Các không gian có độ cong hằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ************* LÊ MINH HÒA Chuyên ngành: Hình học Tô Pô Mã Số: 1.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Nguyễn Thái Sơn THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2004 - MỞ ĐẦU Hình học tô pô ngành học lâu đời phát triển mạnh nửa kỷ gần đây, với kiến thức lý thuyết đa tạp không gian phân thớ lý thuyết liên thông Nó trang bị cho kiến thức sở để áp dụng nghiên cứu vấn đề hình học vi phân, hình học cao cấp mà biết giáo trình đại học Kiến thức “độ cong” hình học vi phân kiến thức Tuy nhiên, giáo trình đại học phạm vi giới hạn độ cong tập En Rn Trên sở nghiên cứu lý thuyết hình học tô pô, mạnh dạn chọn đề tài: “Các không gian có độ cong hằng” với nội dung chủ yếu nêu trình xây dựng không gian có độ cong cách tổng quát Từ đó, xây dựng không gian cách cụ thể không gian Riemanian có độ cong hằng… Mục đích nghiên cứu gồm hai nội dung chính: + Giới thiệu trình xây dựng không gian có độ cong tổng quát thông qua định lý từ khái niệm định lý sở + Cụ thể hóa không gian tổng quát không gian cụ thể “Không gian Riemanian có độ cong hằng” Trong luận văn nghiên cứu không gian có độ cong quen thuộc Để thực mục đích nghiên cứu nói nghiên cứu lý thuyết hình học tô pô: lý thuyết đa tạp khả vi – Lý thuyết không gian phân thớ – Lý thuyết liên thông Ngoài cần nghiên cứu thêm kiến thức đại số có liên quan như: - “Đại số Lie – Nhóm Lie” để làm tảng cho nghiên cứu không gian có độ cong Để hoàn thành luận văn đặc biệt chân thành cảm ơn Tiến só Nguyễn Thái Sơn dành nhiều thời gian công sức để đọc, hướng dẫn giúp đỡ suốt trình thực hoàn thành luận văn Tôi thành thật cảm ơn thầy tổ hình học thuộc khoa Toán đọc góp ý cho luận văn Do kiến thức thân hạn chế, nghó nội dung luận văn không tránh khỏi sai sót, mong đóng góp thầy cô độc giả - CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TÔPÔ VI PHÂN & HÌNH HỌC VI PHÂN -Nội dung chủ yếu luận văn chương chương trình bày việc xây dựng không gian có độ cong Tuy nhiên để đạt điều đó, khái niệm đơn giản cần thiết Tôpô vi phân hình học vi phân, là: Đa tạp khả vi, không gian phân thớ liên thông không gian phân thớ §1 ĐA TẠP KHẢ VI 1.1- Đa tạp khả vi: 1.1.1- Đa tạp khả vi n-chiều: Một đa tạp khả vi n-chiều không gian Hausdorff M với họ {(U , ) } cho: α α αA (a) {U } A phủ mở M; n (b)  phép đồng phôi U lên tập mở R ; (c) Nếu  ,   A , ánh xạ   1 :  (U  U  )    (U  U  ) n ánh xạ khả vi lên miền R ; (d) {(U , ) } họ tối đại có ba tính chất α α αA Các tập hợp U U gọi lân cận tọa độ M Tọa độ địa phương cho n hàm thực: -  treân  ( x )  (1 ( x ), ,n ( x )), x  U Trong  ( x ) tọa độ địa phương điểm Cặp (U , ) gọi hệ tọa độ địa phương Từ sau ta coi ánh xạ khả vi lớp vi lớp x  U C  , tức ánh xạ trơn đa tạp khả C  , gọi đa tạp trơn 1.1.2- Ánh xạ khả vi: Ánh xạ liên tục f : M  M' đa tạp gọi ánh xạ khả vi với (U , ) M (V ,  ) M’, cho f (U )  V ánh xạ:    f  1 :  (U )    (V ) laø ánh xạ khả vi Nếu u1 , , u n v1 , , v n hệ tọa độ địa phương ứng với U V f biểu diễn thành hàm khả vi: v1  f (u1 , , u n ), , v m  f m (u1 , , u n ) Ánh xạ khả vi mà có ánh xạ ngược khả vi gọi vi phôi Dễ thấy tích ánh xạ khả vi ánh xạ khả vi Cho R f : M  M ' ánh xạ khả vi hai đa tạp: M khoảng mở f gọi đường cong trơn (khả vi) M’ Khi M tập mở đa tạp M’, M’ đường thẳng thực R f gọi hàm thực khả vi M  M' 1.2- Trường véctơ: 1.2.1- Véctơ tiếp xúc với M điểm - p  M ; không gian tiếp xúc: Giả sử  ( p) đại số hàm khả vi xác định lân cận điểm p, x(t) đường cong trơn M, cho x(t o )  p Véc tơ tiếp xúc với đường cong x(t) p ánh xạ X:  ( p)  R xác định sau: X f  ( df ( x(t )) / dt )to Noùi cách khác Xf đạo hàm f theo hướng đường cong X (t ) t  t0 Véc tơ X thỏa mãn hai điều kiện: (1) X ánh xạ tuyến tính từ  ( p ) vaøo R (2) X ( fg )  ( Xf ) g ( p )  f ( p )( Xg ) với f , g   ( p ) Tập hợp ánh xạ từ  ( p) R, thỏa mãn điều kiện (1) (2) tạo thành không gian véctơ thực Thật vậy, hệ tọa độ địa phương j j ( / u ) p ánh xạ từ u1 , , u n lân cận U điểm p, với  ( p ) R thỏa mãn (1) (2) Ta chứng tỏ tập hợp véctơ p không gian véctơ với sở ( / u1 ) p , ,( / u n ) p Giả sử cho đường cong x(t) u j  x j (t ), j  1, , n p  x (t0 ) giả sử phương trình hệ tọa độ địa phương u1 , , u n Khi đó: (df ( x (t ) / dt )t0   (f / u j ) p (dx j (t ) / dt )t0 Chứng tỏ véctơ p tổ hợp tuyến tính - ( / u1 ) p , ,( / u n ) p Ngược lại, cho tổ hợp tuyến tính j j   ( / u ) p , ta xét đường cong j xác định sau: u j  u j ( p)   j t, j  1, , n Khi vectơ tiếp xúc với đường cong t=0 j j   ( / u ) p j Để chứng minh ( / u1 ) p , ,( / u n ) p độc lập tuyến tính, ta giả sử: j j   ( / u ) p  j Khi đó:    j (u k / u j ) p   k với k=1, ,n j Điều suy {( / u j ) p} độc lập tuyến tính p M Tập hợp vectơ tiếp xúc ta ký hiệu Tp (M ) , gọi không gian tiếp xúc đa tạp M p Bộ n số thực  , , n gọi thành phần vectơ j j   (  / u ) p toïa j độ địa phương u1 , , u n 1.2.2- Trường vectơ đa tạp: Trường vectơ X tập mở điểm Nếu p U f với vectơ UM ánh xạ X: U  Tp (M ) , đặt tương ứng X p  Tp (M ) hàm khả vi M, ta định nghóa hàm Xf M sau: ( Xf )( p)  X p f Trường vectơ X gọi khả vi - Xf khả vi hàm khả vi f Trong tọa độ địa phương u1 , , u n trường vectơ X biểu diễn là: X    j ( / u j ) j  với j hàm xác định lân cận tọa độ gọi thành phần X đối u1 , , u n Như X khả vi  j khả vi với j Khi X ánh xạ trường vectơ X gọi trường vec tơ song song 1.2.3- Trường mục tiêu: Trường mục tiêu tập hợp mở U U cho với Nếu với p U p U mà M hệ gồm n trường vectơ {X1, , X n} hệ {X1 p , , X np} sở Tp (M ) Xip X jp   ij {Xi} gọi trường mục tiêu trực chuẩn Nếu với i mà trường vectơ Xi U song song {Xi} gọi trường mục tiêu song song Trong trường hợp này, trường vectơ X U biểu diễn dạng: n X    i Xi ,  i hàm khả vi i 1 1.2.4- Đạo hàm trường vectơ dọc theo trường vectơ Giả sử  (M ) tập hợp trường vectơ khả vi M, thành lập không gian vectơ thực phép cộng tự nhiên phép nhân với vô hướng Nếu X , Y   ( M ) , ta định nghóa dấu móc [X,Y] ánh xạ từ vành hàm M vào sau: - [ X ,Y ] f  X (Yf )  Y ( Xf ) Khi [X,Y] trường vectơ Thật vậy, tọa độ địa phương u1 , , u n ta coù: X    j ( / u j ),Y    j ( / u j ) j j Khi đó: [ X ,Y ] f   ( k ( j / u k )   k ( j / u k ))(f / u j ) j ,k Điều có nghóa [X,Y] trường vectơ M, mà thành phần u1, , u n laø: k j k k j k  ( ( / u )   ( / u )) , j=1, ,n k Ở ta xét  (M ) modul đại số  (M ) hàm khả vi M sau: Nếu f hàm thuộc  (M ) , X trường vectơ M, fX trường vectơ M, xác định sau: ( fX ) p  f ( p) X p với p  M Khi [ fX , gY ]  fg[ X ,Y ]  f ( Xg)Y  g(Yf ) X , với f , g  (M ) M xạ X ,Y   ( M ) Đạo hàm thuận biến  ( M )   ( M )   ( M ), ( X , Y )   X Y (X,Y) Với trường vectơ (1)  XY đa tạp đặt tương ứng với cặp trường vectơ thỏa mãn điều kiện sau:  X (Y  Z )   X Y   X Z - aùnh (2)  X  Y ( Z )   X Z  Y Z (3)  fX Y  f  X Y (4)  X ( fY )  f  X Y  ( Xf )Y Ở ta gọi Giả sử XY với f   (M ) với f   (M ) đạo hàm trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X f : M  M' ánh xạ khả vi đa tạp khả vi, giả sử với p  M , x đường cong trơn M với góc x(0)  p Khi f x M’ với gốc đường cong trơn ( f x )(0)  f ( p) , vaø ta định nghóa f* ( x ' (0)) ( f x )'(0) Giả sử y đường cong trơn khác M với gốc y(0)  p giả sử x' (0)  y' (0) Khi đó, biểu diễn f,x,y qua hàm tọa độ địa phương theo quy tắc phép tính vi phân hàm hợp, ta có: f* ( x ' (0))  f* ( y' (0)) Điều chứng tỏ, ánh xạ f* : Tp ( M )  T f ( p ) ( M ' ) không gian tiếp xúc, hoàn toàn xác định ánh xạ tuyến tính Ánh xạ f* đặt trưng sau: Với X  Tp (M ) hàm khả vi h taïi f ( p)  M ' , ta coù ( f* X )h  X (h f ) Hàm h f khả vi p xác định đẳng thức: (h f )( x )  h( f ( x )) Nếu M’ không gian vectơ f* trùng với vi phân Nếu X trường vectơ tập mở vectơ Y, cho f* X p U  M , f (U )  M '  Yf ( p ) với p, q U - df cho trường f ( p)  f (q) , ta có: K(P) = C = R(v1 , v2 , v1 , v2 ) R1 (v1 , v2 , v1 , v2 ) Hay R(v1,v2,v1,v2) = CR1(v1,v2,v1,v2)  v1, v2  V p dụng định lý 1.2 với R CR1 ta có: R = CR1 Giả sử e1, e2,…,en sở trực chuẩn V với tích vô hướng (,) Mỗi ánh xạ đa tuyến tính với tính chất a), b), c) ta có dạng song tuyến tính đối xứng S V sau: S(v1,v2) = R(e1,v1,e1,v2) + R(e2,v1,e2,v2)+…+R(en,v1,en,v2)  v1,v2  V 1.5- Định lý: Giả sử v  V vectơ đơn vị, giả sử v,e2,…,en sở trực chuẩn V Khi đó: S(v,v) = K(P2)+…+K(Pn) Trong Pi mặt phẳng xác định v ei với i=2,…,n - §2 ĐỘ CONG THIẾT DIỆN Giả sử M đa tạp Riman n-chiều với mêtric g Giả sử R(X,Y) phép biến đổi độ cong Tx(M) xác định vectơ X,Y  Tx(M) (Trường) Tenxơ độ cong Riman M ký hiệu R, trường tenxơ hiệp biến bậc (kiểu (0,4)), định nghóa sau: R(X1,X2,X3,X4) = g(R(X3,X4)X2,X1) với Xi  Tx(M), i=1,2,3,4 2.1- Định lý: Tenxơ độ cong Riman ánh xạ đa tuyến tính: Tx(M) x Tx(M) xTx(M) xTx(M)  R điểm x  M, có tính chất a), b), c) d) §1 Chứng minh: Giả sử u điểm phân thớ mục tiêu trực chuẩn O(M) cho (u)=x Giả sử X3*,X4*  Tx(O(M)) với (X3*)=X3 (X4*)=X4 Từ định nghóa phép biến đổi độ cong ta có: G(R(X3,X4)X2,X1) = g(u[2(X3*,X4*)(u-1(X2)],X 1) = ((2(X3*,X4*)(u-1X2),(u-1X3)) (,) tích vô hướng tự nhiên Rn * (X3*,X4*)  O(n) ma trận phản đối xứng suy a) * R(X3,X4) = -R(X4,X3) ta suy b) * R(X1,X2,X3,X4) + R(X1,X3,X4,X2) + R(X1,X4,X2,X3) = g(R(X3,X4)X2,X1) + g(R(X4,X2)X3,X1) + g(R(X2,X3)X4,X1) = ((2(X3*,X4*)(u-1X2)),u-1X1) + (2(X4*,X2*)(u-1X3),u-1X1) - + ((2(X2*,X3*)(u-1X4),u-1X1) Tới vận dụng đồng thức Bianki thứ (chương 1) Ta có: R(X1,X2,X3,X4) + R(X1,X3,X4,X2) + R(X1,X4,X2,X3) = * Đối với mặt phẳng P không gian tiếp xúc Tx(M) độ cong thiết diện K(P) P xác định sau: K(P) = R(X1,X2,X1,X2) = g(R(X1,X2)X2,X1) Trong X1, X2 sở trực chuẩn P Như biết §1, K(P) không phụ thuộc vào việc chọn sở trực chuẩn X 1, X2 Do tập hợp giá trị K(P) mặt phẳng P Tx(M) xác định tenxơ độcong Riman x Nếu K(P) không đổi mặt phẳng P Tx(M) điểm x  M, M gọi không gian có độ cong 2.2- Định lý: Giả sử M đa tạp Riman với số chiều lớn Nếu độ cong thiết diện K(P) với P mặt phẳng Tx(M) phụ thuộc vào x M không gian có độ cong Chứng minh: Ta xác định trường tenxơ hiệp biến bậc R1 sau: R1(W,Z,X,Y)=g(W,Xg(Z,Y)-g(Z,X)g(Y,W) với X,Y,Z,W  Tx(M) Theo định lý 1.4, ta có R=kR1, k hàm M g song song R1 song song Từ đó: (UR)(W,X,Y,Z) = (Uk)R1(W,X,Y,Z)  U  Tx(M) - Điều có nghóa là, với X,Y,Z,U  Tx(M) ta có: [(UR)(X,Y)]Z + [(XR)(Y,U)]Z + [(YR)(U,X)]Z = (Uk)(g(Z,Y)X – g(Z,X)Y) + (Xk)(g(Z,U)Y – g(Z,Y)U) + (Yk)(g(Z,X)U – g(Z,U)X) Ở ta có vế trái 0, đồng thức Bianki thứ II: {(XR)(U,Y)} = (định lý 3.4.3 – chương 1) Bây giờ, với X tuỳ ý ta chọn Y,Z U cho X,Y,Z trực giao với nhau, mà U = Z g(Z,Z) = Thực điều dim M  Khi đó, ta nhận được: (Xk)Y – (Yk)X = X Y độc lập tuyến tính, ta có: Xk = Yk = đó: k = const 2.3- Hệ quả: Đối với không gian có độ cong hằng, ta có: R(X,Y)Z = k(g(Z,Y)X = g(Z,X)Y) * Nếu k dương (tương ứng âm) M gọi không gian có độ cong dương (tương ứng âm) i Nếu R jkl gij thành phần tenxơ cong tenxơ mêtric hệ tọa độ địa phương, thành phần Rijkl tenxơ độ cong Riman cho sau: Rijkl   g ijn R injkl n Nếu M không gian có độ cong hằng, với K(P) = k, thì: Rijkl  k ( g ik g jl  g jk g il ) R ijkl  k ( ki g il  g jk  ij ) - ~i Tương tự theo 3.6 §3 chương 1, ta xác định tập hợp hàm R jkl L(M) sau: ~i k  ij   R jkl   l jkl i Trong   ( j ) dạng độ cong liên thông Riman Đối với điểm u tuỳ ý O(M), ta chọn hệ tọa độ địa phương: x1,…,xn với gốc x=(u) sau cho u mục tiêu cho sau: (   ) , , ( )x x x1 x n Đối với hệ tọộ ta có: gij = ij x Từ đó: R ijkl  Rijkl  k ( ik  ji   jk  li ) x Giả sử C thiết diện địa phương L(M), cho trường mục tiêu tuyến tính   , , n x x * ~i i Theo 3.6 Chương ta có:  R jkl  R jkl Do đó: ~ R ijkl  k ( ik ji   jk  li ) taïi u  ij  k i   j u, u điểm tùy ý O(M) 2.4- Định lý: Nếu M không gian có độ cong hằng, với độ cong thiết diện k, dạng cong   ( ij ) cho nhö sau: ij  k i   j O(M)  = (i) dạng tắc O(M) - §3 CÁC KHÔNG GIAN RIMAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG Trong phần này, xây dựng với số k, không gian Riman, với độ cong thiết diện K 3.1- Định lý: Giả sử (x1,…,xn,t) hệ tọa độ Rn+1, M siêu mặt Rn+1 sau: (x1)2 + … + (xn)2 + rt2 = r (r: số khác 0) Giả sử g mêtric Riman M, nhận thu hẹp dạng sau M: (dx1)2 + … + (dxn)2 + rdt2 Khi đó: i) M không gian có độ cong không đổi, với độ cong thiết diện r ii) Nhóm G phép biến đổi tuyến tính Rn+1 bảo tồn dạng toàn phương bất biến (x1)2 + … + (xn)2 tác động truyền ứng M nhóm phép đẳng cự M iii) Nếu r > 0, M đẳng cự với mặt cầu bán kính Nếu r < M gồm hai r đa tạp liên thông đẳng cự với nhau, chúng vi phôi với Rn Chứng minh: Trước tiên ta thấy M đa tạp đóng Rn+1 * Chứng minh 3:  Nếu r > 0, ta giả sử rằng: xn+1 = x1/2t Khi M cho sau: (x1)2 + … + (xn)2 + (xn+1)2 = r - mêtric g thu hẹp dạng: (dx1)2 + … + (dxn+1)2 M Điều có nghóa M đẳng cự với hình cầu bán kính r1/2  Nếu r < t2  điểm M Giả sử M’ (tương ứng M’’) tập hợp điểm M với t 1 (tương ứng t  -1) Ánh xạ (x1,…,xn,t)  (y1,…,yn) xác định công thức: xi y  , i = 1,…,n t i Là vi phôi từ M’ (và M’’) lên tập Rn, cho bất đẳng thức: n i (y )  r  i 1 Thật vậy, ánh xạ ngược cho sau: Xi = yit, t = 1,2,…,n   x   Với t   i   r  (y )    i Bằng tính toán trực tiếp, ta có mêtric g biểu diễn qua y1,…,yn sau: x (r   ( y i ) )( (dy i ) )  (  y i dy i )    i i i i 2 (r   ( y ) ) i * Chứng minh 2: Ta xét G nhóm tác động Rn+1 Vì G nhóm tuyến tính bảo tồn (x1)2 + … + (xn)2+rt2 bất biến, đồng (dx1)2 + … + (dxn)2+rdt2 bất biến - thời bảo tồn dạng Do đó, G xét tác động M, G nhóm đẳng cự đa tạp Riman M Tính truyền ứng G M suy từ hệ định lý Vitt (chương 2) * Chứng minh 1: Gọi H nhóm G, gồm phép biến đổi bảo toàn điểm O với tọa độ (0,0,…,0,1) bất động Ta định nghóa: f: G  O(M) sau: Giả sử uo  O(M) mục tiêu = (0,…,0,1)  M cho sau: (/x1)o, (/x2)o,…, (/xn)o Mỗi phần tử a  G phép biến đổi đẳng cự M, biến đổi mục tiêu trực chuẩn M thành mục tiêu trực chuẩn M Nói riêng a(uo) mục tiêu trực chuẩn M a(o) Ta định nghóa f(a)=a(uo), a  G * Để chứng minh M có độ cong thiết diện ta xét hai bổ đề sau: r Bổ đề 1: Ánh xạ f: G  O(M) đẳng cự từ phân thớ G(G/H,H) lên phân thớ O(M)(M/O(n)) Chứng minh: Ta xem G nhóm ma trận cấp (n+1) x (n+1) cách tự nhiên H đẳng cấu tự nhiên với O(n) H O (n) 0 Kiểm tra thấy f: G  O(M) giao hoán với tác động phải Ra với a  H=O(n): - f(ba)=f(b)a với b  G a  H=O(n) Tính truyền ứng G M, cảm sinh ánh xạ f: G/H  M vi phôi đẳng cấu phân thớ Dạng toàn phương xác định M, cho ma trận cấp (n+1) x (n+1): Q Ia 0 r Ma trận cấp (n+1) x (n+1) a phân tử G taQa = Q, với ta chuyển vị ma trận a Giả sử: a X t y z  X ma trận cấp n x n, y z phần tử Rn,  số thực Khi đó, điều kiện để a  G biểu diễn sau: t XX + rztz ; tXy + rz ; tyy + r2 = r Suy đại số Lie G tạo ma trận dạng: A b t C Trong A ma trận cấp n x n với tA + A = 0, b c phần tử Rn thỏa mãn b + rc = Ví dụ: 11  n1 Ma traän: 1n  nn 1  n 1  n 1-dạng tắc (bất biến trái) G (xem 1.4 Chương 1) - Trong ta có:  ij   ij  ;  i  c i  với i,j = 1,…,n Phương trình More-Cartan G biểu diễn sau: d i    ki   k k d ij    ki   ik   i   j với i,j = 1,2,…,n k Bổ đề 2: Giả sử  = (i)   ( ij ) dạng tắc dạng liên thông O(M) Khi đó: f * i   i vaø f *  ij   ij với i,j = 1,2,…,n Chứng minh: * Ta biết với phần tử a  G, cảm sinh phép biến đổi O(M); phép biến đổi tương ứng với phép dịch chuyển trái phần tử a G với phép đẳng cự f : G  O(M) Từ định nghóa  ta thấy  = (i) bất biến với phép biến đổi, cảm sinh a  G Mặt khác (i) bất biến tác động trái a  G Để chứng minh: (f*i)(X*) = i ta cần chứng tỏ: (f*i)(X*) = i(X*) với X*  Ta(G) Đặt: Xi = (/xi)o, mục tiêu uo cho (x1,…,xn) Phép hợp thành ánh xạ:   f : G  O(M)  M biến phần tử Ta(G) (được đồng với đại số Lie G) có dạng: - A t b C thành vectơ  bi X i , b1,…,bn thành phần b i Vì vậy, X*  Ta(G)   f ( X *)    ( X *) X i từ đó: i i (f*1(X*),…,f*n(X*)) = uo1(  f (X*)) = ( 1(X*),…, n(X*)) * Giả sử G H đại số Lie G H tương ứng Giả sử M không gian tuyến tính G cố định H, nghóa là: ad(a)M=M với a  H i p dụng định lý 3.2.4 (chương 1) ta thấy ( j ) xác định liên thông phân thớ G(G/H,H) Khẳng định lại bổ đề nhận từ điều sau: 1) (i) tương ứng với (i) đẳng cấu f : G  O(M) i 2) Dạng liên thông Riemanian ( j ) đặc trưng triệt tiêu độ xoắn (định lý 3.5.2 – chương 1), nghóa là: d i    ki   k k i 3) Dạng liên thông ( j ) thỏa mãn đẳng thức: d i    ki   k k Từ bổ đề 1), bổ đề 2) với: d ij     ki   ik   i   i k vaø i + ri = keùo theo: - d ij    ki   ik   i   j r k Chứng tỏ rằng: dạng cong liên thông Riemanian cho là:    i   j , theo định lý 2.4, M không gian có độ cong không đổi với độ r cong thiết diện r Nhận xét: Trong thực tế, G nhóm tất phép đẳng cự M Thật vậy, giả sử F(M) nhóm phép đẳng cự M định nghóa ánh xạ f : F(M)  O(M) cách ta định nghóa ánh xạ f : G  O(M) Khi đó: G  F(M) f : F(M)  O(M) mở rộng f : G  O(M) Vì f đơn ánh từ F(M) vào O(M) f(G) = O(M) nên G = F(M) 3.2- Hệ quả: 1) Giả sử M mặt cầu Rn+1 xác định (x1)2+…+(xn)2 = a2 giả sử g thu hẹp (dx1)2+…+(dxn)2 M Khi mêtric Riemanian g, M không gian có độ cong với độ cong thiết diện a2 2) Giả sử M tập mở Rn xác định bởi: (x1)2+…+(xn)2 < a2 Khi với mêtric dạng: a [(a   ( y i ) ( ( dy i )  ( y i dy i ) ] i i i i 2 (a   ( y ) ) i - M không gian có độ cong hằng, với độ cong thiết diện - a2 (Hệ suy từ định lý 3.1 với t = r = a2) * Không gian M xây dựng định lý 3.2 người ta chứng minh đơn liên khắp nơi, đầy đủ * Không gian Rn với mêtric Euclide: (dx1)2+…+(dxn)2 không gian đơn liên, đầy đủ có độ cong * Một đa tạp Riemanian M có độ cong dương gọi Eliptic * Một đa tạp Riemanian M có độ cong âm gọi Hypebolic * Một đa tạp Riemanian M có độ cong gọi phẳng Rn - KẾT LUẬN Tóm lại, việc giới thiệu định lý Vitt, ta xây dựng dạng song tuyến tính n n không suy biến bs ( x, y ) với x, y   s  s  n qua ta xây dựng dấu không gian vectơ Sau ta xây dựng tạp n n   x   / bs  ( x, x )  er  trường hợp đặc n biệt trường hợp x = y, với kết tập  có độ cong ta hình thành H s , S sn có độ cong lần lược r2 –r2 Với việc cụ thể “Không gian Riemanian có độ cong hằng” ta tập trung giải vấn đề sau: “Với số k # 0, ta xây dựng không gian Riemanian với độ cong Nếu k > không gian đẳng cự với hình cầu bán kính k k , k < không gian hai đa tạp đẳng cự với Còn k = 0, ta xây dựng không gian Riemanian đẳng cự với mặt phẳng” - TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục Mockba (1983), Josepha wolf soaces of constant curvature (Bản dịch Tiếng Nga) Mockba (1983), Kobayyachi s nomizu s foundation of differential geometry (Bản dịch Tiếng Nga) - ... giới hạn độ cong tập En Rn Trên sở nghiên cứu lý thuyết hình học tô pô, mạnh dạn chọn đề tài: ? ?Các không gian có độ cong hằng? ?? với nội dung chủ yếu nêu trình xây dựng không gian có độ cong cách tổng... từ khái niệm định lý sở + Cụ thể hóa không gian tổng quát không gian cụ thể ? ?Không gian Riemanian có độ cong hằng? ?? Trong luận văn nghiên cứu không gian có độ cong quen thuộc Để thực mục đích nghiên... quát Từ đó, xây dựng không gian cách cụ thể không gian Riemanian có độ cong hằng? ?? Mục đích nghiên cứu gồm hai nội dung chính: + Giới thiệu trình xây dựng không gian có độ cong tổng quát thông