Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Áp dụng một số kết quả của đại số đại cương để chứng minh một số bài toán sơ cấp

Số học tuy chi được học trong 6 đến 7 năm đầu của trưởng phổ thông , nhưng trong các dé thị chọn lọc học sinh giỏi ở tất cả các cấp của nước ta, củng như hau hết các nước trên thế giới k

Trang 1

@ ô @ 4 @ 4 4 & ôâ 2 2 2.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

œ›kÌca

ÁP DỤNG MỘT SỐ KẾT QUẢ

CỦA ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG

ĐỀ CHỨNG MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN

SƠ CẤP.

LUAN VĂN TỐT NGiỆP

Giáo viên hướng dẫn : Tiến sĩ My Vinh Quang

Sinh viên thực hiện : Đỗ Thị Uyên Hương

Lop : Toán 4D

Niên Khóa : 1997-2001

TP.HO CHÍ MINH-NAM 2001_ _

Trang 2

SFVVVVVVVVVVHVEVHDY AAAAAAA À À AA AAA^=

LOI CẢM ON

Trước hết cho phép em được bay tổ lòng biết ơn sâu xắc túi

quy thầy có trong Ban Giám Hiệu các thầy có trong khoa Toản củng

toàn thể các thầy cô trong Trưởng Đại học Su phạm TP Hồ Chi Minh

dã truyền dat cho em những kiến thức quý: bau trong xuốt 4 nam học

vida qua

Em xin chân thành cảm on thầy TS My Vinh Quang đã tan tinh

hướng dan giúp dd em hoàn thành luận van nav

Em xin chân thành cam on quý thay có trong H6i đồng Gtam

kháo da bát chút thời gian để chấm và gop ý kiến cho dé tai của em

Em xin chân thành cắm on sự quan tâm giáp dd động viên của gia dình bạn bè trong xuốt quá trình em học tập dudi maitrưởng Dai hoc Su phạm cũng như trong qua trình em viết và hoàn

thành luân van

TP Hồ Chi Minh ngày 02 thang Ó năm 2001

Sinh viên thực hiện

ứ

“ v é

Trang 3

MỤC LỤC

‘ Trang

MỞ ĐẦU

PHAN 1 : Sư lược những kiến thức cơ bản của Đại sé đại cương

cần xử đụng để giải một xố bài toán xố hoe

1 Nhóm

1.1, Nila nhóm

1.2 Nhom

1.3 Nhom con 1.4 Nhom xiclic

PHAN 2 : Ứng dụng một xố kết qua của Đại xế đại cương để

CNN NN BOW WA & S&B pĐb 22 G2 G2 L2 bò — — — —

Trang 4

1.4 Bổ dé

1.5 Bổ dé 1.6 Bổ dé

2 Dinh nghia phuong trinh Pell

1.2 Sự tần tại nghiệm không tâm thưởng

của phương trình Pell

1.3 Cấu trúc nghiệm của phương trình Pell

25

ee

ws 4 =2ws NN NN WN

w

Trang 5

LỜI MỞ ĐẦU

Số học - khoa học vẻ các con sé - lả một nganh lâu đời nhất của Toản

học , được mệnh danh la” Nữ hoảng Toán học " các bài toán Số học da lam

đam mê nhiều người , tử những nhả Toán học lỗi lạc của mọi thởi đại đến

đông đảo các bạn yêu Toán

Số học tuy chi được học trong 6 đến 7 năm đầu của trưởng phổ thông ,

nhưng trong các dé thị chọn lọc học sinh giỏi ở tất cả các cấp của nước ta,

củng như hau hết các nước trên thế giới không thể thiếu được các bai toản Số

học Đứng trước một bai toán Số học , với những kiến thúc đã được học ởtrưởng phổ thông , chủng ta chỉ cỏ thể giải bằng phương pháp so cấp ma thôi

Đến năm thứ 2 của Dai học , chúng ta lam quen với một bộ môn goi là

“ Đại số dai cương " Cho đến khi học xong môn " Dai số đại cương " vảcling sắp xong chương trình Dai học ma vẫn có nhiều sinh viên chưa biết hết

được "Đại số đại cương " có nhiều ứng dụng trong các ngảnh khác nhau , đặc

biệt la ngành Số học

Nhờ công cụ của Đại số đại cương ma các định lý Số học , các bai toán Số

học được giải quyết ngắn gọn hơn và hay hơn rất nhiều so với cách giải sơ

cấp Chính vi vậy “ Ứng dụng của Đại số đại cương vảo việc chứng minh

một số bai toán Số học ” là để tài ma em chon làm luận văn tốt nghiệp

Số lượng các bai toán Số học quá nhiều , luận văn của em không dé cập hết được , em chỉ xin trình bảy một sé định ly Số học và một số phương trình

Số học mả thôi

Tuy vậy luận văn hoản thành sẻ góp phan nhỏ bé của mình để lam rỏ ung

dụng của Dai số đại cương , khẳng định rằng : Có những định ly Sế học được

trình bảy theo hai cách phương pháp sơ cấp và phương pháp cao cấp Củng

có những mệnh dé hay bổ dé được chứng minh bằng cách áp dụng một số kếtquả của Đại số đại cương mả chúng ta đã được học

Trang 6

Vẻ kết cấu của luận văn : Ngoài phan mở dau kết luận , phụ lục va

danh mục tải liệu tham khảo , luận văn được kết cấu thanh 3 phan

Phan 1 : Sơ lược những kiến thức cơ bản của Dai số dai cương cân sử dụng

để chứng minh một số bai toán của Số học

Phần 2 : ứng dụng một số kết quá của Dai số đại cương để chứng minh một

số định lý số học

Phần 3 : ứng dung Dai sé đại cương để giải một số phương trình Số học

Mặc dủ đã có nhiều cổ gắng , nhưng vì khả năng vả thời gian có hạn nên

luận văn nảy của em không thể tránh khỏi những thiếu sót , em rất mong sự

thông cảm của quý thay cô , em xin được tiếp thu ý kiến gop ý của thay

hướng dan , các thay cô trong Hội đồng Giám khảo , cũng như các thay cô

trong khoa Toán trưởng Đại học Sư phạm TP Hẻ Chí Minh để luận văn của

em được hoản thiện hơn

Trang 7

LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD : TIEN S¥ MY VINH QUANG

1 Nhom

1.1 Nửa nhom

e© Cho X là tập khác rỗng Một phép toan 2 ngôi trong X là | anh xạ tử

X? đến X Hay nói cách khác , | phép toản 2 ngôi trong X là | qui tắccho tương ứng mỗi cặp phan tử (x, y) e X? với | phần tử xác định của

X gọi là cai hợp thành của x vả y bởi phép toán đó

e Giả sử là | phép toan 2 ngôi trong tập X Tập con khác rỗng A của X

gọi là ổn định (đối với phép toán ) nếu với Vx, y e A thì x.y © A.

e Nếu A la tập con ổn định thi phép toan thu hẹp trên A sé xác định

trong A | phép toán 2 ngôi (cũng ký hiệu là ) gọi la phép toán cảm sinh trong A bởi phép toán trong X.

tính chất kết hợp (túc là V x, y, z X: x(yz) = (xy)z) được gọi la nửa

nhóm

e Một nửa nhóm co phan tử đơn vị (tức la với VxeX,3ee Xtaco:

¢.X = X.e = x) được gọi là vị nhóm

1.2 Nhom

e Nhóm la một vị nhóm trong đó mọi phần tử đều khả nghịch Hay nói

cách khác, | tập hợp X + Ø trên đó đã được trang bị một phép toan hai

Trang 8

LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD» TIỀN SY MY VINH QUANG

e Nếu phép toán trong nhỏm X giao hoán ( Vx,y € X tạ có xy = Y.X)

thi X được gọi la nhom giao hoán hoặc nhóm aben

*Phan tử đơn vị của nhóm là duy nhất

*Phan tứ nghịch đảo của x là duy nhất , kỷ hiệu là x‘

*Phép toán trong nhóm co luật giản ude , tức là Vx,y,ze X:

X.Y = X.Zz (hoặc y.x = Z.X) thi y =z

*Vx,yeX,tacỏ:(x.y)'=y!.x!.

*Néu data’ =e thi với V m„n Z, ta có :

(a") 1 (a Dy

a’ aTM=a"TM (a")" =a

e Nếu X có hữu han phan tử thi số phan tử của X gọi là cấp của nhóm ,

ký hiệu la |X| Con nếu X có vô hạn phan tử thi ta nói X có cấp vô hạn.

1.3 Nhóm con

e Cho X lả một nhóm , một tập hợp khác rỗng A của X được gọi là một

nhóm con của X nếu phép toán trên X là ổn định trên AC V x,y EA:

x.y € A) và A củng với phép toán do lại là một nhóm.

e Tập con khác rỗng A la nhóm con của nhóm X khi vả chỉ khi với mọi

a,beA,tacó:abeAvảa'eA

1.4 Nhóm xiclic

e Gia sử M là tập khác rỗng của X Khi đó giao của tất cả các nhỏm

con của X chứa M là một nhóm con của X, gọi là nhóm con của X sinh

bởi tập M, ký hiệu <M>.

e Nhom con của X sinh bởi tập có một phan tử {a} được gọi là nhóm con

xiclic sinh bởi a, ký hiệu <a>.

<a> ={a'/keZ).

X được gọi là nhom xiclic , và a được gọi là phan tử sinh của nhom

xiclic X.

SVTH - DO THỊ UYEN HUONG TRANG 2

Trang 9

LUẬN VĂN TỐT NGIHIỆP GVHD : TIỀN SY MỸ VINII QUANG

—

e Nếu nhỏm <a> có vô hạn phan tử thi ta noi phin tử a có cấp vô hạn ;

nếu nhóm <a> có n phan tử thi ta nói phan tử a co cấp lan, khi don

chính là số tự nhiên bé nhất để a° = e ( e là phan tử đơn vị của nhóm X )

1.5 Dinh lý Lagrange

e Giả sử A là nhóm con của nhóm X

Khi đó quan hệ x ~ y <> x'y A lả quan hệ tương đương trong X

Lớp tương đương chua x, x =xA={xa/aeA } gọi là một lớp ghép

trái của nhỏm con A trong X Tập các lớp ghép trái gọi la tập thương

của nhóm X trên nhóm con A , ký hiệu x Vay :

& Hệ quả : Cấp của | nhóm con của nhóm hữu hạn X là ude của cấp

của X Cấp của | phan tử tủy ý của nhỏm hữu hạn X là ude củacấp của X

1.6 Nhóm con chuẩn tắc - Nhóm thương

e Nhóm con A của nhóm X gọi là chuẩn tắc nếu với mọi a © A, mọi x e

Xtacdx'axeA.

Nhóm con A của nhóm X là nhóm con chuẩn tắc khi va chi khi với mọi

xeX,tacd:xA=Ax.

| phép toán 2 ngôi trong tập thương X/ và X⁄/ củng với phép toán

trên fa | nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A

1.7 Đẳng cấu

e Anh xạ từ nhóm X đến nhóm Y được gọi là đổng cấu nhóm nếu với

Vx,yeX,tacỏ: fx.y) = fx).Wy)

SVTH - DỖ THỊ UYEN HUONG TRANG 3

Trang 10

LUAN VAN TỐT NGHIỆP GVHD» TIEN SY MY VINH QUANG

Một đồng cấu toan anh gọi lả toan cấu ,

Một đồng cầu song anh gọi là dang cấu

e© Tích của 2 đổng cấu (đơn cấu , toàn cấu , đắng cấu) la đồng cấu (đơn

cấu , toàn cau , đẳng cẩu) Anh xa ngược của | dang cầu là dang câu

e Nếu tổn tại | đẳng cấu tử nhóm X đến nhóm Y thi ta nói X và Y đẳng

cấu với nhau va ký hiệu la X = Y

nhất một đẳng cấu f: Mert —Y sao cho :f= f.p , trong đó :

p: X2 _¢

1.8, Tích trực tiếp của họ các nhóm

Gia sử (X,)jc, là họ các nhóm , trong tích Descartes [ [X, ta định

wi

nghĩa phép toan hai ngôi : (X%)e)(¥ ker = (%¥e; - Khi do ,

[] X, củng với phép toán trên là một nhom , gọi la tích trực tiếp của

ve!

họ các nhóm (X,),«;

-2.Vanh

2.1, Vanh

e Vanh là một tập hợp X cũng với phep cộng va phep nhân đa cho trong

X thỏa các điểu kiện sau đây :

*X củng với phép cộng là nhóm aben

*X củng với phép nhân la nda nhóm

*Phép nhân phân phối với phép cộng , tức là :

Vx,y,ZzeX,tacó:

" XÍY*Z) =Xy+xz

® (Y*Z)X =VX+ZX

e©_ Nếu phép nhân trong X giao hoán thì X được gọi là vành giao hoán

e©_ Nếu phép nhân trong X cỏ phần tử đơn vị thi X được gọi la vanh có đơn

Vi.

SVTH - ĐỖ THỊ UYEN HUONG TRANG 4

Trang 11

LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD - TIEN SỶ MY VINH QUANG

e Phan tử a khác 0 của vành X được gọi là ude của 0 nếu tổn tại phần tử b

khác 0 sao cho a.h = 0.

e Một vành giao hoán , có đơn vị , va không có ude của 0 được gọi là

miễn nguyên

2.2, Vành con - Ideal

e Tập con khác rỗng A của vành X được gọi là vành con của vành X nếu

A ổn định với các phép toán của vành vả A củng với các phép toán cảm

sinh làm thành một vành

e Tập con khác rỗng A của vành X là vành con của X khi và chi khi với

WVa,beA,tacó:a-beAvảabeA.

e Giả sử X là một vanh , vành con A của vành X được gọi là ideal của X

nếu với V a eA, V x e X thì A vila [a ideal phải (ax € A) vửa là ideal trái (xa e A) của X.

2.3 Vành thương

e Giả sử A là ideal của vành X, khi đỏ lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào các

lớp x + A va y + A ma không phụ thuộc vảo sự lựa chọn các phan tử

đại điện x , y của lớp đó Bởi vậy nhóm thương của nhóm cộng X trên

A củng với phép toán nhân (x + Á)(y + A) = xy + A là | vành, gọi là

vành thương của vành X trên A va cũng ký hiệu là XS

e Nếu X la vành giao hoán thi vành thương XI củng là vanh giao hoan

Nếu X là vành có đơn vị e thì X/, cũng la vành có đơn vị lie + A.

2.4 Đông cấu e© Anh xa ftử vành X đến vành Y được gọi la đồng cau vanh nếu :

Với Vx,y eX, taco:

*fx + y) = fx) + fly)

*fix.y) = fix) fly)

e Một đồng cấu đơn ảnh gọi lả đơn cấu

Một đồng cấu toan ảnh gọi là toàn cấu

Mộïf đồng cấu song anh gọi là dang cấu

SVTII : DO THỊ UYEN HUONG TRANG Š

Trang 12

LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD - TIEN S¥ MY VINH QUANG

e© Tích của 2 déng cấu (đơn cấu , toan cấu , ding cấu) la déng cấu (đơn

cấu , toàn cấu , đắng cấu) Anh xa ngược của | đẳng cấu là ding cấu

e Nếu tổn tại ding cấu f: X > Y thi ta nói vành X va vanh Y đẳng cấu

nhau Ky hiệu : X= Y.

® Định lý đồng cấu vành : Cho f: X —> Y là toan cấu vành Khi đó, tổn tại

duy nhất một đẳng cấu : f: bi r Y sao cho f= fp, trong đỏ :

là XM oe f

2.5 Sổ học trong miễn nguyên

e Giả sử X là miễn nguyên ,a.b © X Ta nói b là ude của a hay a là bội

của b nếu tổn tại phan tử c e X sao cho a = bc

Ky hiệu : b | a hoặc a : b.

¢ Hai phan tử a và b gọi là liên kết nếu a | b và b | a Hai phan tử a và b

liên kết khi va chỉ khi a = bu, trong đỏ u là phần tử khả nghịch trong Xe© Phần tử b gọi là ude thực sự của a , ký hiệu b//a , nếu b lả ude của a va

b không khả nghịch , không liên kết với a

vả b, va mọi ước chung của a và b đều là ude clad

không có ước thực sự Mọia,beX,p=ab bất khả qui = a khả

nghịch hoặc b khả nghịch Phần tử b gọi la nguyên tố nếu b không khá

nghịch vả b | ac thì b | a hoặc b | c

2.6 Vành chính

e© Mién nguyên trong đó mọi phần tử khác không , không khả nghịch đều

phân tích được duy nhất ( không kể thứ tự và các nhân tử khả nghịch )

thành tích các phan tử bất khả qui, gọi là vành nhân tử hóa hay vành

Gauss

e Miễn nguyên trong dé mọi ideal đều là ideal chính gọi lả vành chính

e Các tính chất cơ bản của vành chính :

*Vanh chính [a vành nhân tử hóa

SVTH - DO TH] UYEN HUONG TRANG 6

Trang 13

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD» TIEN S¥ MY VINH QUANG

*Trong vành chính , một phan tử bất khả qui khi va chỉ khi nó là

phần tử nguyên tổ

*Trong vanh chính , mọi cặp phần tử khác không a va b đều có

ude chung lớn nhất (a,b) Hơn nữa, nếu d = (a, b) thi tồn tại x,

y sao cho đ = ax + by Đặc biệt : (a, b) =I © tổn tại x, y sao

Nếu r z 0 thi &(r) < ô(b)

“ Mọi vành Euclide đều là vành chính

* Trong vành Euclide ta có thuật toan tìm ước chung

lớn nhất của 2 phần tử a và b dựa vảo tính chất sau :

nếu a = b.q + r thì (a, b) = (b, r)

2.8 Tích trực tiếp của họ các vành

Giả sử (X,)e) là họ các vành , trong tích trực tiếp các nhỏm cộng

[]X, ta định nghĩa phép toán nhân : (x,),,.(Y,)„<¡ = (xy,),=¡ Khi đó

e Cho một số hữu ty ¬ (a,be Z ,b>0)

Thực hiện thuật toan Euclide trên 2 số a va b , ta được :

Trang 14

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD» TIEN S¥ MY VINH QUANG

Khi đó , biểu thức : % +

q#—

q+ |

Ne

được gọi la liên phân số hữu hạn cấp n , ký hiệu là: [q, ; q, q: q,|

e Cho liên phân số [q, : q,, q; Ga] q, được gọi là số hạng thứ s hay

thương hụt thử s của liên phân số trên ,

hạn Ngược lại mỗi liên phân số hữu hạn déu biểu thị ! số hữu tỷ hay

déu có gia trị là I số hữu tỷ

e Cho liên phân số [q, : q,, q; , q,} Khi đó , biểu thức :

q, + — —— cũng là I liên phân sé.

Q ; +

qQ:.; + '

Phan nguyên của số hữu tỷ biểu diễn bởi liên phân số [q, : q, q Ql

bằng thương hụt dau tiên q, của nó

định bằng công thức quy nạp sau :

Q, =! Q, =q; Q=q,Q,,+Q.;

Và khi do taco:

SVTH DO THỊ UYEN HUONG TRANG &

Trang 15

LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD - TIEN SỶ MY VINH QUANG

được gọi là 1 liên phân số vô hạn , ký hiệu la : [q; : q,, q; Gye]

thương hụt thứ s của liên phân số đó

giản phân thứ s ) (s = 0, 1, ) của liên phân số la phân số Š, = = dude

Trang 16

LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD - TIEN SY MY VINH QUANG

Ta gọi liên phân số : a = [q, , q,., } là dư cấp k của liên phân số đã

Trang 17

LUAN VAN TỐT NGHIEP GVHD - TIEN SY MY VINH QUANG

Hon nữa , a' = k khả nghịch Do đó, a‘ e U(A)

1.2 Bể dé : Cho h : A > B là một đồng cẩu vành Khi đó h cắm sinh ra đồng

cấu nhóm nhân h` : U(A) > U(B)

a > h(a)

Dac biệt » Nếu h la ddng cấu vành thì h` là đẳng cấu nhóm nhân

Thật vậy , như đã biết ở trên , A và B là các vành nên U(A) , U(B)

Vậy vdi a e U(A) ta dat h(a) = h(a).

Với ¥ a, b e U(A) ta có : h(a.b) = h(a.b) = h(a).h(b) = h’(a).h'(b)

SVTH : DO THỊ UYEN HUONG TRANG 11

Trang 18

LUAN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD - TIEN SY MY VINH QUANG

Vậy h” là déng cấu nhóm nhân

*Đặc biệt , nếu h là đắng cầu vành thi h | cùng lá đẳng cấu vành

=> h’ là déng cấu nhom nhân va (h') cũng là đồng cẩu nhóm nhân va

=> (a,b) e U(A) x U(B)

® V(a,b)e U(A) x U(B)

1.4 Bồ để : Moi nhóm con của nhóm xiclic cũng la nhóm xiclic

That vậy : giả sử X = <a> là một nhóm xiclic cấp m A là một nhóm con

Trang 19

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TIEN SY MY VINII QUANG

Taco:a’ = aTM" = ga

=a’eaTM = ae A(doa’e AvaaTM € A)

Vậy r = 0 và lúc do: a® = aTM = (a"! e <a>.

=Ac<a"> (2)

Tu (1) va (2) ta suy ra: A = <a”>

Vậy mọi nhóm con của nhóm xiclic cũng là một nhóm xiclic

1.5 Bổ đề : Giá sử X = <a> là nhóm xiclic cấp mb = a.

Khi dé b có cấp là : — “—

(mk)

Thật vậy , giastib=a',(m,k)=n

Ta có :b® =(a!)* aa ® =(a")* =e" =e

Nếu co b* =e thi a“* =e

=(:") = fea’ a a 4 hs nhom con xielic cấp d của X

SVTH - DO THỊ UYEN HUONG TRANG 13

Trang 20

LUẬN VAN TỐT NGHIEP GVHD : TIỀN SY MY VINII QUANG

Giả sử H là nhóm con khác của X cũng có cấp là d Vì nhóm con của

nhóm xiclic cũng là nhóm xiclic nên :

H = <a*>, a‘ có cấp lad.

=aTM a” =a" eH

nhóm con xiclic của X có cấp là

1 Ching minh bằng phương pháp sơ cấp

-Với ¥ m e Zˆ, có tất cả @(m) sế nguyên đương nhỏ hơn m và nguyên tố

với m , giả sử đó là các số say, ay ) Agen)

-Với Vae Z ,(a,m)= l, ta có :

Trang 21

LUAN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TIEN SY MY VINH QUANG

trong đó b,, b, , b„„., là một trong các số a), â;, Agen

-Hơn nữa , các số b,, b,, b, , bạ đôi một khác nhau , vì giả sử nếu có :

=> AP" Ay 8; 8aumy) By 8; 8e„¡ (mod m)

=> (a®TM - |)(a,.a; a„„,)=0 (modm) (*)

Do (a,,m)= I

(a;, m) = 1

(Agu,›› m) = |

nên (a,.4; 4„„;,m) = |

Vay , tử (*) ta suy ra: aTMTM = | (modm)

Ngoài cách chứng minh bằng phương pháp so cấp trên , ta có thể sử dụng

định lý Lagrange để chứng minh định lý Euler nay như sau :

2 Chuông minh bằng phương pháp cao cấp :

SVTH : DO THỊ UYEN HUONG TRANG 15

Trang 22

LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD - TIEN SY MY VINH QUANG

Theo bổ dé 1.1 ta suy ra U(Z „) là I nhóm

Dat x =/a €Z,,/(a,m) = 1} Khi đó taco: Zz = U(Z,,).

Do giả thiết (a, m )= l nên a €Z,,

Theo hệ quả của định lý Lagrange ta suy ra cấp của a là ước của

cấp của Zj , ma cấp của Zj, là pm) Do đó , cấp của ala ude của (p(m).

—@(m) =

=>a =]

=am =]

=a" =1(mod m )

Trưởng hợp đặc biệt ta có định ly sau :

@ Định lý Fermat : Néu p ld xổ nguyên tổ a là 1 số nguyên hất kỳ thi :

@-aip

That vậy :

* Néua:pthia’-aip

® Néua ?p thì (a,p)= 1 Do đỏ, theo định ly Euler ta có :

SVTH - DO THỊ UYÊN HƯƠNG TRANG 16

Trang 23

LUAN VAN TỐT NGHIỆP GVHI) - TIEN SY MY VINH QUANG

a®"’ = | (mod p)

ma @(p) = p - i nên a?! - | : phaya’-a:p

2.2 Định lý : (Tính chất nhân của ham Euler )

(m H) = 1 => 0(m.n) = elm) gin).

AChiing minh :

|, Ching minh bằng phương pháp xở cấp

-e Nếu m-= ! hoặc n= 1 thi g(m.n) = @(m).@(n) đúng (do (1) = 1)

Ta nhận thấy rằng , mỗi một số trong bang nguyên tố với m.n khi va

chí khi nó nguyên tố với cả m van

Do đó , để tìm các số nguyên tố với m.n , trước hết ta tim các số nguyên tố với m Sau do , trong các số via tìm do , ta lại tim tiếp các số

Như vậy , có @(m) cột như thé

Trong mỗi cột y , có n số có dang: m.x + y với x = 0, n -I

Va trong n số đó , có @(n) số nguyên tế với n

Thật vậy :

Trong mỗi cột y giả sử có r, là số dư trong phép chia

m.x + y chon thi: (mx + Yy, n) =(r,, n)

Chia n số m.x + y cho nts ta được n số du lả : r„, r, r„,

SVTH - DO THỊ UYÊN HUONG TRANG 17

Trang 24

LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD - TIỀN SY MY VINH QUANG

Do đó , số các số trong mỗi cột y nguyên tố với n lả (0(n)

Ma số các số trong bảng M nguyên tố với tích m.n la 40(m.n)

Vay , @(m.n) = @(m).@(n) với (m,n) = 1.

2.CIning minh bằng phương pháp cao cấp

-Vai giả thiết (m, n) = 1, ta có đẳng cấu vanh sau:

Đặt x = u.n.s * v.m.r, taco:

SVTH - DO THỊ UYEN HUONG TRANG ¡8

Trang 25

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD - TIEN SY MY VINH QUANG

hay U(Z „) > U(Z,,) x U(Z,,)

hay Zin > Zin * Z„

Trang 26

LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD: TIEN SY MY VINH QUANG

Ta nhận thấy chứng minh của định ly có sử dụng kết quả của định ly

2.2 Sau đây ta trình bảy cách chứng minh trực tiếp bằng phương pháp cao

cấp không sử dụng đến các kết quả khác về ham Euler

Trang 27

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD - TIẾN SY MY VINH QUANG

Trang 28

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD - TIEN SY MY VINH QUANG

=>d=Il

=>(m,, q) = Ì

Trong day các số : x, x +m, , x + 2m, xt (q - l)m, luôn tồn tại

ít nhất | số khi chia q có số dư lat.

Thật vậy gia sử trong q số đó không co số nao khi chia cho q có sé du

là 1 Khi đó ,, q số trên khi chia cho q sẽ có nhiều nhất là q - ! số dư khác

nhau

Như vậy , có ít nhất 2 số trong q số trên có củng số du

Giả sử 2 số có củng số dư đó là x + im, và x + jm,

Lúc này : (x + im,) - (x + jm,): q

=>(¡-j)m, ; q

=(i- j)m, : q

=(i-j):q (do(m,,q)= l)

Điều nay la vô ly

Do đỏ , trong q số trên có it nhất | số x + tm, # | (mod q)

=x*ttm, = ql + l

=(x+tm,,q)=l (l) Hon nửa, do (x , mạ) = | nên (x + tm, , m,)= 1 (2)

Tử (1) va (2) ta suy ra (x + tụ, mạ,q) = | hay (x + tm, ,n)= 1

Vay (x + tm,) + nZ €Z" va hˆ(x + tm, +nZ)=x+tm, +mZ=x+mZ

Như vậy ta đã chứng minh được rang h' là toàn anh

Do đó , h’ là toan cấu nhóm nhân

Trang 29

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD TIEN SY MY VINH QUANG

Chứng minh của định ly nay phải sử dụng đến định ly 2.2, Sau đây ta sé trinh

bảy chứng minh trực tiếp bằng phương pháp cao cấp không sử dụng đến các kết

Tiêu đề	Áp Dụng Một Số Kết Quả Của Đại Số Đại Cương Để Chứng Minh Một Số Bài Toán Sơ Cấp
Tác giả	Đỗ Thị Uyên Hương
Người hướng dẫn	Tiến Sĩ My Vinh Quang
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	luận văn tốt nghiệp
Năm xuất bản	2001
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	63,54 MB