Ngân hàng đề thi môn Đại số là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên chuyên ngành Toán, với hơn 30 câu hỏi giúp các bạn cũng cố kiến thức, hỗ trợ học tập và nghiên cứu.
HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG CỘNG HỒ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MƠN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập Tự do – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Mơn: ĐẠI SỐ Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/ của Giám đốc Học viện Cơng nghệ Bưu chính viễn thơng ký ngày /12/2010 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY NGÀNH VIỄN THƠNG, KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ, CƠNG NGHỆ THƠNG TIN MỖI ĐỀ 4 CÂU ( mỗi phần chọn một câu và có tổng điểm bằng 10) A. PHẦN 1 Loại 2 điểm Câu A 1.2: A, B, C , D là tập con của E Chứng minh rằng: a) Nếu A B, C b) Nếu A C D thì A �C �B �D và A �C �B �D A B, A C A B thì C B Câu A 2.2: Đặt A = { 1, 2,3, 4,5,6,7,8} , B = { 1,3,5,7,9} , C = { 4,5,6} và D = { 2,5,8} là các tập con của X = { 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} a) Liệt kê các phần tử của A �( B �C ) và ( D �B ) �C ; b) Biểu diễn các tập { 5} , { 4,6,10} , { 2,8} theo A, B, C , D Câu A 3.2: Trong tập X = { 2,3,6,9,12,13} xét hai hàm mệnh đề P( x) : " x 10" và Q ( x) : ” x lẻ”. Đặt A = { x A B , A B và A X P ( x)} , B = { x X Q ( x)} Hãy xác định các tập A , B , B Câu A 4.2: Chứng minh rằng nếu f : X Y , g :Y Z là hai song ánh thì ánh xạ hợp g o f cũng là một song ánh và ( g o f )−1 = f −1 o g −1 R xác định bởi: a Rb khi và chỉ khi a chia hết cho b Chứng minh R là một quan hệ thứ tự. R là thứ tự bộ Câu A 5.2: Trong tập số tự nhiên khác khơng N* , xét quan hệ phận hay tồn phần Câu A 6.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của cơng thức đại số Boole sau: A = ( x �������������� y z ) ( x y z ') ( x ' y z ') ( x y ' z ') ( x ' y ' z ') Câu A 7.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của cơng thức đại số Boole sau: { } ( y' {� � A= � z ) ( x z ') � ( x '������������ � � y { x y z} z) } (y z ') � �x Câu A 8.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của cơng thức đại số Boole sau: { } { �( x ' A = { x ������������������ y '} { x y z} ( y ' z ) ( y z ') � x � z) (x z ') � y } Câu A 9.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của cơng thức đại số Boole sau: { } A = { y �������������� z '} � ( x ' z ) ( x z ') � � � y {x y z} ( y' {� � z) (y } z ') � �x Câu A 10.2: Tìm hàm Boole F ( x, y, z ) nhận giá trị 1 khi và chỉ khi a) x = 0, y = 1, z = ; b) y = 1, z = ; c) x = 0, y = 1, z = ; d) x = y = 1, z = Biểu diễn mạng các chuyển mạch tương ứng với kết quả tìm được Câu A 11.2: Ánh xạ f : ? ? có cơng thức xác định ảnh f ( x) = x − x là đơn ánh, tồn ánh, song ánh? Tìm cơng thức xác định ảnh của ánh xạ ngược nếu tồn tại Câu A 12.2: Ánh xạ f : ? ? có cơng thức xác định ảnh f ( x) = x3 + là đơn ánh, tồn ánh, song ánh? Tìm cơng thức xác định ảnh của ánh xạ ngược nếu tồn tại Câu A 13.2: Ánh xạ f :[ −1;1] [ −1;3] có cơng thức xác định ảnh f ( x) = x − x là đơn ánh, tồn ánh, song ánh? Tìm cơng thức xác định ảnh của ánh xạ ngược nếu tồn tại Câu A 14.2: Trong ? xét quan hệ ( x, y ) minh R( x ', y ') khi và chỉ khi x + y = x '+ y ' Chứng R là một quan hệ tương đương. Biểu diễn lớp tương đương của (1,3) trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy x1 < x2 Câu A 15.2: Trong ? xét quan hệ ( x1, y1) ( x2 , y ) x1 = x2 Chứng minh quan y1 y2 hệ là quan hệ thứ tự toàn phần Loại 3 điểm Câu A 1.3: Ký hiệu h = g o f là hợp của hai ánh xạ f : X minh: a) f , g đơn ánh thì h đơn ánh b) h đơn ánh thì f đơn ánh c) h đơn ánh và f tồn ánh thì g đơn ánh d) h tồn ánh và g đơn ánh thì f tồn ánh Câu A 2.3: Chứng minh rằng nếu f đơn ánh thì Y , g :Y Z Chứng a) A �B � f ( A) � f ( B ) b) f ( A B) f ( A) f ( B) c) Tìm ví dụ chứng tỏ rằng khi f khơng đơn ánh thì f ( A) và f ( A) f ( B) f (A f ( B ) nhưng A B B) Câu A 3.3: Cho ánh xạ f : X Y a) Chứng minh: ∀A, B �Y , f −1 ( A∆B ) = f −1 ( A) ∆f −1 ( B ) , trong đó A∆B = ( A \ B ) ( B \ A) hiệu đối xứng của A và B b) Chứng minh rằng f đơn ánh khi và chỉ khi ∀A, B �X , f ( A∆B ) = f ( A) ∆f ( B ) Y Chứng minh rằng quan hệ R của tập X xác định Câu A 4.3: Cho ánh xạ f : X R bởi: a b � f (a ) = f (b) là một quan hệ tương đương. Khi X = Y = ? và f ( x) = sin x , tìm lớp tương đương của a Câu A 5.3: Trong tập số thực , xét quan hệ x Chứng minh R xác định bởi: Ry � x4 − y = 2( x2 − y ) R là một quan hệ tương đương. Tìm lớp tương đương a của a Câu A 6.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: x z' y x' z x y z y' x z z' y Câu A 7.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: w y x y' y y z' xy ' w xx y xz' Câu A 8.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: y w y z w w' z y' z' y x y z Câu A 9.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: y y x y z' z y y' z' z x x' z' Câu A 10.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: x y' y x' x y x x' z z' z z y Câu A 11.3: Cho G , G ' là hai nhóm lần lượt có phần tử trung hồ là e và e ' , phần tử nhịch đảo của x trong G là x −1 và phần tử nhịch đảo của y trong G ' là y −1 f :G G ' là một đồng cấu nhóm. a) Chứng minh: f (e) = e ' , f (a −1 ) = f (a) −1 b) Ký hiệu x m là tích m lần phần tử x , chứng minh f (a m ) = f (a)m Câu A 12.3: Chứng minh rằng trong nhóm G với phép tốn nhân: a) phần tử trung hịa của G là duy nhất; b) mỗi a G có phần tử nghịch đảo duy nhất a −1 G ; ( ) c) a −1 −1 = a và ( ab ) −1 = b −1a −1 ; d) ab = ac � b = c và ba = ca � b = c Câu A 13.3: Cho G , G ' hai nhóm lần lượt có phần tử trung hoà e e ' f :G G ' là một đồng cấu nhóm. Ta định nghĩa và kí hiệu hạt nhân của đồng cấu nhóm f là Ker f = f −1 ( e ') Chứng minh rằng: a) x Ker f khi và chỉ khi x −1 Ker f , x −1 là phần tử nghịch đảo của x trong G b) f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker f e Câu A 14.3: Cho vành A Chứng minh rằng, nếu x, y là hai phần tử bất kỳ của vành A thoả mãn xy yx thì ta có nhị thức Newton ( x + y ) n = nhiên n , trong đó x k =0 Cnk x k y n−k đúng với mọi số tự 1 , x = x , x k là tích k lần của phần tử x Câu A 15.3: Cho A là một vành có đơn vị và x n n A Giả sử tồn tại một số tự nhiên sao cho x n = , chứng minh rằng a) tồn tại ( − x ) −1 = + x + + x n −1 b) tồn tại ( + x ) −1 = − x + + (−1) n −1 x n −1 B. PHẦN 2 Loại 2 điểm Câu B 1.2: Tìm điều kiện của a , b , c để hệ phương trình sau có nghiệm x + y − 3z = a x + y − 11z = b x − y + 7z = c �4 � theo tổ hợp tuyến tính của các ma trận: −3 −3� � � Câu B 2.2: Biểu diễn ma trận A = � 1� � 1� � 13 5� � 2� � , � � , � , � � � � � 1� � 1� �3 3� � 4� � −3� � �6 −2 � Câu B 3.2: Cho hai ma trận A = � B = � Tìm ma trận X thỏa mãn � 3� 12 � � � � AX = B 3� 3� � � Câu B 4.2: Cho hai ma trận A = � � B = � � Tìm ma trận X thỏa mãn 2� 4� � � XA = B Câu B 5.2: Tìm W1 W2 , trong đó: W1 = { ( x, y,0) x, y ? } , W2 là không gian véc tơ con của ? sinh bởi hai véc tơ (1, 2,3) và (1, − 1,1) Câu B 6.2: Giả sử U ,V và W là ba không gian véc tơ con của một không gian véc tơ. Chứng minh rằng (U �V ) + (U �W ) �U �(V + W ) Câu B 7.2: Giả sử W1,W2 là hai không gian véc tơ con của ? thỏa mãn điều kiện dim W1 = , dim W2 = và W1 W2 Chứng minh rằng ? = W1 W2 Câu B 8.2: Tìm tất cả các giá trị của m để véc tơ u = (4,16, 25) biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ: v1 = (3, 2,5) , v2 = (2, 4,7) , v3 = (5,6, m) Câu B 9.2: Tìm tất cả các giá trị của m để u = (7, −2, m) biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của: v1 = (2,3,5) , v2 = (3,7,8) , v3 = (1, −6,1) Câu B 10.2: Trong không gian P2 cho họ véc tơ B = { p1, p2 , p3} với p1 = − x − 3x ; p2 = + x + x ; p3=2+x+4x2 Chứng minh rằng cơ sở B B là một cơ sở của P2 Tìm tọa độ của véc tơ p = + x + x trong Câu B 11.2: Trong không gian ? cho họ véc tơ B = { u1, u2 , u3} với u1 = (2, −2,1) ; u2 = (1,3, −2) ; u3 = (1, −13,8) a) Hãy biểu diễn véc tơ v = (−4, −4,3) thành tổ hợp tuyến tính của họ B b) Hãy xác định số chiều và một cơ sở của khơng gian véc tơ con sinh bởi họ B. c) Câu B 12.2: Cho hai véc tơ u1 = (1, −3, 2) và u2 = (2, −1,1) của không gian véc tơ ? a) Biểu diễn véc tơ v = (1, 7, −4) thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 b) Tìm tất cả các giá trị k để véc tơ w = (1, k ,5) biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 Câu B 13.2: Cho hai véc tơ u1 = (2,1, − 1) , u2 = (1, 2, − 3) của ? a) Viết (2, − 5,9) thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 b) Tìm điều kiện x, y, z để ( x, y, z ) viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 Câu B 14.2: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: x1 + 7x2 + x3 + x4 = 5x1 + mx2 + x3 + x4 = 13 x1 + x2 + x3 − x4 = x1 + x2 − x3 + x4 = Câu B 15.2: Xác định các giá trị của tham số m sao cho các hệ phương trình sau: x − 3z = −3 x + my − z = −2 x + y + mz = i) Có duy nhất nghiệm ii) Vơ nghiệm iii) Có nhiều 1 nghiệm Loại 3 điểm Câu B 1.3: Trong không gian ? xét véc tơ: u1 = (1, 2, − 1,3) , u2 = (3, 6,3, −7) ; và v1 = (1, 2, − 4,11) , v2 = (2, 4, − 5,14) Đặt U , V là hai không gian véc tơ con của ? lần lượt sinh bởi hệ véc tơ { u1, u2 } và { v1 , v2 } Chứng minh rằng U = V Câu B 2.3: Trong không gian P2 các đa thức bậc 2, xét các véc tơ: u1 = + x − x , u2 = + 3x − x và v1 = + 11x − x , v2 = + x − 3x Đặt U , V là hai không gian véc tơ con của P2 lần lượt sinh bởi hệ véc tơ { u1 , u2 } và { v1 , v2 } Chứng minh rằng U = V Câu B 3.3: Cho hai véc tơ u1 = (3,1, − 4) , u2 = (2,5, − 1) của ? a) Viết v = (−1,17,8) thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 b) Tìm các giá trị của k để (4, −3, k ) viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 c) Tìm điều kiện x, y , z để ( x, y, z ) viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 Câu B 4.3: Cho W1 , W2 là hai không gian véc tơ con của ? xác định như sau: W1 = { ( x, y, z , t ) x, y , z , t �? ; y + z + t = 0} ; W2 = { ( x, y, z , t ) x, y, z , t �? ; x + y = 0, z = 2t } Tìm một cơ sở và chiều của các khơng gian véc tơ con W1 , W2 và W1 W2 Câu B 5.3: Trong không gian ? xét các không gian véctơ con: U = { ( x, y, z ) : x + y + z = 0} ,V = { ( x, y , z ) : x = z} , W = { (0,0, z ) : z ? } Chứng minh rằng: (i) ? = U + V , (ii) ? = U + W , (iii) ? = V + W Trường hợp nào ở trên là tổng trực tiếp Câu B 6.3: Đặt V1 , V2 lần lượt là hai không gian véc tơ con của ? gồm các véc tơ v ( x1 , x , x3 , x ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II): x1 + x2 − x3 + x4 = x1 − x2 − 3x3 − x4 = ( I ) 3x1 + x2 + x3 − x4 = , ( II ) 4x1 − x2 − x3 − x4 = x1 + x2 + x3 − x4 = x1 − x2 − x3 − x4 = Hãy tìm số chiều của các khơng gian con V1 , V2 , V1 V2 , V1 + V2 Câu B 7.3: Đặt V1 , V2 lần lượt là hai không gian véc tơ con của ? gồm các véc tơ v ( x1 , x , x3 , x ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II): x1 − x2 − x3 − x4 = x1 + x2 − 10 x3 + x4 = ( I ) 3x1 − x2 − x3 − x4 = , ( II ) x1 + x2 + x3 − x4 = x1 − x2 − x3 − x4 = 3x1 + x2 + x3 − x4 = Hãy tìm số chiều của các khơng gian con V1 , V2 , V1 V2 , V1 + V2 Câu B 8.3: Trong không gian ? xét các véc tơ: v1 (2,4,1, 3) ; v2 (1,2,1, 2) ; v3 (1,2,2, 3) ; u1 (2,8,3, 7) ; u2 (1,0,1, 1) ; u (3,8,4, 8) Đặt V1 = span { v1 , v2 , v3 } , V2 = span { u1, u2 , u3 } Hãy tìm số chiều của các khơng gian con V1 , V2 , V1 V2 , V1 + V2 Câu B 9.3: Trong không gian ? xét các véc tơ: v1 = (2,1, 2,1) ; v2 = (3, 4, 2,3) ; v3 = (2,3,1, 2) ; u1 = (− 1, − 1,1,3) ; u2 = (1,1,0, − 1) ; u3 = (1,1,1,1) Đặt V1 = span { v1 , v2 , v3 } , V2 = span { u1, u2 , u3 } Hãy tìm số chiều của các khơng gian con V1 , V2 , V1 V2 , V1 + V2 Câu B 10.3: Trong không gian ? xét các véc tơ: v1 = (1,3, − 2, 2) ; v2 = (1, 4, − 3, 2) ; v3 = (2,3, − 1, − 2) ; u1 = (1,3,0, 2) ; u2 = (1,5, − 6,6) ; u3 = (2,5,3, 2) Đặt V1 = span { v1, v2 , v3 } , V2 = span { u1, u2 , u3 } Với mỗi không gian con V1 , V2 , V1 V2 , hãy tìm một cơ sở tương ứng và suy ra số chiều của chúng. Câu B 11.3: Trong khơng gian ? xét các véc tơ: u1 = (1, − 2,0,3) ; u2 = (1, − 1, − 1,4) ; u3 = (1,0, −2,5) { Đặt V1 = span { u1 , u2 , u3 } , V2 = ( x, y, z, t ) �? con V1 , V2 , V1 } y + z + 2t = 0, z = 2t Với mỗi khơng gian V2 , hãy tìm một cơ sở tương ứng và suy ra số chiều của chúng { Câu B 12.3: Đặt W1 = span { v1 , v2 , v3 } ; W2 = ( x,0, y,0) x, y Với v1 = ( − 1, 2, , − 2) ; v2 = (1, − 1,0, 1) ; v3 = ( − ,2, , − 1) a) Chứng minh rằng W2 W1 ; b) Chỉ ra véc tơ thuộc W1 , W2 trong những véc tơ sau: R} ; u1 = (1,3, − 2, − 3); u2 = (0,1, − 1, − 2); u3 = (4,0,2,0) Câu B 13.3: Cho hệ véc tơ ( S ) : { v1 = (1, m, m); v2 = (m,1, m); v3 = (m, m,1)} a) Với giá trị nào của tham số m thì hệ véc tơ ( S ) là một cơ sở của khơng gian R ? b) Với m = , chứng tỏ rằng ( S ) là một cơ sở của R , tìm ma trận chuyển từ cơ sở ( S ) sang cơ sở chính tắc của R Tìm toạ độ của véc tơ u = (0, 0,14) trong cơ sở ( S ) Câu B 14.3: Trong không gian véc tơ P2 các đa thức bậc , cho 2 cơ sở A = { a1 = − x + 5x2 ; a2 = − x + x2 ; a3 = −2 + 13x − 17 x2} B = { b1 = + x2 ; b2 = −2 x + x2 ; b3 = − x} a) Tìm ma trận P chuyển từ A sang B b) Cho p P2 , [p]B = (0,0, −2) Từ [p]B dùng P tìm [p]A c) Tìm tọa độ của p trong cơ sở chính tắc Câu B 15.3: Trong R cho 2 cơ sở A = { a1 = (1,1,0); a2 = (1, −1,0); a3 = (0,0,1)} B = { b1 = (1,1,1); b2 = (0, 2,3); b3 = (0, 2, −1)} a) Tìm tọa độ của véc tơ v = (3,5, −2) trong cơ sở A và B b) Tìm ma trận P chuyển từ A sang B c) Nghiệm lại công thức [v] A = P[v]B C. PHẦN 3 Loại 2 điểm �3 −2 −5 � � −5 −5� � � Câu C.1.2: Tính định thức của ma trận A = � −2 −3� � � �2 −3 −5 � −3 −5 Câu C.2.2: Tính định thức D = −2 −5 −3 −5 −8 −4 t + −1 t −3 = Câu C.3.2: Tìm các giá trị t thỏa mãn −6 t + t + −1 t −5 = Câu C.4.2: Tìm các giá trị t thỏa mãn −6 t + �2 −2 � −2 1� −4 � � � � −2 � Câu C.5.2: Cho ma trận A = � , B = � , C = � � � �. 3� −3 −1� � � � −1 −1 � � � Hãy tính AC , BC và ( xA + yB )C Câu C.6.2: Cho các ma trận: � � −5 � z −2 � −2 −3� � � � � A=� , B = � , C = � , D = 1 � � � � � � x −4 � −1 −1� y −1 � � � � 1 2� � Hãy tính (3 A − B + 4C ) D Câu C.7.2: Cho các ma trận −1 � 1� � � �, B = � A=� − � � � � � 1 � � � 1 −1 � 0� �1 −1 � 1� �, C = �1 � � � 1� � � − 1 � � � 0� Hãy tính AB; AC t và 2A − CB Câu C.8.2: Ký hiệu M là không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Chứng tỏ rằng các tập con sau không phải là không gian véc tơ con của M a) Tập hợp W1 gồm các ma trận cấp 2 có định thức bằng 0 b) Tập hợp W2 gồm các ma trận cấp 2 thỏa mãn A2 = A � � Câu C.9.2: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A = � � � � m 1 3 2� 2� � 0� � 3� x y � �x � �4 x + y� � =� +� � � z w� � −1 2w� � z+w � � � Câu C.10.2: Tìm x, y, z và w nếu � 1� � Tìm k để A là nghiệm của đa thức f ( x) = x − x + � k� � Câu C.11.2: Cho A = � 10 Câu C.12.2: Hai ma trận A , B được gọi là giao hốn nếu AB = BA Tìm các ma trận � giao hoán với ma trận � � 1� . 1� � 2� � n �. Tìm A � � Câu C.13.2: Cho A = � 0� 0� � � , B = � � � và đa thức f ( x) Tính A + B , AB , f ( A) 11 � � � � Câu C.14.2: Cho A = � 60 Câu C.15.2: Hai ma trận A , B được gọi là giao hoán nếu AB = BA Tìm các ma trận vng cấp 2 giao hốn với mọi ma trận vng cấp 2 Loại 3 điểm − m� �3 � � ; m Câu C.1.3: Cho ma trận A = m + 1 � � � m −1 � ? a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A b) Cho m tìm A �3 m � Câu C.2.3: Cho ma trận A = �4 m � ; m � � m 4� � ? a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A b) Cho m = tìm A m −1 −3 � � � � Câu C.3.3: Cho ma trận A = �−3 m + −3 � ; m � m − 4� �−6 � ? a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A b) Khi m = tìm A−1 m+3 � � � m+2 m + 1� Câu C.4.3: Cho ma trận A = � � ; m � m +1 � �5 � ? a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A−1 b) Cho m = −2 tìm A−1 aij � Câu C.5.3: Cho ma trận A = � � � vuông cấp n Ta gọi TrA (tổng các phần tử trên đường chéo chính) là vết của A Chứng minh: 11 a11 a 22 a nn a) Tr( A + B) = Tr A + Tr B ; b) TrAB TrBA (mặc dù AB BA ); c) nếu B P AP thì TrA TrB ; d) Tính vết của ma trận đơn vị cấp n. −1 � � Câu C.6.3: Tìm ma trận X vng cấp thỏa mãn phương trình X − X = � � �6 � 1� � � −1 2� Câu C.7.3: Cho ma trận A = � � , tìm một ma trận P sao cho P AP có dạng � 1 3� � � chéo �1 2 � � � Câu C.8.3: Cho ma trận A = �1 −1� , tìm một ma trận P sao cho P −1 AP có dạng � −1 � � � chéo 4� � � −1 2� Câu C.9.3: Cho ma trận A = � �, tìm một ma trận P sao cho P AP là ma trận � 3� � � chéo −5 3 � � 1 1� � � � � −3 �, P = 1 �. Câu C.10.3: Cho ma trận A = � � � 1� � −6 � � � � a) Tính P −1 AP b) Tính det ( A − 16 A + I ) � � Câu C.11.3: Cho ma trận A = � � � � 0� 0� �. −2 � � −2 � a) Tìm đa thức đặc trưng của A b) Tính det ( A − A + 12 A + I ) 12 � � � 12 � Câu C.12.3: Tìm ma trận X vng cấp 3 thỏa mãn phương trình X = � � � 0 8� � � Câu C.13.3: 12 x1 a) Chứng minh rằng Dn = x2 x1n −1 b) Áp dụng cơng thức trên tính n −1 � n xn � = ��� ( xk − xi ) � � � i =1 � k =i +1 � xnn −1 x2n −1 1 −1 1 x 4 x 16 x3 −1 64 17 −8 � � � t −8 17 −4 � Câu C.14.3: Cho ma trận A = � �, tìm một ma trận trực giao P sao cho P AP � �4 −4 11 � � là ma trận chéo 2� � � � Câu C.15.3: Cho ma trận A = −1 , tìm một ma trận trực giao P sao cho P t AP � � � −1 � � � là ma trận chéo D. PHẦN 4 Loại 2 điểm Câu D.1.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : ? ? và g : ? ? có cơng thức xác định ảnh f ( x, y ) = ( x − y, x, −3 x + y ) , g ( x, y, z ) = ( x − y − z ,3 x + y ) Viết ma trận của g o (2 f ) và f o g trong cơ sở chính tắc Câu D.2.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : ? ? có cơng thức xác định ảnh f ( x, y, z ) = (2 x + y − z , y + z,5 x + y − z ) Chứng minh rằng f là một đẳng cấu. Tìm cơng thức xác định ảnh của ánh xạ ngược f −1 ( x , y , z ) Câu D.3.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 P2 có cơng thức xác định ảnh f ( a0 + a1x + a2 x ) = (a0 + 2a1 + a2 ) + (2a0 − a1 + a2 ) x + (3a0 + 4a1 + a2 ) x Viết ma trận A của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc. Tìm ma trận nghịch đảo −1 A−1 , từ đó suy ra cơng thức xác định ảnh của ánh xạ ngược f (b0 + b1 x + b2 x ) 13 Câu D.4.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : ? ? xác định bởi: f ( x, y, z, t ) = ( x + y + z + 3t , −4 x + y − z, x + y + z + 6t , x + y + z + 6t ) a) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc của ? b) Tìm một cơ sở của Ker f và Im f Câu D.5.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : P3 ( P3 có cơng thức xác định ảnh ) f a0 + a1x + a2 x + a3 x3 = (3a0 + 2a1 − a2 − a3 ) + (2a0 + a1 + a2 ) x + (5a0 + 3a1 − a3 ) x + (a0 + 3a2 + a3 ) x3 P3 là không gian véc tơ các đa thức bậc a) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc của P3 b) Tìm một cơ sở của Ker f và Im f Câu D.6.2: Cho f là ánh xạ từ khơng gian véc tơ các ma trận vng cấp 2 vào chính nó 5� � xác định bởi cơng thức: f ( A) = AM − MA , trong đó M = � � 2� � a) Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính b) Tìm một cơ sở của Ker f c) Tìm hạng của f Câu D.7.2: Cho f là ánh xạ từ khơng gian véc tơ các ma trận vng cấp 2 vào chính nó �1 xác định bởi cơng thức: f ( A) = MA , trong đó M = � −3 � −2 � 6� � a) Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính b) Tìm một cơ sở của Ker f c) Tìm một cơ sở của Im f Câu D.8.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : ? ? xác định bởi: f ( x, y, z, t ) = ( x + y + z + mt , x + y + mz + t , x + my + z + t , mx + y + z + t ) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc. Tìm các giá trị m để: a) f là một đẳng cấu; b) dim Ker f = S Câu D.9.2: Trong không gian véc tơ ? xét hệ véc tơ : u1 = (1,1, 0, −1) , u2 = (1, 2,1,3) , u3 = (1,1, −9, 2) , u4 = (16, −13,1,3) 14 a) Chứng tỏ rằng S là một hệ trực giao và là một cơ sở của ? b) Tìm tọa độ của véc tơ v = ( x, y, z, t ) trong cơ sở S Câu D.10.2: Cho u1 , u2 là hai véc tơ trực giao độc lập tuyến tính của khơng gian véc tơ Euclide V , đặt W = span { u1 , u2 } Với mọi v V , xét v* = a) Chứng minh rằng v − v * v; u1 v; u2 u1 + u2 W u1; u1 u ; u2 v − u với mọi u W b) Tìm v * ứng với trường hợp v = (1,3, 7,5) ; u1 = (1,1,1,1) , u2 = (1, −3, 4, −2) của ? Câu D.11.2: a) Cho { v1 , v2 , , } là một hệ véc tơ trực giao. Chứng minh rằng v1 + v2 + + 2 = v1 + v2 2 + + b) Nghiệm lại công thức trên với v1 = (1,1,1,1) , v2 = (−3, −3, 0, 6) , v3 = (1,3, −6, 2) Câu D.12.2: Trong không gian véc tơ Euclide V , , 2 2 a) Chứng minh bất đẳng thức hình bình hành u + v + u − v = u + v b) Công thức dạng cực u, v = 1 2 u + v − u − v 4 Câu D.13.2: Trong ? xét họ 3 véc tơ độc lập tuyến tính: u1 = (1,1,0) ; u2 = (0,1,1) ; u3 = (1,1,1) Hãy trực chuẩn hóa GramShmidt họ véc tơ S = { u1 , u2 , u3 } Câu D.14.2: Trong ? xét họ 3 véc tơ độc lập tuyến tính: u1 = (1,1,1,1) ; u2 = (1,1, 2, 4) ; u3 = (1, 2, −4, −3) Hãy trực chuẩn hóa GramShmidt họ véc tơ S = { u1 , u2 , u3 } Câu D.15.2: Trong không gian véc tơ P2 các đa thức bậc , xét tích vơ hướng f , g = f (t ) g (t )dt Tìm một cơ sở của khơng gian véc tơ con W trực giao với h(t ) = 2t + Loại 3 điểm Câu D.1.3: Cho dạng song tuyến tính η của khơng gian véc tơ ? xác định bởi: η ( ( x1 , y1 );( x2 , y2 ) ) = x1x2 − x1 y2 + y1 y2 15 a) Viết ma trận A của η trong cơ sở { u1 = (1, 0), u2 = (1,1)} b) Viết ma trận B của η trong cơ sở { v1 = (2,1), v2 = (1, −1)} c) Tìm ma trận P chuyển từ cơ sở { u1 , u2 } sang cơ sở { v1, v2 } và nghiệm lại công thức B = P t AP Câu D.2.3: a) Tìm các giá trị k để dạng song tuyến tính sau là một tích vơ hướng trên ? : η ( u , v ) = x1 x2 − x1 y2 − y1x2 + ky1 y2 với u = ( x1 , y1 ) , v = ( x2 , y2 ) b) Khi k = , viết ma trận A của η trong cơ sở chính tắc và ma trận B của η trong sở { u1 = (1,5), u2 = (3, 4)} Nghiệm lại cơng thức B = P t AP , trong đó P là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở mới Câu D.3.3: Gọi W là khơng gian véc tơ con của ? sinh bởi hai véc tơ u = (1, −2,3, 4) và v = (3, −5,7,8) Tìm một cơ sở của phần bù trực giao W ⊥ ? Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian Câu D.4.3: Cho véc tơ u = (1, 2,3,1) véc tơ con của ? trực giao với u Câu D.5.3: Giả sử { w1 , , wn } là một hệ trực chuẩn và v là một véc tơ bất kỳ của không gian véc tơ Euclide V n a) Chứng minh rằng k =1 n b) Với mọi v V : k =1 v, wk v, wk 2 v = v khi và chỉ khi { w1 , , wn } là một cơ sở Câu D.6.3: Cho dạng toàn phương Q : ? ? xác định bởi: Q( x, y, z ) = x + y + z + 4λxy − xz + yz a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc b) Tìm tất cả các giá trị của tham số λ để Q là dạng tồn phương xác định dương Câu D.7.3: Cho dạng tồn phương Q( x, y, z ) = x + y + z + xy + xz + yz Tìm phép biến đổi tọa độ (tìm cơ sở mới) để đưa dạng tồn phương đã cho về chính tắc a) bằng phương pháp Lagrange; b) bằng phương pháp Jacobi. Câu D.8.3: Cho dạng tồn phương Q : ? ? xác định bởi: Q( x, y, z ) = 14 x + 17 y + 14 z − xy − xz − yz 16 a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc b) Tìm một cơ sở trực chuẩn của ? để biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc Câu D.9.3: Cho ánh xạ tuyến tính f : R R xác định bởi: f ( x, y, z ) = (2 y + z , x − y,3x) a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc b) Viết ma trận P chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở B ' = { e '1 , e '2 , e '3 } , e '1 = (1, −1, 2), e '2 = ( −1,1, −1), e '3 = (1, −2,1) c) Hãy viết ma trận A ' của ánh xạ f trong cơ sở B ' d) Tính det( A) , det( A ') Câu D.10.3: Giả sử B = { e1, , en } là một cơ sở của không gian véc tơ V Tự đồng cấu f thỏa mãn f (e1 ) = , f (e2 ) = a12e1 , f (e3 ) = a13e1 + a23e2 , … , f (en ) = a1ne1 + L + an−1,n en−1 a) Viết ma trận của f trong cơ sở B b) Tính f m (ek ) với k m c) Chứng minh rằng f n = Câu D.11.3: Cho ánh xạ tuyến tính f : R R xác định bởi: f ( x, y , z ) = (3x + y + z , x + y + z , x + y + 3z ) a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Tìm ma trận P sao cho P −1 AP có dạng chéo. c) Tính det( A2 − A) Câu D.12.3: Cho ánh xạ tuyến tính f : R R xác định bởi: f ( x, y, z ) = (−5 x + y + z, −3 x + y + z , −6 x + y + z ) a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Tìm ma trận P sao cho P −1 AP có dạng chéo. c) Tính det( A2 + A) Câu D.13.3: Cho ánh xạ tuyến tính f : R R xác định bởi: f ( x, y, z ) = (− x + y − z , −3 x + y − z, −3 x + y + z ) a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Tìm ma trận P sao cho P −1 AP có dạng chéo. c) Tính det( A3 − A2 ) 17 �2 −1� Câu D.14.3: Cho ma trận A = � −2 � � � a) Tìm ma trận P sao cho P −1 AP có dạng chéo b) Tính A3 − A2 c) Tìm ma trận B thỏa mãn B = A Câu D.15.3: a) Tìm ma trận A đối xứng cấp 2 có hai giá trị riêng λ1 = , λ2 = và có véc tơ riêng u = (1,1) ứng với giá trị riêng λ1 = b) Tìm ma trận B thỏa mãn B = A 18 ...Câu A 7.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của cơng thức? ?đại? ?số? ?Boole sau: { } ( y'' {� � A= � z ) ( x z '') � ( x ''������������ � � y { x y z} z) } (y z '') � �x Câu A 8.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của cơng thức? ?đại? ?số? ?Boole sau:... z ) ( y z '') � x � z) (x z '') � y } Câu A 9.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của cơng thức? ?đại? ?số? ?Boole sau: { } A = { y �������������� z ''} � ( x '' z ) ( x z '') � � � y {x y z} ( y'' {� � z)... Cnk x k y n−k đúng với mọi? ?số? ?tự 1 , x = x , x k là tích k lần của phần tử x Câu A 15.3: Cho A là một vành có đơn vị và x n n A Giả sử tồn tại một? ?số tự nhiên sao cho x