Nghiệm viable cho bao hàm thức vi phân bậc không nguyên có đối số lệch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN – TIN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI NGHIỆM VIABLE CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC KHÔNG NGUYÊN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Trọng Sinh viên thực hiện: Trần Phan Thế Lâm Mã số sinh viên: 44.01.101.084 TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2022 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 1.1 Đạo hàm Caputo 1.2 Ánh xạ đa trị nửa liên tục 1.3 Giới thiệu toán 1.4 Định nghĩa nghiệm Viable CHƯƠNG 2: SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VIABLE 2.1 Điều kiện tiếp xúc 2.2 Nghiệm xấp xỉ 2.3 Nghiệm viable 11 KẾT LUẬN 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mọi lĩnh vực toán học xuất phát triển mục đích phát triển tự thân tốn học: hướng đến khái niệm kết ngày tổng quát hơn, nhu cầu ứng dụng địi hỏi Lí thuyết bao hàm thức vi phân nằm dịng chảy Xuất ban đầu mở rộng lí thuyết phương trình vi phân thường, lí thuyết bao hàm thức vi phân ngày xâm nhập mạnh mẽ vào lĩnh vực khác toán học ngành khoa học khác nhờ ứng dụng to lớn Một vấn đề quan trọng thú vị lí thuyết phương trình vi phân bao hàm thức vi phân tồn nghiệm u mà giá trị u(t) ∈ K, ∀t ∈ I với K tập cho trước Ta gọi nghiệm nghiệm viable Lí thuyết viability có nhiều áp dụng sinh học, kinh tế học, khoa học môi trường, thị trường tài chính, lí thuyết điều khiển, v.v Vào cuối kỷ 19, với nghiên cứu số nhà toán học, chủ yếu Liouville, Grünwald, Letnikov Riemann, tạo lí thuyết hồn thiện đạo hàm bậc không nguyên cho hàm thực Trong năm gần đây, nhà toán học kỹ sư sử dụng khái niệm để thiết lập mơ hình cho nhiều vấn đề ứng dụng lĩnh vực vật lí, hóa học, thần kinh học, lí thuyết khuếch tán, lí thuyết điều khiển, thống kê, kinh tế, v.v Về bản, lí thuyết phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu từ lâu với tham gia nhiều nhà Toán học tên tuổi Các kết thu liên quan đến lĩnh vực vô phong phú đa dạng Gần đây, số kết liên quan đến nghiệm phương trình vi phân bậc khơng ngun phi tuyến tìm thấy [1–8] Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, nghiên cứu liên quan đến phương trình vi phân bao hàm thức vi phân bậc không nguyên bắt đầu phát triển thời gian gần Đặc biệt, hướng nghiên cứu phương trình bao hàm thức vi phân bậc không nguyên không gian Banach tổng quát thu hút quan tâm mạnh mẽ nhà tốn học Do chưa có nhiều kết nghiên cứu tính chất viability cho bao hàm thức vi phân có chứa đạo hàm bậc khơng ngun, việc mở rộng xem xét tính chất viablity cho lớp bao hàm thức vi phân bậc không nguyên (có thể có đối số lệch) cần thiết, có ý nghĩa khoa học Do vậy, việc nghiên cứu “Nghiệm viable bao hàm thức vi phân bậc không nguyên có đối số lệch” cần thiết có ý nghĩa Định nghĩa đạo hàm bậc không nguyên đưa vào cuối kỷ 19 Liouville Riemann, khái niệm đạo hàm tích phân bậc khơng ngun đề cập vào năm 1695 Leibniz L'Hospital tổng quát phép tính vi phân tích phân bậc nguyên truyền thống Tuy nhiên, vào cuối năm 1960, kĩ sư bắt đầu quan tâm đến ý tưởng mơ hình tốn học toán thực tế biểu diễn “ngơn ngữ bậc khơng ngun” Kể từ thời điểm đó, phép tính vi tích phân bậc khơng ngun ngày sử dụng nhiều để mơ hình hóa toán thực tế lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác Lí thuyết Viability khởi đầu cơng trình Nagumo [9] vào năm 1942 Ơng ta đưa điều kiện cần đủ để phương trình vi phân có nghiệm viable Tính viable nghĩa giá trị nghiệm thời điểm ban đầu thuộc tập K giá trị sau nghiệm khoảng thời gian định nằm K Ngày nay, thấy lý thuyết viability phát triển có ứng dụng nhiều lĩnh vực sinh học, kinh tế học, khoa học mơi trường, thị trường tài lý thuyết điều khiển robotics Gần đây, nhiều nhà tốn học kết hợp lí thuyết viability với phép tính vi tích phân bậc khơng ngun Theo chúng tơi tìm hiểu, hướng nghiên cứu có số báo liên quan [12-15] Nghiệm viable cho phương trình vi phân bậc khơng nguyên nghiên cứu [13-15] Nhưng hai báo [13,15] chứng minh tồn nghiệm viable khơng đúng, điều kiện tiếp xúc mà tác giả đề xuất chưa xác Nghiệm viable cho bao hàm thức vi phân bậc không nguyên đưa [11] cho đạo hàm Caputo Các tác giả chỉnh sửa sai sót hai báo [13,15] cách đưa điều kiện tiếp xúc xác để đảm bảo tồn nghiệm viable cho bao hàm thức vi phân bậc không nguyên sau D x(t) ∈ F t, x(t) , < q < 1, t ∈ I ≔ [0, T], x(0) = x ∈ ℝ Sau tác giả [15] kế thừa cải tiến điều kiện tiếp xúc cho đạo hàm CaputoFabrizio Trong khóa luận, chúng tơi đưa điều kiện đủ để đảm bảo tồn nghiệm viable bao hàm thức vi phân bậc không nguyên với đối số lệch dạng D x(t) ∈ F(t, x ), < q < 1, t ∈ I ≔ [0, T] Khái niệm ε − nghiệm điều kiện tiếp xúc điều chỉnh tương thích với tốn đưa Cấu trúc khóa luận gồm có chương Chương dành để giới thiệu toán số khái niệm chuẩn bị Trọng tâm khóa luận nằm chương 2, xây dựng điều kiện tiếp xúc, khái niệm ϵ − nghiệm số kết liên quan Từ chúng tơi chứng minh tồn nghiệm viable Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính chất viability bao hàm thức vi phân bậc khơng ngun có đối số lệch với số giả thiết thích hợp Phạm vi nghiên cứu Đây đề tài nghiên cứu thuộc lĩnh vực khoa học bản, cụ thể Toán học lí thuyết Kiến thức chuyên ngành chủ yếu thuộc lĩnh vực giải tích hàm; giải tích đa trị giải tích phi tuyến Phương pháp nghiên cứu Kế thừa nghiên cứu trước nhiều tác giả, tiếp cận đề tài từ ý tưởng nghiên cứu nhiều báo công bố gần [11,13,14,15] tính viabilty cho bao hàm thức vi phân bậc khơng ngun Cách tiếp cận có lợi chỗ kế thừa phối hợp lược đồ giải có nhiều tác giả Đề tài sử dụng phương pháp đặc thù nghiên cứu khoa học dựa chứng minh chặt chẽ mặt toán học Các vấn đề nghiên cứu đặt phải bảo đảm tính tự nhiên logic Chúng dự kiến xây dựng điều kiện tiếp xúc nghiệm xấp xỉ phù hợp: kĩ thuật kinh điển mà nhiều tác giả sử dụng phát triển CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 1.1 Đạo hàm Caputo Định nghĩa Cho x ∶ [a, b] → ℝ hàm liên tục tuyệt đối có đạo hàm khả tích Lebesgue Đạo hàm Caputo D x(t) với < q < định nghĩa sau D x(t) = Γ(1 − q) x (τ)(t − τ) dτ , a < t < b Ta biết x: [0, T] → ℝ liên tục f: [0, T] × ℝ → ℝ liên tục thỏa mãn D x(t) = f t, x(t) , < q < 1, t ∈ I ≔ [0, T], x(0) = x ∈ ℝ ta có x(t) = x + (t − s) Γ(q) f s, x(s) ds , ≤ t ≤ T 1.2 Ánh xạ đa trị nửa liên tục Định nghĩa Ánh xạ đa trị F: [0, T] × C → P(ℝ ) gọi nửa liên tục ξ ∈ [0, T] × C với lân cận mở V F(ξ), tồn lân cận mở U ξ thỏa mãn F(η) ⊂ V với η ∈ U 1.3 Giới thiệu toán Xét ‖⋅‖ chuẩn ℝ Ta xét bao hàm thức vi phân bậc khơng ngun có đối số lệch sau: D x(t) ∈ F(t, x ), < q < 1, t ∈ I ≔ [0, T], (1) thỏa mãn điều kiện x(t) = ψ(t), t ∈ [−r, 0], T > 0, ψ ∈ C ≔ C([−r, 0]; ℝ ) với chuẩn ‖ψ‖ = sup ‖ψ(t)‖ { ∈[ , ]} Ta xét x: [−r, T] → ℝ Với t ∈ [0, T], ta đặt x : [−r, 0] → ℝ xác định x (θ) = x(t + θ), θ ∈ [−r, 0] (H) Ánh xạ đa trị F: [0, T] × C → P(ℝ ) nửa liên tục trên, nhận giá trị tập lồi, khác rỗng compact Hơn nữa, tồn α > thỏa mãn: ‖F(t, v)‖∗ = sup{‖z‖: z ∈ F(t, v)} ≤ α(1 + ‖v‖ ) (2) với (t, v) ∈ [0, T] × C 1.4 Định nghĩa nghiệm Viable Định nghĩa (Nghiệm Mild) Hàm liên tục tuyệt đối x ∈ AC([−r, T], ℝ ) gọi nghiệm mild (1) tồn phép chọn đo f (t) ∈ F(t, x ) cho với t ∈ I ta có x(t) = ψ(0) + (t − s) Γ(q) f (s)ds , ≤ t ≤ T x(t) = ψ(t), t ∈ [−r, 0] Chú ý: Theo [16, Định lý 3.1], F thỏa điều kiện (H) ta có Sel (x) = {f ∈ L ([0, T], ℝ ): f(t) ∈ F(t, x ) hầu khắp nơi t ∈ [0, T]} ≠ ∅, ∀x ∈ C([−r, T], ℝ ) Định nghĩa (Nghiệm viable) Cho tập đóng Ω ⊂ ℝ K = {ψ ∈ C : ψ(0) ∈ Ω} Ta nói K viable với ψ ∈ K , tồn T > cho (1) có nghiệm mild x: [−r, T] → ℝ thỏa mãn x ∈ K , ∀t ∈ I Khi x gọi nghiệm viable Chú ý: Vì x (θ) = x(t + θ) nên x ∈ K , ∀t ∈ [0, T] ⟺ x (0) ∈ Ω, ∀t ∈ [0, T] ⟺ x(t) ∈ Ω, ∀t ∈ [0, T] CHƯƠNG 2: SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VIABLE 2.1 Điều kiện tiếp xúc Định nghĩa Giả sử t̅ ∈ [0, T] Cho tập E ⊂ ℝ hàm g ∈ L (I, ℝ ) Ta định nghĩa hàm y : [−r, T] → ℝ xác định y (t) = ψ(0) + (t − s) g(s)ds , ∀t ∈ [0, T] Ta nói cặp (g, E) tiếp xúc với [0, T] × K (t,̅ φ) ∈ [0, T] × K y liminf → h dist φ(0) + Φ(t;̅ g)(h) + h E; Ω = 0, Γ(q + 1) = φ (3) ̅ [(t̅ + h − s) − (t̅ − s) ]g(s)ds Γ(q) Nhận xét: Nếu thay C ℝ x x(t) ta điều kiện tiếp xúc [11] Mệnh đề (g, E) tiếp xúc với [0, T] × K (t,̅ φ) ∈ [0, T] × K với 𝛿 > ε > 0, tồn h ∈ (0, δ) v ∈ E, p ∈ ℝ , |p| < ε cho h (v + p) ∈ Ω φ(0) + Φ (t;̅ g)(h) + Γ(q + 1) Chứng minh Ta có (3) tương đương với h sup inf h dist φ(0) + Φ(t̅; g)(h) + E; Ω = ∈( , ) Γ(q + 1) Điều có nghĩa với δ > ε > 0, tồn h ∈ (0, δ) cho h εh dist φ(0) + Φ(t;̅ g)(h) + E; Ω < Γ(q + 1) Γ(q + 1) Mà dist(C, D) < α tồn x ∈ C y ∈ B(0, α) cho x + y ∈ D Vậy (3) tương đương: với   ε > 0, tồn h ∈ (0, δ) , v ∈ E p ∈ ℝ thỏa mãn |p| < ε h (v + p) ∈ Ω φ(0) + Φ (t;̅ g)(h) + Γ(q + 1) Ta kết thúc chứng minh ∎ Φ(t;̅ g)(h) = 2.2 Nghiệm xấp xỉ Định nghĩa Cho ε ∈ (0,1), ≤ θ ≤ T Ta gọi (σ, f, g, y) ε-nghiệm (1) đoạn [−r, θ] tồn hàm không giảm σ: [0, θ] → [0, θ], hàm đo f: [0, θ] → ℝ , hàm khả tích g: [0, θ] → ℝ hàm liên tục tuyệt đối y: [−r, θ] → ℝ thỏa mãn (i) t − ε ≤ σ(t) ≤ t với t ∈ [0, θ]; (ii) ‖g(t)‖ ≤ ε với t ∈ [0, θ]; (iii) y σ(t) ∈ Ω với t ∈ [0, θ ] y(θ) ∈ Ω; (iv) f(t) ∈ F σ(t), y ( ) cho y(t) = y(0) + (t − s) Γ(q) [f(s) + g(s)]ds với t ∈ [0, θ]; (v) y = ψ Trong phần tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức Henry–Gronwall sau cho chứng minh Bổ đề ([17, Bổ đề 7.1.1]) Cho u: [0, b] → [0, ∞) hàm thực v hàm khơng âm, khả tích địa phương [0, b] Giả sử có số a > < α < thỏa mãn u(t) ≤ v(t) + a (t − s) u(s)ds Khi đó, tồn số K = K(α) cho u(t) ≤ v(t) + Ka (t − s) v(s)ds Kể từ đây, ta cố định tập đóng Ω ⊂ ℝ ψ ∈ K Bổ đề Tồn N > cho với ε > , ≤ θ ≤ T ε-nghiệm (σ, f, g, y) (1) đoạn [−r, θ], ta có ‖y‖ ([ , ],ℝ ) ≤ N Chứng minh Dễ thấy, y(t) ≔ ψ(0) + ( ) ∫ (t − s) [f(s) + g(s)]ds, f(s) ∈ F σ(s), y ( ) y(t) = ψ(t), t ∈ [−r, 0] Nhờ (2), ta có ‖y(t)‖ ≤ |ψ(0)| + (t − s) Γ(q) α+1+α y ( ) ds , ≤ t ≤ θ Đặt w(t) = sup{‖y(s)‖: −r ≤ s ≤ t} Theo bất đẳng thức định nghĩa hàm w, ta w(t) ≤ ‖ψ‖ + α+1 α (t − s) + Γ(q + 1) Γ(q) w(s)ds Suy w(t) ≤ ‖ψ‖ + α+1 Kα α+1 ‖ψ‖ + + Γ(q + 1) Γ(q) Γ(q + 1) (t − s) ds α+1 KαT α+1 ‖ψ‖ + + ≔ N, ∀t ∈ [0, θ] Γ(q + 1) Γ(q + 1) Γ(q + 1) ≤ N ≤ ‖ψ‖ + Vậy ‖y‖ ([ , ],ℝ )  Mệnh đề 10 Cho ε ∈ (0,1), ≤ θ ≤ T (σ, f, g, y) ε −nghiệm đoạn [−r, θ] (1) Nếu cặp D y; F(θ, y ) tiếp xúc với [0, T] × K (θ, y ) ∈ [0, T] × K tồn δ > mở rộng (σ , f , g , z) (σ, f, g, y) ε −nghiệm (1) [−r; θ + δ] Chứng minh Theo mệnh đề 6, tồn h ∈ (0, ε) v ∈ F(θ, y ), p ∈ ℝ , |p| < ε cho h (v + p) ∈ Ω (4) Γ(q + 1) Khi tồn δ = h > cho z xác định [−r; θ + δ] định (t − θ) (v + p), t ∈ [θ; θ + δ] z(t) = y(θ) + Φ θ; D y (t − θ) + Γ(q + 1) z(t) = y(t), t ∈ [−r, θ] ε −nghiệm Dễ thấy (v) thỏa mãn Với σ (t) = θ, g (t) = p, f (t) = v [θ; θ + δ] (i), (ii) thỏa mãn Vì y ε −nghiệm đoạn [−r, θ] (1) , ta có z σ(t) = y(θ) ∈ Ω y(θ) + Φ θ; D y (h) + Theo (4) ta có z(θ + δ) = y(θ) + Φ θ; D y (h) + ( ) (5) (v + p) ∈ Ω Do (iii) thỏa mãn Vì y ε −nghiệm đoạn [−r, θ] (1), nên tồn hàm không giảm σ: [0, θ] → [0, θ], hàm khả tích g: [0, θ] → ℝ phép chọn đo f (t) ∈ F σ(t), y ( ) cho y(t) = y(0) + (t − s) Γ(q) với t ∈ [0, θ] Suy D y(t) = f (t) + g(t) với t ∈ [0, θ] Theo (5) ta có [(t − s) z(t) = y(θ) + Γ(q) + (t − s) Γ(q) [f (s) + g(s)]ds − (θ − s) ]D y(s)ds [f (s) + g(s)]ds Hơn nữa, y(θ) = y(0) + Γ(q) (θ − s) D y(s)ds Nên z(t) = y(0) + Γ(q) (t − s) = y(0) + Γ(q) = z(0) + (t − s) Γ(q) (t − s) D y(s)ds + (t − s) Γ(q) [f (s) + g(s)]ds + (t − s) Γ(q) [f (s) + g(s)]ds [f (s) + g(s)]ds [f (s) + g(s)]ds Ta kết thúc chứng minh  Ta đặt ℳ = {(θ, ϕ) ∈ I × K : ∀ ε > 0, ∃ ε − nghiệm (σ, f, g, y) đoạn [0, θ], y = ϕ} Giả sử ψ, F(0, ψ) tiếp xúc với I × K (0, ψ) ∈ I × K Khi theo mệnh đề 6, ta có ℳ ≠ ∅ Định nghĩa 11 Bao hàm thức (1) thỏa điều kiện tiếp xúc (θ, ϕ) ∈ ℳ với ε > 0, cặp D y; F(θ, y ) tiếp xúc với I × K (θ, y ) ∈ I × K , (σ, f, g, y) ε −nghiệm đoạn [0, θ] Bổ đề 12 (Định lý Brezis-Browder) Cho 𝒮 tập khác rỗng, ≼ quan hệ thứ tự 𝒮 ℳ: 𝒮 → ℝ ∪ {+∞} ánh xạ Giả sử (i) Với dãy tăng (ξ ) ⊂ 𝒮, tồn η ∈ 𝒮 cho ξ ≼ η, với k ∈ ℕ; (ii) ℳ hàm tăng Khi với ξ ∈ 𝒮 tồn phần tử ℳ − tối đại ξ̅ ∈ 𝒮 thỏa mãn ξ ≼ ξ̅ Bổ đề 13 Giả sử ψ, F(0, ψ) tiếp xúc với I × K (0, ψ) ∈ I × K (1) tiếp xúc (θ, ϕ) ∈ ℳ Khi đó, với ε ∈ (0,1), tồn ε −nghiệm (σ, f, g, x) xác định toàn đoạn [−r, T] Chứng minh Cố định ε ∈ (0,1) Gọi 𝒮 tập tất ε-nghiệm (1) đoạn [0, c] với c ∈ [0, T] Trên 𝒮 ta định nghĩa quan hệ thứ tự “ ≼ ” sau: (σ , f , g , x ) ≼ (σ , f , g , x ) [0, c ] ⊆ [0, c ] hai ε-nghiệm trùng giao hai đoạn Với (σ , f , g , x ) dãy tăng xác định [0, c ], đặt c ∗ = lim c Dễ thấy, c ∗ ∈ → [0, T] Ta chứng minh lim x (c ) tồn Với m, k ∈ ℕ, m ≤ k, ta có → σ (s) = σ (s), g (s) = g (s) x (s) = x (s), f (s) = f (s) với s ∈ [0, c ] Hơn nữa, c − ε ≤ σ (c ) ≤ c Với m ∈ ℕ, x (t) ≔ ψ(0) + f (s) ∈ F σ (s), (x ) Theo bổ đề 9, ta có (t − s) Γ(q) ( ) ‖x ‖ [f (s) + g(s)]ds, x (t) = ψ(t), t ∈ [−r, 0] ([ , ],ℝ ) ≤N (6) Điều nghĩa (x ) ( ) ≤ N, ∀s ∈ [0, c ] Vì ‖F(t, v)‖ ≤ α(1 + ‖v‖ ), ∀v ∈ C nên F σ (s), (x ) ( ) ∗ ≤ α(1 + N) ≔ M, ∀s ∈ [0, c ] Ta có: ‖x (c ) − x (c )‖ = Γ(q) (c − s) = Γ(q) [(c − s) + ∙ [f (s) + g(s)]ds − − (c − s) (c − s) (c − s) ∙ [f (s) + g(s)]ds ][f (s) + g(s)]ds ∙ [f (s) + g(s)]ds 10 ≤ M+ε ∙ Γ(q) [(c − s) = M+ε ∙ Γ(q) (c − s) − (c − s) ]ds + (c − s) ds − (c − s) ds ds M+ε ∙ |(c ) − (c ) | Γ(q + 1) với k, m ∈ ℕ Do lim c = c ∗ , nên lim (c ) = (c ∗ ) = → → Khi |(c ) − (c ) | ≤ ( ) ε hay ‖x (c ) − x (c )‖ ≤ ε Vậy lim x (c ) tồn → Mặt khác x (c ) ∈ Ω Ω tập đóng, nên lim x (c ) ∈ Ω → Dễ thấy hàm tập {σ : m ∈ ℕ} hàm không giảm, nhận giá trị [0, c ∗ ] thỏa mãn σ (c ) ≤ σ (c ) với m, k ∈ ℕ, m ≤ k Do lim σ (c ) tồn thuộc đoạn → [0, c ∗ ] Xét (σ∗ , g ∗ , x ∗ , f ∗ ): [0, c ∗ ] → [0, c ∗ ] × ℝ × ℝ × ℝ xác định sau: σ (t) với t ∈ [0, c ], m ∈ ℕ, σ∗ (t) = lim σ (c ) với t = c ∗ , (7) → g (t) với t ∈ [0, c ], m ∈ ℕ, với t = c ∗ , x (t) với t ∈ [0, c ], m ∈ ℕ, x ∗ (t) = lim x (c ) với t = c ∗ g ∗ (t) = (8) (9) → f (t) với t ∈ [0, c ], m ∈ ℕ, (10) η∗ với t = c ∗ η∗ phần tử cố định thuộc F(c ∗ , x ∗ (σ∗ (c ∗ ))) Dễ thấy (σ∗ , f ∗ , g ∗ , x ∗ ) ε-nghiệm (σ , f , g , x ) ≼ (σ∗ , f ∗ , g ∗ , x ∗ ) với m ∈ ℕ Ta định nghĩa hàm ℳ: 𝒮 → ℝ ∪ {+∞} sau: ℳ (σ, f, g, x) = c, (σ, f, g, x) xác định [0, c] Theo định lý Brezis-Browder, 𝒮 có phần tử ℳ- tối đại σ, f,̅ g, x xác định [0, c], nghĩa với σ, f, g, x ∈ 𝒮 xác định [0, c] ta có σ, f, g, x ≼ σ, f,̅ g, x f ∗ (t) = ℳ σ, f,̅ g, x =ℳ σ, f, g, x Tức là c = c Theo mệnh đề 10, ta c = T Vậy ta xây dựng ε −nghiệm xác định toàn đoạn [0, T] ∎ 2.3 Nghiệm viable Trước đến định lí chính, cần kết sau Định nghĩa 14 Một tập G ⊂ L ([0, T], ℝ ) gọi khả tích với ε > 0, tồn δ > cho ‖f(t)‖ dt < ε với tập đo E ⊂ [0, T], có độ đo Lebesgue nhỏ δ f ∈ G 11 Ta cần Định lý Dunford-Pettis sau Định lý 15 ([18, Định lý 1.3.7]) G ⊂ L ([0, T], ℝ ) compact yếu G khả tích Định lý 16 Nếu (2) thỏa mãn, ψ, F(0, ψ) tiếp xúc với I × K (0, ψ) ∈ I × K (1) thỏa điều kiện tiếp xúc (θ, ϕ) ∈ I × K K viable Chứng minh Lấy (ε ) ∈ℕ dãy giảm cho ε ∈ (0, 1), lim ε = (σ , f , g , x ) ∈ℕ dãy ε → nghiệm xác định khoảng [0, T] Từ (i) (ii) ta hội tụ [0, T]: lim σ (t) = t, (11) lim g (t) = (12) → → Theo kết bổ đề 9, dãy (x ) ∈ℕ bị chặn [0, T] Hơn nữa, với ≤ t ≤ t , f (s) ∈ F σ (s), x σ (s) , ta có ‖x (t ) − x (t )‖ = ‖x (t ) − ψ(0) − x (t ) + ψ(0)‖ = Γ(q) (t − s) = Γ(q) [(t − s) − ∙ [f (s) + g(s)]ds − − (t − s) (t − s) ∙ [f (s) + g(s)]ds M+ε ∙ Γ(q) ≤ M+1 ∙ |(t ) − (t ) + 2(t − t ) | Γ(q + 1) ≤ M+1 ∙ 3(t − t ) < ε Γ(q + 1) Suy |t − t | ≤ δ = − (t − s) ( ( ∙ [f (s) + g (s)]ds ] ∙ [f (s) + g (s)]ds ≤ [(t − s) (t − s) ) ) ]ds + Do dãy (x ) (t − s) ∈ℕ ds đẳng liên tục [0, T] Vì dãy (x ) ∈ℕ bị chặn đẳng liên tục nên có dãy hội tụ theo định lý Arzelà– Ascoli Suy x hội tụ [0, T] hàm x: [0, T] → ℝ Vì (x ) ∈ℕ đẳng liên tục theo (11) ta có lim x σ (t) = x(t) → Do x(t) ∈ Ω với t ∈ [0, T] (do Ω tập đóng, x σ (t) ∈ Ω, x (T) ∈ Ω) Vì (x ) ∈ℕ bị chặn [0, T] (2), ta {f } khả tích L ([0, T], ℝ ) Theo Định lý 15, tồn dãy mà ta kí hiệu {f } hội tụ yếu L ([0, T], ℝ ) hàm f ∈ L ([0, T], ℝ ) Theo bổ đề Mazur, tồn λ ≥ 0, i = n, … , k(n), cho ∑ ( ) λ = dãy 12 ( ) h ≔ λ f hội tụ hàm f L ([0, T], ℝ ) Vậy tồn dãy h hội tụ hầu khắp nơi hàm f Do với t ∈ [0, T], ta có lim → (t − s) h (s)ds = (t − s) f(s)ds Vì (x ) hội tụ x nên với t ∈ [0, T] ta có x(t) = lim λ x (t) = lim ψ(0) + (t − s) Γ(q) → → = ψ(0) + (t − s) Γ(q) λ f (s) + λ g (s) ds f(s)ds Đặt x(t) = ψ(t), ∀t ∈ [−r, 0] Để kết thúc chứng minh, ta cần f(s) ∈ F(s, x ) hầu khắp nơi với s ∈ [0, T] Lấy E nửa không gian mở ℝ chứa F(s, x ) Vì (x ) hội tụ [0, T] x lim σ (s) = s, ta có (x ) ( ) hội tụ x C → Do F nửa liên tục (s, x ), tồn k(E) thuộc ℕ, cho F σ (s), (x ) ( ) ⊂ E với k ≥ k(E) Vì f (s) ∈ F σ (s), (x ) ( ) , với k ∈ ℕ hầu khắp nơi s ∈ [0; T], ta có h (s) ∈ co ∪ ( ) F σ (s), (x ) ( ) với j ∈ ℕ n ≥ k(E) Cho j → ∞ khẳng định ta f(s) ∈ E Vì F(s, x ) đóng lồi nên F(s, x ) giao tất nửa khơng gian đóng chứa Vì E tùy ý nên ta có f(s) ∈ F(s, x ) hầu khắp nơi với s ∈ [0, T] ∎ 13 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, chúng tơi kế thừa lược đồ có để xem xét tính chất viable cho bao hàm thức vi phân bậc khơng ngun có chứa đối số lệch Những kết trình bày khóa luận bao gồm  Chúng thiết lập điều kiện tiếp xúc phù hợp với cấu trúc toán  Đề xuất khái niệm ϵ − nghiệm áp dụng để chứng minh tồn nghiệm viable Trên sở kết có, để kết thúc, chúng tơi nêu số vấn đề nghiên cứu hay mở rộng:  Xét toán có chứa tốn tử Au(t)  Xét tốn có chứa yếu tố ngẫu nhiên 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S Zhang, "Monotone iterative method for initial value problem involving Riemann– Liouville fractional derivatives," Nonlinear Analysis, Vol 71, No 5-6, pp 2087-2093, 2009 [2] B Bonilla, M Rivero, L Rodriguez-Germá and J.J Trujillo, "Fractional differential equations as alternative models to nonlinear differential equations," Applied Mathematics and Computation Vol 187, No 1, pp 79–88, 2007 [3] N Kosmatov, "Integral equations and initial value problems for nonlinear differential equations of fractional order," Nonlinear Analysis, Vol 70, No 7, pp 2521-2529, 2009 [4] R.P Agarwal, V Lakshmikantham and J.J Nieto, "On the concept of solution for fractional differential equations with uncertainty," Nonlinear Analysis, Vol 72, No 6, pp 2859-2862, 2010 [5] Y.F Luchko, M Rivero, J.J Trujillo and M.P Velasco, "Fractional models, nonlocality, and complex systems," Computers & Mathematics with Applications, Vol 59, No 3, pp 1048-1056, 2010 [6] Z Wei, Q Li and J Che, "Initial value problems for fractional differential equations involving Riemann–Liouville sequential fractional derivative," Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 367, No 1, pp 260-272, 2010 [7] K Diethelm, The Analysis of Fractional Differential Equations Berlin: Springer, 2010 [8] K Diethelm and N.J Ford, "Analysis of Fractional Differential Equations," Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 265, No 2, pp 229-248, 2002 [9] M Nagumo, "Uber die lage der intergralkurven gewöhnlicher differentialgleichungen", Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan, Vol 24, pp 551-559, 1942 [10] J P Aubin, A.M Bayen and P Saint-Pierre, Viability Theory: New Directions Berlin, Heidelberg: Springer, 2011 [11] O Carja, T Donchev, M Rafaqat and R Ahmed, "Viability of fractional differential inclusions," Applied Mathematics Letters, Vol 38, pp 48–51, 2014 [12] E Girejko, D Mozyrska and M Wyrwas, "A sufficient condition of viability for fractional differential equations with the Caputo derivative," Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 381, No 1, pp 146-154, 2011 [13] D Mozyrska, E Girejko and M Wyrwas, "A necessary condition of viability for fractional differential equations with initialization," Computers & Mathematics with Applications, Vol 62, No 9, pp 3642-3647, 2011 [14] J Vasundgaradevi and V Lakshmikantham, "Nonsmooth analysis and fractional differential equations," Nonlinear Analysis, Vol 70, No 12, pp 4151-4157, 2009 15 [15] E Girejko, "Viability of differential inclusions with fractional derivative without singular kernel," Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol 41, No 17, pp 7141-7146, 2018 [16] Y Zhou and L Peng, "Topological properties of solution sets for partial functional evolution inclusions," Comptes Rendus Mathematique, Vol 355, No 1, pp 45-64, 2016 [17] D Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations New York: Springer, 1981 [18] O Carja, O Necula and Ioan I Vrabie, Viability, invariance and application (NorthHolland Mathematics Studies) Amsterdam: Elsevier, 2007 16