chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

33 755 1
chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1 Phương Trình - Bất Phương Trình Khơng Chứa Căn Bài tập 2.1 Giải bất phương trình sau a) x2 − 6x + > c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x − 10 ≤ b) −4x2 + x − ≥ d) x4 + x2 + 4x − ≥ Lời giải √ √ √ x > + √3 Vậy tập nghiệm S = −∞; − ∪ + 3; +∞ a) Ta có x − 6x + > ⇔ x c) 2x − x+5 ∪ √ −1+ ; +∞ √ −1+ 2√ −1− x2 − 3x − ≥ 2x + x−1 1 d) < x − 5x + x − 7x + 10 b) Lời giải a) Ta có bảng xét dấu x x−2 x2 − 9x + VT −∞ − + − | || − − + | + − − | || +∞ + + + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞) x2 − 3x − − (x − 1) (2x + 2) −x2 − 3x b) Bất phương trình tương đương với ≥0⇔ ≥ x−1 x−1 Ta có bảng xét dấu www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu x −x2 − 3x x−1 VT −∞ −3 | − − + 0 | + − − | || − − + +∞ − + − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1) 2 (x + 5) + (2x − 1) − (x + 5) (2x − 1) x2 − 12x + 36 c) Bất phương trình tương đương với >0⇔ > (2x − 1) (x + 5) 2x2 + 9x − Ta có bảng xét dấu x x2 − 12x + 36 2x2 + 9x − VT −∞ + + + −5 | || + − − | || | + + + +∞ + + + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪ ; ∪ (6; +∞) x2 − 7x + 10 − x2 + 5x − −2x + d) Bất phương trình tương đương với 0) Phương trình trở thành + = ⇔ (t + 2) (t + 6) + t (t + 6) = 6t (t + 2) ⇔ 4t2 − 2t − 12 = ⇔ t t+2 t+6 t=2 t = − (loại) x=1 x = −2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = − b) Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Với x = 0, phương trình tương đương với Với t = ⇒ 2x2 − x + = ⇔ 4x − + Đặt 4x − + x + x 4x − 10 + x =1 = t Phương trình trở thành + = ⇔ (t − 2) + 3t = t (t − 2) ⇔ t2 − 9t + = ⇔ t t−2 t=1 t=8 x = ⇔ 4x2 − 9x + = (vô nghiệm) x= Với t = ⇒ 4x − + x = ⇔ 4x2 − 16x + = ⇔ x= Vậy phương trình có hai nghiệm x = , x = c) Điều kiện: x = x2 + t = −2 Đặt = t Phương trình trở thành t + = − ⇔ t t = −2 x x2 + Với t = −2 ⇒ = −2 ⇔ x2 + 2x + = ⇔ x = −1 x x2 + 1 Với t = − ⇒ = − ⇔ 2x2 + x + = (vô nghiệm) x Vậy phương trình có nghiệm x = −1 d) Điều kiện: x = 1, x = −2 x−1 x−3 u=v Đặt = u, = v Phương trình trở thành u2 + uv − 2v = ⇔ u = −2v x+2 x−1 x−1 x−3 Với u = v ⇒ = ⇔ x2 − 2x + = x2 − x − ⇔ x = x+2 x−1 √ x−1 x−3 ± 37 2 Với u = −2v ⇒ = −2 ⇔ x − 2x + = −2x + 2x + 12 ⇔ 3x − 4x − 11 = ⇔ x = x+2 x−1 √ ± 37 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x = e) Điều kiện: x = −1 Phương trình tương đương với Với t = ⇒ 4x − + x− x x+1 + 2x x =3⇔ x+1 x2 x+1 +2 x2 −3=0 x+1 x2 t=1 = t Phương trình trở thành t2 + 2t − = ⇔ t = −3 x+1 √ x2 1± Với t = ⇒ = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = x+1 x2 Với t = −3 ⇒ = −3 ⇔ x2 + 3x + = (vô nghiệm) x+1 √ 1± Vậy phương trình có hai nghiệm x = f) Phương trình tương đương với Đặt 1 − 2+x+1 x x +x+2 ⇔ Đặt (x2 (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) + 2 + x2 1 13 = +x+1 x +x+2 36 13 − =0 (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) 36 13 = t (t > 0) Phương trình trở thành t2 + 2t − =0⇔ + x + 1) (x2 + x + 2) 36 www.MATHVN.com t= t = − 13 (loại) www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Với t = 1 ⇒ = ⇔ x2 + x + + x + 2) (x + x + 1) (x x2 + x + = Đặt x2 + x + = u (u > 0) Phương trình trở thành u (u + 1) = ⇔ √ −1 ± Với u = ⇒ x + x + = ⇔ x = √ −1 ± Vậy phương trình có hai nghiệm x = Bài tập 2.10 Giải phương trình sau a) |x − 1| = x2 − 3x + c) x2 − 5x + − x = e) x2 − 5x + = x2 + 6x + u=2 u = −3 (loại) b) x2 + 4x − = x2 + √ d) x2 + 4x + = − x2 f) x2 − 5x + = −2x2 + 10x − 11 Lời giải √ x=2± x − = x − 3x + a) Ta có |x − 1| = x2 − 3x + ⇔ ⇔ x=0 x − = −x2 + 3x − x=2 √ Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ± 2, x = 0, x =  x= 2 x + 4x − = x + b) Ta có x2 + 4x − = x2 + ⇔ ⇔ x=0 2 x + 4x − = −x − x = −2 Vậy phương trình có ba nghiệm x = , x = 0, x = −2 x≥4 x=0 c) Với x2 − 5x + ≥ ⇔ , phương trình trở thành x2 − 5x + − x = ⇔ (thỏa mãn) x≤1 x=6 2 Với x − 5x + < ⇔ < x < 4, phương trình trở thành −x + 5x − − x = ⇔ x − 4x + = (vơ nghiệm) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = d) Phương trình tương đương với |x + 2| = − x2 √ x = −1+√13 2 Với x + ≥ ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x + = − x ⇔ x + x − = ⇔ x = −1− 13 (loại)  f) Với x2 − 5x + ≥ ⇔ Với x2 − 5x + < ⇔ x≥ x≤ √ 5− √ 5+ √ 5− 2 x= x= √ 1+ 29 √ 1− 29 (loại) Với x + < ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x − = − x ⇔ x − x − = ⇔ √ √ −1 + 13 − 29 Vậy phương trình có hai nghiệm x = ,x = 2 x≥4 e) Với x2 − 5x + ≥ ⇔ , phương trình trở thành x2 − 5x + = x2 + 6x + ⇔ x = − 11 (thỏa mãn) x≤1 Với x2 − 5x + < ⇔ < x < 4, PT trở thành −x2 + 5x − = x2 + 6x + ⇔ 2x2 + x + = (vơ nghiệm) Vậy phương trình có hai nghiệm x = − 11 , PT trở thành x2 − 5x + = −2x2 + 10x − 11 ⇔ x = √ 5+ , √ 15± 33 PT trở thành −x2 + 5x − = −2x2 + 10x − 11 ⇔ √ 15 ± 33 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = , x = 2, x = 0) Phương trình trở thành − t − = ⇔ t3 + 2t − = ⇔ t = 2x − t x+1 x + = 2x − x=2 Với t = ⇒ = ⇔ |x + 1| = |2x − 1| ⇔ ⇔ x + = −2x + x=0 2x − Với t = ⇒ x2 − x = ⇔ www.MATHVN.com (thỏa mãn) www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x =   x + 3x − 10 = ⇔ x2 − =  c) Ta có x2 + 3x − 10 + x2 − = ⇔ x=2 x−5 x = ±2 ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x =   x + 3x − = ⇔ x2011 + 2011x − 2012 =  d) Ta có x2 + 3x − + x2011 + 2011x − 2012 = ⇔ x = (thỏa mãn) x = −4 (loại) x2011 + 2011x − 2012 = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập 2.12 Giải bất phương trình sau 2x − ≤ x−3 d) x − 2x + x2 − > a) |x − 2| < |2x + 1| b) c) x2 − 5x + ≤ x2 + 6x + Lời giải 2 a) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2) < (2x + 1) ⇔ 3x2 + 8x − > ⇔ x> x < −3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪ ; +∞ b) Điều kiện: x = Bất phương trình tương đương với 2 |2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x − 3) ≤ (x − 3) ⇔ 3x2 − 6x ≤ ⇔ ≤ x ≤ (thỏa mãn) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2] x≥4 c) Với x2 − 5x + ≥ ⇔ , bất phương trình trở thành x≤1 x2 − 5x + ≤ x2 + 6x + ⇔ x ≥ − 1 ⇒ S1 = − ; ∪ [4; +∞) 11 11 Với x2 − 5x + < ⇔ < x < 4, bất phương trình trở thành −x2 + 5x − ≤ x2 + 6x + ⇔ 2x2 + x + ≥ (đúng ∀x ∈ (1; 4)) ⇒ S2 = (1; 4) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = − 11 ; +∞ x≥2 d) Với x2 − 2x ≥ ⇔ , bất phương trình trở thành x≤0 x2 − 2x + x2 − > ⇔ x>2 x < −1 (thỏa mãn) ⇒ S1 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) Với x2 − 2x < ⇔ < x < 2, bất phương trình trở thành −x2 + 2x + x2 − > ⇔ x > (loại) ⇒ S2 = ∅ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) Bài tập 2.13 Giải phương trình sau a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3| c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2| √ √ e) x2 − 2x + + x2 + 4x + = b) x2 − 5x + + x2 − 5x = d) |x − 1| − |x − 2| + |x − 3| = √ √ f) x + x − + x − x − = Lời giải a) Ta có bảng xét dấu x 9−x − 5x 4x + −∞ + + − −3 | | + + + | | + − + | | +∞ − − + Với x ∈ −∞; − , phương trình trở thành − x = − 5x − 4x − ⇔ x = − (thỏa mãn) Với x ∈ − ; , phương trình trở thành − x = − 5x + 4x + ⇔ = (đúng , ∀x ∈ − ; ) Với x ∈ ; , phương trình trở thành − x = −6 + 5x + 4x + ⇔ x = (loại) Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + ⇔ x = − (loại) Vậy phương trình có tập nghiệm S = − ; b) Ta có bảng xét dấu www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x x2 − 5x + x2 − 5x −∞ + + | | + − | − − | + − +∞ + + x = (thỏa mãn) x = (loại) Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x2 − 5x + − x2 + 5x = ⇔ = (đúng , ∀x ∈ (0; 1]) x = (thỏa mãn) Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x2 + 5x − − x2 + 5x = ⇔ x = (loại) Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x2 − 5x + − x2 + 5x = ⇔ = (đúng , ∀x ∈ (4; 5]) x = (loại) Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x2 − 5x + + x2 − 5x = ⇔ x = (loại) Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] ∪ [4; 5] c) Ta có bảng xét dấu Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x2 − 5x + + x2 − 5x = ⇔ x − 2x − 3x x+2 −∞ + + − −2 | | + + + | | + − + | | +∞ − − + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành − 2x = − 3x − x − ⇔ x = −2 (thỏa mãn) 5 Với x ∈ −2; , phương trình trở thành − 2x = − 3x + x + ⇔ = (đúng , ∀x ∈ −2; ) Với x ∈ ; , phương trình trở thành − 2x = −5 + 3x + x + ⇔ x = (loại) Với x ∈ ; +∞ , phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + ⇔ x = −2 (loại) Vậy phương trình có tập nghiệm S = −2; d) Ta có bảng xét dấu x x−1 x−2 x−3 −∞ − − − | | + − − | | + + − | | +∞ + + + Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + − (−x + 2) + (−x + 3) = ⇔ x = (thỏa mãn) Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x − − (−x + 2) + (−x + 3) = ⇔ = (đúng , ∀x ∈ (1; 2]) Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x − − (x − 2) + (−x + 3) = ⇔ x = (loại) Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − − (x − 2) + (x − 3) = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] ∪ {5} e) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = Ta có bảng xét dấu x x−1 x+2 −∞ − − −2 | − + | +∞ + + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + − x − = ⇔ x = (loại) Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + + x + = ⇔ = (vô lý) Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − + x + = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = √ √ f) Phương trình tương đương với x − + + x − − = √ √ √ √ Với x − − ≥ ⇔ x ≥ 2, PT trở thành x − + + x − − = ⇔ x − = ⇔ x = (thỏa mãn) √ √ √ Với x − − < ⇔ ≤ x < 2, PT trở thành x − + − x − + = ⇔ = (đúng ∀x ∈ [1; 2)) Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] §2 Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn Bài tập 2.14 Giải phương trình sau √ a) x − x − − = √ √ √ c) 3x − − − x = 2x − √ √ √ e) 2x − + x − = 3x + √ √ √ b) 2x + = − x + 3x + √ d) √ 2x + 6x2 + = √+ x √ f) x + + x + + x + = www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải a) Phương trình tương đương với √ x−1=x−7⇔   x≥7 x≥7 x = (loại) ⇔ x − = x − 14x + 49  x = 10 ⇔ x = 10 Vậy phương trình có nghiệm x = b) Điều kiện: − ≤ x ≤ Phương trình tương đương với 2x + = − x + 3x + + (4 − x) (3x + 1) ⇔ = −3x2 + 11x + ⇔ − 3x2 + 11x + = ⇔ x=0 x = 11 (thỏa mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 11 c) Điều kiện: ≤ x ≤ Phương trình tương đương với √ √ √ 3x − = − x + 2x − ⇔ 3x − = − x + 2x − + ⇔ 2x − = (5 − x) (2x − 4) (5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x − 4) = (5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x − 4) (2x − − 20 + 4x) = ⇔ x=2 x=4 (thỏa mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = d) Phương trình tương đương với   x ≥ −1    x=0 x ≥ −1 ⇔ 6x + = x + 2x +   x=2   x = −2 (loại) x + 1√ ≥ ⇔ 2x + 6x2 + = x2 + 2x + ⇔ x=0 x=2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = e) Phương trình tương đương với 2x − + x − + 3 (2x − 1) (x − 1) √ 2x − + √ x − = 3x + ⇒ (2x − 1) (x − 1) (3x + 1) = ⇒ 6x3 − 7x2 = ⇒ x=0 x= Thử lại ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = f) Phương trình tương đương với √ √ √ √ √ x + + x + = − x + ⇔ x + + x + + 3 (x + 1) (x + 2) x + + x + = −x − ⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + ⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + ⇒ x = −2 Thử lại ta thấy x = −2 nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = −2 Bài tập 2.15 Giải bất phương trình sau √ a) √x2 − 4x − 12 > 2x + c) 6x − 9x2 < 3x √ b) √x2 − 4x − 12 ≤ x − d) x3 + ≥ x + Lời giải a) Bất phương trình tương đương với        x < −2  x≥6   x ≤ −2 ⇔   x ≥ −3 −3 < x < − 2x + < x2 − 4x − 12 ≥ 2x + ≥ x2 − 4x − 12 > 4x2 + 12x + ⇔ x ≤ −2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2] b) Bất phương trình tương đương với    x≥4   x−4≥0  x≥6 x − 4x − 12 ≥ ⇔ x ≤ −2    x − 4x − 12 ≤ x − 8x + 16  x≤7 ⇔6≤x≤7 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7] c) Bất phương trình tương đương với 6x − 9x2 < 27x3 ⇔ 27x3 + 9x2 − 6x > Ta có bảng xét dấu www.MATHVN.com 10 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Trừ theo vế (1) (2) ta có x3 − t3 = 2t − 2x ⇔ (x − t) x2 + xt + t2 = (t − x) x=t x2 + xt + t2 + = (vô nghiệm) ⇔ (x − t) x2 + xt + t2 + = ⇔ √ x=1 √ x = −1± √ −1 ± Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = √ d) Đặt 35 − x3 = t Phương trình trở thành Với t = x ⇒ 2x − = x ⇔ 2x − = x3 ⇔ xt(x + t) = 30 ⇔ t3 + x3 = 35 xt(x + t) = 30 ⇔ (t + x) − 3xt (x + t) = 35 xt(x + t) = 30 ⇔ (t + x) = 125 xt = ⇒ t+x=5 x=2 x=3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = Bài tập 2.27 Giải phương trình, bất phương trình sau √ x− x √ √ − 4x + ≥ x b) (A-2010) ≥ a) (B-2012) x + + x − (x2 − x + 1) √ √ d) x + (1 − x2 ) = − 2x2 c) x2 − = − x3 Lời giải ≤ x ≤ √− x≥2+ a) Điều kiện: √ Nhận thấy x = nghiệm bất phương trình Với x > 0, bất phương trình tương đương với Đặt √ x + √ = t (t > 0) ⇒ x + x x √ x+ √ + x x+ − ≥ x = t2 − 2, bất phương trình trở thành  3−t3 3−t≥0 ⇔ ⇔t≥ ≤t≤3 2 t2 − ≥ − 6t + t2 √ √ √ 5 x≥2 x≥4 Với t ≥ ⇒ x + √ ≥ ⇔ 2x − x + ≥ ⇔ √ ⇔ x≤ 0 Do PT tương đương với b) Điều kiện: x ≥ Nhận thấy x − x + ≥ ⇒ (x t2 − ≥ − t ⇔  √ x ≤ − (x2 − x + 1) ⇔ 2x2 − 2x + ≤ + x − x √ √ 1+ x−x≥0 x≥x−1 √ √ √ ⇔ √ ⇔ 2x2 − 2x + ≤ + x + x2 + x − 2x − 2x x + x + x2 − x − 2x + 2x x ≤ √ √ √ x≥x−1 x≥x−1 √ √x ≥ x − √ ⇔ ⇔ ⇔ 1− x−x=0 x=1−x (1 − x − x) ≤  √ √  x≥x−1 x≤1 √ 3− 1−x≥0 ⇔ ⇔ 3± ⇔ x =  x= x = − 2x + x2 √ √ √ √ x≥ √ c) Điều kiện: x ≤ Nhận thấy − x3 ≥ ⇒ x2 − ≥ ⇔ x≤− √ Từ điều kiện ta có x ≤ − Khi phương trình tương đương với x2 − = − x3 x− √ ⇔ x4 − 4x2 + = − 12x3 + 6x6 − x9 = ⇔ x9 − 6x6 + x4 + 12x3 − 4x2 − = ⇔ x9 − 5x6 − x3 − x 2 + 12x3 − 15 x − = (vơ nghiệm) Vậy phương trình vơ nghiệm Bài tập 2.28 Giải phương trình sau √ √ a) √ 4x − + √ 4x2 − = c) 2x − + x2 + 3√ − x = e) x3 + 4x − (2x + 7) 2x + = √ b) x − = −x3 − 4x + √ d) x5 + x3 − − 3x + = √ f) (CĐ-2012) 4x3 + x − (x + 1) 2x + = www.MATHVN.com 19 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải a) Điều kiện: x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình √ √2 4x Xét hàm số y = 4x − + 4x2 − ; +∞ có y = √4x−1 + √4x2 −1 > 0, ∀x ∈ 2 ; +∞ 2 ; +∞ suy x = nghiệm phương trình Do hàm số đồng biến Vậy phương trình có nghiệm x = √ b) Điều kiện: x ≥ Phương trình tương đương với x − + x3 + 4x = Nhận thấy x = 1√ nghiệm phương trình Xét hàm số y = x − + x3 + 4x [1; +∞) có y = 2√x−1 + 3x2 + > 0, ∀x ∈ (1; +∞) Do hàm số đồng biến [1; +∞) suy x = nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = √ √ c) Điều kiện: x ≥ Phương trình tương đương với 2x − + x2 + + x = Nhận thấy x = 1√ nghiệm phương trình √ Xét hàm số y = 2x − + x2 + + x ; +∞ có y = √2x−1 + √xx+3 + > 0, ∀x ∈ 2 ; +∞ ; +∞ Do hàm số đồng biến suy x = nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = 1 d) Điều kiện: x ≤ Nhận thấy x = −1 nghiệm phương trình √ Xét hàm số y = x5 + x3 − − 3x + −∞; có y = 5x4 + 3x2 + 2√1−3x > 0, ∀x ∈ −∞; 3 Do hàm số đồng biến −∞; suy x = −1 nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = −1 √ e) Đặt 2x + = u (u ≥ 0) Phương trình trở thành x3 + 4x − u2 + u = ⇔ x3 + 4x = u3 + 4u Xét hàm số f (t) = t3 + 4t [0; +∞) có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ [0; +∞) Do phương trình tương đương với u=x⇒ √ 2x + = x ⇔ x≥0 ⇔x=3 2x + = x2 Vậy phương trình có nghiệm x = √ f) Điều kiện: x ≥ − Phương trình tương đương với 8x3 + 2x = (2x + 2) 2x + √ Đặt 2x + = u (u ≥ 0) Phương trình trở thành 8x3 + 2x = u2 + u ⇔ (2x) + 2x = u3 + u Xét hàm số f (t) = t3 + t [0; +∞) có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ [0; +∞) Do phương trình tương đương với √ √ 1+ x≥0 u = 2x ⇒ 2x + = 2x ⇔ ⇔x= 2x + = 4x2 √ 1+ Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập 2.29 Giải phương trình sau √ √ a) x2 − 2x + + x − = √ √ √ c) x − − + x + + x − − = √ √ b) x − + − x = x2 − 6x + 11 √ 1 d) 5x3 + 3x2 + 3x − = x2 + 3x − Lời giải a) Phương trình tương đương với (x − 1) + + Ta có √ (x − 1) + ≥ ⇒ x−1≥0 (x − 1) + + √ √ x − = x − ≥ 2 (x − 1) + = ⇔ x = x−1=0 Vậy phương trình có nghiệm x = b) Ta có x2 − 6x + 11 = (x − 3) + ≥ (1) √ √ 1 Xét hàm số y = x − + − x [2; 4] có y = √ − √ ; y = ⇔ x = x−2√ 4−x √ √ √ Ta có y(2) = 2, y(4) = 2, y(3) = ⇒ max y = y(3) = ⇒ x − + − x ≤ (2) Dấu xảy √ [2;4] Từ (1) (2) ta có phương trình tương đương với x2 − 6x + √ = 11 √ ⇔ x = x−2+ 4−x=2 Vậy phương trình có nghiệm x = √  x−2−1 ≥0 √ √ c) Điều kiện: x ≥ Khi ⇒2 x−2−1 x+6>2  √ x−2≥0 www.MATHVN.com 20 + √ x+6+ √ x − > www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Do phương trình cho vơ nghiệm d) Phương trình tương đương với (5x − 2) (x2 + x + 1) = x2 + 6x − Theo bất đẳng thức Cauchy ta có (5x − 2) (x2 + x + 1) ≤ x2 + 6x − √ √ Dấu xảy 5x − = x2 + x + ⇔ x2 − 4x + = ⇔ x=1 x=3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = §3 Hệ Phương Trình Đại Số Bài tập 2.30 Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = a) x + y + xy = x2 + y + x + y = c) (DB-05) x (x + y + 1) + y (y + 1) = b) d) x + y + xy = x3 + y + 3(x − y) − = x2 − xy + y = (x − y) x2 + xy + y = 7(x − y) Lời giải (x + y) − xy = x + y + xy = S − P = (1) Đặt x + y = S, xy = P (S ≥ 4P ) Hệ trở thành S + P = (2) S=3 Từ (2) ⇒ P = − S thay vào (1) ta có S + S − 12 = ⇔ S = −4 x+y =3 x=2 x=1 Với S = ⇒ P = ⇒ ⇔ Với S = −4 ⇒ P = (loại) xy = y=1 y=2 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) (x; y) = (1; 2) x + y + xy = b) Hệ cho tương đương với (x + y) − 3xy (x + y) + 3(x + y) − 12xy − = S+P =1 (1) Đặt x + y = S, xy = P (S ≥ 4P ) Hệ trở thành S − 3P S + 3S − 12P − = (2) Từ (1) ⇒ P = − S thay vào (2) ta có S − 3S (1 − S) + 3S − 12 (1 − S) − = ⇔ S = x+y =1 x=0 x=1 Với S = ⇒ P = ⇒ ⇔ xy = y=1 y=0 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 1) (x; y) = (1; 0) (x + y) − 2xy + x + y = c) Hệ cho tương đương với Đặt x + y = S, xy = P (S ≥ 4P ) (x + y) − xy + x + y = S − 2P + S = P = −2 S=0 S = −1 Hệ trở thành ⇔ ⇔ S2 − P + S = S2 + S = P = −2 P = −2 √ √ S=0 x+y =0 x= √ x=√ − Với ⇒ ⇔ P = −2 xy = −2 y=− y= S = −1 x + y = −1 x=1 x = −2 Với ⇒ ⇔ P = −2 xy = −2 y = −2 y=1 √ √ √ √ Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = 2; − , (x; y) = − 2; , (x; y) = (1; −2) (x; y) = (−2; 1) 2 (x − y) + xy = (x − y) (x − y) + xy = (x − y) d) Hệ cho tương đương với ⇔ 2 (x − y) + 3xy = 7(x − y) xy = 2(x − y) Đặt x − y = S, xy = P Hệ trở thành a) Hệ cho tương đương với S + P = 3S ⇔ P = 2S 3S − 3S = ⇔ P = 2S S=0 P =0 S=0 x−y =0 x=0 S=1 x−y =1 ⇒ ⇔ ; với ⇒ ⇔ P =0 xy = y=0 P =2 xy = Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (2; 1) (x; y) = (−1; −2) Với Bài tập 2.31 Giải hệ phương trình sau a) x2 − 2y = 2x + y y − 2x2 = 2y + x   x − 3y = 4y  x b) 4x   y − 3x = y www.MATHVN.com 21 S=1 P =2 x=2 y=1 x = −1 y = −2 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu   3y = y +  x2 d) (B-03) x2 +  3x =  y2   2x + y =  x2 c)   2y + x = y Lời giải a) Xét hệ x2 − 2y = 2x + y (1) y − 2x2 = 2y + x (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có 3x2 − 3y = x − y ⇔ (x − y) (3x + 3y − 1) = ⇔ x=y y = 1−3x x=0 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) (x; y) = (−3; −3) x = −3 − 3x 2(1 − 3x) = 2x + ⇔ 9x2 − 3x + = (vô nghiệm) Với y = 1−3x thay vào (1) ta có x2 − Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) (x; y) = (−3; −3) x2 − 3xy = 4y (1) b) Hệ cho tương đương với y − 3xy = 4x (2) x=y Trừ theo vế (1) (2) ta có x2 − y = 4y − 4x ⇔ (x − y) (x + y + 4) = ⇔ y = −x − x=0 Với x = y thay vào (1) ta có −2x2 = 4x ⇔ ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) (x; y) = (−2; −2) x = −2 Với y = −x − thay vào (1) ta có x2 − 3x (−x − 4) = (−x − 4) ⇔ x = −2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −2) Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) (x; y) = (−2; −2) 2x3 + x2 y = (1) c) Hệ cho tương đương với 2y + xy = (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có 2x3 − 2y + x2 y − xy = ⇔ (x − y) 2x2 + 3xy + 2y = ⇔ x = y Với x = y thay vào (1) ta có 3x3 = ⇔ x = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) 3x2 y = y + (1) d) Từ vế phải phương trình ta có x, y > Hệ cho tương đương với 3xy = x2 + (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có 3x2 y − 3xy = y − x2 ⇔ (x − y) (3xy + x + y) = ⇔ x = y Với x = y thay vào (1) ta có 3x3 = x2 + ⇔ x = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) Với x = y thay vào (1) ta có −x2 = 3x ⇔ Bài tập 2.32 Giải hệ phương trình sau x2 − xy = a) 2x2 + 4xy − 2y = 14 x3 + y = c) x2 y + 2xy + y = x2 − 2xy + 3y = x2 − 4xy + 5y = (x − y) x2 + y = 13 d) (DB-06) (x + y) x2 − y = 25 b) Lời giải 7x2 − 7xy = 14 (1) 2x2 + 4xy − 2y = 14 (2) x = 2y Trừ theo vế (1) (2) ta có 5x2 − 11xy + 2y = ⇔ y = 5x Với x = 2y thay vào (1) ta có 14y = 14 ⇔ y = ±1 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) (x; y) = (−2; −1) Với y = 5x thay vào (1) ta có −28x2 = 14 (vơ nghiệm) Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) (x; y) = (−2; −1) 5x2 − 10xy + 15y = 45 (1) b) Hệ cho tương đương với 9x2 − 36xy + 45y = 45 (2) x = 5y Trừ theo vế (1) (2) ta có −4x2 + 26xy − 30y = ⇔ x = 2y a) Hệ cho tương đương với Với x = 5y thay vào (1) ta có 90y = 45 ⇔ y = ± √2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = ± √2 ; ± √2 Với y = x thay vào (1) ta có Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = c) Hệ cho tương đương với 95 x = 45 ⇔ x = ± √6 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = ± √6 ; ± √9 19 19 19 √ ; √ 2 , (x; y) = − √2 ; − √2 , (x; y) = √6 ; √9 19 19 (x; y) = − √6 ; − √9 19 19 2x + 2y = (1) x2 y + 2xy + y = (2)  x=y Trừ theo vế (1) (2) ta có 2x3 − x2 y − 2xy + y = ⇔  x = −y y = 2x Với x = y thay vào (1) ta có 4x3 = ⇔ x = √ ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = www.MATHVN.com 22 1 √ ; √ 32 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Với x = −y thay vào (1) ta có = (vơ nghiệm) Với y = 2x thay vào (1) ta có 18x3 = ⇔ x = Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = 1 √ ; √ 32 √ ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = √ ; √ 39 (x; y) = 25x3 − 25x2 y + 25xy − 25y = 325 (1) 13x3 + 13x2 y − 13xy − 13y = 325 (2)  x=y Trừ theo vế (1) (2) ta có 12x3 − 38x2 y + 38xy − 12y = ⇔  x = y x = 3y Với x = y thay vào (1) ta có = 325 (vô nghiệm) Với x = y thay vào (1) ta có 325 y = 325 ⇔ y = ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (3; 2) Với x = y thay vào (1) ta có − 325 y = 325 ⇔ y = −3 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −3) 27 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (3; 2) (x; y) = (−2; −3) d) Hệ cho tương đương với 2 √ ; √ 39 x − x y + xy − y = 13 ⇔ x3 + x2 y − xy − y = 25 Bài tập 2.33 Giải hệ phương trình sau x + y = −1 a) x3 − 3x = y − 3y x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + c) (B-08) x2 + 2xy = 6x + b) (DB-06) d) (D-09) x2 + + y (y + x) = 4y x2 + (y + x − 2) = y x (x + y + 1) − = (x + y) − x2 + = Lời giải a) Xét hệ x + y = −1 (1) Từ (1) ⇒ y = −x − thay vào (2) ta có x3 − 3x = y − 3y (2)  x = −2 x3 − 3x = (−x − 1) − (−x − 1) ⇔ 2x3 + 3x2 − 3x − = ⇔  x = 1 x = −2 Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1; −2) (x; y) = − ; 2 x + + y(y + x) = 4y (1) b) Xét hệ Từ (1) ⇒ x2 + = y(4 − y − x) thay vào (2) ta có (x2 + 1)(y + x − 2) = y (2) y (4 − y − x) (x + y − 2) = y ⇔ y (x + y) − 6(x + y) + = ⇔ y=0 y =3−x Với y = thay vào (1) ta có x2 + = (vơ nghiệm) x=1 x = −2 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 2) (x; y) = (−2; 5) 6x + − x2 (x2 + xy)2 = 2x + (1) c) Hệ cho tương đương với Từ (2) ⇒ xy = thay vào (1) ta có x + 2xy = 6x + (2) Với y = − x thay vào (1) ta có x2 + x − = ⇔ x2 + 6x + − x2 2 = 2x + ⇔ x4 + 12x3 + 48x2 + 64x = ⇔ x=0 x = −4 Với x = thay vào (2) ta có = (vô nghiệm).Với x = −4 thay vào (2) ta có y = 17 Vậy hệ có nghiệm (x; y) = −4; 17 x(x + y + 1) − = (1) d) Xét hệ Từ (1) ⇒ x + y = − thay vào (2) ta có (x + y)2 − x2 + = (2) x −1 x − +1=0⇔ − +2=0⇔ x2 x x x=0 ⇔ 2x2 − 6x + = Với x = thay vào (1) ta có y = 1; x = thay vào (1) ta có y = − Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = 2; − Bài tập 2.34 Giải hệ phương trình sau √ √ x−y = x−y √ a) (B-02) x+y = x+y+2 2xy x2 + y + x+y = √ c) x + y = x2 − y 1 x− x =y− y 2y = x + 6x2 − 3xy + x + y = x2 + y = b) (A-03) d) www.MATHVN.com 23 x=1 x=2 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải √ x − y = x − y (1) √ Điều kiện: x − y ≥ 0, x + y + ≥ a) Xét hệ x + y = x + y + (2) x=y Ta có (1) ⇔ (x − y) = (x − y) ⇔ (x − y) (x − y − 1) = ⇔ x=y+1 √ y≥0 Với x = y thay vào (2) ta có 2y = 2y + ⇔ ⇔ y = ⇒ x = (thỏa mãn) 4y = 2y + √ 2y + ≥ ⇔y= ⇒x= Với x = y + thay vào (2) ta có 2y + = 2y + ⇔ 4y + 4y + = 2y + Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = ; 2 1 x − x = y − y (1) Điều kiện: x = 0, y = b) Xét hệ 2y = x3 + (2) y=x Ta có (1) ⇔ x2 y − y = xy − x ⇔ xy (x − y) + x − y = ⇔ (x − y) (xy + 1) = ⇔ y = −x x=1 √ Với y = x thay vào (2) ta có 2x = x3 + ⇔ x = −1± √ √ √ −1± −1± ; 2 Suy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = Với y = −x thay vào (2) ta có −x Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = c) Xét hệ (thỏa mãn) = x3 + ⇔ x4 + x + = ⇔ x2 − √ √ −1± −1± ; 2 2 + x+ 2 + = (vô nghiệm) 2xy x+y x +y + = (1) √ Điều kiện: x + y > Ta có x + y = x − y (2) (1) ⇔ (x + y) − 2xy (x + y) + 2xy = x + y ⇔ (x + y) (x + y) − − 2xy (x + y − 1) = ⇔ (x + y − 1) [(x + y) (x + y + 1) − 2xy] = ⇔ (x + y − 1) x2 + y + x + y = ⇔ y =1−x x2 + y + x + y = (vô nghiệm) x=1 x = −2 Với y = − x thay vào (2) ta có x2 + x − = ⇔ Vậy hệ có hai nghiệm (1; 0) (−2; 3) 6x2 − (3y − 1)x + y − = (1) d) Hệ cho tương đương với x2 + y = (2) 2 Xét phương trình (1) có ∆ = (3y − 1) − 24 (y − 1) = 9y − 30y + 25 = (3y − 5) x= x = 3y−1−3y+5 12 Do (1) ⇔ 3y−1+3y−5 ⇔ x = (y − 1) x= 12 √ + y2 = ⇔ y = ± Với x = thay vào (2) ta có Với x = (y − 1) thay vào (2) ta có Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = √ 2 3; y − 2y + + y = ⇔ , (x; y) = √ 2 3; − y=1 y = −3 , (x; y) = (0; 1) (x; y) = − ; − Bài tập 2.35 Giải hệ phương trình sau xy + x + y = x2 − 2y x4 − x3 y − x2 y = √ √ a) (DB-07) b) (D-08) x y − x − xy = −1 x 2y − y x − = 2x − 2y x3 + 2y = x2 y + 2xy xy + x − = c) (D-2012) d) 2 2x − x y + x + y − 2xy − y = x2 − 2y − + y − 14 = x − Lời giải a) Xét hệ x4 − x3 y − x2 y = (1) x3 y − x2 − xy = −1 (2) Ta có (2) ⇔ x2 (xy − 1) = xy − ⇔ (xy − 1) x2 − = ⇔ x = ±1 y=x y=0 Với x = −1 thay vào (1) ta có y − y = ⇔ y = −1 √ thay vào (1) ta có x4 − x2 − = ⇔ x2 = ⇔ x = ± ⇒ y = ± √2 Với x = thay vào (1) ta có y + y = ⇔ Với y = x www.MATHVN.com 24 y=0 y=1 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Vậy hệ có sáu nghiệm x=1 , y=0 x = −1 , y=0 x=1 , y = −1 √ x = √2 y= x = −1 , y=1 x = √2 y = − √2 xy + x + y = x2 − 2y (1) √ √ Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ x 2y − y x − = 2x − 2y (2) Ta có (1) ⇔ y (x + y) + x + y = (x − y) (x + y) ⇔ (x + y) (y + − x + y) = ⇔ x = 2y + Với x = 2y + thay vào (2) ta có b) Xét hệ (2y + 1) 2y − y 2y = 2y + ⇔ (y + 1) 2y = (y + 1) ⇔ 2y = ⇔ y = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (5; 2) xy + x − = (1) c) Xét hệ 2x3 − x2 y + x2 + y − 2xy − y = (2) Ta có (2) ⇔ 2x x2 − y − y x2 − y + x2 − y = ⇔ x2 − y (2x − y + 1) = ⇔ y = x2 y = 2x + Với y = x2 thay vào (1) ta có x3 + x − = ⇔ x = ⇒ y = 1.√ √ Với y = 2x + thay vào (1) ta có 2x2 + 2x − = ⇔ x = −1± ⇒ y = ± √ √ √ √ Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) , (x; y) = −1+ ; (x; y) = −1− ; − 2 x3 + 2y = x2 y + 2xy (1) Điều kiện: x2 ≥ 2y + x2 − 2y − + y − 14 = x − (2) x=y Ta có (1) ⇔ x2 (x − y) = 2y (x − y) ⇔ (x − y) x2 − 2y = ⇔ x2 = 2y (loại) √ √ Với x = y thay vào (2) ta có x2 − 2x − + x3 − 14 = x − (*) √ √ Đặt x2 − 2x − = u ≥ 0, x3 − 14 = v ⇒ v − 6u2 = (x − 2) d) Xét hệ Phương trình (*) trở thành v − 6u2 = (2u + v) ⇔ 2u u2 + 3(u + v) + 3u = ⇔ u = ⇒ x = ± √ √ √ √ Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = + 2; + (x; y) = − 2; − Bài tập 2.36 Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = a) x3 + y = x + 3y x3 − 8x = y + 2y c) (DB-06) x2 − = y + √ x3 + 2xy + 12y = 8y + x2 = 12 2 5x y − 4xy + 3y − (x + y) = d) (A-2011) xy x2 + y + = (x + y) b) Lời giải x2 + y + xy = (1) x3 + y = x + 3y (2) Thay (1) vào (2) ta có x3 + y = x2 + y + xy (x + 3y) ⇔ 4x2 y + 4xy + 2y = ⇔ y = x2 = Với y = thay vào hệ ta có ⇔ x = ±1 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) = (−1; 0) x3 = x x3 + 2xy + 12y = (1) b) Xét hệ 8y + x2 = 12 (2) Thay (2) vào (1) ta có x3 + 2xy + 8y + x2 y = ⇔ x3 + x2 y + 2xy + 8y = (*) Nhận thấy y = nghiệm hệ Với y = 0, chia hai vế phương trình (*) cho y ta có a) Xét hệ x y + x y +2 x x + = ⇔ = −2 ⇔ x = −2y y y Với x = −2y thay vào (2) ta có 12y = 12 ⇔ y = ±1 ⇒ x = Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; −1) (x; y) = (−2; 1) 3x3 − 3y = (4x + y) (1) x3 − y = (4x + y) ⇔ c) Hệ cho tương đương với 2 x − 3y = x2 − 3y = (2) Thay (2) vào (1) ta có 3x3 − 3y = x2 − 3y (4x + y) ⇔ x3 + x2 y − 12xy = (*) Nhận thấy x = nghiệm hệ Với x = 0, chia hai vế phương trình (*) cho x3 ta có 1+ y y − 12 x x y x y x =0⇔ =1 = −1 ⇔ x = 3y x = −4y Với x = 3y thay vào (2) ta có 6y = ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±3 Với x = −4y thay vào (2) ta có 13y = ⇔ y = ± 13 ⇒x= Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 3) , (x; y) = (−1; −3) , (x; y) = www.MATHVN.com 25 14 13 ; −4 13 (x; y) = − 13 ; 13 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu d) Xét hệ 5x2 y − 4xy + 3y − (x + y) = (1) xy x2 + y + = (x + y) (2) x= y x2 + y = Với x = y thay vào (1) ta có y − 6y + 3y = ⇔ 3y − 6y + = ⇔ y = ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±1 Với x2 + y = (3) thay vào (1) ta có Ta có (2) ⇔ xy x2 + y + = x2 + y + 2xy ⇔ x2 + y (xy − 1) = (xy − 1) ⇔ 5x2 y − 4xy + 3y − x2 + y (x + y) = ⇔ x3 − 4x2 y + 5xy − 2y = (*) Nhận thấy y = nghiệm hệ Với y = 0, chia hai vế phương trình (*) cho y ta có x y −4 x y +5 x y x y x −2=0⇔ y =1 ⇔ =2 x=y x = 2y Với x = y thay vào (3) ta có 2y = ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±1 Với x = 2y thay vào (3) ta có 5y = ⇔ y = ± ⇒ x = ±2 Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 1), (x; y) = (−1; −1), (x; y) = Bài tập 2.37 Giải hệ phương trình sau xy + x + = 7y a) (B-09) x2 y + xy + = 13y 8x3 y + 27 = 9y c) 4x2 y + 6x + y = 5; (x; y) = −2 5; − 2x2 + x − y = y − y x − 2y = −2 x3 − y = x2 + 2y = x − 4y b) d) Lời giải a) Nhận thấy y = nghiệm hệ Với y = 0, hệ cho tương đương với x+ x + y =7 y ⇔ x2 + x + y12 = 13 y x+ y x+ + y x y =7 − x y = 13 S + P = (1) S − P = 13 (2) S=4 Từ (1) ⇒ P = − S thay vào (2) ta có S − (7 − S) = 13 ⇔ S = −5 x+ y =4 x=1 x=3 Với S = ⇒ P = ⇒ ⇔ x y=1 =3 y=1 y Với S = −5 ⇒ P = 12 (khơng thỏa mãn) Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = 1; (x; y) = (3; 1) 1 2x + x − y = 2x2 + x − y = (1) b) Điều kiện: y = Hệ cho tương đương với ⇔ 2 y − x − = − y2 y + y − x = (2) =x 1 Trừ theo vế (1) (2) ta có 2x2 − y22 + 2x − y = ⇔ x − y x+ y +1 =0⇔ y y = −x − 1 Với y = x thay vào (1) ta có 2x2 = ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±1 Đặt x + Với y y = S, x = P (S ≥ 4P ) Hệ trở thành y √ √ −1± ⇒ y = −1 √ √ (−1; −1) , (x; y) = −1+ ; −1− 2 = −x − thay vào (1) ta có 2x2 + 2x − = ⇔ x = Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (x; y) = 3 c) Nhận thấy y = nghiệm hệ Với y = 0, hệ cho tương đương với √ √ −1− −1+ ; 2 8x y + 27 = 9y (1) 36x2 y + 54xy = −9y (2) Cộng theo vế (1) (2) ta có 8x3 y + 36x2 y + 54xy + 27 = ⇔ xy = − Với xy = − thay vào (1) ta có = 9y ⇔ y = (không thỏa mãn) Vậy hệ cho vô nghiệm x3 − y = (1) d) Hệ cho tương đương với 3x2 + 6y = 3x − 12y (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có 3 x3 − 3x2 + 3x − = y + 6y + 12y + ⇔ (x − 1) = (y + 2) ⇔ y = x − Với y = x − thay vào (2) ta có 3x2 + 6(x − 3) = 3x − 12 (x − 3) ⇔ 9x2 − 27x + 18 = ⇔ Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; −2) (x; y) = (2; −1) www.MATHVN.com 26 x=1 x=2 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Bài tập 2.38 Giải hệ phương trình sau x (3x + 2y) (x + 1) = 12 a) x2 + 2y + 4x − = √ 2x + y = − 2x − y c) (CĐ-2010) x2 − 2xy − y = x2 + y = √ √ e) y − (x + y − 1) = (y − 2) x + y √ xy x √+ y − √ = x+1+ y+1=4 √ √ 2x + y + − x + y = d) (DB-05) 3x + 2y = x2 + y + x3 y + xy + xy = − f) (A-08) x + y + xy (1 + 2x) = − b) Lời giải (3x + 2y) x2 + x = 12 x2 + x + 3x + 2y = SP = 12 S=2 S=6 Đặt 3x + 2y = S, x2 + x = P , hệ trở thành ⇔ S+P =8 P =6 P =2   3x + 2y = x = −3 S=2 3x + 2y = x=2 x=2 Với ⇒ ⇔ ⇔ P =6 x +x=6 y = −2 y = 11  x = −3   3x + 2y = x=1 x = −2 S=6 3x + 2y = x=1 Với ⇒ ⇔ ⇔ y=4 P =2 x2 + x = y = −2  x = −2 Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (2; −2) , (x; y) = −3; 11 , (x; y) = 1; − (x; y) = (−2; 4) 2 √ x+y− √ =3 xy b) Điều kiện: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ Hệ cho tương đương với x + y + x + y + xy + = 14 S − P√ = (1) √ Đặt x + y = S, xy = P (P ≥ 0), hệ trở thành S + S + P + = 14 (2) Từ (1) ⇒ S = P + thay vào (2) ta có a) Hệ cho tương đương với P + + P + + P + = 14 ⇔ ⇔ P + P + = 11 − P P ≤ 11 ⇔ P + P + = 121 − 22P + P P =3 P = − 35 (loại) x=3 x+y =6 √ ⇔ Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 3) xy = y=3 √ 2x + y = − (2x + y) (1) c) Hệ cho tương đương với x2 − 2xy − y = (2) √ t=1 Đặt 2x + y = t (t ≥ 0) Phương trình (1) trở thành 2t = − t2 ⇔ t = −3 (loại) x=1 Với t = ⇒ y = − 2x thay vào (2) ta có x2 − 2x (1 − 2x) − (1 − 2x) = ⇔ x = −3 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; −1) (x; y) = (−3; 7) √ √ u − v = (1) d) Đặt 2x + y + = u, x + y = v (u, v ≥ 0) ⇒ 3x + 2y = u2 + v − Hệ cho trở thành u2 + v = (2) v=1 Từ (1) ⇒ u = v + thay vào (2) ta có (v + 1) + v = ⇔ v = −2 (loại) √ 2x + y + = x=2 √ Với v = ⇒ u = ⇒ ⇔ Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; −1) x+y =1 y = −1 x2 + y = (1) √ √ e) Điều kiện: y ≥ 1, x + y ≥ Xét hệ y − (x + y − 1) = (y − 2) x + y (2) √ √ Đặt y − = u, x + y = v (u, v ≥ 0) Phương trình (2) trở thành Với P = ⇒ S = ⇒ u v − = u2 − v ⇔ uv (u − v) + u − v = ⇔ (u − v) (uv + 1) = ⇔ u = v Với u = v ⇒ y − = x + y ⇔ x = −1 Với x = −1 thay vào (1) ta có + y = ⇔ y=2 y = −2 (loại) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (−1; 2) x2 + y + xy x2 + y + xy = − f) Hệ cho tương đương với x + y + xy = − S + P S + P = − (1) Đặt x2 + y = S, xy = P , hệ trở thành S2 + P = − (2) Từ (2) ⇒ P = −S − thay vào (1) ta có S + −S − S − S2 − www.MATHVN.com 27 5 = −4 ⇔ S=0 S = −2 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Với S = ⇒ P = −5 ⇒ x2 + y = ⇔ xy = − x2 + y = − xy = − Với S = − ⇒ P = − ⇒ 2 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = √ 10 ;− √ 100 √ 10 x = 2√ y = − 100 x=1 ⇔ y = −2 (x; y) = 1; − Bài tập 2.39 Giải hệ phương trình sau √ √ √ √ x − − y = − x3 x + 10 + y − = 11 √ √ a) b) x − + y + 10 = 11 (x − 1) = y √ 4x2 + x + (y − 3) − 2y = x3 − 3x2 − 9x + 22 = y + 3y − 9y √ c) (A-2012) d) (A-2010) x2 + y − x + y = 4x2 + y + − 4x = Lời giải √ √ √x + 10 + y − = 11 (1) √ a) Điều kiện: x, y ≥ Xét hệ x − + y + 10 = 11 (2) √ √ √ √ Trừ theo vế (1) (2) ta có x + 10 − x − = y + 10 − y − (*) √ √ Xét hàm số f (t) = t + 10 − t − [1; +∞) có f (t) = 2√t+10 − 2√1 < 0, ∀t ∈ (1; +∞) t−1 Suy f (t) nghịch biến [1; +∞) Do (∗) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y Với x = y thay vào (1) ta có √ ⇔ x + 10 + √ x − = 11 ⇔ x + 10 + x − + x2 + 9x − 10 = 56 − x ⇔ (x + 10) (x − 1) = 121 x ≤ 56 ⇔ x = 26 (thỏa mãn) x2 + 9x − 10 = (56 − x) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (26; 26) √ √ x − − y = − x3 (1) b) Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ Xét hệ (x − 1) = y (2) √ √ Thay (2) vào (1) ta có x − − (x − 1) = − x3 ⇔ x − + x3 − x2 + 2x − = (*) Nhận thấy x = nghiệm phương trình (*) √ Xét hàm số f (x) = x − + x3 − x2 + 2x − [1; +∞) có f (x) = 2√x−1 + 3x2 − 2x + > 0, ∀x ∈ (1; +∞) Suy f (x) đồng biến [1; +∞) Do (*) có nghiệm x = ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) c) Hệ cho tương đương với (x − 1) − 12 (x − 1) = (y + 1) − 12 (y + 1) (1) 2 (2) x− + y+ =1 2 −1 ≤ x − ≤ −3 ≤ x − ≤ 2 ⇔ −1 ≤ y + ≤ −1 ≤ y + ≤ 2 Xét hàm số f (t) = t3 − 12t − ; có f (t) = 3t2 − 12 < 0, ∀t ∈ − ; 2 Suy f (t) nghịch biến − ; Do (1) ⇔ f (x − 1) = f (y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − 2 x= 2 Với y = x − thay vào (2) ta có x − + x − = ⇔ 4x2 − 8x + = ⇔ x= 3 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = ; − (x; y) = ; − √ 4x2 + 2x √ (6 − 2y) − 2y (1) = d) Điều kiện: x ≤ , y ≤ Hệ cho tương đương với 4x2 + y + − 4x = (2) √ Đặt − 2y = u (u ≥ 0), phương trình (1) trở thành 4x2 + 2x = u2 + u ⇔ (2x) + 2x = u3 + u (*) Xét hàm số f (t) = t3 + t [0; +∞) có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ [0; +∞) √ x≥0 Suy f (t) đồng biến [0; +∞) Do (∗) ⇔ f (2x) = f (u) ⇔ 2x = u ⇒ 2x = − 2y ⇔ y = 5−4x 2 √ √ 2 Với y = 5−4x thay vào (2) ta có 4x2 + 5−4x + − 4x − = ⇔ 4x4 − 6x2 + − 4x − = (**) 2 Từ (2) suy Nhận thấy x = nghiệm phương trình (**) √ Xét hàm số f (x) = 4x4 − 6x2 + − 4x − 0; 4 4 Ta có f (x) = 16x3 − 12x − √3−4x = 4x 4x2 − − √3−4x < 0, ∀x ∈ 0; ⇒ f (x) đồng biến 0; Do phương trình (**) có nghiệm x = ⇒ y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = ; www.MATHVN.com 28 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §4 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số √ Bài tập 2.40 Tìm m để phương trình m − x2 − 3mx + m + = a) Có nghiệm b) Vơ nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu √ √ √ Lời giải Với m = 5, phương trình trở thành −3 5x + + = √ √ √ √ Với m = 0, ta có ∆ = 9m2 − m − (m + 1) = 5m2 + − m + > 0, ∀m = a) Phương trình có nghiệm với m ∈ R b) Khơng có giá trị m để phương trình vơ nghiệm √ √ c) Phương trình có hai nghiệm trái dấu m − (m + 1) < ⇔ −1 < m < Bài tập 2.41 Tìm m để phương trình x2 + (m + 1) x + 9m − = có hai nghiệm âm phân biệt Lời giải Ta có ∆ = (m + 1) − (9m − 5) = m2 − 7m + Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt    m>6    ∆ >0  m − 7m + >  m0 9m − >  m> Vậy với m ∈ 9; ⇔ m>6 0    20 m>2  m−2 >   m < −3 Vậy với m ∈ (−∞; −3) ∪ (2; 6) phương trình cho có hai nghiệm dương phân biệt Bài tập 2.43 Tìm m để phương trình (m − 2) x4 − (m + 1) x2 + 2m − = a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt Lời giải Với m = phương trình có hai nghiệm phân biệt Với m = 0, đặt x2 = t ≥ phương trình trở thành (m − 2) t2 − (m + 1) t + 2m − = Đặt f (t) = (m − 2) t2 − (m + 1) t + 2m − có ∆ = (m + 1) − (m − 2) (2m − 1) = −m2 + 7m − f (t) có nghiệm kép a) Phương trình cho có nghiệm ⇔ f (t) có nghiệm nghiệm âm −m2 + 7m − =    2m − = ⇔   −m2 + 7m − >   2m − =  2(m+1) m−2 <   ∆ =0    f (0) = ⇔  ∆ >0   f (0) =  S0 P 2m−1 m−2 <  m=2 √  m = 7+3 ⇔ 2 m>2 7+3 2(m+1) S>0 ⇔ ⇔ ⇔2    2m−1  P >0  >0 m>2  m−2  m< √ Vậy với m ∈ 2; 7+3 phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt √ √ x √+ y =1 √ có nghiệm x x + y y = − 3m √ √ x+ y =1 √ √ Lời giải Hệ cho tương đương với ⇔ √ √ √ x + y − xy x + y = − 3m √ √ Suy x, y hai nghiệm không âm phương trình t2 − t + m = (*) Do hệ cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm khơng âm    ∆≥0  − 4m ≥ S≥0 ⇔ 1≥0 ⇔ ⇔0≤m≤   P ≥0 m≥0 Bài tập 2.44 (D-04) Tìm m để hệ √ √ x+ y =1 √ xy = m Vậy với m ∈ 0; hệ cho có nghiệm √ √ Bài tập 2.45 Tìm m để bất phương trình 4x − + 16 − 4x ≤ m có nghiệm √ √ Lời giải Xét hàm số f (x) = 4x − + 16 − 4x ; √ √ 2 −√ ; f (x) = ⇔ 4x − = 16 − 4x ⇔ x = Bảng biến thiên: Đạo hàm f (x) = √ 4x − 16 − 4x x + f (x) √ − f (t) √ √ 14 14 Từ bảng biến thiên suy bất phương trình cho có nghiệm m ≥ f (x) ⇔ m ≥ [ ;4] Bài tập 2.46 Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + (x − 3) Lời giải Đặt (x − 3) x+1 x−3 x+1 x−3 √ 14 = m có nghiệm = t (t ∈ R) Phương trình cho trở thành t2 + 4t − m = (*) Phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ m ≥ −4 Vậy với m ≥ −4 phương trình cho có nghiệm √ √ Bài tập 2.47 (DB-07) Tìm m để BPT m x2 − 2x + + + x (2 − x) ≤ có nghiệm thuộc đoạn 0; + √ √ Lời giải Đặt x2 − 2x + = t Với x ∈ 0; + ⇒ t ∈ [1; 2] Bất phương trình cho trở thành m (t + 1) + − t2 ≤ ⇔ m ≤ t2 −2 t+1 t2 − (*) t+1 t2 +2t+2 (t+1)2 > 0, ∀t ∈ [1; 2] ⇒ lim f (t) = f (2) = [1;2] √ Vậy bất phương trình cho có nghiệm 0; + ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm [1; 2] ⇔ m ≤ √ √ √ Bài tập 2.48 (A-07) Tìm m để phương trình x − + m x + = x2 − có nghiệm thực Xét hàm số f (t) = [1; 2] có f (t) = x−1 x+1 Lời giải Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương với −3 Đặt x−1 x+1 +24 x−1 x+1 = m = t Với x ≥ ⇒ t ∈ [0; 1) Phương trình trở thành −3t + 2t = m (*) Xét hàm số f (t) = −3t2 + 2t [0; 1) có f (t) = −6t + 2; f (t) = ⇔ t = Bảng biến thiên: www.MATHVN.com 30 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số t + f (t) − f (t) −1 Vậy phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm [0; 1) ⇔ −1 ≤ m ≤ √ Bài tập 2.49 (B-06) Tìm m để phương trình x2 + mx + = 2x + có hai nghiệm thực phân biệt x ≥ −2 2x + ≥ ⇔ 2 3x2 +4x−1 x + mx + = 4x + 4x + m= x 3x2 + 4x − 3x2 + 1 > 0, ∀x ∈ − ; +∞ \ {0} − ; +∞ \ {0} có f (x) = Xét hàm số f (x) = x x2 Bảng biến thiên: Lời giải Phương trình cho tương đương với −1 x +∞ + f (x) + +∞ +∞ f (x) −∞ Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≥ √ √ √ √ √ Bài tập 2.50 (B-04) Tìm m để PT m + x2 − − x2 + = − x4 + + x2 − − x2 có nghiệm Lời giải Điều kiện: −1 ≤ x ≤ √ √ Đặt + x2 − − x2 = t có t = √ x 1+x2 − √ x ;t 1−x2 = ⇔ x = 0; t(0) = 0, t(±1) = √ √ ⇒ t ∈ [0; 2] +t+2 Phương trình cho trở thành m (t + 2) = −t + t + ⇔ m = −t t+2 (*) √ √ 2 +t+2 Xét hàm số f (t) = −t t+2 [0; 2] có f (t) = −t −4t ≤ 0, ∀t ∈ 0; (t+2)2 √ √ Suy f (t) = f = − 1; max f (t) = f (0) = √ √ [0; 2] [0; 2] √ √ Khi phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm [0; 2] ⇔ − ≤ m ≤ √ √ √ √ Bài tập 2.51 (A-08) Tìm m để phương trình 2x + 2x + − x + − x = m có hai nghiệm phân biệt √ √ √ √ Lời giải Điều kiện: ≤ x ≤ Xét hàm số f (x) = 2x + 2x + − x + − x [0; 6] Ta có f (x) = √ + Đặt √ = u(x), (2x)3 √ (6−x) (2x)3 − √1 2x 1 − √6−x = 2 (6−x)3 1 √ − √6−x = v(x) 2x √1 − √ (2x)3 − √ (6−x)3 + √1 2x − √1 6−x Nhận thấy f (2) = u(x), v(x) dương (0; 2), âm (2; 6) nên ta có bảng biến thiên x + f (x) √ 2+6 − f (x) √ √ 6+2 √ √ 12 + √ √ √ Do phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ + ≤ m < + √ Bài tập 2.52 (DB-07) Tìm m để phương trình x4 − 13x + m + x − = có nghiệm Lời giải Phương trình cho tương đương với x4 − 13x + m = − x ⇔ 1−x≥0 ⇔ x4 − 13x + m = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + x≤1 m = −4x3 + 6x2 + 9x + 1 Xét hàm số f (x) = −4x3 + 6x2 + 9x + [1; +∞) có f (x) = −12x2 + 12x + 9; f (x) = ⇔ x = − Bảng biến thiên www.MATHVN.com 31 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu −1 −∞ x − f (x) + +∞ 12 f (x) −3 Do phương trình cho có nghiệm m > 12 m = − Bài tập 2.53 (B-07) Chứng minh với m > 0, PT x2 + 2x − = m (x − 2) có hai nghiệm phân biệt Lời giải Điều kiện: x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình Với x > 2, phương trình tương đương với x2 + 2x − = m (x − 2) ⇔ x3 + 6x2 − 32 = m Xét hàm số f (x) = x3 + 6x2 − 32 (2; +∞) có f (x) = 3x2 + 12x > 0, ∀x > Bảng biến thiên x +∞ + f (x) +∞ f (x) Từ bảng biến thiên ta thấy với m > phương trình ln có nghiệm (2; +∞) Vậy với m > phương trình cho có hai nghiệm Bài tập 2.54 Chứng minh với m, phương trình x4 + x3 − 2x2 + 3mx − m2 = ln có nghiệm Lời giải Phương trình cho tương đương với m2 − 3xm − x4 − x3 + 2x2 = (*) Ta có ∆ = 9x2 − −x4 − x3 + 2x2 = 4x4 + 4x3 + x2 = 2x2 + x Do (∗) ⇔ m= m= 3x+2x2 +x 3x−2x2 −x ⇔ m = x2 + 2x ⇔ m = x − x2 x2 + 2x − m = (1) x2 − x + m = (2) ∆1 = + 4m ≥ ⇔ ∆2 = − 4m ≥ (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm với m Phương trình cho có nghiệm ⇔ Bài tập 2.55 (DB-04) Tìm m để hệ x2 − 5x +√ ≤ có nghiệm 3x2 − mx x + 16 = Lời giải Hệ cho tương đương với m ≥ −1 ⇔ m ∈ R m≤ 1≤x≤4 +16 m = 3x √x x √ x x2 − 16 3x2 + 16 √ [1; 4] có f (x) = Xét hàm số f (x) = ≤ 0, ∀x ∈ [1; 4] 2x5 x x Suy max f (x) = f (1) = 19; f (x) = f (4) = Do hệ cho có nghiệm ⇔ ≤ m ≤ 19 [1;4] x→∞ Bài tập 2.56 (D-2011) Tìm m để hệ 2x3 − (y + 2) x2 + xy = m có nghiệm x2 + x − y = − 2m x2 − x (2x − y) = m x2 − x + 2x − y = − 2m uv = m (1) Đặt x2 − x = u, 2x − y = v (u ≥ − ) Hệ trở thành u + v = − 2m (2) Từ (2) ⇒ v = − 2m − u thay vào (1) ta có u (1 − 2m − u) = m ⇔ m = −u +u 2u+1 √ −u2 + u 2u2 + 2u − −1 + Xét hàm số f (u) = có f (u) = ; f (u) = ⇔ u = Bảng biến thiên: 2u + (2u + 1) Lời giải Hệ cho tương đương với x √ −1+ −1 + f (x) +∞ − √ 2− f (x) −5 −∞ www.MATHVN.com 32 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số √ Vậy hệ cho có nghiệm m ≤ 2−2 √ √ Bài tập 2.57 Tìm m để hệ − x2 + − x2 = m có nghiệm Lời giải Nhận thấy x0 nghiệm phương trình −x0 nghiệm phương trình Do giả sử phương trình có nghiệm √ nghiệm ⇒ m = √ Với m = phương trình trở thành − x2 + − x2 = (*) √ √ Đặt − x2 = t (t ≥ 0) Phương trình (*) trở thành t3 + 2t2 − = ⇔ t = ⇒ − x2 = ⇔ x = Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x = Bài tập 2.58 Tìm m để hệ x = y2 − y + m có nghiệm y = x2 − x + m x = y − y + m (1) y = x2 − x + m (2) Nhận thấy hệ có nghiệm (x; y) có nghiệm (y; x) Do hệ có nghiệm x = y, thay vào (1) ta có x2 − 2x + m = (*) Vậy hệ có nghiệm (*) có nghiệm kép ⇔ − m = ⇔ m = Lời giải Xét hệ www.MATHVN.com 33 ... = ⇒ y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = ; www.MATHVN.com 28 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §4 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham... Bảng biến thi? ?n: www.MATHVN.com 30 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số t + f (t) − f (t) −1 Vậy phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có... www.MATHVN.com 20 + √ x+6+ √ x − > www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Do phương trình cho vơ nghiệm d) Phương trình tương đương với (5x − 2) (x2 + x + 1)

Ngày đăng: 24/01/2014, 19:53

Hình ảnh liên quan

a) Ta có bảng xét dấu - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

a.

Ta có bảng xét dấu Xem tại trang 1 của tài liệu.
Ta có bảng xét dấu - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

a.

có bảng xét dấu Xem tại trang 2 của tài liệu.
Ta có bảng xét dấu - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

a.

có bảng xét dấu Xem tại trang 2 của tài liệu.
a) Ta có bảng xét dấu - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

a.

Ta có bảng xét dấu Xem tại trang 8 của tài liệu.
§2. Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

2..

Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn Xem tại trang 9 của tài liệu.
c) Ta có bảng xét dấu - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

c.

Ta có bảng xét dấu Xem tại trang 9 của tài liệu.
c) Bất phương trình tương đương với 6x −9 x2 &lt; 27x 3⇔ 27x 3+ 9x2 − 6x &gt; 0. Ta có bảng xét dấu - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

c.

Bất phương trình tương đương với 6x −9 x2 &lt; 27x 3⇔ 27x 3+ 9x2 − 6x &gt; 0. Ta có bảng xét dấu Xem tại trang 10 của tài liệu.
Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm m≥ min [1 - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

b.

ảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm m≥ min [1 Xem tại trang 30 của tài liệu.
4. Bảng biến thiên: - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

4..

Bảng biến thiên: Xem tại trang 30 của tài liệu.
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔m 9 2 . - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

b.

ảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔m 9 2 Xem tại trang 31 của tài liệu.
Nhận thấy f (2) =0 và u(x), v(x) cùng dương trên (0; 2), cùng âm trên (2; 6) nên ta có bảng biến thiên - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

h.

ận thấy f (2) =0 và u(x), v(x) cùng dương trên (0; 2), cùng âm trên (2; 6) nên ta có bảng biến thiên Xem tại trang 31 của tài liệu.
2. Bảng biến thiên: - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

2..

Bảng biến thiên: Xem tại trang 32 của tài liệu.
Từ bảng biến thiên ta thấy với mọ im &gt; thì phương trình luôn có đúng một nghiệm trên (2; +∞) - chuyên đề hệ phương trình - phương trình -bất phương trình 
rất hữu ích cho các bạn ôn thi đại học

b.

ảng biến thiên ta thấy với mọ im &gt; thì phương trình luôn có đúng một nghiệm trên (2; +∞) Xem tại trang 32 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan