Lý thuyết và đề thi môn đại số tuyến tính

Lý thuyết và đề thi môn đại số tuyến tính, Toán cao cấp

TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 1 Phần 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I. KHÔNG GIAN VECTƠ I. Phép toán 2 ngôi : 1. Đònh nghóa : Ánh xạ f : A x A → A được gọi là một phép toán 2 ngôi trên A. (a, b) → c = f(a, b) Ví dụ : 2 phép cộng, nhân thông thường là một phép toán 2 ngôi trên  . Ví dụ : (♣ ) :  2 →  được đònh nghóa a♣ b = a 2 − b 2 + 5ab là 1 phép toán 2 ngôi. Với phép toán (♣ ) như trên ta có 3 ♣ ( − 6) = 3 2 − ( − 6) 2 + 5(3)( − 6) = − 117. 2. Các tính chất : i) Phép toán 2 ngôi T trên A được gọi là có tính giao hoán nếu a T b = bTa,∀a, b∈A. ii) Phép toán 2 ngôi trên A gọi là có tính kết hợp nếu (aTb)Tc = a T(bTc), ∀a,b∈A. iii) Cho * và T là 2 phép tính 2 ngôi trên A Phép * gọi là có tính chất phân bố đối với phép T nếu : ∗ = ∗   ∗ = ∗ ∗ ∀ ∈  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , a bTc a b T aTc bTc a b a T c a a b c A 3. Các phần tử đặc biệt : Cho phép tính 2 ngôi * trên A. Ta có i) e gọi là phần tử trung hòa của phép toán * trên A nếu e * a = a * e, ∀a ∈ A. ii) Cho a ∈ A, a − 1 gọi là phần tử đáo của a nếu a * a − 1 = a − 1 * a = e Ví dụ : Trên  phép nhân phân bố đối với phép + : a.(b+c) = ab + a.c + Phân tử trung hòa của phép + là 0 và của phép × là 1. + Đối với phép + thì ∀a ∈  ta có phần tử đảo (đối) là − a. + Đối với phép × thì ∀a ∈  , a ≠ 0 ta có phần tử đảo (đối) là a − 1 = 1 a . II. Cấu trúc trường : Cho tập K với 2 phép toán 2 ngôi + và ., ta có Cấu trúc đại số (K, +, . ) được gọi là 1 trường nếu : 1) (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ K. 2) ∃ 0 ∈ K : 0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∈ K. 3) ∀ a ∈ K, ∃ − a ∈ K : a + ( − a) = − a + a = 0. 4) ∀ a, b ∈ K : a + b = b + a 5) ∀ a, b, c ∈ K : (a.b).c = a.(b.c) 6) ∃ 1 ∈ K : 1.a = a.1 = a, ∀ a ∈ K Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 2 7) ∀ a ∈ K ∗ , ∃ a − 1 : a.a − 1 = a − 1 .a = 1 8) ∀ a, b ∈ K : a.b = b.a 9) ∀ a, b, c ∈ K ta có : a. (b + c) = a.b + a.c Ví dụ :(  , +, .) không là trường vì ∃ 3 ∈ Z không có phần tử đảo ∉  1 3 ; (  , +, .) ; (  , +, .) là 1 trường. III. Đònh nghóa không gian vectơ : (không gian tuyến tính) Cho trường K và tập V ≠∅ , phép + là phép toán 2 ngôi trên V phép. là 1 ánh xạ từ KxV → V, ∀ k ∈ K, ∀ x ∈ V ⇒ k.x ∈ V. V được gọi là 1 không gian vectơ trên trường K nếu có tính chất sau thỏa i) x + y = y + x, ∀ x, y ∈ V ii) (x + y) + z = x + (y + z), ∀ x, y, z ∈ V iii) ∃ θ ∈ V : x + θ = x, ∀ x ∈ V iv) ∀ x ∈ V, ∃ − x : x + ( − x) = θ v) ∃ 1 ∈ K : 1.x = x, ∀ x ∈ V vi) α ( β x) = ( αβ ).x, ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V vii) ( α + β )x = α x + β x, ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V. viii) α (x + y) = α x + α y, ∀α ∈ K, ∀ x, y ∈ V mỗi phần tử của không gian vectơ V được gọi là 1 vectơ. Ví dụ : i)Tập tất cả vectơ trong  3 là 1 không gian vectơ trên trường R. ii) Cho  n = { (x 1 , x 2 , , x n ) / x i ∈  } là 1 không gian vectơ trên trường  với 2 phép tính (x 1 , x 2 , , x n ) + (y 1 , y 2 , , y n ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ) ∀α∈ R, ∀ x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n α .x = ( α x 1 , α x 2 , , α x n ). IV. Tính chất : Cho không gian vectơ V trên trường K ta có : 1) Vectơ θ là duy nhất 2) ∀ x ∈ V, ∃ ! ( − x) ∈ V thỏa x + ( − x) = θ 3) 0 ∈ K, 0. x = θ , ∀ x ∈ V 4) α . θ = θ , ∀α ∈ K. 5) − x = ( − 1).x , ∀ x ∈ V. V. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính : 1. Đònh nghóa : Cho V là không gian vectơ trên trường K và x 1 , x 2 , , x m ∈ V. i) y = α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α m x m = α = ∑ 1 m i i i x , α i ∈ K, được gọi là tổ hợp tuyến tính của x 1 , x 2 , , x m . ii) x 1 , x 2 , , x m gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu ∃ ( α 1 , α 2 , , α m ) ≠ (0, 0, , 0) ( α i ∈ K) sao cho α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α m x m = θ ( α = ∑ 1 m i i i x = θ ). TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 3 Tập M = { x 1 , x 2 , , x m } gồm các vectơ phụ thuộc tuyến tính gọi là tập phụ thuộc tuyến tính. iii) x 1 , x 2 , , x m gọi là độc lập tuyến tính nếu chúng không phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác x 1 , x 2 , , x m là độc lập tuyến tính nếu α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α m x m = θ ⇒ α i = 0, ∀ i = 1,m . * Nếu x 1 , x 2 , , x m độc lập tuyến tính thì T = { x 1 , x 2 , , x m } gọi là tập độc lập tuyến tính. Ví dụTrong  3 cho u = ( − 3, 0, 1), v = (0, − 1, 1), z = (1, 1, 0), y = ( − 2, 1, 1). Ta có : a) z = 3u − y + v = 3 ( − 3, 0, 1) − ( − 2, 1, 1) + (0, − 1, 1) = ( − 7, − 2, 3) là 1 tổ hợp tuyến tính của u, y, v. b) { u, v, z } là độc lập tuyến tính vì giả sử α u + β v + γ z = θ ⇒ ( − 3 α , 0, α ) + (0, − β , β ) + ( γ , γ , 0) = (0, 0, 0) ⇒ α γ β γ α β      -3 + =0 - + =0 + =0 ⇒ α = β = γ = 0 c) Ta có : u + z − y = θ ⇒ u, z, y là phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét : Tập M gồm 1 vectơ M { x } là phụ thuộc tuyến tính ⇔ x = θ (và độc lập tuyến tính ⇔ x ≠ θ ) 2. Đònh lý : Cho không gian V trên trường K i) Tập con của 1 tập độc lập tuyến tính là độc lập tuyến tính nói cách khác : D ⊂ A ⊂ V và A độc lập tuyến tính. ⇒ D độc lập tuyến tính cách nói khác : D ⊂ A ⊂ V và D phụ thuộc tuyến tính ⇒ A phụ thuộc tuyến tính. ii) với m>1, ta có + x 1 , x 2 , , x m phụ thuộc tuyến tính ⇔ ∃ x j : x j = α = ≠ ∑ 1 m i i i i j x + x 1 , x 2 , , x m phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 vectơ là tổ hợp tuyến tính của những vectơ còn lại. 3. Hệ quả : mọi tập chứa vectơ θ đều phụ thuộc tuyến tính : 0.x 1 +0.x 2 + +0.x m +1. θ = θ VI. Cơ sở, số chiều : 1. Đònh nghóa : i) Cho không gian V trên trường K, M ⊂ V. Ta nói M là tập sinh của V nếu mọi vectơ trong V đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong M. ( ∀ x ∈ V ⇒ x = α = ∑ 1 n i i i v , α i ∈ K, v i ∈ M). Lúc đó ta nói V sinh bởi M. ii) Không gian V được gọi là hữu hạn chiều nếu V có 1 tập sinh hữu hạn. (Ở đây, ta chỉ khảo sát không gian hữu hạn chiều). Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 4 iii) V ⊃ B = { u 1 , u 2 , u 3 , , u n } được gọi là 1 cơ sở của V nếu B độc lập tuyến tính và B sinh ra V. Ví dụ: B = { e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) , e 3 = (0, 0, 1) } là cơ sở của R 3 vì B độc lập tuyến tính và ∀ x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 ⇒ x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 . H = { u 1 = (1, 3, 0) , u 2 = (0, − 1, 9) , u 3 = (1, 2, 9) } không là cơ sở của R 3 vì H phụ thuộc tuyến tính (do u 3 = u 1 + u 2 ). B = { e 1 , e 2 , e 3 , , e n } với e 1 =(1, 0, 0, , 0), e 2 =(0, 1, 0, , 0), , e n =(0, 0, , 0, 1) là cơ sở của  n vì B độc lập tuyến tính và mọi x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈  n ⇒ x = x 1 .e 1 + x 2 .e 2 + + x n .e n (cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của R n ). 2. Mệnh đề : u 1 , u 2 , , u m là tổ hợp tuyến tính của v 1 , v 2 , , v n và m > n ⇒ u 1 , u 2 , , u m phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác : không có quá n vectơ độc lập tuyến tính là tổ hợp tuyến tính của n vectơ cho trước, cách nói khác : u 1 , u 2 , , u m là tổ hợp tuyến tính của v 1 , v 2 , , v n và u 1 , u 2 , , u m độc lập tuyến tính ⇒ m ≤ n 3. Đònh lý : Mọi cơ sở của cùng 1 không gian vectơ có số phần tử bằng nhau. (B 1 , B 2 là cơ sở của V ⇒ | B 1 | = | B 2 | ). 4. Đònh nghóa:Số vectơ trong 1 cơ sở của không gian V gọi là số chiều của V ký dim V. Ví dụ: dim  n = n. 5. Đònh lý : Cho không gian V với dim V = n. Ta có : i) Mọi tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính của V đều là cơ sở của V. ii) Có thể bổ sung thêm n − k vectơ vào tập gồm k (k < n) vectơ độc lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của V. VII. Tọa độ của 1 vectơ : 1. Đònh nghóa: Cho B = { e 1 , e 2 , , e n } là 1 cơ sở của không gian V, x ∈ V, nếu x= = ∑ 1 n i i i x e = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n thì x = (x 1 , x 2 , x 3 , , x n ) được gọi là tọa độ của x trong cơ sở B (đối với cơ sở B) Ký x = (x 1 , x 2 , x 3 , , x n ) / B hoặc x =               1 2 n B x x x 2. Tính chất : x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ), α x = ( α x 1 , α x 2 , , α x n ) * Khi cho tọa độ của 1 vectơ mà không nói thêm gì là cho tọa độ trong cơ sở chính tắc. Ví dụ : Cho { u 1 = (1, 0, 3), u 2 = (0, 1, − 1), u 3 = (1, 1, 0) } = T TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 5 i) CM T là 1 cơ sở của  3 . Tập T gồm 3 vectơ trong không gian 3 chiều. Do đó để CM T là cơ sở của R 3 ta chỉ cần CM T độc lập tuyến tính. Giả sử α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 = θ ⇒ α α α α α α + =   + =   − =  1 3 2 3 1 2 0 0 3 0 ⇒ α 1 = α 2 = α 3 ⇒ T độc lập tuyến tính. ii) Tìm tọa độ của v = (1, − 2, 5) trong cơ sở được sắp T. Gọi ( β 1 , β 2 , β 3 ) là tọa độ của v trong cơ sở được sắp T. ⇒ v = β 1 u 1 + β 2 u 2 + β 3 u 3 = (1, − 2, 5). ⇔ β β β β β β + =   + = −   − =  1 3 2 3 1 2 1 2 3 5 ⇔ β β β β β β + =   + =   − =  1 3 1 3 1 2 1 3 3 3 5 ⇔ β β β =   = −   =  1 2 3 1 2 0 ⇒ v = (1, − 2, 0) / T Ví dụ :Cho F = { f 1 , f 2 , , f n } ⊂ R n với f 1 = (1, 0, 0, , 0), f 2 = (1, 1, 0, , 0), f 3 = (1, 1, 1, 0, , 0), , f n = (1, 1, 1, , 1). Tìm tọa độ của x = (x 1 , x 2 , , x n ) trong cơ sở F ? VIII. Không gian con - Hạng của hệ vectơ : Cho V là không gian trên trường K. 1. Đònh nghóa : Cho không gian vectơ V trên trường K. W ⊂ V, W ≠ ∅ . W được gọi là không gian con của V nếu đối với 2 phép + và . đã đònh nghóa trên V thì W cũng là 1 không gian vectơ. 2. Đònh lý : W ⊂ V, W ≠ ∅ . W là không gian con nếu : i) ∀ x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W ii) ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ W ⇒ α .x ∈ W. Hệ quả : i) và ii) ⇔ “ ∀α ∈ K, ∀ x, y ∈ W ⇒ α x + y ∈ W“. Ví dụ :V là 1 không gian con của V, {θ} là 1 không gian con của V. Cho W = { (x − y, x + y, 3x) / x, y ∈ R } chứng minh W là 1 không gian con của  3 . Tìm dim W. i) ∀ u = (x − y, x + y, 3x), v = (x’ − y’, x’ + y’, 3x’) ∈ W ⇒ u + v = (x + x’ − y − y’, x “ x’ + y “ y’, 3(x “ x’)) = (x” − y”, x” + y”, 3x”) với x” = x + x’, y” = y+ y’ ⇒ u + v ∈ W ii) ∀α ∈ R, ∀ u = (x − y, x + y, 3x) ∈ W ⇒ α u = ( α x − α y, α x + 2y, 3 α x) ∈ W (hiển nhiên W ≠ ∅ ) i) và ii) ⇒ W là không gian con. Cho x = 1, y = 0 ⇒ u 1 = (1, 1, 3), cho x = 0, y = 1 ⇒ u 2 = ( − 1, 1, 0) hiển nhiên u 1 , u 2 ∈ W và u 1 , u 2 độc lập và ∀ u = (x − y, x + y, 3x) ∈ W. Ta có : u = x.u 1 + y.u 2 ⇒ { u 1 , u 2 } là 1 cơ sở của W ⇒ dim W = 2 Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 6 Ví dụ : Cho S = { u 1 , u 2 , , u m } ⊂ V và T = { 1 m i i i u α = ∑ / α i ∈ K, u i ∈ S } dễ dàng chứng minh được T là không gian con của V. T gọi là không gian con sinh bởi S ký T = < S >. 3. Đònh nghóa : Cho M = { u 1 , u 2 , , u k } ⊂ V và D = { v 1 , v 2 , , v h }⊂ M. D được gọi là tập độc lập tuyến tính tối đại của M nếu mọi phần tử (hay vectơ) trong M đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong D và D độc lập tuyến tính. Nhận xét : i)D 1 và D 2 là 2 tập độc lập tuyến tính tốc đại của M ⇒ | D 1 | = | D 2 | ii) 1 cơ sở của không gian V là 1 tập độc lập tuyến tính tối đại của không gian đó. iii) D là tập độc lập tuyến tính tối đại của M và D có h phần tử ⇒ mọi tập con của M có nhiều hơn h phần tử đều phụ thuộc tuyến tính. 4. Đònh nghóa : Số phần tử của 1 tập độc lập tuyến tính tối đại của M được gọi là hạng của M. 5. Đònh lý : Giả sử M ⊂ V, M có hạng là r ⇒ không gian con sinh bởi M có số chiều là r. ( | M | = r ⇒ dim < M > = r ). CM :Giả sử D là tập con đ lập tuyến tính tối đại của M và | D | = r ⇒ D sinh ra M mà M sinh ra < M > ⇒ D sinh ra < M > ⇒ dim < M > = r. CHƯƠNG II. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC I. Vài khái niệm : 1. Ma trận cỡ m x n trên trường K ( ≡ R) là một bảng hình chữ nhật gồm m dòng và n cột các số trên trường K : A = (a ij ) m x n =               11 12 13 1n 21 22 23 2n 1 m2 m3 mn a a a a a a a a a m a a a Ký A m x n hay A = (a ij ) m x n a ij là phần tử nằm trên dòng i và cột j. i là chỉ số dòng, j là chỉ số cột. 2. Nếu m = n thì ma trận A n x n được gọi là ma trận vuông cấp n. 3. Ma trận đơn vò cấp n là ma trận vuông cấp n thỏa : a ii = 1, ∀ i = 1,n a ij = 0, ∀ i ≠ j ( i = 1,n , j = 1,n ) Ký : I = I n =                 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4. Ma trận chéo là ma trận vuông có a ij = 0, ∀ i ≠ j. TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 7 A = α α α α                 1 2 3 n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.i)Ma trận tam giác trên là ma trận vuông cấp n có a ij = 0, ∀ i > j. A =                   11 12 13 1n 22 23 2n 33 3n nn a a a 0 a a a 0 0 a a 0 0 0 a a ii)Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông cấp n có a ij = 0, ∀ i < j. A = 11 21 22 1 n2 n3 n n 0 0 0 a a 0 0 a a a n a a               6. Ma trận đối xứng là ma trận vuông cấp n có a ij = a ji ∀ i , j = 1,n II. Các phép toán trên ma trận : 1.Ma trận chuyển vò của A là A T =               11 21 n1 12 22 n2 1 2n nn a a a a a a n a a a 2.Ma trận bằng nhau:2 ma trận cùng cỡ gọi là bằng nhau nếu a ij =b ij ∀ i, j. 3.Cho A = (a ij ) m x n và B = (b ij ) m x n , C = (c ij ) m x n = A + B nếu c ij = a ij + b ij ∀ i= 1,m , ∀ j = 1,n . Ví dụ: A =       0 1 3 5 6 9 , B =       -2 8 1 3 2 0 ⇒ A + B =       -2 9 4 8 8 9 4. A = (a ij ) m x n ⇒ α .A = ( α .a ij ) m x n . Ví dụ: A =       1 8 2 0 -3 7 ⇒ − 5A =       -5 -40 -10 0 15 -35 5. Cho A m x n và B n x p ma trận A.B là : C = A.B = (c ij ) m x n với c ij = ∑ n k=1 a ik .b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 8 c ij = (a i1 a i2 a i3 a in )               1 2 j j nj b b b = dòng i của A x cột j của B. Ví dụ: A =       3 2 1 -5 0 4 , B =           1 2 3 -1 5 8 ⇒ A.B =       14 12 15 22 Ghi chú: i) A.B chỉ tồn tại khi số dòng của A = số cột của B. Có khi A.B tồn tại nhưng B.A không tồn tại ii) A.B có số dòng = số dòng của A và số cột = số cột của B. Nhận xét :Tập tất cả ma trận cỡ m x n trên  ký MT m x n (  ) là 1 không gian vectơ trên R có dimMT m x n (  ) = m x n. B = { E 11 , E 12 , , E mn } là 1 cơ sở của U m x n (  ) với E ij =                 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 → dòng i cột j E ij có e ij = 1 và tất cả các phần tử khác đều bằng 0. Ta có 1 số tính chất sau : i) A + B = B + A, A, B là 2 ma trận cùng cỡ ii) (A + B) + C = A + (B + C) , A, B, C là 3 ma trận cùng cỡ ,O +A = A +O = A ,-A+A = O iii) α (A + B) = α A + α B , ( α + β )A = α A + β A iv) (A.B)C = A(B.C), giả sử (A.B)C tồn tại v) A. (B + C) = A.B + A.C vi) (A.B) T = B T .A T , giả sử A.B tồn tại vii) A.I = I.A = A, A, I là 2 ma trận vuông cùng cấp, I là matrận đơn vò viii) Thông thường A.B ≠ B.A III. Đònh nghóa đònh thức : Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta đònh nghóa đònh thức cấp n của ma trận A. Ký  A  hay detA − bằng qui nạp như sau : 1. n = 1 ⇒ A = (a 11 ) ⇒ det A = a 11 2. n = 2 ⇒  A  = det A = 11 12 21 22 a a a a = a 11 a 22 − a 12 a 21 TTLT ĐH Vónh Viễn thân tặng Trang 9 3. n = 3 ⇒ det A = = − + 11 12 13 22 23 21 23 21 22 21 22 23 11 12 13 31 3232 33 31 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a dấu của phần tử a ij theo qui luật : - + ( 1) - + - + - + i j+ +     − →       4. Đònh thức con bù của a ij là đònh thức của ma trận có từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j (bỏ đi dòng và cột chứa a ij ) Ký : M ij = 11 12 1j 1n i1 i2 ij in n1 n2 nj nn a a a a a a a a a a a a dòng i cột j Ví dụ : A = (a ij ) 3 x 3 ⇒ a 12 = 21 23 31 33 a a a a phần bù đại số của a ij ký A ij = ( − 1) i + j M ij . 5. Đònh thức cấp n của ma trận vuông cấp n được đònh nghóa : det A = + = = − = ∑ ∑ 1 1 ( 1) n n i j ij ij ij ij j j a M a A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + a i3 A i3 + + a in A in = ( − 1) i + 1 a i1 M i1 + ( − 1) i + 2 a i2 M i2 + + ( − 1) i + n a in M in Công thức trên được gọi là công thức khai triển theo dòng i. 6. Đònh thức cấp n của ma trận vuông cấp n còn được đònh nghóa : det A = + = = − = ∑ ∑ 1 1 ( 1) n n i j ij ij ij ij i i a M a A = + + + 1 1 2 2 j j j j nj nj a A a A a A = 1+j 2+j n+j 1j 1j 2j 2j nj nj ( -1) a M + ( -1) a M + + ( -1) a M Công thức trên được gọi là công thức khai triển theo cột j. Ghi chú :Đònh thức cấp 3 có thể tính theo qui tắc Sarrus như sau : | A | = 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a aa Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 10 | A | = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 | A | = tổng các tích trên đường chéo chính − tổng các tích trên đường chéo phụ. (Qui tắc Sarrus không còn đúng với đònh thức cấp n ≥ 4). IV. Tính chất của đònh thức : Cho A là ma trận vuông cấp n. 1. Nếu A có 1 dòng (hoặc cột) = 0 thì det A = 0. 2. det A T = det A . Ví dụ : 1 3 0 5 -1 2 0 9 6 = 1 5 0 3 -1 9 0 2 6 3. Đổi chỗ 2 dòng (hoặc cột) thì đònh thức đổi dấu. Ví dụ: a x m b y n c z k = − x a m y b n z c k = − = − b y n z k a x m b y n c z k a x m c Hệ quả:Đònhthức có 2 dòng (hoặc cột) bằng nhau thì bằng 0. 4. Thừa số chung của 1 dòng (hoặc cột) có thể đưa ra ngoài dấu đònh thức. Ví dụ : 5a a' a" 5b b' b" 3c c' c" = 5 a a' a" b b' b" 3 c' c" 5 c A là ma trận vuông cấ n ta có det (k A) = k n det A ka kb kc x y z u v s = k. a b c x y z u v s Hệ quả : Đònh thức có 2 dòng (hoặc cột) tỉ lệ thì bằng 0. Ví dụ : 6 12 -18 1 2 -3 4 5 -12 = 0 Ví dụ : 3a 3b 3c a b c x y z = 0 5. Nếu dòng (hoặc cột) A i của A là A i = α B i + β C i thì det A = D (A 1 , A 2 , , α B i + β C i , , A n ) = α D (A 1 , A 2 , , B i , , A n ) + β D (A 1 , A 2 , , C i , , A n ) Ví dụ : + 1 x m a x m 1 x m a'-5 y u = a' y u + -5 y u a" z v a" z v 0 z v a + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y+y z+z x y z x y z b c = a b c + b c a b c a b c a b c x x a a [...]... 2140 + P2 - 8P3 Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 36 1) Tìm điểm cân bằng thò trường 2)Nếu cứ trong 1 đơn vò thời gian, người ta xuất đi 990 đơn vò loại hàng thứ 1, 740 đơn vò loại hàng thứ 2 và nhập về 1170 đơn vò loại hàng thứ 3, thì giá các mặt hàng tại điểm cân bằng sẽ là bao nhiêu ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Khóa 24 - 90 phút Câu 1 : Các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai, nếu... M Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 26 −1 3) XV = TV→U XU = N M.XU II Phép biến đổi tuyến tính trong Rn (Ánh xạ tuyến tính) : 1 Đònh nghóa : Phép biến đổi tuyến tính trong Rn (hay ánh xạ tuyến tính) là 1 ánh xạ f : Rn → Rn thỏa : i) f (X + Y ) = f(X) + f(Y) , ∀X, Y ∈ Rn ii) f( λX) = λf(X), ∀λ ∈ R, X ∈ Rn Nhận xét : 2 i) f(θ) = θ ii) f ( n n ∑ λ X ) = ∑ λ f (X ) i =1 i i Ma trận của ánh xạ tuyến tính. .. không xác đònh dấu Ví dụ1.Phân loại dạng toàn phương : i) Q = 4x12 + 2x22 + 3x32 - 2x1x2 - 4x2x3 Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 34 ii) Q = -6x - x2 - 27x + 12x1x3 + 8x2x3 2.Xác đònh m để dạng toàn phương sau là xác đònh dương : Q = 7x12 + 3x22 + mx32 + 6x1x2 - 4x1x3 + 8x2x3 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Khóa 22 ĐHKT (Thời gian 120 phút) 2 1 2 2 3 Câu 1 : Cho các vecto A1 = (m, 1, 1), A2 = (1, m,... 60 Câu 4 : Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3 xác đònh bởi : F(x1, x2, x3) = (x1 - 3x2, x2, x1 - 3x2 - x3) a)Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính trên ứng với cơ sở đơn vò b)Tìm tất cả các giá trò riêng và vectơ riêng của f ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Khóa 24 - 90 phút ... khi đó sản lượng (tính ra tiền) các ngành kinh tế thứ 1, 2, 3 phải tăng thêm lên bao nhiêu ? ĐỀ THI ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Khóa 23 - Thời gian : 120 phút Cho hệ vectơ A1 = (1, 2, -1, 2, 0), A2 = (2, 3, 4, 1, 2), Câu 1 : A3 = (0, 2, -12, 6, -4), A4 = (-1, 1, m, 7, n) trong R5 1) Tìm hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ A1, A2, A3 2) Tìm m, n để r(A1, A2, A3) = r(A1, A2, A3, A4) 2 2 A = 2 1  1 1... nghiệm Y = C.A 1 Hạng của ma trận : Đònh nghóa : Đại Số Tuyến Tính & Giải Tích Trang 12 i) Ma trận có từ A bằng cách xóa đi một số dòng và một số cột được gọi là ma trận con của A ii) Đònh thức của ma trận con cấp k được gọi là đònh thức con cấp k iii) Ta nói ma trận A có hạng là r nếu A có tồn tại một đònh thức con cấp r khác 0 và mọi đònh thức con cấp r + 1 đều bằng 0 (nói cách khác, r là cấp cao nhất... cấp mà không suy biến thì (AB)-1 = A-1B1 6)Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn luôn có vô số nghiệm 7)Hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất 8)Nếu λ là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng của ma trận vuông A và A có thể chéo hóa được thì r(A - λI) = k 9)Nếu A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính trong Rn ứng với cơ sở đơn vò thì A không suy biến 10)Nếu... đònh các đầu vào cho sản xuất đầu ra iii) Mọi đầu vào thay đổi k lần thì đầu ra thay đổi k lần Giả sử để sản xuất 1 đơn vò hàng hóa thứ j ta phải sử dụng một khối lượng hàng hóa thứ i là aij (i : vào; j : ra) (aij coi như hệ số của đầu vào) Đối với nền kinh tế n ngành, các hsố đầu vào được viết thànhA = (aij)n x n Đầu vào Đầu ra 1 2 n 1 a11a12 a1n 2 a21a22 a2n an1an2 ann n Giả sử aij là số đơn vò... kinh tế mở không thay đổi thì sản lượng của ba ngành kinh tế trên sẽ là bao nhiêu? ĐỀ THI ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Khóa 23 - Thời gian : 120 phút Câu 1 : Cho hệ vectơ A1 = (2, 3, 0, 4, 2), A2 = (1, 2, 3, -1, 2), A3 = (3, 5, 3, 3, 4), A4 = (8, 13, 6, 10, 6) trong R5 1) Gọi W là không gian sinh bởi A1, A2, A3, A4 Tìm một cơ sở và số chiều của W 2) Tìm tọa độ của A1, A2, A3, A4 theo cơ sở được sắp vừa tìm được... thích vì sao : 1)Nếu A1, A2, , Am là hệ vectơ trong Rn và tồn tại m số thực x1, x2, , xm để x1A1 + x2A2 + + xmAm = 0 thì hệ vectơ trên phụ thuộc tuyến tính 2)Nếu hệ vectơ gồm m vectơ trong Rn có hạng bằng m thì hệ phụ thuộc tuyến tính 3)Nếu Osxt là ma trận không cỡ sxt và A là ma trận cỡ mxn thì OkxmA = A Onx k = 0 4)Ma trận A có nghòch đảo khi và chỉ khi A là ma trận vuông 5) Nếu A, B là hai ma trận . lập tuyến tính là độc lập tuyến tính nói cách khác : D ⊂ A ⊂ V và A độc lập tuyến tính. ⇒ D độc lập tuyến tính cách nói khác : D ⊂ A ⊂ V và D phụ thuộc tuyến tính ⇒ A phụ thuộc tuyến tính. . độc lập tuyến tính tối đại của M và D có h phần tử ⇒ mọi tập con của M có nhiều hơn h phần tử đều phụ thuộc tuyến tính. 4. Đònh nghóa : Số phần tử của 1 tập độc lập tuyến tính tối đại của M. thuộc tuyến tính gọi là tập phụ thuộc tuyến tính. iii) x 1 , x 2 , , x m gọi là độc lập tuyến tính nếu chúng không phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác x 1 , x 2 , , x m là độc lập tuyến tính