Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng tập hợp Aut(G) các tự đẳng cấu của một nhóm G cho trước là một nhóm với phép hợp thành ánh xạ.. Ở đây, kí hiệu Z là vành các số nguyên, Q là trường các số hữu tỉ và i là [r]
(1)Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Khoa Toán-Tin Độc lập - Tự - Hạnh phúc
Đề thi môn : Đại số đại cương Thời gian làm : 120 phút
Năm học 2011 - 2012
Câu I (2,5 đ)
1 Chứng minh tập hợpAut(G)các tự đẳng cấu nhómGcho trước nhóm với phép hợp thành ánh xạ
2 Chứng minh Z[i√3] = {m+ni√3 : m, n ∈ Z} với hai phép toán cộng nhân thông thường miền nguyên Xác định trường thương trường đẳng cấu vớiQ[x]/(x2+ 3) Ở đây, kí hiệu Z vành số nguyên, Q trường số hữu tỉ vài đơn vị ảo
Câu II (3,5 đ) Giả sử A vành giao hốn có đơn vị 6= Chứng minh :
1 Nếu I J hai ideal A I+J ={a+b :a ∈I, b ∈ J} ideal A ideal sinh I ∪J
2 Một ideal thực m A cực đại m+aA = A với a∈A\m
3 A trường đồng cấu không tầm thường f : A → B từA vào vành B đơn cấu
Câu III.(4,0 đ)
1 Chứng minh vành Euclid vành Từ suy ra, vành Z số nguyên vành
2 Chứng minh a, b, d phần tử vành A :
d= (a, b)⇐⇒aA+bA=dA