Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân trong mặt phẳng

I HC THI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM LƠm Hỗng Ngồc Sĩ TầN TI NGHIM TUN HON CếA H PH×ÌNG TRœNH VI PH…N TRONG MT PHNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n  2022 „I HÅC THI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM LƠm Hỗng Ngồc Sĩ TầN TI NGHIM TUN HON CếA H PHìèNG TRNH VI PHN TRONG MT PHNG Ngnh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 8460102 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa håc TS TRÀNH THÀ DI›P LINH Th¡i Nguy¶n  2022 Líi cam oan Tỉi xin cam oan r¬ng nëi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc, khổng trũng lp vợi cĂc à ti khĂc Nguỗn ti liằu sỷ dửng cho viằc hon thnh luên vôn l nguỗn ti liằu m CĂc thổng tin, ti liằu trẵch dăn luên vôn  ữủc ghi ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, thĂng 07 nôm 2022 XĂc nhên cừa GiĂo viản hữợng dăn TĂc giÊ luên vôn TS Trnh Th Diằp Linh LƠm Hỗng Ngồc i Lới cÊm ỡn Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi Tián sắ Trnh Th Diằp Linh, ngữới  trỹc tiáp hữợng dăn, giúp ù, ch bÊo tên tẳnh, tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi giúp tổi hon thnh luên vôn ny Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u cịng ton th cĂc thƯy cổ giĂo khoa ToĂn, trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  truyÃn thử cho tổi nhỳng kián thực quan trồng, tÔo iÃu kiằn thuên lủi v cho tổi nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Cuối cũng, tổi xin gỷi lới cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b  quan tƠm giúp ù, ởng viản tổi suốt quĂ trẳnh lm luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng 05, nôm 2022 TĂc giÊ luên vôn LƠm Hỗng Ngồc ii Mưc lưc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Mửc lửc iii Lới nõi Ưu Chữỡng Kián thực cỡ s 1.1 Nghiằm tuƯn hon cừa hằ phữỡng trẳnh 1.2 Mởt số tẵnh chĐt Chữỡng Sỹ tỗn tÔi nghiằm tuƯn hon cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn mt phng 2.1 Sỹ tỗn tÔi nghiằm 13 13 2.2 Mët sè ùng döng 26 2.2.1 H m phi tuy¸n Hamilton 26 2.2.2 i·u ki»n Landesman  Lazer 32 2.2.3 CĐp tông tuyán tẵnh v· mët ph½a 36 2.2.4 Tẵnh phi tuyán vỵi mët iºm ký dà 42 Kát luên 44 Ti liằu tham khÊo 45 iii M Ưu Mửc ẵch cừa luên vôn l ữa phữỡng phĂp chung  cõ ữủc sỹ tỗn tÔi nghiằm tuƯn hon cho hằ phữỡng trẳnh dÔng: u0 = f (t, u) GiÊ sỷ f : R × R2 → R l  mët hm liản tửc, (1) T  tuƯn hon bián Ưu tiản cừa nõ Bữợc Ưu tiản l dỹng mởt ữớng cong xoưn ốc vổ hÔn quay quanh im gốc, i·u n y º kiºm so¡t t§t c£ c¡c nghi»m cõa phữỡng trẳnh vi phƠn Kát quÊ nhên ữủc l mởt phữỡng phĂp tông theo nh chuân án vổ hÔn v ph£i thüc hi»n væ sè váng quay quanh iºm gèc Khi  tẳm thĐy mởt ữớng cong nhữ vêy, c¦n kiºm so¡t c¡c nghi»m â cho õ xa gèc tåa ë kho£ng [0, T ] Tø â, chóng ta câ thº suy r¬ng sè vỏng quay cừa cĂc nghiằm õ b giợi hÔn v khổng th l số nguyản, õ nhên ữủc sỹ tỗn tÔi cừa ẵt nhĐt mởt nghiằm T  tuƯn hon cừa hằ phữỡng trẳnh (1) Quy trẳnh nhữ vêy  ữủc sỷ dửng [5], õ Fabry v Habets giÊi quyát phữỡng trẳnh dÔng: x00 + h(t, x) = X²t tr÷íng hđp khỉng cëng h÷ðng cừa Dancer-Fucẵk, hm (2) h cõ ữủc cĐp tông tuyán tẵnh theo mởt phẵa Nhữ mởt hằ quÊ cừa nh lỵ, s ch cĂch tờng quĂt hõa kát quÊ tỗn tÔi cừa Fabry v Habets cho mởt số hằ cõ cĐp tông tuyán tẵnh theo mët ph½a Chóng ta cơng s³ minh håa c¡ch ¡p dửng nh lỵ chẵnh cho cĂc trữớng hủp khổng cởng hững", tẵnh phi tuyán ữủc giợi hÔn bi mởt sè h m Hamilton, v  tr÷íng hđp "cëng h÷ðng", iÃu kiằn kiu Landesman  Lazer ữủc thứa nhên K thuêt trản cõ th ữủc iÃu chnh trữớng hủp hm ch ữủc xĂc nh trản mởt têp hủp m l têp cừa cõ th l dÔng ngổi R2 R × A, f ð h» (1) õ A Ngữới ta cõ th tẳm thĐy [9] mởt vẵ dử và ựng dửng cho phữỡng trẳnh (2), tr÷íng hđp h m h câ iºm ký dà, khĂi quĂt kát quÊ tỗn tÔi cừa Del Pino, ManĂsevich v Montero [3] Trong trữớng hủp ny, têp A l  nûa m°t ph¯ng Chóng ta s³ tr¼nh b y c¡ch Ăp dửng k thuêt  tờng quĂt hõa kát quÊ tỗn tÔi [9] Nởi dung chẵnh cừa luên vôn trẳnh by lÔi bi bĂo [8] vợi cĐu trúc sau: Chữỡng 1: Kián thực cỡ s: Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số vĐn à và nghiằm tuƯn hon mởt số nh lỵ liản quan phửc vử cho nghiản cựu cừa chữỡng sau Chữỡng 2: Nởi dung chẵnh cừa à ti trẳnh by sỹ tỗn tÔi nghiằm tuƯn hon cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn mt phng Chữỡng Kián thực cỡ s 1.1 Nghiằm tuƯn hon cừa hằ phữỡng trẳnh Xt hằ phữỡng trẳnh vi phƠn dÔng x = f (x, t), x l vec-tỡ cởt khổng gian n chiÃu, Ôo hm cừa nâ èi vỵi dx n+1 v  f : W ⊂ R Rn l hm vec-tỡ bián t ữủc kỵ hi»u bði x ˙ = dt kh£ vi Gi£ sû hm f cõ chu kẳ T (khổng mĐt tẵnh tờng qu¡t câ thº ÷đc â coi l  1) bi¸n t tùc l  f (x, t + T ) = f (x, t) CĂc hằ phữỡng trẳnh khổng ởc lêp nhữ vêy cõ th cõ nhiÃu loÔi nghiằm tuƯn ho n (th÷íng ÷đc gåi l  dao ëng) Chu ký cõa c¡c nghi»m n y câ thº l  T, nguy¶n tùc l  giống vợi chu ký cừa hm Ưu vo hoc cõ thº l  bëi sè m b§t ký cõa T ho°c bĐt ký số hỳu t hoc số chđn, mởt số trữớng hủp ngoÔi lằ l tẵch số vổ t vợi T Tuy nhiản, hồ cừa tĐt cÊ cĂc nghiằm tuƯn hon khổng phÊi l bĐt ký nh nghắa 1.1.1 Mội nghiằm tuƯn hon phử thuởc vo bián t ởc lêp Nghiằm tuƯn hon cừa x = f (x, t) x(t) (trong tr÷íng hđp x l  mët vec-tì) l  mët nghiằm náu tỗn tÔi mởt số T 6= x(t + T ) = x(t), cho vỵi måi t R nh nghắa 1.1.2 Mởt nghiằm tuƯn hon ữủc coi l mởt hằ phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng náu cĂc vá khổng phử thuởc vo t: x = f (x), x ∈ U, U â t l  mët mi·n Rn ho°c phö thuëc mët c¡ch tu¦n ho n v o tùc l : x˙ = f (t, x), f (t + T1 , x) = f (t, x), x ∈ U ành ngh¾a 1.1.3 Gi£ sû D l  mởt têp m Rn v f : R ì D → Rn l  h m li¶n tưc theo c£ hai bián v Lipschitz ối vợi bián thự hai GiÊ sỷ u (Ã, , ) l nghiằm tỗn tÔi cỹc Ôi cõa b i to¡n Cauchy:   x˙ = f (t, x),  x (τ ) = ξ uT : dom(uT ) ⊂ D → D Ta ành ngh¾a to¡n tû dàch chuyºn vỵi T ∈ R bði dom (uT ) = {ξ ∈ D |t− (0, ξ) < T < t+ (0, ξ)} , uT (ξ) = u (T, 0, ) Ta biát rơng: D(f ) = (t, , ξ) ∈ R × R × D : t− (τ, ξ) < t < t+ (τ, ξ) R×R×D (uT ) D (f )∩(T × {0} × D) l  mð trong D, Do dom dom(uT ) mð D l hẳnh chiáu cừa nản uT liản tửc Lipschitz tứ dom(uT ) vo D nh lỵ 1.1.4 GiÊ sỷ f (t, x) l hm liản tửc theo cÊ hai bián, Lipschitz ối vợi bián thự hai v T  tuƯn ho n theo t, tùc l  vỵi måi t ∈ R, x ∈ D f (t + T, x) = f (t, x), Khi õ, phữỡng trẳnh vi phƠn x = f (t, x) câ nghi»m T  tu¦n ho n v  ch¿ to¡n tû dàch chuyºn uT câ iºm bĐt ởng Chựng minh iÃu kiằn cƯn GiÊ sỷ u(·, τ, ξ) l  mët nghi»m T  tu¦n ho n cừa phữỡng trẳnh x = f (t, x) Theo tẵnh tu¦n ho n, ta câ: (t− (0, ξ), t+ (0, ξ)) = J(, ) = R Do õ, khổng mĐt tẵnh têng qu¡t, ta gi£ sû τ ≤ °t ξ0 = u(0, τ, ξ) vỵi u(0, τ, ξ) = u(t, , ), tứ tẵnh tuƯn hon cừa u(Ã, , ) suy uT (ξ0 ) = u(T, 0, ξ0 ) = u(T, τ, ξ) = u(0, τ, ξ) = ξ0 iÃu kiằn ừ Náu D l mởt im bĐt ởng cõa x(t) = u(t + T, 0, ξ), vỵi uT th¼ °t t ∈ J(0, ξ) − T Khi â: x(0) = u(T, 0, ξ) = uT (ξ) = ξ v  x(t) ˙ = u(t ˙ + T, 0, ξ) = f (t + T, x(t)) = f (t, x(t)) Do â, x l  nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u: x˙ = f (t, x), x(0) = , Mt khĂc, theo tẵnh nhĐt nghiằm suy x(t) = u(t + T, 0, ξ) = u(t, 0, ), Bơng quy nÔp, ta ữủc T tuƯn hon cừa u(Ã, 0, ) vợi mồi xĂc nh trản cÊ t ∈ J(0, ξ) − T R v  l  mët nghi»m x = f (t, x) Xt phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh T tuƯn hon: x = A(t)x + a(t), (1.1)