Mặt tròn xoay có độ cong hằng trong không gian r3

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HỒNG VÂN MẶT TRỊN XOAY CĨ ĐỘ CONG HẰNG TRONG KHƠNG GIAN R3 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Huế, Năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HỒNG VÂN MẶT TRỊN XOAY CĨ ĐỘ CONG HẰNG TRONG KHƠNG GIAN R3 Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU Thừa Thiên Huế, năm 2017 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Tp.Huế, ngày 01 tháng 10 năm 2017 Trần Thị Hồng Vân ii Lời cảm ơn Được hướng dẫn tận tâm đầy kiên nhẫn thầy giáo, PGS.TS Đoàn Thế Hiếu, tơi hồn thành luận văn Lời đầu tiên, tơi xin gửi đến Thầy lịng tơn kính tri ân sâu sắc điều tâm huyết mà Thầy truyền dạy thời gian qua Tơi xin trân trọng tỏ lịng biết ơn đến quý thầy cô tham gia giảng dạy cho hệ cao học khóa K24, chun ngành Tốn học, trường Đại học Sư phạm Huế tận tình truyền đạt kiến thức quý báu suốt thời gian khóa học Bên cạnh đó, tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Khoa Toán Phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Huế hỗ trợ tạo điều kiện học tập thuận lợi, đảm bảo hiệu để hồn thành khóa học cách tốt đẹp Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành lịng kính trọng đến gia đình ln ủng hộ dành lời động viên cho suốt chặng đường dài khơng khó khăn vừa qua Và lời nữa, xin dành cho bạn bè, thành viên lớp Hình Học Tơ-pơ K23, K24 niên khóa 2014-2016, 2015-2017 anh chị nhóm Seminar Hình Học Huế biết ơn sâu sắc nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học thực đề tài luận văn Tp.Huế, ngày 01 tháng 08 năm 2017 Trần Thị Hồng Vân Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Phần nội dung Độ cong Gauss 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Mặt tham số không gian R3 1.2.1 Dạng thứ hai 1.3 Nhát cắt chuẩn tắc Độ cong Gauss, độ cong trung bình Các ví dụ 1.3.1 Độ cong pháp Nhát cắt chuẩn tắc Độ cong 1.3.2 Các đường cong 1.3.3 Độ cong Gauss - Độ cong trung bình 1.3.4 Một số cơng thức tính độ cong Gauss 1.3.5 Độ cong Gauss độ cong trung bình số mặt 4 8 10 11 11 13 Mặt tròn xoay có độ cong 2.1 Mặt trịn xoay 2.2 Độ cong mặt tròn xoay 2.3 Mặt tròn xoay có độ cong dương 2.4 Mặt trịn xoay có độ cong âm 2.5 Mặt Catenoid 16 16 19 22 27 33 2.5.1 2.5.2 Định nghĩa 33 Độ cong Gauss mặt catenoid 34 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Lời nói đầu Trong khơng gian R3 , mặt tròn xoay mặt nhận cách quay đường cong phẳng (đường sinh) xung quanh đường thẳng (trục quay) với giả thiết đường cong đường thẳng thuộc mặt phẳng Để tránh điểm kỳ dị, người ta thường giả thiết đường cong không cắt đường thẳng Mặt trịn xoay có độ cong trung bình khơng (mặt trịn xoay cực tiểu) đề tài nhiều người quan tâm Ngoài độ cong trung bình độ cong Gauss cho nhiều tính chất mặt Độ cong Gauss mặt điểm tích hai độ cong đặt theo tên nhà tốn học Carl Friedrich Gauss Các mặt có độ cong Gauss (gọi tắt có độ cong hằng) đối tượng thú vị nhiều nhà Toán học quan tâm Vậy, vấn đề đặt việc tìm mặt trịn xoay có độ cong âm hay độ cong dương nào, chúng có hình dạng sao? Với mong muốn tìm hiểu độ cong Gauss mặt trịn xoay có độ cong Gauss hằng, gợi ý PGS.TS Đồn Thế Hiếu, tơi nhận đề tài “Mặt trịn xoay có độ cong không gian R3 ” làm đề tài nghiên cứu luận văn Luận văn trình bày theo ba phần, • Lời nói đầu: Giới thiệu nội dung nghiên cứu luận văn • Phần nội dung: Bao gồm hai chương: Chương 1: Độ cong Gauss Trong chương tơi trình bày số kiến thức mặt, tổng hợp chứng minh chi tiết công thức tính độ cong Gauss sở liên hệ với khái niệm "nhát cắt chuẩn tắc" ví dụ liên quan khơng gian R3 , theo đó, ta áp dụng để tính nhanh độ cong số mặt quen thuộc Chương 2: Mặt trịn xoay có độ cong Trong chương tơi giới thiệu khái niệm mặt trịn xoay, nêu ví dụ mặt trịn xoay khơng gian R3 có độ cong dương hay âm • Phần kết luận: Tổng kết kết đạt được, đồng thời nêu số vấn đề chưa giải luận văn Chương Độ cong Gauss 1.1 Kiến thức chuẩn bị Để tiếp cận kiến thức nội dung chương dễ dàng hiệu hơn, củng cố lại vài khái niệm, kiến thức tham khảo từ tài liệu [1] 1.2 Mặt tham số không gian R3 Mục nhằm giới thiệu mặt tham số không gian R3 , đưa công thức tính tốn độ cong địa phương trình bày ví dụ Định nghĩa 1.2.1 (Mặt tham số) Một mặt tham số cặp (X, S) với X : U ⊂ R2 → R3 (u, v) → X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ánh xạ khả vi xác định U mở S = X(U ) Khi S gọi vết mặt tham số, X gọi tham số hóa mặt Mặt tham số X gọi liên tục, khả vi ánh xạ X liên tục, khả vi Mặt tham số X gọi quy ánh xạ đạo hàm DXp : R2 → R3 đơn ánh ∀p ∈ U Tức {Xu (p), Xv (p)} độc lập tuyến tính Mệnh đề 1.2.2 Cho X : U ⊂ R2 → R3 mặt tham số quy q điểm thuộc U Khi tồn lân cận V q U cho X(V ) ⊂ R3 mặt quy Chứng minh Giả sử X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Từ tính quy, ta giả sử xu y u xv y v = ∂(x, y) = ∂(u, v) Xét ánh xạ F : U × R → R3 (u, v, t) → F (u, v, t) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v) + t), (u, v, t) ∈ U × R ∂(x,y) Do det(F (q)) = ∂(u,v) (q) = nên theo định lý hàm ngược, tồn lân cận W1 q lân cận W2 F (q) cho F : W1 → W2 vi phôi Đặt V = W1 ∩ U , ta có F |V = X|V Do X(V ) vi phôi với V nên X mặt quy Định nghĩa 1.2.3 Một vector tiếp xúc v mặt quy S điểm p ∈ S vector tiếp xúc cung tham số α khả vi có vết nằm S α : (− ; ) −→ S α(0) = p, α (0) = v Đặt Tp S = {v : v vector tiếp xúc với S p} tập gồm tất vector tiếp xúc S p gọi mặt phẳng tiếp xúc S đặt p ký hiệu Tp S Ta thấy không gian tiếp xúc Tp S không gian vector 2-chiều {Xu , Xv } hai vector tiếp xúc lập thành sở không gian tiếp xúc Tp S Định nghĩa 1.2.4 (Mặt phẳng tiếp xúc) Xét q(u, v) ∈ Ω, ta có X(q) = p ∈ S Khi đó, mặt phẳng qua p nhận Xu (q), Xv (q) làm cặp vector phương gọi mặt phẳng tiếp xúc S p Khi không quan tâm đến điểm tiếp xúc, ta đồng khơng gian tiếp xúc mặt phẳng tiếp xúc Định nghĩa 1.2.5 (Dạng thứ nhất) Cho S ⊂ R3 mặt quy, p ∈ S Tích vơ hướng mặt phẳng tiếp xúc Tp S cảm sinh từ tích vơ hướng R3 xác định sau: ω1 , ω2 p = ω1 ω2 , ∀ω1 , ω2 ∈ Tp S Khi đó, dạng tồn phương: Ip : Tp S −→ R ω −→ Ip (ω) = ω, ω p = ω.ω = |ω|2 , với ω ∈ Tp S gọi dạng thứ mặt S điểm p 1.2.1 Dạng thứ hai Cho S mặt quy V ⊂ S tập mở Định nghĩa 1.2.6 Cho trường vector V với ánh xạ F : V −→ R3 Trường vector gọi liên tục, khả vi ánh xạ F liên tục, khả vi Nếu ∀p ∈ V, F (p) ∈ Tp S F gọi trường vector tiếp xúc V Nếu ∀p ∈ V, F (p)⊥Tp S F gọi trường vector pháp V Nếu ∀p ∈ V, F (p)| = 1, F gọi trường vector đơn vị V Định nghĩa 1.2.7 (Mặt định hướng) Xét mặt quy S , có trường pháp vector đơn vị liên tục N xác định tồn mặt mặt gọi định hướng Khi đó, trường pháp vector N gọi định hướng S Một mặt quy định hướng mặt quy định hướng hướng xác định N Định nghĩa 1.2.8 (Ánh xạ Gauss) Cho (S, N ) mặt quy định hướng, giả thiết định hướng N mặt khả vi Do |Np | = 1, ∀p ∈ S nên ta coi N ánh xạ khả vi từ mặt quy S vào mặt cầu đơn vị S , biến điểm p mặt S thành điểm vector pháp Np thuộc mặt S Ánh xạ: N :S −→ S p −→ Np gọi ánh xạ Gauss mặt định hướng S Ta có ánh xạ Gauss khả vi đạo hàm p ∈ S ánh xạ tuyến tính Vì Tp S⊥Np , TNp S ⊥Np , ∀p ∈ S nên ta thường đồng Tp S TNp S p ∈ S Do xem dNp tự đồng cấu tuyến tính Tp S : dNp : Tp S −→ TNp S ≡ Tp S Tiếp theo, tơi tìm mặt trịn xoay có độ cong dương âm thể qua hai định lí kèm theo chứng minh chi tiết Các kết hai định lí nói đến tham khảo từ tài liệu [4] 2.3 Mặt trịn xoay có độ cong dương Trong mục này, để tìm mặt trịn xoay khác R3 có độ cong dương, tiến hành ngược lại, cách đưa mặt tròn xoay M với độ cong dương cho trước tìm kiếm hạn chế tham số hóa X M Định lý 2.3.1 Cho M mặt trịn xoay có độ cong dương , a > a2 Khi M có tham số hóa dạng: X(u, v) = (ϕ(v) cos u, ϕ(v) sin u, ψ(v)) ,  v   ϕ(v) = b cos a , (2.10) v/a   ψ(v) = a2 − b2 sin2 tdt với b số dương tham số v có trường hợp sau: −πa πa - Nếu b = a ≤v≤ 2 - Nếu b < a − ∞ < v < ∞ a a - Nếu b > a − a arcsin ≤ v ≤ a arcsin b b Hơn X quy (u, v) ϕ(v) = 0, v = (n + )πa Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử X = X[α] có dạng: X(u, v) = (ϕ(v) cos u, ϕ(v) sin u, ψ(v)) , đường cong α = (ϕ, ψ) có vận tốc đơn vị, tức ϕ (v) + ψ (v) = 1 Nếu M có độ cong dương K = , theo Hệ (2.2.4), có nghĩa ϕ a thỏa mãn phương trình vi phân sau: ϕ + ϕ = a2 22 (2.11) Ta thu nghiệm chung ϕ(v) = C1 cos v v + C2 sin a a C1 = C12 + C22 = C12 + C22 cos v + a C2 C12 + C22 sin v a v +c a v +c a = b cos Trong cos c = C12 + C22 cos C1 C12 + C22 C2 ; sin c = C12 + C22 C12 + C22 > ; b= Giả sử c = 0, sin c = 0, C2 = 0; cos c = 1; b = C12 v Vì vậy, ϕ(v) = b cos (ta phương trình (1) (2.10)) a Dịch chuyển đường cong dọc theo trục mặt tròn xoay, v = đường cong xa từ trục mặt trịn xoay Ta có ϕ2+ψ2 =1 b2 v ⇔ sin2 + ψ = a a b2 v v ⇔ ψ = − sin2 = a2 − b2 sin2 a a a a v Để ψ (v) xác định a2 − b2 sin2 ≥ a • Trường hợp b = a: v v v → (a cos , a sin ) a a Khi đường cong phần đường trịn để đảm bảo đường −π v π cong không bị chồng chéo ≤ ≤ (1) a Như ta nhận hình bán nguyệt bán kính a • Trường hợp b < a: hiển nhiên ta có a2 − b2 sin2 xác định ∀v , hay −∞ < v < ∞ (2) • Trường hợp b > a: để a2 − b2 sin2 v ≥0 a 23 v ≥ 0, ∀v Nên ψ (v) a v a2 ≤ a b v a −a ≤ sin ≤ ⇔ b a b a a ⇔ −a arcsin ≤ v ≤ a arcsin (3) b b ⇔ ≤ sin2 v (a − b2 sin2 ) = a a a Lấy tích phân từ đoạn [0, v], ta Từ (1),(2) (3) suy ψ = v a2 − b2 sin2 a v a ψ(v) = a2 − b2 sin2 t dt a t Đặt u = , ta có ψ(v) = a v a a2 − b2 sin2 u du (Ta có phương trình(2) (2.10)) Tóm lại: - Nếu b = a, quay đường cong α = (ϕ, ψ) quanh trục z , ta mặt cầu S (a) có bán kính a - Nếu b < a, đường cong α = (ϕ, ψ) làm thành vòng cung nhỏ v v π giao trục z, tức ϕ(v) = ⇔ b cos = ⇔ = ± + kπ a a π a2 − b2 sin2 t dt z=± Độ dài hai điểm πa, giống độ dài hình bán nguyệt bán kính a, đường cong kéo dài đến vô hạn đan kết lên xuống dọc trục z (hình 2.3) - Nếu b > a, đường cong xác định −a arcsin a a ≤ v ≤ a arcsin b b kết quả, mặt trịn xoay có hình dạng giống trống hay thùng rượu a (hình 2.4) b lớn dần a Tỉ lệ → 0, lớn khoảng a Hình 2.4 minh họa = b b 24 Hơn X quy (u, v) ϕ(v) = 0, v = (n + )πa Thật vậy, ta có: Xu = (−ϕ(v) sin u, ϕ(v) cos u, 0); Xv = (ϕ (v) cos u, ϕ (v) sin u, ψ (v)) Xu ∧ Xv = (ϕ(v).ψ (v) cos u, ϕ(v).ψ (v) sin u, −ϕ(v).ψ (v)), |Xu ∧ Xv | = ⇔ ϕ2 (v).ψ (v) + ϕ (v).ϕ2 (v) = ⇔ ϕ2 (v)(ϕ (v) + ψ (v)) = ⇔ ϕ2 (v) = ⇔ ϕ(v) = v ⇔ b cos = a π ⇔ v = a( + kπ) Hệ 2.3.2 Cho S(a, b) mặt trịn xoay có đường cong α = (ϕ, ψ) với ϕ, ψ cho (2.10) Khi đó: S(a, a) mặt cầu bán kính a (Loại trục đĩa): Nếu < b < a S(a, b) mặt tròn xoay giống chuỗi hạt vơ hạn, mặt có hình dạng bóng với đỉnh nằm trục mặt trịn xoay (Xem hình bên trái hình 2.4) (Loại Bulge): Nếu < a < b S(a, b) có hình dạng trống thùng rượu không qua trục quay 25 Hình 2.2: Các đường cong với b ≤ a, b ≥ a Hình 2.3: Các mặt S(a, b) với a/b = a/b = 3/4 26 Hình 2.4: Một vài hình ảnh minh họa thực tế 2.4 Mặt trịn xoay có độ cong âm Việc xác định mặt trịn xoay có độ cong âm ta tiến hành bước mục (2.3) Tuy nhiên, để tìm mặt trước hết tìm hiểu thêm khía cạnh khác hàm elip tích phân, có ích cho nghiên cứu mặt tròn xoay có độ cong âm Định nghĩa 2.4.1 Tích phân Eliptic loại thứ hai xác định bởi: Φ − m sin2 θ dθ E(Φ|m) = Trong tích phân Eliptic đầy đủ loại thứ hai là: π π E( |m) = − m sin2 θ dθ Định nghĩa xuất phát từ cơng thức độ dài cung hình elip Chúng ta viết lại phương trình (2.10): ψ(v) = aE 27 v b2 | a a2 Chú ý E(θ|1) = sin θ, E(θ|m) coi tổng quát hàm sin Các khái quát tương ứng hàm sinhyperbol hóa là: −iE(iθ| − m), vì: θ − msinh2 θ dθ − iE(iθ| − m) = (2.12) Có thể kiểm tra cách thay đổi biến tích phân sử dụng tính chất sinh x = −i sin x iθ + msin2 θ dθ Ta có: −E(iθ| − m) = −i θ Đặt t = suy idt = dθ Khi đó: i θ iθ + msin2 θ dθ = −i + msin2 it dt 0 Mặt khác eiθ = cos θ + i sin θ; e−iθ = cos θ − i sin θ eiθ − e−iθ e−θ − eθ ; sin iθ = 2i 2i e−θ − eθ Suy sin iθ = = − sinh2 θ 2i Do sin θ = θ θ + msin2 it dt = Vì − m sinh2 t dt Bây ta sử dụng định nghĩa để tìm mặt trịn xoay có độ cong âm Định lý 2.4.2 Cho M mặt trịn xoay có độ cong âm K = − M có a2 tham số hóa X sau: X(u, v) = (ϕ(v) cos u, ϕ(v) sin u, ψ(v)) Khi đường cong α = (ϕ, ψ) trường hợp đây: i) (Loại giả cầu) α(v) = (ae−v/a , 0, (aev/a , 0, v v − e−2t/a dt) ≤ v < ∞, − e−2t/a dt) 28 − ∞ < v ≤ 0, (2.13) ii) (Loại hyperboloid)  v  ϕ(v) = b cosh , a iv −b2 | ), a a2 a a với b số dương, v thỏa mãn −a arcsinh ≤ v ≤ a arcsinh b b  ψ(v) = v/a a2 − b2 sinh2 t dt = −iaE( (2.14) iii) (Loại conic)  v  ϕ(v) = b sinh , a (2.15) √ iv −b2 2 = −i a − b E( | ), a a − b2 √ √ a2 − b a2 − b ≤ v ≤ a arcsinh với b số, < b ≤ a, v thỏa mãn −a arcsinh b b  ψ(v) = v/a a2 − b2 cosh2 t dt Chứng minh Không tính tổng quát, giả sử a > Tương tự mục (2.3), ϕ thỏa mãn phương trình vi phân: ϕ − ϕ = a2 Có nghiệm chung ϕ(v) = Aev/a + Be−v/a (2.16) • Trường hợp 1: Giả sử A = 0, B > (Trường hợp B < ta thay đường cong (ϕ, ψ) thành (−ϕ, ψ)), chọn B = a (Trường hợp B = a thay biến v v + a log B − a log a) Do ϕ(v) = ae−v/a (1) Vì ϕ + ψ = nên ψ = − ϕ = − e−2v/a −2v ≤ ⇔ v ≥ (hay ≤ v < ∞) Để ψ xác định − e−2v/a ≥ ⇔ a Suy ψ (v) = − e−2u/a v − e−2t/a dt (2) Lấy tích phân đoạn [0, v], ta có ψ(v) = Từ (1) (2), ta có phương trình thứ (2.13) Tương tự B = 0, ta có phương trình thứ hai (2.13) Tiếp theo, trường hợp A, B = Khơng tính tổng qt, giả sử |A| = |B| (khi |A| = |B| thay biến v v+ a B log | |) A 29 Hình 2.5: Mặt giả cầu • Trường hợp 2: Khi A = B , giả sử A > thì: v ϕ(v) = A ev/a + e−v/a = 2A cosh a v Đặt b = 2A suy ϕ(v) = b cos (phương trình thứ (2.14)) a Tương tự theo (2.10), ta có: v/a a2 − b2 sinh2 t dt = −iaE ψ(v) = iv −b2 | (phương trình thứ hai a a (2.14)), a a với b số dương, −a arcsinh ≤ v ≤ a arcsinh b b Thật vậy, ta có: iv/a −iaE iv −b2 | a a b2 + sin2 t dt a = −ia Đặt u = iv/a −ia t suy idu = dt i v/a b2 + sin2 t dt = −ia a 1+ b2 sin2 ui idu = a2 v/a a2 + b2 sin2 ui du = v/a a2 − b2 sinh2 u du • Trường hợp 3: Khi A = −B , giả sử A > 0, (2.16) trở thành: v ϕ(v) = A(ev/a − e−v/a ) = 2A sinh a 30 Tương tự trường hợp 2: đặt 2A = b ta có ϕ(v) = b sinh u (phương trình a thứ (2.15)), v/a ψ(v) = √ a2 − b2 sinh2 t dt = −i a2 − b2 E thứ hai (2.15)), iv −b2 | (phương trình a a − b2 √ với b số, < b ≤ a, v thỏa mãn −a arcsinh a2 − b ≤ v ≤ a arcsinh b √ a2 − b b Thật vậy, ta có: iv/a −i a2 − b 1+ b2 sin2 t dt a2 − b Đặt u = t suy idu = dt i iv/a −i v/a b2 1+ sin2 t dt = −i a − b2 a2 − b a2 − b 1+ b2 sin2 ui idu a2 − b v/a a2 − b2 + b2 sin2 ui du = v/a a2 − b2 sinh2 u du = Hệ 2.4.3 Mặt tròn xoay mà đường cong cho (2.13) mặt giả cầu tractoid, mặt tròn xoay đường tractrix Chứng minh Trong [4] có kết nói đường tractrix có tham số hóa với vận tốc đơn vị sau: α(v) = (ae−v/a) , (aev/a , v v − e−2t/a dt) ≤ v < ∞, − e−2t/a dt) − ∞ < v ≤ Kết hợp với phần i) định lí (2.4.2), ta có hệ 31 (2.17) Hình 2.6: Mặt loại hyperboloid conic Hình 2.7: Mặt loại hyperboloid conic 32 Hình 2.8: Các đường cong cho độ cong âm Sau ví dụ điển hình, thường gặp mặt trịn xoay có độ cong âm, mặt Catenoid 2.5 2.5.1 Mặt Catenoid Định nghĩa Mặt Catenoid nhận cách quay đường dây xích (catenary) quanh trục Oz: x = a cosh( z−b ), a với a, b ∈ R, a = Nếu b = mặt Catenoid có tham số hóa dạng:    x(u, v) = a cosh v cos u, y(u, v) = a cosh v sin u,   z(u, v) = av Trong −∞ < v < +∞, ≤ u ≤ 2π 33 2.5.2 Độ cong Gauss mặt catenoid Mặt catenoid có tham số hóa dạng: X(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sin u, av), v ∈ R, ≤ u ≤ 2π Theo (2.1) ϕ(v) = cosh v, ψ(v) = av Ta có ϕ (v) = a sinh v, ϕ (v) = a cosh v ψ (v) = a, ψ (v) = Áp dụng (2.7), ta thu −ψ ϕ + ϕ ψ ψ ϕ(ϕ + ψ )2 −a2 a cosh v + a sinh v.0.a = a cosh v(a2 sinh2 v + a2 )2 −a2 = a4 cosh4 v −1 = a cosh4 v K= Như vậy, theo kết mặt catenoid mặt trịn xoay có độ cong khơng Hình 2.9: Mặt catenoid 34 Kết luận Thơng qua luận văn này, chúng tơi trình bày số nội dung mà thân tìm hiểu học hỏi từ buổi thảo luận với Thầy giáo hướng dẫn thành viên nhóm Hình Học Huế, tóm tắt sau: a) Trình bày số kiến thức mặt, tổng hợp chứng minh chi tiết công thức tính độ cong Gauss sở liên hệ với khái niệm "nhát cắt chuẩn tắc" ví dụ liên quan khơng gian R3 , theo đó, ta áp dụng để tính nhanh độ cong số mặt quen thuộc b) Định nghĩa mặt trịn xoay, nêu ví dụ c) Chỉ kinh tuyến vĩ tuyến đường cong Từ nêu cơng thức tính độ cong Gauss theo độ cong kinh tuyến vĩ tuyến d) Chúng phát triển chủ đề thú vị mặt tròn xoay mặt có độ cong Gauss (độ cong hằng) nửa cuối chương cách cho mặt tròn xoay có độ cong dương âm, từ tìm mặt trịn xoay tương ứng khơng gian R3 Do hạn định mặt thời gian lực thân cịn nhiều thiếu sót, nên thành thu qua luận văn hạn chế Cụ thể phần mặt trịn xoay có độ cong âm, chưa đưa vài ví dụ Bên cạnh đó, dù cố gắng khơng thể tránh khỏi sai sót mặt trình bày, lỗi đánh máy Rất mong nhận góp ý từ q thầy bạn đọc nhằm hồn thiện luận văn Kính chân thành cảm ơn ! 35 Tài liệu tham khảo Tài Liệu Tiếng Việt [1] Đồn Thế Hiếu (2008), Bài giảng hình học vi phân, Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Tài Liệu Tiếng Anh [2] Carmo Manfredo Perdigão (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Riemannian geometry, Translated from the Portuguese, PrenticeHall Inc Englewood Clifs, N.J [3] Goldman Ron (2005), Curvature formulas for implicit curves and surfaces, Computer Aided Geometric Design, vol.22(7):632 [4] Gray Alfred (1998), Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, Second edition, CRC Press, Boca Raton, FL, xxiv + 1053 pp [5] Kuhnel (2006), Curves-surfaces-manifolds, Wolfgang Differential geometry, American Mathemat-ical Society Providence, RI [6] Struik Dirk Jan (1988), Lectures on Classical Differential Geometry, Courier Dover Publica-tions, ISBN 0-486-65609-8 36 ... tính độ cong Gauss 1.3.5 Độ cong Gauss độ cong trung bình số mặt 4 8 10 11 11 13 Mặt trịn xoay có độ cong 2.1 Mặt tròn xoay 2.2 Độ cong mặt tròn xoay 2.3 Mặt. .. dụng để tính nhanh độ cong số mặt quen thuộc Chương 2: Mặt tròn xoay có độ cong Trong chương tơi giới thiệu khái niệm mặt trịn xoay, nêu ví dụ mặt trịn xoay khơng gian R3 có độ cong dương hay âm... Ngoài độ cong trung bình độ cong Gauss cho nhiều tính chất mặt Độ cong Gauss mặt điểm tích hai độ cong đặt theo tên nhà toán học Carl Friedrich Gauss Các mặt có độ cong Gauss (gọi tắt có độ cong hằng)