Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Nghiệm renormalized cho phương trình parabolic phi tuyến trong không gian musielak - orlicz tổng quát với hàm dữ liệu thô

Sự tồn tai nghiệm renormalized cho phương trình parabolic liên kết với khống gian loại Orlicz cũng đã được xem xét trong [19, 3], liên kết với không gian loại L°% được xem xét trong [11]

"TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA “TOÁN - TIN HỌC

TP HÒ CHÍ MINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

CHUYÊN NGÀNH GIẢI TÍCH

Tên dé tài: NGHIEM RENORMALIZED CHO PHƯƠNG

TRINH PARABOLIC PHI TUYEN TRONG KHONG GIAN

MUSIELAK - ORLICZ TONG QUAT

VGI HAM DU LIEU THO

Giang viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Trọng

Sinh viên thực hiện: Huynh Cao Trường

Mã số sinh viên: 44.01.101.040

Thành phố Hồ Chí Minh - Tháng 4 năm 2022

Ki thuật độ do Young 2 ee ee eee

Gidi thiéu bai toan

2 Nghiêm yếu của bài toán dữ liệu bi chặn

21

2.2

2.3

Cong thức tích phan từng phần Ồ

Bài toán chnhhóa CO Le cv.

Su tồn tại nghiệm yếu của bài toán với hàm dit liêu bị chặn

2.3.2 PhanlI en

23.3 Phan TID 02.2 0 0 2.0 20000048

3 Sự tốn tại nghiệm Renormalized

3.1 Tinh ấn định theo day

Mở đầu

Cho 2 là miễn bị chan trên RY (N > 1) với biên dQ (if N > 3) Đầu tiên, chúng ta

thảo luận về lí đo xuất biện khái niệm nghiệm renormalized cho phương trình

~=div([Vu|ˆ-°Vu} = f in 9,

(Pf) mm on dQ

Trong trường hợp 1 < p < co và f € IV~*!?(Q), từ định lí Minty-Browder ta

thấy tén tai duy nhất nghiêm u € H?{Q) của © theo nghĩa phân bố Tuy nhiên khi

L<p< X và dữ lieu f € L'(Q), chúng ta khơng thể mong đợi rằng € W)}?{Q).

That vậy, giả sử rằng với mỗi ƒ € L'(Q), tốn tại u € H2}?{Q@) là nghiêm của bài tốn

(P fƒ) Vì u € M2)'?{Q@) nẽn ta cĩ

— div(|Vul’-?Vu) € Wo")

Do đĩ ƒ é Wo''(Q) Như vậy, L1(Ð) C IV~!#(Q) Bởi đối ngẫu, điều này cho ta,

W3"(Q) C L*(Q) Theo định lí nhúng Sobolev, ta thấy điểu này khơng đúng nếu

l<p<Ậ.

Giả sử 1 < p < 2 và tổn tại « © IW{O) là nghiệm yếu của (P,ƒ) Khi đĩ

|Vul’-*Vu € (4e) Vậy —div(|Vu|*-?Vu) € W-l!1/0-H(Q), Và do đĩ,

LQ) C W-E¥@-D(0) Nhờ đối ngẫu, điểu này dẫn đến Wo?!) c z^®(@) Bởi

phép nhúng Sobolev, điều này đúng nếu p > 2— 1/N Do đĩ ta khơng thé mong doi bài

tốn (P, ƒ) cĩ nghiệm u € Wi? (Q) khi 1 <p<2-1/N và f € L'(Q) Trong trường

hợp p > 2 — 1/V, sự tồn tại nghiêm phan bố œ của (P, ƒ) trên khơng gian

LJ wera)

đã được chứng minh trong [5] Như đã được chứng minh trong [30, 27], nghiệm phan

bố u cĩ thé khơng duy nhất Như vậy ta cần một khái niêm nghiệm mới và với nghiêm

này ta hi vọng thu được cả tính duy nhất nghiệm Khái niệm nghiệm renormalized

được giới thiệu trong [28] và phát triển bởi các tác giả [21, 23] đã giải quyết được yêu

3

cầu trén Dé đưa ra khái niệm nghiêm renormalized, họ đã dé xuất việc xem xét hàm

chặt cụt 7¡{œ) và thay vì làm việc với Ve, ho làm việc với VTi(u) Sau đó, Maso và

các cong sự [22] đã tổng quát kết quả về nghiệm renormalized cho trường hợp ƒ là độ

do Radon.

Su tổn tại va duy nhất nghiệm renormalized cho bai toán parabolic

tuy = divA (t,2, Vu) = f € LÌ(Ôr) trên Qp

u- trên (0,77) x 02 (1)

u{O,-) = up trên 2

trong đó f € L*((0,7) x @),ưọ € U1(Q) va A tăng trudng đa thức, đã được chứng

minh trong [6] Từ đó, chủ dé nghiêm renormalized cho phương trình parabolic được

nghiên cứu sôi nổi (xem j7, 2, 8, 1, 15, 16, 29, 25, 26, 20, 10]).

Sự tồn tai nghiệm renormalized cho phương trình parabolic liên kết với khống gian

loại Orlicz cũng đã được xem xét trong [19, 3], liên kết với không gian loại L°%) được

xem xét trong [11], liên kết với không gian loại Musielak-Orlicz (viết tắt là M-O) trong

[18, 12, 13).

Cho là một tập mé bj chan trong R? với biên AQ là biên Lipschitz khi d > 2; cho

[ T] là khoảng hữu han của biến thời gian và Oz = (0,7) x 2 Ta quan tam đến sự

tốn tai nghiêm Renormalized cho bài toán Parabolic phi tuyến sau đây:

Ou — divA (+, Vu) = f € LÌ(Or}) trén

Qy-u=0 trên (0,7) x dQ (2)

ul(O,2) = uy € LY{Q) trén 2

với f € LÌ(Or) va uy € L' Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ làm việc trên không gian không

gian M-O có thé khong phản xa

Trường hop A = a{z, Vu) không phụ thuộc vào biển thời gian, su tốn tại nghiêm

renormalized đã được xây dựng trong [18] Như vậy, chúng tôi mở rộng kết quả của

[18] cho trường hợp A(t,u, Vu) Chúng tôi đưa ra dinh lí chính về sự tổn tại nghiêm

Renormalized (xem Dinh Ii 3.2.1) Dé làm điền đó chúng ta tôi cần xây dung mốt số

kết quả quan trọng cho nghiệm của bài toán với dữ liệu bị chan (xem Ménh dé 2.3.2).

Những công cu quan trọng được sử đụng có thể kể đến: phương pháp hàm chặt cụt

(Truncation function), kĩ thuật độ đo Young, công thức tích phan từng phan cho không,

gian M-O không phan xa Tính duy nhất nghiêm sẽ được xem xét trong tương lai

Noi dung trên cắu thành khóa luận của chúng tôi với tên gọi

NGHIEM RENORMALIZED CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI

4

TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN MUSIELAK - ORLICZ TONG QUÁT

VỚI HAM DU LIEU THÔ.

Cau trúc của khóa luận bao gồm phan mở dau, gidi thiêu bai toán va một số kiến

thức chuẩn bị, hai chương chính, kết luận, và tài liệu tham khảo Cu thể được tóm tất

nhit sau:

+ Chương | giới thiệu bài toán, kết quả chính và kiến thức chuẩn bị

+ Chương 2 trình bày công thức tích phân từng phan trên không gian M-O không

phản xa và ứng dung để xây dựng su tồn tại cũng như các đánh giá cho nghiêm

véu của bài toán với dữ liệu bị chặn

+ Chương 3 đành cho việc chứng minh định If chính về sự tổn tại nghiêm

Renor-malized Chúng tôi sử dụng các kĩ thuật hội tụ độ đo Young cùng phương pháp

ta giới hạn vếu * để hoàn thành chứng mình

Cuối cùng, dé tiên theo dõi, chúng tdi lưu ý rằng trong khóa luận này, ta kí hiệu

R?ˆ\ bải E° và 1g là hàm đặc trưng của F Tắt cả các hằng số dương được kí hiệu

bởi C Giá trị của Œ có thể thay đối trên cùng một đồng hoặc từ đồng này sang đồng

khác.

Để có thể hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp này, tôi đã nhận được sự hướng

dan rat tan tam của thay Tiên Si Nguyễn Ngọc Trọng, giảng viên khoa Toán - Tin

học trường dai học Sư phạm Thành phé Hả Chi Minh Là những lin dau chập chững

tham gia làm nghiên cứu, dù đã cỗ gắng tham khảo nhiên tài liệu trong và ngoài nước

để chất lượng của bài khóa luận tốt hơn, tuy nhiên thiếu sót là diéu không thể tránh

khỏi Vì thế, những lời khuyến từ TS Nguyễn Ngọc Trong là võ cùng quý báu đối với

tôi Và tôi cũng rất sẵn sàng nhận được những góp ý tit người đọc để khóa luận này

ngày càng hoàn thiện hơn nữa.

Thanh phê Hỗ chí Minh, tháng 04 năm 2022

Sinh viên thực hiện

Huỳnh Cao Trường

on

Chương 1

Giới thiệu bài toán và một số kết

quả chuân bị

Trước hết, ta có một số kí hiệu dé thuận tiên hơn khi sử dung ở các phan tiếp theo

Với Np = (0.7) x 2, hàm u: Op > Rf và k > 0, ta kí hiệu {ful < (<, > > =)k}

là viết tắt cho tập hợp

{(t,+) EQ: |u(,+)| < (< >,>.=)k}

Với r € E kí hiệu h¿(r} là ánh xa từ R và R được định nghĩa bởi

hy) = min((f + 1 — |r|)f, 1)

1 Không gian Musielak-Orlicz

Ta sẽ viết tất không gian Musielak-Orlicz là không gian M-O Mục này được lẫy từ

[18, 12, 13, 14].

1.1.1 Dinh nghĩa

Trước hết ta có định nghĩa N-ham như sau:

Dinh nghĩa 1.1.1 (Í18, trang 6j) Cho © là tập mo bị chăn trên B® Hàm số M :

Q x BR? + Ry được gọi là V- hàm nếu nó thảa mãn các điều kiện sau:

6

1 M là hàm Carathéodory (tức là hàm đo được theo biến thứ nhat, liên tục theo

bién thứ hai), thỏa mãn M{x,€) = M{+, —€} h.k.n trên 2 và

Hàm liên hợp M* của N-ham M dược định nghĩa là:

Af”{z,£) = sup (€ - — M(z,n)) với € ER cen (1.3)

<8“

Ta có (M*)* = M.

Với Np = (0,7) x Q, ta có định nghĩa lớp ham M-O và không gian M-O như sau:

Dinh nghĩa 1.1.2 (18, trang 7j) Lop hàm M-O kí hiệu là £„;(QGr, %2), được định

nghĩa là tập hop tắt cả các hàm do được € : Up 4 B® théa man:

| Mix, €(#, 2) )dadt < oo.

Ngoài ra, ta kí hiệu Eạ/(Ôr, 32) là bao đóng của tap hợp tắt cả các hàm số đo được

và bị chăn trên Ø+ theo chuẩn Luxemburg |Ì-||q.

Ta nói m tăng trưởng nhanh hơn M nếu

M{s) ¬

ma Tis) —°

trong đó Bis) = esssupy esp le)—«} BUX,

€}-Ta nói M thỏa man điển kiện Ao nếu tồn tai ham ø khả tích, không am trên © vahằng số Ơ > 0 thỏa man:

Aí(+,2£) < CAM{(z,€) + ø(z} (1.5)

với mọi € € RY và h.k.n z € 9

1.1.2 Một số tính chat

Ta có

sup esssup M{x,€) <œ và sup esssup Àf*°{z,€) < %, (1.6)

SEB(0,R) — xeÐ £€ð(0/9 — req

với moi số thực j‡ > 0.

Hơn nữa, ta có

1 Lớp hàm M-O £„;(Ôz, 8?) là một tap lỗi và khong là không gian tuyến tính.

2: Ly {Qr, IR) Cc L!(0z, 89).

3 Không gian M-O Lạ;(Or.,E*) có thể không khả li cũng như không phản xa.

4 Không gian #a¿(Qr #'} là không gian tuyến tính lớn nhất thỏa mãn bao hàm

thức nghiêm ngặt #ạ/(Or, 34) € Las (Qe, B®) S Lạy(Or, IE*®)

5 Khong gian E¿/(Ôr, BR?) khả li và Œ?°(Oz, E2) trù mặt trong E¿;(Ôr, E9)

6 Không gian liên hợp của không gian E„/(Oz, R9) là không gian L„;-(9+,8'9.

nghĩa là (Ea/(Oz,K!))” = Ly (Or, R4) Do đó, topo yếu * trên Ly (Qr, R4) và Lyg-(Q7, R°) được hiểu là (Lạy, By-} và o(Lyy-, Esy) tương ứng.

„ Khi ra tăng trưởng nhanh hon M ta có

8

9 Nếu M € Ag thì EZa/(O+,E#) = Lay(Qp, R*) = Lyy{Np, E2) Khi đó Lạy(Oz, #4)

khả lì.

10 Nếu Mf, M* € Ag thì Lag{Qr, R4} phan xa.

Mệnh dé 1.1.4 Nếu M là N-ham và M* là ham liên hop với M thì bắt đẳng thức

Fenchel - Young sau được thỏa man:

la - b| < M{(z, a) + M*(x,b) với mọi a,b e BR? và h.k.n z e 9 (1.7)

Ngoài ra, bat đẳng thức Holder tổng quát cũng được thỏa mãn:

£-7 dxdt

Qe

< 2|l£ll,„ llellay với E € Lạy(Oz,IÉ*) vay € Lay-(Q7,R%) (18)

Tiếp theo, ta sẽ định nghĩa sự hội tu modular của một day hàm trong không gian

Ta kí hiện sự hội tụ modular trong Lys(Q7,R%) như sau €? t, &.

Nhận xét 1.1.6 Cho 72 C Ly (Qty, B4) và ton tại số C > 0 sao cho

| M(x, €)dadt < Œ

Qr

với moi € € D Khi đá D bị chan trong Lu(Gr, R") với chuẩn Luxemburg ||-|| M

9

Các bổ đề, ménh dé sau liên quan đến sư hối tu và khả tích của các day hàm trong

không gian M-O.

Bồ đề 1.1.7 Cho {f„}a C Lu(Or,R') và {in} C Lage (pr E2) Giá sử rằng &, “oo

Ệ và tn _—— nụ Khi dé

lim €a.adzdt = E.ndxat.

noo Jo, Oy

Dinh nghĩa 1.1.8 Ta nói dãy hàm (fx}¿ C L'{Qr,R4) là kha tích đều nén

lim sup | /2(t,+) dadt | =0

Ree Lm {+ rtxlIzR}

Bồ đề 1.1.9 Cho © : Oy — R* là một day các hàm do được Khi dé, £? —— € trong

Lay(Qy #4) khi j + œ (hội tụ modular} khi và chỉ khi €* — € theo độ do và tồn tại

À > 0 sao cho day hàm {M{-,À£? ae kha tích đền, nghĩa là

lim sup Í M{z,A£!') dzdt | = 0

Re \ a J{(zì:|M(x,Ae)I>R}

Bồ dé 1.1.10 Cho M là N-ham thỏa mãn

lim ess inf M(z, §) =

|£l~»~ zen |£| LP ©)

và với mọi j € Ñ ta giả thiết rằng Í M(x, 2’) drdt < c Khi dó dãy hàm {2*}°, kha

Ny

tich déu

Dinh ly 1.1.11 (Dunford-Pettis) Day (fa}n C L'(, 8°) là khả tích đều khi và chỉ

khi né là compact tương đối theo topo yếu

2 Hội tụ biting

Mục này được lẫy từ {18, 12, 13, 14, 24)

Định nghĩa 1.2.1 Cho dãy {f,}, C LÌ(Or) và ƒ € LÌ(Gr) Ta nói day {f,}, hội ta

biting đến ƒ trên L'(Qy) (kí hiệu bởi fr Sy f) nếu tồn tại một day {Ey}, các tập do

được của Đr sao cho lim |E¿| = 0 và với mọi k ta có ƒa — ƒ trên L1(Or \ Ex).

-Ằ

Bồ dé 1.2.2 (Chacon’s biting lemma) Giả sử diy {fa}, bị chan đều trên LÌ(QGr).

Khi dé tén tai f € L'{Qr) sap cho f, +, f.

10

Bồ dé 1.2.3 Cho {ƒfa}„ C LÌ(Or) và f(z) > 0 với mọi n € N và h.k.n z € Qy Hon

nữa, giả sử f, 3 ƒ và

lim sup fadrdt < fdrdt.

nw œ fy

Khi đó fy, + ƒ trên L{Oy) khi n — 00.

Bồ đề 1.2.4 Cho {fa}, C L!(Or) và fo € LI(Or) sao cho f, (t,x) > — fa(f,+) h.k.n

trên r Gia sử f, —> ƒ và

lim sup đadzdt < | ƒdrdt.

nà Ry Qy

Khi đó ƒ„ as ƒ trên LQ;) khi n 3 00.

3 Ki thuật độ đo Young

Mục này được lấy từ [12, 13, 14, 24]

Cho Z c RY Mat day {€v}, các hàm đo được & : Z 4 RY được gọi là tightness

nến

im sup |{z : |@(z)| > R)| = 0

]

lì*x kẹN

Độ do Borel có dẫu £ trên RY được gọi là độ đo Radon có dẫu néu:

e Với mọi z € RŸ, tôn tại một lân cận U của z mà p{U) € RB

e Với mọi tập con mở LU’, g(U) là sup của pCi) với K chạy trên tat ca các tap con

compact của U.

Ta kí hiện C.(R*) là không gian các ham liên tục có giá compact Không gian độ do

Radon có dau M({R”) với biến phan toàn phan hữu han là đối ngắu của Œ.(R*) với

tích đối ngau

ụựJ)ì = | ân

RY

Ánh xa : Z 4 RY được gọi là do được yếu * nếu hàm số x + (yp, ƒ} là do được

với mọi ƒ € C.(IRY) Ta thường viết pe, thay vì #(z}

Dinh lý 1.3.1 (Định lí cơ ban của độ do Young) Cho day {&.};, các hàm do được

&( : Z + BR Khi đó tồn tại một day con {€¿v} và một họ các hàm do được yếu *

v,: Z — JM(R*) thỏa man:

1]

(i) tx > 0,||0:|x„yœx› := [ dv, < 1 với mọi z € Z.

(iii) Nếu K CRY compact và dist(E;¿, K) > 0 theo độ do thì suppe C É.

Cv) lle: || y„„wị = 1 với h.k.n z € Z nếu và chỉ néu điều kiện tightness được thỏa man

(v) Nếu điều kiện tightness được thỏa man, A C Z là đo được, ƒ € C(R”) va

{ƒ($;„)} là compact yếu tương đối trên L4) thì

wa

{,x) > fF trên L(A)

va

f(z) = Ặ ƒ(A)de;(A).

Ho các ánh xạ vz: Z —> I(R*Y) dược gọi là dé do Young sinh bởi {$;‹}

Bồ dé 1.3.2 (24, Hệ quả 3.3) Cho dãy ánh xạ do được & : Z 4 RTM sinh ra độ do

Young v Cho ƒ : Z x RN — B là hàm Carathéodory (đo được theo biến thứ nhất và

liên tục theo biển thứ hai) và phan am (ƒ(z,£„(z]))_ là compact vễu tương đỗi trênLì(Z} Khi đó

ko

timint Ệ /(e.6(2)dz > f Ls f{z À)du;dr.

Nếu ta giả sử thêm day các ánh xạ + => |ƒ|(+ €¿(z}) là compact tương dối yếu trên

4 Giới thiệu bài toán

Trong phan này ta sẽ phát biểu phương trình Parabolic phi tuyến và các điều kiên của

các hầm xuất hiện trong phương trình từ đó dan tới khái niệm nghiệm Renormalized

tương ứng.

12

Cho © là một tập mở bị chăn trong #2 với biên dQ là biên Lipschitz khi d > 2: cho[0.7] là khoảng hữu han của biến thời gian và Ny = (0,7) x Ø Ta quan tâm dén sự

tốn tại nghiêm Renormalized cho bài toán Parabolic phi tuyến sau day:

Ø,u = divA (t,z, Vu) = f € LÌ(Oz) trên Ôr

tr — trên (0,7) x AQ (1.9)

u{0, 2) = up € L*(Q) trên 2

với ƒ € LÌ(Qr) và uy € LQ) Cu thể hon, chúng tdi sẽ làm việc trên khong gian

không gian M-O có thể không phản xa.

Mot số giả thiết về ánh xạ A: Ôr x RY = R?:

(AI): A(f.z, z) là hàm Carathéodory, tức là đo được theo bién (‡,#) € Np và liên tục

theo biến z € R* Hơn nữa, A(t, 2,0) = 0 với hau hết (†, z) € Ör.

(A2): Tén tại V- hàm Af: Q x R4 + #°, một hằng số e € (0, 1] thỏa mãn "Điều kiện

(M1): (Điều kiện cưỡng bức cho M) tổn tai cy > Ú, > 0 và & € R* thỏa mãn

với h.k.n z € Q và mọi £ € RY JE] > |£a|

Với k > 0, hàm chặt cụt (truncation function}:

—k néur< =È

T: RoR, T:=<r nếu |r| < &

ke nếu y > È

Dua vào j4, Bồ đề 2.1), với mỗi w € WƑ*1(Q), khi đó tốn tại ít nhất một ham do được

By: — R® sao cho

V (Tile) = 1ụ„-œZ4 h-K.n trong 9, với mỗi £ > 0,

Ta gọi Z, là gradient suy rộng uv Lam dung kí hiện, ta thường viết Vu thay cho Z,

Ta có định nghĩa nghiệm Renormalized cho bài toán (1.9) như sau:

Định nghĩa 1.4.1 Với f € )(Or),wạ € LÌ(O), ta nói ham số w là nghiệm

Renor-malized cho phương trình (1.9) nếu các điều kiện sau được thỏa man:

(R1): u : Qạ — RK đo được và với mỗi & > 0, ta có T4(u) € 1!**{0,7;M)??“(Q)), VT¡() €

Ly {Qr, BR) và

A(t, z, VTi(u)) € Lage {Qr, RE).

(R2): Với mọi h € C}Ì(R) va mọi ¿ € C2([0,T),Q), ta có:

= | Ove (7 Moy) dxdt + (A(t 2, V)) - V(h(u)z)dzdt

Lge (Qạ, BY) = (Ens (Qr, K*))".

e Vì \ƒ*° € Ag nên Eay-(Or, R4} = Lyy-(Qp, BR) = Lay-(Q4p, R2) va Lae (+, R2)

kha li Khi đá topo yếu * o{ Lay, E-) trên Lay (Qy, RB) chính là (Las, Lay)

oQơœ

-14

Chương 2

Nghiệm yếu của bài toán dữ liệu bị

chặn

1 Công thức tích phân từng phần

Dinh nghĩa 2.1.1 Với C£ (0,7) x ©} là không gian các hàm kha vi võ hạn lan có

giá compact trong [0, T} x ©, ta định nghĩa không gian tuyến tính ? gồm tắt cả các

ham y € L},.(Qr) sao cho tốn tại {p;}52, C C?°((0,T) x 2) théa mãn các điều kiện

ey) bự trên LTM(Qy).

Chúng ta cin đến công thức tích phân từng phan sau đây

Bồ đề 2.1.2 (19, Bồ đề 4.1)) Giả sử M thỏa điều kiện (Mj), (M2), (M3) Cho

uw: Qp + là một hàm do được sao cho u € L*([0,T); LÌ(G)) và với mọi k > 0, ta cá

Tỳ(u) € ¥ Cho ug € LÌ(Q) thắa mãn uạ(x) = u(0,#+) với h.k.n x € 2 Hơn nữa, ta gia

sử rằng ton tại G) € Eyy-(Q7: RB), Go € L*(Gr:#*“) và Gz € L'(Q7) thỏa man

(u — up)O,Ededt = (Gy + Go) VEdadt + G3édadt, (2.1)

tự tự tự

với mọi € € C®(I0,7) x Q) Khi đó, ta có

| ( Mey) Ô,€d+dt = | (Ốn + G2).V(h(6)£)dzdt + G3h{ujfdadt, (2.2)

15

(i) với mọi h € IV*S{E), supp(h') compact và với mọi € € thỏa mãn &€ € L®(Qr},

hoặc

(ii) với mọi h € W**'S{(R), supp(l) compact, k(0) = 0 và với moi € € Œ®(Í0,7) x 8ì.

2 Bài toán chỉnh hóa

Trong [18, trang 10], các tac giả xây dựng được một N-ham m: Ry + Ry đối xứng

xuyên tâm (tức là tổn tại m: R —> R sao cho m(£) = TR(Í€Í)) tăng trưởng nhanh hơn

M và liên hợp m° của nó thỏa mãn điền kiện Ay Thêm nữa, nếu kí hiệu

Ao(f,2,€) := A(t,+,€) + O¥m(E) với mọi £ € Bế, s e # và h.k.n cen (2.4)

Ta thấy A¿(t,z.€).€ > @m(|€|) Từ (1.7) và tính lồi của ham m* ta có

Ag(t.2.£).€ > cM (x, €) + eM*(+, A(t, x, €)) + 8m(|£|] + ôm" (|Pme])

> 2c ( mdAts.9l ¬ 5° (WF n(e))) > 2cm’* (F1Actt.2.9)1)

Nhờ tính lỗi của hàm z°, ta có

|Aa(t,z.£)| < ð0n")”! (2m Pe) < 20m) (» Ze

là Cc c Cc

Ta đã kiểm tra được các giả thiết của [17, Định lí 2) được thỏa man, do đó ta có

kết qua san day

Bồ dé 2.2.1 Cho ƒ € L) (Qr} và up € L(Q) Khi đó với mỗi Ø € (0,1) van € Ñ, tồn

tại nghiệm yêu cho bài toán

Oyu? — divA¿{t.z, Vu) = T„(f) trên Q+

Hon nữa, đẳng thức nang lượng dược thỏa man:

: J (usr) d=! J (una)? dx + [ Ay (t.z Vu?) - Vụ? đái

Ta cần Bố dé quan trong sau đây

Bo đề 2.3.1 (9, Bổ dé 2.16) Cho A thỏa mãn (A1)-(A3) và M Ja N-hàm Giả sử

rằng tốn tại a € Lyy-(Qr, R' và € € Luy(Gr, RB“) sao cho

(a — A(t, x, 9)) {€ — n))(œ)dzdt > 0

ity

L7

với mọi n € LTM(Q,, B®) và vy € C®S(9), 0 < < 1.

Khi đó ta có: A(f,+,€} = aft, x) với h.k.n (f,2) € Xp.

Ta sẽ chứng minh sự tốn tại nghiệm yếu của bài toán với hàm dữ liện bị chan là

ham chat cut 7„(ƒ} và hàm ban dau là 7}(uạ) - bằng cách cho tham số Ø9 —+ 0 trong

bài toán (P, Ao} ở trên Day là kết quả của chương cũng như là mệnh dé quan trong

trong chứng minh của định lí chính

Mệnh đề 2.3.2 Gia sử các diéu kiện (A1-A3) và (MI-M3) được thỏa mãn Cho

f € LÌ(Or} và uy € LÌ(Q) Khi đá với mỗi n € N, tén tại nghiệm yếu cho bài toán

với Vin € Luy(Qr;°) và A (tox, Vưa) € Las thỏa man

- | uaÔ,¿drdt — | Unop{O)da + A (t,z, Vua} - Vụdzdt

- Ỉ Tl f\odrat

Qr

trong đó ¿ € C2 ((0,T) x Q).

Chứng minh Dé thuận tiện cho việc theo đõi và sử dung cho những phan tiếp theo,

ta chia chứng minh của Ménh dé 2.3.2 thành ba phan như sau:

với Q; = (0.7) x Ô.

Nhấc lại định nghĩa A¿(f.r.£} := A(t,z,£) + #Vm(€), từ đây ta có:

Ag(é,2, Vu) - Vu? drdt = | Aa(t,+, Vue) - Vu§ drdt

Qr

= (2.10)

+ of m(VuỆ) - Vai drdt

Q:

Theo điều kiện (A2), ta có

Aa(f,+, Vuổ) : Vu? >e ( (2, Yul) + M* (2A (.sv2))) (2.11)