Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Trịnh Duy Bình ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Trịnh Duy Bình ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC Chuyên ngành: Mã số: Toán ứng dụng 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Bùi Trọng Kiên Hà Nội – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn "Điều kiện cực trị tính quy nhân tử Lagrange cho tốn điều khiển tối ưu semilinear elliptic" cơng trình nghiên cứu Mọi kết nghiên cứu trước tác giả khác trích dẫn cụ thể Nội dung luận văn chưa công bố cơng trình nghiên cứu Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Người cam đoan Trịnh Duy Bình LỜI CẢM ƠN Sau trình học tập nghiên cứu Khoa Toán học, Học viện Khoa học Công nghệ, đến luận văn hồn thành Trước tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Bùi Trọng Kiên Thầy người tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tơi vượt qua nhiều khó khăn q trình học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô seminar Điều khiển tối ưu - Viện Tốn học nhiệt tình góp ý, giúp đỡ thời gian thực đề tài Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học - Viện Tốn học phòng Đào tạo - Học viện Khoa học Công nghệ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học cao học học viện Hơn nữa, xin gửi lời cảm ơn tới tồn thể bạn bè, gia đình tôi, người sát cánh bên quãng thời gian qua Trịnh Duy Bình Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG 1.1 MỘT SỐ CƠNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN 1.2 1.3 1.4 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC 2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG Một số kết nghiệm phương trình elliptic ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC 2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC 2.2 11 11 ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC HAI VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE 13 2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỰC TRỊ BẬC HAI 21 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 27 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT h.k.n hầu khắp nơi R tập hợp số thực cone(M ) hình nón sinh tập M int(M ), M phần bao đóng tập M BX (x, r) hình cầu mở tâm x, bán kính r không gian X |.| giá trị tuyệt đối số, độ đo Lebesgue tập, chuẩn véc tơ, chuẩn ma trận (trong trường m n hợp cụ thể), |X| = i=1 j=1 p, 2,2 a2ij với X = (aij ) ∈ Rm×n chuẩn không gian Lp (Ω) W 2,2 (Ω), với ≤ p ≤ ∞ f, x phiếm hàm tuyến tính f tác động vào véc tơ x f∗ tốn tử tuyến tính liên hợp f (nếu khơng có thơng tin giải thích khác) X∗ xk không gian đối ngẫu không gian X x xk hội tụ yếu đến x D(y,u) f (x, y¯, u¯), đạo hàm cấp cấp hai f theo hai D(y,u) f (x, y¯, u¯) biến y, u (¯ y , u¯) MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển tối ưu có nhiều ứng dụng kinh tế, học khoa học vũ trụ Lý thuyết phát triển rực rỡ vào năm 1960 kỉ trước mà hai nguyên lý nguyên lý cực đại Pontryagin nguyên lý Bellman đời Ngày điều khiển tối ưu phát triển thành nhiều nhánh khác điều khiển tối ưu với phương trình vi phân thường, điều khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng, điều khiển tối ưu đa mục tiêu Gần tốn điều khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà toán học quan tâm Trong luận văn này, quan tâm nghiên cứu toán điều khiển tối ưu cho phương trình semilinear elliptic sau Cho Ω tập mở, bị chặn RN với N = 2, biên ∂Ω thuộc lớp C Ta xét toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic: L(x, y(x), u(x)dx → min, J(y, u) = (1) Ω Ay = f (x, y, u) Ω, y = ∂Ω, a(x) ≤ g(x, y(x), u(x)) ≤ b(x) h.k.n x ∈ Ω (2) (3) Trong A định nghĩa bởi: N Ay = − Di (aij (x)yxj (x)) i,j=1 Các ánh xạ L, f, g : Ω× R × R → R hàm Carathéodory a, b ∈ L∞ (Ω) Việc thiết lập điều kiện cực trị bậc bậc hai cho toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic vấn đề thời sự, quan tâm nhiều nhà toán học (như tài liệu tham khảo từ [2] đến [7]) Đối với lớp toán điều khiển tối ưu này, biến điều khiển thường thuộc không gian Lp (Ω) với ≤ p < ∞ L∞ (Ω) việc thiết lập điều kiện tối ưu phụ thuộc vào không gian chứa biến điều khiển Khi u ∈ Lp (Ω) với ≤ p < ∞, nhận thấy tồn nhân tử Lagrange quy cho tốn điều khiển tối ưu dễ dàng có Trong trường hợp này, nhân tử Lagrange thuộc không gian Lq (Ω) không gian đối ngẫu Lp (Ω) Tuy nhiên trường hợp u ∈ Lp (Ω) với ≤ p < ∞, hàm chi phí J hàm f, g khó khả vi theo biến u khơng gian Lp (Ω) Để khắc phục khó khăn này, giả thiết u ∈ L∞ (Ω) Nhưng trường hợp này, nhân tử Lagrange độ đo mà khơng hàm số Điều dẫn tới vấn đề phải nghiên cứu tính quy nhân tử Lagrange, việc tìm điều kiện làm cho nhân tử Lagrange thuộc không gian Lp (Ω) Vấn đề nghiên cứu gần số nhà toán học (như [6] [7]) Đặc biệt, tài liệu [7], bng vic s dng nh lý Yosida-Hewitt, A.Răosch v F Trăoltzsch chng minh rng, di mt s cỏc iu kiện định, nhân tử Lagrange thuộc vào không gian Lp (Ω) Mục tiêu luận văn xây dựng điều kiện cực trị nghiên cứu tính quy nhân tử Lagrange Cụ thể đưa điều kiện, tiêu chuẩn, mà đó, nhân tử Lagrange điều kiện tối ưu tốn (1)-(3) thuộc vào khơng gian Lp (Ω) với ≤ p ≤ ∞ Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức kiện liên quan đến giải tích biến phân, tốn quy hoạch phương trình elliptic Chương trình bày kết luận văn tồn tính quy nhân tử Lagrange điều kiện tối ưu bậc hai toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic Nội dung luận văn viết dựa cơng trình tác giả cộng hướng nghiên cứu Bài báo gửi đăng CHƯƠNG ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG 1.1 MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN Trong mục này, ta ln giả thiết X không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho M ⊂ X , x ¯ ∈ M Một véc tơ v thuộc X gọi véc tơ tiếp tuyến M x ¯ tồn dãy {tk }k∈N , {vk }k∈N cho tk → 0+ , vk → v, k → ∞ thỏa mãn x ¯ + tk vk ∈ M Ta ký hiệu T (M, x ¯) tập véc tơ tiếp tuyến v M T (M, x¯) gọi nón tiếp tuyến hay nón Bouligand Mệnh đề 1.1.1 [8] T (M, x ¯) nón đóng T (M, x¯) ⊂ cone(M − x¯) Định nghĩa 1.1.2 Với M ⊂ X , ta định nghĩa T b (M, x¯) := {v ∈ X|∀tk → 0; ∃vk → v : x¯ + tk vk ∈ M, ∀k ∈ N} Ta gọi T b (M, x ¯) nón tiếp tuyến trung gian hay nón kề tập M điểm x¯ Mệnh đề 1.1.2 [8] (i) T b (M, x ¯) nón đóng (ii) Nếu M tập lồi, T b (M, x ¯) tập lồi T b (M, x¯) = cone(M − x¯) Nhận xét 1.1.1 (i) T b (M, x ¯) ⊂ T (M, x¯) (ii) Khi M tập lồi, ta có: T b (M, x ¯) = T (M, x¯) = cone(M − x¯) Ví dụ sau cho thấy T b (M, x ¯) = T (M, x¯) Ví dụ 1.1.1 Cho X = R, M = { 21i : i = 1, 2, }, với x ¯ ∈ M , ta có: T (M, x¯) = R+ , T b (M, x¯) = {0} Định nghĩa 1.1.3 Với M ⊂ X, x ¯ ∈ M, h ∈ X , ta định nghĩa: (i) T 2b (M, x ¯, h) := {v ∈ X|∀tk → 0+ ; ∃vk → v : x¯ + tk h + 21 t2k vk ∈ M, ∀k ∈ N}, (ii) T (M, x ¯, h) := {v ∈ X|∃tk → 0+ , ∃vk → v : x¯ + tk h + 12 t2k vk ∈ M, ∀k ∈ N}, ta gọi T 2b (M, x ¯, h) T (M, x¯, h) tập tiếp tuyến trung gian bậc hai tập tiếp tuyến bậc hai M theo phương h Nhận xét 1.1.2 (i) T 2b (M, x ¯, h) T (M, x¯, h) tập đóng, và: T 2b (M, x¯, h) ⊂ T (M, x¯, h), T 2b (M, x¯, 0) = T b (M, x¯), T (M, x¯, 0) = T (M, x¯) (ii) Nếu M tập lồi T 2b (M, x ¯, h) tập lồi, T (M, x¯, h) khơng lồi (ví dụ xem tài liệu tham khảo [9]) Định nghĩa 1.1.4 Cho M ⊂ X , M lồi, ta định nghĩa nón pháp tuyến M x ¯ tập N (M, x¯) := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ≤ 0, ∀x ∈ M }, tương đương với N (M, x¯) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , h ≤ 0, ∀h ∈ T (M, x¯)} 15 Sau kết quan trọng luận văn điều kiện cần cực trị: Định lý 2.2.1 Giả sử (¯ y , u¯) ∈ Φ nghiệm địa phương toán (2.1)(2.3) giả thiết (A1)-(A4) thỏa mãn Khi tồn hàm ϑ ∈ W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω) e ∈ L2 (Ω) cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) (Phương trình liên hợp) A∗ ϑ − fy [.]ϑ = −Ly [.] − gy [.]e Ω, ϑ = ∂Ω; (2.7) (ii) (Điều kiện dừng theo u) Lu [.] − fu [.]ϑ + gu [.]e = h.k.n; (2.8) (iii) (Điều kiện bù) g[x] = max (a(x), min(e(x) + g[x], b(x))) h.k.n x ∈ Ω; (2.9) (iv) (Điều kiện không âm bậc hai) (Lyy [x]y(x)2 + 2Lyu [x]y(x)u(x) + Luu [x]u(x)2 )dx Ω ϑ(x)(fyy (x)y(x)2 + 2fyu [x]y(x)u(x) + fuu [x]u(x)2 )dx − Ω e(x)(gyy [x]y(x)2 + 2gyu [x]y(x)u(x) + guu [x]u(x)2 )dx ≥ + Ω với (y, u) ∈ C[(¯ y , u¯)] Hơn ta có e ∈ L∞ (Ω) Chứng minh Ta chia chứng minh thành bước: Bước Đưa toán toán điều khiển tối ưu trừu tượng Ta ký hiệu E0 = L2 (Ω), E = L∞ (Ω) ta định nghĩa số ánh xạ: F : Y × U → E0 , G : Y × U → E, F (y, u) = Ay − fˆ(y, u); G(y, u) = gˆ(y, u); với fˆ, gˆ định nghĩa (2.6) Ta đặt: D = {(y, u) ∈ Y × U |F (y, u) = 0} (2.10) 16 Khi (¯ y , u¯) nghiệm địa phương toán: J(y, u) → (2.11) thỏa mãn F (y, u) = 0, (2.12) G(y, u) ∈ Q∞ (2.13) Bên cạnh đó, C[(¯ y , u¯)] bao đóng C0 [(¯ y , u¯)] Y × U C0 tập hợp cặp (y, u) ∈ Y × U cho điều kiện sau thỏa mãn: y , u¯), (y, u) ≤ 0; (c1 ) ∇J(¯ (c2 ) ∇F (¯ y , u¯), (y, u) = 0; y , u¯), (y, u) ∈ cone(Q∞ − G(¯ y , u¯)); (c3 ) ∇G(¯ Bài tốn (2.11)-(2.13) có hàm Lagrange cho bởi: L(y, u, v ∗ , e∗ ) := J(y, u) + v ∗ , F (y, u) + e∗ , G(y, u) , (2.14) v ∗ ∈ E0∗ e ∈ E ∗ với E0∗ = L2 (Ω) E ∗ = L∞ (Ω)∗ không gian đối ngẫu E0 E Bổ đề sau suy trực tiếp từ Định lý 1.3.1 Bổ đề 2.2.2 Giả sử (¯ y , u¯) nghiệm địa phương toán (2.11)-(2.13) giả thiết sau thỏa mãn: (H1) J, F G thuộc lớp C lân cận (¯ y , u¯) (H2) Ánh xạ Fy (y, u) song ánh (H3) Điều kiện quy Robinson thỏa mãn: E = ∇G(¯ y , u¯)(T (D, (¯ y , u¯))) − cone(Q∞ − G(¯ y , u¯)) Thì với phương tới hạn d = (y, u) ∈ C[(¯ y , u¯)], tồn véc tơ ϑ ∈ E0∗ e∗ ∈ E ∗ cho điều kiện sau thỏa mãn: 17 (i) (Phương trình liên hợp) Jy (¯ y , u¯) + Fy (¯ y , u¯)∗ ϑ + Gy (¯ y , u¯)∗ e∗ = 0; (2.15) (ii) (Điều kiện dừng theo u) Ju (¯ y , u¯) + Fu (¯ y , u¯)∗ ϑ + Gu (¯ y , u¯)∗ e∗ = 0; (2.16) e∗ ∈ N (Q∞ , G(¯ y , u¯)); (2.17) (iii) (Điều kiện bù ) (iv) (Điều kiện không âm bậc hai) D(y,u) L(¯ y , u¯, ϑ, e∗ )[(y, u), (y, u)] ≥ (2.18) Bước Suy điều kiện cần cực trị Ta kiểm tra giả thiết (H1)-(H3) Bổ đề 2.2.2 Từ giả thiết (A3), ta J, F G thuộc lớp C lân cận (¯ y , u¯) Ta có: ∇J(¯ y , u¯) = (Ly [.], Lu [.]), (2.19) Fy (¯ y , u¯) = A − fy [.], (2.20) Fu (¯ y , u¯) = −fu [.], Gy (¯ y , u¯) = gy [.], Gu (¯ y , u¯) = gu [.], (2.21) D(y,u) L(y, u, ϑ, e∗ ) = Lyy [.] − ϑfyy [.] + e∗ gyy [.] Lyu [.] − ϑfyu [.] + e∗ gyu [.] Luy [.] − ϑfuy [.] + e∗ guy [.] Luu [.] − ϑfuu [.] + e∗ guu [.] (2.22) (H1) thỏa mãn Ta kiểm tra (H2 ) Ta lấy u ∈ E0 = L2 (Ω) xét phương trình: Ay − fy (x, y¯(x), u¯(x))y = u Ω, y = ∂Ω (2.23) Bởi (A2), ta có −fy (x, y¯(x), u ¯(x)) ≥ h.k.n x ∈ Ω Theo định lý Lax-Milram, phương trình (2.23) có nghiệm y ∈ W01,2 (Ω) Áp dụng [Định lý 4, mục , 18 6.3, [11]] tính quy nghiệm phương trình elliptic miền có biên thuộc lớp C , ta có y ∈ W 2,2 (Ω) Do đó, y ∈ Y nghiệm phương trình: Fy (¯ y , u¯)y = u Vậy (H2) thỏa mãn Cuối cùng, ta kiểm tra giả thiết (H3) Vì Fy (y, u) song ánh, nên ∇F (¯ y , u¯) toàn ánh Bởi [[13], Bổ đề 2.2], ta có: T (D, (¯ y , u¯)) = {(y, u) ∈ Y × U |Fy (¯ y , u¯)y + Fu (¯ y , u¯)u = 0} = {(y, u) ∈ Y × U |Ay − fy [.]y = fu [.]u} Vì vậy, để kiểm tra giả thiết (H3), ta rằng, với e ∈ E , tồn (y, u) ∈ T (D, (¯ y , u¯)) cho: e = gy [.]y + gu [.]u Xét phương trình: Ay + (−fy [x] + fu [x] fu [x]gy [x] )y = e gu [x] gu [x] (2.24) Từ giả thiết (A4), áp dụng Định lý Lax-Milgram [Định lý 4, mục 6.3, [11]], phương trình (2.24) có nghiệm y ∈ Y Ta viết lại phương trình (2.24) dạng: Ay − fy [x]y = fu [x] Bằng cách đặt u = e−gy [x]y gu [x] , e − gy [x]y gu [x] ta có: Ay − fy [x]y = fu [x]u, e = gy [x]y + gu [x]u Do (H3) thỏa mãn Chúng ta chứng minh tất giả thiết Bổ đề 2.2.2 thỏa mãn Vì vậy, với d = (y, u) ∈ C[(¯ y , u¯)], tồn véc tơ ϑ ∈ L2 (Ω) e∗ ∈ L∞ (Ω)∗ thỏa mãn điều kiện (i)-(iv) Bổ đề 2.2.2 Chú ý e∗ độ đo có dấu, hữu hạn cộng tính Ω Các điều kiện (2.15) (2.16) viết lại thành: A∗ ϑ − fy [.]ϑ = −Ly [.] − gy [.]∗ e∗ (2.25) 19 gu [.]∗ e∗ = −Lu [.] + fu [.]ϑ, (2.26) A∗ tốn tử liên hợp A Bước Chứng minh tính quy nhân tử Lagrange Lấy v ∈ L∞ (Ω) bất kỳ, (2.4), tồn u ∈ L∞ (Ω) cho v = gu [.]u, kết hợp với (2.26) ta có: | e∗ , v | = | e∗ , gu [.]u | = | gu [.]∗ e∗ , u | ≤ | Lu [.], u | + | fu [.]ϑ, u | = Lu [x]u(x)dx + Ω = Lu [x] Ω ≤ γ fu [x]ϑ(x)u(x)dx Ω v(x) dx + gu [x] fu [x]ϑ(x) Ω v(x) dx gu [x] (|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)|v(x)|dx Ω Với ∆k dãy tập đo Ω, |∆k | → k → ∞ Từ kết định nghĩa e∗∆k , ta có: (|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)χ∆k (x)|v(x)|dx γ Ω v ∞ (|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)dx ≤ γ ∆k | e∗∆k , v | = | e∗ , χ∆k v | ≤ Ta suy ra: e∗∆k ≤ γ (|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)dx ∆k Vì |Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)| ∈ L2 (Ω) nên γ ∆k (|Lu [x]| + |fu [x]ϑ(x)|)dx ∗ → k → ∞ vậy, e∗∆k → k → ∞ Theo Bổ đề 2.2.2, e biểu diễn hàm e ∈ L1 (Ω) Từ (2.26), ta có: gu [x]e(x) = −Lu [x] + fu [x]ϑ(x) h.k.n x ∈ Ω (2.27) Từ (2.27) điều kiện |gu [x]| ≥ γ , ta suy e ∈ L2 (Ω) Vì từ (2.25), ta có: A∗ ϑ − fy [.]ϑ = −Ly [.] − gy [.]e (2.28) 20 Ta định nghĩa ánh xạ Q : Ω → 2R Q(x) = [a(x), b(x)] Từ (2.17) áp dụng [Hệ 4, [14]], ta có: e ∈ N (Q∞ , g[.]) ∩ L1 (Ω) = {θ ∈ L1 (Ω)|θ(x) ∈ N (Q(x), g[x]) h.k.n x ∈ Ω} (2.29) Do e(x), η − g[x] ≤ ∀η ∈ Q(x), hay (e(x) + g[x]) − g[x], η − g[x] ≤ ∀η ∈ Q(x) Theo [Định lý 5.2, [15]] g[x] = PQ(x) (e(x) + g[x]) hình chiếu (e(x) + g[x]) lên Q(x) Ta suy khẳng định (iii) Định lý 2.2.1 Ta chứng minh ϑ ∈ Y Ta nhắc lại rằng: A : D(A) ⊂ L2 (Ω) → L2 (Ω) toán tử xác định trù mật với D(A) = Y A∗ : D(A∗ ) ⊂ L2 (Ω) → L2 (Ω) ánh xạ liên hợp A Theo định nghĩa A∗ , ta có: D(A∗ ) = {v ∈ L2 (Ω)|∃v ∗ ∈ L2 (Ω), Ay, v = y, v ∗ } Từ (2.28), ta có ϑ ∈ D(A∗ ) Ta chứng minh D(A∗ ) = D(A) = Y Thật vậy, ta có A ánh xạ tuyến tính đối xứng Do đó: Ay, y˜ = y, A˜ y ∀y, y˜ ∈ D(A) (2.30) Do D(A) ⊂ D(A∗ ) Ta chứng minh D(A∗ ) ⊆ D(A) Lấy ϑ ∈ D(A∗ ), theo định nghĩa D(A∗ ), tồn h1 ∈ L2 (Ω) cho Ay, ϑ = y, h1 với y ∈ D(A) Vì h1 ∈ L2 (Ω), theo [Định lý 4,[11]], tồn y1 ∈ Y = D(A) cho Ay1 = h1 Tương tự, lấy h ∈ L2 (Ω), tồn y ∈ D(A) cho Ay = h, kết hợp với (2.30) ta có: h, ϑ − y1 = Ay, ϑ − Ay, y1 = y, h1 − y, Ay1 = y, h1 − y, h1 = (2.31) Vì (2.31), ta lấy h ∈ L2 (Ω) Do ϑ = y1 ∈ D(A) Vậy D(A∗ ) ⊆ D(A) Ta suy D(A∗ ) = D(A), ϑ ∈ Y = W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω) 21 Theo Định lý Rellich-Kondrachov (Định lý 6.2 [16]), ta có phép nhúng ¯ , ta có ϑ ∈ C(Ω) ¯ Kết hợp với (2.27) giả thiết (A4), ta W 2,2 (Ω) → C(Ω) suy e ∈ L∞ (Ω) Bước Chứng minh tính (ϑ, e) Giả sử với phương tới hạn d ∈ C[(¯ y , u¯)], có hai cặp (ϑ1 , e1 ) (ϑ2 , e2 ) cho khẳng định (i) (ii) Định lý 2.2.1 thỏa mãn Khi ta có: A(ϑ1 − ϑ2 ) − fy [.](ϑ1 − ϑ2 ) = gy [.](e1 − e2 ) (2.32) −fu [.](ϑ1 − ϑ2 ) + gu [.](e1 − e2 ) = Do e1 − e2 = fu [.](ϑ1 − ϑ2 ) Thế e1 − e2 vào (2.32), ta có: gu [.] A(ϑ1 − ϑ2 ) + (−fy [.] + gy [.]fu [.] )(ϑ1 − ϑ2 ) = gu [.] (2.33) gy [.]fu [.] ≥ Lấy tích vơ hướng hai vế (2.33) gu [.] sử dụng giả thiết (A1), ta thu λ ϑ1 − ϑ2 22 ≤ Do ϑ1 = ϑ2 ta suy Từ (A4) ta có −fy [.] + e1 = e2 Cuối cùng, từ tính (ϑ, e), ta thu từ (2.18) rằng: D(y,u) L(¯ y , u¯, ϑ, e)[(y, u), (y, u)] ≥ ∀(y, u) ∈ C[(¯ y , u¯)] (2.34) Từ (2.34) (2.22), ta thu khẳng định (iv) Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.1 chứng minh 2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỰC TRỊ BẬC HAI Để xây dựng điều kiện đủ cực trị bậc hai, trước tiên, ta cần phải mở rộng nón tới hạn Ta ký hiệu C [(¯ y , u¯)] tập phương tới hạn d = (y, u) ∈ Y × L2 (Ω) thỏa mãn điều kiện sau: 22 (c1 ) ∇J(¯ y , u¯), (y, u) = Ω (Ly [x]y(x) + Lu [x]u(x) ≤ 0; (c2 ) Ay − fy [.]y − fu [.]u = 0; (c3 ) gy [x]y(x) + gu [x]u(x) ∈ T (Q(x), g[x]) h.k.n x ∈ Ω, Q(x) = [a(x), b(x)] Sau kết phần Định lý 2.3.1 Giả sử (¯ y , u¯) ∈ Φ giả thiết (A1)-(A4) thỏa mãn Giả sử tồn (ϑ, e) ∈ Y × L2 (Ω) thỏa mãn điều kiện (i)-(iii) Định lý 2.2.1 D(y,u) L(¯ y , u¯, ϑ, e)[(y, u), (y, u)] > ∀(y, u) ∈ C [(¯ y , u¯)]\{(0, 0)} (2.35) Hơn nữa, tồn số γ0 > thỏa mãn Luu [x] − v(x)fuu [x] + e(x)guu [x] ≥ γ0 h.k.n x ∈ Ω Khi (¯ y , u¯) nghiệm mạnh địa phương toán (2.1)-(2.3) Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử (¯ y , u¯) khơng nghiệm mạnh địa phương tốn (2.1)-(2.3) Khi đó, tồn dãy (yk , uk ) ∈ Φ cho (yk , uk ) → (¯ y , u¯) J(yk , uk ) < J(¯ y , u¯) + o(t2k ), với tk = uk − u ¯k uˆk 2 → k → ∞ Ta đặt yˆk = yk −¯ y tk (2.36) u ˆk = uk −¯ u tk = Vì L2 (Ω) khơng gian phản xạ, ta giả sử uˆk chia phần lại chứng minh thành bước: ¯ Bước Chứng minh yˆk → yˆ C(Ω) Từ (yk , uk ) ∈ Φ, ta có Ayk = f (., yk , uk ) Do A(yk − y¯) = f (x, yk , uk ) − f (x, y¯, u¯) Khi uˆ Ta 23 Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có: A(yk − y¯) = fy (x, y¯ + ξ1 (x)(yk − y¯), uk )(yk − y¯) + fu (x, y¯, u¯ + ξ2 (x)(uk − u¯))(uk − u¯); (2.37) với ≤ ξ1 (x), ξ2 (x) ≤ Chia hai vế (2.37) cho tk , ta có: Aˆ yk − fy (x, y¯ + ξ1 (x)(yk − y¯), uk )ˆ yk = fu (x, y¯, u¯ + ξ2 (x)(uk − u¯)ˆ uk (2.38) Theo giả thiết (A2), −fy (x, y¯ + ξ(x)(yk − y¯), uk ) ≥ Theo giả thiết (A3), fu (x, y¯, u¯ +ξ2 (x)(uk − u¯) bị chặn Thật vậy, ta đặt M = u¯ ý y¯ ∞ ∞+ y¯ ∞ +1 (chú < ∞ theo Bổ đề 2.1.1) Khi |¯ y (x)| ≤ M, |¯ u +ξ2 (x)(uk −¯ u)| ≤ M k đủ lớn, tồn số kf M > cho: |fu (x, y¯, u¯ + ξ2 (x)(uk − u¯)| ≤ |f (x, 0, 0)| + kf M (|¯ y (x)| + |¯ u(x)| + 1) Áp dụng [Định lý 4, trang 317, [11]] cho phương trình (2.38), tồn số C > phụ thuộc vào Ω cho: yˆk 2,2 ≤ C( fu (., y¯, u¯ + ξ2 (uk − u¯))ˆ uk ) ≤ C fu (., y¯, u¯ + ξ2 (uk − u¯)) ≤ C( fu (., 0, 0) ∞ ∞ + kf M ( y¯ ∞ uˆk + u¯ ∞ + 1)), yˆ với yˆ ∈ Y Áp dụng Định lý ¯ Rellich-Kondrachov (Định lý 6.2, [16]), ta có phép nhúng compact Y → C(Ω) với k đủ lớn Vì vậy, ta giả sử yˆk ¯ Do yˆk → yˆ C(Ω) Bước Chứng minh (ˆ y , uˆ) ∈ C [(¯ y , u¯)] Từ (2.36) sử dụng khai triển Taylor, ta có: ∇J(¯ y , u¯), (ˆ yk , uˆk ) + o(tk ) o(t2k ) ≤ tk tk (2.39) Cho k → ∞, ta có J(¯ y , u¯), (ˆ y , uˆ) ≤ 0, ta thu (ˆ y , uˆ) thỏa mãn (c1 ) Cho k → ∞ (2.38), ta có: Aˆ y − fy [.]ˆ y = fu [.]ˆ u 24 Ta suy (c2 ) thỏa mãn Ta sử dụng G(yk , uk ) − G(¯ y , u¯) ∈ Q∞ − G(¯ y , u¯), Q∞ tập lồi L∞ (Ω) khai triển Taylor, ta có: ∇G(¯ y , u¯), (ˆ yk , uˆk ) + o(tk ) ∈ (Q∞ − G(¯ y , u¯)) tk tk ∈ cone(Q∞ − G(¯ y , u¯)) (2.40) ⊂ cone(Q∞ − G(¯ y , u¯)) = T (Q∞ , G(¯ y , u¯)) Với T (Q∞ , G(¯ y , u¯)) nón tiếp tuyến Q∞ khơng L∞ (Ω) Ta có: T (Q∞ , G(¯ y , u¯)) ⊂ {v ∈ L∞ (Ω)|v(x) ∈ T (Q(x), g[x]) h.k.n x ∈ Ω} ⊂ {v ∈ L2 (Ω)|v(x) ∈ T (Q(x), g[x]) h.k.n x ∈ Ω} = TL2 (Ω) (Q∞ , G(¯ y , u¯)), với TL2 (Ω) (Q∞ , G(¯ y , u¯)) nón tiếp tuyến Q∞ G(¯ y , u¯) L2 (Ω) Vì TL2 (Ω) (Q∞ , G(¯ y , u¯)) tập lồi, đóng L2 (Ω) nên TL2 (Ω) (Q∞ , G(¯ y , u¯)) tập đóng yếu L2 (Ω) Cho k → ∞ (2.40) ta có: ∇G(¯ y , u¯), (ˆ y , uˆ) = gy [.]ˆ y + gu [.]ˆ u ∈ TL2 (Ω) (Q∞ , G(¯ y , u¯)) = {v ∈ L2 (Ω)|v(x) ∈ T (Q(x), g[x]) h.k.n x ∈ Ω} Ta suy (ˆ y , uˆ) thỏa mãn điều kiện (c3 ) Ta chứng minh xong (ˆ y , uˆ) ∈ C [(¯ y , u¯)] Bước Ta chứng minh (ˆ y , uˆ) = (0, 0) Chú ý điều kiện (i) (ii) Định lý 2.2.1 tương đương với: D(y,u) L(¯ y , u¯, ϑ, e) = (2.41) Theo (2.29), điều kiện (iii) Định lý 2.2.1 tương đương với: e ∈ N (Q∞ , g[.]) ∩ L1 (Ω) (2.42) 25 Từ (2.41) sử dụng khai triển Taylor, ta có: L(yk , uk , ϑ, e) − L(¯ y , u¯, ϑ, e) = tk D(y,u) L(¯ y , u¯, ϑ, e)(ˆ yk , uˆk ) + t2k D(y,u) L(¯ y , u¯, ϑ, e)[(ˆ yk , uˆk ), (ˆ yk , uˆk )] + o(t2k ) t2k y , u¯, ϑ, e)[(ˆ yk , uˆk ), (ˆ yk , uˆk )] + o(t2k ) = D(y,u) L(¯ Mặt khác, sử dụng (2.42), ta có: L(yk , uk , ϑ, e) − L(¯ y , u¯, ϑ, e) = J(yk , uk ) − J(y, u) + ϑ, F (yk , uk ) − F (¯ y , u¯) + e, G(yk , uk ) − G(¯ y , u¯) ≤ J(yk , uk ) − J(¯ y , u¯) ≤ o(tk )2 Do D(y,u) L(¯ y , u¯, ϑ, e)[(ˆ yk , uˆk ), (ˆ yk , uˆk )] o(t2k ) ≤ tk (2.43) Cho k → ∞, ta thu được: D(y,u) L(¯ y , u¯, ϑ, e)[(ˆ y , uˆ), (ˆ y , uˆ)] ≤ (2.44) Kết hợp (2.44) (2.35), ta có (ˆ y , uˆ) = (0, 0) Bước Chỉ mâu thuẫn Từ (2.43) (2.22) giả thiết định lý, ta có: o(t2k ) ≥ D(y,u) L(¯ y , u¯, ϑ, e)[(ˆ yk , uˆk ), (ˆ yk , uˆk )] t2k (Lyy [x]ˆ yk (x)2 + 2Lyu [x]ˆ yk (x)ˆ uk (x) + Luu [x]ˆ uk (x)2 )dx = Ω ϑ(x)(fyy [x]ˆ yk (x)2 + 2fyu [x]ˆ yk (x)ˆ uk (x) + fuu [x]ˆ uk (x)2 )dx − Ω e(x)(gyy [x]ˆ yk (x)2 + 2gyu yˆk (x)ˆ uk (x) + guu [x]ˆ uk (x)2 )dx + Ω (Lyy [x]ˆ yk (x)2 + 2Lyu [x]ˆ yk (x)ˆ uk (x))dx + γ0 ≥ Ω ϑ(x)(fyy [x]ˆ yk (x)2 + 2fyu [x]ˆ yk (x)ˆ uk (x))dx − Ω e(x)(gyy [x]ˆ yk (x)2 + 2gyu [x]ˆ yk (x)ˆ uk (x))dx + Ω 26 ¯ uˆk Cho k → ∞, ý yˆk → C(Ω) ≥ γ0 , vô lý Định lý 2.3.1 chứng minh L2 (Ω), ta thu 27 CHƯƠNG KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ • KẾT LUẬN Luận văn đưa kết sau: - Chương trình bày số kết cơng cụ giải tích biến phân thường sử dụng toán tối ưu Các kết quan trọng phần là: Định lý 1.2.2 tồn nhân tử Lagrange, Định lý 1.2.3 Định lý 1.3.1 điều kiện cần cực trị bậc hai toán quy hoạch toán học trừu tượng tốn điều khiển tối ưu trừu tượng Ngồi Chương 1, luận văn nêu số định nghĩa kết nghiệm phương trình elliptic - Chương chứng minh điều kiện cần cực trị bậc một, bậc hai tính quy nhân tử Lagrange (ϑ ∈ W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω), e ∈ L2 (Ω), nữa, e ∈ L∞ (Ω)) toán (2.1)-(2.3) Đây kết quan trọng luận văn Cũng Chương 2, cách sử dụng kết phép nhúng compact (Định lý Rellich-Kondrachov, tr.144, [16]) luận văn đưa chứng minh điều kiện đủ cực trị bậc hai cho tốn (2.1)(2.3) • KIẾN NGHỊ Từ kết thu được, tác giả đưa kiến nghị hướng nghiên cứu xây dựng phương pháp số để tìm nghiệm tốn (2.1) − (2.3) 28 Tài liệu tham khảo [1] T D Binh, B T Kien, X Qin and C.-F Wen, 2019, Regularity of multipliers in second-order optimality conditions for semilinear elliptic control problems, submitted [2] J F Bonnans and E Casas, 1995, An extension of Pontryagin’s principle for state-contrained optimal control of semilinear elliptic equations and variational inequalities, SIAM Journal on Control and Optimization, 33, (1), pp 274-298 [3] T Bayen, J F Bonnans and F J Silva, 2014, Characterization of local quadratic growth for strong minima in the optimal control of semi-linear elliptic equations, Transactions of the American Mathematical Society, 366, pp 2063-2087 [4] E Casas and F Trăoltzsch, 2010, Recent advances in the analysis of pointwise state-constrained elliptic optimal control problems, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 16, (3), pp 581-600 [5] X Li and J Yong, 1995, Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems, Birkhăauser, Boston [6] A Răosch and F Trăoltzsch, 2006, Existence of regular Lagrange multiplier for a nonlinear elliptic optimal control problem with pointwise control-state contraints, SIAM Journal on Control and Optimization, 45, (2), pp 548564 [7] A Răosch and F Trăoltzsch, 2007, On regularity of solutions and Lagrange multipliers of optimal control problems for semi-linear elliptic equations with pointwise control-state constraints, SIAM Journal on Control and Optimization, 46, (3), pp 1198-1115 29 [8] Nguyễn Đơng n, 2007, Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [9] J F Bonnans and A Shapiro, 2000, Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York [10] B T Kien, N V Tuyen and J -C Yao, 2018, Second-order KKT optimality condition for multi-opjective optimal control problem, SIAM Journal on Control and Optimization, 56, (6), pp 4069-4097 [11] L C Evans, 2010, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence [12] A D Ioffe and V M Tihomirov, 1979, Theory of Extremal Problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam [13] B T Kien and V H Nhu, 2014, Second-order necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise contraints, SIAM Journal on Control and Optimization, 52, (2), pp 1162-1202 [14] Z Páles, 1999, Characterization of L1 -closed decomposable sets in L∞ , Journal of Mathematical Analysis and Applications, 238, pp 491-515 [15] H Bresis, 2011, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York [16] R A Adams, 1975, Sobolev Space, Academic Press, New York ... trình elliptic ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC 2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG... CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC 2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC Cho. .. DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Trịnh Duy Bình ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN