Tính chính quy nghiệm cho phương trình elliptic không đồng nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thế Quang TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG ĐỒNG NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Thế Quang TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG ĐỒNG NHẤT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN MINH PHƯƠNG PGS.TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với tên đề tài “Tính quy nghiệm cho phương trình elliptic khơng đồng nhất” cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực không chép luận văn khác Trong trình thực luận văn này, tham khảo thừa kế kết số báo công bố nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn; đồng thời, thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép công bố Học viên thực Trần Thế Quang LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Minh Phương PGS.TS Nguyễn Thành Nhân, người giới thiệu cho tơi đề tài này, tận tình hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi hoàn thành tốt luận văn Những kiến thức, kĩ kinh nghiệm quý báu mà Thầy Cô truyền đạt cho suốt thời gian làm luận văn hành trang quý giá đường nghiệp sau Tiếp theo, xin trân trọng cảm ơn Phòng Sau Đại học, Thư viện Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ Khoa Tốn - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh hết lịng truyền đạt cho tơi kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua Xin cảm ơn quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn góp ý giúp cho luận văn hồn chỉnh Sau cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể học viên lớp Tốn giải tích khóa 31 động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập thực luận văn Học viên thực Trần Thế Quang Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu Giới thiệu Tóm tắt luận văn Giới thiệu tổng quan Cấu trúc luận văn Chương Không gian Lorentz toán tử cực đại 1.1 Toán tử elliptic tựa tuyến tính khơng đồng 8 1.2 Không gian Lorentz 10 1.2.1 Không gian Lorentz cổ điển 10 1.2.2 Khơng gian Lorentz có trọng 11 1.2.3 Không gian Lorentz có trọng tổng quát 12 1.3 Toán tử cực đại cấp phân số 13 1.3.1 Khái niệm tính bị chặn tốn tử cực đại cấp phân số 13 1.3.2 Toán tử cực đại cấp phân số dạng cut-off 16 1.3.3 Hàm trọng phân phối cho toán tử cực đại cấp phân số 20 Chương Các bất đẳng thức so sánh địa phương 22 2.1 Một số đánh giá ban đầu 22 2.2 Đánh giá địa phương bên 26 2.3 Đánh giá địa phương biên 32 Chương Kết quy nghiệm khơng gian Lorentz 34 3.1 Bất đẳng thức hàm phân phối tập mức 34 3.2 Đánh giá không gian Lorentz 51 3.2.1 Đánh giá qua toán tử cực đại 51 3.2.2 Đánh giá qua toán tử cực đại cấp phân số 52 3.3 Đánh giá khơng gian Lorentz có trọng tổng quát 54 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 CÁC KÝ HIỆU R Tập hợp số thực Ω Miền mở, bị chặn Rn Ωc Phần bù miền Ω Rn ∂Ω Biên miền Ω diam (Ω) Đường kính miền Ω Br (x) Quả cầu mở tâm x, bán kính r > Rn M Tốn tử elliptic tựa tuyến tính ∇u Gradient hàm u : Rn → R div(F ) Divergence hàm vectơ F : Rn → Rn Ln (E) Độ đo Lebesgue tập đo E ⊂ Rn f (x)dx Tích phân trung bình hàm khả tích f tập E đo E ⊂ Rn M Toán tử cực đại Hardy-Littlewood Mσ Toán tử cực đại cấp phân số với σ ∈ [0, n] C k,σ (Ω) Không gian hàm f ∈ C k (Ω) mà o hm cp k liờn tc Hăolder vi s m σ Cc∞ (Ω) Khơng gian hàm trơn, có support compact Ω Lp (Ω) Không gian Lebesgue hàm đo được, có lũy thừa p khả tích Ω W 1,p (Ω) Không gian Sobolev Ω 1,p Wloc (Ω) Không gian Sobolev địa phương Ω Ls,t (Ω) Không gian Lorentz Ω Ls,t ω (Ω) Không gian Lorentz ứng với hàm trọng ω Ω Λs,t ζ,ω (Ω) Không gian Lorentz ứng với hàm trọng ω , ζ Ω Av , A∞ Lớp hàm trọng Muckenhoupt dωh Hàm trọng phân phối cho hàm khả tích địa phương h Dβ,ω h Hàm trọng phân phối cho toán tử cực đại cấp phân số Mβ với hàm khả tích địa phương h ■ Kết thúc chứng minh Giới thiệu Tóm tắt luận văn Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại số kết báo [14], liên quan đến việc khảo sát tính quy nghiệm đối phương trình elliptic khơng đồng không gian Lorentz, đồng thời mở rộng kết khơng gian Lorentz có trọng tổng qt Cụ thể hơn, nghiên cứu đánh giá gradient cho nghiệm yếu tốn hai pha có dạng sau: −div (Vp (x, ∇u) + a(x)Vq (x, ∇u)) = −div (Vp (x, F) + a(x)Vq (x, F)) , Vr (x, ξ) = |ξ|r−2 ξ với r = p r = q ; p ∈ (1; q] a ∈ C 0,σ (Ω; R+ ) với σ ∈ (0, 1] Các kết mở rộng từ báo [6] Colombo Mingione (2016) báo [3] Byun Oh (2017), cách khảo sát đánh giá gradient tác động toán tử cực đại cấp phân số Mβ không gian Lorentz Ls,t (Ω) dạng Mβ (Φ(x, F)) ∈ Ls,t (Ω) =⇒ Mβ (Φ(x, ∇u)) ∈ Ls,t (Ω), Φ(x, ξ) = |ξ|p + a(x)|ξ|q , với x ∈ Ω ξ ∈ Rn Phương pháp chúng tơi sử dụng luận văn xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối tập mức ứng với hai số hạng liên quan đến hàm liệu gradient nghiệm Quá trình xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối dựa đánh giá so sánh địa phương nghiệm yếu toán ban đầu toán tương ứng Bằng kỹ thuật tương tự, mở rộng đánh giá khơng gian có trọng tổng quát Λs,t ζ,ω (Ω) liên kết với hàm trọng Muckenhoupt ω ∈ A∞ Kết chứng minh dạng s,t Mβ (Φ(x, F)) ∈ Λs,t ζ,ω (Ω) =⇒ Mβ (Φ(x, ∇u)) ∈ Λζ,ω (Ω) Giới thiệu tổng quan Phương trình đạo hàm riêng chủ đề thú vị có nhiều ứng dụng toán học, nhiều nhà toán học quan tâm Một số tính chất quan tâm nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tồn tại, tính quy nghiệm Trong chủ đề này, nghiên cứu tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng đặc biệt quan tâm Việc khảo sát tính chất tính quy nghiệm giúp nhà tốn học kiểm tra tính trơn nghiệm không gian hàm Đây tính chất hữu ích, làm sở lý thuyết việc xây dựng phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng, hướng đến việc ứng dụng vào giải gần phương trình đạo hàm riêng có nguồn gốc từ thực tế Bài tốn khảo sát tính quy nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau, dựa 52 Trong C số dương phụ thuộc vào data, Ω, s, t 
Chứng minh Với < t < ∞ < s < ∞, ta lấy κ ∈ 0, 1, 1s Từ Định lý 3.1.2, tồn ε0 > cho bất đẳng thức Ln  M(Φ(x, ∇u)) > ε−κ λ, M(Φ(x, F)) ≤ εη λ ∩ Ω
≤ CεLn ({M(Φ(x, ∇u)) > λ} ∩ Ω) (3.37) với λ > ε ∈ (0, ε0 ) Từ định nghĩa tựa chuẩn, ta biến đổi (3.37) sau: ∞ ∥M(Φ(x, ∇u))∥tLs,t (Ω) =ε −κt t n λL s t  −κ M(Φ(x, ∇u)) > ε
st dλ λ ∞ ≤ Cε−κt+ s s λ t dλ λ t dλ λ λt Ln ({M(Φ(x, ∇u)) > λ} ∩ Ω) s ∞ + Cε−κt s λt Ln ({M(Φ(x, F)) > εη λ} ∩ Ω) s ≤ Cε( s −κ)t ∥M(Φ(x, ∇u))∥tLs,t (Ω) + Cε−(κ+η)t ∥M(Φ(x, F))∥tLs,t (Ω) Ta chọn ε ∈ (0, ε0 ) đủ nhỏ để Cε( s −κ)t ≤ để hoàn tất chứng minh Kết luận suy tương tự trường hợp t = ∞ 3.2.2 ■ Đánh giá qua toán tử cực đại cấp phân số Định lý 3.1.3 cho ta đánh giá gradient nghiệm không gian Lorentz thông qua toán tử cực đại cấp phân số Đây kết mở rộng Định lý 3.2.1 53 Định lý 3.2.2 Cho β ∈ [0, n) toán (1.1) điều kiện (T1), (T2), (T3), với Ω miền mở bị chặn Rn cho ∂Ω miền C 1,σ + với σ + ∈ [σ, 1] Giả sử u ∈ W 1,1 (Ω) nghiệm yếu toán (1.1) với liệu F thỏa mãn Φ(x, ∇u); Φ(x, F) ∈ L1 (Ω) Khi đó, với s ∈ (0, ∞) < t ≤ ∞, tồn số dương phụ thuộc data, Ω, s, t, β thỏa mãn (3.38) ∥Mβ (Φ(x, ∇u))∥Ls,t (Ω) ≤ C∥Mβ (Φ(x, F))∥Ls,t (Ω) Chứng minh Giả sử lấy β ∈ [0, n) t, s ∈ (0, ∞) Kết suy kỹ thuật tương tự trường hợp t = ∞ Ta chọn o  n n−β Từ giả thiết, tồn ε0 > cho bất đẳng κ ∈ 0, n ,s thức Ln  MMβ (Φ(x, ∇u)) > ε−κ λ, Mβ (Φ(x, F)) ≤ εη λ ∩ Ω ≤ CεLn 

MMβ (Φ(x, ∇u)) > λ ∩ Ω (3.39) với λ > ε ∈ (0, ε0 ) Bằng cách sử dụng định nghĩa tựa chuẩn (3.39), ta suy ∥MMβ (Φ(x, ∇u))∥tLs,t (Ω) ∞ = ε−κt s λt Ln −κt+ st ≤ Cε  MMβ (Φ(x, ∇u)) > ε−κ λ
st dλ λ ∞ λt Ln s 
st dλ MMβ (Φ(x, ∇u)) > λ ∩ Ω λ 54 ∞ + Cε−κt s λt Ln 
st dλ MMβ (Φ(x, F)) > εη λ ∩ Ω λ ≤ Cε( s −κ)t ∥MMβ (Φ(x, ∇u))∥tLs,t (Ω) + Cε−(κ+η)t ∥MMβ (Φ(x, F))∥tLs,t (Ω) Do s
− κ t > 0, chọn ε ∈ (0, ε0 ) thỏa mãn Cε( s −κ)t ≤ để suy ∥MMβ (Φ(x, ∇u))∥Ls,t (Ω) ≤ C∥MMβ (Φ(x, F))∥Ls,t (Ω) , điều kết thúc chứng minh tính bị chặn tốn tử cực đại ■ 3.3 Đánh giá không gian Lorentz có trọng tổng quát Để xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối đánh giá gradient nghiệm khơng gian Lorentz có trọng tổng qt, chúng tơi bắt đầu với bổ đề sau với hàm trọng ω , xem bổ đề phủ loại Vitali, sau thiết lập bất đẳng thức hàm phân phối dạng good−λ thông qua Định lý 3.3.2 Bổ đề 3.3.1 ([12]) Cho Ω miền bị chặn Rn cho + ∂Ω ∈ C 1,σ Cho ε ∈ (0, 1), R > ω hàm trọng A∞ Giả sử hai tập đo K ⊂ H Ω thỏa mãn ω(K) ≤ εω(BR ) Ngoài với ξ ∈ Ω ϱ ∈ (0, R], ta có Bϱ (ξ) ∩ Ω ⊂ H ω(K ∩ Bϱ (ξ)) > εω(Bϱ (ξ)) Khi tồn số dương C = C (n, [ω]A∞ ) thỏa mãn ω(K) ≤ Cεω(H) 55 Định lý 3.3.2 Cho ω ∈ A∞ , Ω miền mở, bị chặn Rn + cho ∂Ω miền C 1,σ với σ + ∈ [σ, 1] Giả sử u ∈ W 1,1 (Ω) nghiệm yếu toán (1.1) với Φ(x, Du), Φ(x, F) ∈ L1 (Ω) điều kiện (T1), (T2), (T3) Khi với β ∈ [0, n), tồn ε0 = ε0 (n, β, [ω]A∞ ) ∈ (0, 1), κ = κ(n, β, [ω]A∞ ) > 0, η = η(n, β) > 0, số dương C = C(data, Ω, β) cho bất đẳng thức ω  Mβ (Φ(x, ∇u)) > ε−κ λ, Mβ (Φ(x, F)) ≤ εη λ ∩ Ω ≤ Cεω 

Mβ (Φ(x, ∇u)) > λ ∩ Ω (3.40) với λ > ε ∈ (0, ε0 ) Chứng minh Lấy R > Ta cần chứng minh tìm ε0 = ε0 (n, β, [ω]A∞ ) ∈ (0, 1), κ = κ(n, β, [ω]∞ ) > 0, η = η(n, β) > cho ω(Kε , β) ≤ εω(Hβ ) với λ > ε ∈ (0, ε0 ), hai tập đo Kε,β Hβ định nghĩa Kε,β = Mβ (Φ(x, ∇u)) > ε−κ λ, Mβ (Φ(x, F)) ≤ εη λ ∩ Ω,   Hβ = Mβ (Φ(x, ∇u)) > λ ∩ Ω (3.41) Ta giả sử tồn ζ0 ∈ Ω cho Φ(x, F)(ζ0 ) ≤ εη λ Do tính chất bị chặn toán tử cực đại cấp phân số Bổ đề 1.3.4 Mệnh đề 2.1.4, ta có Mβ (Φ(x, ∇u)) > ε−κ λ ∩ Ω n  n−β   Φ(x, ∇u)(x)dx ≤C ε−κ λ Ω n   n−β  ≤C Φ(x, F)(x)dx ε−κ λ Ω Ln (Kε,β ) ≤ Ln 
(3.42) 56 Phủ Ω B2D0 (ζ0 ), ta thu   Φ(x, F)(x)dx ≤ Φ(x, F)(x)dx B2D0 (ζ0 ) Ω 1− βn n ≤ CL (B2D0 (ζ0 ))  β Φ(x, F)(x)dx (2D0 ) B2D0 (ξ0 ) β ≤ CLn (B2D0 (ζ0 ))1− n Mβ Φ(x, F)(ζ0 ) β ≤ CLn (B2D0 (ζ0 ))1− n εη λ, (3.43) kết hợp với (3.42) cho ta Ln (Kε,β ) ≤ C εη+κ n
n−β Ln (B2D0 (ζ0 )) (3.44) Mặt khác ω ∈ A∞ , ta thu
!τ2 ω(Kε,β ) ≤ C2 Ln Kε,β L (B2D0 (ζ0 )) ω (B2D0 (ζ0 )) ω(B2D0 (ζ0 )) ≤ C1  Ln (B2D0 (ζ0 )) Ln (BR ) τ1 ω(BR ), với (3.44) suy ω(Kε,β ) ≤ C ε Bằng cách chọn η >
nτ2 η+κ n−β  D0 R τ1 ω(BR ), (3.45) n−β > ε0 đủ nhỏ, ta suy nτ2 C ε
nτ2 η+κ n−β  D0 R τ1 < ε, (3.46) với ε ∈ (0, ε0 ), dẫn đến ω(Kε,β ) < εω(BR ) Phần lại, ta kiểm tra điều kiện thứ hai Bổ đề 3.3.1 phương pháp phản chứng Cụ thể, lấy ζ ∈ Ω ϱ ∈ (0, R] cho 57 Bϱ (ζ) ∩ Ω ̸⊂ Wβ , ta cần chứng minh (3.47) ω(Bϱ (ζ) ∩ Kε,β ) < εω(Bϱ (ζ)) Ta giả sử Bϱ (ζ) ∩ Kε,β ̸= ∅ Kết hợp với giả thiết Bϱ (ζ) ∩ Ω ̸⊂ Wβ , ta lấy ζ1 , ζ2 ∈ Bϱ (ζ) ∩ Ω cho Mβ (Φ(x, F))(ζ2 ) ≤ εη λ Mβ (Φ(x, ∇u))(ζ1 ) ≤ λ, (3.48) Với ξ ∈ Bϱ (ζ), ta kiểm tra Br (ξ) ⊂ Br+ϱ (ξ) ⊂ Br+2ϱ (ζ1 ) ⊂ B3r (ζ1 ), ∀r ≥ ϱ, điều dẫn đến Tϱβ (Φ(x, ∇u)) (ζ) = sup rβ Φ(x, ∇u)(υ)dυ r≥ϱ Br (y) ≤ 3n sup rβ Φ(x, ∇u)(υ)dυ r≥ϱ B3r (ζ1 ) ≤ 3n Mβ (Φ(x, ∇u)) (ζ1 ) ≤ 3n λ Từ cho ta đánh giá Mβ (Φ(x, ∇u))(ξ) ≤ max n Mϱβ n (Φ(x, ∇u)) (ξ); λ o n với ξ ∈ Bϱ (ζ) Từ lí này, lấy ε−κ > , với ε ∈ (0, ε0 ), ta có Bϱ (ζ) ∩ Kε,β ⊂ Bϱ (ζ) ∩ Hβ = Bϱ (ζ) ∩ = Bϱ (ζ) ∩ Dẫn đến n Mϱβ n Mϱβ (Φ(x, ∇u))
−κ >ε −κ χB2ϱ (ζ) Φ(x, ∇u) > ε o λ ∩Ω o λ ∩ Ω 58 L n n
Bϱ (ζ) ∩ Kε,β ≤ L  Bϱ (ζ) ∩ n Mϱβ −κ
χB2ϱ (ζ) Φ(x, ∇u) > ε o  λ ∩Ω Bây ta xét hai trường hợp ζ thuộc miền trong, B6ϱ ⊂ Ω, ξ gần biên, B6ϱ (ζ) ∩ ∂Ω ̸= ∅ Trong trường hợp thứ nhất, tương tự chứng minh Định lý 3.1.3, ta có phân tích Ln Kε,β ∩ Bϱ (ζ)
≤ CL n n M2ϱ β + CL n −κ
χB3ϱ (ζ) Φ(x, ∇u − ∇w) > ε n M2ϱ β −κ
χB3ϱ (ζ) Φ(x, ∇w) > ε o o  λ ∩ Bϱ (ζ)  λ ∩ Bϱ (ζ) =: I + II, (3.49) Số hạng thứ nhất, I, đánh giá Bổ đề 1.3.6 với s = sau:  I≤ C (ε−κ λ) n n−β n  n−β    Φ(x, ∇u − ∇w)dx  B3ϱ (ζ) n  n−β  C(6ϱ)n  β ≤ n (6ϱ) −κ (ε λ) n−β Φ(x, ∇u − ∇w)dx  (3.50) B6ϱ (ζ) Áp dụng (2.13) Bổ đề 2.2.3 ta tìm Φ(x, ∇u − ∇w)dx ≤ ε B6ϱ (ζ) Φ(x, ∇u)dx B6ϱ (ζ) +Cε−η Φ(x, F)dx, B6ϱ (ζ) n o η = max 0, p−1 − Ta dễ dàng kiểm tra B6ϱ (ζ) ⊂ B7ϱ (ζ2 ) ∩ B7ϱ (ζ3 ) (3.51) 59 Đánh giá tương tự Định lý 3.1.3 ta thu  n−β (6ϱ)β Φ(x, ∇u)dx ≤ B6ϱ (ζ) ≤ (7ϱ)β Φ(x, ∇u)dx B7ϱ (ζ2 )  n−β M(Sβ )(ζ2 ) ≤  n−β λ (3.52) β Φ(x, F)dx ≤ (6ϱ) B6ϱ (ζ)  n−β Fβ (ζ3 ) ≤  n−β εη λ (3.53) Cộng (3.52), (3.53) (3.51) ta thu (6ϱ)β (3.54) Φ(x, ∇u − ∇w)dx ≤ Cελ B6ϱ (ζ) Do I≤ C(6ϱ)n (ε−κ λ) n n−β n n (ελ) n−β ≤ Cϱn ε n−β (1+κ) (3.55) Lấy Θ ∈ (1, βn ) Để đánh giá số hạng thứ hai, II, ta áp dụng Bổ đề 1.3.6 với s = Θ Ta thu II ≤ = C (ε−κ λ) B3ϱ (ζ) n ! n−βΘ Ln (B3ϱ (x)) nΘ n−βΘ C(6ϱ)n (ε−κ λ) n ! n−βΘ [Φ(x, ∇w)]Θ dx nΘ n−βΘ C (ε−κ λ) ≤  nΘ n−βΘ [Φ(x, ∇w)]Θ dx B3ϱ (ζ) n  ! n−βΘ  βnΘ [Φ(x, ∇w)]Θ dx (6ϱ) n−βΘ  (3.56) B3ϱ (ζ) Bây ta áp dụng Bổ đề 2.2.2 với α = Θ, tồn số dương C cho n ! n−βΘ βnΘ [Φ(x, ∇w)]Θ dx (6ϱ) n−βΘ B3ϱ (ζ) nΘ ! n−βΘ ≤C (6ϱ)β [Φ(x, ∇w)]dx B6ϱ (ζ) (3.57) 60 Hơn nữa, từ (3.52) (3.54), ta có (6ϱ)β [Φ(x, ∇w)]dx ≤ C(6ϱ)β B6ϱ (ζ) Φ(x, ∇u)dx B6ϱ (ζ) + C(6ϱ)β Φ(x, ∇u − ∇w)dx B6ϱ (ζ) (3.58) ≤ C(1 + ε)λ ≤ Cλ Thay (3.57), (3.58) vào (3.56) ta thu II ≤ C(6ϱ)n nΘ L (3.59) (ε−κ λ) n−βΘ Từ (3.49), (3.55), (3.59), ta suy  n(1+κ)
n nΘκ nΘ λ n−βΘ ≤ Cε n−βΘ ϱn Kε,β ∩ Bϱ (ζ) ≤ C ε n−β +ε nΘκ n−βΘ  Ln (Bϱ (ζ)) (3.60) Theo định nghĩa hàm trọng A∞ , ta có Ln
ω Kε,β ∩ Bϱ (ζ) ≤ C2 h ≤ C2 ε
!τ2 Kε,β ∩ Bϱ (ζ) Ln (Bϱ (ζ)) n(1+κ)τ2 n−β +ε nΘκτ2 n−βΘ i ω(Bϱ (ζ)) ω(Bϱ (ζ))
Từ đánh giá này, ta suy ω Kε,β ∩ Bϱ (ζ) ≤ Cεω(Bϱ (ζ)) cách chọn κ thỏa mãn n(1+κ)τ2 n−β ≥ nΘκτ2 n−βΘ ≥ Ta thực trường hợp thứ hai kỹ thuật tương tự Định lý 3.1.3, với cách chọn s Ta hoàn tất phần chứng minh ■ Bây giờ, ta tiến hành đánh giá tính quy nghiệm khơng gian Lorentz có trọng tổng quát định lý sau Định lý 3.3.3 Cho Ω miền mở bị chặn Rn cho ∂Ω miền C 1,σ + với σ + ∈ [σ, 1] Giả sử u ∈ W 1,1 (Ω) 61 nghiệm yếu toán (1.1) với Φ(x, ∇u); Φ(x, F) ∈ L1 (Ω) điều kiện (T1), (T2), (T3); đồng thời lấy ω ∈ A∞ , ς ∈ L1loc (R+ , R+ ) K cho (1.5) thỏa mãn β1 K(λ) ≤ K(2λ) ≤ β2 K(λ), (3.61) ∀λ ≥ 0, với β2 > β1 > Khi với β ∈ [0, n), s ∈ (0, ∞) < t ≤ ∞, ta có đánh giá sau đây: (3.62) ≤ C∥Mβ (Φ(x, F))∥Λs,t ∥Mβ (Φ(x, ∇u))∥Λs,t ς,ω (Ω) ς,ω (Ω) Chứng minh Với < t < ∞ < s < ∞ Từ Định lý 3.3.2, tồn ε0 ∈ (0, 1), κ > 0, η > số dương C cho bất đẳng thức ω  M(Φ(x, ∇u)) > ε−κ λ, M(Φ(x, F)) ≤ εη λ ∩ Ω
≤ C ∗ εω ({M(Φ(x, ∇u)) > λ} ∩ Ω) (3.63) với λ > ε ∈ (0, ε0 ) Ta thấy từ bất đẳng thức (3.63) dẫn đến β,ω −κ ∗ ∗ β,ω Dβ,ω (ε λ) ≤ C εD (λ) + C DΦ(x,F) (εη λ) Φ(x,∇u) Φ(x,∇u) (3.64) Từ (3.61), ta suy K(λ1 + λ2 ) ≤ β2 (K(λ1 ) + K(λ2 )) , ∀λ1 , λ2 ≥ Thật vậy, giả sử < λ1 < λ2 , K hàm không giảm nên K(λ1 + λ2 ) ≤ K(2λ2 ) ≤ β2 K(λ2 ) ≤ β2 (K(λ1 ) + K(λ2 )) (3.65) 62 Từ (3.64) (3.65), ta có K   Dβ,ω (ε−κ λ) Φ(x,∇u)   ≤ β2 K C ∗  εDβ,ω (λ) Φ(x,∇u)  +K C ∗  Dβ,ω (εη λ) Φ(x,F) (3.66) Lấy m ∈ N cho 2m−1 < C ∗ ≤ 2m , áp dụng (1.6) cho α > 0, ta có K(C ∗ α) ≤ K (2m α) ≤ β2m K(α), nên từ (3.66) ta có K   Dβ,ω (ε−κ λ) Φ(x,∇u) ≤ β2m+1    εDβ,ω (λ) Φ(x,∇u) K +K   Dβ,ω (εη λ) Φ(x,F) (3.67) Với s, t ∈ (0, ∞), từ Định nghĩa 1.2.7 ta có  ∥Mβ (Φ(x, ∇u))∥tΛs,t (Ω) ς,ω ∞ t−1 h  i st Dβ,ω (λ) Φ(x,∇u) dλ λ K  ∞ h  i st β,ω t−1 −tκ −κ λ K DΦ(x,∇u) (ε λ) =ε s dλ =s (3.68) Thay (3.67) vào (3.68), ta thu  ∥Mβ (Φ(x, ∇u))∥tΛs,t (Ω) ς,ω −tκ ≤ Cε ∞ t−1 s λ  −tκ + Cε K ∞ t−1 s λ i st h  εDβ,ω (λ) Φ(x,∇u) h  K dλ i st Dβ,ω (εη λ) Φ(x,F) dλ (3.69) Mặt khác, lấy k ∈ N cho 1 < 2k ε ≤ ⇔ log2 − < k ≤ log2 ε ε     63 Khi với α > 0, điều kiện (3.61) cho ta K(εα) ≤
1 k K εα ≤ K(α) ≤ K(α), log2 ( 1ε )−1 β1k β1k β1 nên từ (3.69) ta suy ∥Mβ (Φ(x, ∇u))∥tΛs,t (Ω) ς,ω  st  ∞ h  i st β,ω t−1 −tκ   s λ K DΦ(x,∇u) (λ) ≤ Cε dλ log2 ( 1ε )−1 β1  ∞ h  i st β,ω −tκ −tη t−1 dλ (3.70) + Cε ε s λ K DΦ(x,F) (λ)  Bây ta viết lại (3.70) sau:  st  ∥Mβ (Φ(x, ∇u))∥tΛs,t (Ω) ≤ Cε−tκ  ς,ω  ∥Mβ (Φ(x, ∇u))∥t s,t Λς,ω (Ω) log2 ( ε )−1 β1 + Cε−t(κ+η) ∥Mβ (Φ(x, F))∥tΛs,t (Ω) ς,ω Từ dẫn đến  1s  −κ  ∥Mβ (Φ(x, ∇u))∥Λs,t ≤ Cε (Ω) ς,ω  ∥Mβ (Φ(x, ∇u))∥ s,t Λς,ω (Ω) log2 ( 1ε )−1 β1 + Cε−(κ+η) ∥Mβ (Φ(x, F))∥Λs,t (3.71) ς,ω (Ω) Bằng tính tốn tương tự, ta chứng minh (3.71) s ∈ (0, ∞) t = ∞ Để thu (3.62), (3.71) ta cần lấy  1s  ε đủ nhỏ cho Cε−κ   < , chứng minh log2 ( ε )−1 β1 hoàn tất ■ 64 Kết luận Trong luận văn này, tác giả trình bày lại số kết đánh giá gradient cho nghiệm yếu phương trình elliptic tựa tuyến tính khơng đồng với liệu dạng divergence không gian Lorentz không gian Lorentz có trọng tổng quát Kết đánh giá gradient khảo sát toàn cục Ω, miền mở bị chặn Rn Đặc biệt đánh giá gradient thực tác động toán tử cực đại toán tử cực đại cấp phân số, dạng đánh giá vừa nghiên cứu số báo gần Phương pháp trình bày luận văn để đánh giá gradient nghiệm gọi kỹ thuật good-λ chứng minh bất đẳng thức hàm phân phối, đưa tác giả Q.-H Nguyen, sau phát triển tác giả M.-P Tran T.-N Nguyen Trong trình thực luận văn, dù có nhiều định lý, bổ đề có độ khó cao, tác giả cố gắng mô tả tường minh ý tưởng chứng minh, đồng thời trình bày cách thật chặt chẽ chi tiết hầu hết chứng minh cốt lõi Tác giả mong luận văn tài liệu tham khảo tiếng Việt có ích cho học viên quan tâm đến chủ đề tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic phi tuyến với liệu divergence kỹ thuật good-λ 65 Tài liệu tham khảo [1] P Baroni, M Colombo, G Mingione, Regularity for general functionals with double phase, Calc Var Partial Differential Equations, 57(2) (2018), 1–48 [2] L Beck, G Mingione, Lipschitz bounds and non-uniform ellipticity, Comm Pure Appl Math., 73(5) (2020), 944–1034 [3] S.-S Byun, J Oh, Global gradient estimates for non-uniformly elliptic equations, Calc Var PDE, 56:42 (2017) [4] S.-S Byun, J Oh, Regularity results for generalized double phase functionals, Anal PDE, 13 (2020), 1269–1300 [5] C De Filippis, G Mingione, A borderline case of Calderón-Zygmund estimates for non-uniformly elliptic problems, St Petersburg Math J., 31(3) (2019), 82–115 [6] M Colombo, G Mingione, Calderón-Zygmund estimates and non-uniformly elliptic operators, Journal of Functional Analysis, 270(4) (2016), 1416–1478 [7] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2004 [8] G Mingione, Gradient estimates below the duality exponent, Math Ann., 346 (2010), 571–627 66 [9] G Mingione, V Radulescu, Recent developments in problems with nonstandard growth and nonuniform ellipticity, J Math Anal Appl., 501(1) (2021), 125197 [10] T.-N Nguyen, M.-P Tran, Lorentz improving estimates for the p-Laplace equations with mixed data, Nonlinear Analysis, 200 (2020), 111960 [11] T.-N Nguyen, M.-P Tran, Level-set inequalities on fractional maximal distribution functions and applications to regularity theory, Journal of Functional Analysis, 280(1) (2021), 108797 [12] M.-P Tran, T.-N, Nguyen, Weighted Lorentz gradient and point-wise estimates for solutions to quasi-linear divergence form elliptic equations with an application (2019), https://arxiv.org/abs/1907.01434 [13] M.-P Tran, T.-N Nguyen, New gradient estimates for solutions to quasilinear divergence form elliptic equations with general Dirichlet boundary data, J Differential Equations, 268(4) (2020), 1427–1462 [14] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Global Lorentz estimates for non-uniformly nonlinear elliptic equations via fractional maximal operators, J Math Anal Appl., 501(1) (2020), 124084 [15] V V Zhikov, On Lavrentiev’s phenomenon, Russian J Math Phys., (1995), 249–269 [16] Carro, M J., Raposo, J A., Raposo, J A., & Soria, J., Recent developments in the theory of Lorentz spaces and weighted inequalities, American Mathematical Soc