Cấu trúc nghiệm của bài toán biên tuyến tính cho hệ phương trình vi phân hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thu Hằng CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA BÀI TỐN BIÊN TUYẾN TÍNH CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thu Hằng CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA BÀI TỐN BIÊN TUYẾN TÍNH CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài “Cấu trúc nghiệm tốn biên tuyến tính cho hệ phương trình vi phân hàm” tơi thực Các kết luận văn trung thực không chép luận văn khác Trong q trình thực luận văn, tơi thừa kế kết nhiều báo công bố nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép cơng bố Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2022 Học viên thực Phạm Thị Thu Hằng LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Anh Tuấn – giảng viên hướng dẫn Luận văn Tốt nghiệp Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thầy người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tiếp theo, xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể Thầy, Cơ giảng viên khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tôi muốn cảm ơn Thầy, Cô giảng dạy, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho tơi suốt q trình học tập trường Cảm ơn ThS Phùng Ngọc Thi, ThS Huỳnh Phước Trường, ThS Lâm Bảo Chánh, ThS Hoàng Việt Hùng định hướng cho tôi, giúp đỡ nhiều việc tìm tài liệu thời gian đầu thực Luận văn Cảm ơn ThS Phạm Việt Duy Kha, bạn Phạm Huy Yên Vui, bạn Nguyễn Thị Thục Hiền, bạn Bùi Quỳnh Hương, bạn Trần Hữu Tài tập thể lớp Tốn Giải tích K29 lắng nghe, an ủi động viên lúc bế tắc q trình tơi hồn thiện Luận văn Tốt nghiệp Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến Ba, Mẹ, Anh trai Anh xã Đào Đức Quang chỗ dựa tinh thần vững suốt q trình tơi học tập trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2022 Học viên thực Phạm Thị Thu Hằng MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính 1.3 Các tiêu chuẩn hiệu cho tồn nghiệm hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch 15 Chương CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA BÀI TỐN BIÊN TUYẾN TÍNH CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 20 2.1 Các kết 20 2.2 Các nhận xét hệ 23 Chương BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 31 3.1 Một số định nghĩa nhận xét 32 3.2 Bất đẳng thức vi phân hàm 35 3.3 Các kết 38 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU tập hợp số tự nhiên, tập hợp số thực,   [0, ) , I   a, b  I hàm đặc trưng khoảng I, i.e., 1 , t  I , 0 , t  I ; I   n - không gian vectơ cột n-chiều x   xi i1 với phần tử xi  n (i, k  1, , n) chuẩn: n x   xi ; i 1 nn - không gian ma trận vuông n  n X   xik i ,k 1 với phần tử n i, k  1, n  chuẩn: xik  n X   xik ; i ,k 1 n   x     x   nn  n n i i 1 n ik i ,k 1 Nếu x, y  n   : xi  i  1, n ; nn    : xik  i, k  1, n ; X , Y  nn x  y  y  x Nếu x   xi i1  n n n  , X Y Y  X  X   xik i ,k 1  n x   xi  , X   xik i 1 n det  X  định thức ma trận X; X 1 ma trận nghịch đảo X; r  X  bán kính phổ ma trận X; E ma trận đơn vị; nn  n i ,k 1 ; nn  ;  ma trận không; CI, n  không gian vectơ hàm liên tục x : I  x Nếu x   xi i1  C  I , n n C     n với chuẩn:  max x  t  : t  I ; x C  xi C  I; n  n C i 1 ;  không gian vectơ hàm liên tục tuyệt đối x : I  x C  I; nn L I; n  C  x C n với chuẩn  x' L;  không gian hàm ma trận liên tục X : I  không gian vectơ hàm x : I  n nn ; với phần tử khả tích Lebesgue, với chuẩn x L   x  t  dt ; b a Nếu x   xi i 1  L  I , R n  n x L   xi  n L i 1 ; L  I ; R nn  khơng gian hàm ma trận khả tích Lebesgue X : I  g : C I; nn ;   L  I ;  toán tử tuyến tính, g : C  I ;   L  I ;  toán tử không âm cho: g  x   g  x  với x  C  I ;  Nếu Z  C  I ;  hàm ma trận với cột z , , z g : C  I ;   L  I ;  tốn tử tuyến tính, tương ứng phiếm hàm tuyến tính, g  Z  hàm ma trận, g : C  I;   Nếu n n n n n nn n n n n tương ứng ma trận với cột g  z1  , , g  zn  ; n C  a, b,  không gian Banach hàm liên tục u : a, b  u L  a, b, C  với chuẩn:   max u  t  : t   a, b  ;  không gian Banach hàm khả tích Lebesgue p : a, b  với chuẩn u AC  a, b, L  a, b  ,   p  t  dt ; b L a  tập hàm liên tục tuyệt đối u : a, b   ;    p  L a, b,  : p t   0, t  a, b  h.k n ; Lab tập tốn tử tuyến tính bị chặn l : C  a, b,   L a, b,  ; Pab tập toán tử dương l  Lab , nghĩa là, tốn tử biến tập C  a, b, Nếu x   thành tập L a, b,  ; ,  x số nguyên lớn nhỏ x   MỞ ĐẦU Các phương trình vi phân hàm xuất từ kỉ 18 trở thành cơng cụ tốn học cho vật lý, hình học, khí, sinh học kinh tế Đến khoảng đầu kỉ 20, quan tâm dành cho việc nghiên cứu xây dựng lý thuyết định tính cho phương trình vi phân tăng lên Từ đó, phát kiến lớn việc xây dựng lý thuyết tốn biên cho phương trình vi phân hàm đề xuất Đến năm 1997, cơng trình tác giả I Kiguradze B Půža đưa điều kiện tối ưu đảm bảo cho tồn nghiệm lớp thật rộng tốn biên cho phương trình vi phần hàm, đặt tảng cho đa số tài liệu nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân hàm sau Tuy nhiên, dù có nhiều cơng trình, báo liên quan đến vấn đề này, lý thuyết tổng quát chưa hồn thiện gần chưa có giải pháp cho cấu trúc xấp xỉ nghiệm cho toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm Vì vậy, chương luận đưa cấu trúc xấp xỉ nghiệm tác giả V Novotná and B Půža khái quát từ số kết cơng trình trước Sau đó, chương luận bổ sung vào lý thuyết tổng quát điều kiện tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính Cụ thể, nội dung luận văn gồm ba chương: Chương Bài tốn biên tổng qt cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Chương Cấu trúc nghiệm tốn biên tuyến tính cho hệ phương trình vi phân hàm Chương Bài toán giá trị biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính Chương BÀI TỐN BIÊN TỔNG QT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu tốn Xét hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính đoạn I   a, b x  t   p  x  t   q  t  , (1.1) với điều kiện giá trị biên tuyến tính l  x   c0 , p : C  I , n (1.2)   L  I ,  toán tử tuyến tính bị chặn mạnh (nghĩa n p tốn tử tuyến tính tồn hàm khả tích Lebesgue  : I  cho p  x  t     t  x C hầu hết t  I , x  C  I , phiếm hàm tuyến tính bị chặn, q  L  I , n  c   ), n n l :CI, n   n Nghiệm toán (1.1), (1.2) vectơ hàm liên tục tuyệt đối x : I  n thỏa mãn hệ (1.1) hầu khắp nơi I thỏa mãn điều kiện (1.2) Trường hợp riêng hệ (1.1) thường xuất thực tế là: Hệ phương trình vi phân tuyến tính x  t   P  t  x  t   q  t  , (1.3) hay hệ phương trình vi phân tuyến tính với đối số lệch x  t   P  t  x   t    q t  , (1.4) hay hệ đối số lệch bội s x  t    Pi  t  x  i  t    q  t  , i 1 (1.5) 39 Định lý 3.5 ([4], Định lý 3.2) Cho l  Sab  a  có biểu diễn l  l0  l1 với l0 , l1 Pab , giả sử l1  Sab  b  toán tử a-Volterra Thêm vào nữa, giả sử (3.27) thực Khi đó, tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Chứng minh Theo Định lý 3.1, ta cần chứng minh toán (3.3), (3.4) có nghiệm tầm thường Giả sử ngược lại, tồn nghiệm không tầm thường u (3.3), (3.4) Do l  Sab  a  , theo Nhận xét 3.1, khơng tính tổng qt, ta giả sử u thỏa u  t   với t   a, b , u  a   (3.29) Ta chứng minh u hàm dương Giả sử ngược lại, tồn x  (a, b] cho u  x   Khi đó, từ (3.3), theo (3.29), ta có u  t   l1  u  t  với t   a, x  h.k.n, u  x   (3.30) Từ (3.4), kết hợp với l1  Sab  b  toán tử a-Volterra, suy u  t   với t   a, x  (xem [2, Chú ý 1.9]) Mà điều mâu thuẫn với (3.29) Vậy, theo (3.27) tính dương u, ta có (3.28), mâu thuẫn với (3.4)  Vậy định lý chứng minh Định lý 3.6 ([4], Định lý 3.3)   a  , giả sử tồn i j  1, , n Cho l  Sab  j  1, , k  cho n  i1  i2   ik  1, (3.31) 40 r  1  z  với z  ir 1  1, , ir  r  0, , k  (3.32) r  1  z  với z  ir 1  1, , ir  r  0, , k  (3.33) xảy ra, đó, i0  n, ik 1  Thêm vào nữa, i2 r  z i2 r 1 1 z  i2 r 1  z i2 r   k  1  z , r  0, ,    1 (3.34) Nếu bất đẳng thức (3.34) nghiêm ngặt, k số chẵn, l Pab ,  l 1 t  dt  0, I  k 1    r 0 I ti2 r  1ti2 r , (3.35) tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Chứng minh Ta chứng minh trường hợp (3.32) Khi đó, (3.33) tương đương đẳng thức (3.4) n     u  t   i 1 i i (3.36) Theo Định lý 3.1, ta cần chứng minh toán (3.3), (3.4) có nghiệm tầm thường Giả sử ngược lại, tồn nghiệm không tầm thường (3.3), (3.4) Khơng tính tổng qt, theo [2, Mệnh đề 2.1], ta giả sử u hàm dương không tăng Vậy từ (3.4) ta thu 41 n  u  t   i i 1 i n k ir  u  t     i i 1 i k  zu  t z    r 0 z ir 1 1 ir   1 r r 0 z ir 1 1  z u tz   k 1    i2 r 1  i2 r       z u tz     z u tz   r 0  z i2 r 1 1 z i2 r  1    k 1    i2 r 1  i2 r u t   z   i2 r 1   z r 0 z i2 r  1  z i2 r 1 1      (3.37) Nếu bất đẳng thức (3.34) nghiêm ngặt, ta có mâu thuẫn từ (3.37) u dương Nếu k số chẵn,  k 1   i2 r 1  i2 r   u t   u t   u t         z   z z   z z , z r 0 z ir 1 1 r 0  z i2 r 1 1 z i2 r  1  k ir ta thu mâu thuẫn từ (3.37), theo (3.34) u dương Cuối cùng, giả sử k số lẻ (3.35)   k  1  ,    Khi đó, theo (3.34) u dương, từ (3.37) suy với r  0, ,   i2 r  z i2 r 1 1  z u tz   i2 r 1  z i2 r  1  z u  t z  Mà theo (3.8) u  t   với t   a, b h.k.n, đẳng thức đằng sau xảy trường hợp  k  1 u  t   với t  ti2 r 2 , ti2 r  h.k.n, r  0, ,    (3.38) 42 Mặt khác, hàm w t   u  t   u  a  với t   a, b hàm khơng âm khơng tăng, đó, theo bao hàm thức l Pab , ta có: l  w t   với t   a, b h.k.n, nghĩa l  u  t   l 1 t  u  a  với t   a, b h.k.n (3.39) Hơn nữa, u dương l 1 t   với t   a, b h.k.n, ta có l 1 t  u  a   với t   a, b h.k.n (3.40) Từ (3.3) (3.38) - (3.40) suy l 1 t   với t   k 1    r 0 ti2 r  , ti2 r  h.k.n,  mâu thuẫn với (3.35) Từ Định lý 3.6, ta có kết sau: Hệ 3.1 ([4], Hệ 3.4)   a  , cho t1, t2   a, b cho t1  t2 cho Cho l  Sab 1  0,   1 (3.41) Nếu   1 l Pab ,  l 1 t  dt  0, t2 t1 tốn u  t   l  u  t   q  t  , 1u  t1    2u t2   c có nghiệm (3.42) 43 Hai khẳng định sau xem phần bù Định lý 3.6 Hệ 3.1 Định lý 3.7 ([4], Định lý 3.5)   a  cho tồn i j  1, , n  j  1, , k  cho (3.31) Cho l  Sab (3.32) (3.33) thỏa, đó, i0  n, ik 1  Cho thêm ik y  tn  n  z k số lẻ,  z   y  a  z i1 1 z 1 (3.43) ik ik 1 y  tn  n  z    z k số chẵn  z   y  a  z i1 1 z 1 z ik 1 (3.44) i r 2  z i2 r  1 z  đó, y  AC  a, b, i2 r 1  z i2 r  1  k  3 , k  3,    z , r  0, ,  (3.45)  hàm thỏa (3.10) (3.11) Nếu bất đẳng thức (3.43) – (3.45) nghiêm ngặt, meas t   a, tn  : y  t   l  y  t   0, (3.46) n  y  t   0, i 1 i i (3.47) l Pab ,  l 1 t  dt  0, (3.48) I đó, I  I1  I  ti1, tn , (3.49) 44     a, ti      k  k số lẻ,  ti I1   I2     a, tik 1  k số chẵn,  r 0  k 3  với r  1  , , ti2 r 1 , k  3, , k  3, tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Chứng minh Ta chứng minh định lý trường hợp (3.32) thực Khi đó, trường hợp (3.33) suy tương đương bất đẳng thức (3.4) (3.36) Theo Định lý 3.1, ta cần chứng minh tốn (3.3), (3.4) có nghiệm tầm thường Giả sử ngược lại, tồn nghiệm không tầm thường (3.3), (3.4) Khơng tính tổng qt, theo [2, Mệnh đề 2.1], ta giả sử u hàm dương không tăng Vậy từ (3.4) ta thu n  u  t   i 1 n i i ir k iu  ti    i 1   zu  t z  r 0 z ir 1 1 ik    z u  t z   z 1 ik  k 3    n   u t    z i1 1  u  a    z  u  tn  z 1 z n  z i1 1 z r 0 z  i2 r 1  i2 r    u t   u t        z z  z z z i2 r  1  z i2 r 3 1   k 3      r 0 u ti2 r   i2 r 1  i2 r    z   z z i2 r  1  z i2 r 3 1    (3.50) đó, ta đặt  b i a g  i   b  a Theo Bổ đề 3.1, ta có: u  tn   y  tn  u  a  y a (3.51) 45 Do từ (3.50) theo (3.51), ta thu  y t    iu  ti   u  a   n   z    z i 1 z 1  y  a  z i1 1 n ik n     k 3       u ti2 r 2 r 0 i2 r 1  i2 r    z   z z t2 r  1  z i2 r 3 1 (3.52) Nếu bất đẳng thức (3.33) (3.35) nghiêm ngặt, ta có mâu thuẫn từ (3.52) u dương Nếu đẳng thức (3.33) (3.35) thực hiện, đó, u dương, từ (3.50) (3.52) suy ik  y  tn  n   u t   u t  u a            z z    z z z z  y a   z i1 1 z 1 z  i  z  1   n ik Mà theo (3.33) u  t   với t   a, b h.k.n, đẳng thức phía sau xảy trường hợp u  tn   u a y  tn  y a Theo Bổ đề 3.2, ta có u t   u a y  t  với t   a, tn  y a (3.53) Vậy hai giả thiết (3.46) (3.47) mâu thuẫn với (3.53) Cuối cùng, tương tự chứng minh Định lý 3.6, ta thấy giả thiết (3.48), với I định nghĩa (3.49), mâu thuẫn với tồn nghiệm dương không tăng (3.3), (3.4) Ta giả sử k số chẵn Khi đó, theo (3.44) u  t   với t   a, b h.k.n, ta thấy    46 ik 1  ik   u t   u t  u t           z z   z z ik z z  z 1 z ik 1 z  z  i  k   ik 1  ik   u a  z   z  z ik 1  z 1  ik   ik 1 Do đó, thay (3.50), ta thu n  u  t   i i 1 i n k ir  u  t     i i 1 i ik    z u tz   z 1  zu  t z  r 0 z ir 1 1 ik 1  z i k 1  z u tz   ik 1  ik  u a  z   z  z 1 z ik 1   k 3    n   u t    z i1 1 z z r 0 i2 r 1  i2 r      z u tz     z u tz   z i2 r  1  z i2 r 3 1   k 3    i2 r 1 n   i2 r    u  tn    z   u ti2 r     z    z  z i1 1 r 0 z i2 r  1  z i2 r 3 1       Phần lại chứng minh tương tự với trường hợp trước k số lẻ nên  ta bỏ qua Khẳng định sau suy từ Định lý 3.7 Hệ 3.2 ([4], Hệ 3.6)   a  , t1, t2  a, b cho t1  t2 , cho Cho l  Sab 1  0, y  t2    1 , y a đó, y hàm thỏa (3.10), (3.11) Nếu 1 y  t1    y  t2   l Pab , tốn (3.42) có nghiệm  l 1 t  dt  0, t1 a 47 Bằng việc sử dụng biến đổi mô tả Nhận xét 3.4, từ Định lý 3.4 – 3.7 Hệ 3.1, 3.2 ta suy khẳng định sau Định lý 3.8 ([4], Định lý 3.11)   b  , cho (3.27) Khi đó, tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Cho l  Sab Định lý 3.9 ([4], Định lý 3.12) Cho l  Sab  b  có biểu diễn l  l0  l1 với l0 , l1 Pab , cho l0  Sab  a  toán tử b-Volterra Thêm vào (3.27) Khi đó, tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Định lý 3.10 ([4], Định lý 3.13)   b  cho tồn i j  1, , n  j  1, , k  cho Cho l  Sab  i1  i2   ik  n, (3.72) r  1  z  với z  ir , , ir 1   r  0, , k  (3.73) r  1  z  với z  ir , , ir 1   r  0, , k  , (3.74) hoặc đó, i0  1, ik 1  n  Thêm vào i2 r 1 1  z i2 r z  i2 r  1  z i2 r 1  k  1  z , r  0, ,    (3.75) Nếu bất đẳng thức (3.75) nghiêm ngặt, k số chẵn, 48 l  N ab ,  l 1 t dt  0, I I  k 1    r 0 ti2 r , ti2 r  1 , tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Hệ 3.3 ([4], Hệ 3.14)   b  , t1, t2  a, b cho t1  t2 , cho (3.71) Cho l  Sab Nếu 1   l  N ab ,  l 1 t  dt  0, t2 t1 tốn (3.42) có nghiệm Định lý 3.11 ([4], Định lý 3.15)   b  cho tồn i j  1, , n  j  1, , k  cho (3.72) đúng, Cho l  Sab (3.73) (3.74) thỏa, đó, i0  1, ik 1  n  Cho thêm n y  t1  i1 1  z k số lẻ,  z   y  a  z 1 z ik (3.76) ik 1 n y  t1  i1 1  z    z k số chẵn  z   y  a  z 1 z ik z ik 1 (3.77) i r  1  z i2 r  z  đó, y  AC  a, b, i2 r  1  z i2 r 1  k  3  z , r  0, ,  , k  3,   (3.78)  hàm thỏa (3.10) (3.17) Nếu bất đẳng thức (3.26) – (3.78) nghiêm ngặt, meas t   a, tn  : y  t   l  y  t   0, 49 n  y  t   0, i 1 i i l  N ab ,  l 1 t  dt  0, I đó, I  t1, ti1 1   I1  I ,   k 23      ti2 r 1 , ti2 r 3 1 , k  3, I1   r 0  , k  3,    tik , b  k số lẻ, I2   k số chẵn,  tik 1 , b   tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Hệ 3.4 ([4], Hệ 3.16)   a  , t1, t2  a, b cho t1  t2 , cho Cho l  Sab 1  0, y  t1  1   , y a đó, y hàm thỏa (3.10), (3.17) Nếu 1 y  t1    y  t2   l  N ab , tốn (3.42) có nghiệm  l 1 t  dt  0, b t2 50 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại làm rõ chứng minh báo “Cấu trúc nghiệm tốn biên tuyến tính cho hệ phương trình vi phân hàm” V Novotná and B Půža [19] Luận văn bao gồm ba chương giới thiệu phần Mở đầu: Trong Chương 1, ta nghiên cứu điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm cho toán biên tổng quát hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Từ đó, áp dụng kết cho tốn biên nhiều điểm, tốn biên tuần hồn,… hệ phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch Các kết Chương Định lý 1.1, 1.2 1.3 Đối với Chương 2, kết Định lý 2.1 2.2 Để có kết đó, ta áp dụng kết chương để nghiên cứu cấu trúc nghiệm tốn biên tuyến tính cho phương trình vi phân hàm trường hợp tổng quát Nhờ kết trên, ta xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho việc tồn nghiệm tốn biên tuyến tính cho hệ phương trình vi phân hàm Sau đó, áp dụng kết tìm cho tốn biên cụ thể tốn Cauchy, tốn biên tuần hồn, tốn biên dạng tuần hồn, tốn biên nhiều điểm đối số chậm đối số lệch… Trong Chương 3, ta áp dụng kết thu từ Chương để xem xét tồn nghiệm cấu trúc nghiệm toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm Khi đó, ta thu kết Định lý 3.4, 3.5 3.6 Do trình độ kiến thức thời gian em hạn chế, em chưa thể nghiên cứu sâu mở rộng vấn đề đặt Vì vậy, luận văn khơng thể tránh việc có thiếu sót Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô Hội đồng bảo vệ luận văn dành thời gian để đọc nhận xét luận văn em, giúp luận văn thêm hoàn chỉnh 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Bellen and M Zennaro, “Numerical methods for delay differential equations”, ser Numerical Mathematics and Scientific Computation, Oxford University Press, 2013 [2] A Domoshnisky, R Hakl and B Půža, “On dimension of the solution set to the homogeneous linear functional differential equation of the first order”, Czechoslovak Math J., vol 62 (137), no.4, pp 1033–1053, 2012 [3] A Domoshnitsky, R Halk and B Půža, “Boundary Value Problems for Systems of Linear Functional Differential Equations”, Folia Fac Sci Natur Univ Masaryk Brunensis Math., vol 12, 2003 [4] A Domoshnisky, R Hakl and B Půža, “Multi-point boundary value problems for linear functional-differential equations”, Georgian Math J., vol 24, no.2, 2017 [5] A Rontó and M Rontó, “Successive approximation techniques in nonlinear boundary value problems for ordinary differential equations”, Handbook of differential equations: ordinary differential equations, vol IV, ser Handb Differ Equ Elsevier/North-Holland, Amsterdam, pp 441–592, 2008 [6] E Bravyi, R Halk and A Lomtatidze, “Optimal conditions for unique solvability of the Cauchy problem for first order linear functional differential equations”, Czechoslovak Math J., vol 52(127), no 3, pp 513–530, 2002 [7] I Kiguradze, “Periodic solutions of systems of nonautonomous ordinary differential equations”, Mat Zametki, vol 39, no 4, pp 562–575, 623, 1986 [8] I Kiguradze, “An initial value problem and boundary value problems for systems of ordinary differential equations Linear Theory”, Tbilisi: Metsniereba, vol 1, in Russian, 1997 52 [9] I Kiguradze and B Půža, “On boundary value problems for systems of linear functional-differential equations”, Czechoslovak Math J., vol 47 (122), no 2, pp 341–373, 1997 [10] I Kiguradze and B Půža, “Boundary Value Problems for Systems of Linear Functional Differential Equations”, Folia Fac Sci Natur Univ Masaryk Brunensis Math., vol 12, 2003 [11] N N Trác, “Bài tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính”, Luận văn Thạc sĩ Tốn học chun ngành Tốn giải tích, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2009 [12] N V Azbelev, V P Maksimov, and L F Rakhmatullina, “Introduction to the Theory of Functional Differential Equations”, Moscow: Nauka, 1991, in Russian, with an English summary [13] M Bobalová and L Maňásek, “On constructing a solution of a multipoint boundary value problem”, Colloquium on Differential and Difference Equations, Masaryk University, pp 93–100, 2006 [14] R Hakl, A Lomtatidze and B Půža, “On nonnegative solutions of first order scalar functional differential equations”, Mem Differential Equations Math Phys., vol 23, pp 51–84, 2001 [15] R Hakl, A Lomtatidze and J Šremr, “Some boundary value problems for first order scalar functional differential equations”, Folia Fac Sci Natur Univ Masaryk Brunensis Math., vol 10, 2002 [16] R Hakl, I Kiguradze and B Půža, “Upper and lower solutions of boundary value problems for functional differential equations and theorems on functional differential inequalities”, Georgian Math J., vol 7, no.3, pp 489–512, 2000 [17] S Gelashvili and I Kiguradze, “On multi-point boundary value problems for systems of functional-differential and difference equations”, Mem Differential Equations Math Phys., vol 5, pp 1–113, 1995 53 [18] V Novotná, “Numerical Solution of the inventory balance delay differential equation”, International Journal of Engineering Business Management, vol 7, no 1, pp 1–9, 2015 [19] V Novotná and B Půža, “On the construction of solutions of general linear boundary value problems for systems of functional differential equations”, Miskolc Mathematical Notes, vol 19, pp 1063–1078, 2018