Phổ huỳnh quang cộng hưởng khi có va chạm bolzmann lorentz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ PHI CƢỜNG PHỔ HUỲNH QUANG CỘNG HƢỞNG KHI CÓ VA CHẠM BOLTZMANN - LORENTZ LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành Quang học Mã số 62 44 11 01 VINH, 2010 Lời cảm ơn Tôi xip phép bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc thấy giáo PGS TS Nguyễn Huy Công - Thầy trực tiếp định hướng giúp mặt kiến thức, phương pháp nghiên cứu giúp đỡ tơi vượt qua khó khăn để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, khoa vật lý dẫn giúp trình học tập trình làm luận văn Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới bạn lớp cao học 16 chuyên ngành quang học giúp đỡ số lĩnh vực trình làm luận văn Cuối xin gửi lời biết ơn tới gia đình tơi, thường xun động viên giúp tơi mặt trình làm luận văn Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả Hồ Phi Cường MỤC LỤC Trang Mở đầu Chƣơng I: Phƣơng trình 1.1 Phƣơng trình Bloch Bloch quang học cộng hƣởng từ 1.2 Phƣơng trình Bloch 1.3 14 Ma trận suy giảm ngẫu nhiên có mặt nhiễu độ lệch tần 1.5 học Phƣơng trình Bloch quang học hiệu dụng có nhiễu độ lệch tần 1.4 quang 17 Phổ cơng suất huỳnh quang có mặt nhiễu độ lệch tần Chƣơng II: 21 Phổ huỳnh quang cộng hƣởng có va chạm Lorenzt - Boltzmann 25 2.1 Mẫu thống kê va chạm Lorenzt - Boltzmann 25 2.2 Ma trận suy giảm ngẫu nhiên có mặt va chạm Boltzmann - Lorenzt 40 2.3 Phổ huỳnh quang cộng hƣởng có mặt va chạm Lorenzt - Boltzmann Kết 45 luận chung 54 Tài liệu tham khảo 55 MỞ ĐẦU Tƣơng tác trƣờng điện từ với môi trƣờng vật chất vấn đề quang học lƣợng tử Để nghiên cứu tƣơng tác trƣờng laser với hệ nguyên tử, mặt lý thuyết nhiều tác giả sử dụng phƣơng trình quang học Bloch thu đƣợc nhiều kết phù hợp với thực nghiệm Trong năm đầu thập kỷ 70 kỷ XX xuất số thực nghiệm, chẳng hạn [1], theo đó, dùng phƣơng trình quang học Bloch thơng thƣờng, khơng thể giải thích cách trọn vẹn đầy đủ, xác kết Sở dĩ có sai khác với thực nghiệm nhƣ phƣơng trình quang học Bloch thơng thƣờng, xem đại lƣợng có mặt phƣơng trình đó, chẳng hạn nhƣ cƣờng độ trƣờng (tỷ lệ với bình phƣơng biên độ), độ lệch tần số kích thích 0 )    L  0 L (sự sai khác tần số trƣờng laser tần số chuyển hai mức hệ lƣợng tử hay pha trƣờng đại lƣợng không đổi Tuy nhiên thực tế, dù trƣờng laser có đƣợc xem đơn sắc khơng thể tuyệt đối đơn sắc, nghĩa biên độ, tần số pha trƣờng suốt thời gian tƣơng tác có thay đổi Theo ngơn ngữ quang học lƣợng tử, thay đổi đƣợc gọi thăng giáng Khi để ý đến thăng giáng, tức để ý đến ảnh hƣởng chúng giải thích đƣợc lại có khơng phù hợp lý thuyết thực nghiệm Tuy nhiên, thăng giáng có mặt đồng thời, việc giải phƣơng trình q phức tạp nói chung khơng thể giải đƣợc cách giải tích Nhƣ biết, thăng giáng đƣợc xem thăng giáng dạng gauss (biến thiên hỗn loạn khơng có giá trị cụ thể hàm tƣơng quan) khơng cịn cách khác phải thực việc giải phƣơng trình quang học cách gần Khi có mặt thăng giáng, phƣơng trình quang học Bloch tập hợp phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên Chính vậy, để giải chúng, ta phải lấy trung bình thống kê phƣơng trình Khi lấy trung bình thống kê xuất hàm tƣơng quan đặc trƣng cho thăng giáng Do đó, trƣờng hợp cụ thể, nghiên cứu ảnh hƣởng thăng giáng lên thông số động lực đặc trƣng cho hệ lƣợng tử, phải giới hạn xét thăng giáng chúng có giá trị hàm tƣơng quan tƣơng ứng cụ thể mà Khi biết hàm tƣơng quan loại thăng giáng, lấy đƣợc trung bình thống kê phƣơng trình vi phân lúc chung ta thu đƣợc hệ phƣơng trình quang học Bloch hiệu dụng Nếu xét dƣới dạng ma trận hệ phƣơng trình hiệu dụng có mặt ma trận đƣợc gọi ma trận suy giảm hiệu dụng, có chứa thơng số đặc trƣng cho nhiễu [2-4] Nhƣ biết, hệ lƣợng tử đƣợc xem nhƣ hệ dao tử điều hoà Khi có tƣơng tác với trƣờng kích thích, có tƣơng tác photon trƣờng với dao tử dao tử với dẫn đến việc xuất va chạm ngẫu nhiên chúng Những va chạm đƣợc gọi va chạm Boltzmann – Lorentz Vấn đề đặt làm để khảo sát đƣợc ảnh hƣởng va chạm lên đại lƣợng đặc trƣng cho hệ lƣợng tử Theo quan niệm Boltzmann – Lorentz [5], va chạm gây nên thăng giáng độ lệch tần thông qua thay đổi tần số chuyển mức, cịn trƣờng kích thích đƣợc xem đơn sác tuyệt đối Nếu xem thăng giáng độ lệch tần nhiễu telegraph xt  có hàm tƣơng quan thoả mãn:  t  t    x(t )   ;  x(t ) x(t )   a exp   c   với  thời gian kết hợp tính đƣợc phổ huỳnh c quang cộng hƣởng chúng Theo tính chất thăng giáng telegraph ta phải thừa nhận sau va chạm, vận tốc hạt ánh sáng đƣợc giữ nguyên không đổi, va chạm làm cho dao tử đổi hƣớng chuyển động (quay góc 180 ) mà thơi Tuy nhiên thực tế, va chạm hoàn toàn ngẫu nhiên nên thay đổi phƣơng dao động hồn tồn ngẫu nhiên, khơng có phƣơng ƣu tiên Bởi vậy, để tiệm cận với thực nghiệm ta phải tổng quát hoá mẫu telegraph va chạm [6] Vấn đề đặt việc tính tốn phổ huỳnh quang đƣợc thực nhƣ theo phổ có thay đổi khơng so với trƣờng hợp xem va chạm nhiễu telegraph thơng thƣờng Vấn đề đƣợc giải chƣơng I II luận văn Ngoài phần Mở đầu, phần kết luận Danh mục tài liệu tham khảo, phần luận văn gồm chƣơng nội dung: Chƣơng I trình bày phƣơng trình Bloch quang học; Trong chƣơng này, xuất phát từ phƣơng trình Bloch cộng hƣởng từ, chúng tơi dẫn phƣơng trình Bloch quang học Để đơn giản tính tốn, nhƣng khơng làm giảm chất vật lý chủ yếu tƣơng tác trƣờng hệ lƣợng tử, sử dụng gần nguyên tử hai mức lƣợng Tức xem nguyên tử có hai mức lƣợng tham gia vào trình tƣơng tác, hai mức đóng vai trị nhƣ hạt có spin s = ½ đặt trƣờng ngồi Khi có mặt thăng giáng, phƣơng trình Bloch quang học trở thành phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên Lấy trung bình phƣơng trình thu đƣợc phƣơng trình quang học Bloch hiệu dụng Ở đây, với việc xem va chạm Boltzmann – Lorentz gây nên thăng giáng độ lệch tần xem thăng giáng nhiễu telegraph, chúng tơi dẫn cách tính ma trận suy giảm hiệu dụng phổ huỳnh quang cộng hƣởng Chƣơng II trình bày phổ huỳnh quang cộng hƣơng có va chạm Boltzmann - Lorenzt suy rộng Ở chƣơng đề cập đến tổng quát hoá mẫu Boltzmann – Lorentz va chạm, từ trình bày cách tính phổ huỳnh quang cộng hƣởng có mặt mẫu va chạm telegraph tổng quát từ có vài nhận xét dạng đồ thị phổ Phần kết luận, chúng tơi trình bày tóm lƣợc số nội dung nhƣ số kết thu đƣợc luận văn 10 V t    iM  0   V t  (2.20) Ở đây,   ~ V 0   C (0)   C (0) V 0 ma trận:     vc  C  C  (2.21) xuất có mặt va chạm Boltzmann – Lorentz đƣợc gọi ma trận suy giảm hiệu dụng Ta có nhận xét khơng có va chạm Boltzmann – Lorentz   0, C  , (2.20) rút gọn lại cịn: V t    dz zt e V 0 2i z  iM  0 (2.22) Tức ta lại nhận đƣợc nghiệm cho trƣờng hợp khơng có nhiễu va chạm Boltzmann –Lorentz 2.5 Phổ huỳnh quang cộng hƣởng có mặt va chạm Lorentz - Boltzmann Chúng ta biết cƣờng độ phân bố phổ huỳnh quang có quan hệ mật thiết với Cƣờng độ trƣờng điện phát xạ nguyên tử hai mức lại tỷ lệ với toán tử phép chuyển đổi lƣỡng cực: E (  ) (r , t ) ~  (t  r / c) E ( ) (r , t ) ~   (t  r / c) Trong r khoảng cách từ quan sát phổ đến nguyên tử 48 Do hệ nguyên tử hai mức đặt trƣờng ngoài, giới hạn trạng thái dừng, phổ thăng giáng lƣỡng cực đƣợc tính theo cơng thức:  S ( )  lim Re e  i   (t   ) (t ) dt t   (2.23) Từ ta thấy để tính đƣợc phổ công suất cần xác định đƣợc hàm tƣơng quan:   (t   ) (t ) (2.24) Từ lập luận ta tìm véctơ Bloch V(t) dƣới thành phần V =(V1, V2, V3): V1 = σ+(t+τ)σ(t) V2 = σ(t+τ)σ(t) V3 = w(t+τ)σ(t) Lấy đạo hàm theo τ V1, V2, V3 ta có: d A i V1  (i  )V1  0V2  V3 d 2 d A i V2  0V1  (i  )V2  V3 d 2 d V3  iV1  iV2  AV3 d Khi có mặt thăng giáng ta thay  (66) (2.25)  + x(t), với x(t) thăng giáng đƣợc xác định chƣơng Khi hệ (3) đƣợc viết lại: 49 d A V1  0V2  i V3 V1   i (  x(t ))  d 2 d A V2  i V3 V2  0V1    i (  x(t ))  d 2 d V3  iV1  iV2  AV3 d (2.26) Ta xét gần cộng hƣởng ( tức Δ = 0) hệ phƣơng trình (2.26) trở thành: d A i  V1   ix(t )  V1  0V2  V3 d 2  d A  i  V2  0V1    ix(t )    V3 d 2  d V3  iV1  iV2  AV3 d (2.27) Biểu diến (2.27) dƣới dạng ma trận ta suy ma trận Ms, M nhƣ sau:  A    iM S     i  i   A i     =  iM  0 2  i  A   (2.28)  i 0 M  0  i 0 0 0 Tìm ma trận suy giảm nhƣ sau: i   A    2  A i   X  iM S   2   A    i i   Tính định thức X: 50 P = detX =  A  A2  2   2  Tính ma trận suy giảm theo biểu thức:     vc  C (0)  C (0) biểu thức tính C(0): C (0)  kviM  0  M  kvX 1 M  1  kv kv * X *M  X M det X p Tìm X*:  X 11 X   X 21  X 31 * X 12 X 22 X 32 X 13  X 23  X 33  Xij phần bù đại số ma trận X Các phần bù có giá trị là: X11 = X21 = X22 = X13 = X23 = iA X31 = X32 = iA X12 = 2 X33 = A2 A2   2 Tính X*M: 51  X 11 X * M   X 21  X 31 X 12 X 22 X 32 X 13   i 0 iX11 - iX 12 X 23  0  i 0  iX 21 - iX 22 X 33  0 0 iX 31 - iX 32 0 0 0 Xij tính  A2   2 i (  )  i 0  2   kv * kv  A  A2   C (0)  X M  i(  )  i(  ) 0  p p 2 2   A A  i (i ) 0  i (i ) 4    kv   C (0)     p   X 11 X 11  X 12 X 12  X X  X X 21 21 22 21    X 11 X 31  X 32 X 21 Thay C(0) vào biểu thức X 11 X 21  X 12 X 22 X 21 X 21  X 22 X 22 X 31 X 21  X 32 X 22 0 0 0     vc  C (0)  C (0)  11 12    21 22 31 32  0  33  (2.29) Trong đó: 11   vc  kv  kv   iX11     X 12 X 21  X 11 X 11  p  p  kv  kv 12  i X 12     X 11 X 21  X 12 X 22  p  p  kv  kv 21  i X 21     X 22 X 21  X 21 X 11  p  p 22   vc  kv  kv  i X 22     X 21 X 21  X 22 X 22  p  p  kv  kv 31  i X 31     X 32 X 21  X 11 X 31  p  p 52  kv  kv 32  i X 32     X 31 X 21  X 32 X 22  p  p 33   vc Để tìm ma trận suy giảm  cần tìm α, β từ phƣơng trình đặc trƣng: với E ma trận đơn vị C (0)  E   kv i p X 11    kv C (0)  E   i X 21  p  kv  i X 31 p  kv X 12 p kv  i X 22   p kv  i X 32 p i           kv   kv   kv    i X 11   i X 22   ( )    X 21 X 12    p  p     p  kv   kv   kv    i X 11    i X 22       X 21 X 12    p   p   p  1  2      2ikv A   A  2 12 22 (1  arctg   arctg  ) 1 16   12 (12  22 )    A2  2 arctan 2ikvA2 A 2 2  kv4 A2        Vậy ta có: 53 1 2   i A  2 arctan 2ikv A    A  2 2 8 1   A(kv)  A    A    2    2ikv A      2   2    A     A    A   arctan     A  2   2 2       11   vc    1    A2    2   12      kvA2  A    A    2        2ikv A   arctan  A  2  1  (kv) A   A A    2    1   A  2 4     4 arctan 2ikvA2 A 2 2 2  2              A        2     (kvA)  A    A    2    11     A      22    1 2 21    i A  2 1  A(kv)  A    A    2   2ikv A    arctan  A  2  22   vc       i A  2 16        A      2    1 2   i A  2 1  A(kv)  A    A    2  2      2ikv A   arctan  A  2       2   A    2   2ikv A   A  2 arctan  A  2  31  32 1  (kv)  A    A   2          54  32  31   32 A2  2 4 arctan 2ikvA2 A2 2   1  (kv)  A    A   2  2     33   vc Thay ma trận -iMS =  iM  0 (2.29) vào phƣơng trình Bloch:  A    11  V1    d    V2     21 d      V3    i  31    12 A  22  i  32  ma trận  từ (2.28)  V (t )   iM  0   V (t ) i     V   i      V2      A  33   V3    ta có: (2.30) Sử dụng phép biến đổi ảnh Laplace ( f’(x) =a f(x) →zF(z)F(0)=aF(z)) ta có  A  ~     11 V ( z )  z 0  1~  1   0 z 0 V ( z )  0      21    2~        0 z  V ( z ) 0   i  31       A   z   11   21    i  31   12 A  22  i  32  12 A  22  z i  32 i   ~    V1 ( z )   i   ~    V2 ( z )    ~   A  33   V ( z )       i   1    i   0   A  33  z  0   (2.31) Tìm biểu thức phổ, tức tìm V1(z): 55 Đặt: A  11 , a2  12 b1  21 , b2  c1  i  31 , c2  i  32 a1  z  A  22  z i , a3   , b3  , c3  A  33  z i (2.32) Từ phƣơng trình (2.31) giải ta đƣợc biểu V1 ( z) : V1 ( z )  c3b2  b3c2 b3c1a2  b3 a1c2  c1a3b2  c3b1a2  a1c3b2  a3b1c2 (2.33) Vậy phổ cơng suất có biểu thức là: ~ I ( )  Re V1 ( z ) (2.34) z  i Sử dụng phần mềm MAPLE 13 vẽ đồ thị biểu thức (2.34) biểu diễn phụ thuộc phổ cơng suất có mặt va chạm Boltzmann – Lorentz có dạng nhƣ hình 2.1 Để vẽ đồ thị, ta chọn A = 1, giá trị Ω = 2; Ω = 4; Ω = 5; Ω = còn: γvc = 0; γvc = 0.5 lấy kv  10 S(ω) Có nhiễu γvc = 0.5 Và Ω = Có nhiễu γvc = 0.5 Và Ω = Khơng có nhiễu γvc = Và Ω = Có nhiễu γvc = 0.5 Và Ω = 56 Chúng ta có nhận xét rằng: trƣờng hợp khơng có nhiễu (γvc = 0), đồ thị hoàn toàn đối xứng qua trục tung, độ cao đỉnh trung tâm gấp lần độ cao hai đỉnh biên Điều hoàn toàn phù hợp với điều kiện phổ Molow Tuy nhiên có nhiễu, ảnh hƣởng nhiễu mà độ cao đỉnh trung tâm khơng cịn gấp lần độ cao đỉnh biên Ta có nhận xét quan trọng có nhiễu va chạm Boltzmann – Lorentz tính đối xứng đồ thị qua trục tung Vị trí đỉnh biên hai phía trục tung khác Bên phải vị trí đỉnh phụ trùng với giá trị tần số Rabi Trong lúc bên trái vị trí đỉnh phụ bị lệch 57 Trong chƣơng ta biết có nhiễu đồ thị khơng tính đối xứng S(ω) a=0 a=7 a=9 ω/A Hình 2.2 Ảnh hƣởng thăng giáng độ điều biên tần số tới phổ công suất thăng giáng lƣỡng cực 58 KẾT LUẬN CHUNG Trong trình nghiên cứu tƣơng tác trƣờng với hệ lƣợng tử, việc ý đến ảnh hƣởng thăng giáng (nhiễu) liên quan đến đại lƣợng đặc trƣng trƣờng kích thích hệ lƣợng tử cần thiết Vấn đề đặt cách để đƣa đƣợc ảnh hƣởng thăng giáng vào phƣơng trình quang học Bloch? Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số phƣơng pháp đƣa ảnh hƣởng thăng giáng vào phƣơng trình quang học sử dụng lý thuyết trình ngẫu nhiên Xem thăng giáng nhiễu xây dựng mơ hình hàm tƣơng quan cho loại nhiễu Ở sử dụng loại nhiễu telegraph tổng quát hoá nhiễu để phản ánh xác kết va chạm Cụ thể, nội dung luận văn đề cập giải đƣợc số vấn đề sau: 59 Trình bày cách tổng quan phƣơng trình Bloch quang học liên quan đến thay đổi theo thời gian thông số hệ lƣợng tử; Trên sở phƣơng trình Bloch quang học, có mặt nhiễu, thu đƣợc hệ phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên Lấy trung bình bình hệ đó, thu đƣợc phƣơng trình quang học Bloch hiệu dụng phƣơng trình có mặt ma trận chứa thông số nhiễu đƣợc gọi ma trận suy giảm ngẫu nhiên; Sử dụng phép chuyển ảnh Laplace, giải đƣợc hệ phƣơng trình chứa thơng số hệ lƣợng tử tìm đƣợc phổ huỳnh quang cơng hƣởng có nhiễu telegraph; Trên sở mẫu va chạm Boltzmann – Lorentz, luận văn trình bày sở để xem thăng giáng va chạm gây nên đƣợc xem nhiễu telegraph thông thƣờng; Để sát với thực tế xét thay đổi hƣớng vận tốc sau va chạm, tổng quát hoá mẫu va chạm Boltzmann – Lorentz thành telegraph suy rộng, tức việc xem ảnh hƣởng va chạm nhƣ nhiễu telegraph thông thƣờng lấy trung bình chúng, phải lấy trung bình theo góc khối Trên sở nhiễu telegraph suy rộng này, chúng tơi tiến hành tính phổ huỳnh quang thu đƣợc đồ thị phổ 60 So sánh với phổ trƣờng hợp xem thăng giáng va chạm sinh nhiễu telegraph thông thƣờng, nhận thấy đồ thị phổ tính đối xứng, nhƣ vị trí đỉnh phụ có thay đổi Sở dĩ nhƣ va chạm, tần số Rabi có bổ sung thành phần làm cho đỉnh phụ bị dịch chuyển 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R G De Voe and R G Brewer, Phys Rev Lett, 50, p.1269 (1985) [2] K Wo’dkiewicz and N H Cong, Spectral Line Shaps, Vol.5, Poland p.527, (1989) [3] N H Cong and L V Vinh, Acta Physica Polonica A, No.5, Vol.99, p.545 (2001) [4] N H Cong, T D Thanh and T N Hoàng, International Symposium on Cold Atoms and Laser Spectroscopy, Abstracts, Vinh, October 22-27, p 46 (2009) [5] S Dattagupta and L A Turski, Phys Rev A 32, p 1439, (1985) [6] Phạm Thị Hà, Luận văn cao học, Đại học Vinh, 2009 [7] G Rautian and I Sobelman, Usp Fiz Nauk, 90, 209 (1966) 62 ... trƣờng hợp khơng có nhiễu va chạm Boltzmann ? ?Lorentz 2.5 Phổ huỳnh quang cộng hƣởng có mặt va chạm Lorentz - Boltzmann Chúng ta biết cƣờng độ phân bố phổ huỳnh quang có quan hệ mật thiết với Cƣờng... độ lệch tần 1.4 quang 17 Phổ cơng suất huỳnh quang có mặt nhiễu độ lệch tần Chƣơng II: 21 Phổ huỳnh quang cộng hƣởng có va chạm Lorenzt - Boltzmann 25 2.1 Mẫu thống kê va chạm Lorenzt - Boltzmann... dụng phổ huỳnh quang cộng hƣởng Chƣơng II trình bày phổ huỳnh quang cộng hƣơng có va chạm Boltzmann - Lorenzt suy rộng Ở chƣơng chúng tơi đề cập đến tổng qt hố mẫu Boltzmann – Lorentz va chạm, từ