[r]
(1)CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP-TỰ DO-HẠNH PHÚC
ĐỀ THI CHUYỂN ĐỔI VÀO LCLC K59 MÔN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Người thi không sử dụng tài liệu
Câu I(3 điểm): Cho G nhóm cyclic Chứng minh rằng:
(i) Nếu G có cấp vơ hạn G đẳng cấu với nhóm cộng số ngun Z (ii) Nếu G có cấp n2 G đẳng cấu với nhóm cộng Zn(các lớp thặng
dư modulo n)
(iii) Các nhóm nhóm thương G nhóm cyclic
Câu II(3 điểm): Cho A vành giao hốn có đơn vị, I J hai ideal A Chứng minh rằng:
(i) Nếu I + J = A IJ IJ
(ii) Ln tồn ideal nguyên tố A
(iii) Luôn tồn toàn cấu từ A đến trường
Câu III(2 điểm): Cho f1, ,fn n (n 2) đa thức t p tất c đa
thức A = Q[X trường số h u t Q với iến X hi với m i đa thức f A ta hi u ( f ) = { f.g| g A } Chứng minh rằng:
(i) f1, ,fn nguyên tố c ng hi ch hi tồn g1, ,gn A
cho f1g1 fngn 1
(ii) Nếu f1, ,fnđôi nguyên tố c ng
n i i n i i f f 1 ) ( ) (
Câu IV(3 điểm): Cho GLn(R)là t p ma tr n vuông th c cấp n 2
hông suy iến Chứng minh với ph p nh n ma tr n ta có:
(i)GLn(R)là nhóm, nhóm nh n t p S tất c ma tr n
GLn(R)có định thức số h u t làm nhóm chu n t c
(ii) i số nguyên k (2kn) đ u tồn AGLn(R) đ Ak ma
(2)