Mặt cực đại trong không gian Lorentz Minkowski- 123docz.net

2 MẶT KIỂU KHÔNG GIAN TRONG KHÔNG GIAN

2.4 Mặt cực đại trong không gian Lorentz Minkowski

Minkowski

Định nghĩa 2.4.1. Mặt kiểu không gian trong không gian Lorentz - Minkowski được gọi là một mặt cực đại nếu mặt đó có độ cong trung bình tại mọi điểm bằng không.

Xét mặt S có tham số hóa kiểu đồ thị là: X : Ω−→R3

(u, v)7−→X(u, v) = (u, v, f(u, v)). Khi đó Xu = (1,0, fu), Xv = (0,1, fv), Xu∧1Xv = (−fu,−fv,−1). N = p 1 |f2 u +f2 v −1|(−fu,−fv,−1). Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất: E =hXu, Xui1 = 1−fu2,

F =hXu, Xvi1 =−fufv, G=hXv, Xvi1 = 1−fv2. Các hệ số của dạng cơ bản thứ hai:

Khi đó EG−F2 = 1−fu2−fv2. VìS là mặt kiểu không gian do đó Xu, Xv là các vectơ kiểu không gian nên

|Xu|1|Xv|1 >|hXu, Xvi1| ⇒ hXu, Xui1hXv, Xvi1 >hXu, Xvi2

hay EG−F2>0 nên suy ra 1−fu2−fv2 >0. Khi đó độ cong trung bình của S là:

H =−1 2 eG−2f F +Eg EG−F2 =−(1−f 2 v)fuu+ 2fufvfuv+ (1−fu2)fvv 2p1−fu2−fv2(1−fu2−fv2) ,

hay độ cong trung bình của S phải thỏa mãn phương trình: (1−f2

v)fuu+2fufvfuv+(1−f2

u)fvv =−2H(1−f2

u−f2

v)32. (2.3) Độ cong Gauss của mặt S là:

K =− eg−f 2 EG−F2 =− fuufvv−f 2 uv (1−f2 u −f2 v)[(1−f2 u)(1−f2 v)−f2 uf2 v] =− fuufvv−fuv2 (1−f2 u−f2 v)2.

Khi đó theo (2.3), nếu H = 0 ta có phương trình:

(1−fv2)fuu+ 2fufvfuv+ (1−fu2)fvv = 0, được gọi là phương tình Lagrange của mặt cực đại.

Cho X: Ω→R3

1 là mặt tham số chính quy D⊂Ω là miền bị chặn và

h : D → R là một hàm khả vi. Ta gọi một biến phân chuẩn tắc của X(D) xác định bởi h là một ánh xạ:

ϕ: D×(−, )−→R3 1

(u, v, t) 7−→ϕ(u, v, t). Được xác định ϕ(u, v, t) =X(u, v) +th(u, v)N(u, v),

với (u, v)∈D, t∈(−, ). Với mỗi t cố định, ánh xạ:

Xt :D−→R31 Xt(u, v) 7−→ϕ(u, v, t). là một mặt tham số. Tính toán trực tiếp ta có:

Xut =Xu+thuN +thNu, Xvt =Xv+thvN +thNv.

Nếu kí hiệu Et, Ft, Gt là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất thì: Et =hXt

u, Xuti1=hXu+thuN +thNu, Xu+thuN +thNui1

=hXu, Xui1+t2h2hNu, Nui1+ 2thhXu, Nui1−t2h2u, Ft=hXt

u, Xvti1=hXu+thuN +thNu, Xv+thvN +thNvi1

=hXu, Xvi1+t2h2hNu, Nvi1+ 2thhXu, Nvi1−t2huhv, Gt=hXvt, Xvti1 =hXv+thvN +thNv, Xv+thvN +thNvi1

=hXv, Xvi1+t2h2hNv, Nvi1+ 2thhXv, Nvi1−t2h2v, Nếu thay hXu, Nui1 =−e,

hXu, Nvi1=hXv, Nui1 =−f, hXv, Nvi1=−g,

hXu, Xui1=E, hXu, Xvi1 =F, hXv, Xvi1 =G.

và 2H(EG−F2) =−(Eg−2F f +Ge). Khi đó ta có:

Et =E+t2h2hNu, Nui1−2the−t2h2u, Ft =F +t2h2hNu, Nvi1−2thf −t2huhv,

Gt =G+t2h2hNv, Nvi1−2thg−t2h2v.

EtGt−(Ft)2=EG−F2−2thgE−2thGe+R(t)−F2+ 2thF f + 2thf F =EG−F2−2th(Eg−2F f +Ge) +R(t)

= (EG−F2)(1 + 4thH) +R(t) = (EG−F2)(1 + 4thH +R(t)). Với R(t) là một đa thức theo t, bậc ≥2 và

R(t) = R(t) EG−F2.

Với đủ nhỏ thì Xt là một mặt tham số chính quy. Do đó diện tích của mặt tham số Xt là: A(t) = Z D p EtGt−(Ft)2dudv = Z D q 1 + 4thH+R(t)pEG−F2dudv = Z D q 1 + 4thH+R(t)dA. Khi đó A0(t) = Z D 4hH +R(t) 0 q 1 + 4thH+R(t) dA,

được gọi là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số chính quy Xt. Tại t= 0 ta có A0(0) = Z D 2hHdA,

được gọi là biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của mặt tham số chính quy X.

Từ đó ta có định lí về mối liên hệ giữa một mặt cực đại với biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của mặt đó như sau.

Định lí 2.4.1. Cho X : Ω−→R3

1 là một mặt tham số chính quy. D⊂Ωlà miền bị chặn. Mặt tham số X là cực đại khi và chỉ khiA0(0) = 0 với mọi miền bị chặn D và với mọi biến phân chuẩn tắc của X(D).

Chứng minh.

Nếu X là mặt cực đại khi đó theo định nghĩa ta có H= 0 ⇒A0(0) = 0. Ngược lại, giả sử A0(0) = 0 và tồn tại điểm p ∈D sao cho H(p) 6= 0. Không mất tính tổng quát ta giả sử H(p) > 0. Chọn h : D −→ R sao cho h(p) > 0 và H đồng nhất bằng không ngoài một lân cận đủ nhỏ của p. Khi đó A0(0)>0 với biến phân xác định bởi h. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ H = 0.

Với mặt chính quy X ta xác định vectơ độ cong trung bình bởi H = HN. Nếu chọn h=H, ta có

A0(0) = Z

hH,Hi1pEG−F2dudv >0.

Điều này có nghĩa là nếu ta biến dạng X(D) theo hướng của vectơ H diện tích sẽ bắt đầu tăng lên.

Ví dụ 2.4.1. Cho mặt Helicod có tham số hóa là: X(s, t) = (scost, ssint, ht), s > h >0. Khi đó ta có Xs = (cost,sint,0), Xt = (−ssint, scost,0), Xss= (0,0,0), Xst = (−sint,cost,0), Xtt= (−scost,−ssint,0). Khi đó các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất là:

E =hXs, Xsi1= cos2t+ sin2t = 1,

F =hXs, Xti1 =−scostsint+ssintcost= 0, G=hXt, Xti1 =s2sin2t+s2sin2t−h2 =s2−h2.

Ta thấy EG−F2 =s2−h2>0 (vì s > h >0) nên mặt Helicoid là một mặt kiểu không gian. Vectơ pháp tuyến của mặt là :

N = 1 |Xs∧1Xt|(Xs∧1Xt) = 1 √ h2−s2(hsint,−hcost,−s). Các hệ số của dạng cơ bản thứ 2 là: e=hXss, Ni1= √ 1 h2−s2.0 = 0,

f =hXst, Ni1 = √ 1 h2−s2(−hsin2t)−hcos2t=− h 2 √ h2−s2, g =hXtt, Ni1 = √ 1

h2−s2(−hscostsint+hscostsint) = 0. Độ cong Gauss của mặt Helicoid là:

K =− eg−f 2 EG−F2 =− h 2 (h2−s2)(s2−h2) = h2 (s2−h2)2.

Độ cong trung bình của mặt Helicoid là:

H =−1 2 eG−2f F +Eg EG−F2 = 0.(s 2−h2)−2.0.0 + 1.0 s2−h2 = 0. Ta thấy H = 0 nên mặt Helicoid đã cho là một mặt cực đại.

KẾT LUẬN

Khóa luận tốt nghiệp được thực hiện và hoàn thành dưới sự nỗ lực cố gắng của bản thân cùng với sự hướng dẫn, giúp đỡ của thầy giáo ThS. Nguyễn Lê Trâm. Khóa luận đã trình bày được những nội dung chính sau:

1. Trình bày được hệ thống kiến thức cơ bản về không gian Lorentz - Minkowski. 2. Trình bày được về tính chất của tích vô hướng Lorentz, bất đẳng thức

Cauchy - Schwarz, bất đẳng thức tam giác, sự trực giao cũng như tích có hướng Lorentz của hai vectơ.

3. Trình bày về đặc điểm của mặt kiểu không gian các công thức tính toán về dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai, độ cong Gauss và độ cong trung bình của mặt, đặc biệt là tính chất cực đại của mặt dựa trên tính chất cực đại diện tích địa phương.

Khóa luận "Mặt tham số kiểu không gian trên không gian Lorentz - Minkowski" sẽ là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên trong việc nghiên cứu thêm về không gian Lorentz - Minkowski. Hướng phát triển tiếp của đề tài này đó là tiếp tục tìm hiểu về không gian Lorentz - Minkowski về các loại đường, các không gian con của nó, tiếp tục tìm hiểu về nhiều đặc điểm, tính chất khác của mặt tham số kiểu không gian Lorentz - Minkowski và trong những không gian nhiều chiều hơn.

Do điều kiện về thời gian cũng như năng lực nghiên cứu của bản thân còn hạn chế nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Bản thân em rất mong nhận được sự góp ý kiến của quý thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện hơn.

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn thầy giáo ThS. Nguyễn Lê Trâm và các thầy cô giáo trong Khoa Khoa học Tự nhiên, bạn bè và gia đình đã luôn

ủng hộ, động viên và đã có những ý kiến đóng góp giúp em hoàn thành đề tài này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1 ] Đại số tuyến tính (2003), Nguyễn Duy Thuận (chủ biên), Phí Mạnh Ban, Nông Quốc Chung, Nhà xuất bản Đại học sư phạm.

[2 ] Hình học vi phân (2000), Đoàn Quỳnh, Nhà xuất bản Giáo dục.

[3 ] Hình học vi phân (2010), Phạm Đình Đô, Nhà xuất bản Đại học sư phạm. [4 ] Manfredo P. do Carmo, Diffrentinal Geometry of Curves and Surface