Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn g[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | CÂU HỎI ƠN THI MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CĨ ĐÁP ÁN
Câu 1: Tính định thức sau 2 13 29
TL: Nhân dòng thứ với -3 cộng vào dòng thứ ta ta
2 13 13 13
6 29 6 26 29 Câu 2: Tính định thức sau
8
2
0
6
D
TL: Nếu chọn dịng thứ ba cột thứ hai a32 4 định thức cấp D
32
8
2
6 M
định thức bù
3 32
8
1 2
6
A
phân bù đại số
Nếu chọn hai dòng: thứ thứ ba, hai cột: thứ hai thứ ba thì:
23 13
3
M định thức cấp hai D;
23 13
2
6
M
định thức bù 23 13 M
23 3 13
2
( 1)
6
A
Câu 3: Tính dịnh thức cấp sau
2
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | TL:
5
2 5.7.0 0.4.3 2.6 5.4.6 0( 2).0 8.7.3 96 120 168 384
Câu 4: Tính định thức sau
3
7
1 0 10
4
TL: Nhận thấy cột thứ hai có nhiều thành phần Khai triển định thức theo cột ta không cần tính phần bù đại số thành phần Như vậy,
1
7
1 ( 2) 10 2[6.10( 4) 3.12 6.19 7.10.2] 2( 240 54 140) 856
D
Câu 5: Tính định thức sau
3
7
1 0 10
4
D
TL: Ta khai triển định thức theo dịng cột có thành phần Tuy nhiên nhờ tính chất 6, ta biến đổi định thức để dòng cột nhiều thành phần khác Chẳng hạn, ta biến đổi dòng thứ ba Nhân cột thứ với cộng vào cột thứ hai, nhân cột thứ với -10 cộng vào cột thứ tư, ta được:
3
3 5 30
5 30
7 7 67
1 67
1 0 10 0
6 49
4 49
Giữ nguyên cột thứ hai, cộng cột thứ hai vào cột thứ nhất, nhân cột thứ hai với cộng vào cột thứ ta được:
1
1 31
1 31 5( 61 248) 5.187 935
8 61 61
D
Câu 6: Cho
4 13
7 , 11
15
A B
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | TL: Cộng - A vào hai vế đẳng thức 2X + A - B, ta có :
2X=B-A
Hay
2 13 13
2 11 17
3 15 18
13
2
6 13
1 17
4 17
2
18
5
2
X
X
Câu 7: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau
1 0 A
2 3
| | 0 1 ( 1)(11 9) 11
A
Tìm phần bù đại số
11 12 13 21 22
23 31 32 33
11, 3, 6, 15,
8, 3, 1,
A A A A A
A A A A
Thiết lập ma trận nghịch đảo
1
11 15
2 2
11 15
1
3 2,5 0,5
2
6
3
A
Câu 8: Cho phép biến đổi tuyến tính f: 3
R R có ma trận sở tắc 2
1 3 A
(4)
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | Giải phương trình
2
1 2
1 ( 3)( 3)
1
k
k k k k
k
Ta k1 3, k2 1, k33 Với K2=1,nên ta có
2
1
1
2 3
x x
x x x
x x x
ta nghiệm tổng quát (- 2C3, C3, c3)
Không gian bất biến tương ứng gồm vectơ có dạng C3( 2,1,1) C33 Vậy khơng gian bất biến sinh 3
Câu 9: Cho tự đồng cấu có ma trận
1
4
8
Tìm giá trị riêng
Tìm giá trị riêng
B={{1,- 4,- 8},{- 4,7,- 4},{- 8, - 4, 1}}↵
Màn hình xuất ma trận:
Out[1]={{1, - 4, - 8}, {- 4, 7, - 4},{- 8, - 4, 1}}
Eigenvalues[B] ↵ Màn hình xuất hiện:
Out[2]={-9,9,9}
Câu 10: Cho từ đồng cấu có ma trận
1
4
8
Tìm vectơ riêng
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | TL: Tìm vectơ riêng:
Tạo ma trận Nếu có ma trận hình khơng cần tạo
Để tìm vectơ riêng đánh lệnh:
Eigenvectors [B] ↵
Màn hình xuất hiện:
Out[]={{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}
c) Tìm đồng thời giá trị riêng vectơ riêng
{vals, vecs}=Eigensystem[B] ↵
Màn hình xuất hiện: Out[]={{-9,9,9},{{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}}
Câu 11: Chứng minh không gian véctơ howacj có vecto có vơ số vecto TL: Giả sử V không gian vecto V có nhiều vecto,ta chứng minh V chứa vơ số vecto.thật vậy,vì V có nhiều vecto nên tồn taig vecto có alpha thuộc V,alpha khác
Khi với a,b thuộc R (a b ) 0 <==>a-b-0<==>a=b Do có vơ số vecto
Câu 13: Xét không gian vecto với sở sau
3
1 3
, , , (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) ( , , ), (1,1, 0), (0,1,1), (1, 0,1)
Tìm ma trận chuyển từ sở (ε) sang sở (ξ)
TL ta có :
1
2
3
(1,1, 0)+(0,1, 0)= (0,1,1)+(0, 0,1)= (1, 0,1) (0, 0, 3)=
Vậy ma trận chuyển từ sở (ε) sang sở (ξ)
1 1 0 1 T
(6)
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang |
3
1 3
, , , (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) ( , , ), (1,1, 0), (0,1,1), (1, 0,1)
TL: ta biết ma trận chuyển từ sở (ξ) sang sở (ε) là:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, T
Gọi tọa độ vectoβ sở (ξ) (x1, x2, x3) Theo giả thiết tọa độ củavecto β sở (ε) y1 = - 5, y2 = 0, y3 = Theo công thức đổi tọa độ ta có:
x1=0,5.(-5)+0,5.0+(-0,5).1=-3
x2=-0,5.(-5)+0,5.0+(0,5).1=3
x3=0,5.(-5)+-0,5.0+(+0,5).1=-2
Câu 15: Tìm sở không gian vectơ sinh hệ vectơ gồm vectơ R3: (1,5, 3), (4, 20, 12), (2, 1,5)
TL: Gọi A ma trận mà vectơ dòng vectơ cho:
1
4 20 12
2
A
Nhận thấy
1
1
0, 20 12
2
Như
2 1 định thức cấp cao khác ma trận A Câu 16: Cho hệ vecto A gồm
1
2
3
4
5
(1, 2, 3, 4) ( 1, 3, 0,1) (2, 4,1,8) (1, 7, 6, 9) (0,10,1,10)
(7)
W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang |
1
1
2
1
0 10 10
Theo định lí, ta phải tìm định thức cấp cao khác A Xuất phát từ định thức khác bất kì, chẳng hạn
2
1
0
D
Ta xét định thức cấp chứa D2
D3=-25 khác
Tương tự Xét tiếp định thức cấp chứa D3
Câu 17: Giải hệ phương trình
5
2
3 11 17
x y z
x y z
x y z
Nhân hai vế phương trình (1) với - 2, - cộng vào phương trình (2) phương trình (3), ta hệ:
5
9 18 19 38
x y z
y z
y z
Từ z=-2,thay z vào phương thì tìm x=1,y=0
Vậy nghiệm hệ (1,0,-2)
Câu 18: Giải hệ phương trình sau
3
2
3
12 2 10
x yy z t
x y z t
x y z t
x y z t
TL:
3 1
1
1
12 2 10
B
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | Đổi chỗ dòng thứ với dòng thứ ba tiếp tục biến đổi ta được:
1
0 10 14
0 0 0
0 0 0
Ma trận cuối ứng với hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
3
2 10 14
x y z t
y z t
Nếu cho x3 = c3, x4 = c4, với c3, c4 thuộc trường số K vế phải phương trình hệ số hệ trở thành hệ Cramer định thức
1
2 0 2
Nếu cho c3, c4 giá trị cụ thể ta nghiệm riêng hệ Chẳng hạn, với c3 = 0, c4 = 1, ta nghiệm riêng (-1, - 2, 0, 1)
Câu 19: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss, tìm hệ nghiệm hệ phương trình:
3 3
2
2
2
x z t
x y z t
x y z t
x y z t
TL Biến đổi ma trận A:
3 3 1
1 1
2 0 0
1 0 0
Hệ cho trở thành hệ tương đương
2
3
x y z t z y z t
y z t y z t
Nghiệm tổng quát hệ (c3 - c4, 2c3 + c4, c3, c4) cho x3 = 1, x4 = 0, ta nghiệm riêng: (1, 2, 1, 0) Cho x3 = 0, X4 = 1, ta nghiệm riêng: (-1, 1, 0, 1)
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | (1, 2,1, 0)
( 1, 2, 0,1)
Ta xét tiếp mối liên hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính hệ liên kết Nhắc lại nghiệm hệ phương trình tuyến tính n ẩn vectơ không gian Kết
Câu 20: Giải hệ phương trình máy tính bỏ túi
3
2
3
12 2 10
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
TL: Tạo ma trận hệ số, đánh lệnh: A={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}}↵ Màn hình xuất hiện: Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} • Giải hệ phương trình, đánh lệnh: LinearSolve[A,{1,5,- 910}]↵ Màn hình xuất hiện: Out[2]-{-2,-7,0,0} Đó nghiệm riêng hệ cho • Tìm hệ nghiệm hệ liên kết, đánh lệnh: NullSpace[A] ↵ Màn hình xuất hệ nghiệm hệ nhất: Out[3]={{1,5,0,1}, {-1,-5,2,0}} Muốn tìm nghiệm tổng quát hệ cho ta việc lấy tổng nghiệm riêng hệ cho với tổ hợp tuyến tính hệ nghiệm hệ phương trình liên kết: (x,y,z,t) = (-2, -7, 0, 0) + c3(-1, -5, 2, 0) + c4(1, 5, 0, 1) = (-2-c3+ c4, -7- 5c3 + 5c4, 2c3, c4)
Câu 21: Tìm chiều sở trưc chuẩn không gian nghiệm khơng gian nghiệm hệ phương trình
1
1
1
1
2
2
3
5 12
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Tìm sở tùy ý khơng gian nghiệm E={(2,-1,1,0),(3,-1,0,1)}
Dùng trình Gram đưa sở trực giao,ta có E1 ={( ,−1 ,1 ,0 ) ,( ,1 ,−7 ,6 ) }
Chuản hóa,cơ sở trực chuẩn
2
1
{ (2, 1,1, 0), (4,1, 7,1)}
6 67
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 0989 627 405 Trang | 10 Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội
II Lớp Học Ảo VCLASS
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh khơng phải đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn
- Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập
Các chương trình VCLASS:
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Tốn Nâng Cao, Tốn Chun Tốn Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8,
III Uber Toán Học
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Tốn Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV u thích, có thành tích, chun mơn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc
lập
- Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Online Học lớp Offline
B