Đánh giá gradient cho phương trình parabolic phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN – TIN HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: ĐÁNH GIÁ GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Trọng Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thanh Long Mã số sinh viên: 44.01.101.087 Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2022 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG GIỚI THIỆU BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm trọng 1.2 Hàm cực đại Hardy-Littlewood 1.3 Miền Lipschitz 1.4 Điều kiện BMO 1.5 Nghiệm yếu 1.6 Kết CHƯƠNG ĐÁNH GIÁ TRONG VÀ ĐÁNH GIÁ BIÊN 2.1 Đánh giá 2.2 Đánh giá biên CHƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CHO GRADIENT CỦA NGHIỆM 13 3.1 Đánh giá good – 𝝀 13 3.2 Chứng minh Định lý 1.1 18 KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng (PDE) cơng cụ tốn học quan trọng sử dụng để mơ hình hóa nhiều lớp tốn khác thực tiễn Do đó, chủ đề trở thành đối tượng nghiên cứu toán học Việc nghiên cứu tính chất định tính định lượng nghiệm đối cơng cụ lí thuyết, cịn có ý nghĩa to lớn ứng dụng thực tiễn Trong đó, tính quy nghiệm tính chất định tính quan trọng PDE Lí thuyết Calderon-Zygmund giới thiệu Calderon Zygmund [1] để nghiên cứu tính khả tích cho gradient nghiệm phương trình Possion Lí thuyết giữ vai trị quan trọng việc nghiên cứu đánh giá quy cho phương trình đạo hàm riêng Nói khái qt, tốn quy Calderon-Zygmund cho phương trình đạo hàm riêng hiểu sau: Lấy u nghiệm phương trình đạo hàm riêng, tốn quy tìm điều kiện tốt miền xét hệ số để bao hàm thức sau với liệu phù hợp: ∇u ∈ X với X khơng gian khơng gian Lebesgue có trọng, không gian Morrey, không gian Lorentz, Orlicz, v.v Là lớp PDE phổ biến nhất, phương trình parabolic nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Tốn học ngồi nước Và đó, lí thuyết CalderonZygmund cho lớp phương trình Parabolic thu hút đạt nhiều kết thú vị Trong khóa luận này, chúng tơi chứng minh tính quy hai trọng cho phương trình parabolic tuyến tính có dạng { ut − div(A(x, t)∇u) = div(F), u = 0, ΩT , ∂p (ΩT ), với ΩT = Ω × (0, T) bị chặn, mở ℝN+1 , N ≥ Cụ thể hơn, chứng minh kết sau ‖∇u‖Lq (ΩT) ≤ C‖F‖Lq(ΩT) w v Trường hợp w = v, kết đưa [2] Nội dung cấu thành khóa luận chúng tơi với tên gọi Đánh giá gradient cho phương trình Parabolic phi tuyến Trang Cấu trúc khóa luận bao gồm phần mở đầu, giới thiệu toán số kiến thức chuẩn bị, hai chương chính, kết luận, tài liệu tham khảo Ngồi phần giới thiệu tốn trình bày Chương 1, kết chúng tơi trình bày Chương Chương với nội dụng tóm tắt sau: Chương trình bày đánh giá đánh giá biên Chương dành cho việc chứng minh định lí tính quy hai trọng Cuối cùng, để tiện theo dõi, chúng tơi lưu ý khóa luận này, ta kí hiệu Ec phần bù E 1E hàm đặc trưng E Tất số dương kí hiệu C Giá trị C thay đổi dòng từ dòng sang dòng khác Trang CHƯƠNG GIỚI THIỆU BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Xét phương trình parabolic tuyến tính dạng { ut − div(A(x, t)∇u) = div(F), u = 0, ΩT , ∂p (ΩT ), (1.1) với ΩT = Ω × (0, T) với Ω bị chặn, mở ℝN , N ≥ Ω miền Lipschitz với số Lipschitz nhỏ Ta kí hiệu ∂p (ΩT ) = (∂Ω × (0, T)) ∪ (Ω × {t = 0}) Ma trận hàm A: ℝN × ℝN → ℝN hàm đo thỏa điều kiện elliptic đều, tức là, Λ−1 |ξ|2 ≤ 〈A(x, t)ξ, ξ〉 ≤ Λ|ξ|2 (1.2) với ξ ∈ ℝN h.k.n (x, t) ∈ ℝN × ℝ, Λ số dương Từ ta kí hiệu T0 = diam(Ω) + T 1⁄2 , Q ρ (x, t) = Bρ (x) × (t − ρ2 , t) ̃ ρ (x, t) = Bρ (x) × (t − ρ2 ⁄2 , t + ρ2 ⁄2) với (x, t) ∈ ℝN+1 , ρ > Q Ta kí hiệu w(O) = ∫O w(x, t)dxdt cho tập đo O ⊂ ℝN+1 1.1 Hàm trọng Hàm dương w ∈ L1loc (ℝN+1 ) gọi hàm trọng Hàm trọng w gọi thuộc 𝐀p , ≤ p < ∞ thỏa [w ]𝐀 p −1 1 ∫ ∫ ≔ sup ( w(y, s)dyds) ( w(y, s)p−1 dyds) ̃ ρ (x, t)| Q̃ (x,t) ̃ ρ (x, t)| Q̃ (x,t) ̃ ρ (x,t) |Q |Q Q ρ ρ p−1 < ∞ p > 1, [w]𝐀1 ≔ sup ( ̃ ρ (x,t) Q ∫ w(y, s)dyds) ‖w −1 ‖L∞Q̃ρ(x,t) < ∞, ̃ ρ (x, t)| Q̃ (x,t) |Q ρ ̃ ρ (x, t) = Bρ (x) × (t − ρ2 ⁄2 , t + ρ2 ⁄2) ⊂ ℝN+1 Số [w]𝐀 gọi số 𝐀p w với Q p Hàm trọng w gọi thuộc 𝐀∞ có hai số dương C η cho η |E| w(E) ≤ C ( ) w(Q), |Q| Trang với Q = Q ρ (x, t) tập đo E Q Cặp số (C, η) gọi số 𝐀∞ w kí hiệu [w]𝐀∞ Ta biết lớp hợp tất 𝐀p với p ∈ (1, ∞) Hơn nữa, w ∈ 𝐀p với [w]𝐀p ≤ M tồn số ϵ0 = ϵ0 (N, p, M) số M0 = M0 (N, p, M) cho [w]𝐀p−ϵ0 ≤ M0 Nếu w hàm trọng thuộc 𝐀∞ E ⊂ ℝN+1 tập Borel, ≤ p < ∞, khơng gian có trọng p Lw (E) tập hàm g đo E cho p ‖g‖Lp (E) ≔ (∫ |g|p wdxdt) < ∞ w E 1.2 Hàm cực đại Hardy-Littlewood Ta kí hiệu ℳ hàm cực đại parabolic Hardy – Littlewood có tâm định nghĩa cho hàm khả tích địa phương f ℝN+1 |f(y, s)|dyds , ∀(x, t) ∈ ℝN+1 ∫ ̃ ( ) ̃ ρ (x,t) ρ>0 |Q ρ x, t | Q ℳ (f)(x, t) = sup Nếu q > ℳ bị chặn từ L1 (ℝN+1 ) vào L1,∞ (ℝN+1 ), có thêm giả thiết w ∈ 𝐀q ℳ q bị chặn từ Lw (ℝN+1 ) vào ̃ định nghĩa Toán tử cực đại parabolic Hardy – Littlewood khơng có tâm ℳ ∫ |f(y, s)|dyds , ∀(x, t) ∈ ℝN+1 ̃ ̃ ρ ∋(x,t) |Q ρ | Q ̃ Q ̃ (f)(x, t) = sup ℳ ρ ̃ (f ) ≤ ℳ (f ) ≤ ℳ ̃ (f ) Ta có bất đẳng thức sau Cℳ Cho hai hàm trọng w, σ Ta nói (w, σ) ∈ 𝐀M,q ′ ′ ∫ ℳ(σ1−q 1Q ) wdxdt ≤ C ∫ σ1−q dxdt < ∞, Q Q với hình lập phương Q ⊂ ℝN+1 Khi w = σ ta có (w, w) ∈ 𝐀M,q ⟺ w ∈ 𝐀q Trong [6] đề cập đến bất đẳng thức hai trọng sau đây: Nếu < q < ∞ (w, σ) ∈ 𝐀M,q , ta có ‖ℳ (f)‖Lq (ℝN+1) ≤ C‖f‖Lq (ℝN+1) , ∀f ∈ Lqσ (ℝN+1 ) w σ với C phụ thuộc vào w, σ, q, N Trang 1.3 Miền Lipschitz Ta gọi Ω miền (δ, R ) − Lip với δ ∈ (0,1) R > với x ∈ ∂Ω, tồn hàm số Γ: ℝN−1 → ℝ cho ‖∇Γ‖L∞(ℝN−1) ≤ δ, ta có (đổi trục tọa độ cần) Ω ∩ BR0 (x0 ) = {(x ′ , xN ) ∈ BR0 (x0 ): xN > Γ(x ′ )} 1.4 Điều kiện BMO Cho δ, R > Ta nói A(x, t) thỏa điều kiện (δ, R ) − BMO [A]R0 ≔ ̅ B (y) (t)| dxdt ≤ δ, ∫ |A(x, t) − A r (y,s)∈ℝN+1 ,r≤R0 |Q r (y, s)| Qr (y,s) sup ̅ B (y) (t) ≔ ∫ với Q r (y, s) = Br (y) × (s − r , s) A r |B (y)| B r (y) r A(x, t)dx 1.5 Nghiệm yếu Ta nói u ∈ L1 (0, T; W01,1 (Ω)) nghiệm yếu u (1.1) − ∫ uφt dxdt + ∫ A(x, t)∇u∇φdxdt = − ∫ F∇φdxdt ΩT ΩT ΩT với φ ∈ Cc1 ([0, T) × Ω) 1.6 Kết Sau kết khóa luận Định lý 1.1 Cho < 𝑞 < ∞ 𝑅0 > Giả sử hai hàm trọng 𝑤, 𝜎 thỏa mãn 𝑤 ∈ 𝑨𝑞 , (𝑤, 𝑣 ) ∈ 𝑨𝑀,𝑞 Khi đó, tồn 𝛿 = 𝛿(𝑁, 𝛬, 𝑞, [𝑤]𝑨∞ , 𝑣) ∈ (0,1) 𝑞 cho 𝛺 miền (𝛿, 𝑅0 ) − 𝐿𝑖𝑝 [𝐴]𝑅0 ≤ 𝛿, 𝐹 ∈ 𝐿𝑣 (𝛺𝑇 ) ∩ 𝐿2 (Ω 𝑇 ) tồn nghiệm yếu 𝑢 ∈ 𝐿2 (0, 𝑇; 𝑊01,2 (𝛺)) phương trình (1.1) thỏa mãn ‖𝛻𝑢‖𝐿𝑞 (𝛺𝑇) ≤ 𝐶 ‖𝐹 ‖𝐿𝑞 (𝛺𝑇) , 𝑤 𝑣 với 𝐶 = 𝐶 (𝑁, 𝛬, 𝑞, 𝑤, 𝑣, 𝑇0 ⁄𝑅0 ) Trang CHƯƠNG ĐÁNH GIÁ TRONG VÀ ĐÁNH GIÁ BIÊN Ở phần này, ta chứng minh đánh giá biên cho nghiệm yếu u phương trình (1.1) Sau ta dùng kết để xây dựng đánh giá toàn cục Định lý 2.1 ([10]) Cho 𝑞 > 1, 𝑅0 > 𝐺 ∈ 𝐿𝑞 (𝛺𝑇 , ℝ𝑁 ) Khi tồn 𝛿 = 𝛿 (𝑁, 𝛬, 𝑞) ∈ (0,1) cho 𝛺 miền (𝛿, 𝑅0 ) − 𝐿𝑖𝑝 [𝐴]𝑅0 ≤ 𝛿 tồn nghiệm yếu 𝑢 ∈ 1,𝑞 𝐿𝑞 (0, 𝑇; 𝑊0 (𝛺)) phương trình { 𝑢𝑡 − 𝑑𝑖𝑣 (𝐴(𝑥, 𝑡 )𝛻𝑢) = 𝑑𝑖𝑣(𝐺 ), 𝑢 = 0, 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝛺𝑇 , 𝑡𝑟ê𝑛 𝜕𝑝 (𝛺𝑇 ) (2.1) Hơn nữa, ‖𝛻𝑢‖𝐿𝑞 (𝛺𝑇) ≤ 𝐶 ‖𝐺 ‖𝐿𝑞 (𝛺𝑇) , (2.2) với 𝐶 = 𝐶(𝑁, 𝛬, 𝑞, (𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛺) + 𝑇 1⁄2 )⁄𝑅0 ) Với s > 1, R > 0, áp dụng Định lý 2.1 cho G = F q = s > 1, tồn số δ0 = δ0 (N, Λ, s) ∈ (0, ) cho Ω miền (δ0 , R ) − Lip [A]R0 ≤ δ0 , phương trình (1.1) có nghiệm yếu u ∈ Ls (0, T; W01,s (Ω)) thỏa ‖∇u‖Ls(ΩT) ≤ C‖F‖Ls (ΩT) với C = C(N, Λ, q, T0 ⁄R ) Trong phần này, ta giả sử Ω miền (δ0 , R ) − Lip [A]R0 ≤ δ0 , δ0 đề cập phía Từ [2] ta có quyền giả sử u ∈ L2 (−∞, T; W01,2 (Ω)) nghiệm yếu phương trình (1.1) Ω × (−∞, T) với F = Ω × (−∞, 0) F ∈ L2 (ΩT ) 2.1 Đánh giá Lấy R ∈ (0, R ), B2R = B2R (x0 ) ⊂⊂ Ω t ∈ (0, T) Đặt Q 2R = B2R × (t − 4R2 , t ) ∂p Q 2R = (∂B2R × (t − 4R2 , t )) ∪ (B2R × {t = t − 4R2 }) Với [A]R ≤ δ0 , áp dụng Định lý 2.1 cho ΩT = Q 2R G = F, phương trình { Wt − div(A(x, t)∇W) = div(F), W = 0, Trang Q 2R ∂p Q 2R (2.3) có nghiệm yếu W ∈ L2 (t − 4R2 , t ; W01,2 (B2R )) Hơn nữa, ta có C ∫ |∇W|s dxdt ≤ ∫ |F|s dxdt , ∀s > 1, |Q 2R | Q2R |Q 2R | Q2R (2.4) với C = C(N, Λ, s) Ở (diam(Ω) + T 1⁄2 )⁄R = Đặt U = u − W, theo [2], ta có U ∈ L2 (t − 4R2 , t ; W1,2 (B2R )) nghiệm yếu Ut − div(A(x, t)∇U) = Q 2R (2.5) Ta cần bổ đề Gehring chứng minh [5] sau Bổ đề 2.2 Tồn số 𝐶 > phụ thuộc vào 𝑁, 𝛬 cho đánh giá ( 1 |𝛻𝑈|2 𝑑𝑥𝑑𝑡 ) ≤ 𝐶 ⋅ |𝛻𝑈|𝑑𝑥𝑑𝑡 , ∫ ∫ |𝑄𝜌⁄2 (𝑦, 𝑠)| 𝑄𝜌⁄2(𝑦,𝑠) |𝑄𝜌 (𝑦, 𝑠)| 𝑄𝜌 (𝑦,𝑠) (2.6) thỏa 𝑄𝜌 (𝑦, 𝑠) ⊂⊂ 𝑄2𝑅 Tiếp theo, theo [2], ta kí hiệu V ∈ L2 (t − R2 , t ; W1,2 (BR )) nghiệm { ̅ B (t)∇V) = 0, Vt − div(A R V = W, Q R , ∂p Q R , (2.7) với Q R = BR (x0 ) × (t − R2 , t ), ∂p Q R = (∂BR × (t − R2 , t )) ∪ (BR × {t = t − R2 }) Bổ đề 2.3 ([11, Bổ đề 7.3]) Tồn số 𝐶 = 𝐶(𝑁, 𝛬) > cho 1 ∫ |𝛻 (𝑈 − 𝑉 )|2 𝑑𝑥𝑑𝑡 ) ≤ 𝐶 ⋅ [𝐴]𝑅0 ⋅ ∫ |𝛻𝑈|𝑑𝑥𝑑𝑡 , ( |𝑄𝑅 | 𝑄𝑅 |𝑄2𝑅 | 𝑄2𝑅 (2.8) 𝐶 −1 ∫ |𝛻𝑉 |2 𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ ∫ |𝛻𝑈|2 𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ 𝐶 ∫ |𝛻𝑉 |2 𝑑𝑥𝑑𝑡 (2.9) 𝑄𝑅 𝑄𝑅 𝑄𝑅 Mệnh đề 2.4 Ta có 𝑉 ∈ 𝐿2 (𝑡0 − 𝑅2 , 𝑡0 ; 𝑊 1,2 (𝐵𝑅 )) ∩ 𝐿∞ (𝑡0 − 𝑅2 ⁄4 , 𝑡0 , 𝑊 1,∞ (𝐵𝑅⁄2 )) Trang ‖𝛻𝑉 ‖𝐿𝑠∞(𝑄 𝑅⁄ ) ≤𝐶⋅ 1 ∫ |𝛻𝑈|𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝐶 ⋅ ∫ |𝐹 |𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 , |𝑄2𝑅 | 𝑄2𝑅 |𝑄2𝑅 | 𝑄2𝑅 (2.10) 1 𝑠 ∫ |𝛻 (𝑢 − 𝑉 )|𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ 𝐶([𝐴]𝑅0 ) ⋅ ∫ |𝛻𝑈|𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 |𝑄𝑅 | 𝑄𝑅 |𝑄2𝑅 | 𝑄2𝑅 ∫ |𝐹 |𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 , +𝐶 ⋅ |𝑄2𝑅 | 𝑄2𝑅 (2.11) với số 𝐶 = 𝐶 (𝑁, 𝛬, 𝑠) Chứng minh Theo [8], bất đẳng thức (2.6) (2.9), ta có: ‖∇v‖sL∞(Q R⁄2 ) 2 1 2 | | | | ∫ ∇v dxdt) ≤ C ( ∫ ∇U dxdt) ≤ C ∫ |∇U|dxdt ≤ C( |Q R | QR | Q R | QR |Q 2R | Q2R Kết hợp (2.4) ta (2.10) Mặt khác, áp dụng (2.8) (2.4) thu (2.11) sau: 1 s ∫ |∇(u − V)|s dxdt ≤ C ∫ |∇(u − U)|s dxdt + C([A]R0 ) ∫ |∇U|s dxdt | Q R | QR |Q R | QR |Q 2R | Q2R ≤C s ∫ |F|s dxdt + C([A]R0 ) ∫ |∇U|s dxdt |Q 2R | Q2R |Q 2R | Q2R ∎ 2.2 Đánh giá biên Trong phần này, Ω miền (δ⁄4 , R ) − Lip [A]R0 ≤ δ⁄4 với δ < δ0 Lấy x0 ∈ ∂Ω, < R < R t ∈ (0, T) Với η > 0, B1 ((0, … , − ε)) ∩ B1 (0) miền (η, η0 ) − Lip với 8 vài ε > η0 > 0, ta có cầu B bán kính R⁄8 ε1 , ε2 > phụ thuộc vào N cho Bε1R (x0 ) ⊂ B ⊂ BR (x0 ) B ∩ Ω miền (δ, ε2 R) − Lip ̃ R⁄ = Ω ̃ R⁄8 (x0 , t ) = (Ω ∩ B) × (t − (R⁄8)2 , t ) Vì B ∩ Ω miền (δ0 , ε2 R) − Ta đặt Ω ̃ R⁄8 , G = F q = s, tồn nghiệm Lip [A]ε2R ≤ δ0 , áp dụng Định lý 2.1 cho ΩT = Ω yếu W Wt − div(A(x, t)∇W) = div(F), { W = 0, thỏa Trang ̃ R⁄ , Ω ̃ R⁄ , ∂p Ω (2.12) ‖∇W‖Ls (Ω̃R⁄8) ≤ C‖F‖Ls (Ω̃R⁄8) , (2.13) với C phụ thuộc vào N, Λ, s Trong trường hợp này, ta có số (diam(Ω) + T 1⁄2 )⁄R Định lý 2.1 8ε2 (xem [2]) Ta đặt w = u − W kiểm tra (xem [2]) w nghiệm phương trình { ̃ R⁄ , Ω ̃ R⁄ ∂p Ω wt − div(A(x, t)∇w) = 0, w = u, (2.14) Bổ đề 2.5 ([11, Định lí 7.5]) Tồn số 𝐶 = 𝐶 (𝑁, 𝛬) > cho đánh giá ( 1 |𝛻𝑤|2 𝑑𝑥𝑑𝑡 ) ≤ 𝐶 |𝛻𝑤|𝑑𝑥𝑑𝑡 ∫ ∫ |𝑄𝜌⁄2 (𝑦, 𝑠)| 𝑄𝜌⁄2(𝑦,𝑠) |𝑄3𝜌 (𝑦, 𝑠)| 𝑄3𝜌 (𝑦,𝑠) (2.15) thỏa với 𝑄3𝜌 (𝑧, 𝑠) ⊂ 𝐵 × (𝑡0 − (𝑅⁄8)2 , 𝑡0 ) Tương tự [2] Ta đặt ρ = ε1 R(1 − δ)⁄8, < ρ⁄(1 − δ) < ε1 R ⁄8 Theo định nghĩa miền Lipschitz Bε1R (x0 ) ⊂ B, tồn hệ trục tọa độ {y1 , y2 , … , yN } với gốc tọa độ ∈ Ω cho hệ trục tọa độ có x0 = (0, … ,0, − ρδ ) Bρ (0) ⊂ B, ta có 4(1−δ) Bρ+ (0) ⊂ Ω ∩ Bρ (0) ⊂ Bρ (0) ∩ {y = (y1 , y2 , … , yN ): yN > − ρδ } 2(1 − δ ) Với δ < 1⁄4, ta có Bρ+ (0) ⊂ Ω ∩ Bρ (0) ⊂ Bρ (0) ∩ {y = (y1 , y2 , … , yN ): yN > −ρδ}, (2.16) với Bρ+ (0) ≔ Bρ (0) ∩ {y = (y1 , y2 , … , yN ): yN > 0} Hơn nữa, ta xét nghiệm v ∈ L2 (t − ρ2 , t ; W1,2 (Ω ∩ Bρ (0))) phương trình { ̅ B (0) (t)∇v) = 0, vt − div (A ρ ̃ ρ (0), Ω ̃ ρ (0), ∂p Ω v = w, ̃ ρ (0) = (Ω ∩ Bρ (0)) × (t − ρ2 , t ) Ta đặt v = w bên Ω ̃ ρ (0) với Ω Theo Bổ đề 2.3 (cũng xem [10, Bổ đề 2.8]) ta có kết sau Bổ đề 2.6 Tồn số 𝐶 = 𝐶 (𝑁, 𝛬) > cho Trang (2.17) |𝑄𝜌 (0, 𝑡0 )| |𝛻 (𝑤 − 𝑣 )|2 𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ 𝐶 ([𝐴]𝑅 )2 ∫ 𝑄𝜌 (0,𝑡0 ) 𝐶 −1 ∫ |𝛻𝑣 |2 𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ ∫ 𝑄𝜌 (0,𝑡0 ) |𝑄𝜌 (0, 𝑡0 )| (2.18) 𝑄𝜌 (0,𝑡0 ) |𝛻𝑤|2 𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ 𝐶 ∫ 𝑄𝜌 (0,𝑡0 ) |𝛻𝑤|2 𝑑𝑥𝑑𝑡 , ∫ |𝛻𝑣 |2 𝑑𝑥𝑑𝑡 (2.19) 𝑄𝜌 (0,𝑡0 ) Bổ đề 2.7 ([11, Bổ đề 7.12].) Với 𝜀 > 0, tồn 𝛿1 = 𝛿1 (𝑁, 𝛬, 𝜀) ∈ (0, 𝛿0 ) cho 𝛿 ∈ (0, 𝛿1 ), tồn hàm số 𝑉 ∈ 𝐶 (𝑡0 − 𝜌2 , 𝑡0 ; 𝐿2 (𝐵𝜌+ (0))) ∩ 𝐿2 (𝑡0 − 𝜌2 , 𝑡0 ; 𝑊 1,2 (𝐵𝜌+ (0))) thỏa ‖𝛻𝑉 ‖2∞ 𝐿 (𝑄 𝜌⁄4 (0,𝑡0 )) ≤𝐶⋅ |𝑄𝜌 (0, 𝑡0 )| ∫ |𝛻𝑣 |2 𝑑𝑥𝑑𝑡 , 𝑄𝜌 (0,𝑡0 ) 1 |𝛻 (𝑣 − 𝑉 )|2 𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ 𝜀 |𝛻𝑣 |2 𝑑𝑥𝑑𝑡 , ∫ ∫ ( ) ( ) |𝑄𝜌⁄8 0, 𝑡0 | 𝑄𝜌⁄8(0,𝑡0) |𝑄𝜌 0, 𝑡0 | 𝑄𝜌 (0,𝑡0 ) với số 𝐶 = 𝐶 (𝑁, 𝛬) > Ta chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề 2.8 Với 𝜀 > 0, 𝑅0 > 0, tồn 𝛿1 = 𝛿1 (𝑁, 𝛬, 𝜀, 𝑠, 𝑞0 , 𝜀) ∈ (0, 𝛿0 ) cho điều sau thỏa mãn: Nếu 𝛺 miền (𝛿 ⁄4 , 𝑅0 ) − 𝐿𝑖𝑝 với 𝛿 ∈ (0, 𝛿1 ), tồn hàm 𝑉 ∈ 𝐿2 (𝑡0 − (𝑅⁄9)2 , 𝑡0 ; 𝑊 1,2 (𝐵𝑅⁄9 (𝑥0 ))) ∩ 𝐿∞ (𝑡0 − (𝑅⁄9)2 , 𝑡0 ; 𝑊 1,∞ (𝐵𝑅⁄9 (𝑥0 ))) cho: ‖𝛻𝑉 ‖𝐿𝑠∞(𝑄 𝜀 ) 1𝑅⁄500 ≤𝐶 1 ∫ |𝛻𝑢|𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝐶 ∫ |𝐹 |𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 , |𝑄𝑅 | 𝑄𝑅 |𝑄𝑅 | 𝑄𝑅 (2.20) |𝛻 (𝑢 − 𝑉 )|𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 ∫ |𝑄𝜀1𝑅⁄500 | 𝑄𝜀1𝑅⁄500 1 𝑠 ∫ |𝛻𝑢|𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝐶 ∫ |𝐹 |𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑡 , ≤ 𝐶(𝜀 𝑠 + ([𝐴]𝑅0 ) ) |𝑄𝑅 | 𝑄𝑅 |𝑄𝑅 | 𝑄𝑅 (2.21) với số 𝐶 = 𝐶 (𝑁, 𝛬, 𝑠) > Ở đây, 𝑄𝜌 = 𝑄𝜌 (𝑥0 , 𝑡0 ) với 𝜌 > Chứng minh Ta giả sử δ ∈ (0, 1⁄100) Do Q ε1R⁄500 ⊂ Q ρ⁄8 (0, t ) ⊂ Q 6ρ (0, t ) ⊂ Q ε1R ⊂ Q R , Trang 10 (2.22) (có thể xem [2]) Theo Bổ đề 2.7, với ε > 0, ta tìm δ = δ(N, Λ, s, q0 , ε) ∈ (0, 1⁄100) cho có hàm số V ∈ L2 (t − ρ2 , t ; W1,2 (Bρ (0))) ∩ L∞ (t − ρ2 , t ; W1,∞ (Bρ (0))) thỏa ‖∇V‖2∞ L (Qρ⁄4 (0,t0 )) ≤C⋅ |Q ρ (0, t )| |∇v|2 dxdt, ∫ Qρ (0,t0 ) 1 |∇(v − V)|2 dxdt ≤ ε2 |∇v|2 dxdt, ∫ ∫ |Q ρ⁄8 (0, t )| Qρ⁄8(0,t0 ) |Q ρ (0, t )| Qρ(0,t0) Khi đó, theo (2.19) Bổ đề 2.6, (2.15) Bổ đề 2.5 (2.22), ta có: ‖∇V‖sL∞(Q ε1 R⁄500 ) |Q ε1R⁄500 | ∫ s/2 |2 |∇w dxdt) ∫ |Q ρ (0, t )| Qρ(0,t0 ) ∫ |∇w|s dxdt , ≤C |Q ε1R | Qε1R ≤ C( |∇(v − V)|s dxdt ≤ Cεs Qε1 R⁄500 |Q ε1R | ∫ |∇w|s dxdt Qε R Do đó, từ (2.13) (2.23), ta có (2.20) Tiếp theo, ta chứng minh (2.21) Từ (2.22), ta có |Q ε1R⁄500 | |∇(u − V)|s dxdt ≤ C ∫ Qε1R⁄500 |∇(u − V)|s dxdt ∫ |Q ρ⁄8 (0, t )| Qρ⁄8(0,t0 ) ≤C |∇(u − w)|s dxdt ∫ |Q ρ⁄8 (0, t )| Qρ⁄8(0,t0 ) +C |∇(w − v)|s dxdt ∫ |Q ρ⁄8 (0, t )| Qρ⁄8(0,t0 ) +C |∇(v − V)|s dxdt ∫ |Q ρ⁄8 (0, t )| Qρ⁄8(0,t0 ) Sử dụng (2.13) (2.18), (2.19) Bổ đề 2.6 (2.24), ta tìm 1 |∇(u − w)|s dxdt ≤ C ∫ ∫ |F|s dxdt, |Q R | QR |Q ρ⁄8 (0, t )| Qρ⁄8(0,t0) Trang 11 (2.23) (2.24) 1 s |∇(u − w)|s dxdt ≤ C([A]R0 ) ∫ ∫ |∇w|s dxdt |Q ρ⁄8 (0, t )| Qρ⁄8(0,t0) |Q ε1R | Qε R s ≤ C([A]R0 ) ( 1 ∫ |∇u|s dxdt + ∫ |F|s dxdt), |Q R | QR | Q R | QR 1 |∇(v − V)|s dxdt ≤ Cεs ( ∫ ∫ |∇u|s dxdt + ∫ |F|s dxdt) | Q R | QR | Q R | QR |Q ρ⁄8 (0, t )| Qρ⁄8(0,t0) Từ có (2.21) bổ đề chứng minh Trang 12 ∎ CHƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CHO GRADIENT CỦA NGHIỆM 3.1 Đánh giá good – 𝝀 Để chứng minh đánh giá good-𝜆, ta sử dụng kĩ thuật có [4] Chứng minh bổ đề bao gồm hệ định lý Lebesgue, bổ đề phủ Vitali có [3], [9] Bổ đề 3.1 Cho 𝛺 miền (𝛿, 𝑅0 ) − 𝐿𝑖𝑝 với 𝛿 < 1⁄4 𝑤 trọng 𝑨∞ Giả sử dãy cầu {𝐵𝑟 (𝑦𝑖 )}𝐿𝑖=1 với tâm 𝑦𝑖 ∈ 𝛺̅ , bán kính 𝑟 < 𝑅0 ⁄4 phủ 𝛺 2𝑇 Đặt 𝑠𝑖 = 𝑇 − 𝑖𝑟 ⁄2, với 𝑖 ∈ 0,1, … , [ ] Gọi 𝐸 ⊂ 𝐹 ⊂ 𝛺𝑇 tập đo thỏa 𝑟 mãn: • tồn 𝜀 ∈ (0,1) cho 2𝑇 𝑤(𝐸 ) ≤ 𝜀𝑤(𝑄̃𝑟 (𝑦𝑖 , 𝑠𝑗 ) với 𝑖 = 1, … , 𝐿, 𝑗 = 0,1, … , [ ]; 𝑟 • với (𝑥, 𝑡 ) ∈ 𝛺𝑇 , 𝜌 ∈ (0,2𝑟], ta có 𝑄̃𝜌 (𝑥, 𝑡 ) ∩ 𝛺𝑇 ⊂ 𝐹 𝑤 (𝐸 ∩ 𝑄̃𝜌 (𝑥, 𝑡 )) ≥ 𝜀𝑤 (𝑄̃𝜌 (𝑥, 𝑡 )) Khi 𝑤(𝐸 ) ≤ 𝜀𝐵𝑤 (𝐹 ) với số 𝐵 = 𝐵(𝑁, [𝑤]𝑨∞ ) Đánh giá good – 𝜆 sau đóng vai trị quan trọng chứng minh kết Định lý 3.2 Cho 𝑤 ∈ 𝑨∞ , 𝐹 ∈ 𝐿𝑠 (𝛺𝑇 , ℝ𝑁 ) ∩ 𝐿2 (𝛺𝑇 , ℝ𝑁 ), 𝑠 > Đối với 𝜀 > 0, 𝑅0 > 0, ta tìm 𝛿1 = 𝛿1 (𝑁, 𝛬, 𝑠, 𝜀, [𝑤 ]𝑨∞ ) ∈ (0, 1⁄2), 𝛿2 = 𝛿2 (𝑁, 𝛬, 𝑠, 𝜀, [𝑤]𝑨∞ , 𝑇0 ⁄𝑅0 ) ∈ (0,1) 𝛬0 = 𝛬0 (𝑁, 𝛬, 𝑠) > cho 𝛺 miền (𝛿1 , 𝑅0 ) − 𝐿𝑖𝑝 [𝐴]𝑅0 ≤ 𝛿1 tồn nghiệm 𝑢 ∈ 𝐿𝑠 (0, 𝑇; 𝑊01,𝑠 (𝛺)) ∩ 𝐿2 (0, 𝑇; 𝑊01,2 (𝛺)) phương trình (1.1) thỏa mãn 𝑤({ℳ (|𝛻𝑢|𝑠 ) > 𝛬0 𝜆, ℳ (|𝐹 |𝑠 ) ≤ 𝛿2 𝜆} ∩ 𝛺𝑇 ) ≤ 𝐶𝜀𝑤 ({ℳ (|𝛻𝑢|𝑠 ) > 𝜆} ∩ 𝛺𝑇 ) (3.1) với 𝜆 > 0, 𝐶 = 𝐶(𝑁, 𝛬, 𝑠, 𝑇0 ⁄𝑅0 , [𝑤]𝑨∞ ) Chứng minh Định lý 3.2 Theo Định lý 2.1, ta tìm δ0 = δ0 (N, Λ, s) cho tồn nghiệm u ∈ Ls (0, T; W01,s (Ω)) phương trình (1.1) thỏa Trang 13 ∫ |∇u|s dxdt ≤ C ∫ |F|s dxdt ΩT (3.2) ΩT với Ω miền (δ, R ) − Lip [A]R0 ≤ δ với δ < δ0 , R > Lấy ε > Đặt Eλ,δ2 = {ℳ (|∇u|s ) > Λ0 λ, ℳ (|F|s ) ≤ δ2 λ} ∩ ΩT Fλ = {ℳ (|F|s ) > λ} ∩ ΩT với δ2 ∈ (0,1), Λ0 > 0, λ > Lấy {yi }Li=1 ⊂ Ω cầu B0 có bán kính 2T0 cho L Ω ⊂ ⋃ Br0 (yi ) , r0 = min{R ⁄1000 , T0 } i=1 2T Đặt sj = T − jr ⁄2, ∀i ∈ 0,1, … , [ ] Q 2T0 = B0 × (T − 4T02 , T) Khi đó: r ΩT ⊂ ⋃ Q r0 (yi , sj ) ⊂ Q 2T0 i,j Ta chứng minh ̃ r (yi , sj )) , w(Eλ,δ2 ) ≤ εw (Q ∀λ > 0, (3.3) với δ2 đủ nhỏ phụ thuộc vào N, s, ε, [w]𝐀∞ , T0 ⁄R Thật vậy, ta giả sử Eλ,δ2 ≠ ∅, ∫Ω |F|s dxdt ≤ C|Q 2T0 |δ2 λ, kết hợp với T tính bị chặn tốn tử ℳ (3.2), ta có đánh giá |Eλ,δ2 | ≤ C C ∫ |∇u|s dxdt ≤ ∫ |F|s dxdt ≤ Cδ2 |Q 2T0 |, Λλ ΩT Λλ ΩT điều dẫn đến w(Eλ,δ2 ) ≤ c ( |Eλ,δ2 | |Q 2T0 | υ ) w(Q 2T0 ) ≤ Cδυ2 w(Q 2T0 ), (c, υ) = [w]𝐀∞ Theo [11] tồn c1 = c1 (N, c, υ) υ1 = υ1 (N, c, υ) cho w(Q 2T0 ) ̃ r (yi , sj )) w (Q ≤ c1 ( |Q 2T0 | ) ̃ r (yi , sj )| |Q Do Trang 14 υ1 , ∀i, j w(Eλ,δ2 ) ≤ Cδυ2 c1 ( |Q 2T0 | υ1 ) ̃ r (yi , sj )| |Q ̃ r (yi , sj )) < εw (Q ̃ r (yi , sj )) , w (Q 0 ∀i, j, với δ2 đủ nhỏ phụ thuộc vào N, s, ε, [w]𝐀∞ , T0 ⁄R Từ ta có (3.3) Tiếp theo, ta chứng minh với (x, t) ∈ ΩT , r ∈ (0,2r0 ] λ > 0, ta có ̃ r (x, t) ∩ ΩT ⊂ Fλ , Q từ dẫn đến ̃ r (x, t)) ≥ εw (Q ̃ r (x, t)), w (Eλ,δ2 ∩ Q với δ2 đủ nhỏ phụ thuộc vào N, s, ε, [w]𝐀∞ , T0 ⁄R ̃ρ = Q ̃ ρ (x, t), ∀ρ > Giả sử phản chứng Thật vậy, (x, t) ∈ ΩT , < r ≤ 2r0 , đặt Q ̃ r ∩ ΩT ∩ Fλc ≠ ∅ Q ̃r ≠ ∅ Eλ,δ2 ∩ Q ̃ r ∩ ΩT cho tức là, tồn (x1 , t1 ), (x2 , t ) ∈ Q ℳ (|∇u|s )(x1 , t1 ) ≤ λ ℳ (|F|s )(x2 , t ) ≤ δ2 λ Ta chứng minh ̃ r ) < εw(Q ̃ r ) w(Eλ,δ2 ∩ Q (3.4) Sử dụng ℳ (|∇u|s )(x1 , t1 ) ≤ λ, ta thấy ̃ r ℳ (|∇u|s )(y, t ′ ) ≤ max{ℳ(1Q̃2r |∇u|s )(y, t ′ ), 3N+2 λ} , ∀(y, t ′ ) ∈ Q (xem [2]) Vì thế, với λ > Λ0 ≥ 3N+2 , ̃ r = {ℳ(1Q̃ |∇u|s ) > Λ0 λ, ℳ (|F|s ) ≤ δ2 λ} ∩ ΩT ∩ Q ̃ r Eλ,δ2 ∩ Q 2r (3.5) ̃ r = ∅ ̅8r (x) ⊂⊂ ℝN \Ω Eλ,δ ∩ Q Đặc biệt, B Ta xét trường hợp B8r (x) ⊂⊂ Ω trường hợp B8r (x) ∩ ∂Ω ≠ ∅ • Đầu tiên, xét trường hợp B8r (x) ⊂⊂ Ω, với v Mệnh đề 2.4 Q 2R = Q 8r (x, t ), t = min{t + 2r , T} Ta có: Trang 15 ‖∇v‖sL∞(Q 2r (x,t0 )) |∇u|s dxdt ∫ |Q 8r (x, t )| Q8r (x,t0) |F|s dxdt , ∫ +C ⋅ |Q 8r (x, t )| Q8r (x,t0) ≤C⋅ (3.6) 1 s |∇(u − v)|s dxdt ≤ C([A]R0 ) ⋅ |∇u|s dxdt ∫ ∫ |Q 4r (x, t )| Q4r (x,t0 ) |Q 8r (x, t )| Q8r (x,t0) +C ⋅ |F|s dxdt, ∫ |Q 8r (x, t )| Q8r (x,t0) với C = C(N, Λ, s) ̃ r , ta Nhờ vào ℳ (|∇u|s )(x1 , t1 ) ≤ λ ℳ (|F|s )(x2 , t ) ≤ δ2 λ với (x1 , t1 ), (x2 , t ) ∈ Q ̃ 17r (x1 , t1 ), Q ̃ 17r (x2 , t ) Q 8r (x, t ) ⊂ Q |∇u|s dxdt ∫ ̃ |Q17r (x1 , t1 )| Q̃17r (x1,t1 ) |F|s dxdt ≤ Cλ ∫ +C ⋅ ̃ |Q17r (x2 , t )| Q̃17r (x2,t2 ) ‖∇v‖sL∞(Q (x,t )) ≤ C ⋅ 2r (3.7) Hơn s |∇(u − v)|s dxdt ≤ Cδ2 λ + C([A]R0 ) λ ≤ C(δ2 + δ1s )λ ∫ |Q 4r (x, t )| Q4r (x,t0 ) Ở ta sử dụng [A]R0 ≤ δ1 bất đẳng thức cuối Từ (3.7), với Λ0 ≥ max{3N+2 , 2C} C số (3.7), ta suy ̃ r | = |{ℳ(1χQ̃2r |∇v|s ) > Λ0 λ⁄4} ∩ Q Dẫn đến ̃ r | ≤ |{ℳ(1Q̃ |∇(u − v)|s ) > Λ0 λ⁄4} ∩ Q ̃ r | |Eλ,δ2 ∩ Q 2r ̃ 2r ⊂ Q ̃ 4r (x, t ) ta suy Từ ℳ bị chặn L1 vào L1,∞ kết hợp với (3.8), Q ̃ r| ≤ |Eλ,δ2 ∩ Q C ̃ r | ⋅ ∫ |∇(u − v)|s dxdt ≤ C(δ2 + δ1s )|Q λ Q̃2r Do ̃ r| υ |Eλ,δ2 ∩ Q ̃ r) ≤ c ( ̃ r ) ≤ C(δ2 + δ1s )υ w(Q ̃ r ) < εw(Q ̃ r ), w(Eλ,δ2 ∩ Q ) w(Q ̃ |Q r | δ2 , δ1 ≤ δ(N, Λ, s, ε, [w]𝐀∞ ) với (c, υ) = [w]𝐀∞ • Tiếp theo, ta xét trường hợp B8r (x) ∩ ∂Ω ≠ ∅ Trang 16 (3.8) Lấy x3 ∈ ∂Ω cho |x3 − x| = dist(x, ∂Ω) Đặt t = min{t + 2r , T} Ta có: Q 2r (x, t ) ⊂ Q10r (x3 , t ) ⊂ Q 5000r⁄ε1 (x3 , t ) ̃ 104 r⁄ε (x3 , t ) ⊂ Q ̃ 105 r (x, t) ⊂ Q ̃ 106 r (x1 , t1 ), ⊂Q (3.9) ̃ 104 r⁄ε (x3 , t) ⊂ Q ̃ 105 r (x, t) ⊂ Q ̃ 106 r (x2 , t ), Q 5000r⁄ε1 (x3 , t ) ⊂ Q (3.10) (xem [2]) Áp dụng Mệnh đề 2.8 với Q R = Q 5000r⁄ε1 (x3 , t ) ε = δ3 ∈ (0,1), tồn số δ′0 = δ′0 (N, Λ, s, δ3 ) ∈ (0, δ0 ) cho Ω miền (δ′0 , R ) − Lip ‖∇V‖sL∞(Q (x ,t )) ≤ 10r + C |Q 5000r⁄ε1 (x3 , t )| C |Q 5000r⁄ε1 (x3 , t )| |∇u|s ∫ Q5000r⁄ε1 (x3 ,t0 ) |F|s , ∫ Q5000r⁄ε1 (x3 ,t0 ) |∇(u − V)|s ∫ |Q10r (x3 , t )| Q10r (x3,t0 ) s ≤ C(δs3 + ([A]R0 ) ) + |Q 5000r⁄ε1 (x3 , t )| C |Q 5000r⁄ε1 (x3 , t )| |∇u|s ∫ Q5000r⁄ε1 (x3 ,t0 ) |F|s ∫ Q5000r⁄ε1 (x3 ,t0 ) Kết hợp kiện ℳ (|∇u|s )(x1 , t1 ) ≤ λ ℳ (|F|s )(x2 , t ) ≤ δ2 λ với (3.9), (3.10), ta ‖∇V‖sL∞(Q (x ,t )) ≤ C ⋅ 10r +C ⋅ ∫ ̃ 106 r (x1 , t1 )| Q̃ |Q ∫ ̃ 106 r (x2 , t )| Q̃ |Q |∇u|s (x ) 106 r ,t1 |F|s (x ) 106 r ,t2 ≤ Cλ, (3.11) s |∇(u − V)|s ≤ C(δs3 + ([A]R0 ) + δ2 )λ ∫ |Q10r (x3 , t )| Q10r (x3,t0) ≤ C(δs3 + δ1s + δ2 )λ Với Λ0 ≥ max{3N+2 , 4C} C ta suy (3.11), ta có Trang 17 (3.12) ̃ r | ≤ |{ℳ(χQ̃ |∇(u − V)|s ) > Λ0 λ⁄4} ∩ Q ̃ r |, |Eλ,δ2 ∩ Q 2r với số Λ0 phụ thuộc vào N, Λ, s Nhờ vào (3.12), ta có ̃ r| ≤ |Eλ,δ2 ∩ Q C ̃ r | ∫ |∇(u − V)|s dxdt ≤ C(δs3 + δ1s + δ2 )|Q λ Q̃2r Do v w(Eλ,δ2 ̃ r| |E ∩Q ̃ r ) ≤ c ( λ,δ2 ̃ r ) ≤ C(δs3 + δ1s + δ2 )w(Q ̃ r ) < εw(Q ̃ r ), ∩Q ) w(Q ̃ |Q r | với δ1 , δ2 , δ3 ≤ δ′ (N, Λ, s, ε, [w]𝐀∞ ) (c, v) = [w]𝐀∞ Do đó, với (x, t) ∈ ΩT , r ∈ (0,2r0 ] λ > 0, ̃ r (x, t)) ≥ εw (Q ̃ r (x, t)) w (Eλ,δ2 ∩ Q ̃ r (x, t) ∩ ΩT ⊂ Fλ , Ω miền (δ1 , R ) − Lip [A]R ≤ δ1 với Q δ1 = δ1 (N, Λ, s, ε, [w]𝐀∞ ) ∈ (0, δ0 ), δ2 = δ2 (N, Λ, s, ε, [w]𝐀∞ , T0 ⁄R ) ∈ (0,1) Kể từ đây, kết hợp (3.3), ta áp dụng Bổ đề 3.1 để có kết mong muốn 3.2 Chứng minh Định lý 1.1 Dựa vào nghiệm yếu u phương trình (1.1) Định lý 2.1, ta cần chứng minh bất đẳng thức ‖∇u‖Lq (ΩT) ≤ C‖F‖Lq(ΩT) , w v (3.13) hoàn tất chứng minh Định lý 1.1 Theo Định lý 2.1, ta tìm δ0 = δ0 (N, Λ, p) cho tồn nghiệm yếu u ∈ L2 (0, T; W01,2 (Ω)) phương trình (1.1) thỏa ∫ |∇u|2 dxdt ≤ C ∫ |F|2 dxdt, ΩT ΩT Ω miền (δ, R ) − Lip [A]R0 ≤ δ với δ < δ0 = δ0 (N, Λ, p) Theo Định lý 3.2, với s ∈ (1; 2), ε > 0, R > ta tìm δ = δ(N, Λ, ε, s, [w]𝐀∞ ) ∈ (0, δ0 ) , δ2 = δ2 (N, Λ, ε, s, [w]𝐀∞ , T0 ⁄R ) ∈ (0,1) Λ0 = Λ0 (N, Λ) ≥ cho Ω miền (δ, R ) − Lip [A]R0 ≤ δ Trang 18 w({ℳ (|∇u|s ) > Λ0 λ, ℳ (|F|s ) ≤ δ2 λ} ∩ ΩT ) ≤ Cεw({ℳ (|∇u|s ) > λ} ∩ ΩT ), (3.14) với λ > 0, C = C(N, Λ, s, T0 ⁄R , [w]𝐀∞ ) Với < q1 < ∞, < γ < ∞, ta có γ γ Λ0 dλ dλ q q1 ∫ λq1 w({ℳ (|∇u|s ) > λ} ∩ ΩT ) = q1 Λ01 ∫ λq1 w({ℳ (|∇u|s ) > Λ0 λ} ∩ ΩT ) λ λ 0 γ q ≤ q1 Λ01 2Cε ∫ λq1 w({ℳ (|∇u|s ) > λ} ∩ ΩT ) dλ q −q q + 2Λ01 δ2 ‖ℳ (|F|s )‖Lq1 (Ω ) T w λ q Ta chọn ε = ε(N, Λ, q1 , C) > cho Λ01 2Cε ≤ 1⁄2, ta có q1 γ q dλ q −q q ∫ λ w({ℳ (|∇u|s ) > λ} ∩ ΩT ) ≤ 2Λ01 δ2 ‖ℳ (|F|s )‖Lq1 (Ω ) T w λ Cho γ → ∞, ta có: ‖ℳ (|∇u|s )‖Lq1 (Ω w T) ≤ C‖ℳ (|F|s )‖Lq1 (ΩT) (3.15) w bất đẳng thức q1 = ∞ Lấy w ∈ 𝐀q , tồn q2 = q2 (N, q, [w]𝐀q ) ∈ (1, q) cho q q2 < [w]𝐀q ≤ C0 = C0 (N, q, [w]𝐀q ) Khi ‖ℳ q2 q q (|F|q2 )‖ q Lw2 (ΩT ) ≤ C‖F‖Lq (ΩT) w Theo Mục 1.2, (w, σ) ∈ 𝐀M,q nên ta có ‖ℳ (|F|s )‖Lq (ΩT) ≤ C‖|F|s ‖Lq(ΩT) w (3.16) v Áp dụng (3.15), (3.16) cho s = q⁄q2 , q1 = q2 , ta có ‖∇u‖Lq (ΩT) ≤ ‖ℳ w q2 q q (|∇u|q2 )‖ q Lw2 (ΩT ) ≤ C ‖ℳ q2 q q (|F|q2 )‖ q Lw2 (ΩT ) với C = C(N, Λ, s, q, w, v, T0 ⁄R ) Vậy định lý chứng minh Trang 19 ≤ C‖F‖Lq(ΩT) , v ∎ KẾT LUẬN Trong khóa luận chúng tơi xây dựng kết quy hai trọng cho phương trình parabolic phi tuyến bậc hai Kết trình bày khóa luận mở rộng kết [2] cho trường hợp hai trọng Trên sở kết có, để kết thúc, chúng tơi nêu số vấn đề nghiên cứu hay mở rộng: Mở rộng kết cho trường hợp p-Laplace Mở rộng kết cho hệ parabolic phi tuyến Trang 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A P Calderon, A Zygmmund, "On the existence of certain singular integrals", Acta Math., 88, 85-139, 1952 [2] L T T Bui, Quoc-Hung Nguyen,"Gradient weighted norm inequalities for very weak solutions of linear parabolic equations with BMO coefficients", Asymptotic Analysis, 1, 115, 2021 [3] S.S Byun, L Wang, "Parabolic equations in Reifenberg domains", Arch Ration Mech Anal., 176 (2), 271-301, 2005 [4] L Caffarelli, I Peral, "On W1,p estimates for elliptic equations in divergence form", Comm Pure Appl Math., 51, 1-21, 1998 [5] F Duzaar, G Mingione, "Gradient estimate via nonlinear potentials", American Journal of Mathematics,133 (4), 1093-1149, 2011 [6] J Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2000 [7] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2004 [8] T Kuusi, G Mingione, "The Wolff gradient bound for degenerate parabolic equations", J Eur Math Soc 16, 835-89, 2014 [9] T Mengesha, N C Phuc, "Weighted and regularity estimates for nonlinear equations on Reifenberg flat domains," J Differ Equa., 250 (5), 1485-2507, 2011 [10] Quoc-Hung Nguyen, "Global estimates for quasilinear parabolic equations on Reifenberg flat domains and its applications to Riccati type parabolic equations with distributional data," Calc Var., 54, 3927-3948, 2015 [11] Quoc-Hung Nguyen, "Potential estimates and quasilinear parabolic equations with measure data", 2015, arXiv:1405.2587 Trang 21