Tính chính quy của nghiệm hệ phương trình navier stokes dựa trên tiêu chuẩn năng lượng

Phạm Thị Thủy – người đã trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hồn thành luận văn.. 6Chương 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNHNAVIE

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––––

LƯ THU HUYỀN

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

DỰA TRÊN TIÊU CHUẨN NĂNG LƯỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––––

LƯ THU HUYỀN

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES DỰA TRÊN TIÊU CHUẨN NĂNG LƯỢNG

Ngành: Toán giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN – 2022

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung được trình bày trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2022

Giáo viên hướng dẫn

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.Phạm Thị Thủy Do đây là phần kiến thức khá mới và khoảng thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và mọi người để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy – người

đã trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các quý thầy cô đã quan tâm, nhiệt tình giảng dạy trong suốt khóa học Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Trân trọng cảm ơn!

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Hệ phương trình Navier-Stokes… 2

1.2 Một số bổ đề 4

1.2.1 Không gian hàm trơn 4

1.2.2 Một số bổ đề bổ trợ 6

Chương 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES DỰA TRÊN TIÊU CHUẨN NĂNG LƯỢNG 8

2.1 Tính chính quy của nghiệm yếu dựa trên một thành phần đạo hàm của vectơ vận tốc 8

2.2 Tính chính quy của nghiệm yếu trên miền không bị chặn 26

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

MỞ ĐẦU

Trong quá trình nghiên cứu các bài toán thực tế về phương trình đạo hàm riêng, các nhà toán học đã phát hiện và áp dụng các phương pháp mới để giải quyết những vấn đề về sóng, cơ truyền nhiệt, thủy động lực học và các bài toán vật lý khác Tiêu biểu trong đó là hệ phương trình Navier-Stokes - một công trình toán học mô tả chuyển động của chất lỏng, ví dụ như dòng chảy của đại dương hoặc việc tạo ra một xoáy nước nhỏ bên trong dòng chảy

Trong thế kỉ XX, bài toán về nghiệm của phương trình Navier – Stokes đã được nghiên cứu dưới dạng tổng quát Điều này dẫn đến khái niệm về nghiệm yếu Ngoài ra, do phương trình Navier-Stokes được xét trong  (n n hoặc 23

n ) nên việc nghiên cứu đã được mở rộng hơn rất nhiều Đặc biệt với n , 3những kết quả đạt được về tính chính quy của nghiệm hệ phương trình là vấn

đề mang tính thời sự, thu hút sự quan tâm của các nhà toán học trên toàn thế giới trong đó có Beirao da Veiga H [3], Sohr H [6], Zhou Z , Pokorný M [9] Chính vì những lí do ở trên, chúng tôi chọn đề tài luận văn: “ Tính chính quy của nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes dựa trên tiêu chuẩn năng lượng ” Luận văn được bố cục thành 2 chương cùng với mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo Trong đó, Chương 2 là nội dung chính của luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm và kết quả được sử dụng trong Chương 2

Chương 2: Tính chính quy của nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes dựa trên tiêu chuẩn năng lượng

Chương này trình bày nghiệm yếu, chứng minh tính chính quy của nghiệm dựa trên một thành phần đạo hàm của vectơ vận tốc, tính chính quy của nghiệm yếu trên miền không bị chặn

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, tôi trình bày về phương trình Navier-Stokes, một số các định lý và bổ để bổ trợ cho việc nghiên cứu Chương 2 Các kết quả được trích dẫn trong tài liệu [1], [2], [5], [7]

1.1 Hệ phương trình Navier-Stokes

Giả sử   khác rỗng với biên là  n

Cho u t x , u t x u t x1   , , 2 , , ,u t xn ,  là vận tốc của chất lỏng tại điểm

 t x, t x x, , , ,1 2 xn,t[0, ),T x và cho p t x là áp suất của chất lỏng  ,tại  t x và ngoại lực , f t x ,  f t x f t x1   , , 2 , , , f t xn , 

Sự chuyển động của chất lỏng được miêu tả bởi hệ phương trình

0

Hằng số v được gọi là độ nhớt của chất lỏng, nó phụ thuộc vào tính 0chất vật lý của chất lỏng và luôn là hằng số cố định u là đạo hàm theo thời tgian, ta có thể viết

, 1,2, , ,

i j

      mô tả lực ma sát giữa các hạt nhỏ của chất lỏng  p D D1, 2, ,D pn là chênh lệch của áp suất p

Hệ phương trình Navier-Stokes gồm n phương trình đạo hàm riêng 1với n biến 1 t x, , ,1 x và n n hàm chưa biết 1 p u, , ,1 un

Hệ phương trình có thêm điều kiện biên

u  (1.2) 0 nếu    Điều này có nghĩa là u t x ,  với 0 t0,T và x

Hơn nữa, ta sẽ thêm điều kiện ban đầu

u 0  (1.3) u0

với vận tốc ban đầu u tại thời điểm 0 t  0

Điều này có nghĩa là u 0,x u x x0 , 

Hệ phương trình (1.1) cùng với điều kiện (1.2), (1.3) được gọi là bài toán với điều kiện hỗn hợp ban đầu f u cho hệ phương trình Navier-Stokes Trong , 0(1.1), bỏ qua số hạng phi tuyến u , ta được hệ phương trình Navier-Stokes utuyến tính

0

0, (0)

t

u v u p f div uu

Nếu , ,f u p không phụ thuộc vào t thì ta được hệ Stokes dừng

1.2 Một số bổ đề

1.2.1 Không gian hàm trơn

Cho k N , thì Ck( ) là không gian của tất cả các hàm

u   x u xthỏa mãn D u tồn tại và liên tục trong  với n0, 0

0 ((0, ); 0, ( )) : 0 ((0, ) ); 0

C T C   u C  T   div uĐịnh nghĩa 1.2.1 Cho  n,n1, là một miền và cho 1 q  , ( )Lq  được định nghĩa là không gian Banach của các hàm đo được Lebesgue u xác định trên  cùng với chuẩn hữu hạn

Nếu q2,Lq( ) L2( ) trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng

u v u v  u x v x dx



  với u v L,  2( ) Nếu q  ta đặt , Lq( ) L( ) là không gian Banach của các hàm đo được

u cùng với chuẩn ess-sup hữu hạn

,

W ( )k q  là không gian gồm tất cả các hàm p 

u L  thỏa mãn D u L  q( ) với mọi   k,

Định nghĩa 1.2.4 Một nghiệm yếu u được gọi là chính quy trong khoảng

Bổ đề 1.2.3 Giả sử  1, ,0, Khi đó tồn tại hằng số c sao cho với 

c sao cho với mọi v C 0

1 23

3

1/3 1

Chương 2 TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH

NAVIER-STOKES DỰA TRÊN TIÊU CHUẨN NĂNG LƯỢNG

Trong chương này, tôi trình bày định lí, bổ đề và chứng minh tính chính

quy của nghiệm dựa trên một thành phần đạo hàm của vectơ vận tốc, định lí và

chứng minh tính chính quy của nghiệm yếu trên miền không bị chặn Các kết

quả được trích dẫn trong tài liệu [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]

2.1 Tính chính quy của nghiệm yếu dựa trên một thành phần đạo hàm của

tốc và áp suất chưa biết, v là độ nhớt , f là ngoại lực và 0 u0 u x0  là

trường vectơ vận tốc ban đầu

Định lí 2.1.1 Gọi uu u u1, ,2 3 là một nghiệm yếu của hệ (2.1) – (2.3), ứng

với điều kiện ban đầu 1,2

u   và thỏa mãn bất đẳng thức về năng lượng Khi

đó u chính quy trên 0,T T,  nếu 0,

u là chính quy trong một khoảng thời gian dương nào đó và T hoặc bằng vô *

cùng hoặc u là một số dương và u chính quy trên 0,T, do đó

  Xác định 𝒥 T và ℒ2  T như sau: 2

Với i = 1, 2, nhân phương trình thứ i từ (2.1) với  và tính tích phân Tương ui

tự, với j = 1, 2, 3, nhân phương trình thứ j từ (2.1) với  3 3 ju và tính tích phân Giải các phương trình trên i = 1, 2 và j = 1, 2, 3, thu được

h q T

T    u u dt

2 1

q q

q

h q

 

 (2.15) Bất đẳng thức (2.14) đúng nếu q ∈ 3,3

ℒ 2 2

34

T   ℒc  2

2

T

Vì vậy ℒ T và 𝒥2  T được giới hạn bởi hằng số c độc lập với 2 T và tính 2chính quy của u là tức thời

 

Với (2.15) dẫn đến phạm vi của  và q (như đã được trình bày trong [8]):

   (2.28)

Vì c ∈ [1, ∞] trong (2.19)

3 3

2 2

  

Do đó ta có tính chính quy của u với q q0,3 

3 12 1

s s

s L

2 3

2p

1 2

2 2

3

2 1

3 1

1 2

2

2

s s s

1 1

1

2 ,

p s p s s

s s

s

L

f c v   v  (2.37) trong đó

2p

3 3

3 3

3 3

2

3 12 1

1 1

1 1

s s sD

1 3 2 3

1 2

1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3

1 2 1 3 2 3 3

u   và thỏa mãn bất đẳng thức về năng lượng Khi đó

u là chính quy trên 0,T T,  nếu 0 3   0

q q

q q

2

1 1

2

q q

a

h q

 

 (2.61) thì  thỏa mãn (2.50) và lũy thừa 3u q vế phải của (2.59) bằng p Ta có

𝒥 2 2

q

q T

𝒥 T2   ℒc   3 32 

1 2

nhưng muốn cải thiện Định lý 2.1.1 phải đánh giá ℒ(𝑇 ) một cách tốt hơn Đánh giá của ℒ

Tương tự như chứng minh trong Định lý 2.1.1 có

q q

2 2

bé hơn 1)

 

2 2

do f là hàm giảm trong q và vì f q = 0 khi xét phương trình trong phát biểu  0

Định lí 2.1.2 và (2.82) nên (2.81) giữ nguyên

Cho đến nay chứng minh được  và xác định trong (2.79) và (2.80) thỏa mãn tất cả các điều kiện cần ngoại trừ (2.73) và (2.74) Vế phải của (2.74) là một hàm tăng trong  và do đó

 

2 2

giữ nguyên cho mọi qq q0,0

Vậy định lí được chứng minh

2.2 Tính chính quy của nghiệm yếu trên miền không bị chặn

Xét phương trình Navier-Stokes trong toàn bộ không gian ba chiều :

Định lí 2.2.1 Gọi uu u u1, ,2 3 là nghiệm yếu của (2.83) - (2.85) ứng với điều kiện ban đầu 1,2

u   và thỏa mãn bất đẳng thức về năng lượng Khi đó

u là chính quy trên 0,T T,  nếu 0

là chính quy trên khoảng dương xác định và T bằng vô cùng hoặc nó là một *

giá trị dương và u là chính quy trên  *

0,T , tức là  u Lloc 0,T*;L2 Cần chứng minh rằng T* Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng và giả sử T

Đánh giá 𝒥 T2

Với i = 1 , 2 , nhân phương trình thứ i từ (2.83) với −∆u và tính tích phân trên itoàn bộ không gian Tương tự, với j = 1,2,3, nhân phương trình thứ j từ (2.83) với

3 3 ju

  và tính tích phân trên toàn bộ không gian

Lấy tổng tất cả các phương trình với i = 1,2 và j = 1,2,3 thu được

2 3

Vì vậy

3 12

q q

a

h q

2

1 1

2

q q

a

h q

1 13

q

q T

12 4

qq



 - trong (2.91) Đánh giá ℒ T2

Từ (2.83) nhân với u322u3và tính tích phân trên toàn bộ không gian nhận được

T  c c ℒ 2

2

T + 𝑐𝒥 2 3 3

3 2

ℒ 2 2

2

q q

Vì vậy chọn δ đủ nhỏ chỉ ra được ℒ T được giới hạn độc lập với 2 T và do đó 2

𝒥 T được giới hạn từ (2.102) Đây là tính chính quy của u 2

Để kết thúc chứng minh, ta nhận xét về phạm vi của q và λ mà chứng minh đã

sử dụng Vì 3 0,1

q

   

  và 4 0,1 ta nhận được từ (2.116) và (2.117) các điều kiện sau:

maxA A2, 3 minA A 1, 4 (2.123)

và

max  2 3

6,

A A

q

 và minA A1, 4 1 (2.124) Thứ nhất có thể chứng minh rằng

A A  A với mọi q, 𝒟 (2.125) Thứ hai bất đẳng thức A4 A2 tương đương với bất đẳng thức

 

A q  q  A q  q (2.128) Ngoài ra có thể chứng minh

  thỏa mãn bất đẳng thức (2.118) - (2.121) Vậy định lí được chứng minh

KẾT LUẬN

Luận văn trình bày một số kết quả cơ bản về tính chính quy cho hệ phương trình Navier-Stokes dựa trên tiêu chuẩn năng lượng Qua đó, luận văn giới thiệu một số kết quả chính:

- Tính chính quy của nghiệm yếu dựa trên một thành phần đạo hàm của vectơ vận tốc (Định lí 2.1.1 và Định lí 2.1.2 )

- Tính chính quy của nghiệm yếu trên miền không bị chặn (Định lí 2.2.1)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1 Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

Tiếng Anh

2 Adams R A (1975) , Sobolev Spaces, Academic Press, New York

3 Beirao da Veiga H (1995) , A new regularity class for the Navier – Stokes equations in R , Chin Ann Math Ser B, 16, 407 n

4 Kukavica I , Ziane M (2007), Navier – Stokes equations with regularity in one direction, J Math Phys 48, pp 10

5 Namlyeyeva Y , Skalak Z (2019), The optimal reguarity criterion for the Navier-Stokes equations in terms of one direc-tional derivative of the velocity , ZAMM Z Angew Math Mech

6 Sohr H (2001) , The Navier – Stokes Equations, An Elementary Functional Analytic Approach, Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin

7 Zdenek Skalak (2020), The end-point regularity criterion for the Navier- Stokes equations in terms of  , Nonlinear Analysis : Real World 3uApplications

8 Zhang Z (2018), A improved regularity criterion for the Navier – Stokes equations in terms of one directional derivative of the velocity field, Bull, Math Sci

9 Zhou Y , Pokorný M (2009), On a regularity criterion for the Navier – Stokes equations involving gradient of one velocity component, J Math Phys

50, pp 11