Tính chính quy của nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc không nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Tơ Thị Hồi Thu TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC KHƠNG NGUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Tơ Thị Hồi Thu TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC KHƠNG NGUN Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 LỜI CÁM ƠN Tơi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy tôi, GS TS Đặng Đức Trọng tất hướng dẫn, góp ý, dạy, giúp đỡ, động viên, khích lệ nhiệt tình tận tâm Thầy suốt trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô phản biện đọc góp ý để tơi hồn chỉnh luận văn Tơi xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn đọc cho nhiều ý kiến quý báu để thấy thiếu sót Tơi xin chân thành cám ơn Q Thầy Cơ Tổ Tốn Giải tích Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giảng dạy tận tình, ln khích lệ tơi đường học tập nghiên cứu Tốn học hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới quý thầy giáo, cô giáo Khoa Tốn - Tin Phịng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi gửi lời cám ơn chân thành tới bạn bè, đồng nghiệp hỗ trợ, động viên tạo điều kiện cho tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi đặc biệt bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi, ln bên tôi, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi vượt qua khó khăn q trình học tập hồn thành luận văn Tơ Thị Hồi Thu MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian xác suất, trình ngẫu nhiên, lọc 1.2 Tiếng ồn trắng chuyển động Brown 1.3 Martingale 10 1.4 Tốn tử tuyến tính 13 1.5 Biến đổi Fourier 14 1.6 Bất đẳng thức Hӧlder 16 1.7 Bổ đề Gronwall–Bellman 16 1.8 Phương trình đạo hàm riêng bậc khơng ngun 16 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM 18 2.1 Giới thiệu toán 18 2.2 Hàm Green toán .18 2.3 Sự tồn nghiệm tính nghiệm 20 Chương TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 36 3.1 Giới thiệu 36 3.2 Tính quy nghiệm 36 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 PHẦN MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng bậc không nguyên số tác giả nghiên cứu thời gian gần Trên thực tế, loại phương trình sử dụng rộng rãi Vật lý, môi trường Fractal, trường lượng tử, quản lý rủi ro lĩnh vực khác [5, 16, 22] Luận văn dựa báo [1], [5] nhằm mục đích trình bày mở rộng kết công bố L Debbi M Dozzi vào năm 2005 [5] Trong cơng trình mình, họ mở rộng phương trình truyền nhiệt ngẫu nhiên khuôn khổ J B Walsh [25] thành phương trình đạo hàm riêng bậc khơng ngun ngẫu nhiên liên quan đến toán tử vi phân phân thứ 𝐷𝛼 , giới thiệu L Debbi [4] Toán tử vi phân 𝐷𝛼 gọi tốn tử vi phân phân thứ (hay cịn gọi tốn tử vi phân bậc khơng ngun) với tham số 𝛼, 𝛿 𝐷𝛼 xác định bởi: 𝐷𝛼𝛿 𝜙(𝑥) ≔ 𝐷𝛼 𝜙(𝑥) = 𝐹 −1 {−| |𝛼 𝑒 − 𝑖𝛿𝜋 sgn(.) 𝐹(𝜙)} (𝑥), với 𝛿 ≤ min{𝛼 − [𝛼], + [𝛼]2 − 𝛼} [𝛼]2 số nguyên chẵn lớn bé 𝛼, 𝐹 𝐹 −1 phép biến đổi Fourier Fourier ngược Toán tử tổng quát toán tử biết toán tử Laplace, nghịch đảo vị Riesz-Feller tổng quát, toán tử vi phân Riemann-Liouville [4, 5, 13] Để đơn giản hóa ký hiệu, tham số δ bỏ qua ký hiệu luận văn nhầm lẫn Chính xác hơn, phương trình đạo hàm riêng bậc không nguyên với tiếng ồn trắng không-thời gian không gian chiều nghiên cứu: 𝑀 𝜕 𝜕𝑘 𝑢(𝑡, 𝑥) = 𝐷𝛼 𝑢(𝑡, 𝑥) + ∑ 𝑏 (𝑡, 𝑥, 𝑢(𝑡, 𝑥)) 𝑘 𝑘 𝜕𝑡 𝑘=0 𝜕𝑥 𝑁 𝜕𝑙 𝜕2𝑊 ( ) (𝑡, 𝑥), 𝑡 > 0, 𝑥𝜖ℝ +∑ 𝜎 (𝑡, 𝑥, 𝑢 𝑡, 𝑥 ) 𝑙 𝑙 𝜕𝑡𝜕𝑥 𝑙=0 𝜕𝑥 { 𝑢(0, 𝑥) = 𝑢0 (𝑥), 𝑥𝜖ℝ M, N hai số nguyên hệ số 𝑏𝑘 𝜎𝑙 hàm đo xác định [0, ∞) × ℝ × ℝ 𝑊 (𝑡, 𝑥) chuyển động Brown [0, ∞)×ℝ [25], 𝜕2 𝑊 𝜕𝑡𝜕𝑥 (𝑡, 𝑥) thường gọi tiếng ồn trắng theo biến không gian thời gian, 𝑢0 hàm ngẫu nhiên xác định ℝ Trong suốt luận văn này, giả định 𝛼 ∈ (0; ∞)\ℕ tồn nghiệm 𝛼 ∈ (1; ∞)\ℕ tính chính quy nghiệm Luận văn trình bày hai kết Một trình bày vấn đề tồn nghiệm tính nghiệm, số điều kiện M N L Debbi M Dozzi nghiên cứu trường hợp đặc biệt cho N = Tuy nhiên, luận văn trình bày trường hợp tổng quát Hai trình bày tính quy theo biến không gian thời gian nghiệm 𝑢(𝑡, 𝑥) quan hệ α, M N Mặc dù số phương trình đạo hàm riêng bậc khơng nguyên ngẫu nhiên nghiên cứu, có kết tính quy nghiệm Tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên bậc chẵn (lớn 2) với chuyển động Brown hình trụ với hệ số trơi Lipschitz bị chặn hệ số khuếch tán không đổi bị chặn ban đầu nghiên cứu T.Funaki [9, 10] sau nghiên cứu lại [2] Kết tương đối tổng quát cho tất bậc phân số α > luận văn Nhắc lại 𝐷𝛼 toán tử Laplace α = Đối với tính quy nghiệm phương trình truyền nhiệt ngẫu nhiên với tiếng ồn trắng khơng-thời gian, độc giả tham khảo [21, 24, 25] Tính liên tục Hӧlder nghiệm 𝑢(𝑡, 𝑥) nghiên cứu L Debbi M Dozzi Tuy nhiên, với giả thiết nghiêm ngặt N = 0, α < tác giả chứng tỏ nghiệm 𝑢(𝑡, 𝑥) liên tục Hӧlder theo biến khơng gian Kết trình bày luận văn khơng có điều kiện Thực tế, cho thấy với α > 1, tính liên tục Hӧlder nghiệm theo biến khơng gian thỏa mãn Chúng tơi trình bày vấn đề liên quan đến phương trình đạo hàm riêng bậc không nguyên ngẫu nhiên chiều với tiếng ồn trắng khơng-thời gian Luận văn trình bày tồn nghiệm, tính nghiệm tính quy nghiệm theo biến không gian thời gian Luận văn trình bày thành Chương Trong Chương 1, chúng tơi giới thiệu trình bày số kiến thức bản, khái niệm, ký hiệu, không gian hàm sử dụng luận văn Trong Chương 2, chúng tơi trình bày số kết tồn nghiệm tính nghiệm Trong Chương 3, chúng tơi trình bày số kết tính quy nghiệm áp dụng kết Chương để giải chúng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian xác suất, q trình ngẫu nhiên, lọc Định nghĩa 1.1.1 Một không gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃) gọi không gian xác suất đầy đủ với 𝐵 ∈ ℱ với 𝑃(𝐵) = 𝐴 ⊂ 𝐵 ta có 𝐴 ∈ ℱ Thông thường, việc nghiên cứu không gian xác suất hạn chế không gian xác suất đầy đủ Định nghĩa 1.1.2 Một họ {ℱ𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ+ } 𝜎-đại số ℱ gọi lọc ℱ𝑠 ⊂ ℱ𝑡 với 𝑠 < 𝑡 ℝ+ Nếu thỏa mãn hai điều kiện sau {ℱ𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ+ } gọi lọc tiêu chuẩn: (i) ℱ𝑡 = ℱ𝑡+ ≡ ⋀𝑠>𝑡 ℱ𝑠 với t (ii) ℱ0 chứa tất P-tập hợp có độ đo khơng ℱ Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃) không gian trạng thái đo {𝛦, ℰ } Một họ (𝑋𝑡 )𝑡≥0 với 𝑋𝑡 biến ngẫu nhiên có giá trị E với thời điểm 𝑡 ≥ gọi q trình ngẫu nhiên Nói ánh xạ 𝑋: (ℝ+ × Ω, ℬ+ ⨂ℱ ) ⟶ (ℝ, ℬ ), với ℬ 𝜎-đại số Borel ℝ, ℬ+ 𝜎-đại số Borel ℝ+ Định nghĩa 1.1.4 Nếu q trình (𝑋𝑡 )𝑡≥0 có ánh xạ (ℝ+ × Ω, ℬ+ ⨂ℱ ) ⟶ (ℝ, ℬ ): (𝑡, 𝜔) ⟶ 𝑋𝑡 (𝜔) đo (ℝ+ × Ω) 𝜎-đại số ℬ(ℝ+ )⨂ ℱ trình (𝑋𝑡 )𝑡≥0 đo Liên kết với trình lọc, chuỗi tăng 𝜎 −đại số, nghĩa ℱ𝑠 ⊂ ℱ𝑡 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 < ∞ Với ℱ∞ xác định ℱ∞ = ⋁ ℱ𝑡 = 𝜎 (⋃ ℱ𝑡 ) 𝑡≥0 𝑡≥0 Nếu (𝑋𝑡 )𝑡≥0 trình ngẫu nhiên, lọc tự nhiên (𝑋𝑡 )𝑡≥0 cho ℱ𝑡𝑋 = 𝜎(𝑋𝑠 : 𝑠 ≤ 𝑡 ) Quá trình (𝑋𝑡 )𝑡≥0 gọi (ℱ𝑡 )𝑡≥0 thích nghi, 𝑋𝑡 ℱ𝑡 đo 𝑡 ≥ Q trình (𝑋𝑡 )𝑡≥0 thích nghi lọc tự nhiên Định nghĩa 1.1.5 Cho trình với t hạn chế t với thời gian khoảng [0, 𝑡] đo ℬ[0, 𝑡]⨂ℱ𝑡 , ℬ[0, 𝑡] 𝜎-đại số Borel tập [0, 𝑡] q trình gọi trình đo Định nghĩa 1.1.6 Cho trình (𝑋𝑡 )𝑡≥0 Nếu tồn số K, cho tất 𝜔 𝑡 ≥ 0, ta có |𝑋𝑡 (𝜔)| ≤ 𝐾 Khi (𝑋𝑡 )𝑡≥0 gọi trình bị chặn Định nghĩa 1.1.7 Cho 𝑋 = (𝑋𝑡 )𝑡≥0 trình ngẫu nhiên xác định (Ω, ℱ, 𝑃) 𝑋 ′ = (𝑋𝑡′ )𝑡≥0 trình ngẫu nhiên xác định (Ω, ℱ, 𝑃) Nếu với n, ≤ 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 < ∞, 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 ∈ ℰ ′ ′ 𝑃(𝑋𝑡1 ∈ 𝐴1 , … , 𝑋𝑡𝑛 ∈ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝑋𝑡1 ∈ 𝐴1 , … , 𝑋𝑡𝑛 ∈ 𝐴𝑛 ) X X’ có phân bố hữu hạn chiều Định nghĩa 1.1.8 Cho hàm 𝑋: 𝐼 × Ω ⟼ ℝ𝑑 I khoảng thời gian ℝ+ 𝑋(𝑡, ) ℱ −đo với 𝑡 ∈ 𝐼 Khi đó, X gọi trình ngẫu nhiên d chiều Định nghĩa 1.1.9 Một trình X đo X ℬ × ℱ −đo Nếu ∈ 𝐼 𝑋 (0, ) = 𝑥 hầu chắn ta nói X có giá trị ban đầu 𝑥 ∈ ℝ𝑑 Khi 𝐼 = ℝ+ , trình X biểu diễn {𝑋𝑡 , 𝑡 ∈ 𝐼} đơn giản {𝑋𝑡 } Biến ngẫu nhiên vectơ 𝑋(𝑡, ) biểu thị 𝑋(𝑡) hay 𝑋𝑡 Định nghĩa 1.1.10 Cho họ tăng {ℱ𝑡 , 𝑡 ∈ 𝐼} 𝜎-đại số Ω Nếu 𝑋𝑡 ∈ ℱ𝑡 với 𝑡 ∈ 𝐼 trình X gọi thích nghi với họ {ℱ𝑡 , 𝑡 ∈ 𝐼} Quá trình X gọi liên tục (phải/trái) 𝑡 ⟶ 𝑋(𝑡, 𝜔) liên tục (phải/trái) I với 𝜔 ∈ Ω 1.2 Tiếng ồn trắng chuyển động Brown Định nghĩa 1.2.1 [25, tr 269] Cho (𝐸, ℱ, 𝜈) không gian đo  hữu hạn Một tiếng ồn trắng  lớp hàm ngẫu nhiên W tập 𝐴 ∈ ℱ độ đo  hữu hạn cho ( ) (i) W(A) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N 0, ( A) (ii) Nếu A  B =  W(A) W(B) độc lập W ( A  B ) = W ( A) + W ( B ) Trong hầu hết trường hợp, E không gian Euclidean  độ đo Lebesgue Để thấy trình tồn tại, xét trình Gaussian lập tập ℱ: {𝑊 (𝐴), 𝐴 ∈ ℱ, 𝜈(𝐴) < ∞} Từ (i) (ii), phải trình Gaussian với trung bình hàm hiệp phương sai C cho C ( A, B ) = E W ( A) W ( B ) =  ( A  B ) Ngược lại, theo định lý tổng quát trình Gaussian, C xác định dương, tồn trình Gaussian với trung bình hàm hiệp phương sai C Xét C thỏa C ( A, B ) =  ( A  B ) Bây giờ, cho A1 , , An ℱ a1 , , an số thực  a a C ( A , A ) = a a  I ( x ) I ( x ) d i j i i, j j i j Ai Aj i, j   =    I Ai ( x )  d   i  Vì C xác định dương, tồn không gian xác suất (𝑄, ℛ, 𝜇)   trình Gaussian W ( A) với trung bình (𝑄, ℛ, 𝜇) cho W thỏa mãn (i) (ii) Định nghĩa 1.2.2 Chuyển động Brown hai biến (Brownian sheet) [25, tr 269-270] Xét trường hợp cụ thể 𝐸 = ℝ𝑛+ = {(𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ): 𝑡𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛} 𝑣 độ đo Lebesgue Nếu 𝑡 = (𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ) ∈ ℝ𝑛+ , đặt (0, 𝑡] = (0, 𝑡1 ] × … × (0, 𝑡𝑛 ] 40 𝛾 −1 𝑣 𝛼 (1+𝑧) +∞ ≤ 𝐾𝛼 [∫ |∫ −1 2𝑣 𝛼 𝑣𝛼𝑧 |𝛼+𝑘 |𝜉 𝑑𝜉 | 𝑑𝑧 (1 + |𝜉 |𝛼+𝑘+1 )2 +∫ 𝛾 −1 𝑣 𝛼 (1+𝑧) −2𝑣 𝛼 |∫ −1 −∞ 𝑣𝛼𝑧 |𝜉 𝑑𝜉 | 𝑑𝑧 (1 + |𝜉 |𝛼+𝑘+1 )2 𝛾 −1 𝑣 𝛼 (1+𝑧) 2𝑣 𝛼 +∫ |𝛼+𝑘 |∫ −1 −2𝑣 𝛼 𝑑𝜉 | 𝑑𝑧], (3.1) 𝑣𝛼𝑧 −1 Bằng phép tính đơn giản đổi biến 𝑧 ′ = 𝑣 𝛼 𝑧, tìm 𝛾 −1 +∞ ∫ 2𝑣 𝛼 𝑣 𝛼 (1+𝑧) |∫ −1 𝑣𝛼𝑧 𝛼+𝑘 𝜉 𝑑𝜉 | 𝑑𝑧 (1 + 𝜉 𝛼+𝑘+1 )2 +∞ ≤∫ − − 𝛼+𝑘+1 𝛼 𝑧 𝛼+𝑘+1 𝛾 𝑣 + 1)𝛼+𝑘+1 − 𝑣 | | 𝑑𝑧 𝛼+𝑘+1 𝛼+𝑘+1 − − 𝛼+𝑘+1 𝛼+𝑘+1 (1 + 𝑣 𝛼 𝑧 ) (1 + 𝑣 𝛼 (𝑧 + 1) ) +∞ ≤ 𝑣𝛼 ∫ 𝛼+𝑘+1 𝛼 (𝑧 ′ (𝑧 + | | −1 𝛼+𝑘+1 𝑣𝛼) 𝛾 −𝑧 (1 + 𝑧 ′𝛼+𝑘+1 ) (1 + (𝑧 ′ + ′ 𝛼+𝑘+1 | 𝑑𝑧 ′ −1 𝛼+𝑘+1 | 𝑣𝛼) ) Bằng công thức Taylor–Lagrange, ta thu ước lượng sau: ∀𝑣 ≥ ∀𝑧 ∈ ℝ, −1 𝛼+𝑘+1 ||𝑧 + 𝑣 𝛼 | −1 − |𝑧|𝛼+𝑘+1 | ≤ 𝐾𝑣 𝛼 (|𝑧|𝛼+𝑘 + |𝑧|𝛼+𝑘−1 + |𝑧 + 1|𝛼+𝑘−1 ) Do 𝛾 −1 +∞ ∫ 2𝑣 𝛼 𝑣 𝛼 (1+𝑧) |∫ −1 𝑣𝛼𝑧 ≤ 𝐾𝛼,𝛾 𝑣 1−𝛾 𝛼 𝛼+𝑘 𝜉 𝑑𝜉 | 𝑑𝑧 (1 + 𝜉 𝛼+𝑘+1 )2 +∞ 𝑧 𝛼+𝑘 +𝑧 𝛼+𝑘−1 +(𝑧+1)𝛼+𝑘−1 | ∫0 | (1+𝑧 𝛼+𝑘+1 ) 𝛾 𝑑𝑧 (3.2) 41 Theo cách tương tự, ta thấy ∫ 𝛾 −1 𝑣 𝛼 (1+𝑧) −2𝑣 𝛼 |𝛼+𝑘 |𝜉 𝑑𝜉 | 𝑑𝑧 (1 + |𝜉 |𝛼+𝑘+1 )2 |∫ −1 −∞ 𝑣𝛼𝑧 bị chặn vế phải (3.2) Vì vậy, +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ |𝐺𝛼 (𝑣, 𝑧 + 1) − 𝐺𝛼 (𝑣, 𝑧 )|𝛾 𝑑𝑧𝑑𝑣 ≤ 𝐾𝛼,𝛾 ∫ −∞ hội tụ 𝛾 > 𝛼+1 𝑘+2 𝑣 1−𝛾(𝑘+2) 𝛼 𝑑𝑣 Định lý 3.2.2 [5, tr 1777] Với Giả thiết H điều kiện 𝑢0 𝐿𝑝 (𝛺) −bị chặn với 𝑝 ≥ 2, ta có (i) Với 𝑥 ∈ ℝ cố định, q trình {𝑢(𝑡, 𝑥), 𝑡 > 0} có quỹ đạo liên tục Hӧlder với số mũ 𝑚𝑖𝑛 { 𝛼−1 𝛼−𝑚 , 2𝛼 𝛼 } − 𝜀, với 𝜀 > bất kỳ, P-hầu khắp nơi (ii) Cho 𝛼 < t cố định, trình {𝑢(𝑡, 𝑥), 𝑥 ∈ ℝ} có quỹ đạo liên tục Hӧlder với số mũ 𝑚𝑖𝑛 { 𝛼−1 , 𝛼 − [𝛼]} − 𝜀, với 𝜀 > bất kỳ, P-hầu khắp nơi Chứng minh (i) Dễ thấy 𝑢0 (𝑡, 𝑥) hàm trơn t với x Cho 𝑥 ∈ ℝ cố định cho t > 0, θ > 0, n > 1, đặt (𝑘) 𝐽1,𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) 𝑡 +∞ 𝑏𝑘 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦)) ≔ 𝔼 |∫ ∫ −∞ 𝜕𝑘 × ( 𝑘 𝐺𝛼 (𝑡 + 𝜃 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦) 𝜕𝑦 𝑛 𝜕𝑘 − 𝑘 𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦)) 𝑑𝑦 𝑑𝑠| , 𝜕𝑦 (𝑘) 𝐿𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) 𝑡+𝜃 ≔ 𝔼 |∫ 𝑡 +∞ ∫ −∞ 𝑛 − 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑠| , 𝜕𝑘 𝑏𝑘 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦)) 𝑘 𝐺𝛼 (𝑡 + 𝜃 − 𝑠, 𝑥 𝜕𝑦 42 𝑡 +∞ 𝐼1,𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) ≔ 𝔼 |∫ ∫ 𝜎𝑙 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦)) (𝐺𝛼 (𝑡 + 𝜃 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦) −∞ 𝑛 − 𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦)) 𝑊(𝑑𝑦, 𝑑𝑠)| , 𝑡+𝜃 𝐿𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) ≔ 𝔼 |∫ +∞ 𝜎𝑙 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦))𝐺𝛼 (𝑡 + 𝜃 − 𝑠, 𝑥 ∫ 𝑡 −∞ 𝑛 − 𝑦) 𝑊 (𝑑𝑦, 𝑑𝑠)| Áp dụng bất đẳng thức Burkholder–Davis–Gundy, bất đẳng thức Hӧlder, ta có nghiệm u 𝐿𝑝 (Ω) −bị chặn với p > sử dụng điều kiện (H2), dễ thấy 𝑡 +∞ 𝐼1,𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) ≤ 𝐾𝑛 𝔼 (∫ ∫ 𝑛 |𝜎𝑙 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦))| (𝐺𝛼 (𝑡 + 𝜃 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦) −∞ − 𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦)) 𝑑𝑦𝑑𝑠) 𝑡 +∞ × (∫ ∫ 𝑛 −1 (𝐺𝛼 (𝑠 + 𝜃, 𝑦) − 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)) 𝑑𝑦 𝑑𝑠) −∞ 𝑡 𝑛 +∞ ≤ 𝐾𝑛 sup 𝔼|𝜎𝑙 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦))| (∫ ∫ [0,𝑇]×ℝ (𝐺𝛼 (𝑠 + 𝜃, 𝑦) −∞ 𝑛 2 − 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)) 𝑑𝑦 𝑑𝑠) , 𝑛 𝜃 +∞ 𝐿𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) ≤ 𝐾𝑛 sup 𝔼 |𝜎𝑙 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦))| (∫ ∫ [0,𝑇]×ℝ 𝛼 𝑛 𝐺𝛼2 (𝑠 + 𝜃, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑠) −∞ Bằng cách đổi biến 𝑠 =𝜃𝑣 , 𝑦 = 𝜃 𝑧 theo Bổ đề 3.2.1 Hệ 2.3.7, ta 43 𝐼1,𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) + 𝐿𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) ≤ 𝛼−1 𝐾𝑛 𝜃 𝑛 2𝛼 +∞ [(∫ +∞ ∫ (𝐺𝛼 (𝑠 + 1, 𝑦) − 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)) 𝑑𝑦 𝑑𝑠) −∞ 𝑛 +∞ 𝐺𝛼2 (𝑠, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑠) ] + (∫ ∫ 𝑛 −∞ 𝛼−1 ≤ 𝐾𝑛,𝛼 𝜃 𝑛 2𝛼 (3.3) Sử dụng bất đẳng thức Hӧlder theo kỹ thuật trên, ta thấy 𝑛 (𝑘) 𝐽1,𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) ≤ sup 𝔼 |𝑏𝑘 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦))| [0,𝑇]×ℝ 𝑡 +∞ × (∫ ∫ ≤ 𝐾𝑛 𝜃 𝑛 𝛼−𝑘 𝛼 −∞ +∞ +∞ ∫ (∫ −∞ 𝜕𝑘 𝜕𝑘 | 𝑘 𝐺𝛼 (𝑠 + 𝜃, 𝑦) − 𝑘 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)| 𝑑𝑦 𝑑𝑠) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑛 𝑛 𝜕𝑘 𝜕𝑘 | 𝑘 𝐺𝛼 (𝑠 + 1, 𝑦) − 𝑘 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)| 𝑑𝑦 𝑑𝑠) , 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ≤ 𝐾𝑛 𝜃 𝑛 𝛼−𝑘 𝛼 𝜃 𝑛 (𝑘) 𝐿𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) +∞ ≤ sup 𝔼 |𝑏𝑘 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦))| (∫ ∫ [0,𝑇]×ℝ +∞ (∫ ∫ −∞ −∞ 𝜕𝑘 | 𝑘 𝐺𝛼 (𝑠 + 𝜃, 𝑦)| 𝑑𝑦 𝑑𝑠) 𝜕𝑦 𝑛 𝑛 𝜕𝑘 | 𝑘 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)| 𝑑𝑦 𝑑𝑠) , 𝜕𝑦 Do đó, (𝑘) (𝑘) 𝐽1,𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) + 𝐿1,𝑛 (𝑡, 𝑥, 𝜃) ≤ 𝐾𝑛,𝛼 𝜃 𝑛 𝛼−𝑘 𝛼 (3.4) Từ (3.3) (3.4), ta có kết (ii) Cho 𝛼 < t > cố định Cho 𝑥 ∈ ℝ, ℎ > cho 𝑛 > 1, ta có 𝑚 (𝑘) 𝔼|𝑢(𝑡, 𝑥 + ℎ) − 𝑢(𝑡, 𝑥)|𝑛 ≤ 𝐾𝑛 [𝐿0,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) + ∑ 𝐽2,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) + 𝐼2,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ)] , 𝑘=0 𝑛 +∞ 𝐿0,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) ≔ 𝔼 |∫ −∞ 0( (𝐺𝛼 (𝑡, 𝑥 + ℎ − 𝑦) − 𝐺𝛼 (𝑡, 𝑥 − 𝑦))𝑢 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑠| , 44 (𝑘) 𝐽2,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) 𝑡 +∞ 𝑏𝑘 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦)) ≔ 𝔼 |∫ ∫ −∞ 𝑛 𝜕𝑘 𝜕𝑘 × ( 𝑘 𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑥 + ℎ − 𝑦) − 𝑘 𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦)) 𝑑𝑦 𝑑𝑠| , 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑡 +∞ 𝐼2,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) = 𝔼 |∫ ∫ 𝜎𝑙 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦)) (𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑥 + ℎ − 𝑦) −∞ 𝑛 − 𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦)) 𝑊(𝑑𝑦, 𝑑𝑠)| (𝑘) Các tích phân hạng tử 𝐿0,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) 𝐽2,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) với 𝑘 ≤ 𝑚 < [𝛼] hàm trơn, nên đủ để ước lượng tính qui hạng tử ([𝛼]) 𝐽2,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) 𝐼2,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) Áp dụng bất đẳng thức Burkholder–Davis–Gundy, bất đẳng thức Hölder, điều kiện (H2) nghiệm 𝐿𝑝 (Ω) −bị chặn, ta nhận 𝑡 𝑛 +∞ 𝐼2,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) ≤ 𝐾𝑛 sup 𝔼 |𝜎𝑙 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦))| (∫ ∫ [0,𝑇]×ℝ (𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦 + ℎ) −∞ 𝑛 − 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)) 𝑑𝑦 𝑑𝑠) ≤ 𝐾𝑛 ℎ 𝑛 𝛼−1 +∞ +∞ (∫0 ∫−∞ (𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦 + 1) − 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)) 𝑑𝑦 𝑑𝑠) 𝑛 (3.5) ([𝛼]) 𝐽2,𝑛 (𝑡, 𝑥, ℎ) ≤ sup 𝔼 |𝑏[𝛼] (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦))| 𝑛 [0,𝑇]×ℝ 𝑡 +∞ 𝜕[𝛼] 𝑛 𝜕[𝛼] × (∫0 ∫−∞ | [𝛼] 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦 + ℎ) − [𝛼] 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)| 𝑑𝑦 𝑑𝑠) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ≤ 𝐾𝑛 ℎ 𝑛(𝛼−[𝛼]) +∞ +∞ 𝜕[𝛼] (∫0 ∫−∞ | [𝛼] 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦 𝜕𝑦 + 1) − 𝜕[𝛼] 𝜕𝑦 [𝛼] 𝑛 𝐺𝛼 (𝑠, 𝑦)| 𝑑𝑦 𝑑𝑠) (3.6) Theo Bổ đề 3.2.1, tích phân vế phải (3.5) (3.6) hội tụ, (𝔼|𝑢(𝑡, 𝑥 + ℎ) − 𝑢(𝑡, 𝑥)|𝑛 )𝑛 ≤ 𝐾𝑛,𝛼 ℎmin{ 𝛼−1 ,𝛼−[𝛼]} 45 Định lý 3.2.3 [1, tr 1483] Với Giả thiết H, với 𝛼 > 1, tồn phiên liên tục Hӧlder theo thời gian t không gian x cho nghiệm 𝑢(𝑡, 𝑥) (2.1) Chính xác hơn, với p đủ lớn T > 0, ước lượng sau đúng: (1) Với i với k + i = M, tồn số dương C cho với 𝜀0 > đủ nhỏ, điều sau đúng: 𝔼 [| 𝜕𝑖 𝜕𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝐵 (𝑡, 𝑥) − 𝑖 𝛼,𝑘 𝑝 𝐵 (𝑡, 𝑧)| ] ≤ 𝐶 |𝑥 − 𝑧|(𝑝−1)(𝛼−𝑀)−𝜀0 𝑖 𝛼,𝑘 (3.7) (2) Với j với l + j = N, tồn số dương C cho với 𝜀0 > đủ nhỏ, điều sau đúng: 𝔼 [| 𝜕𝑗 𝜕𝑗 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝑆 (𝑡, 𝑥) − 𝑗 𝛼,𝑙 𝑝 𝑆 (𝑡, 𝑧)| ] ≤ 𝐶 |𝑥 − 𝑧|(𝑝−2)( 𝑗 𝛼,𝑙 𝛼−1 −𝑁)−𝜀0 (3.8) (3) Với i, j thỏa mãn k + i ≤ M l + j ≤ N t, t’ ∈ [0,T] bất kỳ, tồn số C cho 𝔼 [| 𝜕𝑖 𝜕𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝐵 (𝑡, 𝑥) − 𝑖 𝛼,𝑘 𝑝 𝑝(𝛼−𝑘−𝑖) 𝛼 𝐵 (𝑡′, 𝑥)| ] ≤ 𝐶 |𝑡 − 𝑡′| 𝑖 𝛼,𝑘 (3.9) 𝔼 [| 𝜕𝑗 𝜕𝑗 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑆 (𝑡, 𝑥) − 𝑗 𝛼,𝑙 𝑝 𝑝(𝛼−2(𝑙+𝑗)−1) 2𝛼 𝑆 (𝑡′, 𝑥)| ] ≤ 𝐶 |𝑡 − 𝑡 ′ | 𝑗 𝛼,𝑙 (3.10) Chứng minh Nhờ vào định lý quy Kolmogorov (xem Bổ đề 1.2 [25]), ta hồn thành việc chứng minh kết cách biểu diễn ước lượng (3.7)-(3.10) tương ứng Tuy nhiên, chứng minh cho (3.9) (3.10) dễ dàng thực (xem Nhận xét 3.2.4 bên dưới) Ở ta xem xét chứng minh (3.7) (3.8) Nhớ lại số hạng ∫ 𝐺𝛼 (𝑡, 𝑥 − 𝑦)𝑢0 (𝑦)𝑑𝑦 ℝ (2.3) sử dụng để định nghĩa nghiệm nhẹ hàm trơn tương ứng với t x theo tính chất Dα [5] Trước tiên, chúng tơi trình bày (3.8) Giả sử 𝑝 ≫ 46 Đặt 𝜅= 𝛼 𝛼−1 ] −[ 2 𝜖 = (1 + 𝛼)(𝑝 − 2) − 𝜅 (3.11) Ta nhận thấy κ 𝜖 hồn tồn dương, nhắc lại α khơng phải số nguyên Nhờ bất đẳng thức Burkholder tính chất mở rộng Hệ 2.3.6 Hệ 2.3.7, với j cho 𝑙 + 𝑗 = 𝑁, ta có: 𝑝 𝜕𝑗 𝜕𝑗 𝔼 [| 𝑗 𝑆𝛼,𝑙 (𝑡, 𝑥) − 𝑗 𝑆𝛼,𝑙 (𝑡, 𝑧)| ] 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝑡 𝜕𝑁 (𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦) = 𝔼 [|∫ ∫ 𝑁 ℝ 𝜕𝑦 𝑝 − 𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑧 − 𝑦))𝜎𝑙 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦))𝑊(𝑑𝑠, 𝑑𝑦)| ] 𝑡 ≤ 𝐶𝔼 [|∫ ∫ ℝ 𝜕𝑁 (𝑔 (𝑡 − 𝑠, 𝑥 − 𝑦) 𝜕𝑦 𝑁 𝛼 𝑝 − 𝐺𝛼 (𝑡 − 𝑠, 𝑧 − 𝑡 ≤ 𝐶𝔼 |∫0 ∫ℝ (𝑡 − 𝑠)− 2(𝑁+1) 𝛼 2 ) ( ) 𝑦 ) 𝜎𝑙 (𝑠, 𝑦, 𝑢 𝑠, 𝑦 )𝑑𝑠 𝑑𝑦)| ] 𝜎𝑙2 (𝑠, 𝑦, 𝑢(𝑠, 𝑦)) ( 𝜕𝑁 𝜕𝑦 (𝐺𝛼 (1, (𝑡 − 𝑠)−𝛼 (𝑥 − 𝑦)) − 𝑁 [ 𝑝 2 𝐺𝛼 (1, (𝑡 − 𝑠)−𝛼 (𝑧 − 𝑦)))) 𝑑𝑠 𝑑𝑦)| ] 𝜕 𝜕𝑦 𝐺𝛼 (𝑡, 𝑥 − 𝑦) = − 𝜕 𝜕𝑥 𝐺𝛼 (𝑡, 𝑥 − 𝑦) sử dụng cho đẳng thức 47 Do theo bất đẳng thức Hӧlder bất đẳng thức trên, ta có 𝑝 𝜕𝑗 𝜕𝑗 𝔼 [| 𝑗 𝑆𝛼,𝑙 (𝑡, 𝑥) − 𝑗 𝑆𝛼,𝑙 (𝑡, 𝑧)| ] 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝑡 ≤ 𝐶 (∫ ∫ 𝑠 − 𝜖𝑞 𝛼 ℝ 𝜕𝑁 | 𝑁 (𝐺𝛼 (1, 𝑠 −𝛼 (𝑥 − 𝑦)) 𝜕𝑦 𝑝 2𝑞 (2−𝛾)𝑞 − 𝐺𝛼 (1, 𝑠 −𝛼 (𝑧 − 𝑦)))| 𝑡 × ∫ ∫ 𝑠− (2(𝑁+1)−𝜖)𝑝 2𝛼 ℝ − | 𝑑𝑠 𝑑𝑦) 𝜕𝑁 − 𝛼 (𝑥 − 𝑦 ) ) (𝐺 (1, 𝑠 𝛼 𝜕𝑦 𝑁 𝐺𝛼 (1, 𝑠 −𝛼 (𝑧 𝛾𝑝 − 𝑦)))| 𝑑𝑠 𝑑𝑦 𝑝 ≔ 𝐶𝐼2𝑞 × 𝐼𝐼 𝑞 = 𝑝 𝑝−2 γ ∈ (0, 2) xác định sau (xem (3.14)) Bằng phép đổi biến Hệ 2.3.6, Hệ 2.3.7, ta có 𝑡 𝐼 ≤ 𝐶 ∫0 ∫ℝ 𝑠 − 𝜖𝑞−1 𝛼 | (2−𝛾)𝑞 𝜕𝑁 𝜕𝑦 𝐺 (1, 𝑦)| 𝑁 𝛼 𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑦 ≤ 𝐶 ∫0 𝑠 − 𝜖𝑞−1 𝛼 𝑑𝑠 < ∞ (3.12) Lại có 𝜖𝑞 < + 𝛼 theo định nghĩa 𝜖 [xem (3.11)] Bây ta chuyển sang ước lượng II Theo định lý giá trị trung bình, ta có 1 𝜕𝑁 − − 𝛼 𝛼 ( ) (𝑧 − 𝑦))) (𝐺 (1, 𝑠 𝑥 − 𝑦 ) − 𝐺 (1, 𝑠 𝛼 𝜕𝑦 𝑁 𝛼 1 𝜕𝑁+1 = (𝑥 − 𝑧) ∫0 𝑠 −𝛼 ξ (θ) = x + θ(x − z) 𝜕𝑦 𝐺 (1, 𝑠 −𝛼 (𝜉(𝜃) − 𝑦)) 𝑑𝜃 𝑁+1 𝛼 (3.13) 48 Do đó, đặt (3.13) vào II phương pháp tương tự (3.12), ta có 𝑡 𝛾𝑝 𝐼𝐼 ≤ 𝐶 |𝑥 − 𝑧| ∫ ∫ 𝑠 − (2(𝑁+1)−𝜖+𝛾)𝑝 2𝛼 |∫ ℝ 𝜕 𝑁+1 − 𝛼 (𝜉 (𝜃 ) 𝐺 (1, 𝑠 𝜕𝑦 𝑁+1 𝛼 𝛾𝑝 − 𝑦)) 𝑑𝜃| ≤ 𝐶 |𝑥 − 𝛾𝑝 𝑧| 𝑡 ∫ ∫ 𝑑𝑠𝑑𝑦 (2(𝑁+1)−𝜖+𝛾)𝑝−2 2𝛼 | 𝑠− ℝ ≤ 𝐶 |𝑥 − 𝛾𝑝 𝑧| 𝑡 ∫ 𝑠 𝑁+1 𝜕 𝐺 (1, 𝑦)| 𝜕𝑦 𝑁+1 𝛼 𝛾𝑝 𝑑𝑠𝑑𝑦 (2(𝑁+1)−𝜖+𝛾)𝑝−2 2𝛼 𝑑𝑠 Nếu 𝛾< (2𝑝−1)𝜅 (3.14) 𝑝 (2(𝑁 + 1) − 𝜖 + 𝛾 )𝑝 − < 2𝛼 Do đó, theo ước lượng cho II, có 𝛾𝑝 𝐼𝐼 < 𝐶 |𝑥 − 𝑧| Bằng cách chọn giá trị ε0 thích hợp ước lượng (3.12) ta có ước lượng (3.8) thỏa mãn Tiếp theo, ta chứng minh (3.7) Cho 𝜅 ′ = 𝛼 − [𝛼] giả sử (𝑝 − 1)𝜅 ′ } 𝛽 < {1, 𝑝 Khi đó, tương tự chứng minh (3.8), ta có 𝑝 𝜕𝑖 𝜕𝑖 𝔼 [| 𝑖 𝐵𝛼,𝑘 (𝑡, 𝑥) − 𝑖 𝐵𝛼,𝑘 (𝑡, 𝑧)| ] 𝜕𝑥 𝜕𝑧 49 𝑡 𝑀+1 𝜕𝑀 − − 𝛼 𝑏𝑘 (𝑠, 𝑦, 𝑢 (𝑠, 𝑦)) (𝐺𝛼 (1, (𝑡 − 𝑠) 𝛼 (𝑥 − 𝑦)) ( ) = 𝔼 [|∫ ∫ 𝑡 − 𝑠 𝑀 ℝ 𝜕𝑦 − 𝐺𝛼 (1, (𝑡 − 𝑡 ≤ 𝐶 (∫ ∫ 𝑠 ℝ − 𝑠 )− 𝛼 (𝑧 𝜖′𝑞 𝛼 𝑝 − 𝑦))) 𝑑𝑠 𝑑𝑦)| ] 𝜕𝑀 | 𝑀 (𝐺𝛼 (1, 𝑠 −𝛼 (𝑥 − 𝑦)) 𝜕𝑦 𝑝 𝑞 (1−𝛽)𝑞 − 𝐺𝛼 (1, 𝑠 −𝛼 (𝑧 − 𝑦)))| 𝑡 ×∫ ∫ (𝑀+1−𝜖 ′ )𝑝 𝛼 𝑠− ℝ 𝑡 ≤ 𝐶 |𝑥 − 𝑧|𝛽𝑝 ∫0 𝑠 𝜖′ −1 𝛼 1 𝑝 𝑞 𝑑𝑠 𝑑𝑦) 1 𝜕𝑀 | 𝑀 (𝐺𝛼 (1, 𝑠 −𝛼 (𝑥 − 𝑦)) − 𝐺𝛼 (1, 𝑠 −𝛼 (𝑧 − 𝑦)))| 𝜕𝑦 𝛾𝑝 𝑑𝑠 𝑑𝑦 ′ 𝑑𝑠 × 𝑡 (𝑀+1−𝜖 +𝛽)𝑝−1 𝛼 𝑑𝑠 ∫0 𝑠 < ∞, q thỏa + = Do đó, ta chọn 𝜀 đủ nhỏ cho (3.7) Như vậy, việc chứng minh hoàn thành Nhận xét 3.2.4 (i) Theo định lý quy Kolmogorov, ước lượng (3.7) (3.8) ngụ ý 𝐵𝛼,𝑘 (𝑡, 𝑥) 𝑆𝛼,𝑙 (𝑡, 𝑥) có thay đổi 𝐶 𝛼−𝑘−𝜀0 (ℝ) 𝐶 𝛼−1 −𝑙−𝜀0 (ℝ) tương ứng với ε0 đủ nhỏ k ≤ M, l ≤ N, số không nguyên dương λ, 𝐶 𝜆 (ℝ) biểu thị họ tất hàm 𝑓 ∈ 𝐶 [𝜆] (ℝ) với đạo hàm liên tục Hӧlder 𝑓 [𝜆] có bậc 𝜆 − [𝜆] Đặc biệt, với tất α > l ≤ N, tích chập ngẫu nhiên 𝑆𝛼,𝑙 (𝑡, 𝑥) có phiên liên tục Hӧlder bậc 𝛼−1 𝛼−1 ] − 𝜀0 −[ 2𝛼 2𝛼 với 𝜀0 đủ nhỏ x (ii) Theo Giả thiết H, từ (3.9) (3.10), dễ dàng thấy 𝜀0 đủ nhỏ, 𝐵𝛼,𝑘 (𝑡, 𝑥) 𝑆𝛼,𝑙 (𝑡, 𝑥)) có phiên liên tục Hӧlder thời gian t bậc 50 𝛼−𝑘 − 𝜀0 𝛼 𝛼 − 2𝑙 − − 𝜀0 2𝛼 tương ứng Do đó, kết hợp với (i), Giả thiết H thỏa mãn, kết luận nghiệm 𝑢(𝑡, 𝑥) (2.1) có (𝛽, 𝛽̃ )-phiên liên tục Hӧlder theo t x với 𝛽 < { 𝛼 − 𝑀 𝛼 − 2𝑁 − } , 𝛼 2𝛼 𝛽 < {𝛼 − 𝑀, 𝛼−1 − 𝑁} Nói cách khác, biết 𝑢(𝑡, 𝑥) β-Hӧlder 𝛽̃ -Hӧlder liên tục theo biến thời gian t biến không gian x tương ứng (iii) Các ước lượng (3.9) (3.10) thiết lập phương pháp sử dụng cách [5] Tuy nhiên, trường hợp đặc biệt i = j = xem xét [5] Chúng tơi tổng qt hóa kết cho tính khả vi mạnh 𝐵𝛼,𝑘 (𝑡, 𝑥) 𝑆𝛼,𝑙 (𝑡, 𝑥) x (iv) So sánh với phương pháp sử dụng [5], thấy phương pháp dễ dàng xem xét tích phân khoảng thời gian bị chặn, điều thực cho tất α > Tuy nhiên, [5], để thể tính quy, đặc biệt tính quy không gian, điểm cốt yếu ước lượng sau: ∞ 𝑝 𝜕𝑘 𝜕𝑘 𝛼+1 𝛼+1 ∫ ∫ | 𝑘 𝐺𝛼 (𝑡, + 𝑥) − 𝑘 𝐺𝛼 (𝑡, 𝑥)| 𝑑𝑡 𝑑𝑥 < ∞, 𝑝 ∈ ( , ), 𝜕𝑥 𝑘+2 𝑘+1 ℝ 𝜕𝑥 𝑘 < 𝛼 − Điều cho phép giới hạn α < Ngoài ra, 𝑆𝛼,𝑙 (𝑡, 𝑥) vi phân thứ j x với 𝑗 ≤ [ 𝛼−1 ] − 𝑙 51 KẾT LUẬN Luận văn chúng tơi trình bày tồn nghiệm, tính nghiệm tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng bậc không nguyên với tiếng ồn trắng theo không gian thời gian lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Tính quy nghiệm theo biến khơng gian thời gian phụ thuộc vào bậc phân số tốn tử hệ số Các kết trình bày luận văn khơng mới, tất phát biểu chứng minh định hướng số tài liệu tham khảo phần lớn tài liệu [1, 5, 25] Điều mà luận văn thực trình bày chứng minh cách chi tiết Đồng thời, vận dụng số kết số tài liệu tham khảo với nhiệt tình giúp đỡ góp ý Thầy hướng dẫn Qua luận văn này, thân học tập nhiều điều bổ ích với cơng tác nghiên cứu khoa học hiểu sâu sắc kiến thức mà thân lãnh nhận từ tất Quý Thầy Cơ tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải tích Khóa 30 truyền thụ suốt q trình học tập Mặc dù, tơi có nhiều cố gắng học tập nghiên cứu, thời gian hạn chế kiến thức thân nhiều giới hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Hướng phát triển luận văn nghiên cứu dạng khác phương trình đạo hàm riêng bậc khơng ngun lý thuyết phương trình đạo hàm riêng 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bin Xie and Min Niu, Regularity of a fractional partial differential equations driven by space-time with noise, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 138 Number April 2010 Page 1479-1489 S 0002-9939 (09)10197-1, Article electronically published on November 18, 2009 [2] C Cardon-Weber, A Millet, On strongly Petrovskii’s parabolic SPDEs in arbitrary dimension and application to the stochastic Cahn-Hilliard equation, J Theoret Probab 17 (2004), no 1, 1–49 MR2054575 (2005f:60136) [3] G Da Prato, J Zabczyk, Ergodicity for infinite-dimensional systems, London Mathematical Society Lecture Note Series, 229 Cambridge University Press, Cambridge, 1996 MR1417491 (97k:60165) [4] L Debbi, On some properties of a high order fractional differential operator which is not in general selfadjoint, Appl Math Sci (Ruse) (2007), no 2528, 1325–1339 MR2354419 (2008f:26007) [5] L Debbi, M Dozzi, On the solutions of nonlinear stochastic fractional partial differential equations in one spatial dimension, Stochastic Process Appl 115 (2005), no 11, 1764–1781 MR2172885 (2006h:60107) [6] P Duchateau D W Zachmann, Theory and problems of Partial Differential Equations, Mc Graw-Hill [7] G Evans, J Blackledge and P Yardley, Analytic Methods for Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1999 [8] W Feller, Generalization of Marcel Riesz’ potentials and the semi-groups generated by them, Meddelanden Fran Lunds Universitets Matematiska Seminarium Supplementband 1952, pp 73–81 [9] T Funaki, Random motion of strings and related stochastic evolution equations, Nagoya Math J 89 (1983), 129–193 MR692348 (85g:60063) 53 [10] T Funaki, Regularity properties for stochastic partial differential equations of parabolic type, Osaka J Math 28 (1991), no 3, 495–516 MR1144470 (93e:60118) [11] R Gorenflo, F Mainardi, Randomwalk models for space-fractional diffusion processes, Fract Calculus Appl Anal (2) (1998) 167–191 [12] I Gyongy, D Nualart, On the stochastic Burgers’ equation in the real line, Ann Probab 27 (1999), no 2, 782–802 MR1698967 (2000f:60091) [13] T Komatsu, On the martingale problem for generators of stable processes with perturbations, Osaka J Math 21 (1984), 113–132 MR736974 (86e:60060) [14] E Lukacs, Characteristic Functions, second ed., 1970, Griffin, 1960 [15] F Mainardi, Y Luchko, G Pagnini, The fundamental solution of the space– time fractional diffusion equation, Fract Calculus Appl Anal (2) (2001) 153–192 [16] C Mueller, The heat equation with Lévy noise, Stochastic Process Appl 74 (1998), no 1, 67–82 MR1624088 (99g:60107) [17] Musiela, M and Rutkowski, M., Martingale Methods in Financial Modelling, Springer, 2nd edition, 2005 [18] S Peszat, J Zabczyk, Stochastic partial differential equations with Lévy noise An evolution equation approach, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 113 Cambridge University Press, Cambridge, 2007 MR2356959 (2009b:60200) [19] Rogers, L C G and Williams, D., Diffusions Markov Processes and Martingales, Volume Two, Ito Calculus, Cambridge University Press, 2nd edition, 2000 [20] W Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987 [21] T Shiga, Two contrasting properties of solutions for one-dimensional stochastic partial differential equations, Canad J Math 46 (2) (1994), 415– 437 MR1271224 (95h:60099) 54 [22] A Truman, J L Wu, On a stochastic nonlinear equation arising from 1D integrodifferential scalar conservation laws, J Funct Anal 238 (2006), no 2, 612–635 MR2253735 (2008b:60139) [23] V.V Uchaikin, V.M Zolotarev, Chance and stability, stable distributions and their applications, Mod Probab Statist VSP 1999 [24] B Xie, The stochastic parabolic partial differential equation with nonLipschitz coefficients on the unbounded domain, J Math Anal Appl 339 (2008), no 1, 705–718 MR2370687 (2009b:60203) [25] J B Walsh, An introduction to stochastic partial differential equations, École d’eté de probabilités de Saint-Flour, XIV – 1984, pp 265–439, Lect Notes Math., 1180 Springer, Berlin, 1986 MR876085 (88a:60114) [26] Yao-Feng Ren, On the Burkholder–Davis–Gundy inequalities for continuous martingales, Statistics and Probability Letters, Volume 78 (2008) 30343039, Issue 17, December 2008, ISSN 0167-7152