❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● −−− −−− TÓM TẮT ❇⑩❖ ❈⑩❖ ❚✃◆● ❑➌❚ ✣➋ ❚⑨■ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❱⑨ ❈➷◆● ◆●❍➏ ❈❻P ❇❐ aN D oc H D ◆●❍■➊◆ ❈Ù❯ ❱➋ ❈❻❯ ❚❘Ó❈ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏ ✣■➋❯ ❑❍■➎◆ ▼➷ ❚❷ g an ▼➣ sè✿ ❇✷✵✶✼✳❉◆❆✳✵✾ ❈❤õ ♥❤✐➺♠ ✤➲ t➔✐✿ ❚❙✳ ▲➯ ❍↔✐ ❚r✉♥❣ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ✷✵✷✶ TÓM TẮT g an aN D oc H D Scanned with Fast Scan ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ð ✤➛✉ ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❇✃ ❚❘Ñ ✼ ✶✵ ❉➝♥ ♥❤➟♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✸ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ D ✶✳✶ ✶✹ oc H ✷ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏ ▼➷ ❚❷ ◆❣❤✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ❤➺ ♠æ t↔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t→❝❤ tø♥❣ ♣❤➛♥ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✶✹ aN D ✷✳✶ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤❛ ✤✐➸♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤♦ ❤➺ ✤ë♥❣ ❤å❝ ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ g r✐➯♥❣ an ✷✳✸ ✶✵ ❑➳t ❧✉➟♥ ✸ ✷✸ ✷✽ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU g an aN D oc H D Thông tin chung: - Tên đề tài: Nghiên cứu cấu trúc nghiệm hệ điều khiển mô tả - Mã số: B2017.DNA.09 - Chủ nhiệm: TS Lê Hải Trung - Thành viên tham gia: PGS TSKH Svetlana Petropna Zubova, TS Phan Đức Tuấn, TS Phạm Quý Mười, TS Lương Quốc Tuyển, Lê Thị Cẩm Nhung - Cơ quan chủ trì: Đại học Đà Nẵng - Thời gian thực hiện: 24 tháng Mục tiêu: - Đưa số kết nghiệm hệ điều khiển mô tả, hệ điều khiển mô tả với yếu tố đạo hàm riêng; kết phải đăng tạp chí có uy tín chất lượng tốt nước quốc tế danh mục tạp chí ISI p ph n n ng cao chất lượng nghiên cứu đào tạo Đại học Sau đại học Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Tính sáng tạo: Thu số kết dạng nghiệm hệ điều khiển mơ tả Tóm tắt kết nghiên cứu: Xây dựng nghiệm dạng đa thức cho hệ điều khiển mô tả; Xây dựng hướng giải cho hệ điều khiển mô tả coa yếu tố đạo hàm riêng Tên sản phẩm liên quan đến đề tài: 03 Cơng trình khoa học đào tạo 02 học viên thạc sĩ - 01 cơng trình nhận đăng tạp chí SCOPUS: [1] S.P Zubova, E.V Raetskaya, Le Hai Trung, “Control problem for dynamical systems with partial derivatives” Journal of Mathematical Sciences, Vol 249, No 6, September, 2020(SCOPUS, SCImago, Q3) - 01 cơng trình nhận đăng tạp chí quốc tế: [2] Le Hai Trung, “The controllability function of polynomial for descriptor systems” Journal Euroasia, 2019 (link: https://euroasia-science.ru/pdf-arxiv/thecontrollability-function-of-polynomial-for-descriptor-systems-23-31/) - 01 cơng trình nhận đăng tạp chí nước: g an aN D oc H D Scanned with Fast Scan INFORMATION ON RESEARCH RESULT General information: -Project title: Research structure of solve of the control description system -Code number: B2017.DNA.09 -Project Leader: Le Hai Trung -Coordinator: Svetlana Petropna Zubova, Phan Duc Tuan, Pham Quy Muoi, Luong Quoc Tuyen, Le Thi Cam Nhung -Implementing institution: The University of Da Nang -Duration: from 01/2017 to 12/2018 g an aN D oc H D Objective(s): - Giving some new results on the solution of the descriptor control system, descriptor control system with partial differential - Contribute to improving quality in research of applied mathematics and training undergraduate and graduate students Creativeness and innovativeness: Obtained some new results of the solution form of descriptor control system Research results: Construct solutions in polynomial form for descriptor control systems; Construct a solution for the control system with partial differential Products: - International journal (SCOPUS): [1] S.P Zubova, E.V Raetskaya, Le Hai Trung, “Control problem for dynamical systems with partial derivatives” Journal of Mathematical Sciences, Vol 249, No.6, September, 2020(SCOPUS, SCImago, Q3) - International journal: [2] Le Hai Trung, “The controllability function of polynomial for descriptor systems” Journal Euroasia, 2019 (link: https://euroasia-science.ru/pdfarxiv/the-controllability-function-of-polynomial-for-descriptor-systems-23-31/) - National journal: [3] Le Hai Trung, “Polynomial solution of descriptor system” Journal of Science and Technology of Danang No 6(127).2018 Effects, transfer alternatives of research results and applicability: - The base for teaching and studying in research mathematics - Teachers who teach applied mathematics and students can use the results of research for references and studying ▼ð ✤➛✉ ✶✳ q t ự tr ữợ ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ ♠ët ❤➺ ✤ë♥❣ ❤å❝ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ữủ ởt t ữ tỗ t↕✐ ✭❤❛② ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝✮ sü t→❝ ✤ë♥❣ ❝â t❤➸ ✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤ ✤÷đ❝✱ s❛♦ ❝❤♦ ❝â t❤➸ ❝❤✉②➸♥ ❞à❝❤ ✤÷đ❝ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦ tø ♠ët tr↕♥❣ t❤→✐ ❜❛♥ ✤➛✉ ❜➜t ❦ý ✤➳♥ ♠ët D tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t t❤ó❝ ♥➔♦ ✤â s❛✉ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❚❛ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ①❡♠ ①➨t ❤➺ ✤ë♥❣ ❤å❝ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ✤÷đ❝ ♠ỉ t↔ ❜ð✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ dx(t) = Bx(t) + Du(t), ✭✶✮ dt B ∈ L(Rn , Rn )✱ D ∈ L(Rm , Rn )✱ x(t) ∈ Rn ✱ u(t) ∈ Rm ✱ t ∈ [0, T ] D oc H s ữủ sỹ tỗ t ❝õ❛ ❤➔♠ ✈❡❝t♦r x(t) u(t) s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ t❛ t❤❛② ♥â ✈➔♦ ✭✶✮ t❤➻ t❛ an ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ aN ❍➺ ✭✶✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ♠ët ❝→❝❤ t♦➔♥ ✈➭♥ ♥➳✉ ♥❤÷ t❛ ❝❤➾ r❛ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ s❛✉ ✤➙②✿ g x(0) = x0 , ✭✷✮ x(T ) = xT , tr♦♥❣ ✤â x0 , xT tỷ tũ ỵ tr Rn ợ t ữ tr t t♦→♥ ✭✶✮ ✕ ✭✷✮ ✕ ✭✸✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✱ ❤➺ ✭✶✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✱ ❤➔♠ ❤➔♠ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛② q✉ÿ ✤↕♦ ❝õ❛ ❤➺✱ ❤➔♠ u(t) x(t) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✭✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤✮✳ ❱➲ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝õ❛ ❤➺ ✤ë♥❣ ❤å❝ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤➣ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ sü q✉❛♥ t➙♠ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ t❤➳ ❦➾ ❳❳ ✈➔ ❳❳■✱ ♠➔ t✐➯✉ ❜✐➸✉ tr♦♥❣ ✤â ♣❤↔✐ ❦➸ ✤➳♥ ♥❤÷✿ ❆✐❧♦♥ ❆✱ ▲❛♥❣❤♦❧③ ●✱ ❇❛r❛❝❤❛rt ▲✱ ●r✐♠♠❏✱ ❆❝❤✐♠ ■❧❝❤♠❛♥♥✱ ❱♦❧❦❡r ▼❡❤r♠❛♥♥✱ ❑r❛①♦♣①❦✐ ◆✳◆✱ ❈❤✐s❝❤✐❛❦♦♣ ❱✳❋✱ ❙❡❣❧♦♣✈❛ ❆✳❆✱ ▼✐①r✐❦❤❛♥♦♣ ▼✳❙✱ ❩✉❜♦✈❛ ❙✳P✱✳ ✳ ✳ ❱➔ ❝ơ♥❣ ✼ ❦❤â ❝â t❤➸ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ✤➳♥ t❤í✐ t ỵ tt ữỡ ❞ü♥❣ ❤➔♠ tr↕♥❣ t❤→✐ ✈➔ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤➣ ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ❝→❝❤ ✤➛② ✤õ✳ ❚❤➟t t❤➳✱ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ♥➯✉ tr➯♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ✤➲✉ ①✉➜t ♣❤→t tø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✿ t tB et−s Du(s)ds, x(t) = e x + ✤➸ ♠ỉ t↔ ❤➔♠ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✮ ♥❤÷ ♠ët ❤➔♠ ♣❤ö t❤✉ë❝ trü❝ t✐➳♣ ✈➔♦ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✳ ❈♦♥ ✤÷í♥❣ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥➔②✱ ❝â t❤➸ ♥â✐✱ ❝❤÷❛ ❤➥♥ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ →♥ tè✐ ÷✉ ♥❤➜t ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ❝➛♥ ♣❤↔✐ t➻♠✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❣➛♥ ✤➙② ♥❤÷ ❩✉❜♦✈❛ ❙✳P✱ ❘❛✐❡s❦❛✐❛ ❊✳❱✱✳ ✳ ✳ t ữủ ữợ tB ∗ ( e−sB DD∗ esB ∗ ds −1 ) (e−T B xT − x0 ), D u(t) = D e t H ✈➔ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤â ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ♠ỉ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ oc ✤÷đ❝ ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✈➔ tr↕♥❣ t❤→✐ tr➯♥ ❝â sð ❝❤✐❛ ♥❤ä ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✱ ♠➔ ❜↔♥ ❝❤➜t ❝õ❛ ♥â ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✈✐➺❝ ♣❤➙♥ ❝❤✐❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❜❛♥ ✤➛✉ t❤➔♥❤ tê♥❣ trü❝ D ❄ aN t✐➳♣ ❝õ❛ ổ rỗ s õ sỷ ✤➲ ✶✭①❡♠ ❬ ❪✮✳ ❑➳t q✉↔ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤÷đ❝ ❝❤✉②➸♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr♦♥❣ an ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✏❤➭♣✑ ❤ì♥✳ ❱➔ ❦➳t q✉↔ ❝✉è✐ ũ t ữủ tữỡ g ữỡ ợ ũ ợ õ tr ữủ ❝❤♦ ❤➔♠ ❣✐↔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❤♦➦❝ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❦❤æ♥❣ ✭❤➺ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝✮ ❤♦➦❝ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ t♦➔♥ →♥❤ ✭❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝✮✳ ❚r♦♥❣ ♠ët sè ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❜➡♥❣ ♥❤✐➲✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ♠ët sè t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ✭❆✐❧♦♥ ❆✱ ▲❛♥❣❤♦❧③ ●✳ ✳ ✳ ỹ ữợ t❤ù❝ ✈ỵ✐ ❜➟❝ ♥❤ä ❤ì♥ 2n✱ ✈➔ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ s❛✉ ✤â ❝á♥ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♠↕♥❤ ❤ì♥✿ ✏❤➔♠ ✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤ ❤➺ tø tr↕♥❣ t❤→✐ ✤➛✉ ✤➳♥ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝✉è✐ s❛✉ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝â t❤➸ ữủ ữợ tự M = 2r + tr♦♥❣ ✤â r = n − r❛♥❦B ✣➲ t➔✐ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ♠æ t↔✱ ❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❤♦➦❝ ♠ët ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✤↕✐ sè ❝â ❝→❝ ❞↕♥❣ s❛✉ ✤➙②✿ ❆✳ ❍➺ ♠ỉ t↔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✈ỵ✐ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❤➡♥❣✿ Ax (t) = Bx(t) + Du(t) ✽ ✭✹✮ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ x(ti ) = , ti ∈ [0, T ], = t0 < t1 < t2 < < tk < tk+1 = T ✭✺✮ ❇✳ ❍➺ ♠ỉ t↔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✈ỵ✐ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ ợ t ữù ự f (t) x (t) = B(t)x(t) + D(t)u(t) + f (t) ✭✻✮ ❈✳ ❍➺ ♠æ t↔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✿ ∂y ∂y =B + Du(t, x)), x ∈ [0, T ], x ∈ [0, xk ] ∂t ∂x ✷✳ ❚➼♥❤ ❝➜♣ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✿ ◆➳✉ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ D t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝✿ ❩✉❜♦✈❛ ❙✳P✱ ❘❛✐❡s❦❛✐❛ ❊✳❱ t❤➻ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➣ ❝❤♦ t➻♠ ✤÷đ❝ ữợ ụ tr ổ tr ❆✐❧♦♥ ❆✱ 2n t❤➻ tr♦♥❣ ✤➲ t➔✐ ♥➔②✱ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ ❝➟♥ ♠ỵ✐ ❧↕ ✈➔ ❝→❝❤ ♥❤➻♥ oc ❤ì♥ H ▲❛♥❣❤♦❧③ ●✳ ✳ ✳ ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ữợ tự ợ ọ (p + 1)(k + 2) − 1✳ aN ❞↕♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ D ❦❤→ ✤ë❝ ✤→♦ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ❞÷đ❝ r➡♥❣ ♥❣❤✐➺♠ t t ữủ ữợ x (t) = B(t)x(t)+D(t)u(t)+ ∂y ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❞↕♥❣ ∂t = ỹ ữủ ữợ qt t g ✸✳ ▼ö❝ t✐➯✉✿ t↔ an f (t) ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝õ❛ ❤➺ ♠æ ∂y B ∂x + Du(t, x)), x ∈ [0, T ], x ∈ [0, xk ] ỹ ữợ tự ❤➺ ♠ỉ t↔ ✭✹✮✕ ✭✺✮✳ ✕ ●✐↔✐ q✉②➳t ✤÷đ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✕ ●✐↔✐ q✉②➳t ✤÷đ❝ ❜➔✐ t♦→♥ x (t) = B(t)x(t) + D(t)u(t) + f (t) ∂y ∂y ∂t = B ∂x + Du(t, x)), x ∈ [0, T ], x ∈ [0, xk ] ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤➲ t➔✐✱ t→❝ ❣✐↔ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ s❛✉ ✤➙②✿ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ỵ tt ữỡ tr ỵ tt ✾ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❇✃ ❚❘Đ D ✶✳✶ ❉➝♥ ♥❤➟♣ H ▼ët ❞↕♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ♠ët ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝❤÷❛ ❣✐↔✐ r❛ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✤è✐ oc ợ ữỡ tr dx = Bx(t) dt D A x(t) ∈ E1 , t ∈ [0, +∞) an aN ð ✤➙② ✭✶✳✶✮ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ❝❤♦ ữỡ tr ợ g x(0) = x0 ∈ E1 ◆➳✉ t♦→♥ tû ✭✶✳✷✮ A ❧➔ tự tỗ t A1 t õ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✮ ❝❤✉②➸♥ ✤÷đ❝ ✈➲ ❞↕♥❣ ❣✐↔✐ r❛ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠✿ dx = A−1 Bx(t) dt ✭✶✳✸✮ ❇➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✸✮✕ ✭✶✳✷✮ ❦❤✐ ✤â ❝â ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❧➔✿ −1 x(t) = etA ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ A B x , x0 ∈ E1 ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✮✕✭✶✳✷✮ ❝â t❤➸ ✈æ ♥❣❤✐➺♠ ❤♦➦❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝â t❤➸ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❚❛ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ✈✐➺❝ ✤✐ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤â t❤➻ ❜➔✐ ✶✵ ❈❤÷ì♥❣ ✷ D ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏ ▼➷ ❚❷ D oc H ✷✳✶ ◆❣❤✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ❤➺ ♠æ t↔ ❚❛ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ①❡♠ ①➨t ❤➺ ♠æ t↔ ✭❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✤↕✐ aN sè✮ ❝â ❞↕♥❣ s❛✉ ✤➙②✿ ♣❤➛♥ x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , t ∈ [0, T ]; A, B, D n tû tr♦♥❣ R g ð ✤➙② an Ax (t) = Bx(t) + Du(t), ✭✷✳✶✮ ❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✈ỵ✐ ❝→❝ [0, T ] ♥➳✉ T n T m ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý x , x tr R tỗ t ởt u(t) = u(t, x , x ) tr♦♥❣ R ✤➸ T ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ x(t) = x(t, x , x ) ❝õ❛ ✭✷✳✶✮ ợ u(t) t ữủ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ x(0) = x0 , x(T ) = xT ❚❛ ✤➦t ✈➜♥ ✤➲ ①➙② ❞ü♥❣ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ u(t) ❤➺ ✭✷✳✶✮ t tỗ t tr t (p + 1)(k + 2) − ✭❝→❝ sè k, p ✭✷✳✷✮ ✤➸ s t t x(t) u(t) ữợ tự ợ ữủ t s tr q tr ự ỵ ữỡ tr ✈✐ ♣❤➙♥ ✤↕✐ sè ✭✷✳✶✮ ✈➔ t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ x(ti ) = , ✶✹ ✭✷✳✸✮ ð ✤➙② ti ∈ [0, T ], = t0 < t1 < t2 < < tk < tk+1 = T ❈❤ó♥❣ t❛ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙②✿ C : Rk → Rs Rv = coimC ⊕ ker C; Rs = cokerC ⊕ imC, C˜ −1 ✳ ❚❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ s❛✉ ✤➙②✿ P ✲ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❧➯♥ ker ❈✱ Q ✲ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ˜ −1 (I −Q) = C + ❧➔ ♠❛ tr➟♥ tü❛ ♥❣❤à❝❤ ❧➯♥ cokerC tr♦♥❣ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ✭✷✳✹✮✱ C ✤↔♦ ❝õ❛ C ✈➔ ♠❛ tr➟♥ ❝♦ C˜ ✭✷✳✹✮ tr➯♥ coimC ❝â ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❚❛ sû ❞ö♥❣ ❜ê ✤➲ s❛✉ ✤➙②✿ ❤➺ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✶ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Cu = v✱ u ∈ Rk v Rs tữỡ ữỡ ợ Pu ✲ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ H ð ✤➙② D Qv = u = C + v + P u, ker ❈✳ oc ❙û ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✶✱ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ t❛ t❤❛② aN ✲ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ✭✷✳✺✮ ♥➳✉ ❦➼ ❤✐➺✉ QA = G, ker ❉✳ ❚ø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❤➺ g P u(t) ✭✷✳✺✮ an u(t) = D+ Ax (t) − D+ Bx(t) + P u(t) QAx (t) = QBx(t), ð tữỡ D ữỡ ợ C =D t t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ Gx (t) = QBx(t), ✈➔ t❛ ❧↕✐ sû ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✶ ❝❤♦ ♠❛ tr➟♥ G t ữỡ tr ữủ tữỡ ữỡ ợ x (t) = G+ QBx(t) + PG x (t) QG QBx(t) = 0, ð ✤➙t PG ✲ ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❧➯♥ ✭✷✳✻✮ ker ● P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➺ ✭✷✳✻✮ s❛✉ ❦❤✐ ❜✐➳♥ ✤ê✐ trð t❤➔♥❤✿ (I − PG )x (t) = G+ QBx(t) = (I − PG )QBx(t) ✶✺ ✭✷✳✼✮ PG ✱ I − PG t❛ ❝â ✤÷đ❝✿ (I−PG )QBx(t) = (I−PG )QB(I−PG )(I−PG )x(t)+(I−PG )QBPG PG x(t) ❚❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ s❛✉ ✤➙②✿ (I − PG )x(t) = x ˜(t)✱ PG x(t) = u˜(t)✱ ˜ ✱ (I − PG )QBPG = D ˜ ✱ ❦❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✼✮ (I − PG )QB(I − PG ) = B ❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝â ❞↕♥❣✿ ˜ x˜(t) + D˜ ˜ u(t), x˜ (t) = B ✭✷✳✽✮ ✈➔ sû ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✸✮ t❛ ❝â ✤÷đ❝✿ x˜(ti ) = (I − PG )x(ti ) = (I − PG )ai := γi u˜(ti ) = PG , i = 0, k + ✭✷✳✾✮ ❇ê tữỡ ữỡ ợ p p p p p aN D oc H D ˜ + x˜ (t) − D ˜ +B ˜ x˜(t) + P ˜ u˜(t) u˜(t) = D D x˜i−1 (t) = x˜i (t) + y˜i (t) y˜ (t) = D ˜i + B˜i x˜i (t) + P ˜ y˜i (t) ˜i + x˜i (t) − D i Di x˜p−1 (t) = x˜p (t) + y˜p (t) x˜ (t) = B˜ x˜ (t) + D˜ y˜ (t), an ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ g j j j x˜(j) ˜(j) ˜(j) p (0) = γ0,p , x p (t1 ) = γ1,p , x p (tk ) = γk,p , (j) j x˜p (tk+1 ) = γk+1,p , j = 0, p ỵ r trữớ ủ D p tr t t tỗ t u (t) ữợ tự t t, ✈ỵ✐ ❜➟❝ ❦❤ỉ♥❣ ❧ỵ♥ ❤ì♥ (p + 1)(k+2)−1, ❝á♥ ♥❣❤✐➺♠ x˜(t) ❝õ❛ ✭✷✳✽✮✲✭✷✳✾✮ ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ (p+1)(k+2)−1✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✳✶✳ ❳➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ x1 = x1 + x2 − x3 + u1 x2 = x1 − x2 + x3 + 0.u2 0.x3 = x1 − x2 − x3 + 0.u3 , ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➙② k = 1✳✮ ✭✷✳✶✷✮ x1 (0) = x2 (0) = 0, x1 (1) = x2 (1) = 1, x1 (2) = x2 (2) = ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝✿ ✶✻ ✭ð 0 A = , 0 D=0 0 ❚❛ ❝â✿ 1 −1 B = −1 , −1 −1 , det A = 0 0 0 P = 0 , Q = 0 0 ❦❤✐ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❤➺ ✭✷✳✶✷✮ t÷ì♥❣ ữỡ ợ D oc H D x1 − (x1 + x2 − x3 ) = u1 u2 = u2 u3 = u3 , ✭✷✳✶✹✮ an aN 0=0 x2 = x1 − x2 + x3 = x1 − x2 − x3 ˜ = 2✱ ❤➔♠ x2 ❧➔ p = 1, D ˜1 = = ❤➔♠ tü❛ tr↕♥❣ t❤→✐✱ ❝á♥ x1 ❧➔ ❤➔♠ tü❛ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✳ ❇ð✐ ♠❛ tr➟♥ D ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ♥➯♥ ✧❤➺✧ x2 = −2x2 + 2x1 ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝✳ ❚❛ x2 (t) ữợ tự (1 + 1)(1 + 2) − = 5✳ ◆❤÷ t❤➳✿ x2 = −2x2 + 2x1 , g ❚ø ❤➺ ✭✷✳✶✹✮ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ t↕✐ x2 (t) = c0 + c1 t + c2 t2 + c3 t3 + c4 t4 + c5 t5 ❚ø x2 (0) = 0, x2 (0) = −2x2 (0) + 2x1 (0) = s✉② r❛ c0 = c1 = ❚ø ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝á♥ ❧↕✐ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ c2 + c3 + c4 + c5 = 2c + 4c + 8c + 16c = 2c2 + 3c3 + 4c4 + 5c5 = c + 3c + 8c + 20c = ✶✼ 25 c2 = c4 = 15 , c3 = − , c5 = − ❚ø ✤â t❛ 15 25 15 15 45 15 ❝âx2 (t) = t − t + t − t ✱ x1 (t) = t − t + t + t − t ✱ 75 15 15 45 15 45 3 x3 (t) = 15 t − t + 15t − t ✱ u1 (t) = − t − t + 40t − t + 3t ●✐↔✐ ❤➺ tr➯♥ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✷✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t→❝❤ tø♥❣ ♣❤➛♥ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤❛ ✤✐➸♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❳➨t ❤➺ ♠æ t↔ ❝â ❞↕♥❣✿ x (t) = B(t)x(t) + D(t)u(t) + f (t) x(t) ∈ Rn , x(t) ∈ Rm , f (t) ∈ Rn , B(t), D(t) ❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✈ỵ✐ ❝ï ❤đ♣ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ t ∈ [t0 , tk ]✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❤➺ ✭✷✳✶✺✮ t❛ ✤➦t ❣✐↔✐ ♣❤→♣ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉ ✤➙②✿ ❚❛ ❝➛♥ ✤✐ ①➙② ❞ü♥❣ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ D ❱➜♥ ✤➲ ✶✳ oc H t❤➼❝❤ D ð ✤➙② ✭✷✳✶✺✮ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ ❍➔♠ ui (t) ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ✤➳♥ ❝➜♣ g ❍➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ ❱➜♥ ✤➲ ✸✳ x(t) x(ti ) = x00 i an ❱➜♥ ✤➲ ✷✳ t↕✐ ❝→❝ t❤í✐ ✤✐➸♠ ✤➸ s❛♦ ❝❤♦ ❤➔♠ tr↕♥❣ t❤→✐ aN ti , i = 0, k, t0 < t1 < t2 < < tk u(t) ❝õ❛ ❤➺ ✭✷✳✶✻✮ ri dq u q | = u t=t i i , q = 0, ri , i = 0, k dtq tr↕♥❣ t❤→✐ xi (t) ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ✤➳♥ ❝➜♣ si ✈➔ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✭✷✳✶✼✮ ✈➔ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ ❑➼ ❤✐➺✉ dq x |t=ti = x0q i , q = 0, si , i = 0, k q dt C(t) : Rv → Rs , ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ t ∈ [t0 , tk ] t❛ ❝â ✭✷✳✶✽✮ ✤÷đ❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥✿ Rv = coimC(t) ⊕ ker C(t); Rs = cokerC(t) ⊕ imC(t), ð ✤➙② coimC(t) ker C(t) tr♦♥❣ Rv ✱ cokerC(t) ❧➔ Rs ✈➔ C(t) ♠❛ tr➟♥ ❝♦ ❧➯♥ coimC(t) ❧➔ ♣❤➛♥ ❜ò trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ❜ò trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❝â ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ imC(t) tr♦♥❣ −1 ❧➔ C (t)✳ ❚✐➳♣ ✶✽ t❤❡♦ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ s❛✉ ✤➙②✿ Q(C(t)) ✕ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❧➯♥ cokerC(t)✱ P (C(t)) ✕ ♣❤➨♣ C − (t) = (I − Q(t))C −1 (t)✳ ❙û ❞ö♥❣ ❜ê ✤➲ s❛✉ ✤➙②✿ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❧➯♥ ker C(t)✱ C(t)v(t) = w(t), v(t) ∈ Rv , w(t) ∈ Rs t÷ì♥❣ ữỡ ợ s Q(C)w(t) = v(t) = C − (t)w(t) + P (C)v(t), ð ✤➙② P v(t) ∈ ker C(t) ●✐↔ sû D(t) ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ∀t ∈ [t0 , tk ], Q(D) ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✱ ❦❤✐ ✤â t❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ❤➺ ✭✷✳✶✺✮✿ D(t)u(t) = x (t) − B(t)x(t) − f (t), D ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ợ D(t) = C(t) õ ữủ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔✿ cokerD(t) ✈➔ oc H imD(t) ✭✷✳✶✾✮ Q(D)(x (t) − B(t)x(t) − f (t)) = 0, t ∈ [t0 , tk ] D ✭✷✳✷✵✮ aN u(t) = D− (t)(x (t) − B(t)x(t) − f (t)) + z(t), z(t) ∈ ker D(t) an ◗✉❛♥ ❤➺ ✤÷đ❝ ♠ỉ t↔ ❜ð✐ ✭✷✳✷✵✮ ❝❤♦ ♣❤➨♣ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ✭✷✳✷✶✮ x(t) t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ u(t)✳ g ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✱ ❝á♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✶✮ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥ ❚❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ✭✷✳✷✵✮✿ Q(D)x (t) = Q(D)B(t)x(t) + Q(D)f (t)) ✭✷✳✷✷✮ ❚❛ ❝â✿ Q(D)B(t)x(t) = Q(D)B(t)[(I − Q(D))]x(t) + Q(D)x(t)] ❚❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ s❛✉ ✤➙②✿ Q(D)x(t) = x1 (t), y1 (t) = (I − Q(D))x(t), f1 (t) = Q(D)f (t), B1 (t) = Q(D)B(t)Q(D), D1 (t) = Q(D)B(t)[I − Q(D)], ✶✾ ✭✷✳✷✸✮ õ ữỡ tr ữủ t ữợ x (t) = B1 (t)x1 (t) + D1 (t)y (t) + f (t) ữ t ữợ t❤ù ♥❤➜t✱ ❤➔♠ tr↕♥❣ t❤→✐ x(t) ✭✷✳✷✹✮ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✺✮ ✤÷đ❝ t❤❛② t❤➳ ❜ð✐✿ x(t) = x1 (t) + y1 (t) ✭✷✳✷✺✮ ❍➺ ✭✷✳✷✹✮ ❝â t❤➸ ①❡♠ ♥❤÷ ♠ët ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❤➔♠ tü❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ✈➔ tỹ t ữợ tự t q tr ♣❤➙♥ t→❝❤✱ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ✈➔ x1 (t) y1 (t) ❚ø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ✭✷✳✶✺✮ tr♦♥❣ ✤â ❝â ❝❤ù❛ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ u(t)✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ t❛ ❝❤✉②➸♥ ❤➺ ❜❛♥ ✤➛✉ ✈➲ ❤➺ ✭✷✳✷✶✮ ✭❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷đ❝ q✉❛ x(t) ✈➔ x (t)✮ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ✤✐ ①➙② ❞ü♥❣ ♠❛ tr➟♥ D ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ t❛ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷đ❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❝õ❛ D− (t) u(t) ✣✐➲✉ ♥➔② u(t) ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ tr♦♥❣ ❤➺ ✭✷✳✶✺✮✳ ❇➡♥❣ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♥❤÷ ✤➣ ♠ỉ t↔ ð tr➯♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ x(t)✱ H t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ t❛ ❝❤✉②➸♥ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✵✮ ✈➲ ❞↕♥❣✿ oc ✈ỵ✐ L(t) ✈➔ H(t) ❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥✱ ❝á♥ f (t) ❧➔ ❤➔♠ ✈❡❝t♦r✳ an ❚❛ ❝â ❤➺✿ g L(t)x(t) = x1 (t) G(t)x(t) = y (t), tr♦♥❣ ✤â G(t) ✭✷✳✷✻✮ aN D L(t)x (t) = H(t)x(t) + f (t) ✭✷✳✷✼✮ x(t)✳ L(t) = ❧➔ ♠❛ tr➟♥ s❛♦ ❝❤♦ ❤➺ ✭✷✳✷✼✮ ❧➔ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ ❞✉② ♥❤➜t t❤❡♦ u(t) t❤æ♥❣ q✉❛ x(t) ✈➔ x (t) tr♦♥❣ ✭✷✳✷✶✮ t❤➻ Q(D), G(t) = I − Q(D) ❱✐➺❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❣❤✐➺♠ x(t) tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ 1 ✭✷✳✷✻✮ ✤÷đ❝ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ x (t) ✈➔ y (t) tø rỗ s r ố q ỳ ✤â ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✹✮✿ x (t) = B1 (t)x1 (t) + D1 (t)y (t) + f (t) ữợ t t t t õ ữủ trữớ ủ s ố ợ D1 (t)✿ ❛✮ D1(t) ≡ ❜✮ D1(t) ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ t♦➔♥ →♥❤✱ ❤❛② ✷✵ Q(D1 ) ≡ ❝✮ D1(t) ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❦❤æ♥❣ t♦➔♥ →♥❤ ∀t ∈ [t0 , tk ] ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ t♦➔♥ →♥❤ ❤♦➦❝ ❦❤ỉ♥❣ t♦➔♥ →♥❤ ✤÷đ❝ t❤✐➳t ❧➟♣ t❤❡♦ D1 (t)v(t) = w(t)✿ ♥➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝❤♦ ữủ t v(t) ợ w(t) imD1 (t) t❤➻ D1 (t) ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳ ◆➳✉ Q(D1 ) ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ t❤➻ t➼♥❤ ❝❤➜t t♦➔♥ →♥❤ ❤♦➦❝ ❦❤ỉ♥❣ t♦➔♥ D1 (t) ữủ t ợ t ∈ [t0 , tk ] ❦❤✐ D1 (t) ≡ t❤➻ ❤➺ ✭✷✳✶✺✮ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ♠ët ❝→❝❤ ✤➛② ✤õ✱ ✈➻ ❦❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ x (t) ❝→❝❤ s❛✉ ✤➙②✱ ✈➼ ❞ư✱ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t❤ù ♥❤➜t ✭tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✭❛✮✮ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✽✮✿ x (t) = B1 (t)x1 (t) + f (t) ❦❤æ♥❣ t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ D x1 (ti ) = L(ti )x(ti ) = L(ti )x00 i ✭✷✳✷✾✮ k = 1, ❤❛② ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ❝→❝ oc H tø ✭✷✳✷✼✮ ✈➔ ✭✷✳✶✻✮ ❦❤✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➛✉ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝✉è✐ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ✤÷❛ r❛ ởt tý ỵ D r trữớ ủ tự ✭tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✭❜✮✮ ❦❤✐ ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ✰❚❤✐➳t ❧➟♣ t❤➯♠ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ x (t) ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥✿ t❤➻ t❛ tỹ ữợ t t g ✭✷✳✷✼✮ ✈➔ ✭✷✳✷✽✮✿ an aN cokerD1 (t), (Q(D1 ) = 0) 00 x (ti ) = B1 (ti )L(ti )x00 i + D1 (ti )G(ti )xi + f1 (ti ) ✰❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♠ỵ✐ ①✉➜t ❤✐➺♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ✈❡❝t♦r x1 (t) ✭✷✳✸✵✮ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✾✮ ✕ ✭✷✳✸✵✮ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❜ð✐✿ 11 x1 (ti ) = x10 i , x (ti ) = xi ð ✤➙② x1 (t) ✭✷✳✸✶✮ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❝➜✉ tró❝ ❜ð✐ ❝→❝ tê ❤đ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ t t ổ ữợ (t) ợ sè ✈❡❝t♦r ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✸✶✮✳ ✰❚ø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✽✮ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ y1 (t)✿ y (t) = D1− (x − B1 (t)x1 (t) − f (t)) + z (t), ✷✶ ✭✷✳✸✷✮ ✈ỵ✐ z (t) = P (D1 )y (t) ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ker D1 ✈➔ t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ z (ti ) = P (D1 (ti ))G(ti )x00 i ✭✷✳✸✸✮ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ tø ✭✷✳✷✼✮✳ ❱✐➺❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ tr↕♥❣ t❤→✐ ✭✷✳✷✼✮✱ ❝á♥ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ u(t) x(t) ✤÷đ❝ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✺✮✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ t❤ù ❜❛ ✭tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✭❝✮✮ ❦❤✐ D1 (t) ❧➔ ❦❤æ♥❣ t♦➔♥ →♥❤✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ t ữợ t t ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ❤➔♠ tü❛ tr↕♥❣ t❤→✐ x1 (t) ✈➔ tü❛ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ y (t) ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧✐➯♥ ❦➳t ữỡ tr ợ ú ỗ tữỡ tỹ ữ q✉→ tr➻♥❤ ♥❤÷ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ð tr➯♥ ✤÷đ❝ ❧➦♣ ố ợ ữỡ tr ởt ữợ t❤ù p ♥➔♦ ✤➜② ✭p ∈ N✮ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✿ ✭✷✳✸✹✮ D Lp−1 (t)xp−1 (t) = xp (t) Gp−1 (t)xp−1 (t) = y p (t), H ✈➔ Dp (t) ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✭✷✳✸✺✮ Dp (t) = t❤➻ t❛ ❦➳t ❧✉➟♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ Dp (t) ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ❤♦➦❝ t♦➔♥ →♥❤✳ ◆➳✉ D tr♦♥❣ ✤â oc x p (t) = Bp (t)xp (t) + Dp (t)y p (t) + f p (t), aN ✤÷đ❝ ❤➺ ✭✷✳✶✺✮ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝✳ ❚r♦♥❣ t❤➻ t❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ số ố ợ ỳ tỹ ữ ✭✷✳✸✶✮ ♥➔② t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜ê s✉♥❣ ✤➳♥ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ❝❤♦ ❤➔♠ tü❛ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ xp (t) g k p an t ữợ tữ dj xp (t) |t=ti = xpj i , j = 0, p, i = 0, k j dt ❚↕✐ ✤➙② y p (t) ✭✷✳✸✻✮ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿ y p (t) = Dp− (x p (t) − Bp (t)xp (t) − f p (t)) + z p (t), z p (t) = P (Dp )y p (t) ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ker Dp ✭✷✳✸✼✮ ✈➔ t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ z p (ti ) = P (Dp (ti ))Gp−1 (ti )xp−1 (ti ), i = 0, k ✭✷✳✸✽✮ xp (t) ✈➔ y p (t) ỹ ữủ t ữợ tự p ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ✤➸ ①→❝ p−1 ✤à♥❤ ❝→❝ ❤➔♠ x (t) ✈➔ y p−1 (t) ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❤♦→♥ ✤ê✐ p − ❜➡♥❣ p✱ ❝ù t✐➳♣ p−2 tư❝ ♥❤÷ t❤➳ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ x (t), y p−2 (t) ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t↕✐ ❤➺ ✭✷✳✷✼✮ t❛ ❈→❝ ❤➔♠ ✷✷ x(t) ❝á♥ u(t) ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ✭✷✳✷✶✮✳ z j (t) = P (Dj )y j (t) ❝➛♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ trì♥ t ữủ ố ợ ❤➔♠ z j (ti ) = P (Dj )Gj−1 (ti )xj−1 (ti ) ✷✳✸ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤♦ ❤➺ ✤ë♥❣ ❤å❝ ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❳➨t ❤➺ ổ t ữủ ữợ ởt ữỡ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ s❛✉ ✤➙②✿ D ∂y ∂y =B + Du(t, x)), x ∈ [0, T ], x ∈ [0, xk ] ✭✷✳✸✾✮ ∂t ∂x n m ✈ỵ✐ y = y(t, x) ∈ R , u = u(t, x) ∈ R ✱ ✈➔ B, D ❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ợ ù tữỡ ự y(t, x) ữợ t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♥â t❤➻ ❤➺ ✭✷✳✸✾✮ ❝â t❤➸ tø tr↕♥❣ t❤→✐ ❜❛♥ oc ❦❤✐➸♥ H ❍➺ ✭✷✳✸✾✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ữủ t tỗ t D tý ỵ y(0, x) = (x) Rn aN ✭✷✳✹✵✮ an ❝❤✉②➸♥ ✈➲ ✤÷đ❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝✉è✐ g y(T, x) = β(x) ∈ Rn s❛✉ ❦❤♦↔♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✭✷✳✹✶✮ T ✱ ∀T > ✣➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ tr➯♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ợ r t s sỷ ữỡ ♣❤➙♥ t→❝❤ ✭♣❤➙♥ r➣✮✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t→❝❤ ✤÷đ❝ ❞ü❛ tr➯♥ ❝ì sð ❧➔ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤➔♥❤ t❛ ❝➛♥ ✤÷❛ ✈➔♦ ✤â ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ t↕✐ ♠é✐ q✉→ tr➻♥❤ ✤ê✐ ❜✐➳♥✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ①❡♠ ①➨t t❤æ♥❣ q✉❛ ✈➼ ❞ö s❛✉ ✤➙②✿ ●✐↔ sû t♦→♥ tû G : Rm → Rn , ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥✿ Rm = coimG ⊕ ker G; Rn = cokerG ⊕ imG, ð ✤➙② coimG trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ❜ò trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ imG tr♦♥❣ Rn ✈➔ G ker G ✷✸ Rm ✱ cokerG ❧➔ ♣❤➛♥ ❜ò coimG ❝â ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ tr♦♥❣ ♠❛ tr➟♥ ❝♦ ❧➯♥ ✭✷✳✹✷✮ G−1 ✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ s❛✉ ✤➙②✿ Q(G) ✕ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ − −1 ❧➯♥ cokerG✱ P (G) ✕ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❧➯♥ ker Q✱ G = (I − Q(G))G ✤÷đ❝ ❣♦✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❜→♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ G, I ữủ t tỷ ỗ t tr ❝→❝ − ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ t❤➻ G G = I − P (G), GG− = I Q(G) ú ỵ r ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ P (G), Q(G) − ✈➔ t♦→♥ tû G õ t t ữợ tở ✈➔♦ t➼♥❤ ♣❤ư t❤✉ë❝ ❝õ❛ sü ❧ü❛ ❝❤å♥ ❝ì sð tr♦♥❣ ker G ✈➔ cokerG ❤♦➦❝ tr♦♥❣ t➼♥❤ ♣❤ö ✤↔♦ ❧➔ t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ✤→♥❤ sè ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝ì sð✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ sû ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙②✿ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ Gv = w, v ∈ Rm , w ∈ Rn ✭✷✳✹✸✮ Q(G)w = v = G− w + P (G)v, P (G)v ∈ ker G D ð ✤➙② ✭✷✳✹✹✮ oc H D t÷ì♥❣ ữỡ ợ s P (D)z(t, x) ker D ✭✷✳✹✺✮ g u(x, t) = D− ( ∂y ∂y = Q(D)B ∂t ∂x an Q(D) aN ◆❤÷ t❤➳ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ❜ê ✤➲ tr➯♥ t❤➻ ❤➺ ✭✷✳✸✾✮ tữỡ ữỡ ợ y y B ) + P (D)z(t, x), ∂t ∂x ✭✷✳✹✻✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✹✻✮ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✤➸ t❛ ❝â t❤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ u(t, x) rỗ s õ tứ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ y(t, x) t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✹✵✮ ✈➔ ✭✷✳✹✶✮✳ − ❑➼ ❤✐➺✉ D = D0 , B = B0 , Q(D) = Q0 , P (D = P0 ✱ D = D0− , y(t, x) = y0 , u(t, x) = u0 ❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ Q0 = Q20 ✱ (I − Q0 ) = (I − Q0 )2 ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✹✺✮✿ ✭✷✳✹✺✮ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ❤➔♠ Q0 ∂y0 ∂y0 = Q0 B0 ∂t ∂x ✭✷✳✹✼✮ ❝❤✉②➸♥ ✤÷đ❝ ✈➲ ❞↕♥❣✿ ∂Q0 y0 ∂Q0 y0 ∂(I − Q0 )y0 = Q0 B0 Q0 + Q0 B0 (I − Q0 ) ∂t ∂x ∂x ✷✹ ✭✷✳✹✽✮ ❚❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ s❛✉ ✤➙②✿ Q0 y0 = y1 , (I − Q0 )y0 = u1 , Q0 B0 Q0 = B1 , Q0 B0 (I − Q0 ) = D1 , ✭✷✳✹✾✮ ❦❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✹✽✮ ❝â ❞↕♥❣✿ ∂y1 ∂u1 ∂y1 = B1 + D1 ∂t ∂x ∂x ✭✷✳✺✵✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ố t ợ ữỡ tr tự t t↕✐ ✤↕♦ ❤➔♠ u1 = u1 (t, x)✱ t❤ù ❝♦♥ cokerD ✈ỵ✐ sè ❝õ❛ ❤➔♠ tü❛ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❤❛✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❧÷đ♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr ữủ ố t ỡ s ợ ✤➛✉✳✈➔ t❤ù ❜❛✱ ð ✤➙② y1 (t, x) ✈➔ u1 (t, x) ❜➢t ❜✉ë❝ ♣❤↔✐ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✹✵✮✱ ✭✷✳✹✶✮ ✈➔ ✭✷✳✹✾✮✿ y1 (0, x) = Q0 α(x), y1 (T, x) = Q0 β(x), D u1 (0, x) = (I − Q0 )α(x), u1 (T, x) = (I − Q0 )β(x) oc H ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr➯♥ ũ ợ ữủ t y1 (0, x) = Q0 α(x) := α10 (x), y1 (T, x) = Q0 β(x) := β10 (x) ✭✷✳✺✶✮ D aN ∂α(x) ∂β(x) ∂y1 ∂y1 |t=0 = Q0 B0 := α11 (x), |t=T = Q0 B0 := β11 (x) ∂t ∂x ∂t ∂x ✭✷✳✺✷✮ ợ tữỡ ữỡ ợ g an số tr tữỡ ự ợ ◆❤÷ t❤➳ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ì❝✿ ❤➺ ✤÷đ❝ ❝➜✉ tró❝ tø ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✹✻✮✱ ❤➺ ✭✷✳✺✵✮ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✺✶✮ ỗ t số pN tữỡ ữỡ ợ ữủ t t tø ✭✷✳✹✻✮ ✈➔ ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ s❛✉ ✤➙②✿ y(t, x) = y1 (t, x) + u1 (t, x) ✈ỵ✐ ∂yj (t, x) ∂yj (t, x) ∂uj (t, x) = Dj− ( − Bj ) + Pj zj (t, x) ∂x ∂t ∂x yj (t, x) = yj+1 (t, x) + uj+1 (t, x), j = 1, 2, , p − 1, ∂yp (t, x) ∂yp (t, x) ∂up (t, x) = Bp + Dp , ∂t ∂t ∂x Pj zj (t, x) ∈ ker Dj ✱ ð ✤➙② ❤♦➦❝ Dp = {0} ❤♦➦❝ Dp ❧➔ t♦➔♥ {0}✮✳ ✷✺ ✭✷✳✺✸✮ ✭✷✳✺✹✮ Qp = é t ữợ tự ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ y2 (t, x) ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ t❤❡♦ ❝→❝❤ s❛✉ ✤➙②✱ tø ✭✷✳✺✶✮✿ y2 |t=0 = Q1 y1 |t=0 = Q1 α10 (x) := α20 (x), y2 |t=T = Q1 y1 |t=T = Q1 β10 (x) := β20 (x) ✭✷✳✺✼✮ ∂y2 ∂t |t=0 ∂y2 ∂t |t=T ∂α1 (x) = Q1 B1 ∂y ∂x |t=0 = Q1 B1 ∂x |t=0 := α2 (x), ∂β10 (x) = Q1 B1 ∂y | = Q B t=T 1 ∂x ∂x |t=T := β2 (x) ✭✷✳✺✽✮ ❚ø ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✺✽✮ t❛ ❝â ✤÷đ❝✿ ∂ y2 ∂ ∂y2 ∂ ∂y2 = Q B ( ) = Q B ( ) 1 1 ∂t2 ∂t ∂x ∂x ∂t ✭✷✳✺✾✮ D ✈➔ tø ✭✷✳✺✷✮ ✈➔ ✭✷✳✻✵✮✿ H ∂α11 (x) ∂β11 (x) ∂ y2 ∂ y2 |t=0 = Q1 B1 |t=0 := α2 (x), |t=T = Q1 B1 |t=T := β22 (x) ∂t ∂x ∂t ∂x t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙②✿ aN D j oc ữợ tự yj |t=0 = Qj−1 yj−1 |t=0 = Qj−1 αj−1 (x) := αj0 (x), an yj |t=T = Qj−1 yj−1 |t=T = Qj−1 βj−1 (x) := βj0 (x), g ∂yj ∂yj |t=0 = Qj−1 Bj−1 |t=0 = Qj−1 Bj−1 αj−1 (x) = αj1 (x), ∂t ∂x ∂yj ∂yj |t=T = Qj−1 Bj−1 |t=T = Qj−1 Bj−1 βj−1 (x) = βj1 (x), ∂t ∂x ∂ s yj ∂ ∂ s−1 yj−1 |t=0 = Qj−1 Bj−1 ( )|t=0 = ∂ts ∂x ∂ts−1 ∂ s−1 s = Qj−1 Bj−1 αj−1 |t=0 = Qj−1 Bj−1 αj−1 := αjs (x) ∂x s ∂ yj ∂ ∂ s−1 yj−1 |t=T = Qj−1 Bj−1 ( )|t=T = ∂ts ∂x ∂ts−1 ∂ s−1 s = Qj−1 Bj−1 βj−1 |t=T = Qj−1 Bj−1 βj−1 := βjs (x) x ữỡ tỹ ữ t t ữợ tự p t❛ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ❤➺ t÷ì♥❣ ù♥❣✿ ∂ j yp ∂ j yp j |t=0 := αp (x), |t=T := βpj (x), j = 1, 2, , p, j j ∂t ∂t ✭✷✳✻✶✮ ð ✤➙②✿ 0 αp0 (x) = Qp−1 Bp−1 αp−1 (x), βp0 (x) = Qp−1 Bp−1 βp−1 (x), j j αpj (x) = Qp−1 Bp−1 αp−1 (x), βpj (x) = Qp−1 Bp−1 βp−1 (x), j = 1, 2, , p ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✹✳ ❚r♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ p ❧➛♥ ❦❤↔ ✈✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ số (x) (x) ữỡ tr ợ tữỡ ữỡ ợ ợ ợ D ỵ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳ g an aN D oc H Dp s❛♦ ❝❤♦ ❍➺ ✭✷✳✸✾✮ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ❦❤✐ tỗ t pN t ữ ✈➟②✱ ✤➲ t➔✐ ✧◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➯➻✉ ❦❤✐➸♥ ♠ỉ t↔✧ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙②✿ ✕ ❳→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♠ỉ t↔ ✈ỵ✐ ❝➜✉ tró❝ ✤❛ t❤ù❝ t❤❡♦ [(p + 1)(k + 2) − 1] t ✈ỵ✐ ❜➟❝ tr♦♥❣ t✐➸✉ ♠ư❝ ✷✳✶✳ D ✕ ❳→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ t❤✉➟t t♦→♥ ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➺ ♠ỉ t↔ tr♦♥❣ ❝→❝ ❱➜♥ ✤➲ ✶✱ ✷✱ ✸ tr♦♥❣ t✐➸✉ ♠ư❝ ✷✳✷✳ H ✕ ●✐↔✐ q✉②➳t ✤÷đ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷đ❝ ♠ỉ t↔ ❜➡♥❣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✕ ❈â ✵✶ ❜➔✐ ❜→♦✿ oc ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✱ t✐➸✉ ♠ư❝ ✷✳✸ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è t↕✐ ❚↕♣ ❝❤➼ D ◆❣❤✐➺♠ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ❤➺ ♠æ t↔ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣ ♥➠♠ ✷✵✶✽✱ ♣❤✐➯♥ ❜↔♥ t✐➳♥❣ ❆♥❤✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❛❜✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❢♦r ❞❡s❝r✐♣t♦r ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è t↕✐ ❚↕♣ ❝❤➼ q✉è❝ t➳ ❊✉r♦❛s✐❛✱ ✷✵✶✾✳ ❈♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❞②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠s ✇✐t❤ ♣❛rt✐❛❧ g ✕ ❈â ✵✶ ❜➔✐ ❜→♦✿ an s②st❡♠s aN ✕ ❈â ✵✶ ❜➔✐ ❜→♦✿ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✱ ✤÷đ❝ ✤➠♥❣ t↕✐ ❚↕♣ ❝❤➼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ✭❙❈❖✲ P❯❙✱ ❙❈■♠❛❣♦✱ ◗✸✱ ✷✵✶✾✮✳ ✕ ✵✶ ❇↔♥ ❜→♦ ❝→♦ t ữợ t ổ ✈✐➯♥ ❝❛♦ ❤å❝✳ ✷✽ ... sáng tạo: Thu số kết dạng nghiệm hệ điều khiển mơ tả Tóm tắt kết nghiên cứu: Xây dựng nghiệm dạng đa thức cho hệ điều khiển mô tả; Xây dựng hướng giải cho hệ điều khiển mô tả coa yếu tố đạo hàm riêng... kết nghiệm hệ điều khiển mô tả, hệ điều khiển mô tả với yếu tố đạo hàm riêng; kết phải đăng tạp chí có uy tín chất lượng tốt nước quốc tế danh mục tạp chí ISI p ph n n ng cao chất lượng nghiên cứu. .. VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU g an aN D oc H D Thông tin chung: - Tên đề tài: Nghiên cứu cấu trúc nghiệm hệ điều khiển mô tả - Mã số: B2017.DNA.09 - Chủ nhiệm: TS Lê