóng F Y , F có dạng Trang | 87 Ta có : Mỗi tập mở Ya/s Y , ta có : Cho A vành , với phần tử f ∈ A , đặt ta đƣợc s tập có tính nhân A Ta ký hiệu : Af = S-1 A Mệnh đề 3.20 cho ta hệ sau Hệ 3.21 : Cho A vành , với phần tử f ∈ A qua đồng cấu Ta có ảnh đồng phơi Spec (Af ) X=Spec (A) qua phổ nguyên tố φ* đồng cấu φ tập mỏ Xf Chứng minh : Với phần tử f ∈ A Đặt Ta cần chứng minh Ta có : Trang | 88 Ngƣợc lại : Suy Do suy f α Vậy α ∈ Xfp Suy Do mệnh đề 3.20 ta suy đƣợc Spec (Af) đồng phôi Xf qua φ* Cho A,B hai vành ,f:A → B đồng cấu vành , phổ nguyên tố đồng cấu f Gọi S tập có tính nhân A , ta có f(S) tập có tính nhân B Ta có đồng cấu f: A → B cảm sinh đồng cấu Thật : Với , ta có : Suy f ( a/s - b/s) = Trang | 89 Suy Tình đồng cấu S-1 f hiển nhiên f đồng cấu Gọi S-1 f* : pec (f(S)-1 B) → Spec (S-1 A) phổ nguyên tố đồng cấu S-1 f: Đặt: Do mệnh đề 3.20 ta có : Spec ( S-1 A ) đồng phôi X qua phổ nguyên tố φ*1 đồng cấu : Spec f(S)-1 B) đồng phôi Y qua phổ nguyên tố φ*2 đồng cầu: Khi đồng Spec (S1 A ) với ảnh đồng phôi X' Spec (A), Spec (f(S)-1 B) với ảnh phôi Y’ Spec (B) ta có mệnh đề sau: Trang | 90 Mệnh đề 3.22 : Ánh xạ S-1 f* : Spec (f(S-1) B) → Spec (S-1 A) trùng với ánh xạ f* : Y’ → X’ f*-1 (X’) = Y’ Chứng minh : Với cho Ta có f-1 (f(S)-1 𝛽) = S-1 f-1 (𝛽) Thật : ta có : Suy a/s ∈ S-1 f-1 (𝛽) Vậy (1) Ngƣợc lại : ta có : Suy với s ∈ f(S), Từ ta đƣợc Suy a/s ∈ f-1 (f(S)-1 β ) Vậy S-1 f-1 (𝛽) ⊂ f-1 (f (S)-1 𝛽 ) (2) Từ (1),(2) ta đƣợc: Mặt khác : Với Ta có f-1 (𝛽) cho = Thật , f-1 (𝛽) ∩ S ∃ s ∈ S : s ∈ f-1 (𝛽) Từ suy f(s) ∈ 𝛽 Suy 𝛽 ∩ f(S) ≠ Trang | 91 Mâu thuẫn Vậy Suy Từ ta đƣợc sơ đồ sau giao hốn : Do đồng Spec (S-1 A) với X' Spec (f(S)-1 B) với Y' S-1 f* trùng với f* Y Ta có : Mặt khác , có cho β Y’ mà f-1 (β) ∈ X’ ta có β Y’ Từ ∃ s ∈ S : f(s) ∈ Suy s ∈ f-1 (β) Mâu thuẫn Vậy với nên f-1 (β) ∩ S ≠ f-1 (β) X’ (4) Từ (3) (4) suy : f*-1 (X’) = Y’ Trang | 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO M.F Atiyah - frs, I.G Macdonald, Introduction to commutative Algebra, Addison Wesley Publishing Company, Reading, Massachsetts, 1969 Hoàng Xuân Sình, Đại số cao cấp - Đại số đại cƣơng - Nhà xuất giáo dục, 1977 Sze - Tsen Hu - Cơ sở Giải Tích tốn học - Nhà Xuất Bản Đại Học Trung học chuyên nghiệp - 1978 Ngô Thúc Lanh - Đại số (giáo trính sau đại học) - Nhà xuất giao dục, 1985 Trang | 93 ... chất phổ nguyên tố đồng cấu vành. Trên sở tính chất phổ nguyên tố đồng cấu vành mô tả phổ nguyên tố vành thƣơng Mục lục CHƢƠNG : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG I: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH... I .Phổ nguyên tố vành II.Tính chất phổ nguyên tố vành 16 CHƢƠNG II: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA MỘT SỐ VÀNH ĐẶC BIỆT 23 I .Phổ nguyên tố vành 23 II Phổ nguyên tố vành. .. phổ nguyên tố vành , phổ nguyên tố đồng cấu vành mô tả phổ nguyên tố số vành đặc biệt ,cụ thể phổ nguyên tố vành ,vành Bull ,vành Noëther ,vành Artin ,vành tích trực tiếp ,vành thƣơng Luận văn