Trong định nghĩa ánh xạ, các tập hợpnguồn và đích không nhất thiết là các tập hợp số và phần tử f x tương ứngvới phần tử x qua ánh xạ f không nhất thiết là một biểu thức đại số hoặcbiểu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG (Dành cho hệ chất lượng cao) Nghệ An - 2019 MỤC LỤC Mục lục 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp ánh xạ 1.1.1 Tập hợp 1.1.2 Ánh xạ Bài tập 14 1.2 Quan hệ hai 16 1.2.1 Khái niệm quan hệ hai 16 1.2.2 Quan hệ tương đương 17 1.2.3 Quan hệ thứ tự 18 Bài tập 20 1.3 Phép toán 22 1.3.1 Khái niệm phép tốn hai ngơi 22 1.3.2 Các tính chất có phép tốn hai ngơi 24 1.3.3 Phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo 25 Nội dung thảo luận 27 NỬA NHĨM VÀ NHĨM 2.1 Nửa nhóm 28 28 2.1.1 Khái niệm nửa nhóm 28 2.1.2 Nửa nhóm 29 2.1.3 Một số tính chất nửa nhóm 29 2.2 Khái niệm nhóm 31 2.2.1 Định nghĩa ví dụ 31 2.2.2 Các tính chất nhóm 32 2.2.3 Các định nghĩa tương đương nhóm 33 Bài tập 34 2.3 Nhóm 37 2.3.1 Định nghĩa tiêu chuẩn nhóm 37 2.3.2 Nhóm sinh tập 39 2.3.3 Nhóm xyclic 40 Bài tập 43 2.4 Lớp ghép, Định lý Lagrange 45 2.4.1 Lớp ghép 45 2.4.2 Định lý Lagrange hệ 46 2.5 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương 48 2.5.1 Nhóm chuẩn tắc 48 2.5.2 Nhóm thương 49 Bài tập 51 2.6 Đồng cấu nhóm 52 2.6.1 Khái niệm đồng cấu nhóm 52 2.6.2 Một số đồng cấu đặc biệt 55 2.6.3 Tính chất đồng cấu nhóm 56 2.6.4 Nhóm tự đẳng cấu 58 2.6.5 Định lý đồng cấu nhóm 58 2.6.6 Các định lý đẳng cấu nhóm 59 2.6.7 Áp dụng mơ tả nhóm thương nhóm xyclic 61 Bài tập 63 2.7 Nhóm đối xứng 66 2.7.1 Khái niệm nhóm đối xứng 66 2.7.2 Nhóm phép bậc n 66 2.7.3 Nhóm thay phiên 71 2.7.4 Nhúng nhóm vào nhóm đối xứng 2.8 Tích trực tiếp tổng trực tiếp nhóm 72 73 2.8.1 Trường hợp tổng quát 73 2.8.2 Tích trực tiếp hai nhóm 74 Bài tập 77 2.9 Đối xứng hóa vị nhóm giao hoán 78 2.9.1 Đối xứng hóa 78 2.9.2 Xây dựng nhóm cộng số nguyên 80 2.9.3 Xây dựng nhóm nhân số hữu tỷ dương 81 2.9.4 Nhận xét 81 2.9.5 Tính chất nhóm cộng số nguyên 83 Nội dung thảo luận 84 VÀNH, MIỀN NGUYÊN, TRƯỜNG 3.1 Khái niệm vành 85 85 3.1.1 Định nghĩa vành 85 3.1.2 Ví dụ 86 3.1.3 Các tính chất vành 87 Bài tập 88 3.2 Vành con, iđêan vành thương 90 3.2.1 Định nghĩa tiêu chuẩn vành 90 3.2.2 Định nghĩa tiêu chuẩn iđêan 91 3.2.3 Iđêan sinh tập, iđêan hữu hạn sinh 92 3.2.4 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại 93 3.2.5 Vành thương 96 Bài tập 97 3.3 Đồng cấu vành 99 3.3.1 Khái niệm đồng cấu vành 3.3.2 Các tính chất đồng cấu vành 100 3.3.3 Định lý đồng cấu vành 102 99 3.3.4 Đặc số vành 103 Bài tập 105 3.4 Miền nguyên, thể trường 106 3.4.1 Ước không, miền nguyên 106 3.4.2 Phần tử khả nghịch, thể trường 108 3.4.3 Trường 110 3.4.4 Một số tính chất iđêan đồng cấu trường 111 3.4.5 Trường thương 112 3.4.6 Trường số hữu tỷ Q trường số phức C 114 Bài tập 118 Nội dung thảo luận 120 Vành chính, vành Euclid vành nhân tử hóa 121 4.1 Vành vành nhân tử hóa 121 4.1.1 Tính chất số học vành 121 4.1.2 Vành tồn ước chung lớn 124 4.1.3 Vành nhân tử hóa phân tích vành 126 4.1.4 Một số ví dụ vành vành nhân tử hóa 128 Bài tập 129 4.2 Vành Euclid 130 4.2.1 Định nghĩa ví dụ 130 4.2.2 Mối liên hệ vành vành Euclid, thuật toán Euclid 131 Bài tập 132 Nội dung thảo luận 133 VÀNH ĐA THỨC 134 5.1 Vành đa thức ẩn 134 5.1.1 Khái niệm đa thức 134 5.1.2 Phép chia với dư, thuật tốn Euclid tìm UCLN 138 5.1.3 Nghiệm đa thức 140 Bài tập 144 5.2 Vành đa thức nhiều ẩn 145 5.2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 145 5.2.2 Viết đa thức theo lối từ điển 147 5.2.3 Đa thức đối xứng 149 Bài tập 157 5.3 Đa thức bất khả quy trường số 157 5.3.1 Đa thức với hệ số thực phức 158 5.3.2 Đa thức với hệ số hữu tỷ 160 Bài tập 168 Nội dung thảo luận 169 Tài liệu tham khảo 170 Danh mục từ khóa 171 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp ánh xạ Tập hợp ánh xạ hai số khái niệm tốn học Trước hết tìm hiểu sơ lược khái niệm tập hợp 1.1.1 Tập hợp Tập hợp khái niệm toán học, lại khái niệm không định nghĩa Một cách trực quan, ta hiểu tập hợp tụ tập vật, đối tượng hay khái niệm toán học xác định hay nhiều tính chất chung Tập hợp thường ký hiệu chữ in hoa: A, B, C, X, Y, Z, Một số tập hợp quen thuộc có kí hiệu riêng: N, Z, Q, R, C, Q∗ , R∗ , C∗ , Vật tạo nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Nếu x phần tử tập hợp X , viết x ∈ X , đọc “ x thuộc X ” Nếu x phần tử tập hợp X , viết x ∈ / X , đọc “ x không thuộc X ” Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng ký hiệu ∅ Xác định tập hợp xác đinh tất phần tử tập hợp Có nhiều cách để xác định tập hợp Cách đơn giản liệt kê phần tử tập hợp để chúng vào dấu móc { } Ví dụ, A tập hợp tất số tự nhiên không vượt 100, ta viết A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, , 100} Tuy nhiên, lúc ta liệt kê hết phần tử tập hợp, nên thơng thường người ta mơ tả tính chất phần tử tập hợp (chỉ tính chất đặc trưng) Khi ta viết X = {x | P (x)} để nói X tập hợp gồm phần tử x thỏa mãn tính chất P (x) Ví dụ, A = {n ∈ N| n ≤ 100} , B = x ∈ Q| x2 − = = ∅, n √ √ o C = x ∈ R| x − = = − 2; Phần tử tập con: Cho A B tập hợp Ta nói tập hợp B tập tập hợp A, viết B ⊆ A, phần tử tập hợp B thuộc tập hợp A Ta nói A = B A ⊆ B B ⊆ A Quy ước, tập hợp ∅ tập tập hợp Chúng ta cần phân biệt khái niệm “phần tử” “tập con” Ví dụ, cho tập hợp A = {1; 2; 3} Khi ∈ A, ∈ / A, {1} ⊆ A, {5} 6⊆ A Khái niệm “phần tử” hay “tập con” có tính chất tương đối Ví dụ, cho tập hợp A = {1; 2; 3} Kí hiệu P(A) tập tất tập A (mỗi phần tử P(A) tập A) B ∈ P(A) ⇔ B ⊆ A {1} ⊆ A {1} ∈ P(A) ∅ ∈ P(A), ∅ ⊆ A Nếu X có n phần tử P(X) có 2n phần tử Tập hợp hữu hạn: Tập hợp X gọi hữu hạn số phần tử X số tự nhiên Các phép toán tập hợp Cho hai tập hợp A B Khi Hợp A B , ký hiệu A ∪ B tập hợp xác định A ∪ B = x| x ∈ A x ∈ B Giao A B , ký hiệu A ∩ B tập hợp xác định A ∩ B = x| x ∈ A x ∈ B Tích Descartes A B , ký hiệu A × B tập hợp xác định A × B = {(x, y)| x ∈ A, y ∈ B} Hiệu A B , ký hiệu A \ B tập hợp xác định A \ B = x| x ∈ A x ∈ /B Nếu B ⊆ A A \ B gọi phần bù B A, ký hiệu CA (B) Chú ý rằng, phép toán hợp, giao, tích Descartes hồn tồn mở rộng cho họ tùy ý tập hợp {(Xi ) | i ∈ I}, I tập số Khi ta xác định: [ Xi = {x | ∃i ∈ I, x ∈ Xi } i∈I \ Xi = {x | x ∈ Xi , ∀i ∈ I} i∈I Y Xi = {z = (xi )i∈I | xi ∈ Xi , ∀i ∈ I} i∈I Đặc biệt ta viết X n để ký hiệu cho tích Descartes n lần tập hợp X , nghĩa là, X n = {(x1 , , xn ) | xi ∈ X, ∀i = 1, , n} Tiên đề sau giữ vai trò quan trọng lý thuyết tập hợp, đặc biệt cho việc nghiên cứu tập hợp vô hạn Tiên đề chọn Cho X tập hợp tùy ý Ký hiệu P (X) tập tất tập X Khi ln tồn ánh xạ ϕ : P (X) → X cho ϕ(A) ∈ A, ∀A ⊆ X, A 6= ∅ Ánh xạ ϕ gọi ánh xạ chọn tập hợp X 1.1.2 Ánh xạ 1.1.2.1 Định nghĩa Cho X Y tập hợp, ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y Ta viết: f :X → Y x 7→ y = f (x) f X → − Y Khi đó: phần tử y gọi ảnh phần tử x qua ánh xạ f , phần tử x gọi tạo ảnh phần tử y ánh xạ f , X gọi tập nguồn, Y gọi tập đích Như vậy, tương ứng f : X → Y ánh xạ phần tử thuộc tập nguồn X có có ảnh thuộc tập đích Y 1.1.2.2 Ví dụ a) Các tương ứng sau ánh xạ: f : R+ → R x 7→ y = lgx g:R → R x 7→ y = x2 b) Các tương ứng sau ánh xạ: f1 : R → R x 7→ y = lgx h : [−1; 1] → R x 7→ y (với siny = x) c) Cho X tập hợp, tương ứng idX : X → X x 7→ x ánh xạ gọi ánh xạ đồng Ánh xạ đồng idX thường hay ký hiệu 1X Từ phương trình ta có σ1 = σ1 = −1 Nếu σ1 = −1 σ2 = 5/3 ∈ / Z nên loại trường hợp Do σ1 = Khi σ2 = σ3 = −1 Vì vậy, x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình f (x) = x3 − x2 − x + Ta có f (x) = (x − 1)2 (x + 1) Vậy hệ có nghiệm nguyên (−1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1) BÀI TẬP 15 Trong vành đa thức hai biến hệ số thực R[x, y] cho I tập hợp đa thức không chứa hệ số tự (1) Chứng minh I iđêan vành R[x, y] (2) Chứng minh vành thương R[x, y]/I trường 16 Biểu thị đa thức đối xứng sau theo đa thức đối xứng sơ cấp (1) A = x21 x2 + x21 x3 + x22 x1 + x22 x3 + x23 x1 + x23 x2 (2) B = (x1 + x2 )(x2 + x3 )(x3 + x1 ) (3) C = (x1 + x2 − x3 )(x2 + x3 − x1 )(x3 + x1 − x2 ) (4) D = (x21 + x22 )(x22 + x23 )(x23 + x21 ) (5) E = (x1 − x2 )2 (x2 − x3 )2 (x3 − x1 )2 17 Giải hệ phương trình sau x + y + z = (a) x2 + y + z = 56 1/x + 1/y + 1/z = 5/12 x − y + z = −2 (b) x3 − y + z = −8 xyz = −2 x + y + z = (c) x3 + y + z = 27 x + y + z = 113 5.3 Đa thức bất khả quy trường số Trong tiết đề cập đến đa thức trường số quen thuộc Q, R, C Theo kết mục trước, vành đa thức 157 Q[x], R[x], C[x] vành chính, vành Euclid vành nhân tử hóa Do iđêan vành iđêan Trong vành có phép chia với dư; ước chung lớn đa thức tồn tìm thuật tốn Euclid; đa thức phân tích thành tích đa thức bất khả qui Chú ý Q, R, C trường nên đa thức bất khả qui vành đa thức có bậc khác khơng phân tích thành tích đa thức khác với bậc nhỏ bậc đa thức Mục tiêu tiết tìm hiểu đa thức bất khả qui Q[x], R[x], C[x] 5.3.1 Đa thức với hệ số thực phức Mục tiêu phần trình bày Định lý đại số, nói trường số phức C trường đóng đại số, nghĩa đa thức bậc n > hệ số phức có n nghiệm phức Từ suy đa thức bất khả qui vành C[x] đa thức bậc Mặc dù mang tên "Định lý đại số", chưa có chứng minh túy đại số cho định lý Có nhiều chứng minh cho định lý này, tất chứng minh sử dụng đến kiến thức giải tích tơpơ, cần đến tính liên tục hàm đa thức với hệ số thực Sau trình bày cách chứng minh chủ yếu sử dụng công cụ đại số, ngoại trừ tính liên tục hàm đa thức bậc lẻ hệ số thực Trước hết ta có bổ đề sau 5.3.1.1 Bổ đề Mọi đa thức hệ số thực có bậc lẻ có nghiệm thực Chứng minh Cho f (x) = a0 + a1 x + + an xn ∈ R[x], an 6= với n số lẻ Ta biết rằng, với giá trị dương âm x, lớn giá trị tuyệt đối, hàm số f (x) có giá trị trái dấu Vì vậy, tồn số thực a b cho f (a) < f (b) > Mặt khác, hàm số f (x) liên tục, tồn số thực c nằm a b cho f (c) = 158 5.3.1.2 Bổ đề Mọi đa thức bậc hai ax2 + bx + c hệ số phức có hai nghiệm phức Chứng minh Gọi ω1 ω2 hai bậc hai b2 − 4ac Hai nghiệm đa thức cho −b+ω1 2a −b+ω2 2a Chứng minh bổ đề sau cần đến tồn trường phân rã đa thức Vì khn khổ giáo trình, khơng thể trình bày vấn đề nên tạm cơng nhận bổ đề 5.3.1.3 Bổ đề Mọi đa thức bậc dương với hệ số thực có nghiệm phức 5.3.1.4 Định lý (Định lý đại số) Mọi đa thức bậc dương với hệ số phức có nghiệm phức Chứng minh Giả sử f (x) = a0 + a1 x + + an xn đa thức bậc n > với hệ số phức Đặt f (x) = a0 + a1 x + + an xn , với liên hợp , i = 0, , n Xét đa thức g(x) = f (x)f (x) Ta có g(x) = b0 + b1 x + + b2n x2n , P P với bk = aj , k = 0, 1, , 2n Vì bk = aj = bk nên hệ số bk i+j=k i+j=k thực Theo Bổ đề 5.3.1.3, g(x) có nghiệm phức z = s + it g(z) = f (z)f (z) = Do f (z) = f (z) = Nếu f (z) = a0 + a1 z + + an z n = a0 + a1 z + + an z n = 0, tức f (z) = Như z z nghiệm f (x) 159 Từ định lý ta có hệ sau 5.3.1.5 Hệ Đa thức f (x) ∈ C[x] bất khả quy C degf (x) = 5.3.1.6 Hệ Mọi đa thức bậc n > với hệ số phức có n nghiệm phức 5.3.1.7 Chú ý Giả sử f (x) = a0 + a1 x + + an xn đa thức hệ số thực có nghiệm phức z = s + it Khi z = s − it nghiệm f (x) Thật vậy, f (z) = a0 + a1 z + + an z n = nên f (z) = a0 + a1 z + + an z n = a0 + a1 z + + an z n = Suy f (z) = hay z nghiệm f (x) Do f (x) chia hết cho đa thức bậc hai hệ số thực g(x) = (x − z)(x − z) = x2 − (z + z)x + zz ∈ R[x] 5.3.1.8 Hệ Đa thức f (x) ∈ R[x] bất khả quy R degf (x) = degf (x) = khơng có nghiệm thực Chứng minh Rõ ràng đa thức bậc bậc hai ax2 + bx + c với biệt số b2 − 4ac < bất khả quy vành R[x] Ngược lại, giả sử p(x) đa thức bất khả qui R[x] bậc lớn Khi p(x) khơng có nghiệm thực có nghiệm thực c p(x) = (x−c)q(x), q(x) ∈ R[x] nên p(x) khơng bất khả quy.Theo Định lý 5.3.1.4, p(x) có nghiệm phức z theo ý trên, p(x) chia hết cho đa thức hệ số thực g(x) = x2 − (z + z)x + zz g(x) không khả nghịch ước phần tử bất khả qui p(x) nên g(x) phải liên kết với p(x) tức p(x) = ug(x), 6= u ∈ R 5.3.2 Đa thức với hệ số hữu tỷ Nghiệm hữu tỷ đa thức hệ số hữu tỷ Cho f (x) = a0 + a1 x + + an xn ∈ Q[x] Ta đặt vấn đề tìm nghiệm hữu tỷ đa thức f (x) Trước hết, ta có nhận xét sau 160 • Việc tìm nghiệm hữu tỷ đa thức hệ số hữu tỷ quy việc tìm nghiệm hữu tỷ đa thức hệ số nguyên Thật vậy, ta minh họa ví dụ đơn giản sau: cho f (x) = x3 + x + ∈ Q[x] Nghiệm hữu tỷ đa thức f (x) nghiệm hữu tỷ phương trình x + x + = Phương trình tương đương với phương trình 10x3 + 3x + 15 = (1) Như việc tìm nghiệm hữu tỷ f (x) chuyển việc giải phương trình hệ số nguyên (1), tức tìm nghiệm hữu tỷ đa thức hệ số nguyên • Cho f (x) = a0 + a1 x + + an xn ∈ Z[x] đa thức hệ số nguyên Nếu phân số tối giản p/q nghiệm hữu tỷ phương trình f (x) = p | a0 q | an Thật vậy, p/q nghiệm f (x) nên f (p/q) = hay p p a0 + a1 + + an ( )n = q q Do an pn + + a1 pq n−1 + a0 q n = Suy a0 q n = −p(an pn−1 + + a1 q n−1 ) Từ ta có a0 q n p, (p, q) = nên a0 p Mặt khác, từ đẳng thức ta có an pn = −q(an−1 + + a1 pq n−2 + a0 q n−1 ) = Do ta có an q Từ ta suy nghiệm nguyên (nếu có) f (x) ước hệ số tự a0 hệ số cao an = nghiệm hữu tỷ f (x) nghiệm nguyên 161 • Từ hai nhận xét ta suy ra, việc tìm nghiệm hữu tỷ đa thức hệ số hữu tỷ ln quy việc tìm nghiệm ngun đa thức hệ số nguyên Thật vậy, ta tiếp tục trở lại với ví dụ Viết lại phương trình (1) dạng (10x)3 + 30(10x) + 100 = Đặt y = 10x, phương trình trở thành g(y) = y + 30y + 100 = Do việc tìm nghiệm hữu tỷ f (x) trở thành việc tìm nghiệm hữu tỷ g(y) Chú ý nghiệm hữu tỷ g(y) nghiệm nguyên ước 100 Như vậy, việc tìm nghiệm hữu tỷ đa thức hệ số hữu tỷ trở thành việc tìm nghiệm nguyên đa thức hệ số nguyên với hệ số cao • Nếu α nghiệm khác ±1 đa thức g(x) = xn + a1 xn−1 + + an ∈ Z[x] g(1) g(−1) 1−α , 1+α ∈ Z Thật vậy, α nghiệm g(x) nên ta có g(x) = (x − α)q(x), q(x) ∈ Z[x] Thay x = x = −1 vào ta q(1) = g(1) 1−α , q(−1) = g(−1) 1+α ∈ Z Do q(1), q(−1) số nguyên nên ta có điều phải chứng minh • Từ nhận xét đây, ta có bước để tìm nghiệm hữu tỷ đa thức f (x) = a0 + a1 x + + an xn ∈ Q[x] sau Bước Chuyển việc giải phương trình f (x) = việc giải phương trình hệ số nguyên g(x) = xn + a01 xn−1 + + a0n = Bước Tìm ước hệ số tự a0n Bước Tính g(1), g(−1) Giữ lại ±1 chúng nghiệm ước α a0n cho g(1) g(−1) 1−α , 1+α ∈ Z 162 Bước Dùng sơ đồ Hoocne để kiểm tra xem ước α giữ lại Bước có phải nghiệm g(x) hay khơng Ví dụ Tìm nghiệm hữu tỷ đa thức f (x) = x5 − 8x4 + 20x3 − 20x2 + 19x − 12 Trước hết ta nhận thấy tổng tất hệ số f (x) nên x = nghiệm f (x) Để tìm thương phép chia f (x) cho x − ta dùng sơ đồ Hoocne −8 20 −20 19 −12 1 −7 13 −7 12 Vậy f (x) = (x − 1)(x4 − 7x3 + 13x2 − 7x + 12) Đặt g(x) = x4 − 7x3 + 13x2 − 7x + 12 Ta tiếp tục tìm nghiệm g(x) Nhận xét g(c) > 0, ∀c < nên g(x) khơng có nghiệm âm Do ta xét ước dương hệ số tự 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Ta có g(1) = 12, g(−1) = 40 Như không nghiệm ta giữ lại ước chúng làm cho g(1) g(−1) 1−α , 1+α số nguyên, ước cịn lại khơng thỏa mãn điều Muốn kiểm tra xem có nghiệm g(x) không ta dùng sơ đồ Hoocne −8 20 −20 19 −12 1 −7 13 −7 12 −4 −4 1 Vậy nghiệm g(x) nghiệm f (x) Như vậy, f (x) có nghiệm hữu tỷ 1, 3, có phân tích f (x) = (x − 1)(x − 3)(x − 4)(x2 + 1) Đa thức bất khả quy vành Q[x] Việc xét xem đa thức vành R[x] vành C[x] có bất khả quy hay khơng đơn giản cần dựa vào bậc chúng Đối với vành Q[x] ta dựa vào bậc đa thức để đánh giá tính bất khả quy chúng 163 Dễ thấy rằng, đa thức bậc bậc Q[x] chúng bất khả quy chúng khơng có nghiệm Q Đối với đa thức bậc lớn ta khơng thể dựa vào có nghiệm hữu tỷ chúng để đánh giá tính bất khả quy Q Chẳng hạn, đa thức x4 + 2x2 + = (x2 + 1)2 khơng có nghiệm hữu tỷ nào, khơng phải đa thức bất khả quy Cho f (x) ∈ Q[x] Chú ý rằng, ta viết dạng f (x) = b−1 g(x), b số nguyên khác g(x) ∈ Z[x] Trong vành Q[x], f (x) g(x) liên kết Vì vậy, f (x) bất khả quy g(x) bất khả quy Do để xét tính bất khả quy đa thức Q[x] ta cần xét tính bất khả quy đa thức hệ số nguyên 5.3.2.1 Định nghĩa Đa thức hệ số nguyên f (x) gọi đa thức nguyên hệ số f (x) khơng có ước chung ngồi ±1 Chú ý f (x) đa thức hệ số nguyên tùy ý a ước chung lớn hệ số f (x) ta có f (x) = af ∗ (x), với f ∗ (x) đa thức nguyên Nếu f (x) ∈ Q[x] ta viết f (x) dạng f (x) = ab f ∗ (x), với f ∗ (x) đa thức nguyên a, b số nguyên nguyên tố Chẳng hạn, 1 f (x) = x3 + x + = (10x3 + 3x + 15) 15 Các số 10, 3, 15 khơng có ước chung ngồi ±1, nên 10x3 + 3x + 15 đa thức thức nguyên Đối với phân số 15 15 nguyên tố 5.3.2.2 Bổ đề Tích hai đa thức nguyên đa thức nguyên Chứng minh Giả sử f (x) = a0 + a1 x + + am xm g(x) = b0 + b1 x + + bn xn 164 hai đa thức nguyên Để chứng minh f (x)g(x) đa thức nguyên bản, ta chứng minh hệ số f (x)g(x) không chia hết cho số nguyên tố Giả sử p số nguyên tố tùy ý Theo giả thiết, p ước chung a0 , a1 , , am p ước chung b0 , b1 , , bm Giả sử p ước chung a0 , , ar−1 , b0 , , bs−1 p ước ar bs Khi ta xét hệ số cr+s đa thức tích f (x)g(x) : cr+s = ( + ar+s bs+1 ) + ar bs + (ar+1 bs+1 + ) Ta nhận thấy, p ước tất số hạng tổng trừ số hạng ar bs Do p khơng phải ước cr+s Do f (x)g(x) đa thức nguyên 5.3.2.3 Bổ đề Giả sử f (x) ∈ Z[x] đa thức bậc dương không bất khả quy Q[x] Khi f (x) phân tích thành tích đa thức bậc khác với hệ số nguyên Chứng minh Vì f (x) khơng bất khả quy Q[x] nên f (x) viết dạng f (x) = ϕ(x)ψ(x), ϕ(x) ψ(x) ước thực f (x) Q[x] Theo nhận xét trước Bổ đề 5.3.2.2 ta viết c a ϕ(x) = g(x), ψ(x) = h(x), b d g(x), h(x) đa thức nguyên bản, a, b c, d cặp số nguyên nguyên tố Do p f (x) = g(x)h(x), q với p q = ac bd Theo Bổ đề 5.3.2.2, g(x)h(x) đa thức nguyên Ký hiệu hệ số đa thức tích g(x)h(x) ei Khi số ei khơng có ước chung khác ngồi ±1 Mặt khác, f (x) ∈ Z[x] nên 165 pei q ∈ Z với i Do a, b c, d cặp số nguyên tố nên p, q nguyên tố Vì ei chia hết cho q với i Điều suy q = ±1 Do f (x) = ±p g(x)h(x) Vì ϕ(x) ψ(x) ước thực f (x) Q[x], nên g(x) h(x) đa thức hệ số nguyên với bậc khác 5.3.2.4 Định lý (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho đa thức f (x) = a0 + a1 x + + an xn ∈ Z[x], (n > 1) Nếu tồn số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện sau: (1) Hệ số cao an không chia hết cho p; (2) Tất hệ số lại a0 , a1 , , an−1 chia hết cho p; (3) Hệ số tự khơng chia hết cho p2 f (x) bất khả quy vành Q[x] Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử f (x) không bất khả quy Q Khi đó, theo Bổ đề 5.3.2.3, ta viết f (x) = g(x)h(x), g(x) = b0 + b1 x + + br xr ∈ Z[x], (0 < r < n), h(x) = c0 + c1 x + + cs xs ∈ Z[x], (0 < s < n) Ta có a0 = b c a1 = b1 c0 + b0 c1 ak = bk c0 + bk−1 c1 + + b0 ck an = b r c s 166 Theo giả thiết, a0 chia hết cho p p số nguyên tố nên ta suy b0 chia hết cho p c0 chia hết cho p Giả sử b0 chia hết cho p c0 khơng chia hết cho p Vì c0 chia hết cho p a0 chia hết cho p2 , điều trái với giả thiết p ước chung tất hệ số g(x), ngược lại p ước an = br cs , trái giả thiết Gọi bk hệ số g(x) không chia hết cho p, nghĩa b0 , b1 , , bk−1 chia hết cho p bk không chia hết cho p Khi bk c0 = ak − bk−1 c1 − − b0 c0 chia hết cho p a − k, b0 , b1 , , bk−1 chia hết cho p Do c0 không chia hết cho p p số nguyên tố nên suy bk chia hết cho p Điều trái với giả thiết bk Như vậy, giả sử f (x) không bất khả quy Q sai định lý chứng minh 5.3.2.5 Ví dụ 1) Đa thức x4 + 6x3 − 18x2 + 42x + 12 bất khả quy Q[x] Thật vậy, áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein với p = 2) Đa thức xn + pxn−1 + pxn−2 + + p, với p số nguyên tố bất khả quy vành Q[x] Chú ý rằng, đa thức bất khả quy thỏa mãn tiêu chuẩn Eisenstein Chẳng hạn, đa thức f (x) = + x + x2 + x3 + x4 không thỏa mãn tiêu chuẩn Eisenstein bất khả quy Thật vậy, đặt x = y + ta có f (x) = + x + x2 + x3 + x4 = + (y + 1) + (y + 1)2 + (y1 )3 + (y + 1)4 = y + 5y + 10y + 10y + = g(y) g(y) bất khả quy Q[x] theo tiêu chuẩn Eisenstein với p = Do f (x) bất khả quy Q[x] 167 BÀI TẬP 18 Cho đa thức: f1 (x) = x6 − x5 − 6x4 − 3x2 + 3x + 18; f2 (x) = x6 − x5 − 6x4 − 4x2 + 4x + 24; f3 (x) = x6 − 6x5 + 11x4 ˘x3 − 18x2 + 20x − 8; f4 (x) = x3 − 6x2 + 15x − 14; f5 (x) = x4 − x3 − 3x2 + 2x + 2; f6 (x) = x4 − 2x3 − 8x2 + 13x − 24 (1) Tìm nghiệm hữu tỷ đa thức (2) Phân tích đa thức thành tích đa thức bất khả qui trường số Q, R, C 19 Chứng minh đa thức sau bất khả qui trường số hữu tỷ Q: f (x) = x4 − x3 + 2x + 1; f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1; f (x) = (x − 1)(x − 2) (x − n) − 20 Dùng tiêu chuẩn Eisenstein chứng minh đa thức sau bất khả qui vành Q[x] : (1) f (x) = x4 − 8x3 + 12x2 − 6x + 2, (2) g(x) = x4 − 13x3 + 45x2 − 61x + 25, (3) h(x) = x4 + x3 + x2 + x + 168 NỘI DUNG THẢO LUẬN Hiểu khái niệm đa thức, vành đa thức Tính chất vành đa thức ẩn, nhiều ẩn Mơ tả tính chất vành chính, vành Euclid, vành nhân tử hóa vành đa thức k[x] với k trường Tính chất vành đa thức Z[x], Q[x], R[x], C[x] Nhận biết đa thức bất khả quy trường k tùy ý trường số Q, R, C Thực thuật tốn tìm ước chung lớn hai đa thức trường Vận dụng Định lý phép chia có dư 169 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M.F Atiyah and I.G Macdonal (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading Mass [2] Nguyễn Tự Cường (2003), Đại số đại, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Shiro Goto (2018), Basic steps in commutative algebra, Lecture note at Thai Nguyên Pedagogy [4] Bùi Huy Hiền (2000), Bài tập Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục [6] Lê Thị Thanh Nhàn Vũ Mạnh Xuân (2010), Giáo trình lý thuyết nhóm, Nxb ĐHQG Hà Nội [7] Hồng Xn Sính (2000), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục DANH MỤC TỪ KHÓA Đồ thị, 10 Iđêan phải, 91 Đặc số, 103 Iđêan phải chính, 92 Đặc số 0, 103 Iđêan trái, 91 Định lý đại số, 159 Iđêan trái chính, 92 Đơn thức, 146 Tích trực tiếp nhóm, 73 Hệ sinh iđêan, 93 Từ, 146 Iđêan, 91 Tự đẳng cấu nhóm, 55 Iđêan cực đại, 93 Tổng trực tiếp, 74 Iđêan hữu hạn sinh, 93 Thể, 108 Iđêan hai phía, 91 Trường, 108 Iđêan nguyên tố, 94 Vành iđêan trái (phải) chính, 92 Iđêan ngun tố hồn tồn, 94 171