Đang tải... (xem toàn văn)
Cần xây dựng một kho hàng tại vị trí điểm D trên đoạn thẳng AB.. Vị trí điểm D cần cách điểm A bao nhiêu để chi.[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP KỸ SƯ TÀI
NĂNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
NĂM HỌC 2020 -2021
Thời gian 180 phút, khơng tính thời gian phát đề ĐỀ BÀI
Câu 1: Biết địa điểm A B C, , lập thành tam giác vuông B, khoảng cáchtừ Cđến B 5km
từ B đến A 6km Cần xây dựng kho hàng vị trí điểm D đoạn thẳng AB Giả
sử chi phí vận chuyển cho đơn vị hàng thẳng từ A đến D 400 nghìn VNĐ/km,
thẳng từ D đến Clà 600 nghìn VNĐ/km Vị trí điểm D cần cách điểmA để chi
phí vận chuyển đơn vị hàng (thẳng từ A đến D thẳng đến C) nhỏ
Câu 2: Trong không gian cho tam giác vng Tìm điểm thỏa mãn MA2+MC2 ≤MB2
Câu 3: Cho đa giác gồm 2n đỉnh (n∈N n, >1) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh 2n đỉnh
đa giác cho Biết xác suất ba đỉnh chọn lập thành tam giác vng
3
4039 Tìm n
Câu 4: Chứng minh a>1 hàm số ( )= −1
x
a f x
x đồng biến khoảng xác định
Câu 5: Tìm giá trị tham số m bất phương trìnhsau nghiệm đúngvới x∈ 3x+5x+7x ≥ +3 mx
Câu 6: Cho dãy số (un) xác định công thức
2 2
1 1
,
1
= + + + ∈
+ + +
n
u n N
n n n n
Hãy tính giới hạn (un)
Câu 7: Biết x∈ nghiệm phương trình x2+ 12 =7
x Chứng minh
5
1
= +
S x
x
số nguyên
Câu 8: Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ]0;1 thỏa mãn xf y( )+yf x( )≤ ∀ ∈1, x [ ]0;1
Chứng minh ( )
1
d
4 π ≤
∫ f x x
Câu 9: Giải hệ phương trình ( )( ) ( )
( )
2
2
4 4
3 3
+ + + + =
+ + = + + −
x x y y
x y x y
Câu 10: Chứng minh vớimọi x∈ ta có
1sin 2sin 3sin 4sin 5sin 6sin
λ x+λ x+λ x+λ x− +π λ x− π λ+ x− π = ,
thì λ λ1= =λ3 =λ4 =λ5 =λ6 =0
(2)HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (Đề tuyển sinh hệ kĩ sư tài 2020 ĐHBK HN) Biết địa điểm A B C, , lập thành tam giác
vuông B, khoảng cách từ Cđến B 5km từ B đến A 6km Cần xây dựng
kho hàng vị trí điểm D đoạn thẳng AB Giả sử chi phí vận chuyển cho đơn vị
hàng thẳng từ A đến D 400 nghìn VNĐ/km, thẳng từ D đến Clà 600 nghìn
VNĐ/km Vị trí điểm D cần cách điểmA để chi phí vận chuyển đơn vị hàng
(thẳng từ A đến D thẳng đến C) nhỏ
Lời giải
Đặt BD=x, (0≤ ≤x 6)
Chi phí vận chuyểnmột đơn vị hàngđi thẳng từ A đến D 400.000 6( −x )
Quãng đường 2 ( )2
( 5)
= + = + = +
CD CB BD x x
Chi phí vận chuyểnmột đơn vị hàngđi thẳng từ D đến C 600.000 5+x 2
Tổng chi phí vận chuyểnmột đơn vị hàng (thẳng từ A đến D thẳng đến C)
( ) ( ) ( )
400.000 6− +x 600.000 5+x =100.000 6 − +x 5+x =100.000.f x
Với ( ) ( ) [ ]
4 6 , 0;
= − + + ∀ ∈
f x x x x
Ta có ( ) ( )
2
2
2
4
2 5
− +
′ = − + =
+ +
x x
x f x
x x
( ) 2 ( 2) 2 [ ]
0 5 0;
′ = ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ∈
f x x x x x x x x x
Ta có f ( )0 =24 5+ 37, 42; f ( )2 =34; f ( )6 =6 4138, 42
Do
[ ]0;6 ( ) ( )
min f x = f =34
Chi phí vận chuyển 100.000.f x( )=100.000 34× =3.400.000VNĐ, đạt
=
BD km hay AD=4km
Câu 2: Trong không gian cho tam giác vng Tìm điểm thỏa mãn
(3)Gọi điểm đối xứng với qua trung điểm Khi hình chữ nhật
Do
Suy
Vậy
Câu 3: Cho đa giác gồm 2n đỉnh (n∈N n, >1) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh 2n đỉnh
đa giác cho Biết xác suất ba đỉnh chọn lập thành tam giác vuông
3
4039 Tìm n
Lời giải Số tam giác có
2n C
Số hình chữ nhật số cách chọn đường chéo xuyên tâm Cn2
Mỗi hình chữ nhật cho tam giác vng Do số tam giác vng
4.Cn
Do xác suất chọn tam giác vuông
4039 nên
2
4
2020 4039
= ⇔ =
n n
C
n C
Câu 4: Chứng minh a>1 hàm số ( )= −1
x
a f x
x đồng biến khoảng xác định
Lời giải Xét hàm số f x( )= ax−1
x
Tập xác định D= −∞( ; 0) (∪ 0;+∞)
( )
.ln − +1 ′ = ax a x ax f x
x (với x∈D)
(4)( )
.ln ′ = x
g x a a x
( )
0 ln 0
′ = ⇔ x = ⇔ =
g x a a x x (Do ax.ln2a>0, ∀ ∈x )
Bảng biến thiên
Suy g x( )>0 với x∈D ⇒ ′f ( )x >0 với x∈D
⇒ hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (−∞; 0) (0;+∞)
Câu 5: Tìm giá trị tham số m bất phương trìnhsau nghiệm đúngvới x∈ 3x+5x+7x ≥ +3 mx
Lời giải
Xét hàm số f x( )=3x+5x+7x− −3 mx có đạo hàm cấp Điều kiện cần
Do ta cần có ( )
( ) ( )
0,
min
0 ∈
≥ ∀ ∈
⇒ =
=
x
f x x
f x
f Suy hàm số đạt cực tiểu x=0
Ta có f′( )x =3 ln ln ln 7x + x + x −m
Vì hàm số đạt cực tiểu x= ⇒0 f′( )0 = ⇔ =0 m ln ln ln 7+ + =ln105 Điều kiện đủ
Với m=ln105 Ta có:
( ) 2
3 ln ln ln 0, ′′ = x + x + x > ∀ ∈
f x x
Suy f′( )x đồng biến Vì f′( )0 =0 ( )
( )
lim
lim
→+∞ →−∞
′
= +∞
′
<
x
x
f x
(5)Do m=ln105 giá trị cần tìm
Câu 6: Cho dãy số (un) xác định công thức
2 2
1 1
,
1
= + + + ∈
+ + +
n
u n N
n n n n
Hãy tính giới hạn (un)
Lời giải
Ta có
2 2
1 1
, [1; ]
≥ ≥ ∀ ∈
+ + + k n
n n k n n
Suy ra:
2 2
1
1 =
≥ ≥
+ ∑ + +
n
k
n n
n n k n n
Vì
2
lim 1; lim
1
→+∞ + = →+∞ + =
n n
n n
n n n nên sử dụng nguyên lí kẹp ta có
lim
→+∞ n =
n u
Câu 7: Biết x∈ nghiệm phương trình x2+ 12 =7
x Chứng minh
5
1
= +
S x
x
số nguyên
Lời giải
Ta có
2
2
1
1
7
1 + =
+ = ⇔ + = ⇔
+ = −
x
x
x x
x x
x x
Đặt a=x b; =
x, ta có ab=1
5 5 4 2 5 3 2
(a b+ ) =a +b +5(ab +a b) 10(+ a b +a b )=a +b +5ab b( +a ) 10+ a b a b( + ) Suy
5 5 3
(a b+ ) =a +b +5(b +a ) 10(+ a b+ )
Vì (a b+ ∈ ⇒) (a b+ )5∈ Do để chứng minh S =a5+b5 số nguyên thìta cần
chứng minh 3+
a b số nguyên
Ta có a3+b3 =(a b+ )3−3ab a b( + )=(a b+ )3−3(a b+ ∈) Suy điều phải chứng minh
7.1 Biết x∈ nghiệm phương trình x2 + 12 =7
x Chứng minh
5
1
= +
S x
x số
nguyên
Lời giải Cách Có
2
2
1
7
+ = ⇔ + =
x x
x x Suy
1
3 = + = ± ∈ S x
x
Áp dụng đẳng thức 5 2
( )( )
+ = + − + − +
(6)5
5
2
2
1
2
1 1
2
1 1
42 = + = + − + − + = + + − + = ∈
S x x x x
x x x x
x x x S
x x x
Cách Có
2
2
1
7
+ = ⇔ + =
x x
x x Suy
1
3 = + = ± ∈ S x
x
Đặt = n +
n n
S x
x
1 ,
= =
a x b
x ta được: a b+ =S a b1, =1 Suy a b nghiệm phương
trình
1
− + =
X S X Suy
2
1
+ − + + =
n n n
a S a a (1)
2
1
+ − + + =
n n n
b S b b (2)
Cộng (1) (2) ta được: Sn+2 −S S1 n+1+Sn =0 với n≥0 Vì S S1, 2∈, nên quy nạp
dễ dàng suy Sn∈ với n≥0 Thay n=5 ta điều phải chứng minh Phát triển toán:
1 Cho hai số a b, thỏa mãn a b a b+ , ∈ Khi Sn =an+ ∈bn với n
Kết suy trực tiếp từ cách chứng minh số
2 Cho x x x1, 2, 3 nghiệm thực (hoặc phức) phương trình x3+ax2+bx+ =c với a b c, ,
là số nguyên
1
= n+ n+ n n
S x x x số nguyên với n≥0 (Quy ước S0 =k)
Chứng minh: Theođịnh lý Viet cho phương trình bậc ta có
1
1 2
1
+ + = − ∈ + + = ∈ = − ∈ x x x a x x x x x x b
x x x c
Từ suy ra:
1= +1 2+ = − ∈
S x x x a
2 2
2 = + + =( 1+ 2+ 3) −2( 2+ 3+ 3)∈
S x x x x x x x x x x x x
3 3
3
2 2
1 3 2 3
( )( )
= + +
= + + + + − + + + ∈
S x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
Từ giả thiết ta có:
0
+ + + =
i i i
x ax bx c với i=1, 2, Suy
3
0
+ + + + + + =
n n n n
i i i
x ax bx cx với n≥0 Cộng phương trình tương ứng với i=1, 2, ta
được
3
+ + + + + + =
n n n n
S a S bS cS
Từ S S S1, 2, 3, a b c, , số nguyên nên ta có Sn số nguyên
3 Tổng quát cho k số Giả sử x1, ,xk nghiệm thực (hoặc phức) phương trình
1
1 0
− −
+ + + + =
k k
k
x a x a x a với ai số nguyên
1
= n+ + n
n k
S x x số nguyên với n≥0 (Quy ước S0 =k)
(7)1 1
+ + − + − + + + + =
n k k n k n n
S a S a S S
Vì để chứng minh Sn số nguyên với n ta cần Si số nguyên với 1, ,
=
i k Việc cần áp dụng định lý phân tích đa thức đối xứng vành số nguyên (
Mời bạn đọc tự tham khảo ạ)
4 Trong toán ta thay Sn đa thức đối xứng với hệ số nguyên
kết toán
Câu 8: Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ]0;1 thỏa mãn xf y( )+yf x( )≤ ∀ ∈1, x [ ]0;1
Chứng minh ( )
1
d
4 π ≤
∫ f x x
Lời giải Cách 1: Xét hàm số
1 = −
y x ( 2) ( ) [ ]
1− + 1− ≤ ∀ ∈1, 0;1
xf x x f x x
Suy
( 2) ( ) ( 2) ( 2) ( )
2 2
0
1
1 d d d
1 −
− + ≤ ⇒ − − + ≤
− − ∫ ∫ ∫ −
x
f x f x f x x f x x x
x x x
( ) ( )
1 1
2
0 0
1
2 d d d
2
1
π π
≤ = ⇒ ≤
−
∫ f x x ∫ x ∫ f x x x
Cách khác: Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn [ ]0;1 thỏa mãn
[ ]
( )+ ( ) 1,≤ ∀ , ∈ 0;1
xf y yf x x y Chứng minh
1
( )d π ≤
∫ f x x Lời giải
Đặt x=sint⇒dx=cos dt t
Đổi cận 0
1
4 π = → = = → =
x t
x t
Ta có
1
0
( )d cos (sin )d
π
=
∫ f x x ∫ tf t t (1)
Đặt x=cost⇒dx= −sin dt t
Đổi cận
1
= → = = → =
x t
x t
Ta có
1
0
4
( )d sin (cos )d sin (cos )d
π
π
= − =
∫ f x x ∫ t f t t ∫ t f t t (2)
Cộng theo vế (1) (2) ta
[ ]
1 4
0 0
2 ( )d cos (sin ) sin (cos ) d 1.d
π π
π
= + ≤ =
(8)1
( )d π
⇒∫ f x x≤ (đpcm)
Câu 9: Giải hệ phương trình ( )( ) ( )
( )
2
2
4 4
3 3
+ + + + =
+ + = + + −
x x y y
x y x y
Lời giải Điều kiện
1 ≥ − ≤ x y
Ta ln có ( ) ( )
( ) ( )
2
2
4 4
4 4
+ + − + = −
+ + − + = −
x x x x
y y y y
Kết hợp phương trình ( )1 ta có
2 2 4 4 + − = + + ⇒ + = ⇒ = − + − = + +
x x y y
x y x y
y y x x
Thay vào phương trình ( )2 ta
( ) ( )
2
3 3
⇔ x − x+ x+ − x+ + x+ − x+ =
( ) 2
2
3
1
− −
⇔ − + + =
+ + + + + +
x x x x
x x
x x x x
( ) 1
1
⇔ − + + =
+ + + + + +
x x
x x x x
0 = ⇔ = x
x (vì
1 1
3
3
1
+ + > ∀ ≥ −
+ + + + + + x
x x x x )
Vậy phương trình cho có cặp nghiệm ( )x y; ( )0; (1; 1− )
Lời giải
( )( ) ( )
( )
2
2
4 4
3 3
+ + + + =
+ + = + + −
x x y y
x y x y
( ) ( )( )( )
2 2
2
4 4
1
4
+ + + − + +
⇔ =
+ −
x x x x y y
x x
( )
2
4
⇔ +y y + = − +x x +
Xét hàm số ( )
4 = + + f t t t
( ) 2 2
'
4
+ +
= + = > ∀ ∈
+ +
t t t
f t t
(9)⇒ Hàm số đồng biến (−∞ +∞; )
( )1 ⇔ = −y x, thay vào ( )2 ta được:
2
3x − + =x 3x+ +1 5x+4 (điều kiện: ≥ − x )
( ) ( )
2
3 3
⇔ x − x+ x+ − x+ + x+ − x+ =
( ) ( 1) ( 1)
3
1
− −
⇔ − + + =
+ + + + + +
x x x x
x x
x x x x
( ) 1
1
1
⇔ − + + =
+ + + + + +
x x
x x x x
( )
0
1
1
3 v« nghiƯm
1
= ⇒ =
⇔ = − ⇒ =
+ + =
+ + + + + +
x y
x y
x x x x
Vậy ( ) ( ) (x y; = 0; , −1;1)
Câu 10: Chứng minh với x∈ ta có
1sin 2sin 3sin 4sin 5sin 6sin
λ x+λ x+λ x+λ x− +π λ x− π λ+ x− π = λ λ1= 2 =λ3 =λ4 =λ5 =λ6 =0
Lời giải
1sin 2sin 3sin 4sin 5sin 6sin
λ x+λ x+λ x+λ x− +π λ x− π λ+ x− π = ( )*
Ta có hàm y=sin x a− có đạo hàm điểm khác avà khơng có đạo hàm x=a
Từ ( )* ta có λ4sin |x−π| có đạo hàm x=π nên λ =4
Tương tự ta có λ5 =λ6 =0
Vì ( )* với x∈ nên Thay
2 π =
x vào ( )* ta có 1sin 2sin 3sin3
2
π π
λ +λ π λ+ = ⇔ −λ λ1 3 =0 ( )1 Thay
3 π =
x vào ( )* ta có
1
2
sin sin sin
3
π π
λ +λ +λ π = 2
3
0
2 λ λ λ λ
⇔ + = ⇔ + = ( )2
Thay π =
x vào ( )* ta có 1sin 2sin 3sin3
4
π π π
λ +λ +λ =
1 3
2
0
2 λ λ λ λ λ λ
⇔ + + = ⇔ + + = ( )3
(10)