Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ LÊ ANH CHUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI RÀNG BUỘC LÀ TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CHẤP NHẬ
Một số toán tử trong không gian Hilbert
Toán tử chiếu trong không gian Hilbert
P C là toán tử chiếu trên tập C, tức là với mỗi x ∈ H, P C (x) là một phần tử duy nhất trong C thỏa mãn kx −P C (x)k ≤ kx−yk ∀y ∈ C. Định nghĩa 1.1.1 (xem [7, 9]) Một ánh xạ F : H → H được gọi là toán tử L-liên tục Lipschitz trên H nếu tồn tại L ≥ 0 , sao cho kF(x) −F(y)k ≤ Lkx −yk ∀x, y ∈ H,
Nếu L = 1 thì ánh xạ F gọi là không giãn ; nếu L ∈ [0,1) ta nhận được ánh xạ co.
Ví dụ 1.1.2 Ánh xạ F : R → R xác định bởi:
F(x) = x là một toán tử L-liên tục Lipschitz trên R với hệ số Lipschitz L = 1, khi đó ta cũng nói F là ánh xạ không giãn.
Một vài tính chất quan trọng của toán tử chiếu P C được trình bày trong bổ đề sau đây.
(i) Với x ∈ H và y ∈ C, y = P C (x) nếu và chỉ nếu hx −y, z −yi ≤ 0 ∀z ∈ C.
Với C đóng, lồi, khác rỗng.
(ii) P C là ánh xạ không giãn, tức là kP C (x)−P C (y)k ≤ kx −yk ∀x, y ∈ H.
(iii) Với ∀x ∈ H và y ∈ H, ta có kP C (x) −yk 2 ≤ kx−yk 2 − kP C (x)−xk 2
Ví dụ về toán tử chiếu trong không gian hữu hạn chiều được dùng trong phần tính toán ví dụ số được cho như sau.
Ví dụ 1.1.4 Giả sử a, b ∈ R N , a 6= 0 Xét nửa không gian C ⊂ R N và siêu phẳng Q ⊂ R N cho bởi
Khi đó toán tử chiếu lên C và Q lần lượt cho bởi
x, nếu ha, x−bi ≤ 0 x − ha, x−bia kak 2 , nếu ha, x−bi > 0.
x, nếu ha, x −bi = 0 x− ha, x −bia kak 2 , nếu ha, x −bi 6= 0.
Toán tử liên hợp
Cho hai không gian Hilbert thực H 1 và H 2 và A : H 1 → H 2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Định nghĩa 1.1.5 Toán tử A ∗ : H 2 → H 1 thỏa mãn hA(x), yi = hx, A ∗ (y)i ∀x ∈ H 1 , y ∈ H 2 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Chú ý rằng, toán tử liên hợp của một toán tử tuyến tính bị chặn A trong một không gian Hilbert thực luôn tồn tại và xác định duy nhất. Hơn nữa, A ∗ cũng là một toán tử tuyến tính bị chặn và kA ∗ k = kAk.
Ví dụ 1.1.6 Cho A : R 4 → R 2 xác định bởi:
Ax = (x 1 −3x 2 + 2x 3 −6x 4 ,2x 1 + 6x 2 + 4x 3 −2x 4 ) là một toán tử tuyến tính bị chặn Khi đó, toán tử liên hợpA ∗ : R 2 → R 4 của A được xác định như sau:
Ma trận của toán tử tuyến tính bị chặn A ∗ chính là ma trận chuyển vị của ma trận của toán tử tuyến tính bị chặn A.
Toán tử đơn điệu mạnh
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng của H. Định nghĩa 1.1.7 (xem [7, 9]) Một toán tử F : C → C được gọi là (i) β-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại β > 0 sao cho hF(x) −F(y), x−yi ≥ βkx−yk 2 ∀x, y ∈ C;
(ii) đơn điệu trên C, nếu hF(x) −F(y), x−yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C.
Ví dụ 1.1.8 Ánh xạ F : R 3 → R 3 xác định bởi:
F(x) = x, x = (x 1 , x 2 , x 3 ) > ∈ R 3 là toán tử đơn điệu, đồng thời cũng là toán tử đơn điệu mạnh trên R 3 với hệ số đơn điệu mạnh β = 1.
Theo Định nghĩa 1.1.7, nếu F là toán tử β-đơn điệu mạnh ngược thì
F cũng là toán tử L-liên tục Lipschitz với hằng số L = 1 β và đơn điệu trên C.
Bổ đề tiếp theo cho ta một kết quả liên quan đến tính co của toán tử.
Bổ đề 1.1.9 (xem [1]) Giả sửF : H → Hlà toán tửβ-đơn điệu mạnh và L-liờn tục Lipschitz trờn H, với0 < α < 1,0 ≤ η ≤ 1−α,0 < à < 2β L 2. Khi đó k(1−η)x −αàF(x) −[(1−η)y −αàF(y)]k ≤ (1 −η −ατ)kx−yk
Bổ đề 1.1.10 (xem [11]) Cho {a n } là một dãy số thực không âm Giả sử rằng với số nguyên m bất kỳ, tồn tại một số nguyên p sao cho p ≥ m và a p ≤ a p+1 Gọi n 0 là một số nguyên thỏa mãn a n 0 ≤ a n 0 +1 Với mọi số nguyên n ≥ n 0 , xác định τ(n) = max{k ∈ N : n 0 ≤ k ≤ n, a k ≤ a k+1 }.
Khi đó dãy {τ(n)} n≥n 0 là một dãy không giảm thỏa mãn n→∞lim τ(n) = ∞ và bất đẳng tức sau là đúng: a τ (n) ≤ a τ (n+1) , a τ (n) ≤ a τ (n)+1 ∀n ≥ n 0
Bổ đề 1.1.11 (xem [12]) Giả sử {a n } là một dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện a n+1 ≤ (1 −α n )a n + a n ξ n , ∀n ≥ 0, trong đó {a n } là dãy số thực thuộc khoảng (0,1) và {ξ n } là dãy số thực sao cho
Bài toán chấp nhận tách đa tập và bài toán bất đẳng thức biến phân
Bài toán chấp nhận tách đa tập
Để giải bài toán chấp nhận tách (SFP) đã đề cập ở phần Mở đầu trong không gian hữu hạn chiều, C Byrne [5] đã đề xuất phương pháp CQ bằng cách xét dãy lặp x n+1 = P C (x n −γA > (I −P Q )Ax n ), n ≥ 0, (1.1) trong đó C và Q lần lượt là hai tập con lồi, đóng, khác rỗng trong R N và
R M , A là ma trận thực cỡ M ×N, với A > là ma trận chuyển vị của ma trận A, L là giá trị riêng lớn nhất của ma trận A > A và γ ∈
Dạng tổng quát của bài toán chấp nhận tách (SFP) là bài toán chấp nhận tách đa tập (Multiple-Sets Split Feasibility Problem) Bài toán này được xây dựng như sau: Cho C i , i = 1,2, , M là M tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thựcH 1 và Q j , j = 1,2, , N làN tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H 2 , A : H 1 → H 2 là một toán tử tuyến tính bị chặn.
Năm 2006, Xu [12] đã đưa ra các thuật toán mở rộng của phương pháp
CQ để giải bài toán (MSFP). Định lý 1.2.1 (xem [12]) Nếu β ∈ 0, 2 λ max và L = kAk 2
X j=1 β j , trong đó β j > 0 với mọi j = 1,2, , N, thì dãy {x n } xác định bởi
1 (I H 1 −γ PN j=1β j A ∗ (I H 2 −P Q H 2 j )A)x n hội tụ yếu về một nghiệm của bài toán (MSFP).
Xu cũng đã xây dựng và chứng minh sự hội tụ của phương pháp song song và phương pháp lặp xoay vòng cho bài toán (MSFP) ở dạng dưới đây. Định lý 1.2.2 (xem [12]) Nếu β ∈ 0, λ 2 max
, L = kTk 2 PN j=1β j với β j > 0, j = 1,2, , N và λ i > 0 thỏa mãn PM i=1 λ i = 1, thì dãy {x n } xác định bởi
x 1 ∈ H 1 , x n+1 = PM i=1λ i P C H 1 i (I H 1 −γ PN j=1β j A ∗ (I H 2 −P Q H 2 j )A)x n hội tụ yếu về một nghiệm của bài toán (MSFP). Định lý 1.2.3 (xem [12]) Nếu β ∈ 0, λ 2 max và L = kAk 2 PN j=1β j , trong đó β j > 0, j = 1,2, , N, thì dãy {x n } xác định bởi
[n+1](I H 1 −γPN j=1β j A ∗ (I H 2 −P Q H 2 j )A)x n hội tụ yếu về một nghiệm của bài toán (MSFP).
Bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng củaH, và ánh xạF : C → H thường được gọi là ánh xạ giá (trong một vài trường hợp,F đi từHtớiH). Bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) trong H, viết tắt VIP(F, C), được phát biểu như sau:
Tìm x ∗ ∈ C sao cho hF(x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C (VIP)
Bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi G.J Hartman và G Stampacchia, khi nghiên cứu giải bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng Bài toán bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với nhiều bài toán thực tiễn như mô hình cân bằng mạng giao thông, bài toán xử lý ảnh, bài toán biên tự do .
Bài toán bất đẳng thức biến phân có liên quan mật thiết với bài toán điểm bất động Cho C ⊂ H là một một tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ đơn trị F : C → C Bài toán điểm bất động, ký hiệu là FP(F, C), là bài toán
Ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ F là Fix(F).
Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động được nêu trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.2.4 (xem [9]) Giả sử C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H Khi đó x ∗ là nghiệm của bài toán VIP(F, C) khi và chỉ khi với mỗi à > 0, x ∗ là điểm bất động của ỏnh xạ P C (I −àF) : C → C, tức là x ∗ = P C (x ∗ −àF(x ∗ )) (1.2)
Chứng minh Đặt T(x) = P C (x−àF(x)) Theo định nghĩa điểm bất động và tính chất của phép chiếu, nếu x ∗ là điểm bất động của ánh xạ thỏa mãn giả thiết thì ta có: x ∗ ∈ Fix(T) ⇔ x ∗ = T(x ∗ )
Vậy x ∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C)
Sự tồn tại nghiệm của bài toán VIP(F, C) có thể được thiết lập dựa vào tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của ánh xạ giá F.
Mệnh đề 1.2.5 (xem [1]) Nếu F : C → H là ánh xạ β-đơn điệu mạnh trên C và L-liên tục Lipschitz trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh Chọn 0 < à < 2β L 2 và xột ỏnh xạ T : C → C được xỏc định bởi
Khi đó, với mọi x, y ∈ C, ta có: kT(x) −T(y)k 2 =kP C (x −àF(x))−P C (y −àF(y))k 2
Do F là ánh xạ liên tục Lipschitz và β-đơn điệu mạnh trên C, nên kT(x)−T(y)k 2 ≤kx−yk 2 −2àβkx −yk 2 +à 2 L 2 kx −yk 2
(1−à(2β +àL 2 ) ∈ [0,1) Vậy T : C → C là ỏnh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn tại duy nhất x ∗ ∈ C sao cho
T(x ∗ ) = x ∗ Vì tập nghiệm của bài toán VIP(F, C) trùng với tập điểm bất động của ánh xạ T nên bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) có duy nhất nghiệm
Phương pháp song song giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một phương pháp song song xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập Bố cục của chương được chia làm hai phần Phần thứ nhất giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập hợp, trình bày một phương pháp song song xấp xỉ nghiệm của bài toán cùng định lý về sự hội tụ mạnh của phương pháp Phần thứ hai của chương đưa ra ví dụ số minh họa cho sự hội tụ của phương pháp này Chương trình thực nghiệm được viết bằng ngôn ngữ MATLAB Nội dung của chương được viết trên cơ sở tài liệu [1] Phần ví dụ số là do tác giả luận văn tìm hiểu và tính toán.
Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập
Bài toán
Trong chương này ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân đã được đề cập ở Chương 1: tìm x ∗ ∈ Ω sao cho hF(x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (2.1) trong đó Ω là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập: tìm x ∗ ∈
Q j , (2.2) ở đây F : H 1 → H 1 là ánh xạ giá,
C 1 , C 2 , , C M ⊂ H 1 và Q 1 , Q 2 , , Q N ⊂ H 2 tương ứng là các tập con lồi, khác rỗng của hai không gian Hilbert thực,
H 1 và H 2 , A : H 1 → H 2 là một toán tử tuyến tính bị chặn.
Trong mục tiếp theo, ta trình bày một thuật toán song song trong [1] để giải bài toán 2.1-2.2, trong đó cho phép tính toán các phép chiếu trên mỗi tập lồi đóng, khác rỗng C i , Q j , i = 1,2, , M, j = 1,2, , N được thực hiện một cách độc lập và đồng thời.
Phương pháp song song
Cho C 1 , C 2 , , C M là M tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thựcH 1 , Q 1 , Q 2 , , Q N là N tập con lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H2, F : H1 → H1 là một ánh xạ β-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz, trong đó β và L là các tham số dương, A : H 1 → H 2 là một toán tử tuyến tính bị chặn Thuật toán xấp xỉ nghiệm cho bài toán2.1-2.2 được trình bày như sau.
Bước 0 Chọn cỏc tham số và dóy tham số à, δ k , α k và η k thỏa món:
4 {η k } ⊂ [0,1) thỏa mãn 0 ≤ η k ≤ 1 −α k , lim k→∞ η k = η < 1. Bước 1 Chọn xấp xỉ ban đầu x 0 ∈ H 1 tùy ý Đặt k := 0.
Bước 3 Tìm trong P Q j (u k ), j = 1,2, , N điểm có khoảng cách so với u k là lớn nhất, j k = argmax{kP Q j (u k ) −u k k : j = 1,2, , N}, v k := P Q jk (u k ). Bước 4 Tính y k = x k −δ k A ∗ (u k −v k ).
Bước 6 Tìm trong P C i (y k ), i = 1,2, , M điểm có khoảng cách so với y k là lớn nhất, i k = argmax{kP C i (y k ) −y k k : j = 1,2, , M}, z k := P C ik (y k ). Bước 7 Tớnh x k+1 = η k x k + (1−η k )z k −α k àF(z k ).
Bước 8 Đặt k := k + 1 và quay lại Bước 2.
2.1.3 Sự hội tụ Định lý sau trình bày về sự hội tụ của Thuật toán 2.1.1. Định lý 2.1.2 Cho C 1 , C 2 , , C M là M tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H 1 và Q 1 , Q 2 , , Q N là N tập con lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H 2 , với F : H 1 → H 1 là một ánh xạ β-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz Khi đó dãy {x k } sinh bởi Thuật toán 2.1.1 hội tụ mạnh tới một nghiệm duy nhất của bài toán 2.1 với giả thiết tập nghiệm Ω của bài toán 2.2 khác rỗng. Chứng minh Với mọi x, y ∈ Ω, ta có kP Ω (x −àF(x))−P Ω (y −àF(y))k 2 ≤ kx−àF(x)−(y −àF(y))k 2
= kx −yk 2 −2àhF(x)−F(y), x−yi +à 2 kF(x)−F(y)k 2
Sử dụng tính chất β-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz của F trên không gian Hilbert thực H 1 , ta được kP Ω (x −àF(x)) −P Ω (y −àF(y))k 2 ≤ kx −yk 2 −2àβkx −yk 2 +à 2 L 2 kx−yk 2 = 1−2àβ + à 2 L 2 kx−yk 2
Do đó, kP Ω (x −àF(x))−P Ω (y −àF(y))k ≤ ρkx −yk ∀x, y ∈ Ω, trong đó ρ = p
Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn tại duy nhất một điểm x ∗ ∈ Ω thỏa món: P Ω (x ∗ −àF(x ∗ )) = x ∗ Từ Bổ đề 1.1.3(i), ta suy ra: hF(x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω (2.3) bởi vì x ∗ ∈ Ω, x ∗ ∈ TM i=1C i , Ax ∗ ∈ TN j=1Q j Chứng minh của định lý được chia thành các bước như sau:
Bước 1 Với mọi k, ta có x k+1 −x ∗
Sử dụng bất đẳng thức kx −yk 2 ≤ kxk 2 −2hx−yi ∀x, y ∈ H 1 , kết hợp với Bổ đề 1.1.9, ta suy ra: x k+1 −x ∗
Bước 2 Chứng minh các dãy {x k }, {y k }, {z k } và {F(x k )} bị chặn. Thật vậy, sử dụng tính chất của ánh xạ chiếu (Bổ đề 1.1.3(i)), ta có: v k −A(x ∗ ), u k −v k
Bất đẳng thức cuối kết hợp với {δ k } ⊂ [δ, δ] ⊂
0, kAk 2 2 +1 chỉ ra rằng: ky k −x ∗ k ≤ kx k −x ∗ k (2.6)
Từ Bổ đề 1.1.3(iii), ta có z k −x ∗
Vì vậy, kz k −x ∗ k ≤ ky k −x ∗ k (2.8) Kết hợp bất đẳng thức này với (2.6) suy ra: kz k −x ∗ k ≤ kx k −x ∗ k (2.9)
, Bổ đề 1.1.9 và (2.9), suy ra x k+1 −x ∗
Bằng quy nạp, ta suy ra với mọi k ≥ 0 thì x k −x ∗
Vậy, dãy {x k } bị chặn và khi đó các dãy {y k },{z k } cũng bị chặn nhờ bất đẳng thức (2.6), (2.9) và tính liên tục Lipschitz của ánh xạ F. Bước 3 Ta chứng minh rằng dãy {x k } hội tụ mạnh tới x ∗
Xét hai trường hợp sau đây:
Trường hợp 1: Tồn tại k 0 sao cho dãy {kx k −x ∗ k} giảm vớik ≥ k 0 Trong trường hợp này tồn tại giới hạn của dãy {kx k − x ∗ k} Ngược lại, từ (2.4), ta có x k+1 −x ∗
Khi đó, từ (2.11), (2.8), (2.6), suy ra:
= 0, k→∞lim α k = 0, k→∞lim η k = η < 1, dãy {x k } bị chặn, từ các bất đẳng thức trên suy ra k→∞lim z k −x ∗
Từ (2.12), (2.13), ta suy ra k→∞lim y k −x ∗
Vậy, kết hợp (2.7) và (2.14), ta nhận được k→∞lim kz k −y k k = 0 (2.15)
Từ (2.15), quan hệ z k = P C ik(y k ) và định nghĩa i k , ta có k→∞lim kP C ik (y k ) −y k k = 0, i = 1,2, , M (2.16)
Khi đó, từ (2.13) và (2.17) suy ra k→∞lim ku k −v k k = 0 (2.18)
Từ (2.18), quan hệ v k = P Q jk(u k ) và định nghĩa j k , ta suy ra k→∞lim kP Q jk (u k )−u k k = 0, j = 1,2, , N (2.19)
Từ y k = x k −δ k A ∗ u k −v k suy ra k→∞lim kx k −y k k = 0 (2.20) Chọn một dãy con {x k ν } của dãy {x k } sao cho lim sup k→∞
Vì dãy {x k ν } bị chặn, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x k ν * x Do đó, lim sup k→∞
Từ x k ν * x và (2.20), ta có y k ν * x Từ đó kết hợp với (2.16) suy ra:
P C i (y k ν ) * x với mọi i = 1,2, , M Vì {P C i (y k ν )} ⊂ C i và C i là tập lồi, đóng nên nó đóng yếu, vì vậy z ∈ C i với mọi i = 1,2, , M, tức là ta nhận được z ∈ TM i=1 C i Vì x k ν * x và A là toán tử tuyến tính bị chặn nên u k ν = A(x k ν ) * A(x), kết hợp với (2.19) suy ra
Q j đóng yếu nên A(x) ∈ Q j với mọi j = 1,2, , N, hay
Vì z ∈ TM i=1C i nên x ∈ Ω Vì vậy, từ (2.3) ta có hF (x ∗ ),x¯ −x ∗ i ≥ 0 (2.22)
Từ (2.21) và (2.22) suy ra lim sup k→∞
≤ 0 Vì vậy, lim sup k→∞ ξ k ≤ 0 Theo Bổ đề 1.1.11, ta có lim k→∞ x k −x ∗
Trường hợp 2: Giả sử rằng với số nguyên m bất kỳ, tồn tại một số nguyên k thỏa mãn k ≥ m và kx k − x ∗ k ≤ kx k+1 − x ∗ k Theo
Bổ đề 1.1.10, tồn tại một dãy không giảm {τ(k)} thuộc N sao cho lim k→∞ τ(k) = ∞ và bất đẳng thức dưới đây đúng với mọi k ∈ N đủ lớn: x τ (k) −x ∗
Sử dụng (2.4) và (2.10), ta có x τ (k) −x ∗
Từ các bất đẳng thức (2.8), (2.6) và (2.24), ta suy ra:
1−η τ (k) kF (x ∗ )k. Khi đó, từ lim k→∞ α k = 0 và lim k→∞ η k = η < 1 suy ra k→∞lim y τ (k) −x ∗
Từ (2.25), (2.26) và tính bị chặn của các dãy {x k },{y k },{z k }, suy ra k→∞lim y τ (k) −x ∗
Vì vậy, từ (2.27) suy ra k→∞lim y τ (k) −z τ (k)
Khi đó, từ (2.28) và (2.30) suy ra k→∞lim u τ (k) −v τ (k)
Kết hợp với (2.31) suy ra k→∞lim x τ (k) −y τ (k)
Kết hợp với (2.29) và (2.32), suy ra k→∞lim x τ (k) −z τ (k)
Tương tự như chứng minh ở Trường hợp 1, suy ra: lim sup k→∞
Sử dụng Bổ đề 1.1.9, ta có: x τ (k)+1 −x τ (k)
Từ lim k→∞ α k = 0, tính bị chặn của dãy {F(x τ (k) )}, (2.33) và (2.35), suy ra: k→∞lim x τ (k)+1 −x τ (k)
Từ (2.36) và bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, suy ra: k→∞lim
Từ (2.37) và (2.34) suy ra lim sup k→∞
Từ (2.4), (2.9) và (2.23), ta suy ra x τ (k)+1 −x ∗
Lấy giới hạn trong (2.40) khi k → ∞ và sử dụng (2.38), ta suy ra được lim sup k→∞ x k −x ∗
Nhận xét 2.1.3 Nếu ánh xạ giá F là toán tử đơn vị trong không gian Hilbert thựcH 1 thìF có tính chất1-đơn điệu mạnh và 1-liên tục Lipschitz và bài toán (2.1) trở thành bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập Thật vậy: hF(x), x−x ∗ i = hx, x −x ∗ i = hx, xi − hx, x ∗ i
Suy ra kxk 2 ≥ hx, x ∗ i ≥ kxkkx ∗ k ∀x ∈ H 1 Hay kxk ≥ kx ∗ k ∀x ∈ H 1
Do đó, nếu F = I, toán tử đơn vị trong H 1 , ta có kết quả sau đây về bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách đa tập.
Hệ quả 2.1.4 (xem [1]) Giả sử tập nghiệm Ω của bài toán 2.2 khác rỗng.
Lập thuật toán như sau:
4 {η k } ⊂ [0,1) thỏa mãn 0 < η k ≤ 1−α k ∀k ≥ 0, lim k→∞ η k = η < 1. Với mỗi bước lặp k ≥ 0, tính u k = A x k
, và xác định bước lặp tiếp theo: x k+1 = η k x k + (1 −η k −α k )z k trong đó j k = argmax
Khi đó dãy {x k } hội tụ mạnh tới nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán 2.2.
Khi M = N = 1, bài toán 2.2 trở thành bài toán chấp nhận tách (SFP), nhắc lại như sau
Tìm phần tử x ∗ ∈ C sao cho Ax ∗ ∈ Q, (2.41) trong đó, C và Q tương ứng là hai tập lồi, đóng, khác rỗng trong hai không gian Hilbert thực H 1 và H 2 Từ Thuật toán 2.1.1 và Định lý 2.1.2, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.1.5 (xem [1]) Cho C và Q tương ứng là hai tập lồi, đóng, khác rỗng trong hai không gian Hilbert thực H 1 , H 2 , A : H 1 → H 2 là một toán tử tuyến tính bị chặn có toán tử liên hợp là A ∗ , F : H 1 → H 1 là ánh xạ β-đơn điệu mạnh trên H 1 và L-liên tục Lipschitz trên H 1 Cho dãy {x k } sinh bởi
x 0 ∈ H 1 được chọn tùy ý, y k = P C x k −δ k A ∗ Ax k −P Q Ax k x k+1 = η k x k + (1−η k )y k −α k àF y k
∀k ≥ 0, trong đú 0 < à < 2β L 2 và cỏc dóy {η k }, {λ k }, {δ k } thỏa món cỏc điều kiện sau:
Giả sử rằng tập nghiệm Γ = {x ∗ ∈ C : Ax ∗ ∈ Q} của bài toán chấp nhận tách (2.41) khác rỗng Khi đó dãy {x k } hội tụ mạnh tới x ∗ ∈ Γ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân hF (x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Γ (2.42)
2.2 Ví dụ số minh họa
Trong mục này ta đưa ra và tính toán một ví dụ số minh họa cho sự hội tụ mạnh của phương pháp song song trong Thuật toán 2.1.1 trong không gian hữu hạn chiều Chương trình tính toán được viết bằng ngôn ngữ MATLAB, thử nghiệm trên máy tính HP EliteBook 8570p với cấu hình hệ điều hành Window 10 64-bit, core i5-3320M, CPU 2.60GHz, tốc độ bus 2601Mhz, RAM 8G.
Ví dụ 2.2.1 Xét bài toán bất đẳng thức biến phân hF (x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0 ∀x ∈ Ω, (2.43) trong đó F : R 4 → R 4 xác định bởi F(x) = x, x = (x 1 , , x 4 ) > ∈ R 4
Dễ thấy F là β-đơn điệu mạnh trên R 4 với β = 1 và L-liên tục Lipchitz trên R 4 với L = 1 và Ω là tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách hai tập hợp
Q j , (2.44) với A : R 4 → R 2 là ánh xạ xác định bởi
Ta có A là toán tử tuyến tính bị chặn và có chuẩn kAk = 11142 155 (được tính trên phần mềm MATLAB) Toán tử liên hợp của A, trong trường hợp này là A ∗ : R 2 → R 4 xác định bởi:
Các tập C 1 , C 2 là các tập lồi, đóng, khác rỗng trong R 4 và Q 1 , Q 2 là các tập lồi, đóng, khác rỗng trong R 2 , được xác định như sau:
Q 2 u = (u 1 , u 2 ) ∈ R 2 : 2u 1 +u 2 ≥ 12 Tập nghiệm của bài toán (2.44) trong Ví dụ 2.2.1 là
Nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán 2.44 trong Ví dụ 2.2.1 là x ∗ 3
∈ R 4 và cũng chính là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân (2.43). Áp dụng Thuật toán 2.1.1 để tính nghiệm xấp xỉ cho bài toán 2.2 trong
Ví dụ 2.2.1, ta nhận được kết quả sau với tiêu chuẩn dừng là kx k −x ∗ k < 10 −6
Bảng 2.1: Áp dụng Thuật toán 2.1.1 với x 0 = (1, −2, 1, 3) T k x k 1 x k 2 x k 3 x k 4
Bảng 2.2: Áp dụng Thuật toán 2.1.1 với x 0 = (0, 2, −1, 0) T , sai số ε = 10 −6 trong trường hợp các tham số (α k , η k , δ k ) khác nhau.
Bảng 2.3: Áp dụng Thuật toán 2.1.1 với các điểm xuất phát ban đầu x 0 khác nhau. x 0 k x k
Bảng 2.4: Áp dụng Thuật toán 2.1.1 với các tham số α k = k+2 1 , η k = 3k+4 k+2 , δ k = 50k+11 k+1 và điểm xuất phát ban đầu x 0 = (3, −3, 3, 3) T trong trường hợp các sai số ε = kx k − x ∗ k khác nhau. ε k x k ε = 10 −4 56376 (0.214290;−0.642798; 0.428544; 0.999924) T ε = 10 −5 563776 (0.214286;−0.642851; 0.428569; 0.999992) T ε = 10 −6 6745162 (0.214286;−0.642856; 0.428571; 0.999999) T
Nhận xét 2.2.2 Từ Bảng 2.1 - Bảng 2.4 ta thấy rằng:
(i) Chương trình Thuật toán 2.1.1 cho ra kết quả là nghiệm xấp xỉ khá tốt so với nghiệm đúng của bài toán trong Ví dụ 2.2.1.
(ii) Thời gian chạy chương trình và số vòng lặp phụ thuộc rất nhiều vào giá trị điểm xuất phát ban đầu, các dãy tham số đầu vào và sai số cho trước.
Luận văn đã đạt được mục tiêu đề ra
“Nghiên cứu một phương pháp song song giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách đa tập trong không gian Hilbert thực; đưa ra và tính toán ví dụ số minh họa”.
Kết quả của luận văn