Tạo ra trạng thái suy biến bằng hai laser không cộng hưởng theo cơ chế stark động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ     KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TẠO RA TRẠNG THÁI SUY BIẾN BẰNG HAI LASER KHÔNG CỘNG HƯỞNG THEO CƠ CHẾ STARK ĐỘNG Sinh viên thực hiện: Hồ Quang Huy MSSV: 44.01.102.064 Người hướng dẫn: PGS.TS Hirobumi Mineo – Trường Đại học Văn Lang PGS.TS Phan Thi Ngoc Loan –Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, 04-2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ   KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP   SUY BIẾN TẠO RA TRẠNG THÁI BẰNG HAI LASER KHÔNG CỘNG HƯỞNG THEO CƠ CHẾ STARK ĐỘNG Sinh viên thực hiện: Hồ Quang Huy MSSV: 44.01.102.064 Người hướng dẫn: PGS.TS Hirobumi Mineo – Trường Đại học Văn Lang PGS.TS Phan Thi Ngoc Loan –Trường Đại học Sư thành phố Hồ Chí Minh phạm Người hướng dẫn Chủ tịch hội đồng (ký xác nhận ghi rõ họ tên) (ký xác nhận ghi rõ họ tên) Hirobumi Mineo Phan Thị Ngọc Loan Hoàng Đỗ Ngọc Trầm THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG NĂM 2022 DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT stt Ký hiệu chữ viết tắt FETs OLEDs Chữ viết đầy đủ Ý nghĩa tiếng việt field-effect transistors Transistor hiệu ứng trường Organic light-emitting diodes Diode phát quang hữu UV Ultra-violet Cực tím DSI dynamic Stark induced (có nguồn gốc) từ hiệu ứng Stark động DSIDES dynamic Stark induceddegenerate electronic state Trạng thái điện tử suy biến tạo hiệu ứng Stark động DSIDVS dynamic Stark induceddegenerate vibronic state Trạng thái dao động suy biến tạo hiệu ứng Stark động DES degenerate electronic state Trạng thái điện tử suy biến DVS degenerate vibronic state Trạng thái dao động suy biến PES potential electronic surface Mặt 10 DHO displaced harmonic oscillator Dao động tử điều hòa lệch 11 DVR discrete variable representation Biểu diễn biến số rời rạc 12 BO Born-Oppenheimer Born-Oppenheimer 13 RWA Rotation wave approximation Xấp xỉ sóng quay DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 2.1 Trạng thái suy biến tạo cách dùng hai laser phân cực tuyến tính kích thích cặp trạng thái dao động thấp hai trạng thái điện tử 10 Hình 2.2 Sơ đồ lượng mơ tả hai trường hợp hiệu ứng Stark động 12 Hình 2.3 Sơ đồ dịch chuyển lượng hai trạng thái điện tử tương tác với laser tăng lượng a (Δ10) 13 Hình 2.4 Sự hình thành trạng thái dao động suy biến hiệu ứng Stark động (DSIDVS) Hai laser cân không cộng hưởng tương tác độc lập với trạng thái dao động hai trạng thái điện kích thích α β DSIDVS tạo từ hai trạng thái dao động có lượng thấp α β Laser a làm tăng lượng trạng thái (α, ν=0) (shift up), laser b giảm lượng trạng thái (β, ν=0) (shift down) [31] 14 Hình 2.5 Sự hình thành DVS dùng hai laser cân không cộng hưởng làm tăng lượng 18 Hình 2.6 Ba đường đoạn nhiệt kiểu dao động đơn mơ hình DHO tương ứng với ba trạng thái điện tử 20 Hình 2.6 Laser tương tác với đoạn nhiệt trạng thái kích thích α 21 Hình 3.1 Đường đoạn nhiệt trạng thái điện tử: – g, kích thích S3 S4 phân tử tự (đường liền nét) Và điện trường hai laser (các đường đứt nét) 28 Hình 3.2 Mật độ trạng thái trạng thái dao động trạng thái điện tử bản-g, trạng thái điện tử kích thích S3 S4 30 Hình 3.3 Moment động lượng kết hợp π-electron thay đổi 100 fs 32 Hình 3.4 Moment động lượng kết hợp π-electron thay đổi 300 fs 33 Hình A 38 DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng Các thông số phân tử toluene 24 Bảng Năng lượng trạng thái dao động bị dịch chuyển hiệu ứng Stark 25 Bảng Năng lượng dao động BO 27 Bảng Các hệ số aj đóng góp hệ số khai triển cij(t) (2.8-2.10) có phụ thuộc vào độ lệch vị trí cân đường cong 29 Những đại lượng vector kí hiệu cách in đậm MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Hàm sóng dao động hệ phân tử khuôn khổ xấp xỉ BO 1.2 Định luật Franck-Condon - Mơ hình DHO CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN 10 2.1 Hiệu ứng Stark động 10 2.2 Cơ chế tạo DES DVS 12 2.3 Phương pháp tính tốn nghiên cứu 14 2.3.1 Phương trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian hệ phân tử hai laser không cộng hưởng 14 2.3.2 Moment động lượng kết hợp π-electron 19 2.3.3 Thế đoạn nhiệt hai laser không cộng hưởng tăng lượng 19 CHƯƠNG 3.1 KẾT QUẢ TÍNH TỐN 23 Các thông số phân tử toluene 23 3.2 Kết tạo DSI cách sử dụng hai laser tăng lượng không cộng hưởng phân cực tuyến tính 24 3.3 Thế đoạn nhiệt hai laser tăng lượng khơng cộng hưởng 26 3.4 Kết tính toán mật độ trạng thái moment động lượng kết hợp πelectron.29 3.4.1 Mật độ trạng thái 29 3.4.2 Moment động lượng kết hợp π-electron 32 KẾT LUẬN 34 PHỤ LỤC A PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 35 PHỤ LỤC B PHƯƠNG PHÁP NEWTON-RAPHASON GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TẦN SỐ RABI VÀ ĐIỀU KIỆN DSIDVS 39 PHỤ LỤC C THẾ NĂNG ĐOẠN NHIỆT TRONG ĐIỆN TRƯỜNG CỦA HAI LASER KHÔNG CỘNG HƯỞNG TĂNG NĂNG LƯỢNG 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 LỜI MỞ ĐẦU Laser đời vào năm 1960 [1], kể từ lĩnh vực khoa học công nghệ liên quan đến laser bắt đầu phát triển Ngày nay, laser xem công cụ đắc lực để nghiên cứu tính chất động lực học nguyên tử hệ phân tử [2-15], cụ thể, laser dùng nghiên cứu trình nội phân tử siêu nhanh diễn thang thời gian vào cỡ hàng fem-to giây, chẳng hạn trình hình thành đứt gãy liên kết hóa học phản ứng hóa học,…[8] Trong năm gần đây, hướng ứng dụng laser rộng mở sang nhiều lĩnh vực khác, đặc biêt laser có vai trị việc chế tạo linh kiện điện tử từ phân tử hữu [2-4] cụ thể sử dụng phân tử thuộc nhóm hydro-cacbon thơm, hướng ứng dụng tạo ưu điểm so với linh kiện điện tử bán dẫn (tăng độ nhạy thiết bị) Với hướng ứng dụng vừa nêu trên, kể đến cơng trình tiêu biểu sau: Liang-Yan Hsu Herschel Rabitz công bố công tắc chuyển mạch quang điện laser đóng vai trị hiệu ứng ion hóa xuyên hầm gây photon - nguyên lý hoạt động thiết bị [16]; tiếp theo, cơng trình đề cập tài liệu [2] tác giả giới thiệu linh kiện điện tử hữu chế tạo từ nhóm phân tử acenes có nêu như: transistor hiệu ứng trường (field-effect transistors - FETs) diode phát quang hữu (organic light-emitting diodes - OLEDs) Các công trình nghiên cứu rằng, dùng trường ngồi để điều khiển dịng electron phân tử hữu cấu tạo thiết bị điện tử nói [16] Do đó, nghiên cứu lý thuyết tương tác laser phân cực phân tử hữu cơ, cụ thể phân tử vòng thơm quan trọng Chúng ta hiểu laser phân cực tạo điều khiển chuyển động π-electron mạch vịng phân tử này, tạo dịng điện từ trường với cường độ đáng kể [13-29] Dòng điện tạo mạch vòng phân tử nên gọi dịng vịng Việc tạo dịng vịng loại phân tử hữu thơm có khác riêng Đối với loại phân tử có bậc đối xứng cao, chẳng hạn Ma-gie porphyrin [20-22], benzene 2,5-dichloro[n] (3,6) pyrazinophane [24-27], chuyển động quay π-electron mạch vịng tạo cách sử dụng xung laser cực tím (Ultra-violet - UV) phân cực tròn [14] Dòng điện tạo dịng chiều có độ lớn khơng đổi Trong đó, chiều dịng điện chảy chiều (hay ngược chiều kim đồng hồ) phụ thuộc vào trạng thái phân cực thuận (hay nghịch) xung laser đặt vào phân tử Dòng vòng đề cập trạng thái suy biến cấu trúc phân tử thơm bị kích thích xung laser UV [19] Đối với loại phân tử có mức đối xứng thấp, cấu trúc chúng khơng có trạng thái điện tử suy biến Tuy nhiên, tạo dòng vòng π-electron cách dùng xung laser phân cực tuyến tính để kích thích cặp trạng thái điện tử có lượng gần - gọi cặp giả suy biến (pair of quasi-degenerate state) Dịng vịng hình thành theo cách thức kích thích gọi dòng kết hợp (coherent current) [19] Nhóm tác giả H Mineo tạo dòng vòng tạo cách sử dụng xung UV cực ngắn có phân cực tuyến tính kích thích phân tử (P)-2,2’-biphenol, phân tử có đối xứng thấp với hai vòng benzen liên kết qua cầu nối C-C Kết tính tốn điều kiện giả định hạt nhân đứng yên, cho thấy quy luật dòng vòng kết hợp tạo biến đổi dao động theo thời gian Sau đó, tác giả mở rộng xem xét chuyển động hạt nhân, cụ thể dao động hạt nhân trường tổng hợp từ tương tác electron với nhau, hạt nhân với nhóm electron,và hạt nhân với Tác giả sử dụng gần đoạn nhiệt - hàm sóng toàn hệ phân tử tách thành hai phần riêng biệt, hạt nhân nhóm electron Kết tính tốn chứng minh dao động dịng vòng bị biến điệu tác động từ tượng giao thoa vài cặp trạng thái dao động kết hợp [19] Ngồi phương pháp tạo dịng kết hợp xung laser phân cực tuyến tính để kích thích cặp giả suy biến, nhóm tác giả H Mineo đề xuất sử dụng cặp laser UV cân khơng cộng hưởng có phân cực tuyến tính [14], phương pháp hữu hiệu sử dụng rộng rãi đối nhóm phân tử thơm khơng có trạng thái suy biến Ở đây, chế vật lý dựa hiệu ứng Stark động (Dynamic Stark) để tạo suy biến cho cặp trạng thái điện tử kích thích (Dynamic Stark induced-degenerate electronic states DSIDES) Trong đó, chuyển động quay π-electron vịng phân tử thơm gọi chuyển động quay kết hợp hiệu ứng Stark động (Dynamic Stark induced - DSI) Công trình cho thấy kết moment động lượng kết hợp π-electron từ trường tương ứng, dịng kết hợp π-electron dịng chiều, moment động lượng xuất dạng chuỗi xung theo thời gian Tuy nhiên, tính tốn đạt điều kiện hạt nhân giả định đứng yên Sau đó, nhóm tác giả phát triển lý thuyết có tính đến ảnh hưởng dao động hạt nhân đến chuyển động quay kết hợp DSI π-electron xấp sĩ đoạn nhiệt, cụ thể xấp sĩ Born-Oppenheimer (BO) [31] Ở đây, chế mà suy biến xảy hai mức dao động thấp hai trạng thái điện tử nhờ cặp laser tăng giảm lượng (Dynamic Stark induced-degenerate vibronic state - DSIDVS) Tuy nhiên, công trình [31] tính tốn thực bốn trạng thái bao gồm mức dao động thấp trạng thái điện tử bản, hai mức dao động thấp trạng thái điện tử lượng thấp, mức dao động động thấp trạng thái điện tử có lượng cao Một vấn đề phát triển từ chế vừa mô tả trên, trường hợp laser giảm lượng cộng hưởng với mức dao động kích thích trạng thái điện tử có mức lượng cao, điều làm biến dạng đáng kể đường cong đoạn nhiệt trạng thái điện tử Như vậy, để khắc phục vấn đề này, dùng hai laser tăng lượng để tránh tượng cộng hưởng không mong muốn xảy Từ vấn đề vừa trình bày, mục tiêu nghiên cứu luận văn nghiên cứu hành vi theo thời gian dòng kết hợp DSI π-electron sử dụng hai laser tăng lượng Trong trường hợp này, hai laser làm tăng lượng dùng để nâng hai mức dao động thấp hai trạng thái điện tử kích thích phép theo chế Stark động, cho chúng có lượng (trở nên suy biến điện trường hai laser) Bên cạnh đó, kiểm tra ảnh hưởng laser dùng đường đoạn nhiệt hai trạng thái điện tử kích thích xét Trong nghiên cứu này, để tính đến dao động hạt nhân, hàm sóng hệ cịn gọi hàm sóng dao động, tách thành hai thành phần riêng biệt khuôn khổ xấp xỉ BO Với thành phần mơ tả hàm sóng hệ electron, phần cịn lại mơ tả cho hàm sóng hạt nhân Hàm sóng tổng hệ viết dạng tổ hợp tuyến tính hàm sóng dao động Trong đó, trạng thái dao động trạng thái điện tử tính đến hàm sóng tổng tn theo định luật Frank-Condon Bên cạnh đó, thơng số phân tử toluene tính từ chương trình Gaussian09 MOLPRO chemistry code Luận văn trình bày với ba chương Trong đó, CHƯƠNG mơ tả tóm tắt hàm sóng dao động xấp xỉ BO, định luật Frank-Codon cho phép chuyển dời xảy trạng thái dao động hai trạng thái điện tử khác Nội dung CHƯƠNG đề cập phương pháp sử dụng để tạo trạng thái điện tử suy biến (degenerate electronic state - DES) trạng thái dao động suy biến (degenerate vibronic state - DVS) cơng trình [14] [31] Cuối cùng, kết nghiên cứu trình bày CHƯƠNG 3, bao gồm giá trị lượng trạng thái dao động bị dịch chuyển hiệu ứng Stark động; thay đổi moment động lượng kết hợp π-electron theo thời gian; bên cạnh chúng tơi thảo luận tình trạng hai đường cong đoạn nhiệt điện trường hai laser tăng lượng dùng nghiên cứu CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Hàm sóng dao động hệ phân tử khn khổ xấp xỉ BO Phân tử thực tế tồn cấu hình ổn định, hạt nhân dao động quanh vị trí cân cấu hình Chuyển động hạt nhân không linh động electron Nên số trường hợp gần đúng, giả thuyết hạt nhân đứng yên cấu hình cân xem xét hệ electron Tuy nhiên, chuyển động hạt nhân củng gây ảnh hưởng cần xem xét chuyển động vài loại electron hệ phân tử Vì vậy, khảo sát chặt chẽ hơn, cần xét tổng thể phân tử gồm có nhóm electron nhóm hạt nhân Do đó, Hamiltonian hệ phân tử tự viết sau, ̂=𝐾 ̂𝑁 + 𝐾 ̂𝑒 + 𝑈 ̂𝑒−𝑁 + 𝑈 ̂𝑒−𝑒 + 𝑈 ̂𝑁−𝑁 𝐻 (1.1) ̂𝑁 , 𝐾 ̂𝑒 tương ứng với toán tử tổng động hạt nhân electron Trong 𝐾 Dạng cụ thể viết sau: ̂𝑁 = ∑ 𝐾 𝐼 𝛻 , 2𝑀𝐼 𝐼 (1.2) (1.2), 𝑀𝐼 khối lượng hạt nhân thứ I ̂𝑒 = ∑ 𝐾 𝑖 𝛻 2𝑚𝑒 𝑖 (1.3) ̂𝑒−𝑁 ; 𝑈 ̂𝑒−𝑒 𝑈 ̂𝑁−𝑁 tổng tương tác Coulomb electron với hạt 𝑈 nhân, electron với nhau, hạt nhân với Cụ thể là, ̂𝑒−𝑁 = − 𝑈 𝑒2 𝑍𝐼 ∑∑ , 4𝜋𝜀0 𝐼 |𝒓𝒊 − 𝑹𝑰 | (1.4) 𝑖 ̂𝑒−𝑒 = 𝑈 𝑒2 ∑∑ , 4𝜋𝜀0 𝑗 |𝒓𝒊 − 𝒓𝒋 | (1.5) 𝑍𝐼 𝑍𝐽 𝑒2 ∑∑ , 4𝜋𝜀0 𝐽 |𝑹𝑰 − 𝑹𝒋 | (1.6) 𝑖 ̂𝑁−𝑁 = 𝑈 𝐼 với 𝒓𝒊 𝑹𝑰 tương ứng vector xác định vị trí electron thứ i hạt nhân thứ I hệ tọa độ Descartes Trên đồ thị a, mật độ trạng thái dao động thấp (v=0) trạng thái điện tử trạng thái điện tử S3 dao động nhanh theo thời gian, trạng thái dao động thấp mức điện tử S4 mật độ xuất xung ngắn Bên cạnh đó, mật độ trạng thái dao động cao (v=1) Điều lý giải sau, đoạn nhiệt không lệch mơ hình DHO ( √ω1 q ̅̅̅1 = √ω2 ̅̅̅ q2 = 0.0 ), giá trị tích phân chập Frank-Condon tính theo phương trình (1.27) trạng thái dao động mức cao (v>0) Vì theo định luật Franck-Condon, trạng thái dao động mức cao khơng bị kích thích laser Trên đồ thị b, xuất biến điệu biên độ rõ rệt dao động mật độ trạng thái dao động thấp hai trạng thái điện tử vừa nêu Trong mật độ trạng thái dao động thấp mức điện tử S3 thể dạng xung ngắn bị ảnh hưởng Kết củng cho thấy, trạng thái dao động mức cao (v=1) bị kích thích Tuy nhiên, kích thích diễn mạnh trạng thái điện tử S3, yếu trạng thái điện tử S4 Sự thay đổi độ cao xung mật độ trạng thái dao động thấp mức điện tử S3 hai đường đoạn nhiệt hai trạng thái điện tử kích thích lệch (√ω1 q ̅̅̅1 = 0.25, √ω2 ̅̅̅ q2 = 1.0) Như đồ thị c, độ cao xung giảm so với hai trường hợp trước Biến điện biên độ xảy mật độ hai trạng thái dao động vừa nêu Trong đó, trạng thái dao động mức cao (v=1) tăng so với trường hợp 31 3.4.2 Moment động lượng kết hợp π-electron Trong phần này, moment động lượng kết hợp thu từ kết giải số phương trình Schrӧdinger phụ thuộc theo thời gian (2.7) thể đường liền nét màu đen, đồng thời moment động lượng kết hợp từ kết tính tốn giải tích vẽ đường đứt nét màu đỏ Hình 3.3 Moment động lượng kết hợp π-electron thay đổi 100 fs Các đồ thị mô tả thay đổi moment động lượng kết hợp cho thấy, đại lượng xuất dạng beat Dựa chuỗi beat thu 100 fs, điều 𝜋 kiện pha ban đầu hai laser chọn với giá trị ∆𝜉 = 𝜉𝑏 − 𝜉𝑎 = , phần lớn thời gian giá trị moment động lượng âm, điều cho thấy dòng DSI chảy theo chiều mạch vịng toluene 32 Hình 3.4 Moment động lượng kết hợp π-electron thay đổi 300 fs Khi khảo sát hành vi moment động lượng kết hợp thời gian dài 300fs, ta nhận thấy dãy beat moment động lượng có xuất nút thắt dần theo thời gian tính đến ảnh hưởng dao động hạt nhân, đặc biệt nút thắt dãy beat rõ trường hợp hai đoạn nhiệt hai trạng thái điện tử kích thích có độ lệch tương đối so với ( √ω1 ̅̅̅ q1 = 0.25, √ω2 ̅̅̅ q2 = 1.0) Nguyên nhân tượng bắt 12 ) 12 ) nguồn từ giá trị tích phân chập Franck-Condon 𝐼11,20 (𝛿𝑚 𝐼10,21 (𝛿𝑚 có giá trị khác khơng, có đóng góp vào moment động lượng kết hợp Như vậy, đoạn nhiệt hai trạng điện tử kích thích bị lệch so với nhau, chuyển dời điện tử xảy từ trạng thái dao động (v=0) thuộc trạng điện tử kích thích sang trạng thái dao động kích thích thứ (v=1) thuộc trạng thái điện tử kích thích tuận theo định luật Franck-Condon Như kết hợp hai mức dao động hai trạng thái điện tử kích 33 thích chọn nguồn gốc xuất nút thắt dãy beat moment động lượng kết hợp KẾT LUẬN Như vậy, với đề xuất sử dụng hai laser tăng lượng khơng cộng hưởng có phân cực tuyến tính để tạo DVS phân tử toulene, nhằm tránh cộng hưởng không mong muốn laser giảm lượng với trạng thái dao động mức cao trạng thái điện tử kích thích lượng cao Chúng tơi thu kết sau: Trạng thái suy biến dao động (DVS) tạo hai trạng thái dao động thấp từ hai trạng thái điện tử kích thích chọn Khi tương tác với hai laser, trạng thái dao động bị dịch chuyển lên theo hiệu ứng Stark động dự đốn Hình (2.1) Bên cạnh đó, laser tăng lượng không gây biến dạng đường cong đoạn nhiệt trạng thái điện tử kích thích xem xét nghiên cứu, mà cong bị dịch chuyển lên (shift up) Khi so sánh lượng trạng 𝐵𝑂 thái dao động BO (𝜀𝑘𝑣 ) tìm từ đoạn nhiệt bị nâng với lượng mức dao động từ đoạn nhiệt ban đầu (𝜀𝑘𝑣 ), nhận thấy mức lượng dao động BO lớn mức lượng dao động ban đầu tương ứng, cụ thể 𝐵𝑂 𝜀𝑘𝑣 > 𝜀𝑘𝑣 Như vậy, lượng trạng thái dao động củng bị dịch chuyển lên theo đoạn nhiệt Moment động lượng kết hợp π-electron xuất dạng dãy beat lượng tử theo thời gian, cho thấy dòng DSI gần dòng chiều mạch vịng toluene Từ kết tính tốn cho thấy, dãy beat lượng tử moment động lượng bị thắc lại số thời điểm, nghĩa thời điểm này, độ lớn đỉnh beat thấp hẳn so với đỉnh beat khác Các điểm thắt dãy beat xuất rõ đoạn nhiệt hai trạng thái điện tử kích thích phép có độ lệch tương đối so với Như đề cập, tính tốn thu nghiên cứu luận văn thực khuôn khổ xấp sĩ đoạn nhiệt, cụ thể khuôn khổ xấp xỉ BO Do đó, mục tiêu nghiên cứu tính tốn đến ảnh hưởng cặp phi đoạn nhiệt (non-adiabatic coupling) lên chuyển động kết hợp π-electron sử dụng hai laser tăng lượng để kích thích trạng thái dao động hệ phân tử hiệu ứng Stark động 34 PHỤ LỤC A PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Để giải hệ phương trình vi phân (2.26), chúng tơi áp dụng phương pháp biến đổi Laplace (Laplace tranform), cụ thể sau 𝐿[𝑒 𝛼𝑡 𝑐(𝑡)] = 𝑐̅(𝑝 − 𝛼) ; 𝐿[𝑐̇ ] = 𝑝𝑐̅(𝑝) − 𝑐(0) Từ chúng tơi thu hệ phương trình đại số miền tần số p: 𝑖ℏ[𝑝𝑐̅00 (𝑝) − 𝑐00 (0)] = 𝐼00,10 𝑉1 𝑒 −𝑖𝜉𝑎 𝑐̅10 (𝑝 − 𝑖∆10 ) + 𝐼00,11 𝑉1 𝑒 −𝑖𝜁𝜉𝑎 𝑐̅11 (𝑝 − 𝑖∆11 ) + 𝐼00,20 𝑉2 𝑒 −𝑖𝜉𝑏 𝑐̅20 (𝑝 − 𝑖∆20 ) + 𝐼00,21 𝑉2 𝑒 −𝑖𝜉𝑏 𝑐̅21 (𝑝 − 𝑖∆21 ), (A1a) 𝑖ℏ[𝑝𝑐̅10 (𝑝) − 𝑐10 (0)] = 𝐼10,00 𝑉1 𝑒 𝑖𝜉𝑎 𝑐̅00 (𝑝 + 𝑖∆10 ), (A1b) 𝑖ℏ[𝑝𝑐̅11 (𝑝) + 𝑐11 (0)] = 𝐼11,00 𝑉1 𝑒 𝑖𝜉𝑎 𝑐̅00 (𝑝 + 𝑖∆11 ), (A1c) 𝑖ℏ[𝑝𝑐̅20 (𝑝) + 𝑐20 (0)] = 𝐼20,00 𝑉2 𝑒 𝑖𝜉𝑏 𝑐̅00 (𝑝 + 𝑖∆20 ), (A1d) 𝑖ℏ[𝑝𝑐̅21 (𝑝) + 𝑐21 (0)] = 𝐼21,00 𝑉2 𝑒 𝑖𝜉𝑏 𝑐̅00 (𝑝 + 𝑖∆21 ) (A1e) Các phương trình (A1b), (A1c), (A1d) (A1e) vào phương trình (A1a) để chỗ cho hệ số 𝑐̅1𝜈 𝑐̅2𝜈′ , từ rút 𝑐̅00 (𝑝) biểu diễn sau 𝑐̅00 (𝑝) = 𝑐00 (0)(𝑝 − 𝑖∆10 )(𝑝 − 𝑖∆11 )(𝑝 − 𝑖∆20 )(𝑝 − 𝑖∆21 ) + 𝐹 , 𝑑(𝑝) (A2) đó, mấu số có dạng cụ thể 𝑑 (𝑝) = 𝑝(𝑝 − 𝑖∆10 )(𝑝 − 𝑖∆11 )(𝑝 − 𝑖∆20 )(𝑝 − 𝑖∆21 ) 𝑉1 2 + ( ) |𝐼10,00 | (𝑝 − 𝑖∆11 )(𝑝 − 𝑖∆20 )(𝑝 − 𝑖∆21 ) ℏ 𝑉1 2 + ( ) |𝐼11,00 | (𝑝 − 𝑖∆10 )(𝑝 − 𝑖∆20 )(𝑝 − 𝑖∆21 ) ℏ 𝑉2 2 + ( ) |𝐼20,00 | (𝑝 − 𝑖∆10 )(𝑝 − 𝑖∆11 )(𝑝 − 𝑖∆21 ) ℏ 𝑉2 2 + ( ) |𝐼21,00 | (𝑝 − 𝑖∆10 )(𝑝 − 𝑖∆11 )(𝑝 − 𝑖∆20 ), ℏ 35 (A3) số hạng F tử số có dạng 𝐹=( 𝑖𝑉1 𝑐10 (0) 𝑖𝑉1 𝑐11 (0) 𝐼00,10 𝑒 −𝑖𝜉𝑎 + 𝐼00,11 𝑒 −𝑖𝜉𝑎 ℏ 𝑝 − 𝑖∆10 ℏ 𝑝 − 𝑖∆11 𝑖𝑉2 𝑐20 (0) + 𝐼00,20 𝑒 −𝑖𝜉𝑏 ℏ 𝑝 − 𝑖∆20 𝑖𝑉2 𝑐21 (0) ) [(𝑝 − 𝑖∆10 )(𝑝 − 𝑖∆11 )(𝑝 − 𝑖∆20 )(𝑝 + 𝐼00,21 𝑒 −𝑖𝜉𝑏 ℏ 𝑝 − 𝑖∆21 − 𝑖∆21 )] (A4) đây, điều kiện ban đầu 𝑐00 (0) = 1; 𝑐10 (0) = 𝑐11 (0) = 𝑐20 (0) = 𝑐21 (0) = nên F=0 Mẫu số 𝑑 (𝑝) viết dạng 𝑑 (𝑝) = ∏4𝑘=0(𝑝 − 𝑖Ω𝑘 ) thông qua số thực Ω𝑘 (𝑘 = 0, … ,4), số thực gọi tần số Rabi Khi so sánh cách viết với đa thức vế phải phương trình (A3), sau đồng hệ số hai vế thu hệ phương trình sau Ω0 + Ω1 + Ω2 + Ω3 + Ω4 = ∆10 + ∆20 + ∆11 + ∆21 (A5a) Ω0 Ω1 + Ω0 Ω2 + Ω0 Ω3 + Ω0 Ω4 + Ω1 Ω2 + Ω1 Ω3 + Ω1 Ω4 + Ω2 Ω3 + Ω2 Ω4 + Ω3 Ω4 = (∆20 ∆21 + ∆10 ∆20 + ∆10 ∆21 + ∆11 ∆20 + ∆11 ∆21 + ∆10 ∆11 ) −𝐴−𝐵−𝐶−𝐷 (A5b) Ω0 Ω1 Ω2 + Ω0 Ω1 Ω3 + Ω0 Ω1 Ω4 + Ω0 Ω2 Ω3 + Ω0 Ω2 Ω4 + Ω0 Ω3 Ω4 + Ω1 Ω2 Ω3 + Ω1 Ω2 Ω4 + Ω1 Ω3 Ω4 + Ω2 Ω3 Ω4 = ∆20 ∆10 ∆21 + ∆11 ∆20 ∆21 + ∆10 ∆11 ∆20 + ∆10 ∆11 ∆21 − 𝐴(∆11 + ∆20 + ∆21 ) − 𝐵(∆10 + ∆20 + ∆21 ) − 𝐶 (∆10 + ∆11 + ∆21 ) − 𝐷 (∆10 + ∆11 + ∆20 ) (A5c) Ω0 Ω1 Ω2 Ω3 + Ω0 Ω1 Ω2 Ω4 + Ω0 Ω1 Ω3 Ω4 + Ω0 Ω2 Ω3 Ω4 + Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 = ∆10 ∆11 ∆20 ∆21 − 𝐴(∆20 ∆21 + ∆11 ∆20 + ∆11 ∆21 ) − 𝐵 (∆20 ∆21 + ∆10 ∆20 + ∆10 ∆21 ) − 𝐶 (∆11 ∆21 + ∆10 ∆11 + ∆10 ∆21 ) − 𝐷 (∆11 ∆20 + ∆10 ∆11 + ∆10 ∆20 ) (A5d) Ω0 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4 = −𝐴∆11 ∆20 ∆21 − 𝐵∆10 ∆20 ∆21 − 𝐶∆10 ∆11 ∆21 − 𝐷∆10 ∆11 ∆20 (A5e) 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 2 2 đó, 𝐴 = ( ) 𝐼10,00 ; 𝐵 = ( ) 𝐼11,00 ; 𝐶 = ( 2) 𝐼20,00 𝐷 = ( ) 𝐼21,00 ℏ ℏ ℏ 36 ℏ Tiếp theo, sử dụng cách viết mẫu số 𝑑 (𝑝) = ∏4𝑘=0(𝑝 − 𝑖Ω𝑘 ) theo tần số Rabi Bằng cách viết này, 𝑐̅00 (𝑝) phương trình (A2) biểu diễn sau 𝑐̅00 (𝑝) = (𝑝 − 𝑖∆10 )(𝑝 − 𝑖∆11 )(𝑝 − 𝑖∆20 )(𝑝 − 𝑖∆21 ) ∏4𝑘=0 𝑝 − 𝑖Ω𝑘 (A6) Đầu tiên, với cặp tần số Rabi Ωj Ωk, ta có cách viết sau 𝑖 𝑖 = + , (𝑝 − 𝑖Ω𝑗 )(𝑝 − 𝑖Ω𝑘 ) Ω𝑘 − Ω𝑗 𝑝 − 𝑖Ω𝑗 Ω𝑗 − Ω𝑘 𝑝 − 𝑖Ω𝑘 (A7) Bằng cách biểu diễn (A7), phân thức 1/d(p) viết dạng tổng sau 1 1 ] = = ×[ (𝑝 − 𝑖Ω3 )(𝑝 − 𝑖Ω4 ) 𝑑 (𝑝) ∏𝑘=0 𝑝 − 𝑖Ω𝑘 ∏𝑘=0 𝑝 − 𝑖Ω𝑘 𝑖 1 ] = ×[ (𝑝 − 𝑖Ω2 )(𝑝 − 𝑖Ω4 ) Ω3 − Ω4 ∏𝑘=0 𝑝 − 𝑖Ω𝑘 𝑖 1 ]=⋯ + ×[ (𝑝 − 𝑖Ω2 )(𝑝 − 𝑖Ω3 ) Ω4 − Ω3 ∏𝑘=0 𝑝 − 𝑖Ω𝑘 =∑ ∏4 Ω𝑗 𝑗=0 𝑘≠𝑗 (A8) − Ω𝑘 𝑝 − 𝑖Ω𝑗 Như 𝑐̅00 (𝑝) viết dạng tổng 𝑐̅00 (𝑝) = ∑ 𝑗=0 (𝑝 − 𝑖∆10 )(𝑝 − 𝑖∆11 )(𝑝 − 𝑖∆20 )(𝑝 − 𝑖∆21 ) , ∏4𝑘≠𝑗 Ω𝑗 − Ω𝑘 𝑝 − 𝑖Ω𝑗 (A9) đó, để thuận tiện cho tính tốn sau này, đặt hệ số sau 𝑎𝑗 = (Ω𝑗 − ∆10 )(Ω𝑗 − ∆11 )(Ω𝑗 − ∆20 )(Ω𝑗 − ∆21 ) , ∏4𝑘≠𝑗 Ω𝑗 − Ω𝑘 (A10) mà phương trình (A9) viết gọn lại sau 𝑐̅00 (𝑝) = ∑ 𝑗=0 𝑎𝑗 𝑝 − 𝑖Ω𝑗 37 (A11) Trong phép biến đổi Laplace ngược chuyển từ miền tần số phức sang miền thời gian thực, sử dụng công thức chuyển đổi 𝑐00 (𝑡 ) = 𝐿−1 [𝑐̅00 (𝑝)](𝑡 ), (A12) đây, vế phải phép biến đổi (A12) cho tích phân Bromwich cụ thể 𝛾+𝑖𝜔 𝑐00 (𝑡 ) = lim ∫ 𝑒 𝑝𝑡 𝑐̅00 (𝑝)𝑑𝑝 2𝜋𝑖 𝜔→∞ (A13) 𝛾−𝑖𝜔 Trong (A13), 𝑐̅00 (𝑝) có dạng cụ thể (A11), 𝛾+𝑖𝜔 𝑎𝑗 𝑒 𝑝𝑡 ( ) 𝑐00 𝑡 = ∑ lim ∫ 𝑑𝑝 2𝜋𝑖 𝜔→∞ 𝑝 − 𝑖Ω𝑗 𝑗=0 (A14) 𝛾−𝑖𝜔 Mỗi tích phân Bromwich tổng (A14) tính đường thẳng 𝑅𝑒𝑙(𝑝) = 𝛾 mặt phẳng phức, số thực 𝛾 chọn có giá trị lớn phần thực điểm bất thường cô lập hàm số lấy tích phân, trường hợp hàm lấy tích phân (A14) có điểm bất thường lập số ảo 𝑝0𝑘 = 𝑖Ω𝑘 (k=0, 1, 2, 3, 4) Theo định lý tích phân Cơ-si, ta có tích phân đường thẳng tương đương với tích phân lấy đường cong kín (C) bao quanh điểm bất thường lập 𝑝0𝑘 (như Hình A) Imag điểm kỳ dị 𝑝0𝑗 = 𝑖Ω𝑗 Rel (C) 38 Hình A Như vậy, tích phân (A14) viết sau 𝑎𝑗 𝑒 𝑝𝑡 𝑐00 (𝑡 ) = ∑ lim ∮ 𝑑𝑝 2𝜋𝑖 𝜔→∞ 𝑝 − 𝑖Ω𝑗 𝑗=0 (A15) (𝐶) Áp dụng định lý tích phân Cơ-si, với dạng sau ∮ 𝑓 (𝑝 ) 𝑑𝑝 = 2𝜋𝑖𝑓 (𝑧) 𝑝−𝑧 (A16) (𝐶) Như vậy, kết tích phân (A15) 𝑐00 (𝑡 ) = ∑ 𝑎𝑗 𝑒 𝑖Ω𝑗 𝑡 (A17) 𝑗=0 Từ phương trình vi phân thứ hai đến phương trình vi phân tứ năm hệ phương trình vi phân hệ số khai triển (2.7), dễ dàng lấy tích phân theo thời gian để thu hệ số khai triển tương ứng 𝑎𝑗 𝑉1 𝐼1𝑣,00 ∑ [1 − 𝑒 𝑖(Ω𝑗−∆1𝑣)𝑡 ] 𝑐1𝑣 (𝑡) = ℏ Ω𝑗 − ∆1𝑣 (A18) 𝑗=0 𝑎𝑗 𝑉2 𝐼2𝑢,00 −𝑖∆𝜉 ∑ [1 − 𝑒 𝑖(Ω𝑗−∆2𝑢)𝑡 ] 𝑐2𝑢 (𝑡 ) = 𝑒 ℏ Ω𝑗 − ∆2𝑢 (A19) 𝑗=0 PHỤ LỤC B PHƯƠNG PHÁP NEWTON-RAPHASON GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TẦN SỐ RABI VÀ ĐIỀU KIỆN DSIDVS Trong phần hỗ trợ tính tốn B, chúng tơi trình bày cụ thể cách thiết lập thuật tốn giải hệ phương trình chứa sáu ẩn số dựa thuật toán phương pháp NewtonRaphason Bước đầu tiên, từ hệ phương trình (A5) điều kiện DSIDVS (3.1), có sáu phương trình (tương ứng với sáu hàm số lập thành vector sáu chiều 𝒇 = (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓5 , 𝑓6 )) Ở đây, cần tìm năm tần số Rabi độ độ lệch hưởng Δ10 laser, chúng tạo thành vector biến số có sáu chiều sau 39 𝒙 = (Ω0 , Ω1 , Ω2 , Ω3 , Ω4 , ∆10 ) (B1) Chúng ta giá trị biến số đầu vào 𝒙𝟎 lựa chọn bất kỳ, giá trị biến số xác định theo công thức 𝒙𝒌+𝟏 = 𝒙𝒌 − [D𝒇(𝒙𝒌 )]−1 × 𝒇(𝒙𝒌 ), (B2) đó, 𝒙𝒌 = (Ω0𝑘 , Ω1𝑘 , Ω2𝑘 , Ω3𝑘 , Ω4𝑘 , ∆10𝑘 ) giá trị biến số thu bước thứ k Ở đây, D𝒇(𝒙𝒌 ) ma trận đạo hàm xác định sau 𝜕𝑓1 𝜕𝑥1 ⋮ 𝜕𝑓𝑖 D𝒇(𝒙𝒌 ) = 𝜕𝑥1 ⋮ 𝜕𝑓6 [𝜕𝑥1 … 𝜕𝑓1 … 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑓1 𝜕𝑥6 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑥𝑗 ⋮ , … 𝜕𝑓6 𝜕𝑥6 ] (B3) thành phần nằm hàng i cột j ma trận B3 tính gần cơng thức sau 𝜕𝑓𝑖 −𝑓 (𝑥 + 2∆𝑥𝑗 ) + 8𝑓𝑖 (𝑥𝑗 + ∆𝑥𝑗 ) − 8𝑓𝑖 (𝑥𝑗 − ∆𝑥𝑗 ) = [ 𝑖 𝑗 ] + 𝑂(∆𝑝4 ) 𝜕𝑥𝑗 12∆𝑥𝑗 +𝑓𝑖 (𝑥𝑗 − 2∆𝑥𝑗 ) (B4) Chúng ta thực lặp lại việc tìm vector biến số điều kiện sau thỏa mãn ‖𝒙𝒌+𝟏 − 𝒙𝒌 ‖ ≤ 𝛿 (B5) δ mức sai số cho phép kết PHỤ LỤC C THẾ NĂNG ĐOẠN NHIỆT TRONG ĐIỆN TRƯỜNG CỦA HAI LASER KHÔNG CỘNG HƯỞNG TĂNG NĂNG LƯỢNG Để xét tương tác hai laser tăng lượng không cộng hưởng đoạn nhiệt Chúng ta xem xét nhóm electron tương tác với trường laser vị trí tọa độ chuẩn cấu hình hạt nhân Ở Hamiltonian hệ trường viết sau ̂=𝐻 ̂𝑒 + 𝑉̂ 𝐻 (C1) 𝑖𝑓 𝑖 ≠ 𝑗 ̂𝑒 |Φ𝑗 ⟩ = { ⟨Φ𝑖 |𝐻 ̅𝑖 (𝑞) 𝑖𝑓 𝑖 = 𝑗 𝑈 𝑉̂ = −𝝁 ̂ 𝑭, (C2) 40 đây, thành phần ma trận lưỡng cực chuyển trạng thái tương tự nội dung mục 2.3.1 phần 2.3 CHƯƠNG Giá trị lưỡng cực chuyển dịch trạng thái điện tử tính xấp xỉ Condon, với giá trị lưỡng cực cấu hình cân phân tử Khi cấu hình hạt nhân tọa độ chuẩn q đặt trường ngồi Hàm sóng hệ điện tử phụ thuộc theo thời gian khai triển theo ba trạng thái điện tử đặc trưng ̂𝑒 , dạng cụ thể sau Hamiltonian điện tử tự 𝐻 |Φ(𝑞, 𝑡)⟩ = 𝑐0 (𝑞, 𝑡 )𝑒 − 𝑖U𝑔 (𝑞) 𝑡 ℏ |Φg (𝑞)⟩ + 𝑐2 (𝑞, 𝑡 )𝑒 − 𝑖U2 (𝑞) 𝑡 ℏ |Φ𝑆 + 𝑐1 (𝑞, 𝑡 )𝑒 − 𝑖U1 (𝑞) 𝑡 ℏ |ΦS (𝑞 )⟩ (C3) (𝑞)⟩, Ug(q), U1(q) U2(q) đoạn nhiệt tương ứng với trạng thái điện tử bản, kích thích S3 S4 Để giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian Chúng ta sử dụng dạng khai triển hàm sóng điện tử (C3) khn khổ RWA Như vậy, hệ phương trình vi phân sau thành lập 𝑖𝑐0̇ (𝑞, 𝑡 ) = 𝑐1 (𝑞, 𝑡 )𝑉1 𝑒 𝑖∆1(𝑞)𝑡−𝑖𝜉𝑎 + 𝑐2 (𝑞, 𝑡 )𝑉2 𝑒 𝑖∆2(𝑞)𝑡−𝑖𝜉𝑏 , 𝑖𝑐1̇ (𝑞, 𝑡 ) = 𝑐0 (𝑞, 𝑡 )𝑉1 𝑒 −𝑖∆1(𝑞)𝑡+𝑖𝜉𝑎 , (C4) 𝑖𝑐2̇ (𝑞, 𝑡 ) = 𝑐0 (𝑞, 𝑡 )𝑉2 𝑒 −𝑖∆2(𝑞)𝑡+𝑖𝜉𝑏 Trong đó, độ lệch hưởng phụ thuộc vào tọa độ mode chuẩn vị trí cấu hình hạt nhân ∆1 (𝑞) = −[𝑈1 (𝑞) − ℏ𝜔𝑎 ]; ∆2 (𝑞) = −[𝑈2 (𝑞) − ℏ𝜔𝑏 ] ; tương tác phân tử điện trường laser 𝑉1 = − 𝐹𝑎 𝒆𝒂 2ℏ ⟨Φ𝑆3 |𝝁 ̂|Φ𝑔 ⟩; 𝑉2 = − 𝐹𝑏 𝒆𝒃 2ℏ ⟨Φ𝑆4 |𝝁 ̂ |Φ𝑔 ⟩ Từ hệ phương trình vi phân (C4) sử dụng biến đổi Laplace để thành lập hệ phương trình đại số miền tần số p, dạng cụ thể 𝑝𝑐̅0 (𝑞, 𝑝) − 𝑐0 (𝑞, 0) = −𝑖𝑉1 𝑐̅1 (𝑞, 𝑝 − 𝑖∆1 (𝑞))𝑒 −𝑖𝜉𝑎 − 𝑖𝑉2 𝑐̅2 (𝑞, 𝑝 − 𝑖∆2 (𝑞))𝑒 −𝑖𝜉𝑏 (C5a) 𝑝𝑐̅1 (𝑞, 𝑝) − 𝑐1 (𝑞, 0) = −𝑖𝑉1 𝑐̅0 (𝑞, 𝑝 + 𝑖∆1 (𝑞))𝑒 𝑖𝜉𝑎 (C5b) 𝑝𝑐̅2 (𝑞, 𝑝) − 𝑐2 (𝑞, 0) = −𝑖𝑉2 𝑐̅0 (𝑞, 𝑝 + 𝑖∆2 (𝑞))𝑒 𝑖𝜉𝑏 (C5c) 41 Thế phương trình (C5b) (C5c) vào phương trình (C5a), 𝑐̅0 (𝑞, 𝑝) biểu diễn sau 𝑐̅0 (𝑞, 𝑝) = 𝑐0 (𝑞, 0)[𝑝 − 𝑖∆1 (𝑞)][𝑝 − 𝑖∆2 (𝑞)] , 𝐷 (𝑝 ) (C6) mẫu số phương trình (C6) có dạng 𝐷 (𝑝) = 𝑝[𝑝 − 𝑖∆1 (𝑞)][𝑝 − 𝑖∆2 (𝑞)] + (𝑉1 )2 [𝑝 − 𝑖∆2 (𝑞)] + (𝑉2 )2 [𝑝 − 𝑖∆1 (𝑞)] (C7) D(p) viết thơng qua tần số Rabi Ω0 (𝑞), Ω1 (𝑞) Ω2 (𝑞) theo dạng 𝐷 (𝑝) = (𝑝 − 𝑖Ω0 )(𝑝 − 𝑖Ω1 )(𝑝 − 𝑖Ω2 ) Đồng hệ số cách viết với đa thức vế phải phương trình (C7), thu hệ phương trình tần số Rabi Ω0 (𝑞) + Ω1 (𝑞) + Ω2 (𝑞) = ∆1 (𝑞) + ∆2 (𝑞), C8a Ω0 (𝑞)Ω1 (𝑞) + Ω1 (𝑞)Ω2 (𝑞) + Ω2 (𝑞)Ω0 (𝑞) = ∆1 (𝑞)∆2 (𝑞) − 𝑉12 − 𝑉22 , C8b Ω0 (𝑞)Ω1 (𝑞)Ω2 (𝑞) = −𝑉1 ∆2 (𝑞) − 𝑉22 ∆1 (𝑞) C8c Chúng ta sử dụng cơng thức nghiệm phương trình bậc ba để tìm tần số Rabi hệ (C8) Xét phương trình bậc ba có dạng sau 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0, (C9) Trước đưa công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc 3, cần xét hai điều kiện, hệ thức 𝜌 = 𝑏2 − 3𝑎, (C10) 𝜌 ≠ 0, xét hệ thức 𝑘= 9𝑎𝑏𝑐 − 2𝑏3 − 27𝑎2 𝑑 2√|𝜌|3 , (C11) 𝜌 > |𝑘 | ≤ 1, công thức cho ba nghiệm phân biệt viết sau arccos(𝑘) )−𝑏 Ω0(1 𝑜𝑟 2) = ; 3𝑎 arccos(𝑘) 2𝜋 arccos(𝑘) 2𝜋 2√𝜌 cos ( − ) − 𝑏 2√𝜌 cos ( + )−𝑏 3 ; 3𝑎 3𝑎 2√𝜌 cos ( 42 (C12) Với hệ phương trình (C8), hệ số phương trình bậc ba 𝑎=1 𝑏 = −∆1 (𝑞) − ∆2 (𝑞) , 𝑐 = ∆1 (𝑞)∆2 (𝑞) − 𝑉12 − 𝑉22 { 𝑑 = 𝑉12 ∆2 (𝑞) + 𝑉22 ∆1 (𝑞) từ ta tìm 𝜌 = [∆12 + ∆22 − ∆1 ∆2 ] + 3𝑉12 + 3𝑉22 , ρ>0 thỏa mãn, nhiên với điều kiện −1 ≤ 𝑘 ≤ 1, cần khảo sát tổng quát trường laser nghiên cứu Với biên độ laser dùng nghiên cứu 𝐹𝑎 = 5.0 [GV/m] 𝐹𝑏 = 2.5 [GV/m ], nhiên, độ lệch hưởng thay đổi theo tọa độ mode chuẩn cần khảo sát hàm số hai biến 𝑘 = 𝑓 (∆1 , ∆2 ) cách vẽ contours 3D Kết khảo sát cho thấy, điều kiện −1 ≤ 𝑘 ≤ đáp ứng vùng giá trị độ lệch hưởng dùng nghiên cứu Δ1