Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Các không gian Rieman có độ cong hằng

Một trong các nội dung mà chúng tôi học tập được qua các tài liệu này là các không gian Rieman có độ cong hằng.. Được sự hướng dẫn của thấy chúng tôi chon để tài các không gian Rieman có

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HOC SU PHAM TP HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

Kk * x

LUAN VAN TOT NGHIEP

Dé tài :

ChE RÒNG GIAN RIEMAN GO

GVHD : TS Nguyễn Thái Sơn

SVTH : Bùi Đức Thu Thủy

LỚP : Toán 4C

Nién khóa : 1998 - 2002

TP HCM, 5/2002

Ait /Vbt Dia

rong chương trình đào tao 4 năm tại khoa Toán - Tin học trường DHSP

“2 HCM, chúng tôi có dịp được học tập và nghiên cứu về hình học vi

phân và chuyên để về lý thuyết đa tạp khả vi Bên cạnh đó chúng tôi

cũng có điều kiện tiếp xúc, đọc thêm một số tài liệu sâu hơn về các nội

dung trên Một trong các nội dung mà chúng tôi học tập được qua các tài liệu này

là các không gian Rieman có độ cong hằng Một số ví dụ cơ bản về các không

gian này có thể lấy là mặt phẳng, mặt cầu

Được sự hướng dẫn của thấy chúng tôi chon để tài các không gian Rieman

có độ cong hằng nhằm tổng quát hóa những kiến thức trước đây trong bậc đại học.

Bên cạnh đó, chúng tôi được dịp hiểu thêm về công trình mà nhà bác học thiên tài

Rieman đã xây dựng.

Becgac Rieman (1826 — 1866) sinh đúng vào năm mà tại trường Đại học Kadan, Lôbasepxki đọc báo cáo khai sinh cho môn hình học hypecbôlic Rieman

là một con người mà những cống hiến của ông đã có những ảnh hưởng quan trọng

đến toàn bộ sự phát triển của toán học.Ông là con của một linh mục ở nông thôn,

theo học ở trường Đại học Ghettinghen; ở đó năm 1851 ông được nhận bằng tiến

sĩ, đến năm 1859 ông trở thành giáo sư Vì bị bệnh tật, ông phải sang Y sống

những ngày cuối cùng và mất ở đó vào tuổi 40, trong khi còn hứa hẹn nhiều cống

hiến quan trọng Trong cuộc đời ngấn ngủi của mình, B, Rieman cho công bố một

số không nhiều các công trình tóan học, những công trình nào cũng quan trọng, và một số đã mở ra những phạm vi toán học hoàn toàn mới và ích lợi.

Trong thời gian tiến hành thực hiện để tài, một mặt chúng tôi củng cố các kiến thức đã học, mặt khác vận dụng những kiến thức đó vào việc tìm hiểu và

nắm vững được một số yêu cẩu của luận van.

Luận văn chúng tôi gồm có hai chương:

* Chương 1: trình bày các khái niệm cơ bản về tôpô vi phân và hình học vi phân , là phan mở rộng của chuyên để hình học năm thứ tư.

* Chương 2: trình bày về các không gian Rieman có độ cong hằng

và đi đến kết luân các không gian Rieman có độ cong hằng được chia làm ba loại:

* - Nếu độ cong hằng bằng 0 ta có hình học phẳng (hình hoc Ơclit)

* Nếu độ cong hằng bằng mg ta có hình hoc eliptic (hình học Rieman

nghĩa hẹp).

* Nếu độ cong hằng bằng = ta có hình học hyperbôlic (hình học

k?

Lôbasepxki).

Vì đây là lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học,điểu kiện thời gian

và nội dung tương đối khá trừu tượng so với các kiến thức đã học do đó các kết

quả mà chúng tôi trình bày trong bản luận văn này không tránh khỏi một số

khiếm khuyết nhất định Kính mong các thầy cô đọc và góp ý để chúng tôi có thể

hoàn thành bản luận văn này.

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thấy Nguyễn Thái Sơn đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ em trong suốt quátrình thực hiện và các thây cô đã tạo điều kiện cho em hoàn thành bài khóa luận

này.

+

có độ cong hằng trong R” và các không gian Rieman tùy ý với độ cong hằng.

Để tiếp cận với các nội dung trên, trong chương này chúng tôi trình bày các

kiến thức căn bản của tôpô vi phân và hình học vi phân gôm : da tạp khả vi, ánh xạ

khả vi, trường vecto, trường Tenxo, liên thông tuyến tính và liên thông Rieman,

8+ Pai : Pa (Ua Up) > Op (Ua Up)

là một ánh xa khả vi lên một miễn trong của RẺ.

đ) (Ug, Gada ‹ ¡} là họ tốt đại.

Trong đó; * U, : lân cận tọa độ trong M.

*® Vx€ U„, @ (x) là tọa độ địa phương trên U„ được cho bằng

n hàm thực.

Wa (x) = (0` (x) OS (XD)

a Ca [nữ

với pi, (x) là tọa độ địa phương của x.

Đa tạp khả vi lớp C” được gọi là đa tạp trơn.

1.2 ANH XA KHẢ VI:

Cho M, M' là đa tạp khả vi.

Ánh xạ liên tục f: M => M' được gọi là ánh xạ khả vi nếu với mọi (U„, „)

trong M và mọi (Vp, wy) trong M' sao cho f(U,) C Vạ thì ánh xạ :

we Í @g! @a(Ua) > Wp (Vạ) là ánh xạ khả vi.

Nếu u!, u" và vÌ, , v"' là các hệ tọa độ địa phương tương ứng với U, và

Vạ thì khi đó f được biểu diễn thành các hàm khả vi.

v'=f'(u' u"), v"= f" (w', , w")

với - f', f”: @„ (U„)—> R là m hàm thực khả vi n - biến thực

Ánh xạ khả vi mà có ánh xạ ngược khả vi gọi là một vi phôi.

* Khi M là một khoảng mở trong R thì f gọi là một đường cong trơn trong M'.

* Khi M là tập con mở của đa tạp M', M' là đường thẳng R thì f gọi là hàm

thực khả vi trên M c M'.

§2 TRƯỜNG Y£CTƠ

* Trong phần này chúng ta lần lượt tìm hiểu các khái niệm cơ bản của trường

vectơ Trước hết ta nghiên cứu cấu trúc của các không gian tiếp xúc.

2.1 VECTƠ TIẾP XUC VỚI M TẠI MOT ĐIỂM p M :

Cho M là đa tạp khả vi n - chiểu Ánh xạ liên tục :

x: I= <ab>M

t > x(t)

khả vi lớp C” là đường cong trơn trên M va x(t) = p € M.

1(p) = {f/f hàm khả vi trong lân cận của điểm p giá trị trên R}

Khi đó vectơ tiếp xúc với đường cong x (t) tại p là ánh xạ :

X : Jip) — R

Foe XP LE Keay, (C0) (0)

Nói cách khác Xf là dao hàm của f theo hướng của “vecto” X hay đạo ham

của f theo hướng của đường cong x(t) tại p = x (to), tạ € I Vectơ X thỏa mãn các

điều kiện :

i) X(f+g)=Xf+Xg

ii) XAD=^ÀXỈ

ili) X (fg)= (Xf) g(p) + f(p) Xg Vf, g € K(p)

2.2 KHÔNG GIAN TIẾP XÚC CUA MTAIp:

Tập hợp tất cả vectơ tiếp xúc tại p tạo thành một không gian vectơ thựcđược gọi là không gian tiếp xúc của M tại p : T, (M).

Vf e J (p), (u`, u") là hệ tọa độ địa phương trong lân cận của p Ta xét

ánh xạ :

ô of ,

fre (2) (= a? (Vj = Ln)

(phép lấy đạo hàm riêng theo biến ư tai p)

a € T, (M) vì 2 chính là vectơ tiếp xúc của đường cong x(t) tại p

với x(t) được xác định như sau :

x(U = (uÌ, ư"! wet ou")

p=(u', ,u")

* Như trên đã nói không gian tiếp xúc T„ (M) là một không gian vectơ thực

n - chiều Để tính toán được trên các không gian này ta sẽ xác định một cơ sở của

nó Đó là nội dung của định lý sau :

2.2.1 Dinh lý :

Không gian tiếp xúc T,(M) là không gian vectơ n - chiéu với cơ sở chính là :

* Chứng minh : Trước hết ta chứng minh rằng :

Giả sử X € T, (M) là vectơ tiếp xúc tùy ý của M tại p Lúc đó VE € J(p) ta

*Trên đây chúng tôi đã trình bày về khái niệm vectơ tiếp xúc Sử dụng khái

niém này, chúng ta định nghĩa trường vectơ và phân loại các trường vectơ.

th =

_

2.3.2 Trường vectơ khả vi :

Xét X là trường vectơ trên U và (u', u") là hệ tọa độ địa phương của p.

Khi đó Vp e U ; 3! £! (p), E (p), &" (p) e R sao cho:

Ta định nghĩa : X khả vi trên U o> &', , š" khả vi trên U.

e Khi X là ánh xạ hằng thì vectơ X gọi là trường vectơ song song.

* Trong tất cả các trường vectơ ta chỉ quan tâm tới trường mục tiêu.

2.3.3 Trường mục tiêu :

Trường mục tiêu trên tập mở U cM là hệ gồm n trường vectơ (Xj Xq) trên

U sao cho với mỗi p € U thì hệ {Xjp, , X„„] là một cơ sở của T, (u)

Nếu với mọi p U mà Xj, Xj, = 5, thì {Xj} gọi là trường mục tiêu trực

chuẩn.

Nếu với mọi i mà trường vectơ X; trên U là song song thì (X,} gọi là trường

mục tiêu song song Khi đó mỗi trường vectơ X trên U được biểu diễn duy nhất

dưới đạng :

X= Dox,

j=l

với @ là các hàm khả vi.

2.4 ĐẠO HAM CUA TRƯỜNG VECTƠ DỌC THEO MOT TRƯỜNG

VECTƠ :

Giả sử X (M) là tập hợp các trường vectơ khả vi trên M.

2.4.1 Cấu trúc đại số trên X (M) :

* X (M) như là không gian vectơ thực đối với phép cộng tự nhiên và phép

nhân với một vô hướng.

(X+Y);=X;+y,, YpeM (AX), =AX,, Vp eM

* X (M) như là modul trên đại số J (M)

Nếu f là hàm thuộc J (M), còn X là trường vectơ trên M, thì fX là trường

vectơ trên M, được xác định như sau :

Khi đó : [X, Y] cũng là một trường vectơ.

Thật vậy, trong tọa độ địa phương u’, , u° ta có :

âu) ae) || oF

Khi đó : [X, Y] f= X (Y9 - Y(X k oe i đó : [X, Y] (Y9 - Y(X = pac [2 | ụ (%ÌÌ#

Diéu đó có nghĩa là [X, Y] là một trường vectơ trên M mà thành phan đối

với uÌ, u" là :

50S)“ ees

i) (X, [Y, Z] +[Y, [Z, X]] + [Z, (X, Y]I=0

i) — |fX,gY]=fg[X, Y]+f(Xg)Y + g(Y0X

WX, Y,Z eX(M), Vf,g eJ (M)

© Vx(Y+Z)=VxY + VxZ

© Vx,yZ = VxZ +VyZ

© VY =fVxY ,với mỗi f € J (M)

© Vy (fY) =fVxY + (Xf) Y với mỗi f e J (M)

Ta gọi VxY là đạo hàm của trường vectơ Y đọc theo trường vectơ X.

$3 TRƯỜNG TENXO

* Dé tinh độ cong thiết diện ta si dụng công cụ trường Tenxơ Do đó trongphần dẫn nhập này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về trường Ten.xơ

3.1 TÍCH TENXG :

* Tích Tenxơ Vị & V; của hai không gian vectơ hữu hạn chiéu Vị, V2 trên

R được xác định như sau :

Giả sử M (V;, V2) là một không gian vectơ có tập hợp Vị x V2 là cơ sở, nghĩa là một không gian vectơ tự do được sinh ra bởi các cặp (v;, v;) với vị © Vị,

vạ € Vạ Gọi N là không gian vectơ con trong M (Vị, V2) được sinh ra bởi các phan

Mỗi cặp (vị, vạ) được xem là phan tử của M (Vị, V2) ảnh của nó với phép

toán là phép chiếu tự nhiên M (V¿, V2) > Vị @ V¿ gọi là vị @ v2

Ánh xạ@: V,xV; > V,@V;

(Vi, V2) +> vị@v¿=@ (vị, vạ)

gọi là ánh xạ song tuyến tính chính tắc.

3.1.1 Tensø hiệp biến :

Cho V là K - không gian vectơ,

Kýhiệu: T,(V)=V*@V*@ @V* (siấn)

= Hom, (V x V x x V; K)

V* là không gian đối ngẫu của V.

T,(V) : không gian các dang đa tuyến tính cấp s trên V.

Mỗi T € T,(V) gọi là một tenxơ hiệp biến cấp s hay s - tenxơ hiệp biến trên V(T cũng chính là hàm s - biến vectơ giá trị trên K, tuyến tính đối với từng biến)

Luận văn tốt nghiệp — — - GăpkhingglamRiưmzmeớđĐcong hằng

Mỗi T € TẾ (V) gọi là một tensor phản biến cấp r hay r - tensor phản biến trên V,

Mỗi T € T/(V) gọi là tenxơ hỗn hợp hiểu (s, r) trên V (s lần hiệp biến, r lần

phản biến) hay (s, r) - tenxơ hỗn hợp trên V

(35=(e" @ e? @ @e* Se, @ @e,)

Với 1 Sip gig 5 ete To jay anne je Si

Hệ (3) là một cơ sở của Tý (V) ứng với cơ sở (&) = (e¡, , €,) đã cho trong V

Xét tenxơ tùy ý T e Tỷ (V) khi đó tổn tại duy nhất biểu diễn sau :

trong đó : LƯỆNN eK

= Ty ) goi là các “thành phdn” của tenxơ T trong cơ sở

(&) = (e), -‹„ Cp) của V

3.3 TRƯỜNG TENXƠ :

Giả sử T, = T, (M) là không gian tiếp xúc với đa tạp M tại x, và T(x) là đại số tenxơ

trên T, sao cho : T(x) = 3` TY (x) trong đó Tự là các tenxơ kiểu (s, r) trên T,.

Trường tenxơ kiểu (s, r) trên tập con N của M là việc đặt tương ứng mỗi điểm

x € N với tenxơ K, € Tỷ (x)

Trong lân cận tọa độ U với toa độ địa phương x', , x" ta chon

X= — ¡=1,n là cơ sở đối với không gian tiếp xúc T,, x € U và œ` = dx' là cơ

sở đối ngẫu trong T,°®

Trường tenxơ K kiểu (s, r) được xác định trên U, khi đó :

Lê, i i, K= SK}"!X, ® @0" ® ®u`* @X, ® @X,

trong đó : Kk} + là các hàm trên U, gọi là các thành phan của K đối với

Nói cách khác, g xác định một tích vô hướng trong mỗi không gian tiếp xúc

3.5.2 Dai số lie G của nhóm Lie G :

Đại số lie G của nhóm Lie G là tập hợp tất cả các trường vectơ bất biến trái

trên G với phép cộng thông thường và phép nhân với một vô hướng và phép toán

Như vậy Œ là đại số con Lie n - chiểu của đại số Lie của các trường vectơ của X

(G).

Nhóm Lie G là nhóm Lie của các phép biến đổi trên đa tap M, hay nói rằng G

tác động khả vi trên M, nếu các điều kiện sau được thực hiện:

a) Mỗi phần tử a e G cảm sinh ra phép biến đổi trong M, được kí hiệu:

X Xa,x€M

b M—>M

ASS là ánh xạ khả vi

(a,x) > xa

c©)x (ab) =(xa)b , VabeGvàxeM

54 KHONG GIAN PHAN THO

* Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày khái niệm không gian phân thd.

Khái niệm này có liên quan đến các phần còn lại của chương này và chương sau Tacũng chỉ tìm hiểu về phân thớ tuyến tính và phân thớ mục tiêu trực chuẩn

4.1 ĐINH NGHĨA :

Cho M là một đa tạp, G là nhóm Lie Không gian phân thé chính trên M

với nhóm G gồm đa tạp P và tác động khả vi, tự do của nhóm G trên P thỏa mãn :

i) G tác động tự do (không có điểm bất động) bên phải trên P :

(u,a)ePxG ->ua =R,„u eP

ii) M là không gian thương của P theo quan hệ tương đương được cảm tính bởi

nhóm G, M = P/G vào phép chiếu chính tắc :

t:P->M=P/G khả vi.

ii) P tẩm thường địa phương nghĩa là với mỗi x e M có một lân cận mở U sao cho

x! (U) đẳng cấu với U x G tức là tổn tại vi phôi.

ự: 8ø'(U)—=> UxG

u 2 (U)=(%(U),o(u))

Với y: x! (U) — G thỏa mãn điểu kiện :

@ (ua) = (@(u)) a, Vu e x’! (U) và a e G.

Không gian phân thé chính được kí hiệu là : P (M, G, x) hoặc P (M, G) hay

đơn giản là P.

Trong đó: P là cơ sở của không gian phân thớ.

G là nhóm cấu trúc.

mx là phép chiếu.

Với mỗi x e M, x! (x) là một đa tap con đóng trong P, gọi là một thé trên x Nếu

u là điểm thuộc % ` (x) thi x” (x) là tập hợp các điểm ua a € G gọi là thé qua u.

4.2 PHAN THO TUYẾN TÍNH L (M) :

Giả sử M là đa tạp n - chiều Mục tiêu tuyến tính u tại điểm x € M là một cơ sở

được sắp xếp X;, , X, của không gian tiếp xúc T, (M) L (M) là tập hợp các mục

tiêu tuyến tính u tại mọi điểm của U

Giả sử m là ánh xạ từ : L (M) => M.

uh x

với u là mục tiêu tuyến tinh tại điểm x.

Nhóm tuyến tính tổng quát GL (n; R) tác động trên L (M) bên phải sao

cho: a = (ay) € GL (n, R) : nhóm tất cả các ma trận không suy biến cấp n x n và

u=(X), , Xq) thì ua là mục tiêu tuyến tính (Y), , Y„) tại x được xác định như sau:

Y,= 3ajX(

1

Như vậy GL (n, R) tác động ty do trên L (M) va x (u) = x (v) ©> v = ua với

a € GL (n, R).

Để đưa cấu trúc khả vi vào L (M), ta giả thiết (x', , x") là tọa độ địa

phương trong lân cận tọa độ U trong M, Mỗi mục tiêu u tại x e M sẽ được thiết lập

một cách duy nhất dưới dạng : u = (Xụ, , X,) với X, = >xu[]

x

trong đó (X¿;) là các ma trận không suy biến

Luận văn tốt nghiệp Che Nông gian Rieman cóđộ cong hằng

Điều này chứng tỏ giữa x' (U) và U x GL (n, R) tổn tại một song ánh Ta

lấy (x’) và (Xu) làm hệ tọa độ địa phương trong x (U) thì L (M) trở thành đa tạp

khả vi.

Khi đó L (M) (M, GL (n; R)) là phân thé chính được gọi là phân thé mục

tiêu tuyến tính trên M.

4.3 PHAN THO MỤC TIÊU TRUC CHUAN O (M):

Giả sử L(M) là phân thé mục tiêu tuyến tính trên da tạp M n - chiều O (n)

là nhóm tất cả các ma trận trực giao cấp n x n Phép thu hẹp nhóm GL (n ; R) tới

0 (n) sinh ra một metric Rieman g trên M Giả sử Q (M, O (n)) là phân thé thu hẹp của L (M) Với u e L (M), u được cho bởi ánh xạ tuyến tính không suy biến từ

R° —> T, (M) trong đó x € x (u) thì mỗi u e Q xác định một tích vô hướng g trong

T, (M) như sau :

g(X,Y)=(u' X,u`Y) với X, Y e T, (M)

Tính bất biến của tích vô hướng tự nhiên ( , ) trong R° đối với O (n) kéo theo

sự độc lập của g(X, Y) đối với việc chọn u e Q.

Q được gọi là phân thé mục tiêu trực chuẩn trên M, được ký hiệu là O (M) Mỗi phần tử của O (M) là một mục tiêu trực chuẩn.

5S LIEN THONG TREN CÁC

* Liên thông trên các không gian phân thd là vấn dé quan trọng trong hìnhhọc vi phân Trong phần này chúng tôi sẽ lần lượt trình bày : liên thông trên không

gian phân thớ, dạng cong dạng xoắn, liên thông tuyến tính, liên thông Rieman cùng

những định lý, mệnh dé mà ta công nhận, không chứng minh, phục vụ cho chương

sau.

5.1 LIEN THONG TREN KHÔNG GIAN PHAN THỚ :

các vectơ tiếp xúc với thé qua u.

Liên thông F trong P là sự tương ứng không gian con Q, của Tụ (P) với mỗi

điểm u P sao cho:

Tagoi Y: là thành phẩn thẳng đứng của X, ký hiệu vX

Z.: là thành phần nằm ngang của X, kí hiệu hX

* Diéu kiện b) nghĩa là tương ứng u -> Q, là bất biến đối với G,

* Diéu kiện c) cho ta nếu X là trường vectơ khả vi trên P thì vX và hX cũng

khả vi.

5.1.2 Dạng liên thông :

Cho liên thông T trong P, ta định nghĩa 1 - dạng œ trên P với giá trị trong

đại số Lie G của nhóm G như sau :

* Mỗi A € G cảm sinh trường vectơ A* trên P với A* = ofA) trong đóo:G—X(P), A* gọi là trường vectơ cơ bản tương ứng với A.

* A —>(A*), là một đẳng cấu tuyến tính từ G lên T,(P) với mỗi u € P.

+ Với mỗi X e T,(P) ta định nghĩa œX là A € G duy nhất sao cho :

(A*)„ bằng thành phan thẳng đứng của X.

Từ đó ta có œ (X) = 0 © X nằm ngang Dạng œ được gọi là dạng liên thông

của liên thông [ đã cho.

Dang liên thông œ thỏa mãn : a) @(A*)= A với mọi A e G.

b) (R,)*a=ad(a"' joo.

Trong đó ad là phép biểu diễn kết hợp của G trong G

5.2 DANG CONG, DANG XOẮN,LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH:

5.2.1 Dang cong :

Giả sử P(M, G) là phân thé chính, p là phép biểu diễn của G trên V, p(a) là

phép biến đổi tuyến tính trong V, a € G và p (a, b) = p(a) p(b) với a, b e G

Ta định nghĩa dang giả tenxơ bậc r trên P kiểu (p, V) là V - giá trị r - dạng @

trên P sao cho :

R*,@=p(a”) @ với a eG

Dạng @ như vậy được gọi là r-dang giả tenxơ kiểu (p, V).

Nếu p là phép biểu diễn kết hợp của G trong đại số Lie G thì ta nói rằng dạng

giả tenxơ kiểu (p, G) là dạng ad G Dạng liên thông œ là | - dang giả tenxơ kiểu

ad G, Do là 2-dang tenxơ kiểu ad G và được gọi là dạng của độ cong đối với œ.

Ký hiệu Do = Q.

5.2.2 Dang xoắn, liên thông tuyến tính :

Gọi phân thé mục tiêu tuyến tính L(M) là P, nhóm tuyến tính GL (n, R) là G

với n = dim M Liên thông trong phân thớ mục tiêu tuyến tính P trên M gọi là liên

thông tuyến tính trong M.

Ta nói dạng chính tắc 9 đối với P là R” - giá trị l-dạng trên P được xác định

như sau :

6 (X)=u”((X)) với X e Tụ (P)

Trong đó u được xét như là ánh xạ tuyến tính từ R° lên T„„; (M)

Ta định nghĩa dạng xoắn của liên thông tuyến tính F là :

O=dô

5.3 PHƯƠNG TRÌNH CẤU TRÚC :

Giả sử œ, 9, Q tương ứng là dạng liên thông, dạng xoắn, dạng cong của liên

thông tuyến tính F trong M Khi đó :

Ta gọi trường tenxơ xoắn (độ xoắn) là T và trường tenxơ cong (độ cong) là R

Giả sử T (X, Y) =u (26(X*, Y*)) với x e M

* X, Y € T, (M), ue L(M), x (u) =x

* X*, Y* là các vectơ của L(M)tạiu: %(X*)=X

nY*)=YTại mỗi điểm x e M, T xác định ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng :

T, (M) x T,(M) —› T,(M) Nói cách khác T là một trường tenxơ kiểu (2, 1) sao cho:

T(X,Y)=- T(Y, X)

Ta gọi T(X, Y) là phép truyền độ xoắn trong T, (M) được xác định bởi các

vectơ X, Y.

5.4.2 Tenxơ cong :

Tương tự giả sử R (X, Y) Z =u (2Q(X*, Y*) (u"Z) với X, Y, Z e T, (M), u, X*,

Y* như trên, Q(X*, Y*)e G Y (n, R)

R(X, Y) được gọi là phép biến đổi độ cong trong T,(M) được xác định bởi cácvectơ X, Y.

R là trường vectơ kiểu (3, 1) sao cho:

R(X, Y) =- R(Y, X)

* Theo thuật ngữ của vi phân hiệp biến, độ cong R và độ xoắn T có thể biểu

diễn như sau:

T(X, Y)= V„Y -¥,X - [X, Y]

và R(X.Y)Z=[V,, VyIZ - Vix viZ

với X, Y, Z là các trường vectơ trên M.

5.4.3 Sự biểu diễn trong tọa độ địa phương :

Cho M là đa tap, U là lân cận tọa độ của điểm x € M với hệ tọa độ địa

phương x', x".X, là các trường vectơ được xác định trong U (i = 1,n) Khi đó :

Với Tị,, RÌu là thành phẩn của độ xoắn T và độ cong R.

Ta định nghĩa : Rigs = -Riy : Ty, = Tụ

š lint sk al Mercer ce

Qj=3~Ru0ÐA0 ; 0 =>} —TO adj => jk 2 jk

5.4.4, Đồng nhất thức Bianki I, I :

Giả sử X, Y, Z, W © T,(M) và u e L(M) với x(u) = x, X*, Y*, Z*, W* là

các trường vectơ của L(M) tương ứng với u'X, uˆY, u“W sao cho

R(X*%,) =X, X(Y%,)= Y, 1 (Z%,) = Z, 1(W*,) = W

Khi đó : (V,T) (Y, Z) = u (X"„(2 6(X*, Y*))

((V,R) CY, Z))W =u ((X®,(2 @(Y*, Z*))) (u"W)

5.5 LIÊN THÔNG RIEMAN :

Metric Rieman g là một trường tenxơ hiệp biến bậc 2.