Mặt tròn xoay cực đại trong không gian lorentz minkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HỒNG YẾN MẶT TRỊN XOAY CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN R31 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thừa Thiên Huế, Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HỒNG YẾN MẶT TRỊN XOAY CỰC ĐẠI TRONG KHƠNG GIAN R31 Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠ PƠ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết luận văn trung thực đồng tác giả cho phép sử dụng Nguyễn Thị Hồng Yến ii LỜI CẢM ƠN Tơi xin gửi lời cám ơn đến thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại Học Sư Phạm Huế giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học luận văn Đặc biệt tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy giáo PGS.TS Đoàn Thế Hiếu tận tình giúp đỡ, dày cơng hướng dẫn, đóng góp ý kiến giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cám ơn thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học K24 dành nhiều tâm huyết truyền đạt kiến thức cần thiết năm học vừa qua Sau cùng, xin gửi lời cám ơn đến học viên khóa K23, K24 gia đình bạn bè tạo điều kiện giúp tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Phần mở đầu Phần nội dung Không gian Lorentz-Minkowski 1.1 Không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều 1.2 Phép biến đổi Lorentz 1.3 Các phép quay Lorentz với trục L 12 Mặt cực đại tròn xoay 2.1 Mặt cực đại 2.1.1 Mặt tham số kiểu không gian R31 2.1.2 Độ cong trung bình Mặt cực đại 2.1.3 Phương trình Lagrange 2.1.4 Mặt tròn xoay kiểu không gian 2.2 Mặt cực đại tròn xoay 2.2.1 Mặt tròn xoay cực đại kiểu không gian với trục quay thời gian 2.2.2 Mặt trịn xoay cực đại kiểu khơng gian với trục quay không gian 2.2.3 Mặt tròn xoay cực đại kiểu không gian với trục quay ánh sáng 14 14 14 15 22 23 30 30 31 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 PHẦN MỞ ĐẦU Song song với tồn hình học Euclide (hình học xây dựng khơng gian xác định tích vơ hướng xác định dương) hình học xây dựng khơng gian xác định tích vơ hướng khơng xác định dương hình học giả Euclide, đặc biệt khơng gian với tích vơ hướng số cịn gọi khơng gian Lorenzt-Minkowski Trong khơng gian có cấu trúc hình học phức tạp hơn; ví dụ với phép quay, ta phải phân biệt trục quay trục không gian (spacelike), trục thời gian (timelike), trục ánh sáng (lightlike) Như vậy, xem xét ba loại khác phép quay với trục nêu Trong không gian Lorentz-Minkowski, mặt kiểu không gian mặt mà metric cảm sinh metric Riemann (xác định dương) Các mặt kiểu không gian có độ cong trung bình khơng gọi mặt cực đại, tương tự mặt cực tiểu khơng gian Euclide Mặt cực đại nhiều nhà tốn học Calabi, Lopez, Cheng, Yau nghiên cứu thập kỷ gần Như biết, mặt tròn xoay mặt nhận cách quay đường cong (đường sinh) xung quanh đường thẳng (trục quay)(với giả thiết đường cong đường thẳng thuộc mặt phẳng) Để tránh điểm kỳ dị, người ta thường giả thiết đường cong không cắt đường thẳng) Trong không gian Lorentz-Minkowski mặt trịn xoay có độ cong trung bình không (mặt cực đại) bề mặt nghiên cứu số nhà hình học L.McNertney, J.Hano, SungWook Lee, Jeffrey H Varnado Với mong muốn tìm hiểu mặt trịn xoay cực đại khơng gian LorentzMinkowski, gợi ý PGS.TS Đồn Thế Hiếu, tơi nhận đề tài "Mặt trịn xoay cực đại không gian Lorentz-Minkowski" làm đề tài nghiên cứu luận văn Nội dung luận văn gồm hai chương sau: • Chương I: Khơng gian Lorentz-Minkowski R31 Chương nhằm giới thiệu không gian Lorentz-Minkowski ba chiều vấn đề liên quan, trình bày phép biến đổi Lorentz, phép quay Lorentz với trục L khác • Chương II: Mặt cực đại trịn xoay Trong chương này, trình bày mặt trịn xoay kiểu không gian, mặt cực đại, mặt cực đại tròn xoay với trục quay khác Tuy cố gắng nhiều, hạn chế mặt thời gian lực thân, luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q Thầy Cơ bạn để luận văn hoàn thiện Tp.Huế, ngày 01 tháng 08 năm 2017 Nguyễn Thị Hoàng Yến Chương Không gian Lorentz-Minkowski Trong chương giới thiệu khái niệm không gian Lorentz-Minkowski R31 , bao gồm phép quay Lorentz với trục có thuộc tính khác 1.1 Không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều Trong mục nhằm giới thiệu khơng gian Lorentz-Minkowski 3-chiều, tính chất đặc trưng vectơ không gian Định nghĩa 1.1.1 Không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều, kí hiệu R31 , khơng gian vectơ R3 trang bị dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến xác định bởi: x, y L = −x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , với x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) Định nghĩa 1.1.2 Cho x ∈ R31 , môđun x định nghĩa |x|L = | x, x L | Vectơ x gọi đơn vị có mơđun • x vectơ kiểu khơng gian ta viết |x|L = • x vectơ kiểu thời gian ta viết |x|L = x, x L ; − x, x L Định nghĩa 1.1.3 Hai vectơ x, y ∈ R31 gọi trực giao với thỏa mãn x, y L = Vì , L khơng xác định dương nên x, x L khơng âm Từ vectơ R31 phân thành ba loại khác Định nghĩa 1.1.4 Cho vectơ x ∈ R31 Khi đó: • x gọi vectơ kiểu khơng gian x, x L > x = 0; • x gọi vectơ kiểu thời gian x, x L < 0; • x gọi vectơ kiểu ánh sáng x, x L = x = Hình 1.1: Các kiểu vectơ không gian Lorentz-Minkowski R31 Tập vectơ kiểu ánh sáng nón ánh sáng: C = {(x, y, z) ∈ R31 :−x2 + y + z = 0}\{(0, 0, 0)} Tập vectơ kiểu thời gian nón thời gian: T = {(x, y, z) ∈ R31 :−x2 + y + z < 0} Định nghĩa 1.1.5 Hệ vectơ {e1 , e2 , e3 } thỏa mãn e1 , e1 L = −1, e2 , e2 L = e3 , e3 L = 1, e1 , e2 L = e2 , e3 L = e1 , e3 L = gọi sở trực chuẩn tắc khơng gian Lorentz-Minkowski Định nghĩa 1.1.6 Cho M đa tạp 2-chiều ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) : M → R31 thỏa mãn tính chất: • đạo hàm điểm đơn ánh; • đồng phơi lên ảnh (M ϕ(M ) đồng phơi) Khi ϕ gọi ánh xạ bảo giác nếu: ϕx , ϕy L = 0; (1.1) Thay vào ta có: H= uyy (1 − u2z ) + 2uyz uy uz + uzz (1 − u2y ) − (u2y + u2z )3/2 H = ⇔ uyy (1 − u2z ) + 2uyz uy uz + uzz (1 − u2y ) = (2.1) Phương trình (2.1) gọi phương trình Lagrange cho mặt kiểu khơng gian cực đại Mỗi nghiệm u(y, z) phương trình xác định đồ thị kiểu không gian cực đại 2.1.4 Mặt trịn xoay kiểu khơng gian Định nghĩa 2.1.9 Cho (P ) mặt phẳng R31 , l đường thẳng (P )(l ∈ (P )) C đường cong phẳng (P )(để tránh điểm kỳ dị ta giả thiết đường cong không cắt đường thẳng) Quay C quanh l R31 , kết ta nhận mặt tròn xoay M tạo C Đường thẳng l gọi trục mặt tròn xoay M Định nghĩa 2.1.10 Mặt trịn xoay kiểu khơng gian mặt trịn xoay có mặt phẳng tiếp xúc điểm điều mặt kiểu khơng gian Ví dụ 2.1.11 Mặt phẳng kiểu không gian P : ax + by + cz + d = Mặt Catenoid loại mặt có tham số: X(u, v) = (cos u cosh v, cos u sinh v, u) 23 Hình 2.3: Mặt Catenoid loại Qua phép biến đổi Lorentz đưa mặt trịn xoay trục L kiểu không gian trục E2 E3 Tương tự mặt tròn xoay trục L kiểu thời gian trục E1 kiểu ánh sáng trục E1 +E2 , E1 −E2 , E1 +E3 , E1 −E3 Cho ϕ : M → R31 phép nhúng mặt trịn xoay kiểu khơng gian với độ cong trung bình H Khi ϕ tham số theo cách sau đây: Định lý 2.1.12 Giả sử ϕ mặt trịn xoay kiểu khơng gian trục E2 Khi đó: ϕ(x, y) = (h(x) cosh y, x, h(x) sinh y) , (2.2) với (h(x), x, 0) đường cong mặt phẳng E1 E2 Trong h(x) > h(x) thỏa mãn phương trình vi phân: H= h h − (h )2 + h(1 − (h )2 ) 32 Chứng minh Từ ma trận quay (1.5) ta có mặt tham số: ϕ(x, y) = (h(x) cosh y, x, h(x) sinh y) Ta có: ϕx = (h (x) cosh y, 1, h (x) sinh y), ϕy = (h(x) sinh y, 0, h(x) cosh y) , ϕxx = (h (x) cosh y, 1, h (x) sinh y), 24 (2.3) ϕyy = (h(x) cosh y, 0, h(x) sinh y), ϕxy = (h (x) sinh y, 0, h (x) cosh y) Hệ số dạng I : E = ϕx , ϕx L = − h (x), F = ϕx , ϕy L = 0, G = ϕy , ϕy L = h2 (x) ϕx ∧L ϕy = −h(x)(cosh y, h (x), sinh y), |ϕx ∧L ϕy |L = N= EG − F = (1 − h (x))h2 (x), ϕx ∧L ϕy −(cosh y, h (x), sinh y) = |ϕx ∧L ϕy |L − h (x) Hệ số dạng II : H= e = N, ϕxx L = f = N, ϕxy L = 0, g = N, ϕyy L = h (x) − h (x) h(x) − h (x) , eG − 2f F + gE EG − F h (x)h2 (x) + h(x)(1 − h (x)) = = h (x)h(x) − h (x) + h(x)(1 − h (x))3/2 − h (x) (1 − h (x))h2 (x) Định lý 2.1.13 Giả sử ϕ mặt trịn xoay kiểu khơng gian trục E3 Khi đó: ϕ(x, y) = (h(x) cosh y, h(x) sinh y, x), (2.4) với (h(x), 0, x) đường cong tích mặt phẳng E1 E3 Trong h(x) > h(x) thỏa mãn phương trình vi phân: H=− h h − (h )2 + h(1 − (h )2 ) 32 25 (2.5) Chứng minh Từ ma trận quay (1.6) ta có mặt tham số: ϕ(x, y) = (h(x) cosh y, h(x) sinh y, x) Ta có: ϕx = (h (x) cosh y, h (x) sinh y, 1), ϕy = (h(x) sinh y, h(x) cosh y, 0), ϕxx = (h (x) cosh y, h (x) sinh y, 0), ϕyy = (h(x) cosh y, h(x) sinh y, 0), ϕxy = (h (x) sinh y, h (x) cosh y, 0) Hệ số dạng I : E = ϕx , ϕx L = − h (x), F = ϕx , ϕy L = 0, G = ϕy , ϕy L = h2 (x) ϕx ∧L ϕy = h(x)(cosh y, sinh y, h (x)), |ϕx ∧L ϕy |L = N= EG − F = (1 − h (x))h2 (x), ϕx ∧L ϕy (cosh y, sinh y, h (x)) = |ϕx ∧L ϕy |L − h (x) Hệ số dạng II : H= = e = N, ϕxx L =− f = N, ϕxy L = 0, g = N, ϕyy L =− h (x) − h (x) h(x) − h (x) , eG − 2f F + gE EG − F 2 =− −h (x)h2 (x) − h(x)(1 − h (x)) − h (x) h (x)h(x) − h (x) + h(x)(1 − h (x))3/2 26 (1 − h (x))h2 (x) Định lý 2.1.14 Giả sử ϕ mặt tròn xoay kiểu khơng gian trục E1 Khi đó: ϕ(x, y) = (x, h(x) cos y, h(x) sin y), (2.6) với (x, 0, h(x)) đường cong mặt phẳng E1 E3 Trong h(x) > h(x) thỏa mãn phương trình vi phân: h h − (h )2 + H=− h((h )2 − 1) 32 (2.7) Chứng minh Từ ma trận quay (1.4) ta có mặt tham số: ϕ(x, y) = (x, h(x) cos y, h(x) sin y) Ta có: ϕx = (1, h (x) cos y, h (x) sin y), ϕy = (0, −h(x) sin y, h(x) cos y), ϕxx = (0, h (x) cos y, h (x) sin y), ϕyy = (0, −h(x) cos y, −h(x) sin y), ϕxy = (0, −h (x) sin y, h (x) cos y) Hệ số dạng I : E = ϕx , ϕx L = h (x) − 1, F = ϕx , ϕy L = 0, G = ϕy , ϕy L = h2 (x) ϕx ∧L ϕy = −h(x)(h , cos y, sin y), |ϕx ∧L ϕy |L = N= EG − F = (h (x) − 1)h2 (x), ϕx ∧L ϕy (h (x), cos y, sin y) =− |ϕx ∧L ϕy |L h (x) − Hệ số dạng II : e = N, ϕxx L =− f = N, ϕxy L = 0, g = N, ϕyy L = 27 h (x) h (x) − h(x) h (x) − , H= = eG − 2f F + gE EG − F 2 =− −h (x)h2 (x) + h(x)(h (x) − 1) (h (x) − 1)h2 (x) h (x) − 1 h (x)h(x) − h (x) + h(x)(h (x) − 1)3/2 Cho phép quay trục ánh sáng, xem xét E1 + E2 trục qui ước Định lý 2.1.15 Giả sử ϕ mặt trịn xoay kiểu khơng gian trục E1 + E2 Khi đó: ϕ(x, y) = (ϕ0 (x, y), ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)), (2.8) với ϕ0 (x, y) = x + ϕ1 (x, y) = y2 − h(x)y , xy y2 + h(x) − 2 , ϕ2 (x, y) = xy − h(x)y (x, h(x), 0) đường cong, h(x) > h(x) thỏa mãn phương trình vi phân: H=− (x − h)h − (h − 1)((h )2 − 1) (x − h)((h )2 − 1)3/2 Chứng minh Từ ma trận quay (1.7) ta có mặt tham số: ϕ(x, y) = (ϕ0 (x, y), ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)) với ϕ0 (x, y) = x + ϕ1 (x, y) = y2 − h(x)y , y2 xy + h(x) − 2 ϕ2 (x, y) = xy − h(x)y 28 , (2.9) Ta có: ϕx (x, y) = 1+ y2 h (x)y y2 − h (x)y , + h (x) − , y − h (x)y , 2 2 ϕy (x, y) = (xy − h(x)y, xy − h(x)y, x − h(x)), ϕxx (x, y) = h (x)y − h (x)y , h (x) − , −h (x)y 2 , ϕyy (x, y) = (x − h(x), x − h(x), 0), ϕxy (x, y) = (y − h (x)y, y − yh (x), − h (x)) Hệ số dạng I : E = ϕx , ϕx L = h (x) − 1, F = ϕx , ϕy L = 0, G = ϕy , ϕy L = (x − h(x))2 ϕx ∧L ϕy = (x − h) −h (x) − |ϕx ∧L ϕy |L = N= EG − F = ϕx ∧L ϕy = |ϕx ∧L ϕy |L h (x)y y y2 + , −1 + − h (x)y , −h (x)y + y 2 2 , (h (x) − 1)(x − h(x)), −h (x) − h (x)y y y2 + , −1 + − h (x)y , −h (x)y + y 2 2 h (x) − Hệ số dạng II : H= = e = N, ϕxx L =− f = N, ϕxy L = 0, g = N, ϕyy L = h (x) h (x) − , (x − h(x))(h (x) − 1) h (x) − eG − 2f F + gE EG − F 2 =− −h (x)(x − h(x))2 + (x − h(x))(h (x) − 1)(h (x) − 1) h (x) − 1 (x − h(x))h (x) − (h (x) − 1)(h (x) − 1) (x − h(x))(h (x) − 1)3/2 29 (h (x) − 1)(x − h(x))2 2.2 Mặt cực đại tròn xoay Trong phần này, giả định ϕ : M → R31 phép nhúng bảo giác kiểu không gian định hướng từ mặt Riemann M vào R31 2.2.1 Mặt trịn xoay cực đại kiểu khơng gian với trục quay thời gian Trong mục xem xét mặt tròn xoay cực đại kiểu thời gian quay quanh trục E1 Từ phương trình (2.7), cho H = Khi đó: h (x)h(x) − h (x) + = h(x)(h (x) − 1)3/2 (2.10) Trong trường hợp E, F, G tính là: E = h (x) − 1, F = 0, G = h2 (x) Từ điều kiện (1.2) ta có: |ϕx | = |ϕy | ⇔ h (x) − = h2 (x) Thay vào phương trình (2.10): h (x) − h2 (x) = ⇔ h (x) − h2 (x) = h4 (x) Ta có phương trình đặc trưng: λ2 − = ⇔ λ = ±1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: h(x) = C1 ex + C2 e−x Như vậy, từ (2.6) ta có mặt trịn xoay cực đại kiểu khơng gian quay quanh trục E1 là: ϕ(x, y) = x, (C1 ex + C2 e−x ) cos y, (C1 ex + C2 e−x ) sin y Hình 2.4 ví dụ mặt Hình (a) với trường hợp C1 = C2 = Euclidean catenoid Khi đó: ϕ(x, y) = (x, cosh x cos y, cosh x sin y) 30 gọi mặt 2 hình (b) với trường hợp C1 = , C2 = −1 gọi mặt catenoid loại Khi đó: ϕ(x, y) = (x, sinh x cos y, sinh x sin y) Hình 2.4: Mặt spacelike catenoid với trục quay thời gian 2.2.2 Mặt tròn xoay cực đại kiểu không gian với trục quay không gian Trong mục này, chúng tơi xem xét mặt trịn xoay cực đại kiểu không gian quay quanh trục E3 Từ phương trình (2.5), cho H = Khi đó: h (x)h(x) − h (x) + = h(x)(1 − h (x))3/2 Trong trường hợp này, E, F, G tính là: E = −h (x) + 1, F = 0, G = h2 (x) Từ điều kiện (1.2) ta có: |ϕx | = |ϕy | ⇔ −h (x) + = h2 (x) Thay vào phương trình (2.11): h (x) + h2 (x) = ⇔ h (x) + h2 (x) = h4 (x) 31 (2.11) Ta có phương trình đặc trưng: λ2 + = ⇔ λ = ±i Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: h(x) = C1 cos x + C2 sin x Như vậy, từ (2.4) ta có mặt trịn xoay cực đại kiểu khơng gian quay quanh trục E3 là: ϕ(x, y) = ((C1 cos x + C2 sin x) cosh y, (C1 cos x + C2 sin x) sinh y, x) Hình 2.5 ví dụ mặt với C1 = C2 = Khi đó: ϕ(x, y) = (sin x cosh y, sin x sinh y, x) Hình 2.5: Mặt trịn xoay cực đại kiểu không gian với trục quay không gian Nhận xét 2.2.1 Mặt trịn xoay cực đại kiểu khơng gian quay quanh trục E2 tìm thấy cách tương tự 2.2.3 Mặt trịn xoay cực đại kiểu khơng gian với trục quay ánh sáng Trong mục này, chúng tơi xem xét mặt trịn xoay cực đại quay quanh trục E1 + E2 Từ phương trình (2.9), cho H = Khi đó: (x − h(x))h (x) − (h (x) − 1)(h (x) − 1) = (x − h(x))(h (x) − 1)3/2 32 (2.12) Trong trường hợp E, F, G tính là: E = h (x) − 1, F = 0, G = (x − h(x))2 Từ điều kiện (1.2) ta có: |ϕx | = |ϕy | ⇔ h (x) − = (x − h(x))2 Thay vào phương trình (2.12): h (x) − (x − h(x))(h (x) − 1) =0 (x − h(x))3 ⇔ h (x) − (x − h(x))(h (x) − 1) = ⇔ d2 h(x) − (x − h(x)) dx2 ⇔ d2 h(x) dh(x) dh(x) − x + h(x) + x − h(x) = dx2 dx dx ⇔− dh(x) −1 dx =0 dh(x) dh(x) d2 h(x) +x − h(x) − x + h(x) = dx dx dx Nguyên hàm hai vế theo x: − d2 h(x) dh(x) dh(x) +x − h(x) − x + h(x) dx = dx dx dx Ta có: −d2 h(x) dx = dx2 x dh(x) dx = dx −h (x)dx = −h (x) = −dh(x) dx xh (x) dx Đặt u = x ⇒ du = dx dv = h (x)dx ⇒ v = h(x) Suy ra: −h(x) xh (x) dx = xh(x) − dh(x) dx = dx h(x)dx −h(x)h (x)dx Đặt t = h(x) ⇒ dt = h (x)dx 33 0dx (2.13) Suy : −xdx = −h(x)h (x)dx = −tdt = −h2 (x) −t2 = 2 −x2 Thay vào (2.13) : h2 (x) x2 − + 2 ⇒ −dh(x) + xh(x) − dx ⇔ −x2 h2 (x) dh(x) − − + xh(x) = k1 2 dx h(x)dx − h(x)dx = 0dx −dh(x) x2 h2 (x) ⇔ = + − xh(x) + k1 = (h(x) − x)2 + k1 (*) dx 2 Đặt u(x) = h(x) − x ⇒ h(x) = u(x) + x(∗∗) ⇔ Thay vào (*) ta có: ⇒ −du(x) u2 (x) −1= + k1 dx ⇔ du(x) = −u2 (x) − 2k1 − dx Chia hai vế cho −u2 (x) − 2k1 − du(x) dx ⇒ = −2k1 − u2 (x) − 2 Nguyên hàm hai vế theo x: ⇒ du(x) dx dx = −2k1 − u2 (x) − ⇔ 2du(x) dx = (−2k1 − u2 (x) − 2) dx ⇔ 2du(x) = x + k2 −2k1 − u2 (x) − 2 ⇔ −2 du(x) (2k1 + 2)2 + u2 (x) 1dx 1dx = x + k2 u(x) arctan √ = x + k2 2k1 + 2k1 + √ u(x) −(x + k2 ) 2k1 + ⇔√ = tan 2k1 + ⇔ −2 √ 34 dh(x) du(x) = + dx dx √ √ √ (x + k2 ) k1 + √ ⇔ u(x) = − k + tan C1 ⇒ u(x) = −C1 tan (x − C2 ) Thay vào (**): ⇒ h(x) = x − C1 tan C1 (x − C2 ) Như vậy, từ (2.8) ta có mặt trịn xoay cực đại kiểu khơng gian quay quanh trục E1 + E2 là: ϕ(x, y) = (ϕ0 (x, y), ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)) với: ϕ0 (x, y) = x + y2 − y2 x − C1 tan C1 (x − C2 ) C1 (x − C2 ) xy ϕ1 (x, y) = + y2 1− x − C1 tan ϕ2 (x, y) = xy − y x − C1 tan C1 (x − C2 ) Hình 2.10 ví dụ mặt với C1 = C2 = Hình 2.6: Mặt trịn xoay cực đại kiểu khơng gian quay quanh trục E1 + E2 Nhận xét 2.2.2 Các Mặt tròn xoay cực đại kiểu không gian quay quanh trục E1 − E2 , E1 + E3 , E1 − E3 tìm thấy cách tương tự 35 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tơi trình bày kết sau: Trong chương I, đọc hiểu trình bày khơng gian Lorentz-Minkowski,đặc trưng vectơ, không gian phép quay Lorentz với trục L khác Trong chương II, tơi trình bày mặt kiểu không gian, kiểu thời gian ví dụ; giới thiệu cơng thức tính độ cong trung bình,phương trình Lagrange mặt cực đại Đưa cách tổng quát mặt cực đại tròn xoay với trục quay khác Tuy nhiên thời gian lực thân nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi số thiếu sót, mong q thầy bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn! 36 Tài liệu tham khảo [1] Lopez F.J.; López R ; Souam R (2000), Maximal surfaces of Riemann type in Lorentz-Minkowski space L3 , Michigan Math J 47, no 3, 469-497 [2] López R (2014), Differential Geometry of Curves and Surfaces in LorentzMinkowski space Int, Electron J Geom 7, no 1, 44-107 [3] López R (2002), Cyclic hypersurface of constant curvature, Advanced Studies in Pure Mathematics, 34, Minimal Surfaces, Geometric Analysis and Symplectic Geometry, 185-199 [4] O’Neill B (1983),Semi-Riemannian geometry with application to general relativity, Aca-demic Pres, New York [5] Sungwook L.; Jefrey J.H (2006), Spacelike constant mean curvature surface of revolution in Minkowski 3-space Differ Geom Dyn Syst.8, 144-165 [6] Weistein T (1996),An Introduction to Lorentz Surfaces, Walter de Gruyter 37 ... 2.5: Mặt trịn xoay cực đại kiểu không gian với trục quay không gian Nhận xét 2.2.1 Mặt tròn xoay cực đại kiểu khơng gian quay quanh trục E2 tìm thấy cách tương tự 2.2.3 Mặt tròn xoay cực đại kiểu... Chương II: Mặt cực đại trịn xoay Trong chương này, trình bày mặt trịn xoay kiểu khơng gian, mặt cực đại, mặt cực đại tròn xoay với trục quay khác Tuy cố gắng nhiều, hạn chế mặt thời gian lực thân,... 2.1.4 Mặt tròn xoay kiểu không gian 2.2 Mặt cực đại tròn xoay 2.2.1 Mặt trịn xoay cực đại kiểu khơng gian với trục quay thời gian