Luận văn sư phạm Các không gian có độ cong hằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ************* LÊ MINH HÒA Chuyên ngành: Hình học Tô Pô Mã Số: 1.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Nguyễn Thái Sơn THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2004 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TÔ PÔ VI PHÂN & HÌNH HỌC VI PHÂN §1 Đa tạp khả vi 1.1- Đa tạp khả vi 1.2- Trường vectơ 1.3- Trường tenxơ 12 1.4- Nhóm Lie – Đại số Lie 16 §2 Không gian phân thớ 2.1- Không gian phân thớ 20 2.2- Đồng cấu phân thớ 21 §3 Liên thông 3.1- Liên thông không gian phân thớ 27 3.2- Dạng cong phương trình cấu trúc 29 3.3- Liên thông tuyến tính 33 3.4- Tenxơ cong – Tenxơ xoắn 37 3.5- Liên thông Riemanian 40 3.6- Sự biểu diễn tọa độ địa phương 41 CHƯƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG 45 2.1- Định lý Vitt 45 2.2- Định lý 47 2.3- Định lý 48 2.4- Định lý 50 2.5- Định lý 54 2.6- Định lý 56 2.7- Định lý (Hệ Killing – Hopf) 56 2.8- Định lý (Định lý Riman) 57 CHƯƠNG III: CÁC KHÔNG GIAN RIEMANIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG 59 §1 Những khảo sát đại số có liên quan 1.1- Định lý 59 1.2- Định lý 59 1.3- Định lý 60 1.4- Định lý 61 1.5- Định lý 61 §2 Độ cong thiết diện 2.1- Định lý 62 2.2- Định lý 63 2.3- Hệ 64 2.4- Định lý 66 §3 Các không gian Riemanian có độ cong 3.1- Định lý 67 3.2- Hệ 74 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 MỞ ĐẦU Hình học tô pô ngành học lâu đời phát triển mạnh nửa kỷ gần đây, với kiến thức lý thuyết đa tạp không gian phân thớ lý thuyết liên thông Nó trang bị cho kiến thức sở để áp dụng nghiên cứu vấn đề hình học vi phân, hình học cao cấp mà biết giáo trình đại học Kiến thức “độ cong” hình học vi phân kiến thức Tuy nhiên, giáo trình đại học phạm vi giới hạn độ cong tập En Rn Trên sở nghiên cứu lý thuyết hình học tô pô, mạnh dạn chọn đề tài: “Các không gian có độ cong hằng” với nội dung chủ yếu nêu trình xây dựng không gian có độ cong cách tổng quát Từ đó, xây dựng không gian cách cụ thể không gian Riemanian có độ cong hằng… Mục đích nghiên cứu gồm hai nội dung chính: + Giới thiệu trình xây dựng không gian có độ cong tổng quát thông qua định lý từ khái niệm định lý sở + Cụ thể hóa không gian tổng quát không gian cụ thể “Không gian Riemanian có độ cong hằng” Trong luận văn nghiên cứu không gian có độ cong quen thuộc -1- Để thực mục đích nghiên cứu nói nghiên cứu lý thuyết hình học tô pô: lý thuyết đa tạp khả vi – Lý thuyết không gian phân thớ – Lý thuyết liên thông Ngoài cần nghiên cứu thêm kiến thức đại số có liên quan như: “Đại số Lie – Nhóm Lie” để làm tảng cho nghiên cứu không gian có độ cong Để hoàn thành luận văn đặc biệt chân thành cảm ơn Tiến só Nguyễn Thái Sơn dành nhiều thời gian công sức để đọc, hướng dẫn giúp đỡ suốt trình thực hoàn thành luận văn Tôi thành thật cảm ơn thầy tổ hình học thuộc khoa Toán đọc góp ý cho luận văn Do kiến thức thân hạn chế, nghó nội dung luận văn không tránh khỏi sai sót, mong đóng góp thầy cô độc giả -2- CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TÔPÔ VI PHÂN & HÌNH HỌC VI PHÂN -Nội dung chủ yếu luận văn chương chương trình bày việc xây dựng không gian có độ cong Tuy nhiên để đạt điều đó, khái niệm đơn giản cần thiết Tôpô vi phân hình học vi phân, là: Đa tạp khả vi, không gian phân thớ liên thông không gian phân thớ §1 ĐA TẠP KHẢ VI 1.1- Đa tạp khả vi: 1.1.1- Đa tạp khả vi n-chiều: Một đa tạp khả vi n-chiều không gian Hausdorff M với họ {(U ,ϕ ) } cho: α α α∈ A (a) {Uα }α ∈A phủ mở M; n (b) ϕα phép đồng phôi Uα lên tập mở R ; (c) Nếu α , β ∈ A , ánh xạ ϕ β ϕα−1 : ϕα (Uα ∩ U β ) → ϕ β (Uα ∩ U β ) n laø ánh xạ khả vi lên miền R ; (d) {(U ,ϕ ) } họ tối đại có ba tính chất α α α∈ A -3- Các tập hợp ϕα Uα gọi lân cận tọa độ M Tọa độ địa phương Uα cho n hàm thực: ϕα ( x ) = (ϕα1 ( x ), ,ϕαn ( x )), x ∈ Uα Trong ϕα ( x ) tọa độ địa phương điểm Cặp x ∈ Uα (Uα ,ϕα ) gọi hệ tọa độ địa phương Từ sau ta coi ánh xạ khả vi lớp đa tạp khả vi lớp C ∞ , tức ánh xạ trơn C ∞ , gọi đa tạp trơn 1.1.2- Ánh xạ khả vi: Ánh xạ liên tục f : M → M' (Uα ,ϕα ) với f (Uα ) ⊂ Vβ đa tạp gọi ánh xạ khả vi M (Vβ ,ψ β ) M’, cho ánh xạ: ψ β D f D ϕα−1 : ϕα (Uα ) → ψ β (Vβ ) ánh xạ khả vi Nếu Vβ u1 , , u n f v1 , , v n hệ tọa độ địa phương ứng với Uα biểu diễn thành hàm khaû vi: v1 = f (u1 , , u n ), , v m = f m (u1 , , u n ) Ánh xạ khả vi mà có ánh xạ ngược khả vi gọi vi phôi Dễ thấy tích ánh xạ khả vi ánh xạ khả vi -4- Cho f : M → M' khoảng mở R f ánh xạ khả vi hai đa tạp: M gọi đường cong trơn (khả vi) M’ Khi M tập mở đa tạp M’, M’ đường thẳng thực R thực khả vi f gọi hàm M ⊂ M' 1.2- Trường véctơ: 1.2.1- Véctơ tiếp xúc với M điểm p ∈ M ; không gian tiếp xúc: Giả sử τ ( p ) đại số hàm khả vi xác định lân cận điểm p, x(t) đường cong trơn M, cho x(to ) = p Véc tơ tiếp xúc với đường cong x(t) p ánh xạ X: τ ( p ) → R xác định nhö sau: X f = (df ( x(t )) / dt )to Nói cách khác X (t ) Xf đạo hàm f theo hướng đường cong t = t0 Véc tơ X thỏa mãn hai điều kiện: (1) X ánh xạ tuyến tính từ τ ( p ) vaøo R (2) X ( fg ) = ( Xf ) g ( p ) + f ( p )( Xg ) với f , g ∈ τ ( p ) Tập hợp ánh xạ từ τ ( p) R, thỏa mãn điều kiện (1) (2) tạo thành không gian véctơ thực Thật vậy, hệ tọa độ địa phương j u1 , , u n lân cận U điểm p, với j (∂ / ∂u ) p ánh xạ từ τ ( p ) R thỏa mãn (1) -5- (2) Ta chứng tỏ tập hợp véctơ p không gian véctơ với sở (∂ / ∂u1 ) p , , (∂ / ∂u n ) p Giả sử cho đường cong x(t) vaø u j = x j (t ), j = 1, , n p = x ( t0 ) giả sử phương trình hệ tọa độ địa phương u1 , , u n Khi đó: (df ( x (t ) / dt )t0 = ∑ (∂f / ∂u j ) p ( dx j (t ) / dt )t0 Chứng tỏ véctơ p tổ hợp tuyến tính (∂ / ∂u1 ) p , , (∂ / ∂u n ) p Ngược lại, cho tổ hợp tuyến tính j j ∑ ξ (∂ / ∂u ) p , j ta xét đường cong xác định sau: u j = u j ( p) + ξ j t, j = 1, , n Khi vectơ tiếp xúc với đường cong t=0 Để chứng minh (∂ / ∂u1 ) p , , (∂ / ∂u n ) p j j ∑ ξ (∂ / ∂u ) p j độc lập tuyến tính, ta giả sử: j j ∑ ξ (∂ / ∂u ) p = j Khi đó: = ∑ ξ j (∂u k / ∂u j ) p = ξ k j -6- với k=1, ,n Điều suy {(∂ / ∂u j ) p} độc lập tuyến tính p∈M Tập hợp vectơ tiếp xúc ta ký hiệu Tp (M ) , gọi không gian tiếp xúc đa tạp M p Bộ n số thực j j ∑ ξ (∂ / ∂u ) p ξ , ,ξ n gọi thành phần vectơ tọa độ địa phương j u1 , , u n 1.2.2- Trường vectơ đa tạp: Trường vectơ X tập mở tương ứng điểm Nếu f p ∈U U⊂M với vectơ ánh xạ X: U → Tp ( M ) , đặt X p ∈ Tp (M ) hàm khả vi M, ta định nghóa hàm Xf M sau: ( Xf )( p) = X p f Trường vectơ X gọi khả vi khả vi Xf khả vi hàm f Trong tọa độ địa phương u1 , , u n trường vectơ X biểu diễn là: X = ∑ ξ j (∂ / ∂u j ) j ξ X j hàm xác định lân cận tọa độ gọi thành phần u1 , , u n Như X khả vi ξ j -7- khả vi với j = g(R(X3,X4)X2,X1) + g(R(X4,X2)X3,X1) + g(R(X2,X3)X4,X1) = ((2Ω(X3*,X4*)(u-1X2)),u-1X1) + (2Ω(X4*,X2*)(u-1X3),u-1X1) + ((2Ω(X2*,X3*)(u-1X4),u-1X1) Tới vận dụng đồng thức Bianki thứ (chương 1) Ta coù: R(X1,X2,X3,X4) + R(X1,X3,X4,X2) + R(X1,X4,X2,X3) = * Đối với mặt phẳng P không gian tiếp xúc Tx(M) độ cong thiết diện K(P) P xác định sau: K(P) = R(X1,X2,X1,X2) = g(R(X1,X2)X2,X1) Trong X1, X2 sở trực chuẩn P Như biết §1, K(P) không phụ thuộc vào việc chọn sở trực chuẩn X1, X2 Do tập hợp giá trị K(P) mặt phẳng P Tx(M) xác định tenxơ độcong Riman x Nếu K(P) không đổi mặt phẳng P Tx(M) điểm x ∈ M, M gọi không gian có độ cong 2.2- Định lý: Giả sử M đa tạp Riman với số chiều lớn Nếu độ cong thiết diện K(P) với P mặt phẳng Tx(M) phụ thuộc vào x M không gian có độ cong Chứng minh: Ta xác định trường tenxơ hiệp biến bậc R1 sau: R1(W,Z,X,Y)=g(W,Xg(Z,Y)-g(Z,X)g(Y,W) với X,Y,Z,W ∈ Tx(M) - 63 - Theo định lý 1.4, ta có R=kR1, k hàm M g song song R1 song song Từ đó: (∇UR)(W,X,Y,Z) = (∇Uk)R1(W,X,Y,Z) ∀ U ∈ Tx(M) Điều có nghóa là, với X,Y,Z,U ∈ Tx(M) ta coù: [(∇UR)(X,Y)]Z + [(∇XR)(Y,U)]Z + [(∇YR)(U,X)]Z = (Uk)(g(Z,Y)X – g(Z,X)Y) + (Xk)(g(Z,U)Y – g(Z,Y)U) + (Yk)(g(Z,X)U – g(Z,U)X) Ở ta có vế trái 0, đồng thức Bianki thứ II: σ{(∇XR)(U,Y)} = (định lý 3.4.3 – chương 1) Bây giờ, với X tuỳ ý ta chọn Y,Z U cho X,Y,Z trực giao với nhau, mà U = Z g(Z,Z) = Thực điều dim M ≥ Khi đó, ta nhận được: (Xk)Y – (Yk)X = X Y độc lập tuyến tính, ta có: Xk = Yk = đó: k = const 2.3- Hệ quả: Đối với không gian có độ cong hằng, ta có: R(X,Y)Z = k(g(Z,Y)X = g(Z,X)Y) * Nếu k dương (tương ứng âm) M gọi không gian có độ cong dương (tương ứng âm) - 64 - Nếu R jkl gij thành phần tenxơ cong tenxơ mêtric đối i với hệ tọa độ địa phương, thành phần Rijkl tenxơ độ cong Riman cho sau: Rijkl = ∑ g ijn R injkl n Nếu M không gian có độ cong hằng, với K(P) = k, thì: Rijkl = k ( g ik g jl − g jk g il ) R ijkl = k (δ ki g il − g jk δ ij ) ~i Tương tự theo 3.6 §3 chương 1, ta xác định tập hợp hàm R jkl L(M) sau: ~i k Ω ij = ∑ R jkl θ ∧θ l jkl Trong Ω = (Ω j ) dạng độ cong liên thông Riman Đối với i điểm u tuỳ ý O(M), ta chọn hệ tọa độ địa phương: x1,…,xn với gốc x=π(u) sau cho u mục tiêu cho sau: ( ∂ ∂ ) , , ( )x x ∂x1 ∂x n Đối với hệ tọộ ta có: gij = δij x Từ đó: R ijkl = Rijkl = k (δ ik δ ji − δ jk δ li ) taïi x Giả sử C thiết diện địa phương L(M), cho trường mục tiêu tuyến tính ∂ ∂ , , n ∂x ∂x - 65 - ~i Theo 3.6 Chương ta có: σ R jkl = R jkl Do đó: * i ~i R jkl = k (δ ik δ ji − δ jk δ li ) taïi u Ω ij = kθ i ∧ θ j taïi u, u điểm tùy ý O(M) 2.4- Định lý: Nếu M không gian có độ cong hằng, với độ cong thiết diện k, dạng cong Ω = (Ω j ) cho sau: i Ω ij = kθ i ∧ θ j O(M) θ = (θi) dạng tắc O(M) - 66 - §3 CÁC KHÔNG GIAN RIMAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG Trong phần này, xây dựng với số k, không gian Riman, với độ cong thiết diện K 3.1- Định lý: Giả sử (x1,…,xn,t) hệ tọa độ Rn+1, M siêu mặt Rn+1 sau: (x1)2 + … + (xn)2 + rt2 = r (r: số khác 0) Giả sử g mêtric Riman M, nhận thu hẹp dạng sau M: (dx1)2 + … + (dxn)2 + rdt2 Khi đó: i) M không gian có độ cong không đổi, với độ cong thiết diện r ii) Nhóm G phép biến đổi tuyến tính Rn+1 bảo tồn dạng toàn phương bất biến (x1)2 + … + (xn)2 tác động truyền ứng M nhóm phép đẳng cự M iii) Nếu r > 0, M đẳng cự với mặt cầu bán kính Nếu r < r M gồm hai đa tạp liên thông đẳng cự với nhau, chúng vi phôi với Rn Chứng minh: - 67 - Trước tiên ta thấy M đa tạp đóng Rn+1 * Chứng minh 3: • Nếu r > 0, ta giả sử rằng: xn+1 = x1/2t Khi M cho sau: (x1)2 + … + (xn)2 + (xn+1)2 = r mêtric g thu hẹp dạng: (dx1)2 + … + (dxn+1)2 M Điều có nghóa M đẳng cự với hình cầu bán kính r1/2 • Nếu r < t2 ≥ điểm M Giả sử M’ (tương ứng M’’) tập hợp điểm M với t ≥1 (tương ứng t ≤ -1) Ánh xạ (x1,…,xn,t) Ỉ (y1,…,yn) xác định công thức: xi y = , i = 1,…,n t i Là vi phôi từ M’ (và M’’) lên tập Rn, cho bất đẳng thức: n i ∑(y ) + r < i =1 Thật vậy, ánh xạ ngược cho sau: Xi = yit, t = 1,2,…,n ⎛ ⎞ x ⎜ ⎟ Với t = ±⎜ i ⎜ r + ∑ ( y ) ⎟⎟ ⎝ ⎠ i - 68 - Bằng tính toán trực tiếp, ta có mêtric g biểu diễn qua y1,…,yn sau: x ⎡(r + ∑ ( y i ) )(∑ (dy i ) ) − (∑ y i dy i ) ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ i i i (r + ∑ ( y i ) ) i * Chứng minh 2: Ta xét G nhóm tác động Rn+1 Vì G nhóm tuyến tính bảo tồn (x1)2 + … + (xn)2+rt2 bất biến, đồng thời bảo tồn dạng (dx1)2 + … + (dxn)2+rdt2 bất biến Do đó, G xét tác động M, G nhóm đẳng cự đa tạp Riman M Tính truyền ứng G M suy từ hệ định lý Vitt (chương 2) * Chứng minh 1: Gọi H nhóm G, gồm phép biến đổi bảo toàn điểm O với tọa độ (0,0,…,0,1) bất động Ta định nghóa: f: G Ỉ O(M) sau: Giả sử uo ∈ O(M) mục tiêu = (0,…,0,1) ∈ M cho sau: (∂/∂x1)o, (∂/∂x2)o,…, (∂/∂xn)o Mỗi phần tử a ∈ G phép biến đổi đẳng cự M, biến đổi mục tiêu trực chuẩn M thành mục tiêu trực chuẩn M Nói riêng a(uo) mục tiêu trực chuẩn M a(o) Ta định nghóa f(a)=a(uo), a ∈ G - 69 - * Để chứng minh M có độ cong thiết diện ta xét hai bổ đề sau: r Bổ đề 1: Ánh xạ f: G Ỉ O(M) đẳng cự từ phân thớ G(G/H,H) lên phân thớ O(M)(M/O(n)) Chứng minh: Ta xem G nhóm ma trận cấp (n+1) x (n+1) cách tự nhiên H đẳng cấu tự nhiên với O(n) H= O (n) 0 Kiểm tra thấy f: G Ỉ O(M) giao hoán với tác động phải Ra với a ∈ H=O(n): f(ba)=f(b)a với b ∈ G a ∈ H=O(n) Tính truyền ứng G M, cảm sinh ánh xạ f: G/H Ỉ M vi phôi đẳng cấu phân thớ Dạng toàn phương xác định M, cho ma trận cấp (n+1) x (n+1): Q= Ia 0 r Ma traän cấp (n+1) x (n+1) a phân tử G taQa = Q, với ta chuyển vị ma trận a Giả sử: - 70 - a= X y t z ω X ma trận cấp n x n, y z phần tử Rn, ω số thực Khi đó, điều kiện để a ∈ G biểu diễn sau: t XX + rztz ; tXy + rzω ; tyy + rω2 = r Suy đại số Lie G tạo ma trận dạng: A b t C Trong A ma trận cấp n x n với tA + A = 0, b c phần tử Rn thỏa mãn b + rc = Ví dụ: α11 α n1 n n Ma trận: α1 α n γ1 γ n β1 β n laø 1-dạng tắc (bất biến trái) G (xem 1.4 - Chương 1) Trong ta có: α ij + α ij = ; β i + cγ i = với i,j = 1,…,n Phương trình More-Cartan G biểu diễn sau: dβ i = −∑ α ki ∧ β k k dα ij = −∑ α ki ∧ α ik − β i ∧ γ j với i,j = 1,2,…,n k - 71 - Bổ đề 2: Giả sử θ = (θi) ω = (ω ij ) dạng tắc dạng liên thông O(M) Khi đó: f *θ i = β i vaø f * ω ij = α ij với i,j = 1,2,…,n Chứng minh: * Ta biết với phần tử a ∈ G, cảm sinh phép biến đổi O(M); phép biến đổi tương ứng với phép dịch chuyển trái phần tử a G với phép đẳng cự f : G Ỉ O(M) Từ định nghóa θ ta thấy θ = (θi) bất biến với phép biến đổi, cảm sinh a ∈ G Mặt khác (βi) bất biến tác động trái a ∈ G Để chứng minh: (f*θi)(X*) = βi ta cần chứng tỏ: (f*θi)(X*) = βi(X*) với X* ∈ Ta(G) Đặt: Xi = (∂/∂xi)o, mục tiêu uo cho (x1,…,xn) Phép hợp thành ánh xạ: π D f : G Ỉ O(M) Ỉ M biến phần tử Ta(G) (được đồng với đại số Lie G) có dạng: A b t C thành vectơ ∑ b i X i , b1,…,bn thành phần b i - 72 - Vì vậy, X* ∈ Ta(G) π D f ( X *) = ∑ β ( X *) X i từ đó: i i (f*θ1(X*),…,f*θn(X*)) = uo1( π D f (X*)) = (β1(X*),…,βn(X*)) * Giả sử G H đại số Lie G H tương ứng Giả sử M không gian tuyến tính G cố định H, nghóa là: ad(a)M=M với a ∈ H p dụng định lý 3.2.4 (chương 1) ta thấy (α j ) xác định liên thông i phân thớ G(G/H,H) Khẳng định lại bổ đề nhận từ điều sau: 1) (βi) tương ứng với (θi) đẳng cấu f : G Ỉ O(M) 2) Dạng liên thông Riemanian (ω j ) đặc trưng triệt tiêu i độ xoắn (định lý 3.5.2 – chương 1), nghóa là: dθ i = − ∑ ω ki ∧ θ k k 3) Dạng liên thông (α j ) thỏa mãn đẳng thức: i dβ i = − ∑ α ki ∧ β k k Từ bổ đề 1), bổ đề 2) với: dα ij = −∑ α ki ∧ α ik − β i ∧ γ i k βi + rγi = kéo theo: dα ij = − ∑ α ki ∧ α ik + β i ∧ β j r k - 73 - Chứng tỏ rằng: dạng cong liên thông Riemanian cho là: Ω = θ i ∧ θ j , theo định lý 2.4, M không gian có độ cong không đổi r với độ cong thiết diện r Nhận xét: Trong thực tế, G nhóm tất phép đẳng cự M Thật vậy, giả sử F(M) nhóm phép đẳng cự M định nghóa ánh xạ f : F(M) Ỉ O(M) cách ta định nghóa ánh xạ f : G Ỉ O(M) Khi đó: G ⊂ F(M) f : F(M) Ỉ O(M) mở rộng f : G Ỉ O(M) Vì f đơn ánh từ F(M) vào O(M) f(G) = O(M) nên G = F(M) 3.2- Hệ quả: 1) Giả sử M mặt cầu Rn+1 xác định (x1)2+…+(xn)2 = a2 giả sử g thu hẹp (dx1)2+…+(dxn)2 M Khi mêtric Riemanian g, M không gian có độ cong với độ cong thiết diện 2) Giả sử M tập mở Rn xác định bởi: (x1)2+…+(xn)2 < a2 Khi với mêtric dạng: - 74 - a2 a [(a − ∑ ( y i ) (∑ (dy i ) − (∑ y i dy i ) ] i i i (a − ∑ ( y ) ) i 2 i M không gian có độ cong hằng, với độ cong thiết diện - a2 (Hệ suy từ định lý 3.1 với t = r = a2) * Không gian M xây dựng định lý 3.2 người ta chứng minh đơn liên khắp nơi, đầy đủ * Không gian Rn với mêtric Euclide: (dx1)2+…+(dxn)2 không gian đơn liên, đầy đủ có độ cong * Một đa tạp Riemanian M có độ cong dương gọi Eliptic * Một đa tạp Riemanian M có độ cong âm gọi Hypebolic * Một đa tạp Riemanian M có độ cong gọi phẳng Rn - 75 - KẾT LUẬN Tóm lại, việc giới thiệu định lý Vitt, ta xây dựng dạng song tuyến tính không suy biến bs ( x, y ) với ∀x, y ∈ ℜ s ≤ s ≤ n qua ta n n xây dựng dấu không gian vectơ Sau ta xây dựng tạp ∑ = {x ∈ ℜ n / bsn = ( x, x) = er } trường hợp đặc biệt trường hợp x = y, với kết tập ∑ có độ cong ta hình thành H s , S s có độ cong lần lược r2 –r2 n n Với việc cụ thể “Không gian Riemanian có độ cong hằng” ta tập trung giải vấn đề sau: “Với số k # 0, ta xây dựng không gian Riemanian với độ cong Nếu k > không gian đẳng cự với hình cầu bán kính k k , k < không gian hai đa tạp đẳng cự với Còn k = 0, ta xây dựng không gian Riemanian đẳng cự với mặt phẳng” - 76 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục Mockba (1983), Josepha wolf soaces of constant curvature (Bản dịch Tiếng Nga) Mockba (1983), Kobayyachi s nomizu s foundation of differential geometry (Bản dịch Tiếng Nga) ... từ khái niệm định lý sở + Cụ thể hóa không gian tổng quát không gian cụ thể ? ?Không gian Riemanian có độ cong hằng? ?? Trong luận văn nghiên cứu không gian có độ cong quen thuộc -1- Để thực mục đích... độ cong cách tổng quát Từ đó, xây dựng không gian cách cụ thể không gian Riemanian có độ cong hằng? ?? Mục đích nghiên cứu gồm hai nội dung chính: + Giới thiệu trình xây dựng không gian có độ cong. .. học phạm vi giới hạn độ cong tập En Rn Trên sở nghiên cứu lý thuyết hình học tô pô, mạnh dạn chọn đề tài: ? ?Các không gian có độ cong hằng? ?? với nội dung chủ yếu nêu trình xây dựng không gian có độ