Nghiằm tuƯn ho n cừa hằ phữỡng trẳnh
X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn dÔng ˙ x = f(x, t), trong õ x l vec-tỡ cởt trong khổng gian nchiãu, Ôo h m cừa nõ ối vợi bián t ữủc kỵ hiằu bði x˙ = dx dt v f : W ⊂ R n+1 → R n l h m vec-tì khÊ vi GiÊ sỷ h m f cõ chu kẳ T (khổng mĐt tẵnh tờng quĂt cõ thº ữủc coi l 1) trong bián t tực l f(x, t+T) = f(x, t).
CĂc hằ phữỡng trẳnh khổng ởc lêp nhữ vêy cõ thº cõ nhiãu loÔi nghiằm tuƯn ho n (thữớng ữủc gồi l dao ởng) Chu ký cừa cĂc nghiằm n y cõ thº l T, tực l giống vợi chu ký cừa h m Ưu v o ho°c cõ thº l bởi số nguyản m bĐt ký cừa T ho°c bĐt ký số hỳu t ho°c số chđn, trong mởt số trữớng hủp ngoÔi lằ l tẵch số vổ t vợi T Tuy nhiản, hồ cừa tĐt cÊ cĂc nghiằm tuƯn ho n khổng phÊi l bĐt ký. ành nghắa 1.1.1 Mội nghiằm tuƯn ho n phử thuởc v o bián t ởc lêp. Nghiằm tuƯn ho n x(t) (trong trữớng hủp x l mởt vec-tỡ) l mởt nghiằm cừa x˙ = f(x, t) náu tỗn tÔi mởt số T 6= 0 sao cho x(t+ T) =x(t), vợi mồi t∈ R. ành nghắa 1.1.2 Mởt nghiằm tuƯn ho n ữủc coi l mởt hằ phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng náu cĂc vá khổng phử thuởc v o t: ˙ x = f(x), x ∈ U, trong õ U l mởt miãn trong R n ho°c phử thuởc mởt cĂch tuƯn ho n v o t tùc l : ˙ x = f(t, x), f(t+T 1 , x) =f(t, x), x ∈ U. ành nghắa 1.1.3 GiÊ sỷ D l mởt têp mð trong R n v f : RìD → R n l h m liản tửc theo cÊ hai bián v Lipschitz ối vợi bián thự hai GiÊ sỷ u(ã, τ, ξ) l nghiằm tỗn tÔi cỹc Ôi cừa b i toĂn Cauchy:
Ta ành nghắa toĂn tỷ dàch chuyºn u T : dom(u T ) ⊂ D →D vợi T ∈ R bði dom (u T ) ={ξ ∈ D|t − (0, ξ) < T < t + (0, ξ)}, u T (ξ) = u(T,0, ξ).
D(f) (t, τ, ξ) ∈ R×R×D : t − (τ, ξ) < t < t + (τ, ξ) l mð trongRìRìD Do dom(uT)l hẳnh chiáu cừa D(f)∩(T ì {0} ìD) trong D, dom(u T ) mð trong D nản u T liản tửc Lipschitz tứ dom(u T ) v o
D. ành lỵ 1.1.4 GiÊ sỷ f(t, x) l h m liản tửc theo cÊ hai bián, Lipschitz ối vợi bián thự hai v T tuƯn ho n theo t, tực l f(t+T, x) =f(t, x), vợi mồi t∈ R, x ∈ D.
Khi õ, phữỡng trẳnh vi phƠn x˙ = f(t, x) cõ nghiằm T tuƯn ho n khi v ch¿ khi toĂn tỷ dàch chuyºn u T cõ iºm bĐt ởng.
Chựng minh iãu kiằn cƯn GiÊ sỷ u(ã, τ, ξ) l mởt nghiằmT tuƯn ho n cừa phữỡng trẳnh x˙ = f(t, x) Theo tẵnh tuƯn ho n, ta cõ:
Do õ, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta giÊ sỷ τ ≤ 0 °t ξ 0 = u(0, τ, ξ) vợi u(0, τ, ξ) = u(t, τ, ξ), tứ tẵnh tuƯn ho n cừa u(ã, τ, ξ) suy ra u T (ξ 0 ) = u(T,0, ξ 0 ) =u(T, τ, ξ) = u(0, τ, ξ) =ξ 0 iãu kiằn ừ Náu ξ ∈ D l mởt iºm bĐt ởng cừa uT thẳ °t x(t) =u(t+T,0, ξ), vợi t ∈ J(0, ξ)−T
Do õ, x l nghiằm cừa b i toĂn giĂ trà ban Ưu: ˙ x = f(t, x), x(0) = ξ, M°t khĂc, theo tẵnh duy nhĐt nghiằm suy ra x(t) =u(t+T,0, ξ) =u(t,0, ξ), vợi mồi t ∈ J(0, ξ)−T.
Bơng quy nÔp, ta ữủc u(ã,0, ξ) xĂc ành trản cÊ R v l mởt nghiằm
X²t phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh T tuƯn ho n: x = A(t)x+ a(t), (1.1) vợi A ∈ C(R,R nìn ) v a ∈ C(R,R n ) thọa mÂn
A(t+T) =A(t), a(t+ T) =a(t), vợi mồi t∈ R, trong â T > 0. ành lỵ 1.1.5 Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh T tuƯn ho n (1.1) cõ mởt nghiằm T tuƯn ho n khi v ch¿ khi nõ cõ nghiằm bà ch°n.
Chựng minh iãu kiằn cƯn Hiºn nhiản. iãu kiằn ừ Theo ành lỵ 1.1.3, phữỡng trẳnh (1.1) cõ nghiằm T tuƯn ho n khi v ch¿ khi tỗn tÔi ξ ∈ R n sao cho ξ = U(T)ξ +η, (1.2) vợi η T
Ta cƯn ch¿ ra rơng khi (1.2) khổng giÊi ữủc thẳ (1.1) ch¿ cõ nghiằm khổng bà ch°n Ta thĐy (1.2) khổng cõ nghiằm khi v ch¿ khi tỗn tÔi ζ ∈ R n sao cho ζ = [U(T)] 0 ζ v (ζ, η) 6= 0, (1.3) trong õ [U(T)] 0 l ma trên liản hủp cừa ma trên [U(T)] Náu x l mởt nghiằm bĐt kẳ cừa (1.1) thẳ vợi t∈ R, ξ ∈ R bĐt kẳ, ta cõ x(t) =U(t,0)ξ + t
Suy ra x(T) =U(T)ξ + η (1.4) v ˙ x(t+kT) = A(t+kT)x(t+kT) +a(t+kT)
= A(t)x(t+kT) +a(t), vợi mồi k ∈ N v t ∈ R Do tẵnh duy nhĐt nghiằm nản x k (t) = (t+ kT) l nghiằm cừa b i toĂn giĂ trà ban Ưu ˙ y = A(t)y +a(t), y(0) = x(kT).
Bơng quy nÔp, ta cõ: x k (T) = [U(T)] k+1 ξ + k
X²t phữỡng trẳnh vi phƠn ˙ x = f(t, x) (1.5) vợi f l h m T tuƯn ho n theo t GiÊ sỷ f liản tửc theo cÊ hai bián (t, x) v cõ Ôo h m liản tửc theo bián thự hai x GiÊ sỷ (1.5) cõ mởt nghiằm
T tuƯn ho n u ∗ (t) Ta nghiản cựu tẵnh ờn ành cừa nghiằm u ∗ (t).
GiÊ sỷ y(t) l mởt nghiằm khĂc cừa (1.5) Khi õ z(t) = y(t) −u ∗ (t) thọa mÂn ˙ z = f(t, z(t) +u ∗ (t))−f(t, u ∗ (t))
= D 2 (t, u ∗ (t))z+g(t, z), (1.6) trong õ g l h m T tuƯn ho n theo t, liản tửc theo cÊ hai bián (t, z) vợi mồi t v kzk "nhọ" v kzk→0lim kg(t, z)k kzk = 0, (1.7) hỡn nỳa ma trên D2(t, u ∗ (t)) l liản tửc v T tuƯn ho n theo t Ró r ng nghiằm T tuƯn ho n theo u ∗ (t) cừa (1.5) ờn ành hay ờn ành tiằm cên khi v ch¿ khi nghiằm z ≡ 0 cừa (1.6) ờn ành hay ờn ành tiằm cên Ta nghiản cựu hằ tỹa tuyán tẵnh dÔng ˙ z = A(t)z+g(t, z), (1.8) vợi A(t) l ma trên liản tửc v T tuƯn ho n, g l h m liản tửc theo (t, z),
T tuƯn ho n theo tv nhọ theo nghắa (1.8) Ta thĐy (1.6) l mởt trữớng hủp °c biằt cừa (1.8) vợi A(t) = D 2 (t, u ∗ (t)).
PhƯn tuyán tẵnh cừa (1.8) l hằ tuyán tẵnh T tuƯn ho n z˙ = A(t)z. Náu A(t) l ma trên phực thẳ sỷ dửng ành lỵ biºu diạn Floquet, tỗn tÔi cĂc ma trên Q(t) v ma trên hơng B sao cho
U(t,0) = Q(t)e tB ời bián z = Q(t)y, ta ữa hằ (1.8) vã ˙ y = By +Q −1 g(t, Q(t)y) = By +h(t, y).
Do Q(t) l liản tửc v T tuƯn ho n nản tỗn tÔi cĂc hơng số dữỡng γ v δ sao cho γkyk ≤ kQ(t)yk ≤ δkyk, vợi mồi y ∈ C n , t ∈ R.
Tứ Ơy suy ra h(t, y) = o(kyk) khi kyk → 0 ãu ối vợi t.
Mởt số tẵnh chĐt
ành lỵ 1.2.1 (BĐt ¯ng thực Cauchy - Schwarz) Cho khổng gian vec-tỡ
V v tẵch trong hã,ãi :V ìV →R Vợi mồi u, v ∈ V, ta cõ
|hu, vi| 2 ≤ hu, ui.hv, vi hay
|hu, vi| ≤ kuk.kvk. DĐu “ = ” xÊy ra khi v ch¿ khi hai vectỡ phử thuởc tuyán tẵnh.
Chựng minh Náu v = 0 thẳ bĐt ¯ng thực úng v trong trữớng hủp n y, u, v cụng phử thuởc tuyán tẵnh Do õ, ta x²t trữớng hủp v 6= 0.
GiÊ sỷ hu, vi 6= 0 vẳ hu, vi = 0 thẳ bĐt ¯ng thực hiºn nhiản úng °t z = u− hu, vi hv, viv.
Theo lỵ thuyát vec-tỡ, ta biát rơng z l hẳnh chiáu cừa u trản m°t ph¯ng trỹc giao vợi v Ta s³ chựng minh iãu n y l úng bơng cĂch ch¿ ra z trỹc giao vợi vec-tỡ v hay hz, vi = 0 Theo tẵnh chĐt tuyán tẵnh cừa tẵch trong, ta câ hz, vi u− hu, vi hv, viv, v
= hu, vi − hu, vi hv, vi hv, vi = 0.
Vẳ cĂc vectỡ l trỹc giao nản Ăp dửng ành lỵ Py-ta-go, ta cõ u = hu, vi hv, viv+ z, suy ra kuk 2 hu, vi hv, vi
2 kvk 2 +kzk 2 = |hu, vi| 2 kvk 2 +kzk 2 ≥ |hu, vi| 2 kvk 2 NhƠn hai vá cừa bĐt ¯ng thực trản vợi kvk 2 , ta nhên ữủc bĐt ¯ng thựcCauchy - Schwarz.
DĐu “ = ” xÊy ra suy ra kzk 2 = 0 v do õ z = 0 Theo ành nghắa cừa ph²p chiáu vec-tỡ, u khổng thº trỹc giao vợi v trong mồi trữớng hủp Do õ, hai vec-tỡ n y song song iãu n y thiát lêp lản ành lỵ. ành lỵ 1.2.2 (Poincar² Bohl) Cho Ω ⊂ R m l têp mð bà ch°n, cõ chựa iºm gốc v ϕ : Ω → R m l mởt h m liản tửc sao cho ϕ(u) 6= λu, vợi mồi u ∈ ∂Ω, λ > 1 Khi õ, ϕ cõ mởt iºm cố ành trong Ω. º Ăp dửng ành lỵ n y, ta cƯn tẵnh gƯn úng h m f vợi cĂc h m chẵnh quy m Ănh xÔ Poincar² ữủc xĂc ành ành lỵ Poincar² Bohl Ăp dửng cho nhỳng Ănh xÔ, ữa ra sỹ tỗn tÔi cừa nghiằm tuƯn ho n T cho cĂc phữỡng trẳnh gƯn úng. ành lỵ 1.2.3 (Arzel - Ascoli) Cho Z l mởt têp compact trong khổng gian metric (X, D) Têp Z l têp compact nơm trong têp compact tữỡng ối C(S) khi v ch¿ khi cĂc h m số cừa Z l giợi nởi ãu v ỗng liản tửc ãu trản S.
Chựng minh iãu kiằn cƯn GiÊ sỷ Z l mởt têp compact tữỡng ối trong
C(S) Khi õ, Z l mởt têp giợi nởi trong C(S) nản têp Z giợi nởi ãu trản S.
BƠy giớ, ta cƯn chựng minh têp Z l ỗng liản tửc ãu trản Z.
Thêt vêy, do têp Z l ho n to n giợi nởi nản vợi ε > 0 tũy ỵ, cõ thº phừ
Z bði mởt số hỳu hÔn hẳnh cƯu cõ bĂn kẵnh ε
Vẳ S l compact m theo ành lỵ: Náu h m số f liản tửc trản têp compact A thẳf liản tửc ãu trản A nản cĂc h m số f1 fm liản tửc ãu trản S Do õ, tỗn tÔi δ > 0 sao cho vợi mồi x 0 , x 00 ∈ S, náu d(x 0 , x 00 ) < δ thẳ |f i (x 0 )−fi(x 00 )| < ε
3, vợi i = 1, , m Náu f l mởt h m số bĐt ký cừa Z thfi f thuởc mởt hẳnh cƯu S(f 1 ,ε
(d C(S) l metric trong khổng gian C(S)). iãu kiằn ừ GiÊ sỷ têp Z l giợi nởi ãu v ỗng liản tửc ãu trản S. Vẳ têp compact S l khÊ li, nản tỗn tÔi mởt têp ám ữủc A−a|n∈ N trũ mêt trong S.
GiÊ sỷ {f n } ∞ n=1 l mởt dÂy phƯn tỷ bĐt ký cừa Z Ta s³ ch¿ ra rơng {f n } ∞ n=1 cõ mởt dÂy con hởi tử trong C(S).
Vẳ vêy S l giợi nởi ãu trảnS, nản{f n (a 1 )}l mởt dÂy số giợi nởi suy ra tỗn tÔi mởt dÂy con {f n } ∞ n=1 cừa dÂy{f n } ∞ n=1 sao cho dÂy số {f 1,n (a 1 )} ∞ n=1 hởi tử.
Tữỡng tỹ, tỗn tÔi mởt dÂy con {f 2,n } ∞ n=1 cừa dÂy {f 1,n } ∞ n=1 sao cho dÂy số {f 2,n (a2)} ∞ n=1 hởi tử hởi tử.
Bơng quy nÔp, chựng minh ữủc mởt dÂy con {f k+1,n } ∞ n=1 cừa dÂy {f k,n } ∞ n=1 sao cho dÂy số {f k+1,n (ak+1)} ∞ n=1 hởi tử vợi k = 1,2,
Hiºn nhiản, {f n,n } ∞ n=1 l mởt dÂy con cừa dÂy {f n } ∞ n=1 thọa mÂn iãu kiằn {f n,n (ak)} ∞ n=1 l mởt dÂy số hởi tử vợi mồi k.
CƯn chựng minh dÂy {f n,n } ∞ n=1 l mởt dÂy Cauchy trong C(S) Thêt vêy, theo giÊ thiát, vợi bĐt ký ε > 0, tỗn tÔi δ > 0 sao cho
3 vợi n= 1,2, v vợi mồi x 0 , x 00 ∈ S sao cho d(x 0 , x 00 ) < δ.
S(a k , δ) Theo ành lỵ Haino - Boren, tỗn tÔi mởt sè k0 sao cho S k 0
S(ak, δ). Vẳ dÂy số {f n,n (ak)} ∞ n=1 hởi tử vợi k = 1,2, nản tỗn tÔi mởt dÂy số tỹ nhiản n 0 sao cho vợi mồi m, n náu m ≥ n 0 , n ≥n 0 thọa mÂn:
Tứ õ, vợi mồi vợi mồi m, n náu m ≥ n 0 , n ≥ n 0 thẳ: d C(S) (f n,n , f m,m ) = sup x∈S
Do õ, {f n,n } ∞ n=1 l mởt dÂy Cauchy trong C(S) Vẳ C(S) l mởt khổng gian Ưy ừ, nản {f n,n } ∞ n=1 hởi tử trong C(S).
Vêy Z l têp compact tữỡng ối trong khổng gian metric C(S)
Sỹ tỗn tÔi nghiằm tuƯn ho n cừa hằ phữỡng trẳnh
Sỹ tỗn tÔi nghiằm
Chúng ta bưt Ưu ành nghắa mởt ữớng xoưn ốc ãu trong m°t ph¯ng. Nõi mởt cĂch khĂi quĂt, nõ l mởt ữớng cong khÊ vi liản tửc tứng mÊnh, xoay nhiãu lƯn xung quanh gốc mởt cĂch vổ hÔn v tông tứ chuân án vổ còng. ành nghắa 2.1.1 Mởt ữớng xoưn ốc ãu quay theo chiãu kim ỗng hỗ l mởt ữớng cong liản tửc v bà ch°n γ : [0, +∞) → R 2 thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau:
(i) Tỗn tÔi mởt chuội tông vổ hÔn
0 = σ 0 < σ 1 < < σ k < σ k+1 < sao cho giợi hÔn cừa γ ối vợi mồi khoÊng õng [σ k , σ k+1 ] l khÊ vi liản tửc Nhữ vêy: hJγ(s), γ(s)i˙ > 0, vợi mồi s ∈ [σ k , σ k+1 ] (2.1)
(ii) ữớng cong tông tứ ành chuân án vổ cũng: s→∞lim |γ(s)| = +∞ (2.2)
(iii) ữớng cong quay theo chiãu kim ỗng hỗ vổ số lƯn:
|γ(s)| 2 ds= +∞ (2.3) ữớng xoưn ốc ãu quay ngữủc chiãu kim ỗng hỗ cõ thº ữủc ành nghắa tữỡng tỹ nhữ trản bơng cĂch cho hJγ(s), γ(s)i˙ < 0 v +∞
Tiáp theo, chúng ta s³ xƠy dỹng cĂc ữớng xoưn ốc ãu quay theo chiãu kim ỗng hỗ Tuy nhiản, trong trữớng hủp ngữủc chiãu kim ỗng hỗ, cĂc kát quÊ cõ giĂ trà tữỡng tỹ º ỡn giÊn, ta giÊ sỷ mởt ữớng cong ữủc tham số hõa trong tồa ở cỹc cũng chiãu kim ỗng hỗ sao cho γ(s) =|y(s)|(coss,−sins). °c biằt, iºm γ(2πn) nơm ð phẵa dữỡng cừa trửc x vợi bĐt ký số nguyản n khổng Ơm Vợi ỡn Ănh, ta cõ:
Vợi mồi n∈ N , têp Ω n l miãn mð bà giợi hÔn bði ữớng cong Jordan Γ n thu ữủc bơng cĂch nối oÔn ữớng cong γ tứ γ(2πn) án γ(2π(n+ 1)) lÔi vợi nhau v oÔn th¯ng nối hai iºm cuối: Γ n = {γ(s) : s ∈ [2πn,2π(n+ 1)]} ∪[γ(2πn), γ(2π(n+ 1))].
X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn dÔng u 0 = f(t, u), chồn mởt loÔi ữớng xoưn ốc ãu quay theo chiãu kim ỗng hỗ. ành nghắa 2.1.2 Mởt ữớng xoưn ốc ãu quay theo chiãu kim ỗng hỗ γ ữủc gồi l cõ thº chĐp nhên ối vợi hằ u 0 = f(t, u) náu nõ bà giợi hÔn trong bĐt kẳ khoÊng con [σ k , σ k+1 ] v thọa mÂn hJγ(s), f˙ (t, γ(s))i < 0, vợi mồi t ∈ [0, T] v s ∈ [σ k , σ k+1 ] (2.5)
Nghắa l náu γ l mởt ữớng xoưn ốc ãu quay theo chiãu kim ỗng hỗ v mởt nghiằm cừa hằ u 0 = f(t, u) ngay khi Ôt án γ thẳ tÔi iºm giao nhau, nghiằm s³ vữủt qua γ tứ phƯn bản ngo i cừa nõ ối vợi phƯn bản trong ị tữðng sỷ dửng mởt số ữớng cong º kiºm soĂt cĂc nghiằm  ữủc nhiãu tĂc giÊ Ăp dửng.
BƠy giớ chúng ta trẳnh b y kát quÊ chung. ành lþ 2.1.3 Gi£ sû:
(i) Tỗn tÔi mởt ữớng xoưn ốc ãu γ quay theo chiãu kim ỗng hỗ thọa mÂn ối vợi hằ u 0 = f(t, u);
(ii) Tỗn tÔi R > 0 sao cho vợi mồi nghiằm u : [0, T] → R 2 cừa hằ u 0 = f(t, u) thọa mÂn
(ii) Tỗn tÔi C > 0 v θ 1 < θ 2 sao cho hJ f(t, v), vi ≤ C(|v| 2 + 1), vợi mồi t ∈ [0, T] v v ∈ Θ(θ1, θ2).
Khi õ, hằ u 0 = f(t, u) cõ nghiằm T tuƯn ho n.
Trữợc khi chựng minh, ta s³ giÊi thẵch ỵ nghắa cừa cĂc giÊ ành trản. Viát nghiằm u(t) trong tồa ở cỹc: u(t) = ρ(t) (cos(ϑ(t)), sin(ϑ(t))) (2.6)
|u( t)| 2 , nản theo iãu kiằn (ii) ð ành lỵ 2.1.3, ối vợi mồi nghiằm biản ở lợn ho°c ρ(T) < ρ(0) hay ϑ(T) 6= ϑ(0)−2πk, k = 0, 1, 2, 3, (2.7) iãu kiằn (iii) cừa ành lỵ 2.1.3 l cƯn thiát º trĂnh cĂc nghiằm quay quĂ nhanh quanh gốc theo chiãu kim ỗng hỗ.
Thêt vêy, ta cõ: ϑ(t) ∈ [θ 1 , θ 2 ] (mod2π) ⇒ −ϑ 0 (t) ≤ C
Nõ cõ thº ữủc coi nhữ mởt loÔi iãu khiºn vên tốc gõc.
Chựng minh GiÊ sỷ R >1 sao cho Ω 0 ⊆ B R (trong õ Ω 0 l têp mð v bà ch°n, bà giợi hÔn bði Γ 0 ) Cho m 1 l số nguyản dữỡng sao cho B R ⊆ Ω m 1 v n l số nguyản vợi n > (C + 1)T θ 2 −θ 1 (2.8)
T÷ìng tü, ta câ m 2 > m 1 +n+ 1 sao cho B R 1 ⊆Ω m 1 v R 2 > R 1 sao cho
X²t cĂc dÂy h m àa phữỡng Lipschitz (f n ) n liản tửc v hởi tử ãu án f trản [0, T]ìB R 2 Theo (2.5), náu γ(s) thuởc B R 2 thẳ vợi n ừ lợn, hJ γ˙ (s), f n (t, γ(s))i < 0, vợi mồi t∈ [0, T] (2.9)
M°t khĂc, theo iãu kiằn (iii) cừa ành lỵ 2.1.3, vợi n ừ lợn: hJ f n (t, v), vi
(2.10) CĂc nghiằm cho cĂc b i toĂn Cauchy liản quan án u 0 = f n (t, u) (2.11) l duy nhĐt Náu u n l mởt nghiằm thọa mÂn |u n (0)| ≤ R 1 thẳ vợi n ừ lợn, ta cõ
Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng max{|u n (t)| :t ∈ [0, T]} ≥ R 2 vợi t 1 , t 2 trong [0, T] v t 1 < t 2 sao cho
Vợi t bián ời tứ t 1 án t 2 , theo (2.9), nghiằm s³ ữủc iãu khiºn bði ữớng cong γ º tÔo ra tÔi ẵt nhĐt n + 1 vỏng quay quanh iºm gốc theo chiãu kim ỗng hỗ Do õ, số lƯn giao hẳnh nõn Θ(θ 1 , θ 2 ) theo chiãu kim ỗng hỗ ẵt nhĐt l n lƯn Viát nghiằm trong tồa ở cỹc dÔng (2.6), tứ (2.10) náu θ 1 ≤ϑ n (t) ≤ θ 2 thẳ
Vẳ vêy, thới gian º i qua hẳnh nõn Θ(θ 1 , θ 2 ) theo chiãu kim ỗng hỗ ẵt nhĐt l (θ 2 −θ 1 )/(C + 1) Theo (2.8), thới gian º i qua nõ n lƯn nản lợn hỡn T Do õ t 2 −t 1 > T, iãu n y l khổng thº. nh xÔ Poincar² liản quan án (2.11) ữủc xĂc ành cử thº trản B R 1 p dửng ành lỵ Poincar² Bohl, coi Ω l têp B R 1
GiÊ sỷ ngữủc lÔi l tỗn tÔi u 0 n ∈ ∂B R 1 vợi mồi n v mởt hơng số λ n > 1 sao cho nghiằm u n (t) cừa (2.11) vợi u n (0) = u 0 n thọa mÂn u n (T) =λ n u 0 n
Ta kh¯ng ành rơng, vợi n ừ lợn, ta luổn cõ:
Thêt vêy, nhữ Â chựng minh ð trản max{| un(t)| : t ∈ [ 0, T]} < R2 GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơng min{| un(t)| :T ∈ [ 0, T]} ≤ R Khi õ, |u n (T)| > R1 vợi bt1, bt2 trong [0, T] v bt1 < bt2 sao cho u n bt 1
Tiáp theo, cho t bián ời tứ bt 1 án bt 2 , tứ (2.9) nghiằm s³ ữủc iãu khiºn bði ữớng cong γ º cõ ẵt nhĐt n+ 1 vỏng quay quanh gốc theo chiãu kim ỗng hỗ, do õ số lƯn giao hẳnh nõn Θ(θ1, θ2) theo chiãu kim ỗng hỗ ẵt nhĐt l n lƯn Lêp luên nhữ trản, ta cõ bt2 − bt1 > T, iãu n y l khổng thº Vẳ theo (2.12)
Do õ, tũy thuởc v o cĂc dÂy con, giÊ sỷ λ n → λ ∈
Vẳ (f n ) n hởi tử ãu vã f trong [ 0, T] ì B R 2 nản tỗn tÔi mởt hơng số
Khi â, (u n ) n bà ch°n trong C 1 ([ 0, T]) v theo ành lþ Ascoli Arzel , tỗn tÔi mởt h m u : [0, T] → R 2 liản tửc sao cho tối a mởt dÂy con u n →u ãu Vữủt qua giợi hÔn trong u n (t) = u 0 n + t
0 f (τ, u(τ))dτ, nản u l mởt nghiằm cừa u 0 = f(t, u) vợi giĂ trà ban Ưu u(0) = u ∈ ∂B R 1 Theo Ănh giĂ trản:
R ≤ |u(t)| ≤ R2, vợi mồi t ∈ [ 0, T] (2.13) v u(T) =λu(0) Do õ, |u(T)| ≥ |u(0)| v sỷ dửng tồa ở cỹc nhữ trong (2.6), tỗn tÔi mởt số nguyản k sao cho ϑ(T) = ϑ( 0) − 2πk.
Theo (ii) trong ành lỵ 2.1.3 v (2.7), ta cõ k ≤ −1 Gồi m ∈ Z sao cho
|γ(−ϑ(0) + 2π(m−1))| < |u(0)| ≤ |γ(−ϑ(0) + 2πm)|. trong õ γ ữủc tham số hõa trong tồa ở cỹc theo chiãu kim ỗng hỗ. M°t khĂc, do sỹ thọa mÂn cừa ữớng cong γ v (2.13), B R chựa Ω 0 nản
Vẳ vêy, tứ (2.4) suy ra
Vẳ vêy, tũy thuởc v o dÂy con, vợi mồi u 0 n ∈ ∂B R 1 , nghiằm u n cừa (2.11) vợi u n (0) = u 0 n sao cho u n (T) 6= λu 0 n vợi mồi λ > 1 Ta cõ thº Ăp dửng ành lỵ Poincar²-Bohl º tẳm mởt nghiằm T tuƯn ho n v n (t) cừa (2.11) bưt Ưu tứ iºm v n 0 ∈ B R 1 Sỷ dửng lÔi ành lỵ Ascoli Arzel , ta thĐy (v n ) n hởi tử th nh nghiằm T tuƯn ho n cừa u 0 = f(t, u).
Nhên x²t 2.1.4 iãu kiằn (iii) trong ành lỵ 2.1.3 Â ữủc sỷ dửng º hÔn chá cĂc nghiằm vợi biản ở lợn quay quĂ nhanh Ngữới ta cõ thº ữa ra nhiãu trữớng hủp khĂc nhau, trong õ (iii) ữủc thay thá bơng mởt số cĂch khĂc vã sỹ kiºm soĂt vên tốc gõc cừa cĂc nghiằm.
Sỹ tỗn tÔi cừa mởt ữớng xoưn ốc ãu ữủc bÊo to n, ch¯ng hÔn náu cĂc nghiằm vợi biản ở lợn quay theo chiãu kim ỗng hỗ khổng quĂ chêm v cõ vên tốc iãu khiºn hữợng tƠm, nhữ chựng minh mằnh ã sau. Mằnh ã 2.1.5 GiÊ sỷ:
|v| ≥ R ⇒ hJ f(t, v), vi ≥ η|v| 2 , vợi mồi t∈ [0, T] ; (ii) Tỗn tÔi mởt h m liản tửc χ : [0,+∞] →[0,+∞] sao cho hf(t, v), vi ≤ χ(|v|), vợi mồi t∈ [0, T], v ∈ R 2 v +∞
Khi õ, tỗn tÔi mởt ữớng xoưn ốc ãu γ quay theo chiãu kim ỗng hỗ thọa mÂn ối vợi hằ u 0 = f(t, u).
Chùng minh Gi£ sû ÷íng cong γ : [0,+∞) →R 2 câ d¤ng γ(s) = r(s)(coss, −sins), trong õ r(s) l nghiằm cừa b i toĂn Cauchy ˙ r = 2 η χ(r) r , r(0) = R.
Vẳ ữớng cong γ trỡn nản dÂy (σ k ) k trong trữớng hủp n y l tũy ỵ Ró r ng, theo (2.1) v (2.3), s l gõc cõ chiãu cũng chiãu kim ỗng hỗ trong hằ tồa ở cỹc Ta thĐy r(s) ang tông lản mởt cĂch nghiảm ng°t v văn bà r ng buởc bði s giợi hÔn M°t khĂc, r(s) → +∞ vợi s →+∞nản iãu kiằn (2.2) ữủc thọa mÂn Vẳ vêy, γ l mởt ữớng xoưn ốc ãu quay theo chiãu kim ỗng hỗ º chựng tọ rơng iãu õ thọa mÂn hằ u 0 = f(t, u), ta tẵnh hJγ(s), f˙ (t, γ(s))i = r(s)˙ r(s) hJ γ(s), f (t, γ(s))i+hγ(s), f (t, γ(s))i.
Tứ (i) v (ii), ta cõ hJγ(s), f˙ (t, γ(s))i ≤ −ηr(s)r(s) +˙ χ(r(s)) < 0.
Nhên x²t 2.1.6 Náu h m f tông tuyán tẵnh tối a, tực l tỗn tÔi C > 0 sao cho
|f (t, v)| ≤ C(|v|+1), vợi mồi t ∈ [0, T] v v ∈ R 2 thẳ iãu kiằn (iii) cừa ành lỵ 2.1.3 tuƠn theo bĐt ¯ng thực Cauchy Schwarz v iãu kiằn (ii) cừa Mằnh ã 2.1.5 khổng ời vợi χ(r) =Cr(r + 1). é Ơy, ta  giÊ ành iãu kiằn tông tuyán tẵnh thay vẳ (ii) cừa Mằnh ã 2.1.5 Trong trữớng hủp õ, ta xƠy dỹng ữớng cong γ dữợi dÔng mởt ÷íng xo n èc logarit. iãu kiằn (ii) cừa Mằnh ã 2.1.5 ữủc ã xuĐt bði Christian Fabry nản chúng ta nhên ữủc hằ quÊ sau.
(i) Tỗn tÔi R > 0 sao cho vợi mồi nghiằm u : [0, T] →R 2 cừa hằ u 0 = f(t, u) thọa mÂn
|u(t)| 2 dt /∈ 2πN; (ii) Tỗn tÔi R > 0 v η >0 sao cho
|v| ≥ R ⇒ hJ f(t, v), vi ≥ η|v| 2 , vợi mồi t∈ [0, T] v f tông tuyán tẵnh tối a.
Khi õ, hằ u 0 = f(t, u) cõ mởt nghiằm T tuƯn ho n.
Tuy nhiản, trong cĂc ựng dửng, h m f khổng nhĐt thiát tông tuyán tẵnh tối a Thêt vêy, viằc xƠy dỹng ữớng xoưn ốc ãu cõ thº chĐp nhên ữủc, ổi khi cõ thº ữủc thỹc hiằn trỹc tiáp.
Mởt số ựng dửng
Trong phƯn n y, chúng ta s³ minh hồa mởt số vẵ dử vã ựng dửng cừa cĂc kát quÊ trản º thuên tiằn, hằ u 0 = f(t, u) ữủc viát dữợi dÔng sau:
Trong phƯn n y, ta giÊi quyát cĂc vĐn ã khổng cởng hữðng trong õ sỹ phi tuyán tẵnh ữủc kiºm soĂt bði mởt số h m số dữỡng thuƯn nhĐt.Mằnh ã 2.2.1 GiÊ sỷ tỗn tÔi hai h m số liản tửc H 1 , H 2 : R 2 → R thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt:
0 < H j (λv) = λ 2 H j (v) ; (2.19) (ii) Tỗn tÔi hơng số c > 0 sao cho vợi mồi t ∈ [0, T] v v ∈ R 2 :
2H 1 (v)−c ≤ hJ f (t, v), vi ≤ 2H 2 (v) +c; (2.20) (iii) Tứ iãu kiằn τ 1 2π
Khi õ, tỗn tÔi R > 0 v η >0 sao cho
|v| ≥ R ⇒ hJ f(t, v), vi ≥ η|v| 2 , vợi mồi t∈ [0, T] v cĂc tẵnh chĐt cừa hai h m số dữỡng ψ1, ψ2 : S 1 \ {w 1 , , wm} → (0,+∞], vợi w1, , wm ∈ S 1 khổng ỗng thới bơng +∞ ð Mằnh ã 2.1.8 khổng ời.
Chựng minh Vẳ H 1 cõ cỹc tiºu dữỡng trản S 1 nản tứ (2.19) v (2.20), ta cõ (i) cừa Mằnh ã 2.1.5 l úng.
Cho ψ 1 (w) = 2H 1 (w) v ψ 2 (w) = 2H 2 (w) xĂc ành trản to n bở têp S 1 Theo (2.20), ta câ:
2H 1 (λw)−c ≤ hJ f (t, λw), λwi ≤ 2H 2 (λw) +c v sỷ dửng tẵnh thuƯn nhĐt dữỡng cừa H 1 , H 2 theo (2.19), ta cõ ψ 1 (w)− c λ 2 ≤
Khi õ, tứ cĂc tẵnh chĐt cừa hai h m số dữỡng ψ 1 , ψ 2 : S 1 \ {w 1 , , w m } → (0,+∞] khổng ỗng thới bơng +∞ vợi w 1 , , w m ∈ S 1 ð Mằnh ã 2.1.8, ta suy ra (2.22).
Tứ Hằ quÊ 2.1.9 v 2.1.10, ta nhên ữủc nhỳng hằ quÊ sau:
Hằ quÊ 2.2.2 Náu tỗn tÔi mởt ữớng xoưn ốc ãu γ quay theo chiãu kim ỗng hỗ thọa mÂn ối vợi hằ u 0 = f(t, u) v cĂc tẵnh chĐt cừa hai h m số liản tửc H 1 , H 2 : R 2 → R ð Mằnh ã 2.2.1 khổng ời thẳ hằ u 0 = f(t, u) cõ mởt nghiằm T tuƯn ho n.
Hằ quÊ 2.2.3 Náu tỗn tÔi mởt h m liản tửc χ : [0,+∞) →(0,+∞) sao cho hf(t, v), vi ≤ χ(|v|),
0 rdr χ(r) = +∞, vợi mồi t ∈ [0, T], v ∈ R 2 v cĂc tẵnh chĐt cừa hai h m số liản tửc H 1 , H 2 : R 2 → R ð Mằnh ã 2.2.1 khổng ời, thẳ hằ u 0 = f(t, u) cõ mởt nghiằm T tuƯn ho n.
Nhên x²t 2.2.4 é Ơy, giÊ ành tông tuyán tẵnh l khổng cƯn thiát. Thêt vêy, giÊ sỷ f thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt cừa hai h m số liản tửc
H 1 , H 2 : R 2 → R trong Mằnh ã 2.2.1 v f tông tuyán tẵnh tối a, cho f˜(t, v) =f(t, v) +h(t, |v|)v trong õ h :RìR →R l liản tửc v tỗn tÔi mởt r > 0 sao cho r ≥r ⇒ h(t, r) ≤ ln(1 +r), vợi mồi t∈ [0, T].
Khi õ, f˜khổng nhĐt thiát phÊi tông tuyán tẵnh tối a Tuy nhiản
= hJ f (t, v), vi º f˜thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt cừa hai h m số liản tửc H 1 , H 2 : R 2 → R trong Mằnh ã 2.2.1, cho |v| > 1 ừ lợn,
≤ C (1 +|v|)|v|+ ln (1 + |v|)|v| 2 ≤ 2 ln (1 + |v|)|v| 2 , do õ f˜xĂc ành (ii) cừa Mằnh ã 2.1.5 Hằ quÊ 2.2.3 Ăp dửng cho phữỡng trẳnh u 0 = ˜f (t, u).
Lữu ỵ: Ch¿ yảu cƯu iãu khiºn vã mởt phẵa trản h m.
X²t trữớng hủp H1 v H2 khÊ vi liản tửc Khi õ, cổng thực Euler khổng êi: h∇H j (v), vi = 2Hj (v), vợi mồi v ∈ R 2 , j ∈ {1,2}.
Cõ thº thĐy rơng, ối vợi hằ Hamilton:
J u 0 = ∇H 1 (u), J u 0 = ∇H 2 (u) (2.23) gốc l mởt tƠm cõ tẵnh ¯ng thới v cĂc nghiằm cõ chu ký τ 1 v τ 2 tữỡng ựng Ơy l trữớng hủp ữủc mổ tÊ trong ành lỵ 5.2 cừa t i liằu [4]. BƠy giớ, ta cƯn giÊi quyát cĂc trữớng hủp phi tuyán tẵnh l ữủc kiºm soĂt theo mởt cĂch n o õ dỹa v o ma trên ối xựng Dữợi Ơy, ta biºu thà S 2ì2 l têp hủp ma trên ối xựng 2ì2 Ta nõi rơng ma trên A∈ S 2ì2 l xĂc ành dữỡng náu hAv, vi > 0, vợi mồi v ∈ R 2 \ {0}. ối vợi hai ma trên ối xựng A v B: A < B náu hAv, vi ≤ hBv, vi vợi mồi v ∈ R 2
Hằ quÊ 2.2.5 GiÊ sỷ A v B l hai ma trên ối xựng 2ì 2 xĂc ành dữỡng v Γ : RìR 2 → S 2ì2 liản tửc, T tuƯn ho n trong bián Ưu tiản cõa nâ sao cho
M°t khĂc, cho r : RìR 2 →R 2 l mởt h m liản tửc v bà ch°n, T tuƯn ho n trong bián Ưu tiản cừa nõ Náu:
J u 0 = Γ (t, u)u+r(t, u) cõ mởt nghiằm T tuƯn ho n.
Chựng minh Ta biát rơng nghiằm cừa J u 0 = Au v J u 0 = Bu cõ chu ký lƯn lữủt l τ 1 = 2π
2 hBv, vi. LĐy ε > 0 ừ nhọ Thay vẳ x²t cĂc ma trên A v B, ta x²t cĂc ma trên
A− εI v B +εI tữỡng ựng, kát luên sau õ ữủc ữa ra tứ Hằ quÊ 2.2.3 v liản quan án hằ Hamilton trong (2.23) vẳ tẵnh phi tuyán nản trong trữớng hủp n y cõ sỹ tông tuyán tẵnh tối a.
Hằ quÊ 2.2.6 GiÊ sỷ A v B l hai ma trên ối xựng 2ì 2 xĂc ành dữỡng iãu kiằn (2.24) l tữỡng ữỡng vợi σ((1−λ)J A+λJ B)∩ 2π
T iZ = ∅, vợi mồi λ ∈ [0,1] (2.25) Chựng minh Mởt ph²p tẵnh cỡ bÊn cho thĐy rơng ối vợi ma trên A ối xựng 2ì2 xĂc ành dữỡng, cĂc giĂ trà riảng cừa JA = ±i√ det A T÷ìng tü, σ((1−λ)JA +λJB) n±ip det ((1−λ)JA +λJB) o
Sỷ dửng Ôi số tuyán tẵnh, ta thĐy vợi cĂc ma trên ối xựng xĂc ành d÷ìng, det A < det ((1−λ)JA +λJB) ≤ det B vợi λ ∈ [0,1] v sỹ phử thuởc v o λ l liản tửc. iãu kiằn (2.25) ữủc giợi thiằu trong [7], trong chữỡng trẳnh cừa hằ Hamilton trong R 2M câ d¤ng
Nõ l mởt iãu kiằn ỡn giÊn m Amann  ã xuĐt trong [2] cừa cĂc toĂn tỷ trong khổng gian Hilbert H = L 2 (0, T).
Cho L : D(L) ⊆H →H l cĂc toĂn tỷ vi phƠn tỹ liản hủp ữủc xĂc ành bði Lu = J u 0 trong õ D(L) bao gỗm iãu kiằn T tuƯn ho n Chồn mởt hơng số dữỡng β ∈ R\2π
−βI ≤ A≤ B ≤ βI v biºu thà E l tờng cừa cĂc khổng gian riảng cừa L thuởc cĂc giĂ trà riảng trong [−β, β] GiÊ sỷ σ(JA)∩ 2π
T iZ v liản quan án ch¿ số Morse dÔng m(L−A) |E = m(L−B) |E
Trong chữỡng trẳnh cừa cĂc phữỡng trẳnh m°t ph¯ng tực l M = 1, kát quÊ nhên ữủc trong [2], [7] cho hằ Hamilton (2.26) ữủc phĂt biºu nhữ sau.
Hằ quÊ 2.2.7 GiÊ sỷ A v B l hai ma trên ối xựng xĂc ành dữỡng
2ì2, giÊ sỷ rơng h m H(t, u) khÊ vi liản tửc hai lƯn trong u v
AH uu (t, u)B, vợi mồi t ∈ [0, T] v u ∈ R 2 Náu
= ∅,thẳ phữỡng trẳnh (2.26) cõ duy nhĐt mởt nghiằm T tuƯn ho n
TĐt cÊ cĂc kát quÊ n y l khổng ời trong trữớng hủp cĂc h m Hamilton ¥m.
J u 0 = ∇H(u) + r(t, u), (2.27) trong õ r : RìR 2 → R 2 l mởt h m liản tửc v bà ch°n, nghiằm T tuƯn ho n trong bián Ưu tiản cừa nõ, h m H : R 2 → R khÊ vi liản tửc v thọa mÂn
Theo cĂch õ, trữớng hủp tữỡng tỹ ữủc x²t trong mửc 2.2.1 vợiH 1 = H 2 Ngữủc lÔi, giÊ sỷ rơng
N, vợi N ∈ N 0 Vợi bĐt ký h m u : [0, T] →R liản tửc, ta kỵ hiằu
2Hu(t) : t ∈ [0, T] o Theo (2.28), tỗn tÔi hai hơng số dữỡng c 1 , c 2 sao cho c 1 kuk ∞ ≤ N(u) ≤ c 2 kuk ∞ , vợi mồi u.
Chú ỵ: ϕ tuƯn ho n vợi chu ký nhọ nhĐt T
N v N(ϕ) = 1. ành lỵ 2.2.8 Trong thiát lêp trản, giÊ sỷ rơng
0 lim inf ρ→+∞ ω→ω 0 hr,(t, ρϕ(t+ ω)), ϕ(t+ ω)idt > 0, vợi mồi ω 0 ∈ [0, T].
(2.29) Khi õ, hằ (2.27) cõ mởt nghiằm T tuƯn ho n.
Chựng minh p dửng Hằ quÊ 2.1.7 nhữ trong chựng minh cừa Mằnh ã 2.2.1 v sỷ dửng cổng thực Euler, ngay lêp tực chúng ta thĐy rơng iãu kiằn (i) cừa Mằnh ã 2.1.5 thọa mÂn Vẳ ∇H (u) l thuƯn nhĐt dữỡng bêc
1 v r(t, u) bà ch°n, tẵnh phi tuyán cõ sỹ tông tuyán tẵnh tối a.
Ta kiºm chựng iãu kiằn (ii) cừa ành lỵ 2.1.3 GiÊ sỷ phừ ành rơng tỗn tÔi mởt dÂy nghiằm (u n ) n sao cho min{|u n (t)| :t ∈ [0, T]} → +∞ v u n (T) =λ n u n (0), vợi mởt số λ n ≥ 1 °t v n (t) = u n (t)
Vẳ (v n ) n bà ch°n ãu, ta thĐy (v 0 n ) n cụng bà ch°n ãu Do õ, tỗn tÔi v sao cho tối a mởt dÂy con (v n ) n hởi tử yáu vã v trong H 1 (0, T) v ãu trong
[ 0, T] Khi õ, N(ϕ) = 1 Tứ phữỡng trẳnh, ta thĐy rơng sỹ hởi tử thỹc sỹ mÔnh trong C 1 ([0, T]) v v thọa mÂn
Biát rơng tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ n y cõ dÔng ρϕ( t + ω) vợi ρ ≥ 0 v ω ∈
Ta khĂi quĂt tồa ở cỹc u n (t) =ρ n (t)ϕ(t+ω n (t)), v n (t) = ρn(t)
Tứ sỹ suy luên trản, ta cõ: ρn(t) → +∞, ρn(t)
N (u n ) →1, ω n (t) →ω 0 (2.31) khổng suy bián trong t Tẵnh toĂn J u 0 n tứ (2.30), phữỡng trẳnh vi phƠn trð th nh ρ 0 n J ϕ(t+ωn)+ρn(1 +ω 0 n )J ϕ 0 (t+ωn) = ∇H(ρnϕ(t+ωn))+r(t, ρnϕ(t+ωn)). Tẵch vổ hữợng vợi ϕ(t+ωn) suy ra ω 0 n = 1 ρ n hr(t, ρ n ϕ(t+ω n )), ϕ(t+ω n )i.
Do õ, tứ giÊ ành u n (t) = λ n u n (0) v vợi n ừ lợn, v n v ϕ thỹc hiằn cũng mởt số lƯn quay quanh gốc tồa ở trong thới gian T,
Sỷ dửng bờ ã Fatou v cĂc giợi hÔn trong (2.31), ta cõ
0 lim inf n hr(t, ρϕ(t+ω)), ϕ(t+ω)idt mƠu thuăn vợi giÊ thuyát.
Ró r ng, cũng mởt loÔi kát quÊ s³ úng náu h m Hamilton l Ơm ho°c thay cho (2.29), giÊ sỷ iãu kiằn ối xựng
0 lim sup ρ→+∞ ω→ω 0 hr(t, ρϕ(t+ω)), ϕ(t+ω)idt < 0 vợi mồi ω 0 ∈ [0, T].
CĂc giÊ thiát nhữ (2.29) v cĂc giÊ thiát trản  ữủc giợi thiằu trong t i liằu [5], trong õ trữớng hủp cởng hữðng k²p cụng ữủc giÊi quyát.
X²t mởt trữớng hủp cử thº cừa (2.29), ta x²t hằ:
−y 0 = àx + −vx − + r1(t, x), x 0 = y +r 2 (t, y), (2.32) trong õ à, ν l cĂc hơng số dữỡng; r 1 , r 2 :RìR →R l cĂc h m liản tửc v bà ch°n, nghiằm T tuƯn ho n trong bián Ưu tiản cừa chúng GiÊ sỷ tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng N sao cho
Theo hằ quÊ cừa ành lỵ 2.2.8, chúng ta thĐy rơng iãu kiằn Landesman Lazer cờ iºn cõ thº dạ d ng nhên ra.
Hằ quÊ 2.2.9 Trong thiát lêp trản, giÊ sỷ rơng vợi mồi nghiằm φ(t) khĂc khổng cừa phữỡng trẳnh vổ hữợng φ 00 +àφ + −νφ − = 0, ta cõ:
{φ 0 0Khi õ, hằ (2.32) cõ nghiằm T tuƯn ho n.
2.2.3 CĐp tông tuyán tẵnh vã mởt phẵa
Trong mửc n y, ta x²t mởt trữớng hủp °c biằt cừa hằ (2.18) tực l hằ
GiÊ sỷ rơng, vợi i, j ∈ {1,2}, tỗn tÔi cĂc số ài,j, νi,j ∈ [0,+∞] sao cho à 1,1 ≤ lim inf x→+∞ g1(t, x) x ≤lim sup x→+∞ g1(t, x) x ≤ à 1,2 , (2.34) v 1,1 ≤ lim inf x→−∞ g 1 (t, x) x ≤lim sup x→−∞ g 1 (t, x) x ≤ v 1,2 , (2.35) à 2, 1 ≤ lim inf x→+∞ g2(t, y) y ≤ lim sup x→+∞ g2(t, y) y ≤à 2,2 , (2.36) v2, 1 ≤lim inf x→−∞ g 2 (t, y) y ≤ lim sup x→−∞ g 2 (t, y) y ≤ v2,2 (2.37)
(2.38) ành lỵ 2.2.10 GiÊ sỷ tĐt cÊ cĂc hơng số trong (2.34) án (2.37) l hỳu h¤n v
Khi õ, hằ (2.33) cõ mởt nghiằm T tuƯn ho n.
Kát luên cừa ành lỵ trản văn úng náu mởt trong cĂc hơng sốà 1, 2 , v 1, 2 , à 2,2 , v 2,2 bơng +∞ v tĐt cÊ cĂc giĂ trà cỏn lÔi l hỳu hÔn.
Chựng minh Trong trữớng hủp tĐt cÊ cĂc hơng số trong (2.34) án (2.37) l hỳu hÔn, ta s³ Ăp dửng Hằ quÊ 2.1.10 Theo iãu kiằn (ii) cừa Mằnh ã2.1.5, vẳ cĂc iºm phi tuyán cõ sỹ tông tuyán tẵnh tối a iãu ch¿nh mởt chút cĂc hơng số trong (2.34) án (2.37) m khổng Ênh hữðng án (2.17). Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta giÊ sỷ R >0 sao cho vợi mồi t ∈ [0, T] x ≥ R ⇒ à 1, 1 ≤ g 1 (t, x) x ≤à 1, 2 ; x ≤ −R ⇒ v 1, 1 ≤ g 1 (t, x) x ≤ v 1, 2 ; y ≥ R ⇒ à 2, 1 ≤ g 2 (t, y) y ≤ à 2, 2 ; y ≤ −R ⇒ v 2, 1 ≤ g 2 (t, y) y ≤ v 2, 2
Vẳ vêy, náu (x, y) 6= (0,0) nơm trong mội gõc phƯn tữ, ta cõ cĂc trữớng hủp sau:
Náu x ≥ 0 v y ≥0 thẳ à1,1x 2 +à2,1y 2 −2C ≤ hg(t, x, y),(x, y)i ≤ à1,2x 2 + à2,2y 2 + 2C. Náu x ≤ 0 v y ≥0 thẳ v 1,1 x 2 +à 2,1 y 2 −2C ≤ hg(t, x, y),(x, y)i ≤ v 1,2 x 2 +à 2,2 y 2 + 2C. Náu x ≤ 0 v y ≤0 thẳ v 1,1 x 2 +v 2,1 y 2 −2C ≤ hg(t, x, y),(x, y)i ≤ v 1,2 x 2 +v 2,2 y 2 + 2C. Náu x ≥ 0 v y ≤0 thẳ à 1,1 x 2 +v 2,1 y 2 −2C ≤ hg(t, x, y),(x, y)i ≤ à 1,2 x 2 + v 2,2 y 2 + 2C.
CĂc bĐt ¯ng thực bản trĂi cho thĐy iãu kiằn (i) cừa Mằnh ã 2.1.5 khổng ời vợi η = 1
2min{à 1,1 , v 1,1 , à 2,1 , v 2,1 }. º chựng minh cĂc tẵnh chĐt cừa hai h m số dữỡng ψ 1 , ψ 2 : S 1 \ {w 1 , , w m } → [0,+∞] khổng ỗng thới bơng +∞ vợi w 1 , , w m ∈ S 1 trong Mằnh ã 2.1.8, lĐy mởt têp compact κ ⊆ S 1 \n e 0 , e iπ/2 , e iπ , e i3π/2 o
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta giÊ sỷ κ e iθ : θ ∈ K vợi
iãu kiằn (2.39) cho thĐy cĂc tẵnh chĐt cừa hai h m số dữỡng ψ1, ψ2 : S 1 \ {w 1 , , wm} → (0,+∞] khổng ỗng thới bơng +∞ vợi w1, , wm ∈ S 1 trong Mằnh ã 2.1.8 l khổng ời Do õ, Hằ quÊ 2.1.10 cõ thº ữủc Ăp dửng v chựng minh ữủc ho n th nh trong trữớng hủp n y.
BƠy giớ, ta giÊ sỷ rơng v 1,2 = +∞ tĐt cÊ cĂc hơng số khĂc l hỳu hÔn. Trong trữớng hủp n y, chúng ta s³ Ăp dửng Hằ quÊ 2.1.9 Thêt vêy, iãu kiằn (i) cừa Mằnh ã 2.1.5 văn ữủc thọa mÂn vẳ nõ theo sau tứ phẵa bản trĂi ữợc tẵnh ð trản Trong trữớng hủp n y, ta cõ ψ 2 e iθ
BƠy giớ, ta cƯn kiºm tra iãu kiằn (i) cừa ành lỵ 2.1.3 cho thĐy rơng tỗn tÔi mởt ữớng xoưn ốc ãu quay theo chiãu kim ỗng hỗ.
Sỷ dửng (2.35), ta xƠy dỹng hai h m liản tửc h 1 , h 2 : (−∞,−R] →R sao cho h 1 (x) < g 1 (t, x) < h 2 (x) < 0, vợi mồi x ≤ −R v cĂc h m nguyản thừy H 1 , H 2 thọa mÂn x→−∞lim H1(x) = lim x→−∞H2(x) = +∞. º xƠy dỹng ữớng xoưn ốc ãu cõ thº chĐp nhên ữủc, x²t bốn miãn kh¡c nhau trong m°t ph¯ng:
N W = (−∞, −R] × [R, +∞). ữớng xoưn ốc thổng thữớng s³ ữủc xƠy dỹng bơng cĂch gh²p cĂc oÔn ữớng cong lÔi vợi nhau thuởc tứng miãn Liản quan án miãn E, chúng ta xƠy dỹng ữớng cong γ nhữ trong chựng minh cừa Mằnh ã 2.1.5 (ho°c giống nhữ mởt ữớng xoưn ốc logarit).
Trong miãn SW, ữớng xoưn ốc thổng thữớng ữủc xƠy dỹng nhữ mởt ÷íng mùc cõa h m Hamilton
2v2, 2y 2 +H2(x). ối vợi nghiằm cừa (2.33) giao vợi ữớng mực trong miãn n y tÔi thới iºm t, ta câ d dtH SW (x(t), y(t)) =−v 2, 2 y(t)g 1 (t, x(t)) +h 2 (x(t))g 2 (t, y(t))
Trong miãn W, chúng ta xƠy dỹng ữớng cong l mởt ữớng th¯ng cõ hằ số gõc Ơm l −m, vợi m >0 ừ nhọ Cho C >˜ 0 sao cho
Cõ x ≤ −R,|y| ≤R v vẳ γ˙ cõ hữợng l (−1, m) nản theo (2.40) v (2.41), ta câ:
−g 1 (t, x) +mg 2 (t, y) ≥ v 1,1 R−mC >˜ 0, vợi iãu kiằn l m < ν 1,1 R/C˜ Do õ, (2.5) thọa mÂn trong miãn n y. Trong miãn N W, ữớng xoưn ốc ãu ữủc xƠy dỹng nhữ mởt ữớng mùc cõa h m Hamilton
2à 2, 1 y 2 +H 1 (x). ối vợi nghiằm cừa (2.33) giao vợi ữớng mực trong miãn n y tÔi thới iºm t, ta câ: d dtH SW (x(t), y(t)) =−à 2, 1 y(t)g 1 (t, x(t)) +h 1 (x(t))g 2 (t, y(t))
≤à 2, 1 y(t) (h 1 (x(t))−g 1 (t, x(t))) < 0. cho nản (2.5) thọa mÂn º chưc chưn rơng ữớng cong tông vã phẵa vổ cỹc, ta s³ cân thên trong viằc lỹa chồn, trong miãn W, ở dốc m ừ nhọ, º ð mội khúc quanh, ữớng cong c ng lúc c ng lợn Trong cĂch n y, iãu kiằn (i) cừa ành lỵ 2.1.3 ữủc chựng minh v Ăp dửng Hằ quÊ 2.1.9 º ành lỵ ữủc chựng minh. ành lỵ 2.2.10 khĂi quĂt mởt phƯn cĂc kát quÊ tỗn tÔi nhên ữủc trong
[4], [5] cho phữỡng trẳnh dÔng x 00 +h(t, x) = 0 vợi à2,1 = à2,2 = v2,1 = v2,2 = 1.
Thêt vêy, cĂc iãu kiằn trong [5] phực tÔp hỡn, liản quan án mởt số tẵch phƠn trản t.
Vợi v1,2 = +∞ v v1,1 cõ thº ữủc chồn tũy ỵ lợn, ta cõ hằ quÊ sau. Hằ quÊ 2.2.11 GiÊ sỷ x→−∞lim xg1(t, x) x = +∞, kát hủp (2.34), (2.36) v (2.37) khổng ời Náu tỗn tÔi mởt số nguyản d÷ìng N sao cho
N π thẳ hằ (2.33) cõ mởt nghiằm T tuƯn ho n.
Nhên x²t 2.2.12 Chúng ta cõ thº l°p lÔi cĂc ối số trong mửc n y º cõ mởt hằ tờng quĂt hỡn nhữ sau:
( −y 0 = g 1 (t, x) +βy +r 1 (t, x, y), x 0 = βx+g 2 (t, y) +r 2 (t, x, y), trong â β 2 < min{à 1, 1 à 2,1 , à 1,1 v 2,1 , v 1,1 à 2,1 , v 1, 1 v 2,1 } v r 1 , r 2 l hai h m liản tửc, nghiằm T tuƯn ho n trong bián Ưu tiản cõa chóng sao cho λ→+∞lim r i (t, λcosθ, λsinθ) λ = 0, vợi i ∈ {1, 2} khổng suy bián vợi t ∈ [0, T] v θ ∈ [0,2π].
Trong trữớng hủp n y, τ j trong (2.38) cƯn ữủc xĂc ành lÔi, cõ sỹ xuĐt hiằn cừa hơng số mợi β.
2.2.4 Tẵnh phi tuyán vợi mởt iºm ký dà