Mặt kiểu không gian trong không gian LORENTZ MINKOWSKI

Lời cảm ơn Trên thực tế thành công mà không gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ dù hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp người xung quanh Trong suốt thời gian từ bắt đầu học tập giảng đường đại học hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, nỗ lực thân, em nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Quảng Bình, gia đình bạn bè Trước tiên, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo - ThS Nguyễn Lê Trâm, giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình Thầy dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo Khoa Khoa học Tự nhiên, tới gia đình, bạn bè sát cánh bên em, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên em suốt trình học tập thực hoàn thành khóa luận Trong trình thực khóa luận, em cố gắng để hoàn thiện nội dung lẫn hình thức tránh khỏi thiếu sót Nên em mong nhận góp ý thầy giáo, cô giáo bạn để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Sinh viên Nguyễn Thị Duyên Mục lục Lời nói đầu MỞ ĐẦU KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 1.1 Không gian Lorentz - Minkowski 1.2 Tính chất tích Lorentz 10 1.3 Tích có hướng Lorentz hai vectơ R31 15 MẶT KIỂU KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 19 2.1 Một số định nghĩa 19 2.2 Dạng thứ - Diện tích 20 2.3 Ánh xạ Gauss dạng thứ hai 22 2.4 Mặt cực đại không gian Lorentz - Minkowski 28 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học Euclide nghiên cứu từ lâu với nội dung vô phong phú, xây dựng dựa sở tích vô hướng thông thường, có nghĩa bình phương vectơ không âm Song song với hình học Euclide hình học Lorentz - Minkowski, xây dựng dựa dạng song tuyến tính đối xứng không xác định dương, bình phương vectơ dương, âm không Từ dẫn đến khác hình học không gian Euclide không gian Lorentz - Minkowski Với mong muốn tìm hiểu khác biệt hình học hai không gian đó, đồng thời tìm hiểu thêm sâu số đặc điểm bật không gian nên thầy giáo ThS Nguyễn Lê Trâm lựa chọn cho em đề tài "Mặt tham số kiểu không gian không gian Lorentz - Minkowski" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Trong khóa luận tốt nghiệp này, em nghiên cứu tổng quan không gian Lorentz - Minkowski mặt tham số kiểu không gian nó: Trình bày lại hệ thống kiến thức định nghĩa, kiểu vectơ tính chất khác biệt không gian Lorentz - Minkowski so với không gian Euclide về: tính chất tích vô hướng Lorentz, trực giao hai vectơ, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, hệ bất đẳng thức tam giác tích có hướng Lorentz hai vectơ không gian Trình bày số đặc điểm mặt tham số kiểu không gian dạng thứ nhất, thứ hai, độ cong Gauss, độ cong trung bình đặc biệt tính cực đại địa phương mặt kiểu không gian không gian Lorentz - Minkowski 3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài bao gồm: kiểu vectơ không gian Lorentz - Minkowski, tích vô hướng Lorentz, tích có hướng Lorentz vectơ, mặt kiểu không gian, độ cong trung bình, độ cong Gauss mặt cực đại Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài không gian Lorentz - Minkowski kiểu vectơ, tích vô hướng Lorentz, tích có hướng Lorentz vectơ số tính chất mặt kiểu không gian mặt cực đại Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc nghiên cứu tài liệu giáo trình vấn đề nghiên cứu dựa sở không gian Euclide như: định nghĩa, đặc điểm phân loại vectơ, tính chất tích vô hướng Lorentz, tích có hướng Lorentz hai vectơ, mặt kiểu không gian, công thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt, điều kiện để mặt kiểu không gian mặt cực đại không gian Lorentz - Minkowski - Phương pháp lấy ý kiến giảng viên chuyên môn: tham khảo, lấy ý kiến góp ý giảng viên hướng dẫn thầy giáo ThS Nguyễn Lê Trâm giảng viên khác Bộ môn toán, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình Tầm quan trọng khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán trường Đại học Quảng Bình có mong muốn tiếp tục tìm hiểu không gian Lorentz - Minkowski Với thân em, khóa luận giúp em tìm hiểu thêm không gian không gian Lorentz - Minkowski, sở không gian Euclide, từ thấy khác biệt hai không gian đặc biệt số đặc điểm, tính chất mặt kiểu không gian không gian Lorentz - Minkowski Nội dung nghiên cứu Đề tài nghiên cứu gồm chương sau: Chương : Không gian Lorentz - Minkowski Chương trình bày lại hệ thống số kiến thức không gian Lorentz - Minkowski Trình bày định nghĩa, kiểu vectơ, tính chất tích vô hướng Lorentz, trực giao tích có hướng Lorentz hai vectơ Chương : Mặt kiểu không gian không gian Lorentz - Minkowski Chương trình bày số định nghĩa bản: mặt tham số quy, không gian tiếp xúc, mặt kiểu không gian Dạng thứ nhất, thứ hai, công thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt kiểu không gian điều kiện để mặt kiểu không gian mặt cực đại Bố cục khóa luận Gồm phần: Mở đầu, nội dung kết luận PHẦN MỞ ĐẦU bao gồm: Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Tầm khoa học thực tiễn Nội dung đề tài Bố cục khóa luận PHẦN NỘI DUNG bao gồm: Chương : Không gian Lorentz - Minkowski Chương : Mặt kiểu không gian không gian Lorentz - Minkowski PHẦN KẾT LUẬN Chương KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 1.1 Không gian Lorentz - Minkowski Định nghĩa 1.1.1 Trong không gian vectơ R3 Xét dạng song tuyến tính , xác định bởi: x, y với = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 Khi ta có dạng toàn phương: x, x Không gian vectơ R3 với , 1 = x21 + x22 − x23 xác định gọi không gian Lorentz - Minkowski, kí hiệu R31 Ta thấy , không xác định dương nên x, x âm không Từ vectơ R31 phân thành kiểu vectơ sau: • x vectơ kiểu không gian (spacelike) x, x > x = 0, • x vectơ kiểu thời gian (timelike) x, x < 0, • x vectơ kiểu ánh sáng (lightlike) x, x = 0, x = * Nhận xét: Cho vectơ x ∈ R31 , x vectơ kiểu ánh sáng ta không xác định độ dài mà ta xác định độ dài vectơ kiểu thời gian kiểu không gian Từ ta có định nghĩa độ dài vectơ sau: Với x ∈ R31 , x vectơ kiểu ánh sáng Khi đó: |x|1 = | x, x | • Nếu x vectơ kiểu không gian |x|1 = • Nếu x vectơ kiểu thời gian |x|1 = x, x , − x, x • x gọi vectơ đơn vị |x|1 = Hình vẽ mô tả không gian Lorentz - Minkowski Định nghĩa 1.1.2 (Sự trực giao vectơ R31 ) Với x, y ∈ R31 , x, y khác vectơ không Khi hai vectơ x y gọi trực giao với x, y = Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian R31 i Hệ hai vectơ ánh sáng phụ thuộc tuyến tính trực giao với ii Hệ gồm hai vectơ khác loại (khác vectơ không) độc lập tuyến tính với iii Nếu vectơ khác vectơ không trực giao với vectơ kiểu thời gian vectơ kiểu không gian Chứng minh i Với x, y ∈ R31 , x, y hai vectơ kiểu thời gian, phụ thuộc tuyến tính Khi x, y trực giao với x, y = Chứng minh Ta có x, x = y, y =0 (Vì x, y vectơ kiểu ánh sáng ) Giả sử x, y phụ thuộc tuyến tính ta có: ∃λ ∈ R cho x = λy x, y suy x, y ii 1 = λy, y = λ y, y = λ.0 = 0, = hay x, y trực giao với Với x, y ∈ R31 , x vectơ kiểu không gian, y vectơ kiểu thời gian Khi x, y hai vectơ độc lập tuyến tính Chứng minh Giả sử x, y hai vectơ phụ phuộc tuyến tính đó: ∃λ ∈ R cho x = λy Ta có < x, x = λy, λy = λ2 y, y < Điều không Vậy nên suy x, y hai vectơ độc lập tuyến tính Với x, y, z ∈ R31 , x vectơ kiểu không gian, y vectơ kiểu thời gian z vectơ kiểu ánh sáng Khi chứng minh tương tự ta có hệ {x, y}, {y, z} độc lập tuyến tính iii Nếu x vectơ khác vectơ không, y vectơ kiểu thời gian x, y trực giao với ( x, y = 0) x vectơ kiểu không gian hay x, x Chứng minh Với x, y ∈ R3 , x = 0, y vectơ kiểu thời gian Khi đó: y, y Giả sử Với y, y 1 < = −λ < 0, ∀λ > 0, λ ∈ R x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) Khi ta có: y, y = −λ ⇔ y12 + y22 − y32 = −λ > ⇔ y12 +y22 = y32 −λ (1.1) Ta thấy y12 + y22 > nên theo (1.1) ⇒ y32 − λ > hay y32 = Ta có x, y =0 ⇔ x1 y + x2 y − x3 y = x1 y + x2 y ⇔ = x3 y ⇔ (x1 y + x2 y )2 ⇔ x23 = ⇔ x23 = (x1 y + x2 y )2 x, x (y3 = 0) y32 (x1 y1 + x2 y2 )2 (x21 + x22 )(y12 + y22 ) y32 y32 (x21 + x22 )(y32 − λ) ⇒ x23 Ta lại có = (x3 y3 )2 y32 (theo(1.1)) (1.2) = x21 + x22 − x23 Từ (1.2) suy x, x (x21 + x22 ) − (x21 + x22 )(y32 − λ) = (x21 + x22 )(1 − = (x21 + x22 ) ⇒ x, x y32 y32 − λ ) y32 λ y32 (λ > 0) Nếu x, x = ⇒ x21 + x22 = ⇒ ( −λ > 0) y32   x1 = x = ⇒ x, x = ⇔ x21 + x22 − x23 = ⇒ x3 = Khi x = (0, 0, 0) ( mâu thuẫn với giả thiết x vectơ khác vectơ không) ⇒ x, x > Vậy x vectơ kiểu không gian Từ sở trực chuẩn R31 hệ {e1 , e2 , e3 } với e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) Hình vẽ mô tả hai vectơ trực giao không gian Lorent Minkoski Từ hình vẽ tư thấy: không gian R31 , cho vectơ u = (1, 0, 2) vectơ v = (2, 0, 1) Khi theo định nghĩa u, v hai vectơ trực giao với theo định nghĩa ( 1.2 + 0.0 − 2.1 = 0) Bằng trực quan ta thấy góc hai vectơ không 90◦ không gian Euclide thông thường 1.2 Tính chất tích Lorentz Với x, y ∈ R31 Khi ta có: i x, y ii λx, y = y, x = λ x, y iii x, y + z (, 1 = x, y + x, z , ∀λ ∈ R dạng song tuyến tính đối xứng ) Chứng minh Với x, y, z ∈ R31 , x = (x1 , x2 , x3 ); y = (y2 , y2 , y3 ); z = (z1 , z2 , z3 ) 10 Khi hệ số dạng thứ là: E = Xu , Xu = − fu2 , F = Xu , Xv = −fu fv , G = Xv , Xv = − fv2 Định nghĩa 2.2.2 (Diện tích) Cho S mặt quy, R ⊂ S miền bị chặn chứa lân cận tọa độ xác định tham số X : U ⊂ R21 −→ S Khi với Q = X −1 (R), số dương A(R) = |Xu ∧1 Xv |1 dudv, Q gọi diện tích miền R Vì: |Xu ∧1 Xv |21 + Xu , Xv nên |Xu ∧1 Xv |1 = √ = |Xu |21 |Xv |21 , EG − F , từ ta tính diện tích miền R sau: EG − F dudv, A(R) = Q với E, F, G hệ số dạng thứ mặt S 2.3 Ánh xạ Gauss dạng thứ hai Định nghĩa 2.3.1 (Vectơ pháp mặt) Cho S mặt quy X : U −→ S tham số hóa kiểu đồ thị S p ∈ X (U ) Khi vectơ pháp X (U ) điểm p là: N (p ) = |Xu ∧1 Xv |1 (Xu ∧1 Xv )(p) Chúng ta nhận ánh xạ khả vi N : X (U ) −→ R31 p −→ N (p) 22 Định nghĩa 2.3.2 (Ánh xạ Gauss) Cho (S, N ) mặt quy định hướng Do |Np |1 = 1, ∀p ∈ S nên xem N ánh xạ khả vi mặt quy S vào mặt cầu đơn vị H Ánh xạ N : S −→ H gọi ánh xạ Gauss mặt định hướng S Theo định nghĩa ánh xạ Gauss khả vi Khi đạo hàm N điểm p ∈ S ánh xạ tuyến tính DNp : Tp S −→ TNp H − → −−−−−→ Do Tp S⊥Np TNp H⊥Np , ∀p ∈ S Np = ON (p)) nên ta có: Tp S ≡ TNp H, ∀p ∈ S DNp đồng cấu tuyến tính Tp S Mệnh đề 2.3.1 Đạo hàm DNp : Tp S −→ Tp S ánh xạ Gauss tự liên hợp nghĩa với ∀α, β ∈ Tp S , DNp (α), β = α, DNp (β ) Chứng minh Giả sử X (u, v ) tham số hóa kiểu đồ thị S p {Xu , Xv } sở Tp S Vectơ pháp xác định bởi: N= (Xu ∧1 Xv ) |Xu ∧1 Xv |1 Ánh xạ DNp sở {Xu , Xv } có ma trận dạng δN δu δN δu δN δv δN δv 23 Từ có DNp (Xu ) = Nu , α = aXu + bXv , Do DNp (Xv ) = Nv β = cXu + dXv Khi DNp (α), β = aNu + bNv , cXu + dXv = ac Nu , Xu +ad Nu , Xv +bc Nv , Xu +bd Nv , Xv ; α, DNp (β ) = aXu + bXv , cNu + dNv = ac Xu , Nu +ad Xu , Nv +bc Xv , Nu +bd Xv , Nv Ta có N, Xu = N, Xv = nên Nv , Xu + N, Xuv =0 (2.1), Nu , Xv + N, Xuv =0 (2.2) Từ (1.17) (1.18), ta có Nv , Xu = Nu , Xv DNp (α), β = α, DNp (β ) Định nghĩa 2.3.3 (Dạng thứ hai) Dạng toàn phương IIp = − DNp (α), α gọi dạng thứ hai S p Định nghĩa 2.3.4 Cho (S, N ) mặt quy định hướng, p ∈ S DNp đạo hàm ánh xạ Gauss N điểm p ta gọi − det(DNp ) độ cong Gauss S p, kí hiệu K (p); Nửa vết DNp , 12 tr(DNp ), độ cong trung bình S p, kí hiệu H (p) Công thức tính toán Cho (S, N ) mặt quy định hướng X : U −→ S tham số hóa kiểu đồ thị S p ∈ S Vectơ pháp mặt S xác định N= Ta có N, N = −1 ⇒ |Xu ∧1 Xv |1 (Xu ∧1 Xv ) (vì S mặt kiểu không gian ) Nu , N + N, Nu 24 =0 ⇒ N, Nu ⇒ N, Nu Tương tự ta có: N, Nv + N, Nu =0 = = ⇒ Nu , Nv ∈ Tp S Nu = a11 Xu + a21 Xv , Nv = a12 Xu + a22 Xv Ma trận DNp sở {Xu , Xv } a11 a12 a21 a22 Chúng ta xét ma trận dạng IIp Ta đặt e = IIp (Xu ) = − DNp (Xu ), Xu ta có N, Xu = ⇒ Nu , Xu + N, Xuu ⇒ − Nu , Xu ⇒ e = − Nu , Xu 1 = − Nu , Xu =0 = N, Xuu = N, Xuu Tương tự ta có f = − DNp (Xu ), Xv = − Nv , Xu g = IIp (Xv ) = − DNp (Xv ), Xv 1 = N, Xuv , = − Nv , Xv Ta có ma trận IIp sở {Xu , Xv } e f f g Từ −e = Nu , Xu = a11 Xu + a21 Xv , Xu = a11 Xu , Xu + a21 Xv , Xu = a11 Xu , Xu + a21 Xu , Xv = a11 E + a21 F , −f = Nu , Xv = a11 Xu + a21 Xv , Xv = a11 Xu , Xv + a21 Xv , Xv = a11 F + a21 G, 25 1 = N, Xvv −f = Nv , Xu = a12 Xu + a22 Xv , Xu 1 = a12 Xu , Xu + a22 Xv , Xu = a12 Xu , Xu + a22 Xu , Xv = a12 E + a22 F , −g = Nv , Xv = a12 Xu + a22 Xv , Xv = a12 Xu , Xv 1 + a22 Xv , Xv = a12 F + a22 G; Ta có − e f = f g a11 a21 E F a12 a22 F G e f E F f g F G −1 ⇒ a11 a21 =− a12 a22 Mà −1 E F = F G ⇒ a11 a21 G −F EG − F −F E =− a12 a22 =− =− ⇒ a11 = − ⇒ a21 = − ⇒ a22 = − e f G −F f g EG − F −F E e f G −F EG − F f g −F E eG − f F EG − F EG − F EG − F ⇒ a12 = − EG − F EG − F 26 f G − gF −f F + gE (eG − f F ), (−eF + f E ), −eF + f E (f G − gF ), (−f F + gE ) Độ cong Gauss mặt S là: K = − det(DNp ) = − − =− =− EG − F (EG − F )2 e f G f g −F −F E (eg − f )(EG − F ) eg − f EG − F Độ cong trung bình mặt S là: H=− eG − 2f F + gE EG − F Ví dụ 2.3.1 Cho mặt Hyperbolic catenoids có tham số hóa: X (u, v ) = (v, sin v sinh u, sin v cosh u) Khi tính toán ta thu : Xu = (0, sin v cosh u, sin v sinh u), Xv = (1, cos v sinh u, cos v cosh u), Xuu = (0, sin v sinh u, sin v cosh u), Xvv = (0, − sin v sinh u, − sin v cosh u), Xuv = (0, cos v cosh u, cos v sinh u), ⇒ Xu ∧1 Xv = (sin v cos v, sin v sinh u, sin v cosh u) ⇒ |Xu ∧1 Xv | = N= |Xu ∧1 Xv | (Xu ∧1 Xv ) = sin2 v (sin v cos v, sin v sinh u, sin v cosh u) sin2 v Các hệ số dạng thứ là: E = Xu , Xu = sin2 v cosh2 u − sin2 v sinh2 u = sin2 v (cosh2 u − sinh2 u) = sin2 v , F = Xu , Xv = sin v cos v sinh u cosh u − sin v cos v sinh u cosh u = 0, G = Xv , Xv = + cos2 v sinh2 u − cos2 v cosh2 u = − cos2 v (cosh2 u − sinh2 u) = sin2 v 27 e = N, Xuu f = N, Xuv g = N, Xvv 1 (sin2 v sinh2 u − sin2 v cosh2 u) sin v 1 = [− sin2 v (cosh2 u−sinh2 u)] = (− sin2 v ) = −1, 2 sin v sin v = (sin v cos v sinh u cosh u − cosv sin v sinh u cosh u) = 0, sin2 v 1 (− sin2 v sinh2 u + sin2 v cosh2 u) = (sin2 v ) = 1 = 2 sin sin = Độ cong Gauss: K=− eg − f −1 =− = EG − F sin v sin4 v Độ cong trung bình: eG − 2f F + gE − sin2 v + sin2 v H=− =− = EG − F sin4 v 2.4 Mặt cực đại không gian Lorentz Minkowski Định nghĩa 2.4.1 Mặt kiểu không gian không gian Lorentz - Minkowski gọi mặt cực đại mặt có độ cong trung bình điểm không Xét mặt S có tham số hóa kiểu đồ thị là: X : Ω −→ R31 (u, v ) −→ X (u, v ) = (u, v, f (u, v )) Xu = (1, 0, fu ), Khi Xv = (0, 1, fv ), Xu ∧1 Xv = (−fu , −fv , −1) N= (−fu , −fv , −1) |fu2 + fv2 − 1| Các hệ số dạng thứ nhất: E = Xu , Xu = − fu2 , 28 F = Xu , Xv = −fu fv , G = Xv , Xv = − fv2 Các hệ số dạng thứ hai: e = N, Xuu = f = N, Xuv = g = N, Xvv = E = − fu2 ; Ta có fuu |fu2 + fv2 − 1| fuv |fu2 + fv2 − 1| fvv |fu2 + fv2 − 1| E = −fu fv ; , , E = − fv2 Khi EG − F = − fu2 − fv2 Vì S mặt kiểu không gian Xu , Xv vectơ kiểu không gian nên |Xu |1 |Xv |1 > | Xu , Xv | ⇒ Xu , Xu Xv , Xv > Xu , Xv EG − F > nên suy − fu2 − fv2 > hay Khi độ cong trung bình S là: H=− (1 − fv2 )fuu + 2fu fv fuv + (1 − fu2 )fvv eG − 2f F + Eg = − , EG − F 2 − fu2 − fv2 (1 − fu2 − fv2 ) hay độ cong trung bình S phải thỏa mãn phương trình: (1−fv2 )fuu +2fu fv fuv +(1−fu2 )fvv = −2H (1−fu2 −fv2 ) (2.3) Độ cong Gauss mặt S là: K=− 2 eg − f fuu fvv − fuv fuu fvv − fuv = − = − EG − F (1 − fu2 − fv2 )[(1 − fu2 )(1 − fv2 ) − fu2 fv2 ] (1 − fu2 − fv2 )2 Khi theo (2.3), H = ta có phương trình: (1 − fv2 )fuu + 2fu fv fuv + (1 − fu2 )fvv = 0, gọi phương tình Lagrange mặt cực đại Cho X : Ω → R31 mặt tham số quy D ⊂ Ω miền bị chặn h : D → R hàm khả vi Ta gọi biến phân chuẩn tắc X (D) xác định h ánh xạ: 29 ϕ : D × (− , ) −→ R31 (u, v, t) −→ ϕ(u, v, t) ϕ(u, v, t) = X (u, v ) + th(u, v )N (u, v ), Được xác định với (u, v ) ∈ D, t ∈ (− , ) Với t cố định, ánh xạ: X t : D −→ R31 X t (u, v ) −→ ϕ(u, v, t) mặt tham số Tính toán trực tiếp ta có: Xut = Xu + thu N + thNu , Xvt = Xv + thv N + thNv Nếu kí hiệu E t , F t , Gt hệ số dạng thứ thì: E t = Xut , Xut = Xu + thu N + thNu , Xu + thu N + thNu = Xu , Xu + t2 h2 Nu , Nu + 2th Xu , Nu − t2 h2u , F t = Xut , Xvt = Xu + thu N + thNu , Xv + thv N + thNv = Xu , Xv Gt = Xvt , Xvt + t2 h2 Nu , Nv 1 + t2 h2 Nv , Nv Xu , Nu = −e, Xu , Nv = Xv , Nu Xv , Nv = −g , Xu , Xu = E, Xu , Xv = F, Xv , Xv = G 1 + 2th Xv , Nv = −f , 2H (EG − F ) = −(Eg − 2F f + Ge) Khi ta có: E t = E + t2 h2 Nu , Nu − 2the − t2 h2u , F t = F + t2 h2 Nu , Nv − 2thf − t2 hu hv , 30 − t2 hu hv , − t2 h2v , + 2th Xu , Nv = Xv + thv N + thNv , Xv + thv N + thNv = Xv , Xv Nếu thay 1 Gt = G + t2 h2 Nv , Nv − 2thg − t2 h2v E t Gt − (F t )2 = EG − F − 2thgE − 2thGe + R(t) − F + 2thF f + 2thf F = EG − F − 2th(Eg − 2F f + Ge) + R(t) = (EG − F )(1 + 4thH ) + R(t) = (EG − F )(1 + 4thH + R(t)) Với R(t) đa thức theo t, bậc ≥ R(t) = R(t) EG − F Với đủ nhỏ X t mặt tham số quy Do diện tích mặt tham số X t là: E t Gt − (F t )2 dudv A(t) = D + 4thH + R(t) EG − F dudv = D = + 4thH + R(t)dA D Khi 4hH + R(t) A (t) = D dA, + 4thH + R(t) gọi biến phân thứ hàm diện tích mặt tham số quy X t Tại t = ta có A (0) = 2hHdA, D gọi biến phân thứ phiếm hàm diện tích mặt tham số quy X Từ ta có định lí mối liên hệ mặt cực đại với biến phân thứ phiếm hàm diện tích mặt sau Định lí 2.4.1 Cho X : Ω −→ R31 mặt tham số quy D ⊂ Ω miền bị chặn Mặt tham số X cực đại A (0) = với miền bị chặn D với biến phân chuẩn tắc X (D) 31 Chứng minh Nếu X mặt cực đại theo định nghĩa ta có H = ⇒ A (0) = Ngược lại, giả sử A (0) = tồn điểm p ∈ D cho H (p) = Không tính tổng quát ta giả sử H (p) > Chọn h : D −→ R cho h(p) > H đồng không lân cận đủ nhỏ p Khi A (0) > với biến phân xác định h Điều mâu thuẫn chứng tỏ H = Với mặt quy X ta xác định vectơ độ cong trung bình H = HN Nếu chọn h = H , ta có A (0) = H, H EG − F dudv > D Điều có nghĩa ta biến dạng X (D) theo hướng vectơ H diện tích bắt đầu tăng lên Ví dụ 2.4.1 Cho mặt Helicod có tham số hóa là: X (s, t) = (s cos t, s sin t, ht), s > h > Khi ta có Xs = (cos t, sin t, 0), Xt = (−s sin t, s cos t, 0), Xss = (0, 0, 0), Xst = (− sin t, cos t, 0), Xtt = (−s cos t, −s sin t, 0) Khi hệ số dạng thứ là: E = Xs , Xs = cos2 t + sin2 t = 1, F = Xs , Xt = −s cos t sin t + s sin t cos t = 0, G = Xt , Xt = s2 sin2 t + s2 sin2 t − h2 = s2 − h2 Ta thấy EG − F = s2 − h2 > (vì s > h > 0) nên mặt Helicoid mặt kiểu không gian Vectơ pháp tuyến mặt : N= |Xs ∧1 Xt | (Xs ∧1 Xt ) = √ h2 − s2 (h sin t, −h cos t, −s) Các hệ số dạng thứ là: e = Xss , N =√ 32 h2 − s2 = 0, f = Xst , N = √ g = Xtt , N 1 h2 − s2 =√ h2 − s2 (−h sin2 t) − h cos2 t = − √ h2 h2 − s2 (−hs cos t sin t + hs cos t sin t) = Độ cong Gauss mặt Helicoid là: K=− eg − f h2 h2 = = − EG − F (h2 − s2 )(s2 − h2 ) (s2 − h2 )2 Độ cong trung bình mặt Helicoid là: H=− Ta thấy H=0 , eG − 2f F + Eg 0.(s2 − h2 ) − 2.0.0 + 1.0 = = EG − F s2 − h2 nên mặt Helicoid cho mặt cực đại 33 KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp thực hoàn thành nỗ lực cố gắng thân với hướng dẫn, giúp đỡ thầy giáo ThS Nguyễn Lê Trâm Khóa luận trình bày nội dung sau: Trình bày hệ thống kiến thức không gian Lorentz - Minkowski Trình bày tính chất tích vô hướng Lorentz, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, bất đẳng thức tam giác, trực giao tích có hướng Lorentz hai vectơ Trình bày đặc điểm mặt kiểu không gian công thức tính toán dạng thứ nhất, thứ hai, độ cong Gauss độ cong trung bình mặt, đặc biệt tính chất cực đại mặt dựa tính chất cực đại diện tích địa phương Khóa luận "Mặt tham số kiểu không gian không gian Lorentz - Minkowski" tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên việc nghiên cứu thêm không gian Lorentz - Minkowski Hướng phát triển tiếp đề tài tiếp tục tìm hiểu không gian Lorentz - Minkowski loại đường, không gian nó, tiếp tục tìm hiểu nhiều đặc điểm, tính chất khác mặt tham số kiểu không gian Lorentz - Minkowski không gian nhiều chiều Do điều kiện thời gian lực nghiên cứu thân hạn chế nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Bản thân em mong nhận góp ý kiến quý thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài em hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy giáo ThS Nguyễn Lê Trâm thầy cô giáo Khoa Khoa học Tự nhiên, bạn bè gia đình 34 ủng hộ, động viên có ý kiến đóng góp giúp em hoàn thành đề tài Em xin chân thành cảm ơn ! 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1 ] Đại số tuyến tính (2003), Nguyễn Duy Thuận (chủ biên), Phí Mạnh Ban, Nông Quốc Chung, Nhà xuất Đại học sư phạm [2 ] Hình học vi phân (2000), Đoàn Quỳnh, Nhà xuất Giáo dục [3 ] Hình học vi phân (2010), Phạm Đình Đô, Nhà xuất Đại học sư phạm [4 ] Manfredo P Carmo, Diffrentinal Geometry of Curves and Surface (1976), Prentice - Hall 36 ... gồm: Chương : Không gian Lorentz - Minkowski Chương : Mặt kiểu không gian không gian Lorentz - Minkowski PHẦN KẾT LUẬN Chương KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 1.1 Không gian Lorentz - Minkowski Định... 2.4 Mặt cực đại không gian Lorentz Minkowski Định nghĩa 2.4.1 Mặt kiểu không gian không gian Lorentz - Minkowski gọi mặt cực đại mặt có độ cong trung bình điểm không Xét mặt S có tham số hóa kiểu. .. hướng Lorentz, tích có hướng Lorentz hai vectơ, mặt kiểu không gian, công thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt, điều kiện để mặt kiểu không gian mặt cực đại không gian Lorentz - Minkowski