Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ LÊ ANH CHUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI RÀNG BUỘC LÀ TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CHẤP NHẬ
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ ANH CHUNG MỘT PHƯƠNG PHÁP SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI RÀNG BUỘC LÀ TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH ĐA TẬP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2021 iii Mục lục Bảng ký hiệu v Danh sách bảng vi Lời cảm ơn vii Mở đầu 1 Bài toán chấp nhận tách đa tập toán bất đẳng thức biến phân 1.1 1.2 Một số tốn tử khơng gian Hilbert 1.1.1 Toán tử chiếu không gian Hilbert 1.1.2 Toán tử liên hợp 1.1.3 Toán tử đơn điệu mạnh Bài toán chấp nhận tách đa tập toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Bài toán chấp nhận tách đa tập 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 10 Phương pháp song song giải toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập13 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập 14 2.1.1 Bài toán 14 2.1.2 Phương pháp song song 14 iv 2.1.3 2.2 Sự hội tụ 15 Ví dụ số minh họa 28 Tài liệu tham khảo 33 v Bảng ký hiệu R tập số thực N tập số tự nhiên RN không gian Euclid N chiều H không gian Hilbert thực ∅ tập rỗng ∀x với x A∗ toán tử liên hợp toán tử A AT ma trận chuyển vị ma trận A I toán tử đồng xk → x xk hội tụ mạnh tới x xk * x xk hội tụ yếu tới x PC (x) T toán tử chiếu x tập lồi C phép giao Fix(A) tập điểm bất động toán tử A vi Danh sách bảng 2.1 Áp dụng Thuật toán 2.1.1 với x0 = (1, −2, 1, 3)T 2.2 Áp dụng Thuật toán 2.1.1 với x0 = (0, 2, −1, 0)T , sai số ε = 10−6 trường hợp tham số (αk , ηk , δk ) khác 30 30 2.3 Áp dụng Thuật toán 2.1.1 với điểm xuất phát ban đầu x0 khác 2.4 Áp dụng Thuật toán 2.1.1 với tham số αk = , ηk k+2 = k+2 ,δ 3k+4 k = 31 k+1 50k+11 điểm xuất phát ban đầu x0 = (3, −3, 3, 3)T trường hợp sai số ε = kxk − x∗ k khác 31 vii Lời cảm ơn Luận văn hồn thành Khoa Tốn – Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy (Viện Toán ứng dụng Tin học – Trường Đại học Bách khoa Hà Nội) Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Cơ tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K13 A1 tạo điều kiện tốt tận tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập nghiên cứu Trường Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn! Tác giả luận văn Lê Anh Chung Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng h·, ·i chuẩn k · k, C tập lồi, đóng, khác rỗng H F : C → H ánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với tập ràng buộc C ánh xạ F phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ với x ∈ C (VIP) Bài toán (VIP) giới thiệu lần vào năm 1966 G.J Hartman G Stampacchia, nghiên cứu việc giải toán điều khiển tối ưu tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng Bài tốn bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với nhiều tốn thực tiễn mơ hình cân mạng giao thơng, tốn xử lý ảnh, toán biên tự Bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) tốn: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q, (SFP) đó, C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Để giải tốn (SFP) khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều, C Byrne [3] đề xuất phương pháp CQ cách xét dãy lặp xn+1 = PC (xn − γAT (I − PQ )Axn ), n ≥ 0, (1) C Q hai tập lồi, đóng, khác rỗng RN RM , A ma trận thực cỡ M × N , AT ma trận chuyểnvị ma trận A, L giá trị riêng lớn ma trận AT A γ ∈ 0, L Dạng tổng quát toán (SFP) toán chấp nhận tách đa tập (Multiple-Sets Split Feasibility Problem) Bài tốn trình bày sau: Cho Ci , i = 1, 2, , M , M tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H1 Qj , j = 1, 2, , N , N tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H2 Tìm ∗ x ∈ M \ Ci cho i=1 ∗ Ax ∈ N \ Qj (MSFP) j=1 Luận văn nghiên cứu phương pháp song song giải toán bất đẳng thức biến phân (VIP) trường hợp tập ràng buộc C tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập (MSFP) không gian Hilbert thực Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: “Bài tốn chấp nhận tách đa tập toán bất đẳng thức biến phân” trình bày khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính bị chặn, tốn tử chiếu tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert; giới thiệu toán chấp nhận tách đa tập tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Chương 2: “Một phương pháp song song giải toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập” giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách đa tập; trình bày phương pháp song song giải toán, chứng minh hội tụ phương pháp song song đưa ví dụ số minh họa không gian Hilbert thực hữu hạn chiều Chương Bài toán chấp nhận tách đa tập toán bất đẳng thức biến phân Chương giới thiệu toán chấp nhận tách đa tập toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert thực H Nội dung chương trình bày ba phần Phần thứ giới thiệu số tính chất khơng gian Hilbert thực số tốn tử khơng gian Hilbert Phần thứ hai trình bày tốn chấp nhận tách đa tập số cách tiếp cận giải toán Phần thứ ba giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc cho dạng ẩn số toán liên quan Kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [4, 6, 9–13] 1.1 Một số toán tử không gian Hilbert Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng h·, ·i chuẩn k · k Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H Ta ký hiệu hội tự mạnh hội tụ yếu dãy {xk } tới điểm x không gian H tương ứng xk → x xk * x 1.1.1 Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert PC toán tử chiếu tập C, tức với x ∈ H, PC (x) phần tử C thỏa mãn kx − PC (x)k ≤ kx − yk ∀y ∈ C Định nghĩa 1.1.1 (xem [7, 9]) Một ánh xạ F : H → H gọi toán tử L-liên tục Lipschitz H tồn L ≥ , cho kF (x) − F (y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ H, Nếu L = ánh xạ F gọi không giãn ; L ∈ [0, 1) ta nhận ánh xạ co Ví dụ 1.1.2 Ánh xạ F : R → R xác định bởi: F (x) = x toán tử L-liên tục Lipschitz R với hệ số Lipschitz L = 1, ta nói F ánh xạ khơng giãn Một vài tính chất quan trọng tốn tử chiếu PC trình bày bổ đề sau Bổ đề 1.1.3 (xem [8]) (i) Với x ∈ H y ∈ C, y = PC (x) hx − y, z − yi ≤ ∀z ∈ C Với C đóng, lồi, khác rỗng