Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Trịnh Duy Bình ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019 HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Trịnh Duy Bình ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC Chuyên ngành: Mã số: Toán ứng dụng 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Bùi Trọng Kiên Hà Nội – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn "Điều kiện cực trị tính quy nhân tử Lagrange cho toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic" cơng trình nghiên cứu tơi Mọi kết nghiên cứu trước tác giả khác trích dẫn cụ thể Nội dung luận văn chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Người cam đoan Trịnh Duy Bình LỜI CẢM ƠN Sau trình học tập nghiên cứu Khoa Tốn học, Học viện Khoa học Cơng nghệ, đến luận văn hoàn thành Trước tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Bùi Trọng Kiên Thầy người tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tơi vượt qua nhiều khó khăn q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô seminar Điều khiển tối ưu - Viện Toán học nhiệt tình góp ý, giúp đỡ tơi thời gian thực đề tài Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học - Viện Toán học phòng Đào tạo - Học viện Khoa học Công nghệ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học cao học học viện Hơn nữa, tơi xin gửi lời cảm ơn tới tồn thể bạn bè, gia đình tơi, người sát cánh bên quãng thời gian qua Trịnh Duy Bình Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG 1.1 MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ PHÂN 1.2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬ TOÁNHỌC 1.3 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CH ƯUTRỪUTƯỢNG 1.4 Một số kết nghiệ ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC 2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIP 2.2 ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC H CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRAN 2.3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ĐIỀUKIỆNĐỦCỰCTRỊBẬCHAI 27 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT h.k.n R cone(M) int(M); M BX (x; r) j:j k:kp; k:k2;2 hf; xi f X xk * x D(y;u)f(x; y; u), D2 (y;u) f(x; y; u) MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển tối ưu có nhiều ứng dụng kinh tế, học khoa học vũ trụ Lý thuyết phát triển rực rỡ vào năm 1960 kỉ trước mà hai nguyên lý nguyên lý cực đại Pontryagin nguyên lý Bellman đời Ngày điều khiển tối ưu phát triển thành nhiều nhánh khác điều khiển tối ưu với phương trình vi phân thường, điều khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng, điều khiển tối ưu đa mục tiêu Gần toán điều khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà toán học quan tâm Trong luận văn này, quan tâm nghiên cứu toán điều khiển tối ưu cho phương trình semilinear elliptic sau Cho N tập mở, bị chặn R với N = 2; biên @ thuộc lớp C Ta xét toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic: J(y; u) = Z Trong A định nghĩa bởi: Ay = X N Di(aij(x)yxj (x)): i;j=1 Các ánh xạ L; f; g : R R ! R hàm Carathéodory a; b L ( ) Việc thiết lập điều kiện cực trị bậc bậc hai cho toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic vấn đề thời sự, quan tâm nhiều nhà toán học (như tài liệu tham khảo từ [2] đến [7]) Đối với lớp toán điều khiển tối ưu này, biến điều khiển thường thuộc p không gian L ( ) với p < L ( ) việc thiết lập điều kiện tối ưu p phụ thuộc vào không gian chứa biến điều khiển Khi u L ( ) với p < 1, nhận thấy tồn nhân tử Lagrange quy cho tốn điều khiển tối ưu dễ dàng có Trong q trường hợp này, nhân tử Lagrange thuộc không gian L ( ) không gian p p đối ngẫu L ( ) Tuy nhiên trường hợp u L ( ) với p < 1, hàm chi phí J hàm f; g khó khả vi theo biến u không gian p L ( ) Để khắc phục khó khăn này, giả thiết u L ( ) Nhưng trường hợp này, nhân tử Lagrange độ đo mà khơng hàm số Điều dẫn tới vấn đề phải nghiên cứu tính quy nhân tử Lagrange, việc tìm điều kiện làm cho nhân tử Lagrange p thuộc không gian L ( ) Vấn đề nghiên cứu gần số nhà toán học (như [6] [7]) Đặc biệt, tài liệu [7], việc s dng nh lý Yosida-Hewitt, A.Roschă v F Troltzschă chng minh rằng, số p điều kiện định, nhân tử Lagrange thuộc vào không gian L ( ) Mục tiêu luận văn xây dựng điều kiện cực trị nghiên cứu tính quy nhân tử Lagrange Cụ thể đưa điều kiện, tiêu chuẩn, mà đó, nhân tử Lagrange p điều kiện tối ưu tốn (1)-(3) thuộc vào khơng gian L ( ) với p Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức kiện liên quan đến giải tích biến phân, tốn quy hoạch phương trình elliptic Chương trình bày kết luận văn tồn tính quy nhân tử Lagrange điều kiện tối ưu bậc hai toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic Nội dung luận văn viết dựa công trình tác giả cộng hướng nghiên cứu Bài báo gửi đăng CHƯƠNG ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG 1.1 MỘT SỐ CƠNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN Trong mục này, ta giả thiết X không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho M X, x M Một véc tơ v thuộc X gọi véc tơ tiếp tuyến M x tồn dãy ftkgk2N ; fvkgk2N + cho tk ! ; vk ! v; k ! thỏa mãn x + tkvk M Ta ký hiệu T (M; x) tập véc tơ tiếp tuyến v M T (M; x) gọi nón tiếp tuyến hay nón Bouligand Mệnh đề 1.1.1 [8] T (M; x) nón đóng T (M; x) cone(M x) Định nghĩa 1.1.2 Với M X, ta định nghĩa b k T (M; x) := fv Xj8t ! 0; 9vk ! v : x + tkvk M; 8k Ng: b Ta gọi T (M; x) nón tiếp tuyến trung gian hay nón kề tập M điểm x Mệnh đề 1.1.2 [8] b (i) T (M; x) nón đóng b b (ii) Nếu M tập lồi, T (M; x) tập lồi T (M; x) = cone(M x) b Nhận xét 1.1.1 (i) T (M; x) T (M; x) b (ii) Khi M tập lồi, ta có: T (M; x) = T (M; x) = cone(M b Ví dụ sau cho thấy T (M; x) 6= T (M; x) x) Ví dụ 1.1.1 Cho X = R; M = f2 i : i = 1; 2; :::g, với x M, ta có: + T (M; x) = R ; b T (M; x) = f0g: Định nghĩa 1.1.3 Với M X; x M; h X, ta định nghĩa: (i) T 2b + (M; x; h) := fv Xj8tk ! ; 9vk ! v : x + tkh + 2t kvk M; 8k Ng; + (ii) T (M; x; h) := fv Xj9tk ! ; 9vk ! v : x + tkh + 2t kvk M; 8k Ng; 2b ta gọi T (M; x; h) T (M; x; h) tập tiếp tuyến trung gian bậc hai tập tiếp tuyến bậc hai M theo phương h Nhận xét 1.1.2 (i) T 2b (M; x; h) T (M; x; h) tập đóng, và: T 2b (M; x; h) T 2b T (M; x; h); b (M; x; 0) = T (M; x); T (M; x; 0) = T (M; x): 2b (ii) Nếu M tập lồi T (M; x; h) tập lồi, T (M; x; h) khơng lồi (ví dụ xem tài liệu tham khảo [9]) Định nghĩa 1.1.4 Cho M X, M lồi, ta định nghĩa nón pháp tuyến M x tập NM; x ( ) := f tương đương với N(M; x) = fx X jhx ; hi 0; 8h T (M; x)g: fy[:]# = Ly[:] gy[:] e (2.25) 19 gu[:] e = Lu[:] + fu[:]#; A toán tử liên hợp A Bước Chứng minh tính quy nhân tử Lagrange 1 Lấy v L ( ) bất kỳ, (2.4), tồn u L ( ) cho v = g u[:]u, kết hợp với (2.26) ta có: jhe ; vij = jhe ; gu[:]uij = jhgu[:] e ; uij jhLu[:]; uij + jhfu[:]#; uij = = Z Với k dãy tập đo định nghĩa e k , ta có: Ta suy ra: ke k k R Vì jLu[x]j+jfu[x]#(x)j L ( ) nên k (jLu[x]j+jfu[x]#(x)j)dx ! k ! vậy, ke k k ! k ! Theo Bổ đề 2.2.2, e biểu diễn hàm e L ( ) Từ (2.26), ta có: gu[x]e(x) = Lu[x] + fu[x]#(x) h:k:n x : Từ (2.27) điều kiện jgu[x]j , ta suy e L ( ) Vì từ (2.25), ta có: A # fy[:]# = Ly[:] gy[:]e: 20 R Ta định nghĩa ánh xạ Q : ! Q(x) = [a(x); b(x)] Từ (2.17) áp dụng [Hệ 4, [14]], ta có: e 1 N(Q1; g[:]) \ L ( ) = f L ( )j (x) N(Q(x); g[x]) h.k.n x g: Do he(x); g[x]i Q(x); hay h(e(x) + g[x]) g[x]; g[x]i Q(x): Theo [Định lý 5.2, [15]] g[x] = P Q(x)(e(x) + g[x]) hình chiếu (e(x) + g[x]) lên Q(x) Ta suy khẳng định (iii) Định lý 2.2.1 2 Ta chứng minh # Y Ta nhắc lại rằng: A : D(A) L ( ) ! L ( ) toán tử 2 xác định trù mật với D(A) = Y A : D(A ) L ( ) ! L ( ) ánh xạ liên hợp A Theo định nghĩa A , ta có: 2 D(A ) = fv L ( )j9v L ( ); hAy; vi = hy; v ig: Từ (2.28), ta có # D(A ) Ta chứng minh D(A ) = D(A) = Y Thật vậy, ta có A ánh xạ tuyến tính đối xứng Do đó: hAy; y~i = hy; Ay~i 8y; y~ D(A): Do D(A) D(A ) Ta chứng minh D(A ) D(A) Lấy # D(A ), theo định nghĩa D(A ), tồn h L ( ) cho hAy; # i = hy; h1i với y D(A) Vì h1 L ( ), theo [Định lý 4,[11]], tồn y Y = D(A) cho Ay1 = h1 Tương tự, lấy h L ( ), tồn y D(A) cho Ay = h, kết hợp với (2.30) ta có: hh; #0 y1i = hAy; #0i h Ay; y1i = hy; h1i h y; Ay1i (2.31) = hy; h1i h y; h1i = 0: Vì (2.31), ta lấy h L ( ) Do # = y1 D(A) Vậy D(A ) 2;2 1;2 D(A) Ta suy D(A ) = D(A), # Y = W ()\W ( ): Theo Định lý Rellich-Kondrachov (Định lý 6.2 [16]), ta có phép nh 2;2 W suy e L ( ) Bước Chứng minh tính (#; e) Giả sử với phương tới hạn d C[(y; u)], có hai cặp (# 1; e1) (#2; e2) cho khẳng định (i) (ii) Định lý 2.2.1 thỏa mãn Khi ta có: Do e1 A(#1 Từ (A4) ta có sử dụng giả thiết (A1), ta thu k#1 e1 = e2 Cuối cùng, từ tính (#; e), ta thu từ (2.18) rằng: D( y;u)L(y; u; #; e)[(y; u); (y; u)] 8(y; u) C[(y; u)]: Từ (2.34) (2.22), ta thu khẳng định (iv) Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.1 chứng minh 2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỰC TRỊ BẬC HAI Để xây dựng điều kiện đủ cực trị bậc hai, trước tiên, ta cần phải mở rộng nón tới hạn Ta ký hiệu C [(y; u)] tập phương tới hạn d = (y; u) Y L ( ) thỏa mãn điều kiện sau: R 00 hrJ(y; u); (y; u)i = 00 Ay fy[:]y fu[:]u = 0; 00 gy[x]y(x) + gu[x]u(x) [a(x); b(x)]: (c1) (c2) (c3) Sau kết phần Định lý 2.3.1 Giả sử (y; u) giả thiết (A1)-(A4) thỏa mãn Giả sử tồn (#; e) Y L ( ) thỏa mãn điều kiện (i)-(iii) Định lý 2.2.1 D2 (y;u) y; u; #; e L( Luu[x] Khi (y; u) nghiệm mạnh địa phương toán (2.1)-(2.3) Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử (y; u) không nghiệm mạnh địa phương tốn (2.1)-(2.3) Khi đó, tồn dãy (y k; uk) cho (yk; uk) ! (y; u) J(yk; uk) < J(y; u) + o(t ); k với tk = kuk ukk2 ! k ! Ta đặt y^ k = yk y tk u^k = uk u tk Khi ku^kk2 = Vì L ( ) khơng gian phản xạ, ta giả sử u^k * u^ Ta chia phần lại chứng minh thành bước: ! Bước Chứng minh y^ky^ C( ) Từ (yk; uk) , ta có Ayk = f(:; yk; uk): Do A(yk y) = f(x; yk; uk) f(x; y; u): 23 Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có: A(yk y) = fy(x; y + 1(x)(yk + fu(x; y; u + 2(x)(uk với 1(x); 2(x) Chia hai vế (2.37) cho tk, ta có: Ay^k fy(x; y + 1(x)(yk y); uk)^yk = fu(x; y; u + 2(x)(uk Theo giả thiết (A2), fy(x; y + (x)(yk fu(x; y; u+ 2(x)(uk y); uk) u)^uk: (2.38) Theo giả thiết (A3), u) bị chặn Thật vậy, ta đặt M = kuk1 +kyk1 +1 (chú ý kyk1 < theo Bổ đề 2.1.1) Khi jy(x)j M; ju+ 2(x)(uk M u)j k đủ lớn, tồn số kf M > cho: jfu(x; y; u + 2(x)(uk u)j jf(x; 0; 0)j + kf M (jy(x)j + ju(x)j + 1): Áp dụng [Định lý 4, trang 317, [11]] cho phương trình (2.38), tồn số C > phụ thuộc vào ky^kk2;2 cho: u))^ukk2) C(kfu(:; y; u + 2(uk Ckfu(:; y; u + 2(uk u))k1ku^kk2 C(kfu(:; 0; 0)k1 + kf M (kyk1 + kuk1 + 1)); với k đủ lớn Vì vậy, ta giả sử y^ k * y^ với y^ Y Áp dụng Định lý Rellich-Kondrachov (Định lý 6.2, [16]), ta có phép nhúng compact Y ,! C( ) Do y^k ! y^ C( ) Bước Chứng minh (^y; u^) C [(y; u)]: Từ (2.36) sử dụng khai triển Taylor, ta có: hrJ(y; u); (^yk; u^k)i + 00 Cho k ! 1, ta có hJ(y; u); (^y; u^)i 0, ta thu (^y; u^) thỏa mãn (c1) Cho k ! (2.38), ta có: Ay^ fy[:]^y = fu[:]^u: 24 00 Ta suy (c2) G(y; u) thỏa mãn Ta sử dụng G(yk; uk) Q1 G(y; u), Q1 tập lồi L ( ) khai triển Taylor, ta có: Với T (Q1; G(y; u)) nón tiếp tuyến Q1 khơng L ( ) Ta có: TQ ( = TL2( )(Q1; G(y; u)); với TL2( )(Q1; G(y; u)) nón tiếp tuyến Q1 G(y; u) L ( ) Vì TL2( )(Q1; G(y; u)) tập lồi, đóng L ( ) nên TL2( )(Q1; G(y; u)) tập đóng yếu L ( ) Cho k ! (2.40) ta có: hrG(y; u); (^y; u^)i = gy[:]^y + gu[:]^u TL2( )(Q1; G(y; u)) = fv L ( )jv(x) T (Q(x); g[x]) h:k:n 00 x2 g: Ta suy (^y; u^) thỏa mãn điều kiện (c 3) Ta chứng minh xong (^y; u^) C [(y; u)] Bước Ta chứng minh (^y; u^) = (0; 0): Chú ý điều kiện (i) (ii) Định lý 2.2.1 tương đương với: D(y;u)L(y; u; #; e) = 0: Theo (2.29), điều kiện (iii) Định lý 2.2.1 tương đương với: e N(Q1; g[:]) \ L ( ): 25 Từ (2.41) sử dụng khai triển Taylor, ta có: L(yk; uk; #; e) L (y; u; #; e) = tkD(y;u)L(y; u; #; e)(^yk; u^k) + t k 2D(y;u)L(y; u; #; e)[(^yk; u^k); (^yk; u^k)] + o(tk): = Mặt khác, sử dụng (2.42), ta có: L(yk; uk; #; e) L (y; u; #; e) = J(yk; uk) J(y; u) + h#; F (yk; uk) J(yk; uk) J(y; u) F (y; u)i + he; G(yk ; uk) G(y; u)i o(tk)2: Do D( y;u)L(y; u; #; e) Cho k ! 1, ta thu được: D( y;u)L(y; u; #; e)[(^y; Kết hợp (2.44) (2.35), ta có (^y; u^) = (0; 0) Bước Chỉ mâu thuẫn Từ (2.43) (2.22) giả thiết định lý, ta có: o(t ) k t2 = Z u; #; e)[(^y 2 (Lyy[x]^yk(x) + 2Lyu[x]^yk(x)^uk(x) + Luu[x]^uk(x) )dx 2 #(x)(fyy[x]^yk(x) + 2fyu[x]^yk(x)^uk(x) + fuu[x]^uk(x) )dx + Z y;u)L(y; k Z Z D( 2 e(x)(gyy[x]^yk(x) + 2gyuy^k(x)^uk(x) + guu[x]^uk(x) )dx (Lyy[x]^yk(x) + 2Lyu[x]^yk(x)^uk(x))dx + Z Z #(x)(fyy[x]^yk(x) + 2fyu[x]^yk(x)^uk(x))dx + e(x)(gyy[x]^yk(x) + 2gyu[x]^yk(x)^uk(x))dx: 26 Cho k ! 1, ý y^k ! C( ) u^k 00, vô lý Định lý 2.3.1 chứng minh 27 CHƯƠNG KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Luận văn đưa kết sau: - Chương trình bày số kết cơng cụ giải tích biến phân thường sử dụng toán tối ưu Các kết quan trọng phần là: Định lý 1.2.2 tồn nhân tử Lagrange, Định lý 1.2.3 Định lý 1.3.1 điều kiện cần cực trị bậc hai toán quy hoạch toán học trừu tượng toán điều khiển tối ưu trừu tượng Ngoài Chương 1, luận văn nêu số định nghĩa kết nghiệm phương trình elliptic - Chương chứng minh điều kiện cần cực trị bậc một, bậc hai tính quy nhân tử Lagrange (# W 2;2 ( ) \ W0 1;2 ( ); e L ( ), nữa, e L ( )) toán (2.1)-(2.3) Đây kết quan trọng luận văn Cũng Chương 2, cách sử dụng kết phép nhúng compact (Định lý RellichKondrachov, tr.144, [16]) luận văn đưa chứng minh điều kiện đủ cực trị bậc hai cho toán (2.1)-(2.3) KIẾN NGHỊ Từ kết thu được, tác giả đưa kiến nghị hướng nghiên cứu xây dựng phương pháp số để tìm nghiệm tốn (2.1) (2.3) 28 Tài liệu tham khảo [1] T D Binh, B T Kien, X Qin and C.-F Wen, 2019, Regularity of multi-pliers in second-order optimality conditions for semilinear elliptic control problems, submitted [2] J F Bonnans and E Casas, 1995, An extension of Pontryagin’s principle for state-contrained optimal control of semilinear elliptic equations and varia-tional inequalities, SIAM Journal on Control and Optimization, 33, (1), pp 274-298 [3] T Bayen, J F Bonnans and F J Silva, 2014, Characterization of local quadratic growth for strong minima in the optimal control of semi-linear elliptic equations, Transactions of the American Mathematical Society, 366, pp 2063-2087 [4] E Casas and F Troltzsch,ă 2010, Recent advances in the analysis of point-wise state-constrained elliptic optimal control problems, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 16, (3), pp 581-600 [5] X Li and J Yong, 1995, Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems, Birkhauser,ă Boston [6] A Roschă and F Troltzsch,ă 2006, Existence of regular Lagrange multiplier for a nonlinear elliptic optimal control problem with pointwise control-state contraints, SIAM Journal on Control and Optimization, 45, (2), pp 548-564 [7] A Roschă and F Troltzsch,ă 2007, On regularity of solutions and Lagrange multipliers of optimal control problems for semi-linear elliptic equations with pointwise control-state constraints, SIAM Journal on Control and Op-timization, 46, (3), pp 1198-1115 29 [8] Nguyễn Đông n, 2007, Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [9] J F Bonnans and A Shapiro, 2000, Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York [10]B T Kien, N V Tuyen and J -C Yao, 2018, Second-order KKT optimal-ity condition for multi-opjective optimal control problem, SIAM Journal on Control and Optimization, 56, (6), pp 4069-4097 [11] L C Evans, 2010, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence [12]A D Ioffe and V M Tihomirov, 1979, Theory of Extremal Problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam [13]B T Kien and V H Nhu, 2014, Second-order necessary optimality condi-tions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise contraints, SIAM Journal on Control and Optimization, 52, (2), pp 1162-1202 [14] Z Páles, 1999, Characterization of L -closed decomposable sets in L , Journal of Mathematical Analysis and Applications, 238, pp 491-515 [15]H Bresis, 2011, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differ-ential Equations, Springer, New York R A Adams, 1975, Sobolev Space, Academic Press, New York [16] ... ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC 2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC. .. CH ƯUTRỪUTƯỢNG 1.4 Một số kết nghiệ ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC 2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN CỦA...HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Trịnh Duy Bình ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC Chuyên ngành: