Tài liệu thông tin đến các bạn với hơn 40 câu hỏi, đáp án, hướng dẫn giải đề thi học phần Giải tích 1. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các bạn sinh viên chuyên ngành Toán, hỗ trợ công tác học tập và nghiên cứu.
ĐÁP ÁN NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 1 ● Câu hỏi loại 2 điểm phần A Câu 1.A: � x � 2 −� 1− � ( − + )x � � = lim = 2 x −x −x 12 ( 1− 2x ) I = lim x � x2 x3 � x2 x2 x2 + x + + (1 − ) − (1 + x − ) � Câu 2.A: 6� � � I = lim = lim 22 = x x x x Câu 3.A: I = e xlim0+ ln x ln cos2 x = e xlim0+ ln(1−2 x lim ln x lnsin x Câu 4.A: I = e x Câu 5.A: I =e 0+ lim x 0+ ln tan x x )ln x −2lim x ln x =ex 0+ = e0 = = e+ = + = e− = x x3 x3 (x + + ) − (x − ) x2 6 = lim = Câu 6.A: I = lim 3 x x 2x x x x ( x + + )( x − ) 6 ln(1 + x ) − ln(1 − x ) =1 Câu 7.A: f (0) = lim f ( x ), A = lim x x e x − e− x Câu 8.A: I = lim(1 − cos x ) x lim x 0 x sin x = lim cos x x x x cos x = 0, cos �� 1 I = x x sin Câu 9.A: x x (2 − I = lim x x +1 ) = lim x x +1 x ( x +1) − 1) = ln x ( x + 1) x ( x + 1) x 2 (2 Câu 10.A: I = lim x e − x2 Câu 11.A: x2 x4 x2 x4 (1 − + ) − (1 − + ) − cos x 24 = = lim 4 x x x 12 x2 x3 )( x − ) − x − x2 e sin x − x ( x + 1) I = lim = lim = x x x3 x3 4 x x x (1 + x + ) − (1 − + ) Câu 12.A: 2 24 = f (0) = lim f ( x ), A = lim x x x (1 + x + x Câu 13.A: ln(1 − x ) − x2 I = lim = lim = −1 x + x sin x − cos x x 2 (1 + x ) − (1 − x ) 2 Câu 14.A: f ( x ) = lim− f ( x ) = x e 2x x khi x + xe 0 khi x = = 0, lim+ f ( x ) = lim+ x x 1+ e Hàm số liên tục tại x = − 2x + 2x e x = 0+ =0 Câu 15.A: x = 0, x = −1 là các điểm gián đoạn của hàm số f ( x ) = lim lim x x 1− e f ( x ) = lim− xlim −1− x −1 x x +1 = x x +1 , x = là điểm gián đoạn loại 1 = 0, lim+ f ( x ) = lim+ x −1 x −1 x x +1 =1 1− e 1− e x = −1 là điểm gián đoạn loại ● Câu hỏi loại 2 điểm phần B Câu 1.B: a. Đặt biến x = a − y b. π π ln(1 + tanx )dx = ln(1 + tan( π − x )) dx, I = π ln − I � I = π ln � � 4 0 Câu 2.B: a + + dx dx dx =� +� 2 α α � (1 + x )(1 + x ) (1 + x )(1 + x ) (1 + x )(1 + xα ) 1 < (1 + x )(1 + xα ) x Tích phân thứ nhất là tích phân xác định, tích phân thứ hai hội tu. b. Đặt biến x = vào một trong hai tích phân ta nhận được y π I= Câu 3.B: a. I / ( x ) = � I ( x ) = Const π dt =1 b. I ( ) = −1 t e Câu 4.B: a. I / ( x ) = � I ( x ) = Const b. I ( π ) = π dt = π 20 + + sin x sin x sin x Câu 5.B: � dx = � dx + � dx , x x x 0 sin x sin x = 1, x x2 x x2 Tích phân thứ nhất tồn tại, tích phân thứ hai hội tụ. Tích phân đã cho hội tụ lim + + + x ln x x ln x x ln x dx = dx + dx , Câu 6.B: � 3 � � (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) 0 x ln x 1 lim x ln x = 0, ~ , = 0( ) khi x x (1 + x )3 x x 2 x Tích phân thứ nhất tồn tại, tích phân thứ hai hội tụ. Tích phân đã cho hội tụ + arctgx arctgx arctgx dx = � dx + � dx , Câu 7.B: � x (1 + x ) x (1 + x ) x (1 + x ) 0 arctgx arctgx π = 1, , lim x x x (1 + x ) x Tích phân thứ nhất tồn tại, tích phân thứ hai hội tụ. Tích phân đã cho hội tụ + α −1 − x x e Câu 8.B: � α −1 − x dx = � x e + dx + � xα −1e − x dx , 1 , khi x > x0 x2 Tích phân thứ nhất hội tụ khi 1 − α < � α > Tích phân thứ xα −1e − x hai hội tụ ∀α Tích phân đã cho hội tụ khi α > + ln x + ln x ln x dx = � dx + � dx , Câu 9.B: � 2 x x −1 x x −1 x x −1 2 ln x ln x ln x ln x lim = 0, ~ , = 0( ) khi x x x2 x2 x x2 − x x2 − x2 Tích phân thứ nhất tồn tại, tích phân thứ hai hội tụ. Tích phân đã cho hội tụ + + x x x dx = �x dx + �x dx , Câu 10.B: �x e − cos x e − cos x e − cos x 0 x x x x = 1, x ~ x , x = 0( ) khi x lim x x e − cos x e − cos x e e x Tích phân thứ nhất tồn tại, tích phân thứ hai hội tụ. Tích phân đã cho hội tụ Câu 11.B: 2 x (e x − e− x ) ~ 2x4 ~ Tích phân đã cho phân kì 2x , ln x ln x = − ; = 0( ) khi x 3 x 1− x 1− x x2 Tích phân đã cho hội tụ Câu 12.B: lim 0+ xα ln x = Câu 13.B: Nếu α > ta có tích phân xác định vì xlim + Ta xét α > −1 ∃λ : − α < λ < khi đó xα ln x = 0( x 0+ Ta xét α −1 ∃λ : 1 < λ ) khi xλ xα ln x : −α khi đó lim( + x Tích phân đã cho hội tụ với α > −1 )= xλ ln(sinx ) = 0( ) khi x 0+ x x4 Tích phân đã cho hội tụ Câu 14.B: Câu 15.B: α �kπ sinα x α = kπ � lim x − x2 sinα ~ 2(1 − x ) khi x 0+ sinα x =0 − x2 Tích phân đã cho hội tụ ∀α ● Câu hỏi loại 3 điểm phần C Câu 1.C: a. y // = e − x (2 − x + x ), y // (0) = d y (0) = 2dx y ( x ) = , TCN bên phải b. Hàm số xác định với mọi x xlim + y = y( x) = + Khơng có TCX lim x − x Câu 2.C: a. � 2010! � 1 y (2010) ( x ) = − � ( x − 3) 2011 ( x − 1) 2011 � � � 2010! � � y (2010) (0) = − 2011 � � � � b. lim− y ( x ) = + , lim+ y ( x ) = − , lim− y ( x ) = − , lim+ y ( x ) = + , x x x x x = 1, x = TCĐ: y = 0, TCN: y = lim x x � ln( x + 1) � � � − , dy (1) = � − ln � dx Câu 3.C: a. y = ( x + 1) � � x � � �x ( x + 1) � 2( x − 1) / ( x − 1) , f ( x) = >0, ∀x > 1 b. Đặt f ( x ) = ln x − x +1 ( x + 1) f (1) = � f ( x ) > 0, ∀x > Câu 4.C: a. Hàm số xác định với mọi x. y( x) π π lim = 1, lim [ y ( x ) − x ] = , các TCX y = x x x x 2 b. Đặt x2 f ( x ) = x − ln(1 + x ), g ( x ) = ln(1 + x ) − x + x f / ( x) = − = > 0, ∀x > 1+ x 1+ x f (0) = � f ( x ) > 0, ∀x > / x2 g ( x) = > 0, ∀x > 1+ x g (0) = � g ( x ) > 0, ∀x > / Câu 5.C: a. y (2010) ( x ) = 2010! � 1 � + � 2011 2011 � � (1 − x ) (1 + x ) � y (2010) (0) = 2010! b. Đặt f ( x ) = xarctgx − ln(1 + x ), f / ( x ) = 2arctgx, f / ( x ) < 0, ∀x < f / ( x ) 0,∀ x = Câu 6.C: a. f ( x) y( x) = x + x + + f (0) < 0,∀ x < 2010! , y (2010) ( x ) = x −1 ( x − 1) 2011 y (2010) (0) = −2010! = − (1 + x ) n + ( ( x + 1) ) b. f1 ( x ) = − − ( x + 1) n =0 ( −1) n (1 + x )n+1 + ( ( x + 1) n +1 ) f ( x ) = ln(2 + x ) = n +1 n =0 � � + ( x + 1) + ( x + 1) + ( x + 1) �+ f ( x ) = − � � � Câu 7.C: a. Cần và đủ tồn tại giới hạn hữu hạn f ( x) − A x3 A A / f (0) = lim = lim − lim = − lim x x x sin x x x sin x x x sin x x � A = 0, f / (0) = b. Đặt f ( x ) = 3− x , a = f (0,01) 3+ x − f (0) + f / (0).0,01 �3 − x �4 / f (0) = 1, f / ( x ) = − , f (0) = − � � (3 + x ) �3 + x � a − 0,01 = 0,9993 Câu 8.C: a. y = ln( x − 1) − ln( x + 1), với x ở lân cận x = 1 − y / = x −1 x +1 � � y (2010) ( x ) = −2009! � − 2010 2010 � ( x − 1) ( x + 1) � � � � y (2010) (2) = −2009! � − 2010 � � � b. Đặt f ( x ) = ex , a = f (0,01) 1− x f (0) + f / (0).0,01 − x e x �3 / f (0) = 1, f / ( x ) = e (2 − x ) � , f (0) = � � (1 − x )2 � 1− x � a + 0,01 = 1,0067 / / Câu 9.C: Cần và đủ là f t (1) = f p (1) f (1 + x ) − f (1) − (1 + x ) 2 / f t (1) = lim− = lim− =− x x x 3x −1 f (1 + x ) − f (1) / x + f p (1) = lim+ = lim+ = −1 x x x x Hàm số không khả vi tại x = Câu 10.C: � �1 − a. y = −1 − � �. Vậy �x − x + � � � (2010) � � y (2010) = −2010! � − �y (2) = −2010! � − 2011 2011 2011 � ( x − 1) ( x + 1) � � � � � b. Hàm số xác định khi x > và là hàm số chẵn. lim+ y = + Các tiệm cận đứng x = x y( x) x2 lim = lim = 1, x + x x x 1 + u − (1 − u ) x +1 − x x −1 =0 lim [ y ( x ) − x ] = lim = lim x + x + u x −1 u (1 − u ) Các TCX y = x 2 Câu 11.C: a. y (50) ( x) = 50 k =0 C50k ( x )( k ) (sin x ) (50−k ) � = 250 � 50 x cos x + (49.25 − x )sin x � � � � π y (50) ( ) = 46 (9800 − π ) b. Đặt x2 f ( x ) = cos x − + , f / ( x ) = x − sinx, f / ( x ) > 0, ∀x > f x x �1 � / + x ln(1 + ) � y = (1 + ) � x � 1+ x x � �1 � dy ( x ) = (1 + ) x � + x ln(1 + ) � dx x � 1+ x x � b. xlim + y e = e, lim [ y − ex ] = e lim x + x + x − 1 + 0( ) 2x x x −1 =− e TCX: y = e( x − ) Câu 13.C: a. ( − ) ( − − n + 1) − − 2 f ( x ) = [ + ( x − 1)] = + ( x − 1) n + ( ( x − 1) ) n! n =1 1 − f ( x ) = [ + ( x − 1)] = − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) + ( ( x − 1) ) 16 / / �c = b. f (4) − f (1) = f ( c ), f ( c ) = − c Câu 14.C: a. y (50) ( x ) = 50 k =0 C50k (( x + 1) )( k ) ( cos2 x ) (50−k ) � � = 250 � −50( x + 1)sin x + ((49.25 − 2( x + 1) ))cos2 x � � � (50) 49 y (0) = 1223 b. lim x + f ( x) = , lim x e x + 1� e � f ( x ) − x = lim � e� � � ex + 10 1 + 0( ) 2x x x −1 = 2e 1 TCX: y = ( x + ) e Câu 15.C: a. f (1 + x ) − f (0) − cos x = lim− =0 f t / (0) = lim− x x x x f (1 + x ) − f (1) ln(1 + x ) − x f p/ (0) = lim+ = lim+ = � f / (0) = x x x x b. x sin x khi x < − sin x f / ( x ) = 0 khi x = � f t // (0) = lim− = = 1, f p// (0) = lim− = + x = −1 x x x x x �− khi x > 0 1+ x Không tồn tại f // (0) ● Câu hỏi loại 3 điểm phần D Câu 1.D: 2 0 xdx = 2, ak = � x cos kπ xdx = 0, bk = � x sin kπ xdx = − a0 = � , kπ sin kπ x , x ( 0,2 ) k k =1 π Thay x = vào công thức trên, ta nhận được S = 0 khi k = 2m 2 kπ x xdx = 2, ak = � x cos dx = Câu 2.D: a0 = � − khi k = m + 0 π 2k (2m+1)π x cos x x = − , x ( 0, ) π m =0 (2m + 1)2 Thay x = vào vế phải cơng thức trên và theo định lí Dirichlet, π2 ta nhận được S = x = − π 11 Câu 3.D: 1 1 a0 = � x dx = , ak = � x cos 2kπ xdx = 2 , bk = � x sin 2kπ xdx = − , k π k π 0 1 cos2kπ x sin 2kπ x − � , x ( 0,1) x = + � π k =1 k2 π k =1 k Thay x = vào vế phải cơng thức trên và áp dụng định lí π2 Dỉrichlet, ta nhận được S = Câu 4.D: ln(2 + x ) = ln 2(1 + x2 ( −1) n x 2( n +1) ) = ln + , − n +1 ( n + 1)2 n =0 x Thay x = vào công thức trên, ta nhận được S = ln Câu 5.D: � ( x + 1) � ( −1) n ( x + 1)2( n +1) ln(4 + x + x ) = ln + ln � 1+ , − ( + 1) �= ln + n +1 ( n + 1)3 n = � � Thay x = vào công thức trên, ta nhận được S = ln x 4 ( −1) n ( x − 1) n = 1− = 1− , − < x < Câu 6.D: x + 1+ x −1 n =0 5n 4 ( −1) n n = − ( x − 1) n−1 Lấy đạo hàm hai vế ta có n ( x + 4) n =1 5 Thay x = vào công thức trên, ta nhận được S = 16 Câu 7.D: ( n − 2)( x + 2) n � x +2 x +2 −2 � e f ( x ) = ( x + 2)e − 2e � f ( x ) = e � −2 + , ∀x � n ! � n=1 � Thay x = vào công thức trên, ta nhận được S = + e3 1 ( x + 1) 2( n+1) � + ( x + 1) = , − Câu 8.D: f ( x ) = ln � � 2 � n + n =0 12 x 0 x −1 Thay x = − vào công thức trên, ta nhận được S = ln 1− x = �x 3n − �x 3n +1 , − x 1− x n =0 n =0 Đạo hàm hai vế sẽ có 2x +1 − = −1 + [ 3n − (3n − 1) x ] x 3n −1 x + x +1 n =1 17 Thay x = vào công thức trên, ta nhận được S = 49 n n � n � Câu 1.D0: Đặt X = ( x − 1) 0, (x − 1) � �X , R = 2n + � n =1 � Khoảng hội tụ : 1 − < x < + Thay x = vào chuỗi hàm ta nhận được các chuỗi số : Câu 9.D: f ( x ) = n n 2n � � 2n � − Các chuỗi số phân � � �, lim � �= e 2n + � n �2n + � n =1 � kì. Vậy miền hội tụ : x �(1 − 2,1 + 2) x+2 ( −1) n n n Câu 11.D: Đặt X = , X , R = x n +1 n =1 x+2 < � x < −1 Khoảng hội tụ −1 < x Thay x = −1 vào chuỗi hàm ta nhận được chuỗi số n , Chuỗi số phân kì n =1 n + Miền hội tụ : x �( −�, −1) 2x −1 n ) 0, X n , R = Câu 12.D: Đặt X = ( x n =1 n − 2x −1 0, nX n , R = n =1 Khoảng hội tụ : x > Thay x = vào chuỗi hàm ta nhận được chuỗi số : n, limn = + Chuỗi số này phân kì n =1 n Miền xác định : x �(0, +�) / / e− x � − nx � � � b. S = f (1), f ( x ) = − � e �= − � − x �= − e � (1 − e − x ) �n=0 � � e S = ( e − 1) 14 ... x < 2 010 ! , y (2 010 ) ( x ) = x ? ?1 ( x − 1) 2 011 y (2 010 ) (0) = −2 010 ! = − (1 + x ) n + ( ( x + 1) ) b. f1 ( x ) = − − ( x + 1) n =0 ( ? ?1) n (1 + x )n +1 + ( ( x + 1) n +1 ) ... ? ?1 x x x x Hàm số không khả vi tại x = Câu? ?10 .C: � ? ?1 − a. y = ? ?1 − � �. Vậy �x − x + � � � (2 010 ) � � y (2 010 ) = −2 010 ! � − �y (2) = −2 010 ! � − 2 011 2 011 2 011 � ( x − 1) ... xlim ? ?1? ?? x ? ?1 x x +1 = x x +1 , x = là điểm gián đoạn loại? ?1 = 0, lim+ f ( x ) = lim+ x ? ?1 x ? ?1 x x +1 =1 1− e 1? ?? e x = ? ?1 là điểm gián đoạn loại