Lý thuyết và đề thi môn đại số tuyến tính

Lý thuyết và đề thi môn đại số tuyến tính, Toán cao cấp

Phần 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG I KHÔNG GIAN VECTƠ

I Phép toán 2 ngôi :

1 Định nghĩa : Ánh xạ f : A x A → A được gọi là một phép toán 2 ngôi trên A (a, b) → c = f(a, b)

Ví dụ : 2 phép cộng, nhân thông thường là một phép toán 2 ngôi trên »

Ví dụ : (♣ ) : »2 → » được định nghĩa a♣ b = a2− b2 + 5ab là 1 phép toán 2 ngôi Với phép toán (♣ ) như trên ta có

7) ∀ a ∈ K∗ , ∃ a− 1 : a.a−1 = a−1.a = 1

8) ∀ a, b ∈ K : a.b = b.a

9) ∀ a, b, c ∈ K ta có : a (b + c) = a.b + a.c

Ví dụ :(», +, ) không là trường vì ∃3 ∈ Z không có phần tử đảo 1∉ »

(», +, ) ; (», +, ) là 1 trường

III Định nghĩa không gian vectơ : (không gian tuyến tính)

Cho trường K và tập V ≠∅ , phép + là phép toán 2 ngôi trên V phép là 1 ánh xạ từ KxV → V, ∀ k ∈ K, ∀ x ∈ V ⇒ k.x ∈ V V được gọi là 1 không gian vectơ trên trường K nếu có tính chất sau thỏa

mỗi phần tử của không gian vectơ V được gọi là 1 vectơ

Ví dụ : i)Tập tất cả vectơ trong »3 là 1 không gian vectơ trên trường R ii) Cho »n = { (x1, x2, , xn) / xi ∈ » } là 1 không gian vectơ trên trường » với 2 phép tính

(x1, x2, , xn) + (y1, y2, , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn)

∀α∈ R, ∀x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn α.x = (αx1, αx2, , αxn)

IV Tính chất : Cho không gian vectơ V trên trường K ta có :

1) Vectơ θ là duy nhất

2) ∀ x ∈ V, ∃ ! (−x) ∈ V thỏa x + (−x) = θ

3) 0 ∈ K, 0 x = θ , ∀x ∈ V

4) α.θ = θ , ∀α ∈ K

5) −x = (−1).x , ∀x ∈ V

V Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính :

1 Định nghĩa : Cho V là không gian vectơ trên trường K và

x , αi ∈ K, được gọi là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xm

ii) x1, x2, , xm gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu ∃

x =θ)

Tập M = {x1, x2, , xm} gồm các vectơ phụ thuộc tuyến tính gọi là tập phụ thuộc tuyến tính

iii) x1, x2, , xm gọi là độc lập tuyến tính nếu chúng không phụ thuộc tuyến tính Nói cách khác x1, x2, , xm là độc lập tuyến tính nếu α1x1 + α2x2 + + αmxm =θ ⇒ αi = 0, ∀i = 1,m

* Nếu x1, x2, , xm độc lập tuyến tính thì T = {x1, x2, , xm} gọi là tập độc lập tuyến tính

Ví dụTrong »3 cho u = (−3, 0, 1), v = (0, −1, 1), z = (1, 1, 0), y = (−2, 1, 1)

Ta có :

a) z = 3u − y + v = 3 (−3, 0, 1) − (−2, 1, 1) + (0, −1, 1) = (−7, −2, 3) là 1 tổ hợp tuyến tính của u, y, v

b) {u, v, z} là độc lập tuyến tính vì giả sử αu + βv + γz = θ

⇒ α = β = γ = 0 c) Ta có : u + z − y = θ ⇒ u, z, y là phụ thuộc tuyến tính

Nhận xét : Tập M gồm 1 vectơ M {x} là phụ thuộc tuyến tính ⇔ x = θ (và độc lập tuyến tính ⇔ x ≠ θ)

2 Định lý : Cho không gian V trên trường K

i) Tập con của 1 tập độc lập tuyến tính là độc lập tuyến tính nói cách khác : D⊂ A ⊂V và A độc lập tuyến tính

⇒ D độc lập tuyến tính cách nói khác : D ⊂ A ⊂V và D phụ thuộc tuyến tính ⇒ A phụ thuộc tuyến tính

i jx

+ x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính

⇔ có 1 vectơ là tổ hợp tuyến tính của những vectơ còn lại

3 Hệ quả : mọi tập chứa vectơ θ đều phụ thuộc tuyến tính :

v , αi ∈ K, vi ∈ M) Lúc đó ta nói V sinh bởi M

ii) Không gian V được gọi là hữu hạn chiều nếu V có 1 tập sinh hữu hạn (Ở đây, ta chỉ khảo sát không gian hữu hạn chiều)

iii) V ⊃ B = {u1, u2, u3, , un} được gọi là 1 cơ sở của V nếu B độc lập tuyến tính và B sinh ra V

Ví dụ: B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1)} là cơ sở của R3 vì B độc lập tuyến tính và ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3 ⇒ x = x1e1 + x2e2 + x3e3

H = {u1 = (1, 3, 0) , u2 = (0, −1, 9) , u3 = (1, 2, 9)} không là cơ sở của

R3 vì H phụ thuộc tuyến tính (do u3 = u1 + u2)

B = {e1, e2, e3, , en} với e1=(1, 0, 0, , 0), e2=(0, 1, 0, , 0), ,

en=(0, 0, , 0, 1) là cơ sở của »n vì B độc lập tuyến tính và mọi

x = (x1, x2, , xn) ∈ »n ⇒ x = x1.e1 + x2.e2 + + xn.en (cơ sở này gọi là cơ sở chính tắc của Rn)

2 Mệnh đề : u1, u2, , um là tổ hợp tuyến tính của v1, v2, , vn và m > n ⇒ u1, u2, , um phụ thuộc tuyến tính Nói cách khác : không có quá n vectơ độc lập tuyến tính là tổ hợp tuyến tính của n vectơ cho trước, cách nói khác : u1, u2, , um là tổ hợp tuyến tính của v1, v2, , vn và

u1, u2, , um độc lập tuyến tính ⇒ m ≤ n

3 Định lý : Mọi cơ sở của cùng 1 không gian vectơ có số phần tử bằng nhau (B1, B2 là cơ sở của V ⇒ |B1| = |B2|)

4 Định nghĩa:Số vectơ trong 1 cơ sở của không gian V gọi là số chiều của V ký dim V

Ví dụ: dim »n = n

5 Định lý : Cho không gian V với dim V = n Ta có :

i) Mọi tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính của V đều là cơ sở của V

ii) Có thể bổ sung thêm n − k vectơ vào tập gồm k (k < n) vectơ độc lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của V

VII Tọa độ của 1 vectơ :

1 Định nghĩa: Cho B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của không gian V,

x e = x1e1 + x2e2 + + xnen thì x = (x1, x2, x3, , xn) được gọi là tọa độ của x trong cơ sở B (đối với cơ sở B)

n B

xx

i) CM T là 1 cơ sở của »3

Tập T gồm 3 vectơ trong không gian 3 chiều Do đó để

CM T là cơ sở của R3 ta chỉ cần CM T độc lập tuyến tính

⇒ α1 = α2 = α3⇒ T độc lập tuyến tính

ii) Tìm tọa độ của v = (1, −2, 5) trong cơ sở được sắp T

Gọi (β1, β2, β3) là tọa độ của v trong cơ sở được sắp T ⇒ v = β1u1 + β2u2 +β3u3= (1, −2, 5)

1

2 0

⇒ v = (1, −2, 0) / T

Ví dụ :Cho F = {f1, f2, , fn} ⊂ Rn với f1 = (1, 0, 0, , 0), f2 = (1, 1, 0, , 0),

f3 = (1, 1, 1, 0, , 0), , fn = (1, 1, 1, , 1) Tìm tọa độ của

x = (x1, x2, , xn) trong cơ sở F ?

VIII Không gian con - Hạng của hệ vectơ :

Cho V là không gian trên trường K

1 Định nghĩa : Cho không gian vectơ V trên trường K W ⊂ V, W ≠ ∅

W được gọi là không gian con của V nếu đối với 2 phép + và đã định nghĩa trên V thì W cũng là 1 không gian vectơ

2 Định lý : W ⊂ V, W ≠ ∅ W là không gian con nếu :

i) ∀ x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W

ii) ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ W ⇒ α.x ∈ W

Hệ quả : i) và ii) ⇔ “∀α ∈ K, ∀x, y ∈ W ⇒ αx + y ∈ W“

Ví dụ :V là 1 không gian con của V, {θ} là 1 không gian con của V

Cho W = {(x − y, x + y, 3x) / x, y ∈ R} chứng minh W là 1 không gian con của »3 Tìm dim W

i) ∀ u = (x − y, x + y, 3x), v = (x’ − y’, x’ + y’, 3x’) ∈ W

⇒ u + v = (x + x’ − y − y’, x “ x’ + y “ y’, 3(x “ x’))

= (x” − y”, x” + y”, 3x”) với x” = x + x’, y” = y+ y’ ⇒ u + v ∈ W

ii) ∀α ∈ R, ∀ u = (x −y, x + y, 3x) ∈ W ⇒ αu = (αx − αy, αx + 2y, 3αx) ∈ W

(hiển nhiên W ≠ ∅) i) và ii) ⇒ W là không gian con

Cho x = 1, y = 0 ⇒ u1 = (1, 1, 3), cho x = 0, y = 1 ⇒ u2 = (−1, 1, 0) hiển nhiên u1, u2 ∈ W và u1, u2 độc lập và ∀ u = (x − y, x + y, 3x) ∈ W

Ta có : u = x.u1 + y.u2 ⇒ {u1, u2} là 1 cơ sở của W ⇒ dim W = 2

Ví dụ : Cho S = {u1, u2, , um} ⊂ V và T = {

1

m

i i i

u

α

=

∑ / αi ∈ K, ui ∈ S} dễ dàng chứng minh được T là không gian con của V T gọi là không gian con sinh bởi S ký T = < S >

3 Định nghĩa : Cho M = {u1, u2, , uk} ⊂ V và D = {v1, v2, , vh}⊂ M D được gọi là tập độc lập tuyến tính tối đại của M nếu mọi phần tử (hay vectơ) trong M đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong D và D độc lập tuyến tính

Nhận xét :

i)D1 và D2 là 2 tập độc lập tuyến tính tốc đại của M ⇒|D1| = |D2|

ii) 1 cơ sở của không gian V là 1 tập độc lập tuyến tính tối đại của không gian đó

iii) D là tập độc lập tuyến tính tối đại của M và D có h phần tử ⇒ mọi tập con của M có nhiều hơn h phần tử đều phụ thuộc tuyến tính

4 Định nghĩa : Số phần tử của 1 tập độc lập tuyến tính tối đại của

M được gọi là hạng của M

5 Định lý : Giả sử M ⊂ V, M có hạng là r ⇒ không gian con sinh bởi M có số chiều là r ( |M| = r ⇒ dim < M > = r )

CM :Giả sử D là tập con đ lập tuyến tính tối đại của M và |D| = r ⇒ D sinh

ra M mà M sinh ra < M > ⇒ D sinh ra < M > ⇒ dim < M > = r

CHƯƠNG II MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

I Vài khái niệm :

1 Ma trận cỡ m x n trên trường K (≡R) là một bảng hình chữ nhật gồm m dòng và n cột các số trên trường K :

a a am

aa

a

Ký Am x n hay A = (aij)m x n

aij là phần tử nằm trên dòng i và cột j i là chỉ số dòng, j là chỉ số cột

2 Nếu m = n thì ma trận A n x n được gọi là ma trận vuông cấp n

3 Ma trận đơn vị cấp n là ma trận vuông cấp n thỏa :

0 0 0 1

4 Ma trận chéo là ma trận vuông có a = 0, ∀i ≠ j

A =

α α α α

n

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 aa

ii)Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông cấp n có aij = 0, ∀ i < j

6 Ma trận đối xứng là ma trận vuông cấp n có aij = aji ∀i , j = 1,n

II Các phép toán trên ma trận :

1.Ma trận chuyển vị của A là AT =

a an

aa

a2.Ma trận bằng nhau:2 ma trận cùng cỡ gọi là bằng nhau nếu aij =bij ∀i, j 3.Cho A = (aij)m x n và B = (bij)m x n , C = (cij)m x n = A + B nếu

j j

nj

b b b

= dòng i của A x cột j của B

B = {E11, E12, , Emn} là 1 cơ sở của Um x n (»)

0 0 .1 0 .

0 0 .0 0

→ dòng i

cột j

Eij có eij = 1 và tất cả các phần tử khác đều bằng 0

Ta có 1 số tính chất sau :

i) A + B = B + A, A, B là 2 ma trận cùng cỡ

ii) (A + B) + C = A + (B + C) , A, B, C là 3 ma trận cùng cỡ ,O +A = A +O = A ,-A+A = O

iii) α(A + B) = αA + αB , (α + β)A =αA + βA

iv) (A.B)C = A(B.C), giả sử (A.B)C tồn tại

v) A (B + C) = A.B + A.C

vi) (A.B)T = BT.AT , giả sử A.B tồn tại

vii) A.I = I.A = A, A, I là 2 ma trận vuông cùng cấp, I là matrận đơn vị

viii) Thông thường A.B ≠ B.A

III Định nghĩa định thức :

Cho A là ma trận vuông cấp n Ta định nghĩa định thức cấp n của

ma trận A Ký A hay detA − bằng qui nạp như sau :

1 n = 1 ⇒ A = (a11) ⇒ det A = a11

2 n = 2 ⇒A = det A = 11 12

21 22

a a a

a = a11a22− a12a21

a a a a

a a

phần bù đại số của aij ký Aij = (−1)i + j Mij

5 Định thức cấp n của ma trận vuông cấp n được định nghĩa :

6 Định thức cấp n của ma trận vuông cấp n còn được định nghĩa :

Công thức trên được gọi là công thức khai triển theo cột j

Ghi chú :Định thức cấp 3 có thể tính theo qui tắc Sarrus như sau :

|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32− a13a22a31− a11a23a32− a12a21a33

|A| = tổng các tích trên đường chéo chính − tổng các tích trên đường chéo phụ (Qui tắc Sarrus không còn đúng với định thức cấp n ≥ 4)

IV Tính chất của định thức : Cho A là ma trận vuông cấp n

1 Nếu A có 1 dòng (hoặc cột) = 0 thì det A = 0

2 det AT=det A Ví dụ :

Hệ quả:Địnhthức có 2 dòng (hoặc cột) bằng nhau thì bằng 0

4 Thừa số chung của 1 dòng (hoặc cột) có thể đưa ra ngoài dấu định thức

6 Định thức không đổi nếu ta thay 1 dòng (hoặc cột) bằng dòng đó (hoặc cột đó) cộng với tổ hợp tuyến tính của những dòng (hoặc cột) khác

V Ma trận nghịch đảo : Cho A là ma trận vuông cấp n :

1 Định lý : Cho A, B là 2 ma trận vuông cấp n ta có :

i) det (A B) = det A det B

ii) det (Am) = (det A)m, m ∈ ∗»

2 Định nghĩa : Cho An x n, nếu tồn tại ma trận B sao cho A B = B.A = I thì ta nói B là ma trận nghịch đảo của A và ký hiệu A−1 = B

+Nếu A có ma trận nghịch đảo ta nói A khả nghịch (hay khả đảo)

+Nếu A−1 = B thì B−1 = A

3 Aij là phần bù đại số của aij Ma trận phó (ma trận phụ hợp) của

A ký hiệu à hay PA được định nghĩa : à = ma trận chuyển vị của (Aij)n x n

0 0 0 A

5 Hệ quả nếu |A| ≠ 0 ta có A−1 = 1

A .Ã

Ghi chú : + det A ≠ 0 ta nói A không suy biến

+A không suy biến ⇔ A khả nghịch

6 Giả sử A, B khả nghịch ta có :

i) (A−1)−1 = A

ii) (A.B)−1 = B−1 A−1

iii) (AT)−1 = (A−1)T

iv) Phương trình A.X = C có duy nhất nghiệm X = A−1C

v) Phương trình Y.A = C có duy nhất nghiệm Y = C.A−1

VI Hạng của ma trận :

1 Định nghĩa :

i) Ma trận có từ A bằng cách xóa đi một số dòng và một số cột được gọi là ma trận con của A

ii) Định thức của ma trận con cấp k được gọi là định thức con cấp k

iii) Ta nói ma trận A có hạng là r nếu A có tồn tại một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp r + 1 đều bằng 0 (nói cách khác, r là cấp cao nhất của những định thức con khác 0), hạng của ma trận A ký hiệu là r(A)

i) Đổi chỗ 2 dòng

ii) Nhân 1 dòng với số k ≠ 0

iii) Thay 1 dòng bằng dòng đó cộng với tổ hợp tuyến tính của những dòng khác

(A | I) ϕ ϕ (I | A1, 2, → −1) Chương 3 : HỆ PT TUYẾN TÍNH

I VÀI KHÁI NIỆM :

1.Hệ pt tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng: (aij ∈ R, bi ∈ R)

gọi là ma trận mở rộng (hoặc bổ

sung) của hệ (1)

m

x x x

m

b b b

thì (1) được viết A.X = B (2)

0 thì hệ (1) gọi là hệ thuần nhất (hay đẳng cấp)

nếu B ≠ 0 thì hệ không thuần nhất

Hệ AX = 0 gọi là hệ thuần nhất kết hợp với AX = B

4 Nếu thay x1 = α1, x2 = α2, , xn = αn vào (1) ta có m đẳng thức đúng thì α1, α2, , αn gọi là nghiệm của (1)

0

n

xx

x

) là đẳng thức đúng thì X0 là nghiệm của (2)

5 Nếu hệ (1) có nghiệm ta nói hệ (1) tương thích, ngược lại ta nói hệ (1) không tương thích :

- hệ (1) có duy nhất nghiệm, ta nói hệ (1) xác định

- hệ (1) có vô số nghiệm, ta nói hệ (1) vô định

78

7

Hệ này có vô số nghiệm

27 27

z t

y t

II HỆ CRAMER :

Hệ n phương trình, n ẩn với det A ≠ 0 được gọi là hệ Cramer Định lý : Hệ Cramer có duy nhất nghiệm là X = A-1B

Avới A( i ) là ma trận có từ A bằng cách thay cột i

III ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM :

1 Định lý Kronecker - Capelli :

Cho hệ m phương trình, n ẩn : AX = B (2)

Hệ (2) có nghiệm ⇔ R(A) = R(AB)

có nghiệm vì R(A) = R(AB) = 2

2 Định nghĩa : Cho hệ phương trình AX = B với R(A) = r ≥ 1 và C là

ma trận con cấp r của A với |C| ≠ 0 Ta nói :

i) r phương trình có hệ số là các phần tử của C gọi là r phương trình chính

ii) r ẩn mà hệ số là các phần tử của C gọi là r ẩn chính

3 Định lý :

Giả sử hệ m phương trình, n ẩn AX = B (* ) có R(A) = R(AB) = r ≥ 1

Ta có :

i) r phương trình chính của (* ) tạo nên một hệ tương đương với (* )

ii) Nếu cho (n - r) ẩn không chính (ẩn tự do) những giá trị tùy ý Khi đó r ẩn chính được xác định duy nhất (theo các giá trị đã cho của ẩn tự do) iii) Bằng cách cho các ẩn tự do mọi giá trị có thể có, và trong mỗi

trường hợp xác định giá trị các ẩn chính, ta có mọi nghiệm của (* )

4 Hệ quả :

Cho hệ m phương trình, n ẩn AX = B (* )

i) (* ) có duy nhất nghiệm ⇔ R(A) = R(AB) = n

ii) (* ) vô nghiệm ⇔ R(A) < R(AB)

iii) (* ) có vô số nghiệm ⇔ R(A) = R(AB) < n

Ví dụ :Giải và biện luận hệ phương trình :

ii) |A| = 0 và ∃|A( i )| ≠ 0

iii) |A| = |A( i )| = 0 ∀i = 13,

IV PHƯƠNG PHÁP GAUSS :

- Các phép bđsc trên dòng cho 1 hệ tương đương

- Thay vì biến đổi trên một hệ phương trình ta biến đổi trên ma trận mở rộng

Giả sử sau một số phép bđsc trên dòng ta đưa AB về dạng (rút gọn theo dòng từng bậc) : giả sử α11, α22 , αrr ≠ 0

b b

i) Nếu /r 1b + ≠ 0 ⇒ hệ vô nghiệm

ii) Nếu /r 1b + = 0 và r = n thì hệ có duy nhất nghiệm

iii) Nếu /r 1b + = 0 và r < n ⇒ hệ có vô số nghiệm (có n - r ẩn tự do)

Ví dụ : Giải hệ :

- Nếu a = -4 ⇒ hệ có vô số nghiệm

- Nếu a ≠ -4 ⇒ hệ vô nghiệm

V HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (Đẳng cấp) :

1 Định nghĩa : Hệ thuần nhất có dạng AX = θ (B = θ)

i) Cho An x n ⇒ AX = θ có nghiệm ≠ θ ⇔ det A = 0

ii) Cho Am x n với m < n ⇒ AX = θ có nghiệm ≠θ (m < n ⇒ số phương trình < ẩn số)

4 Tập hợp tất cả các nghiệm của AX = θ là 1 không gian con của

»n và có số chiều là n - R(A) (Giả sử A là ma trận các số ∈»)

5 Định nghĩa :

Các nghiệm X1, X2, , Xk của hệ AX = θ được gọi là một hệ

nghiệm cơ bản nếu X1, X2, , Xk độc lập tuyến tính và mọi nghiệm của

AX = θ đều là tổ hợp tuyến tính của X1, X2, , Xk

Nói cách khác :

Một hệ nghiệm cơ bản của AX = θ là một cơ sở của không gian nghiệm (của AX = θ) Giả sử k = n - r = n - R(A) và giả sử R(A) = r Ta có :

X1 = (α11, α12, , α1r, 1, 0, 0, , 0), X2 = (α21, , α2r, 0, 1, , 0), , xk = xn - r = (αk1, αk2 , , αkr, 0, 0, 0, , 1) là một hệ nghiệm cơ bản của AX = θ

Nhận xét :

i)Nếu R(A) = n = số ẩn số ⇒ không có hệ nghiệm cơ bản

ii)Nếu AX = θ có một hệ nghiệm cơ bản ⇒ nó có vô số hệ nghiệm cơ bản

iii)Giả sử A1, A2, , Am là các dòng của A Ta có số chiều của không gian sinh bởi A1, A2, , Am là R(A) ≠ số chiều của không gian nghiệm là n - R(A)

Ví dụ : Tìm hệ nghiệm cơ bản của :

43

3

43

VÀI ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

I MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG :

Ghi chú : Supply : cung .demand : cầu

qsi : hàm cung mặt hàng thứ i

qdi : hàm cầu mặt hàng thứ i, i = 1,n

pi : là giá của mặt hàng thứ i

Giả sử hàm cầu qdi =

1

n

ij j i j

u p m

=+

∑ với uij ≥ 0, ∀i ≠ j, uii < 0, mi > 0 (uii < 0 vì hàm cầu của mặt hàng i sẽ giảm khi giá Pi tăng)

Và hàm cung qsi =

1

n

ij j i j

v p n

=+

∑ với vij ≤ 0, ∀ i ≠ j, ni < 0, vii > 0

(vii > 0 vì hàm cung của mặt hàng i sẽ tăng khi giá Pi tăng)

Đối với hàm 1

biến P ta có đồ thị :

M(P0, Q0) là điểm cân bằng thị trường (đối với hàm 1 biến P) Điểm cân bằng thị trường là nghiệm của hệ phương trình :

j(uij− vij)pj + mi− ni = 0 (* )

a an

n

b

bhệ (* * ) thành −A.P = B Nếu A không suy biến ta có: giá tại điểm cân bằng thị trường là P = (−A)−1.B

Ví dụ : Xét thị trường có 3 mặt hàng Hàm cung và hàm cầu phụ thuộc giá của chúng là:

2) Nếu cứ 1 đơn vị thời gian người ta xuất đi 20 đơn vị hàng thứ I, 50 đơn vị hàng thứ III và nhập về 30 đơn vị hàng thứ II Tìm điểm cân bằng mới

1) Điểm cân bằng thị trường là nghiệm của hệ:

150 120

ppp

20

30 50

II MÔ HÌNH INPUT - OUTPUT :

Mục đích : Xác định đầu ra của mỗi ngành trong n ngành kinh tế sao cho vừa đủ để thỏa mãn toàn bộ nhu cầu về loại sản phẩm đó 1) Cấu trúc : Để đơn giản, ta giả sử :

i) Mỗi ngành chỉ sản xuất 1 mặt hàng thuần nhất

ii) Mỗi ngành sử dụng một tỉ lệ cố định các đầu vào cho sản xuất đầu

ra

iii) Mọi đầu vào thay đổi k lần thì đầu ra thay đổi k lần

Giả sử để sản xuất 1 đơn vị hàng hóa thứ j ta phải sử dụng một khối lượng hàng hóa thứ i là aij (i : vào; j : ra) (aij coi như hệ số của đầu vào) Đối với nền kinh tế n ngành, các hsố đầu vào được viết thànhA = (aij)n x n Đầu vào Đầu ra

an1an2 annGiả sử aij là số đơn vị tiền cần cho loại hàng thứ i để sản xuất 1 đơn vị tiền cho loại hàng thứ j

Ví dụ : a5 8 = 0,23 (ngàn đồng) nghĩa là cần 1 lượng hàng thứ 5 trị giá 0,23 (ngàn đồng) để sản xuất 1 lượng hàng hóa thứ 8 trị giá 1 (ngàn đồng) Mô hình mở : Nếu như bên cạnh n ngành kinh tế, mô hình còn có 1

ngành (gọi là ngành kinh tế mở hay kinh tế ngoài) (Ví dụ như lao động, thuế, dịch vụ); nền kinh tế này xác định độc lập những nhu cầu của n ngành kinh tế Những đầu vào đặc biệt do ngành kinh tế mở cung cấp không được sản xuất bởi bất kỳ ngành nào trong số n ngành kể trên Mô hình như vậy là mô hình Input – Output mở

Khi đó ta có

a < 1, ∀j =1,n

⇒ giá trị của đầu vào mở đặc biệt để sản xuất 1 lượng hàng thứ j trị giá

1 đơn vị tiền là a0j = 1 −

=

∑

1

n ij i

a Giả sử giá trị đầu ra của n ngành kinh tế là x1, x2, , xn và các yêu cầu của ngành kinh tế mở đối n loại hàng hóa là d1, d2, , dn Giả sử ngành thứ i sản xuất đầu ra vừa đủ ta có

xxx = (I − A)−1.D = (I − A)−1

I L = {x = (3t, s, −2t) / s, t ∈ R} CM L là không gian con của R3 Tìm cơ sở và số chiều của L

II A1 =(−1, 1, 2, 3) A2 = (2, 1, −3, −2) , A3 = (1, 2, −1, 1), A4 = (3, 3, −4, m) i) Với giá trị nào của m thì A4 là tổ hợp tuyến tính của A1, A2, A3 2) Tìm hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại của A1, A2, A3, A4 ứng với m của câu 1