Các không gian rieman có độ cong hằng

Một trong các nội dung mà chúng tôi học tập được qua các tài liệu này là các không gian Rieman có độ cong hằng.. Được sự hướng dẫn của thầy chúng tôi chọn để tài các không gian Rieman có

Trang 1

UL 2474

BO GIÁO DUC VA ĐÀO TẠO

TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

KHOA TOAN - TIN HOC ke x LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Dé tai: tÌe HÀNG GIAN RIEMAN ah conc HANG

GVHD : TS Nguyễn Thái Sơn

Trang 2

fit {Vii Pia

rong chương trình đào tạo 4 năm tại khoa Toán - Tin học trường ĐHSP

TP HCM, chúng tôi có dịp được học tập và nghiên cứu về hình học vi phân và chuyên để về lý thuyết đa tạp khả vi Bên cạnh đó chúng tôi cũng có điều kiện tiếp xúc, đọc thêm một số tài liệu sâu hơn về các nội

dung trên Một trong các nội dung mà chúng tôi học tập được qua các tài liệu này

là các không gian Rieman có độ cong hằng Một số ví dụ cơ bản về các không gian này có thể lấy là mặt phẳng, mặt cầu

Được sự hướng dẫn của thầy chúng tôi chọn để tài các không gian Rieman

có độ cong hằng nhằm tổng quát hóa những kiến thức trước đây trong bậc đại học Bên cạnh đó, chúng tôi được dịp hiểu thêm về công trình mà nhà bác học thiên tài

Rieman đã xây dựng

Becgac Rieman (1826 — 1866) sinh ding vào năm mà tại trường Đại học Kadan, Lôbasepxki đọc báo cáo khai sinh cho môn hình học hypecbôlic Rieman

là một con người mà những cống hiến của ông đã có những ảnh hưởng quan trọng

đến toàn bộ sự phát triển của tốn học.Ơng là con của một linh mục ở nông thôn,

theo học ở trường Đại học Ghettinghen; ở đó năm 1851 ông được nhận bằng tiến sĩ, đến năm 1859 ông trở thành giáo sư Vì bị bệnh tật, ông phải sang Ý sống những ngày cuối cùng và mất ở đó vào tuổi 40, trong khi còn hứa hẹn nhiêu cống hiến quan trọng Trong cuộc đời ngắn ngủi của mình, B Rieman cho công bố một

Trang 3

Trong thời gian tiến hành thực hiện để tài, một mặt chúng tôi củng cố các kiến thức đã học, mặt khác vận dụng những kiến thức đó vào việc tìm hiểu và

nắm vững được một số yêu cầu của luận văn

Luận văn chúng tôi gồm có hai chương:

* Chương I: trình bày các khái niệm cơ bản về tôpô vi phân và

hình học vi phân , là phần mở rộng của chuyên để hình học năm thứ tư

* Chương 2: trình bày về các không gian Rieman có độ cong hằng và đi đến kết luận các không gian Rieman có độ cong hằng được chia làm ba loại:

® - Nếu độ cong hằng bằng 0 ta có hình học phẳng (hình học Ơclit)

*® Nếu độ cong hằng bằng i ta có hình học eliptic (hình học Rieman nghĩa hẹp)

*s Nếu độ cong hằng bằng “a ta có hình học hyperbôlic (hình học

Lôbasepxki)

Vì đây là lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học,điều kiện thời gian và nội dung tương đối khá trừu tượng so với các kiến thức đã học do đó các kết quả mà chúng tôi trình bày trong bản luận văn này không tránh khỏi một số khiếm khuyết nhất định Kính mong các thầy cô đọc và góp ý để chúng tôi có thể

hoàn thành bản luận văn này

Đặc biệt, em xín chân thành cảm ơn thấy Nguyễn Thái Sơn đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ em trong suốt quá

trình thực hiện và các thầy cô đã tạo điều kiện cho em hoàn thành bài khóa luận

này

Trang 4

CAC KHAI NIEM CO BẢN VỀ Tô Đô VI PHAN VA HINH HOC WI PHAN

*Nội dụng chính của luận văn là tìm hiểu, nghiên cứu các không gian Rieman có độ cong hằng trong R° và các không gian Rieman tùy ý với độ cong hằng

Để tiếp cận với các nội dung trên, trong chương này chúng tôi trình bày các

kiến thức căn bản của tôpô vì phân và hình học vì phân gồm : đa tạp khả ví, ánh xạ

khả vị, trường vectơ, trường Tenxơ, liên thông tuyến tính và liên thông Rieman,

$1 DA TAP KHfA YI

1.1 DA TAP KHA VI:

Cho M là không gian t6p6 Hausdorff, c6 co sé dém duc cing vdi ho (Us, @„) ‹ ¡ M được gọi là đa tạp kha vi n chiéu nếu thỏa

a) {(U„)]„ ¡ là một phủ mở của M

b) @„ là phép đồng phôi của U„ lên một tập con mở của R° c) Nếu œ, 8 e I, Ủ„ ¬ Uạ # Ø thì ánh xạ :

Pp Pq? Pa (Ua A Ug) > Op (Ua 0 Up)

là một ánh xạ khả vi lên một miễn trong của RỶ

đ) ((U., @„)„ „ ¡} là họ tốt đại

Trong đó: * U, : lân cận tọa độ trong M

*® Vx€ U„, @„ (x) là tọa độ địa phương trên U„ được cho bằng

n hàm thực

Trang 5

với @} (x) là tọa độ địa phương của x Đa tạp khả vi lớp C” được gọi là đa tạp trơn

1.2 ANH XA KHA VI:

Cho M,M' là đa tạp khả vi

Ánh xa liên tục f: M —> M' được gọi là ánh xạ khả vi nếu với mọi (Uạ, @„)

trong M và mọi (Vạ, 1s) trong M’ sao cho f(U,) C Vg thi 4nh xa:

wa f , : @z(Ú„) —> tự (Vạ) là ánh xạ khả vi

Nếu ul, u° và vÌ, v” là các hệ tọa độ địa phương tương ứng với U„ và

Vạ thì khi đó f được biểu diễn thành các hàm khả vi v'=f(u!, u"), v"= f“ (w!, w®)

vớ f!, f”: @„(U„)—> R là m hàm thực khả vi n - biến thực Ánh xạ khả vi mà có ánh xạ ngược khả vi gọi là một vi phôi

* Khi M là một khoảng mở trong R thì f gọi là một đường cong trơn trong M' * Khi M là tập con mở của đa tạp M', M' là đường thẳng R thì f gọi là hàm thực khả vi trên M cM'

§2 TRƯỜNG Y£CTƠ

* Trong phần này chúng ta lần lượt tìm hiểu các khái niệm cơ bản của trường vectơ Trước hết ta nghiên cứu cấu trúc của các không gian tiếp xúc

2.1.V TIEP XU | M TAI MOT

Cho M là đa tạp khả vi n - chiểu Ánh xạ liên tục :

x: I = <ab>=>M t > x(t)

Trang 6

Khi đó vectơ tiếp xúc với đường cong x (0 tại p là ánh xạ :

X :lp = R

f ow Xf= “(fx (= (fx) (to))

Nói cách khác Xf là đạo hàm của f theo hướng của *vectơ” X hay đạo hàm

của f theo hướng của đường cong x(t) tai p = x (to), ty)» € I Vecto X théa man các

điều kiện :

1) X (f+ g)=Xf+ Xg

li) X(AN=AXf

iii) X (fg) =(Xf) g(p) + f(p) Xg Vf, g € J(p)

2.2 KHONG GIAN TIEP XUC CUAMTAIp:

Tập hợp tất cả vectơ tiếp xúc tại p tạo thành một không gian vectơ thực được gọi là không gian tiếp xúc của M tại p : T; (M)

Vf € J (p), (u`, , u") là hệ tọa độ địa phương trong lân cận của p Ta xét

ánh xạ :

ồ

ồ of oo

fre (ar) (f)= ai (Vj = Ln)

(phép lấy đạo hàm riêng theo biến ư' tại p)

ee e T, (M) vì l.l chính là vectơ tiếp xúc của đường cong x(t) tai p

với x(t) được xác định như sau :

Trang 7

* Như trên đã nói không gian tiép xtic T, (M) la một không gian vectơ thực n - chiều Để tính tốn được trên các khơng gian này ta sẽ xác định một cơ sở của

nó Đó là nội dung của định lý sau : 2.2.1 Định lý : Không gian tiếp xúc T,(M) là không gian vectơ n - chiểu với cơ sở chính là : (ar) ®* Chiing minh : Truféc hét ta chitng minh rang : : (3) 2 | là hệ sinh của T, (M) Giả sử X e Tẹ (M) là vectơ tiếp xúc tùy ý của M tại p Lúc đó VÝ e J(p) ta CÓ : Xf = (f,x)" (ty) ->(= 5) (u(e) P jat\ Ou = Eero 3 ) (f) =| Zw to ) (f) K= Fwy {=| = u/}(t “(âu ), — j=!

hay (5) 7 {= | anes iar

Trang 8

, ~~ ' C 8 Giả sử $e) =0(2 € R) j=l Ta có : l‡2(3) Jesse- l2.) P jal \Ou? n au! c> ‡d|^] =0 j= (Ou? }, = tà =0 p o E'=0(Vi=l, n) Suy ra (& ' là hệ độc lập tuyến tính ôuijJ»| P)j=In —

Bộ n số thực š', š" gọi là bộ thành phần của vectơ X trong tọa độ địa phương u', u”,

an

*Trên đây chúng tôi đã trình bày về khái niệm vectơ tiếp xúc Sử dụng khái

Trang 9

2.3.2 Trường vectơ khả vị :

Xét X là trường vectơ trên U và (u`, , u") là hệ tọa độ địa phương của p Khi đó Vp e U ; 3! š! (p), š (p), §” (p) e R sao cho: ký 1đ X- ướ|) Ta thu được n hàm š!, EŸ, , š": U —> R sao cho : X,= Sen) , VWpeU j=l du), tức là : X= 52) 2 trên U j= Ou

Ta định nghĩa : X kha vi én U <> €', ., š" khả vi trên U

e Khi X là ánh xạ hằng thì vectơ X gọi là trường vectơ song song * Trong tất cả các trường vectơ ta chỉ quan tâm tới trường mục tiêu

2.3.3 Trường mục tiêu :

Trường mục tiêu trên tập mở U M là hệ gồm n trường vectd (Xj, Xq) trén

U sao cho với mỗi p e U thì hệ {X;;, , Xa} là một cơ sở của Tẹ (u)

Nếu với mọi p e U mà X„ X„ = 8 thì (X,] gọi là trường mục tiêu trực chuẩn

Nếu với mọi i ma trường vectơ X; trên U là song song thì (X,} gọi là trường mục tiêu song song Khi đó mỗi trường vectơ X trên U được biểu diễn duy nhất

dưới dạng :

X= Sox, j=!

Trang 10

Lugn vin tinghijp Che khônggian Rieman có độ cong hằng

2.4 ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VECTƠ DỌC THEO MỘT TRƯỜNG

VECTO :

Giả sử X (M) là tập hợp các trường vectơ khả vi trên M

2.4.1 Cấu trúc đại số trên X (M) :

* X (M) như là không gian vectơ thực đối với phép cộng tự nhiên và phép

nhân với một vô hướng

(X+ Y); = X; + y;, VYp eM

(AX), =AX», Wp eM

* X (M) như là modul trên đại số J (M)

Nếu f là hàm thuộc J (M), còn X là trường vectơ trên M, thì fX là trường

vectơ trên M, được xác định như sau :

(fX); = f(p) X; với p eM * X(M) như là một R - dai s6 Lie :

Nếu X, Y e X (M), ta định nghĩa các dấu móc {X, Y] là ánh xạ từ vành các

hàm trên M vào chính nó như sau:

(X,Y]p=XgYp- Y,X;, , VpeM

[X, Y]f = X(Yf) -Y(Xf)

Khi đó : [X, Y] ciing 14 một trường vectd

That vay, trong toa 46 dia phuong u'’, ., u" ta c6 :

-kÍ#) eb jel

ae!

Khi đó : [X, Y] f= X (Y9) - Y(%Xf) = ¿[Ít } ( 3 jk=l âu

Điều đó có nghĩa là [X, Y] là một trường vectơ trên M mà thành phần đối

Trang 11

1) (X, [Y, Z] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] =0 ul) [fX, g¥] =fg[X, Y] +f (Xg)¥ + g(YHxX VX, Y,Z € X(M), Vf, g € J (M) Đạo hàm thuận biến trên đa tạp M là ánh xạ: X(M)xX(M) >> X(M) (X,Y) > VxyxY đặt tương ứng cặp trường vectơ (X, Y) với trường vectơ VxY, thỏa mãn 4 điều kiện © Vx (Ơ +Z)=VxY + VxZ *đ Vx,yZ= Vx2Z +VyZ © VxY =fVxY ,với mỗi f € J (M) â Vy (fY) =fVxƠ + (Xf) Y vi mdi f € J (M) Ta gọi VxY là đạo hàm của trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X §3 TRUONG TENXO

* Để tính độ cong thiết diện ta sử dụng công cụ trường Tenxơ Do đó trong phần dẫn nhập này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về trường Tenxơ

3.1 TÍCH TENXƠ :

* Tích Tenxơ V, & V; của hai không gian vectơ hữu hạn chiểu Vị, Vạ trên

R được xác định như sau :

Giả sử M (Vị, Vạ) là một không gian vectơ có tập hợp Vị x V; là cơ sở,

nghĩa là một không gian vectơ tự do được sinh ra bởi các cặp (vạ, vạ) với vị € Vj, vạ © V2 Goi N là không gian vectơ con trong M (V;, V2) dude sinh ra bởi các phan

Trang 12

tử có dạng : © (Vị + Vị”, V‡)—= (Vị, Vạ) = (Vị”, Vạ) ® (Vị, Vị” + V‡ạ)— (Vị, Vạ`)— (Vị, Vạ) (rv), V2) — r(Vị, Vạ) (Vị, f¥2) — r(¥), V2) trong đó ; vị, vị) € X;, V2, V2’ € X2,r ER Ta đặt : Vị @ Vyạ=M (Vì, V2)/N

Mỗi cặp (vị, v;) được xem là phân tử của M (V), V2) ảnh của nó với phép toán là phép chiếu tự nhiên M (Vị, Vạ) => Vị ® V; gọi là vị @ v2

Anhxao: V,;xV2 -> V.,®V;

(Vi, V2) 3> vị ®v¿=0@ (Vị, V2)

gọi là ánh xạ song tuyến tính chính tắc

3.1.1 Tensơ hiệp biến :

Cho V là K - không gian vectơ

Kýhiệu: T,(V)=V*@V*@.@V* Giản)

= Hom,,; (V x V x x V; K)

V* là không gian đối ngẫu của V

T,(V) : không gian các dạng đa tuyến tính cấp s trên V

Mỗi T e T,(V) gọi là một tenxơ hiệp biến cấp s hay s - tenxơ hiệp biến trên V

Trang 13

Luận văn tốt nghiệp — — — - Căzkhữngglen RmeweớđĐcong hằng

Mỗi T e T (V) gọi là một tensor phản biến cấp r hay r - tensor phản biến trên V, r=0:T°(V)=K r=1:T'(V)=V r=2:T'(V)=V@V = Hom (V* x V*; K) Mỗi T là một hàm r biến đối vectơ tuyến tính đối với từng biến và nhận giá trị trên K 3.1.3 Tenxơ hỗn hợp : Kýhiệu: T;(V)= Ƒ*® ®ƒ/*@V® ®V * r = Home (Vx Vx x Vx V* x x V*;K)

Mỗi T e TƑ(V) gọi là tenxơ hỗn hợp hiểu (s, r) trên V (s lần hiệp biến, r lan phản biến) hay (s, r) - tenxơ hỗn hợp trên V

Tộ(V) =K

TÌ(V)=V*®V_ =Hom(VxV*;K)

= Hom (V, V)

3.2 BIEU THUC TOA DO CUA CAC TENXG :

Cho co sd (E) = (e}, ., @,) cla V n - chiéu Goi (E)* = (e’, ., e") của V* tức

là :<e',e;>= ôj e K,i,j= In

Xét hệ các tenxơ kiểu (s, r) :

(5=(e" ® e:? @ @e'* @e; @ ® e,)

VOGEL Sips dp esc’ dis cin de SB

Hé (3) là một cơ sở của Tƒ (V) ứng với cơ sở (E) = (e), ., €,) 44 cho trong V

Trang 14

T= yt “h e! @e? @ @eh ®c, ® @c, tia - E, trong đó : Tà eK sử k * ] gọi là các “thành phần” của tenxơ T trong cơ sở (É) = (€\, , eạ) của V, 3.3 TRƯỜNG TENXƠ :

Giả sử T, = T, (M) là không gian tiếp xúc với đa tạp M tại x, và T(x) là đại số tenxơ

trên T, sao cho : T(x) = Ð Tý (x) trong đó T¿ là các tenxơ kiểu (s, r) trên T,

Trường tenxơ kiểu (s, r) trên tập con N của M là việc đặt tương ứng mỗi điểm xe€N với tenxơ K, e Tỷ (x)

Trong lân cận tọa độ U với tọa độ địa phương xÌ, x" ta chon

Ks, i = I,n là cơ sở đối với không gian tiếp xúc T„, x e U và œ` = dx' là cơ

x'

sở đối ngẫu trong T,*

Trang 15

— — Nói cách khác, g xác định một tích vô hướng trong mỗi không gian tiếp xúc T,(M),x eM Trong tọa độ địa phương x', , x" các thành phần của g được cho như sau : eg |e 2 gi = 2 ax! ox) Cách viết thông thường của g là : ds’ = Fg; dx'dx/ i,j 3.5 NHOM LIE VA DAI SO LIE : 3.5.1 Nhém Lie G: Nhóm Lie G là một nhóm, đồng thời là một đa tạp khả vi sao cho phép toán GxG >€G (a,b) > ab’ là một ánh xạ khả vi từ G x G vào G

Ta kí hiệu L„ (hay R,) là tác động trái (hay phải) trên G bởi phần tử a e G

L.x =ax ; R,x=xa ;VxeœG

Trường vectơ X trên G được gọi là bất biến trái (phải) nếu nó bất biến đối với mọi tác động L„ (R,), a e G Trường vectơ bất biến trái (phải) luôn luôn khả vi 3.5.2 Đại số lie_Œ của nhóm L¿e G :

Đại số lie G của nhóm Lie G là tập hợp tất cả các trường vectơ bất biến trái

Trang 16

Như vậy Œ là đại số con Lie n - chiểu của đại số Lie của các trường vectơ của X

(G)

Nhóm Lie G là nhóm Lie của các phép biến đổi trên đa tạp M, hay nói rằng G tác động khả vi trên M, nếu các điều kiện sau được thực hiện:

a) Mỗi phần tử a e G cảm sinh ra phép biến đổi trong M, được kí hiệu: x Xa,x€M bGxM>M : là ánh xạ khả vi (a,x) > Xa c)x(ab)=(xa)b , Va,beGvaxeM

$4 KHONG GIAN PHAN THO

* Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày khái niệm không gian phân thớ Khái niệm này có liên quan đến các phần còn lại của chương này và chương sau Ta cũng chỉ tìm hiểu về phân thớ tuyến tính và phân thớ mục tiêu trực chuẩn

4.1 ĐINH NGHĨA :

Cho M là một đa tạp, G là nhóm Lie Không gian phân thớ chính trên M

với nhóm G gồm đa tạp P và tác động khả vi, tự do của nhóm G trên P thỏa mãn : i) G tác động tự do (không có điểm bất động) bên phải trên P :

(u,a)ePxG ->ua =R,„u eP

i) M là không gian thương của P theo quan hệ tương đương được cảm tính bởi

nhóm G, M =P/G vào phép chiếu chính tắc :

t:P—>M =P/G khả vi

ii) P tẩm thường địa phương nghĩa là với mỗi x e M có một lân cận mở U sao cho œ! (U) đẳng cấu với U x G tức là tổn tại vi phôi

ự: ø'(U)— UxG

Trang 17

Lugn van titnghitp = Các không gian Rieflan c6ð0 cong hằng

Với y: œé (U) -> G thỏa mãn điểu kiện :

@ (ua) = (0(u)) a , Vu e #Ì (U) và a e G

Không gian phân thớ chính được kí hiệu là : P (M, G, œ) hoặc P (M, G) hay đơn giản là P

Trong đó: P là cơ sở của không gian phân thớ

G là nhóm cấu trúc r là phép chiếu

Với mỗi x € M, 1 (x) là một đa tạp con đóng trong P, gọi là một thớ trên x Nếu u là điểm thuộc + (x) thi x’ (x) 1a tap hợp các điểm ua a e G gọi là thớ qua u

4.2 PHÂN THỚ TUYẾN TÍNH L (M) :

Giả sử M là đa tạp n - chiều Mục tiêu tuyến tính u tại điểm x € M là một cơ sở được sắp xếp X;, , X„ của không gian tiếp xúc T, (M) L (M) là tập hợp các mục tiêu tuyến tính u tại mọi điểm của U

Giả sử r là ánh xạ từ : L (M) ->M

u >> x với u là mục tiêu tuyến tính tại điểm x

Nhóm tuyến tính tổng quát GL (n; R) tác động trên L (M) bên phải sao

cho: a = (ay) € GL (n, R) : nhóm tất cả các ma trận không suy biến cấp n x n va

u = (Xj, ., X,) thi ua 1a myc tiéu tuyén tinh (Y), ., Y,) tai x được xác định như sau:

Y; day

1

Như vậy GL (n, R) tác động tự do trên L (M) va x (u) = x (v) ©> v = ua với

a € GL (n, R)

Để đưa cấu trúc khả vi vào L (M), ta giả thiết (x', ., x") 1A toa 46 dia

phương trong lân cận tọa độ U trong M, Mỗi mục tiêu u tại x € M sẽ được thiết lập

Trang 18

Điều này chứng tỏ giữa x' (U) và U x GL (n, R) tổn tại một song ánh Ta

lấy (x!) và (Xụ;) làm hệ tọa độ địa phương trong ` (U) thì L (M) trở thành đa tạp khả vi

Khi đó L (M) (M, GL (n; R)) là phân thớ chính được gọi là phân thớ mục

tiêu tuyến tính trên M

4.3 PHAN THO MUC TIEU TRUC CHUAN O (M):

Giả sử L(M) là phân thớ mục tiêu tuyến tính trên đa tạp M n - chiéu O (n) là nhóm tất cả các ma trận trực giao cấp n x n Phép thu hẹp nhóm GL (n ; R) tới

0 (n) sinh ra m6t metric Rieman g trên M Giả sử Q (M, O (n)) là phân thé thu hep của L (M) Với u e L (M), u được cho bởi ánh xạ tuyến tính không suy biến từ

R* — T, (M) trong đó x e r£ (u) thì mỗi u e Q xác định một tích vô hướng g trong

T, (M) như sau :

g(ŒX,Y)=(u” X,u`Y) với X, Y e T, (M)

Tính bất biến của tích vô hướng tự nhiên (, ) trong R° đối với O (n) kéo theo

sự độc lập của g(X, Y) đối với việc chọn u e Q

Q được gọi là phân thớ mục tiêu trực chuẩn trên M, được ký hiệu là O (M)

Mỗi phan tử của O (M) là một mục tiêu trực chuẩn

§Š LIÊN THƠNG TRÊN CÁC

KHONG GIAN PHAN THO

* Liên thông trên các không gian phân thớ là vấn đề quan trọng trong hình

học vi phân Trong phần này chúng tôi sẽ lần lượt trình bày : liên thông trên không gian phân thớ, dạng cong, dạng xoắn, liên thông tuyến tính, liên thông Rieman cùng những định lý, mệnh để mà ta công nhận, không chứng mình, phục vụ cho chương

Sau,

Trang 19

Š.1.1 Liên thông :

Giả sử P là không gian phân thớ chính trên đa tạp M và nhóm G Mỗi u e P,

T, (P) là không gian tiếp xúc với P tại u và G, là không gian con của T, (P) gồm

các vectơ tiếp xúc với thớ qua u

Liên thông F trong P là sự tương ứng không gian con Q, của Tụ (P) với mỗi điểm u e P sao cho : a) Tu(P) = G, + Q, (tổng trực tiếp) b) Q,, = (R,), Q, với u e P, a e G, Rạu = ua c) Q, phụ thuộc khả vi vào u Ta gọi G, là không gian con thẳng đứng, Q, là không gian con nằm ngang trong Tạ (P) * Điều kiện a) cho ta mỗi vectơ X e T, (P) có thể viết duy nhất dưới dạng: X=Y+Z;YeG,,ZeQ,

Ta goi Y : là thành phẩn thẳng đứng của X, ký hiệu vX Z : là thành phần nằm ngang của X, kí hiệu hX

* Điều kiện b) nghĩa là tương ứng u -> Q, là bất biến đối với G

* Điều kiện c) cho ta nếu X là trường vectơ khả vi trên P thì vX và hX cũng khả vi

5.1.2 Dang liên thông :

Cho liên thông T trong P, ta định nghĩa 1 - dạng œ trên P với giá trị trong

đại số Lie G của nhóm G như sau :

* Moi A G cảm sinh trường vectơ A* trên P với A* = ơ(A) trong đó ơ:G>X(P) A* gọi là trường vectơ cơ bản tương ứng với A

Trang 20

Từ đó ta có œ (X) = 0 © X nằm ngang Dạng œ được gọi là dạng liên thông

của liên thông [' đã cho

Dạng liên thông œ thỏa mãn : a) œ(A*)= A với mọi A e G

b) (R,)*@=ad(a })o,

Trong đó ad là phép biểu diễn kết hợp của G trong G

5.2 DANG CONG, DANG XOẮN,LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH:

5.2.1 Dang cong :

Giả sử P(M, G) là phân thớ chính, p là phép biểu diễn của G trên V, p(a) là

phép biến đổi tuyến tính trong V, a e G và p (a, b) = p(a) p(b) với a, b e G

Ta định nghĩa dạng giả tenxơ bậc r trên P kiểu (p, V) là V - giá trị r - dạng @ trên P sao cho :

R*,œ@= p (a”) @ với a e G

Dạng ọ như vậy được gọi là r-dạng giả tenxơ kiểu (p, V)

Nếu p là phép biểu diễn kết hợp của G trong đại số Lie G thì ta nói rằng dạng giả tenxơ kiểu (p, G) là dạng ad G Dạng liên thông œ là ! - dạng giả tenxơ kiểu ad G Dø là 2-đạng tenxơ kiểu ad G và được gọi là dạng của độ cong đối với œ

Ký hiệu Do = @,

5.2.2 Dang xoắn, liên thông tuyến tính :

Gọi phân thớ mục tiêu tuyến tính L(M) là P, nhóm tuyến tính GL (n, R) là G với n = dim M Liên thông trong phân thớ mục tiêu tuyến tính P trên M gọi là liên thông tuyến tính trong M

Ta nói dạng chính tắc 6 đối với P là R” - giá trị l-dạng trên P được xác định

như sau :

6 (X) =u”(œ(X)) với X e Tụ (P)

Trang 21

Ta định nghĩa dạng xoắn của liên thông tuyến tính I 1a : ©=dơ

5.3 PHƯƠNG TRÌNH CẤU TRÚC :

Giả sử œ, 8, Q tương ứng là dạng liên thông, dạng xoắn, dạng cong của liên

thông tuyến tính F trong M Khi đó : d8 (X, Y)=~2.(øŒ)6(Y)~ø(Y)ðQ)+(X, Y) do(X, Y) =~ 2lø(X),ø(Y)]+9X.Y) VX, Y eT, (P),ue P Véi co sé ty nhién e), ., e; trong R` thì : 0=) 'e; , => @le, i i Đối với cơ sở E / trong là G Y (n, R) là tập hợp các ma trận thực cấp nxn thì: ø=ojB|L ; Q= LAE} i,j i,j Khi đó phương trình cấu trúc được viết lại là : do =-S a} re'+o' , i=l,n j doi =-Yo,rof+Q) , ij=lLn ` Xét 8 như dạng vectơ và œ là dạng gid tri ma tran Khiđó * d9=- A8 +â *đ d =—( ^ (0 + @ 5.4 TENXƠ CONG VÀ TENXƠ XOAN : 5.4.1 Tenxơ xoắn :

Ta gọi trường tenxơ xoắn (độ xoắn) là T và trường tenxơ cong (độ cong) là R

Trang 22

* X, Y € T, (M), ue L(M), x (u) =x

s X*, Y* là các vectơ của L(M)tạiu: x(X*)=X

xÐ(Y*) = Y

Tại mỗi điểm x e M, T xác định ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng : T, (M) x T,(M) ~—> T,(M) Nói cách khác T là một trường tenxơ kiểu (2, 1) sao cho:

T(X,Y)=- T(Y, X)

Ta gọi T(X, Y) là phép truyền độ xoắn trong T, (M) được xác định bởi các

vectd X, Y

5.4.2 Tenxo cong :

Tương tự giả sử R (X, Y) Z = u (2O(X*, Y*) (u!Z) với X, Y, Z e T, (M), u, X*,

Y* như trên, O(X*, Y*)e GY (n, R)

R(X, Y) dude goi la phép bién ddi 46 cong trong T,(M) được xác định bởi các

vecto X, Y

R là trường vectơ kiểu (3, 1) sao cho :

R(X, Y) =— R(Y, X)

* Theo thuật ngữ của vi phân hiệp biến, độ cong R và độ xoắn T có thể biểu diễn như sau:

T(X, Y) = V,¥ -V,X — [X, Y] và - R(X, Y)Z=[V,, VyIZ- Vix viZ với X, Y, Z là các trường vectơ trên M

Cho M là đa tạp, U là lân cận tọa độ của điểm x e M với hệ tọa độ địa

Trang 23

R(X X,) X;= SOR jy Xj Ck = Ln)

Với k : Rịu là thành phần của độ xoắn T và độ cong R

Ta định nghĩa : Ries =-Ri, Th, =-Tj,

i_wlsi ok al _olz k

Q)j = 2.5 Rn A8 > g' 2⁄2 lị6 A8

Š.4.4 Đồng nhất thức Bianki I, IỊ :

Giả sử X, Y, Z, W e T,(M) và u e L(M) với x(u) = x, X*, Y*, Z*, W* là

các trường vectơ của L(M) tương ứng với u'X, uY, uW sao cho n(X*,) = X, 1(Y*,) = Y,, m (Z*u) =2, x(W*,) = W

Khi đó : (V,T) (Y, Z) = u (X2 8(X*, Y*))

((V,R) (Y, Z))W =u ((X*,(2 @(Y*, Z*))) (u"W) * Đồng nhất thức Bianki thứ I: ø {R)X, Y) Z) =ø {T(T(X, Y), Z) + (V,T) (X, Z)) * Đồng nhất thức Bianki thứ II : ơ {(V,R)(Y, Z) + R (TŒ, Y), Z)} =0 với ơ là tổng ciclic đối với X, Y và Z nghĩa là : ơ (R(X, Y) Z2) = R(X, Y) Z + R(Y, Z) X + R(Z,X) Y s Nếu T =0 thì : + đồng nhất thức thứ I trở thành : o (R(X, Y)Z} =0 + đồng nhất thức thứ II trở thành : ơ ((V,R)(Y,Z)} =0

5.5 LIÊN THÔNG RIEMAN :

Trang 24

7 pew"

Da tap n-chiéu M với metric Rieman được gọi là đa tạp Rieman n-chiểu

Giả sử M là đa tạp Rieman n-chiểu với metric g O (M) là phân thớ mục tiêu trực chuẩn trên M Mỗi liên thông trong O (M) xác định một liên thông trong phân thớ L (M) của mục tiêu tuyến tính nghĩa là một liên thông tuyến tính trong

M

Liên thông tuyến tính được xác định bởi liên thông trong O (M) được gọi là liên thông metric trên M

Liên thông tuyến tính F của đa tạp Rieman M với metric g là liên thông

metric khi và chỉ khi g song song đối với F

se Mỗi đa tạp Rieman có một liên thông metric có độ xoắn = 0 Liên thông

này được gọi là liên thông Rieman

* Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã trình bày các khái niệm cơ bản

nhưng rất quan trọng của hình học vi phân Các khái niệm này rất quan trọng để vận dụng tìm hiểu về các không gian Rieman có độ cong hằng, là nội dung chính của khóa luận này, được trình bày chỉ tiết ở chương sau

Trang 25

CAC KHONG GIAN RIEMAN CO ĐỘ CONG HANG

* Trước khi đi vào chỉ tiết xây dựng các không gian Rieman có độ cong hằng, chúng tôi trình bày các kiến thức về đại số đa tuyến tính

$1 NHONG KHAO SAT DAI SO

Giả sử V là một không gian vectơ thực n chiều và R : V x V x Vx V — Rlà một ánh xạ đa tuyến tính có các tính chất sau:

8) R (Vị, V2, Vs, ¥4) = — R (Vo, Vị, Vạ, Va)

b) R (vy, V2, Va V4) = — RCV), V2, Va V3)

C) R (Vị, V2, Va, Va) RCV), V3, Va, V2) + R (Vị, Vạ, Vạ, Vị) = 0

Mệnh để 1.1:

Trang 26

Luộn văn tốt nghiệp ————ˆ -Gác khônggian Riemameðđcongbồng

R (V2, V3, V4 Vi) = — R (V3, V2, Vas Vi) R (V3, Va Vi, ¥2) = — R (V4, V3, Vị, V2) R (¥;, V2, V3 Va) =— R (V2, Vy, V3, Va) R (Vụ, Vị, V3, V4) = — R (Vạ, Vy, V3, Vạ) Xét tổng của 4 đẳng thức vế theo vế và rút gọn ta được : R (Và, Vạ, Vụ, Vị) + R (Vị, Và, Vạ, Vị) + R (Và, Vụ, V2, Và) + R (V¿, Vạ, Và, Vị) = Ô(*) mà R(Vì, Vạ, Vạ, Vị) = R (Vvạ, Vị, Vạ, Va) (do tính chất a), b)) R (Vị, Và, Và, Vị) = R (Vị, Vị, Vọ, V4) (*) <> 2R (Vj, V3, vạ, Vạ) + 2 R (Va, V2, V3, V1) = O <> R (vj, V3, Va ¥2) = — R(Vạ, Vạ, Và, VỊ)

Trang 28

© 3R(vị, V2, V3, vạ) — [R (Vị, Vạ, Và, VẠ) + R (Vị, Và, Vị, Vị)+ R (vị, V3, vạ, Vạ)] = 3T(VỊ, Vạ, Vạ, Vạ) = [T(Vị, Vạ, V3 Vg) +T (Vy, Và, Vỳ, Vị) + T(Vụ, Vạ, Và V)} (5) do tính chất c) nên (5) chỉ còn : 3R (Vụ, Vạ, Và, Vạ) =3T (Vị, Vạ, Vạ, Vạ) © R (Vị, Vạ, Vạ, Vạ) = T (Vị, Vạ, Vạ, Vạ) V Vị, Vạ, Vạ, Vạ € V Vay R=T i) Mệnh để 1.3 :

Giả sử P là một mặt phẳng, nghĩa là một không gian con 2 chiều trong V và giả sử (vụ, v;} là một cơ sở trực chuẩn của P Ta giả thiết : K(P)=R(vì, vạ, Vị, V;) Thì K (P) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của P * Chứng mình : Trước hết ta thấy từ tính chất a), b) ta có : R (vị, vạ, vạ, vạ) = 0 nếu vị = vạ hay vạ = Vạ (6) Giả sử (w, w;} là một cơ sở trực chuẩn mới trong P thì :

WwW, =a Vv, +b v2; W2 =— bv, + av2 trong dé a,b la cfc s6 thyc sao cho a’ +b’ = I,

Để chứng minh K (P) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của P nghĩa là ta cẩn

chứng minh:

R (VỊ, V¿, Vị, Vị) = R (W, W‡, Wị, W2)

Thật vậy ta xét :

R(w;, W2, Wy, W2) = R (av, + bv2, -bv, + av, av, + bvạ, -bv, + av2)

Do R là ánh xạ đa tuyến tính thỏa (6) nên ta rút gọn được :

R(Wi, W2, Wy, W2) = R (av), aV2, aV), aV2) + R (av), aV2, bv2, -bv;)

+ R (bv;, -bv;, av), aV2) + R (bv2, -bvị, bvạ, -bv,)

= a‘R (V;, V2, V1, V2) - a°b°R(¥), V2, V2, ¥;) - 7b? R (vp, Vp Vy Va)

Trang 29

Do tinh chat a), b) nên : R(Vì, Vị, Vị, Vị) R (Vị, Vạ, Vị, Vạ) R(vạ, vị, Vị, Vạ)= R (VỊ, Vạ, Vị, Vạ) Khi đó: R (Ww), W2, W), W2) =ã'R (Vụ, Vạ, Vị, Và) + a bŸR(V, Vạ, Vị, Vạ) +a?b?R (Vụ, Vạ, Vị, Vạ) + bÝR(vụ, vạ, Vị, V2) = R(VỊ, Vạ, Vị, Vạ) (a' + 2a“bỶ + b') =R(Vị, vạ, vị, V2) (a? + b?)Ÿ = R (Vị, ¥2, ¥1, V2) (do a’ +b’ = 1) Vậy K(P) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của P, e&A

* Ngoài ánh xạ đa tuyến tính R, chúng ta sẽ xét tích vô hướng là dạng song

Trang 31

R(Vi,Y2,Vị,V2)

Vay K(P) = :

(Vi,V)(V2,V+)—(Vi,V2)

* Nhận xét :

l) Ta giả sử ánh xạ đa tuyến tính R) xác định như sau :

RI(V¡, Và, Vị, Vạ) £ (Vị, Vạ) (V2, Vạ) = (Vạ, Vy) (Vị, Va) VỚI Vị, V2, Vạ, Vạ € V Khi đó ta kiểm tra 3 tính chất : a) RI(V¿, Vị, Vạ, Vạ) = (V¿, Và) (Vị, V4) — (Vị, V3) (V2, Va) =— R,(V¥1, V2, V3, Va) b) Ravi, V2, Vas V3) = (Vi, Va) (V2, V3) — (Vụ, V3) (V2, Va) =~ R (Vị, V2, Vạ, Vạ) €) Rị (Vị, Vạ, Và, Và) + Rị (Vị, Va, Ya, Va) + Ry (Vị, Và, Vạ, Vọ) = (Vi, V3) (Vạ, V4) — (Vị, V4) (V2, V3) + (Vị, V2) (Vạ, V4) — (Vị, V3) (V2, Va) + (Vị, V4) (Vạ, Vị) — (Vị, V2) (Vạ, Va) =0

Vậy Rạ là ánh xạ đa tuyến tính có các tính chất a), b), c) nên cũng có tính chất d) Với một mặt phẳng P bất kỳ trong V với cơ sở (vạ, v;} theo mệnh để 1.4 ta có: Rq(VI,V2,Vị,V2) K¡(P)= ¬ (Vị,ViXV¿,V2)—(Vq,V2) = (Vi,Vị)(Va,V2)—(vạ,vạ)Ÿ (Vi.Vj)(Va,Y2)—(Vi,va)Ÿ =1

2) Giả sử R là một ánh xạ đa tuyến tính với các tính chất a), b), c)

Trang 32

R(Vi,Y+,VỊ,V2) K(P)=C= (v,vịVa,va)—(vị,vạ)Ÿ s R(VỊ,V2,Vị,V2) Ri(VI,V2,Vp,V2) ©R (VỊ, Vạ, Vị, vạ) = CR¡(vị, V2, Vis V2) Theo ménh dé 1.2 ta suy ra: R = CR,

3) Giả sử ey, eạ là cơ sở trực chuẩn của V đối với tích vô hướng (, ) Anh xạ đa tuyến tính R thỏa các tính chất a), b), c) ta liên hệ với dạng song tuyến tính đối

Trang 33

§2 ĐỘ CONG THIẾT DIỆNW

Cho M là đa tạp Rieman n-chiều với tenxơ metric g R(X, Y) là phép biến đổi độ cong trong T, (M) được xác định bởi các vectơ X, Y e T,(M) và ta chọn

liên thông mêtric F sao cho đa tạp Rieman M có độ xoắn = 0

Bên cạnh trường tenxơ cong R kiểu (3, 1), ta xét R là trường tenxơ hiệp

biến bậc 4 kiểu (4, 0) của (M, g) được định nghĩa như sau : R(X.,X;:X:X¿) = B(RCXs,X4)X2,X1)

Với X, € T, (M), (i= 1, 2, 3, 4) (, ) la tích vô hướng tự nhiên trong R°

* Với định nghĩa này ta có các mệnh đề và định lý sau : Mệnh để 2.1: Tenxơ của độ cong Rieman được xét như là ánh xạ đa tuyến tính : T,(M) x T,(M) x T,(M) x T,(M) -> R,xeM có các tính chất a), b), c) va do đó cũng có tính chất d) Chứng minh :

Ta kiểm tra lần lượt 3 tính chất :

a) Giả sử u là điểm bất kỳ của phân thớ mục tiêu trực chuẩn O (M) sao cho

t (u) = x Giả sử X*%;, X*¿ e T,(O(M)) với m (X*3) = Xa, t(X*¿) = X‹

Trang 34

Uj ot R(X, X2, X3, X¿) = = R(X, Xi, X3, X¿) b) Ta có : R(X), Xp, X3, X4) = g (R(X:, X¿) X¿, X) = —g(R(X4, X3) X¿, XI) = —R(X), Xp, X4, X3) (vì R(X3, X4) =—-R(ŒX,, X:) c) Ta Xét :

R(X), Xz, Xz, X4) + ROX), Xa, Xy, Xz) + ROM, Ky, Xz, Xz)

= g(R(X3, Xs) Xo, Xp) + g(R(Xu¿, X:) Xà, XI) + BCR(X2, Xà) Xu, X.) =20(X*%;, X*¿)(u”X;),uX,) + ((20(X%4, X*%;) (u”X)), ú”X.) + ((20(X”›, X*;) (u Xa), u'X¡) = (20(X'›, X*,)(u''X;)+ 2@(X*,, X*;)(u`X;) + 2Q(X%;, X*3)(u`X.), u Xị) Vận dụng đồng nhất thức Bianki thứ l ta có : 2Q (X*%;, X®4)(u`X;)+ 2Q(X%,, X%;) (uX:) + 20(X*%, X®) (uˆX.) =0 Do đó ta được : R(X), X2, Xz, X4) + R(X, Xz, Xe, Xz) + ROX), Xy, Xo, Xz) = 0 i

* Đối với mặt phẳng P trong không gian tiếp xúc T, (M), độ cong thiết điện

K(P) đối với P được xác định như sau :

K(P) = R(X), X2, Xr, X2) = B(RCXi, Xz) X¿, X.) trong đó : Xạ, X¿ là cơ sở trực chuẩn của P

Theo mệnh để 1.3, K(P) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở trực chuẩn

Xj, Xo

Trang 35

Định lý 2.2 (Định lý schur):

(M, g) là một đa tạp Rieman với số chiều n > 3 Với mỗi x € M, P là mặt phẳng trong T,(M) Nếu độ cong thiết diện K(P) chỉ phụ thuộc vào x thì (M, g) là không gian có độ cong hằng Chiing minh : Với x e M, P là mặt phẳng trong T,(M) X\Ị, X¿, X:, X¿ 6 T¿(M) ta xét trường vectơ hiệp biến bậc 4 R(X), Xp, Xã, X¿) = g(XỊ, X:) g (X;, X¿) - gŒX¿, Xà) g(X:, Xã) Giả sử độ cong thiết điện K(P) = k với k là một hàm trên M Theo nhận xét ® và @ ta cũng rút ra được : R=kR,

Khi g song song thi R,; cing g song song nén ta xét:

(VuR) (Xj, Xz, X3, X4) = (Vuk) Ry (Xi, Xz, Xs, Xy) V Ue T, (M) Điều đó cho ta với moi X;, X2, X3,Ue T, (M) ta cd:

[(VuRMX), Xz)] Xs = = (Vuk) Ry (Xj, Xo, Xs)

hay [(VuR)(X;, X2)] X3 = (Uk) (g (X), X3) X2 — g(X2, Xs) X)) Xét t6ng ciclic cia déng nhat thifc Bianki d6i vdi U, X;, X2: [((VUR) (Xj, X¿)]X: + [(Vx,R) %¿, U)]X¿ + [(Vx,R) (U, X,)ÌX:

Trang 36

Luận văn tốt nghiệp = Cáckhônggiam Rieman cóđộcong hồng

Vì (1) đúng V X\, X¿, X¿:, U e T; (M) nên với X; tùy ý, ta chọn X¿, X¿, X; đôi một trực giao với nhau, U = X; (ta chọn được do đim M > 3) Khi đó ta có : g(X), X3)=0; g (X2, X;3) =0 g(X), X2) =0; g(X3, X3)=1 (1) trở thành : ~ (X,k) X2 + (X2k) X; =0 X;, Xz, X¡, X¿ là cơ sở của P nên X:, X; độc lập tuyến tính, vì thế : X;k = X+k = Ö đo đó k = const Vậy (M, g) có độ cong hằng k * Từ kết quả của định lý 2.2 ta có hệ quả sau : Hệ quả 2.3 : Đối với không gian có độ cong hằng ta có : R(X,Y)Z=k(g, (X, Z) Y - g(Y, Z) X) * Tiếp theo ta xem xét mệnh đề sau : Mệnh để 2.4 :

Nếu M là không gian có độ cong hằng, với độ cong thiết diện k thì dạng

cong Q= (Q5) được cho như sau :

Q¡ =kØ'^ Ø trên O (M)

trong đó (6) là dạng chính tắc trên O(M)

Chứng mình :

Giả sử Rìu va gi là các thành phần của tenxơ cong và tensơ metric đối với

hệ tọa độ địa phương x', , x", X, là trường vectơ = ¡=1, ,n xác định trên U

Trang 37

Rigi = 3 BimR ju m Vì M là không gian có độ cong hằng nên ta có : Ra = k (EwEj — 8g Bu) Ra = k (ð} Bi — Six 8}) Trên L (M) ta xác định được các hàm Rix như sau ; Ol = TR ne!

Trong đó Q = (Q1) là dạng của độ cong của liên thông Rieman Đối với

điểm u tùy ý của phân thớ mục tiêu trực chuẩn O(M), ta chọn hệ tọa độ địa phương XÌ, „ x" với gốc x = #(u) sao cho u là một mục tiêu được cho như sau :

You) Poe),

Khi 46 : gy = 5, tai x nén ta c6:

Rịa = Rụa = k (545) — 5.54) tai x

Giả sử ơ là thiết diện trong L(M)

o: U L(M)

X L2 a(x) = ((X1)x vor (Xa)x)

Ta có :

o* Ri, = Rig

Suy ra : Rix =k (54,5), —5),.5);) tại u

Dođó: = Q =kO' AP taiu

Mà u là điểm tùy ý của O (M) nên :

Trang 38

$3 CAC KHONG GIAN RIFMAN CO DO

CONG HANG

* Với các kết quả vừa trình bày chúng tôi nghiên cứu về các không gian có độ cong hằng Chúng ta sẽ xây dựng với mỗi hằng số k một không gian Rieman độ cong hàng với độ cong thiết diện k Cụ thể ta có định lý 3 l, vì thời gian và kiến thức có hạn nên định lý chỉ được chứng minh một phẩn,ta công nhận các kết quả còn lại

Gia sit (x', ., x", ) là một hệ tọa độ trong R°?!,M là một siêu mặt trong

R°*! được xác định như sau : (x') + +(x)’ +1 =r (r #0; r= const) Giả sử g là metric Rieman trên M, nhận được bằng sự thu hẹp dang sau đây trên M : (dx') + + (dx")” + r (d” Khi đó :

(1) Nếu r >0 thì M đẳng cự với một mặt cầu bán kính r'2, Nếu r < 0 thì M gồm 2

da tạp liên thông đẳng cự với nhau mỗi một trong chúng ví phôi với R”

(2) Nhóm G các phép biến đổi tuyến tính trong R"*! bảo tổn dạng toàn phương bất

biến (x!)Ÿ + (x?) + + (x")Ÿ + rt? tác động truyền ứng trên M

Trang 39

Luận văn tối nghiệp == Cáckhữnggiaw Riemane6đ)ongkồng

(x) + +(x")°+(x°*)=r

(dx')? + + (dx")? + (dx"*!)? én M

va metric g là thu hẹp của dạng :

(dx')” + + (dx")” + (dx"°')' trên M

Điều này cũng có nghĩa là M đẳng cự với hình cầu bán kính r'?

« Nếu r <0 thì Ẻ > 1 tại mỗi điểm của M Giả sử M' (tương ứng M”) là tập

hợp các điểm của M với t > 1 (tương ứng t < -1)