Đề thi học kỳ II năm học 2019-2020 môn Đại số tuyến tính và CTĐS - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

Đề thi học kỳ II năm học 2019-2020 môn Đại số tuyến tính và CTĐS có cấu trúc gồm 6 câu hỏi hệ thống lại kiến thức học phần và giúp các bạn sinh viên ôn tập kiến thức đã học, chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Tài liệu hữu ích cho các các bạn sinh viên đang theo học và những ai quan tâm đến môn học này dùng làm tài liệu tham khảo.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MƠN TỐN - ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2019-2020 Mơn: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ CTĐS Mã mơn học: MATH143001 Đề thi có 02 trang Ngày thi: 21/7/2020 Thời gian: 90 phút Sinh viên phép sử dụng tài liệu  3 −4    −5   Câu (3.0 điểm) Cho ma trận A =  −3     −3 −7 −5  a Tìm phân tích LU ma trận A b Sử dụng phép phân tích để giải hệ phương trình Ax = b, b = (1 1) T c Tìm sở số chiều ColA, NulA Câu (1.0 điểm) Trong không gian không gian   cho tập W = ( x1 , x2 , x3 ) x1 − 3x3 = Chứng minh W Tìm sở số chiều W 3 1  −1       Câu (1.0 điểm) Trong không gian R3, cho véctơ u1 =  −1 ; u2 =  −1  ; y =   2  −2  6       Chứng minh tập u1 , u2  tập trực giao Tìm hình chiếu trực giao y lên Span u1 , u2  Câu (1.0 điểm) Cho B = u1 , u2 , u3  E = v1 , v2 , v3  sở không gian véctơ V Giả sử u1 = 6v1 − 2v2 + v3 , u2 = 9v1 − 4v2 − v3 , u2 = 2v1 − v2 + 3v3 Tìm véctơ tọa độ  x E với x = −3u1 + 2u2 − 2u3 Câu (3.0 điểm) Cho dạng toàn phương f ( x ) = xT Ax = 4x12 + 4x22 + 5x32 + 2x1x2 , x =  x1 T x3   x2 a Đưa dạng toàn phương f ( x ) dạng tắc phép biến đổi trực giao, rõ phép biến đổi b Tìm det (4 AT A)2020  ; A2020 Câu 6: (1.0 điểm) 2 3 với hệ thống mật mã Hill cho khóa K =   Hãy mã hóa từ HATE, biết ký 1 2 tự bảng chữ tương ứng số 26 cho bảng sau: Trong 26 A B C D E F G H I J K 10 L 11 M 12 N 13 O 14 P 15 Q 16 R 17 S 18 T 19 U 20 V 21 W 22 X 23 Y 24 Z 25 Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích đề thi Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2 Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) [CĐR G2.3]: Thực phép toán ma trận, tính định thức, phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, giải hệ phương trình tuyến tính (giải tay hay cách sử dụng máy tính có cài đặt phần mềm ứng dụng phù hợp matlab, maple, …) biết ứng dụng vào mơ hình tuyến tính [CĐR G2.4]: Thực hầu hết tốn khơng gian véctơ, khơng gian Euclide như: chứng minh khơng gian con; xác định vectơ có tổ hợp tuyến tính hệ vectơ; xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ; tìm sở, số chiều khơng gian vectơ; tìm tọa độ vectơ sở, tìm ma trận đổi sở; phương pháp GramSchmidt để xây dựng hệ vectơ trực giao từ hệ vectơ độc lập tuyến tính,… [CĐR G2.5]: Thực hầu hết toán ánh xạ tuyến tính, chéo hóa ma trận, dạng tồn phương: tìm nhân, ảnh, ma trận, hạng ánh xạ tuyến tính; tìm trị riêng, véctơ riêng, chéo hóa ma trận; xét dấu dạng toàn phương; đưa dạng toàn phương dạng tắc [CĐR G2.6]: Xây dựng phép tốn hai ngơi; xét xem tập hợp với phép tốn hai ngơi cho trước có nhóm, vành, trường hay khơng; mã hóa, phát lỗi, sửa sai, … Nội dung kiểm tra Câu Câu 2, Câu 3, Câu Câu Câu Ngày 15 tháng năm 2020 Bộ môn phê duyệt (ký ghi rõ họ tên) Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2019-2020 Mơn: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ CTĐS Mã mơn học: MATH143001 Đề thi có 02 trang Ngày thi: 21/7/2020 Thời gian: 90 phút Sinh viên phép sử dụng tài liệu KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MƠN TỐN - ĐÁP ÁN  3 −4    −5   Câu (3.0 điểm) Cho ma trận A =  −3     −3 −7 −5  a Tìm phân tích LU ma trận A b Sử dụng phép phân tích để giải hệ phương trình Ax = b, b = (1 1) T c Tìm sở số chiều ColA, NulA Giải: a)  3 −4   3 −4  1   d2 :=d2 −2d1   d3 :=d3 +d2  −5  d3 :=d3 + 3d1  −5  d4 :=d4 −2d2  A= ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→  −3   −1 −2  0       −3 −7 −5   −10  0  3 −4   0    −5    A= =  −3   −1     −3 −7 −5   −3  Ly = b b) Ta có Ax = b  LUx = b   Ux = y 1  (1) Ly = b   2   −3 1  (2) Ux = y   0  0 (0.5đ) c) −1 0 0 1  0 0 0 0    0 −4   −5  = LU 0  0  0 −4   −5  (0.5) 0  0  (0.5đ) (1) (2)   y1     y1              y2     y2    =  = (0.5đ)   y3     y3              y4     y4    −4   x1     x1 = −5 + 3b − 11a  x = − 2b + 5a  x    −5       x1 + 3x2 + 3x3 − x4 =  =   ( a, b  R )      x = b x3 x2 + x3 − x4 =        x4 = a   x4    0 Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2             + Cơ sở ColA   ;    ; dim ColA = (0.5)           −3   −7      x1 = −11a + 3b   x + 3x2 + 3x3 − x4 =  x = 5a − 2b + Ax =    x2 + 2x3 − 5x4 =   x3 = b  x4 = a  x1   −11             −2   Cơ sở NulA  x2   NulA =  =a +b        x3        x4        Câu (1.0 điểm) Trong không gian không gian Giải:   −11            −2   ; ; dim NulA = (0.5)                  cho tập W = ( x1 , x2 , x3 ) x1 − 3x3 = Chứng minh W Tìm sở số chiều W    W = ( x1 , x2 , x3 ) x1 − 3x3 = = ( x1 , x2 , x3 ) = ( 3a; b; a ) = a(3; 0; 1) + b(0; 1; 0) = Spanu1 ; u2  Nên W không gian R3 (0.5) Một sở W (3; 0; 1);(0; 1; 0) , dimW =2 (0.5) 3 1  −1       Câu (1.0 điểm) Trong không gian R , cho véctơ u1 =  −1 ; u2 =  −1  ; y =   2  −2  6       Chứng minh tập u1 , u2  tập trực giao Tìm hình chiếu trực giao y lên Span u1 , u2  Giải: u1.u2 = nên tập u1 , u2  tập trực giao (0.25đ) 3    −1 y.u1 y.u2   −15     yˆ = u1 + u2 =  −1 + −1 = u1.u1 u2 u2 14       2  −2    (0.75đ) Câu (1.0 điểm) Cho B = u1 , u2 , u3  E = v1 , v2 , v3  sở không gian véctơ V Giả sử u1 = 6v1 − 2v2 + v3 , u2 = 9v1 − 4v2 − v3 , u3 = 2v1 − v2 + 3v3 Tìm véctơ tọa độ  x E với x = −3u1 + 2u2 − 2u3 Giải: Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2 6 9     u1 = 6v1 − 2v2 + v3 → u1 E =  −2  ; u2 = 9v1 − 4v2 − v3 → u2 E =  −4  1  −1      2  2     u3 = 2v1 − v2 + 3v3 → u3 E =  −1 → PE  B =  −2 −4 −1 3  −1       −3    x = −3u1 + 2u2 − 2u3 →  x B =    −2      −3   −4      x E = PE B  x B =  −2 −4 −1   =    −1  −2   −11      (0.5) (0.5) Câu (3.0 điểm) Cho dạng toàn phương f ( x ) = xT Ax = 4x12 + 4x22 + 5x32 + 2x1x2 , x = x1 x2 T x3   a Đưa dạng tồn phương f ( x ) dạng tắc phép biến đổi trực giao, rõ phép biến đổi b Tìm det (4 AT A)2020  Giải:  0   a Ma trận dạng toàn phương A =   (0.25đ)  0 5   4− det ( A −  I ) =  4−   = 5  = 0 5− (0.25đ) +  = : ( A − 5I ) X =  −1   −1       −1  →  0   0 0  0 0      x1 = b  − x1 + x2 =   x2 = b x = a   0       Cơ sở không gian riêng E ( = 5) : u1 =   ; u2 =    , Cơ sở trực giao không  1         1/   0       gian riêng v1 =   ; v2 = 1/   (0.5)    1         Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2 +  = : ( A − 3I ) X = 1 0 1 0     1 0 → 0 2 0 2 0 0      x1 = −a  x1 + x2 =    x2 = a   x3 = x =    −1    Cơ sở không gian riêng E ( = 3) : u3 =    , sở trực chuẩn không gian         −1/       riêng E ( = 3) : v3 =  1/   (0.5đ)          Đặt P = e1 e2 e3  , D = diag ( 5, 5, ) , x = Py (0.25đ) T ta có f ( x ) = xT Ax = yT Dy = 5y12 + 5y22 + 3y32 , y =  y1 y2 y3   (0.25đ) = 43 det AT det A  = ( 43 )2020 ( det A ) b det (4 AT A)2020  = det(4 AT A)  (0.5đ) 2020 0  0 1  −1      2020 −1 2020 A = PDP =  1     1/ 1/  (0.5đ) 1 0  0 32020   −1/ 1/    2020 2020 4040 = 46060.754040 2 3 với hệ thống mật mã Hill cho khóa K =   Hãy mã hóa từ HATE, 1 2 biết ký tự bảng chữ tương ứng số 26 cho bảng sau: Câu 6: (1.0 điểm) Trong A B C D 26 E F G H I J K 10 L 11 M 12 N O P Q R S T 13 14 15 16 17 18 19 Giải:  H       14     → →   =   →    A          H   T  19   19   24   Y   → →   =   →    E          B  U 20 V 21 W 22 X 23 Y 24 Z 25 (0.5) (0.5) Vậy từ HATE mã hóa thành từ OHYB Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích đề thi Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2 Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) [CĐR G2.3]: Thực phép tốn ma trận, tính định thức, phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, giải hệ phương trình tuyến tính (giải tay hay cách sử dụng máy tính có cài đặt phần mềm ứng dụng phù hợp matlab, maple, …) biết ứng dụng vào mơ hình tuyến tính [CĐR G2.4]: Thực hầu hết tốn khơng gian véctơ, khơng gian Euclide như: chứng minh không gian con; xác định vectơ có tổ hợp tuyến tính hệ vectơ; xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ; tìm sở, số chiều khơng gian vectơ; tìm tọa độ vectơ sở, tìm ma trận đổi sở; phương pháp GramSchmidt để xây dựng hệ vectơ trực giao từ hệ vectơ độc lập tuyến tính,… [CĐR G2.5]: Thực hầu hết toán ánh xạ tuyến tính, chéo hóa ma trận, dạng tồn phương: tìm nhân, ảnh, ma trận, hạng ánh xạ tuyến tính; tìm trị riêng, véctơ riêng, chéo hóa ma trận; xét dấu dạng toàn phương; đưa dạng toàn phương dạng tắc [CĐR G2.6]: Xây dựng phép tốn hai ngơi; xét xem tập hợp với phép tốn hai ngơi cho trước có nhóm, vành, trường hay khơng; mã hóa, phát lỗi, sửa sai, … Nội dung kiểm tra Câu Câu 2, Câu 3, Câu Câu Câu Ngày 15 tháng năm 2020 Bộ môn phê duyệt (ký ghi rõ họ tên) Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2 ... Trang: 1/2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 201 9-2 020 Mơn: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ CTĐS Mã mơn học: MATH143001 Đề thi có 02 trang Ngày thi: 21/7/2020 Thời... chứng minh không gian con; xác định vectơ có tổ hợp tuyến tính hệ vectơ; xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ; tìm sở, số chiều khơng gian vectơ; tìm tọa độ vectơ sở, tìm... thành từ OHYB Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích đề thi Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2 Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) [CĐR G2.3]: Thực phép toán ma trận, tính định thức, phép biến đổi