Đại học đà nẵng bài giảng đại số đại cương

Trong định nghĩa ánh xạ, các tập hợpnguồn và đích không nhất thiết là các tập hợp số và phần tử f x tương ứngvới phần tử x qua ánh xạ f không nhất thiết là một biểu thức đại số hoặcbiểu

Tập hợp và ánh xạ

Tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong toán học, mặc dù nó không được định nghĩa một cách rõ ràng Về cơ bản, tập hợp có thể được hiểu là một nhóm các đối tượng, vật thể hoặc khái niệm toán học được xác định bởi một hoặc nhiều tính chất chung, tạo nên một sự tụ tập thống nhất.

Tập hợp thường được ký hiệu bằng chữ in hoa như A, B, C, X, Y, Z, và một số tập hợp quen thuộc có ký hiệu riêng biệt như N, Z, Q, R, C Các phần tử tạo nên tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp, và nếu x là phần tử của tập hợp X, ta ký hiệu là x ∈ X, ngược lại nếu x không phải là phần tử của tập hợp X, ta ký hiệu là x ∉ X Đặc biệt, tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào được gọi là tập rỗng và được ký hiệu là ∅.

Xác định một tập hợp là xác định tất cả các phần tử của tập hợp đó Để xác định một tập hợp, có nhiều cách khác nhau, trong đó cách đơn giản nhất là liệt kê các phần tử của tập hợp và đặt chúng vào giữa hai dấu móc { } Ví dụ, tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên không vượt quá 100 có thể được viết là A = {0, 1, 2, , 100}.

Một tập hợp thường được biểu diễn dưới dạng liệt kê các phần tử của nó, chẳng hạn như tập hợp A = {0,1,2,3,4,5, ,100} Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc liệt kê hết các phần tử là không thể thực hiện được, vì vậy người ta thường mô tả tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp đó Khi đó, ta sử dụng ký hiệu X = {x | P(x)} để chỉ tập hợp X gồm các phần tử x thỏa mãn tính chất P(x), giúp mô tả tập hợp một cách rõ ràng và hiệu quả.

Phần tử và tập con: Cho A và B là các tập hợp.

Ta nói tập hợp B là tập con của tập hợp A, viết B ⊆ A, nếu mọi phần tử của tập hợp B đều thuộc tập hợp A.

Quy ước, tập hợp ∅ là tập con của mọi tập hợp.

Để hiểu rõ hơn về lý thuyết tập hợp, chúng ta cần phân biệt rõ khái niệm "phần tử" và "tập con" Ví dụ, với tập hợp A = {1; 2; 3}, ta có thể thấy 1 là phần tử của A (1∈ A), trong khi 5 không phải là phần tử của A (5∈/ A) Tương tự, {1} là tập con của A ({1} ⊆ A), nhưng {5} không phải là tập con của A ({5} 6⊆ A) Điều này cho thấy khái niệm "phần tử" hay "tập con" chỉ có tính chất tương đối và phụ thuộc vào tập hợp được xét.

Kí hiệu P(A) là tập tất cả các tập con của A (mỗi phần tử của P(A) là một tập con của A).

Nếu X có n phần tử thì P(X) có 2 n phần tử.

Tập hợp hữu hạn: Tập hợp X được gọi là hữu hạn nếu số phần tử của X là một số tự nhiên.

Các phép toán trên các tập hợp Cho hai tập hợp A và B Khi đó Hợp của A và B, ký hiệu A∪B là tập hợp được xác định bởi

A∪B = x| x ∈ A hoặc x ∈ B Giao của A và B, ký hiệu A∩B là tập hợp được xác định bởi

Tích Descartes của A và B, ký hiệu A×B là tập hợp được xác định bởi

A×B = {(x, y)| x ∈ A, y ∈ B}. Hiệu của A và B, ký hiệu A\B là tập hợp được xác định bởi

Nếu B ⊆ A thì A\B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu là C A (B) Các phép toán hợp, giao, tích Descartes có thể mở rộng cho một họ tùy ý các tập hợp {(X i ) | i ∈ I}, với I là một tập chỉ số nào đó, giúp mở rộng khả năng tính toán và ứng dụng trong toán học.

Xi = {z = (xi) i∈I | xi ∈ Xi,∀i ∈ I}. Đặc biệt ta viết X n để ký hiệu cho tích Descartes n lần tập hợp X, nghĩa là,

Tiên đề sau đây giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết tập hợp, đặc biệt là cho việc nghiên cứu các tập hợp vô hạn.

Trong toán học, tiên đề chọn là một khái niệm quan trọng liên quan đến tập hợp Cho một tập hợp X bất kỳ, ký hiệu P(X) đại diện cho tập tất cả các tập con của X Một ánh xạ ϕ từ P(X) đến X được gọi là ánh xạ chọn trên tập hợp nếu nó thỏa mãn điều kiện ϕ(A) ∈ A với mọi tập con A của X khác rỗng.

Ánh xạ

1.1.2.1 Định nghĩa Cho X và Y là các tập hợp, một ánh xạ f từ X đến

Ánh xạ f giữa hai tập hợp X và Y là một quy tắc tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất một phần tử y ∈ Y, được ký hiệu là f : X → Y hoặc X −→ f Y Trong đó, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f, còn phần tử x được gọi là tạo ảnh của phần tử y bởi ánh xạ f.

X được gọi là tập nguồn,

Y được gọi là tập đích.

Như vậy, tương ứng f : X → Y là ánh xạ khi và chỉ khi mỗi phần tử thuộc tập nguồn X đều có và chỉ có một ảnh thuộc tập đích Y.

1.1.2.2 Ví dụ a) Các tương ứng sau đây đều là ánh xạ: f : R + → R x 7→ y = lgx và g : R → R x 7→ y = x 2 b) Các tương ứng sau đây không phải là ánh xạ: f 1 :R → R x 7→ y = lgx. và h : [−1; 1] → R x 7→ y (với siny = x). c) Cho X là một tập hợp, tương ứng id X : X → X x 7→ x là một ánh xạ và được gọi là ánh xạ đồng nhất Ánh xạ đồng nhất id X cũng thường hay được ký hiệu là 1 X

Ánh xạ là khái niệm mở rộng của hàm số, được giới thiệu trong chương trình toán phổ thông Tuy nhiên, khác với các hàm số thông thường, ánh xạ không giới hạn nguồn và đích là tập hợp các số thực R hoặc tập con của R Thay vào đó, ánh xạ cho phép nguồn và đích là các tập hợp số hoặc không phải số, đồng thời phần tử f(x) tương ứng với x có thể là biểu thức đại số, biểu thức lượng giác hoặc các dạng khác.

Trong giải tích, việc vẽ đồ thị của một hàm số là một phần quan trọng Đồ thị của một ánh xạ được định nghĩa là tập con Γ, bao gồm tất cả các cặp thứ tự (x, f(x)) với x thuộc tập X, trong đó f là ánh xạ từ X đến Y.

1.1.2.4 Định nghĩa Cho f : X → Y và g : X → Y là các ánh xạ Ta nói ánh xạ f bằng ánh xạ g, viết f = g, nếu f(x) = g(x), ∀x ∈ X.

Khi có ánh xạ f : X → Y và tập hợp A ⊆ X, tập hợp f(A) = {f(a) | a ∈ A} ⊆ Y được gọi là ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f Trong trường hợp đặc biệt khi A = X, f(X) được gọi là ảnh của ánh xạ f và thường được ký hiệu là Imf.

Cho B ⊆ Y, tập hợp f −1 (B) = {x ∈ X| f(x) ∈ B} ⊆ X được gọi là tạo ảnh của tập hợp B bởi ánh xạ f Trong trường hợp B chỉ chứa một phần tử y, ta thường ký hiệu f −1 (y) thay cho f −1 ({y}), với f −1 (y) = {x ∈ X| f(x) = y} là tập tạo ảnh của phần tử y bởi ánh xạ f.

1.1.2.5 Ví dụ Ví dụ, xét ánh xạ f : R → R x 7→ x 2

1.1.2.6 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → Y Khi đó:

(i) f được gọi là đơn ánh nếu mỗi phần tử y ∈ Y đều có không quá một tạo ảnh;

(ii) f được gọi là toàn ánh nếu mỗi phần tử y ∈ Y đều có tạo ảnh;

(iii) f được gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh tức với mỗi phần tử y ∈ Y thì đều có duy nhất một tạo ảnh.

1.1.2.7 Ví dụ a) Ánh xạ f : R → R x 7→ x 2 không đơn ánh, không toàn ánh và không song ánh. b) Ánh xạ f 1 : [0;∞) → R x 7→ x 2 là một đơn ánh nhưng không toàn ánh. c) Ánh xạ f2 : R → [0;∞) x 7→ x 2 là toàn ánh nhưng không đơn ánh. d) Ánh xạ f3 : [0; +∞) → [0; +∞) x 7→ x 2 là một song ánh.

1.1.2.8 Định nghĩa Cho các ánh xạ: X −→ f Y −→ g Z Tương ứng: h : X → Z, xác định bởi h(x) =g(f(x)), ∀x ∈ X, là một ánh xạ và gọi là ánh xạ hợp thành (hay là tích) của ánh xạ f và ánh xạ g Ánh xạ h thường được ký hiệu là g ◦f (hoặc viết gọn là gf).

Vậy gf : X → Z,là ánh xạ được xác định bởi (gf)(x) = g(f(x)),∀x ∈ X.

1.1.2.9 Ví dụ Cho các ánh xạ f : R → R g : R → R x 7→ x 2 x 7→ 2x 3 + 1.

Khi đó, tồn tại tích gf và f g và được xác định như sau: gf : R → R x 7→ 2x 6 + 1,

Ta có f g 6= gf, vì lấy x = 1 ⇒ (gf)(1) = 3 6= 9 = (f g)(1) Qua ví dụ này ta thấy phép hợp thành ánh xạ nói chung không có tính chất giao hoán.

1.1.2.10 Mệnh đề (1) Phép hợp thành ánh xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là, nếu X −→ f Y −→ f Z −→ h W là các ánh xạ thì

(2) Cho ánh xạ f : X → Y Ta có: 1 Y f = f và f1 X = f.

Khi có các ánh xạ X −→ f Y −→ g Z, ta có thể kết luận rằng nếu f và g là đơn ánh thì gf cũng là đơn ánh Tương tự, nếu f và g là toàn ánh thì gf cũng là toàn ánh Ngoài ra, nếu f và g là song ánh thì gf cũng là song ánh.

1.1.2.11 Định nghĩa Cho một song ánh f : X → Y Khi đó mỗi phần tử y ∈ Y đều có duy nhất một tạo ảnh x ∈ X Do đó ta có một tương ứng g : Y → X, xác định bởi với mỗi y ∈ Y, g(y) = x (trong đó f(x) = y) Vì f là một song ánh nên g là một ánh xạ và được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f Ánh xạ g thường được kí hiệu là: f −1

1.1.2.12 Ví dụ Ánh xạ f : R + → R x 7→ lgx là song ánh nên f có ánh xạ ngược f −1 : R → R + y 7→ 10 y

1.1.2.13 Mệnh đề Cho ánh xạ f : X → Y.

(1) f có ánh xạ ngược f −1 khi và chỉ khi f là song ánh Khi đó f −1 cũng là song ánh và (f −1 ) −1 = f.

(2) Nếu f là song ánh thì f −1 f = 1 X ; f f −1 = 1 Y

(3) Nếu tồn tại ánh xạ g : Y → X sao cho gf = 1 X , f g = 1 Y thì f là song ánh và g = f −1

(4) Nếu X −→ f Y −→ g Z là các song ánh thì gf là một song ánh và khi đó(gf) −1 = f −1 g −1

1 Xét tập hợp {A 1 , A 2 , , A n }, trong đó A 1 , A 2 , , A n là các tập hợp Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tập hợp A i không chứa bất kỳ tập hợp nào trong các tập hợp còn lại.

2 Cho A, B, C là các tập hợp Chứng minh rằng A\(A\B) = B khi và chỉ khi B ⊆ A.

3 Biểu diễn hình học tập hợp A×B trong các trường hợp sau:

4 Biểu diễn hình học tập hợp X gồm các điểm(x, y)của mặt phẳng Đêcac có dạng (x, x) với 0≤ x ≤ 1 hoặc có dạng (x, x+ 1) với x ≥ 0.

Tập hợp X trong các trường hợp này có phải là đồ thị của một ánh xạ từ

5 Cho A, B, C là các tập hợp Chứng minh rằng:

6 Giả sử (Ai)i∈I là một họ các tập con của một tập hợp X và B là một tập hợp tùy ý Chứng minh rằng:

G = {(x, x) | x < 0} ∪ {(x,0) | x ≥ 0} có phải là đồ thị của một ánh xạ từ R đến R? Biểu diễn hình học tập hợp đó.

G= {(x, 1 x−1 | x∈ R, x 6= 1} có thể coi là đồ thị của ánh xạ nào? Biểu diễn hình học tập hợp đó.

9 Cho f : X → Y là một ánh xạ; A và B là hai tập con của X Chứng minh rằng:

10 Cho f : X → Y là một ánh xạ; C và D là hai tập con của Y Chứng minh rằng:

11 Cho các ánh xạ f : X → Y và g : Y →Z Chứng minh rằng:

(a) Nếu h = gf là toàn ánh thì g là toàn ánh, nếu thêm giả thiết g đơn ánh thì f là toàn ánh;

(b) Nếu h = gf là đơn ánh thì f là đơn ánh, nếu thêm giả thiết f là toàn ánh thì g là đơn ánh.

12 ChoX, Y là các tập hợp khác rỗng vàf : X → Y là một ánh xạ Chứng minh rằng f là một đơn ánh khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ g : Y → X sao cho gf = 1 X

13 ChoX, Y là các tập hợp khác rỗng vàf : X → Y là một ánh xạ Chứng minh rằng f là một toàn ánh khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ g : Y → X sao cho f g = 1 Y

15 Cho các ánh xạ f : X → Y, g, g 0 : Z →X Chứng minh rằng:

(1) Nếu f là một đơn ánh và f g = f g 0 thì g = g 0 ;

(2) Nếu với mọi g, g 0 mà f g = f g 0 kéo theo g = g 0 thì f là một đơn ánh.

16 Cho các ánh xạ f : X → Y, h, h 0 : X → Z Chứng minh rằng:

(1) Nếu f là một toàn ánh và hf = h 0 f thì h = h 0 ;

(2) Nếu với mọi h, h 0 mà hf = h 0 f kéo theo h = h 0 thì f là một toàn ánh.

17 Chứng minh rằng nếu có một song ánh từ X đến Y và có một song ánh từ X đến Z thì có một song ánh từ Y đến Z.

18 Giả sử f : X → Y là một ánh xạ, (Ai) i∈I là một họ các tập con của

X, (Bj) j∈J là một họ các tập con của Y Chứng minh rằng:

Quan hệ hai ngôi

Khái niệm quan hệ hai ngôi

1.2.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X 6= ∅ Một quan hệ hai ngôi (gọi tắt là quan hệ) trên tập hợp X là một tập con R của tích Descartes X ×X.

1.2.1.2 Chú ý Giả sử R là một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X, tức là

R ⊆ X ×X = {(x, y)| x, y ∈ X} Nếu x, y ∈ X mà (x, y) ∈ R thì ta nói phần tử x có quan hệ R với phần tử y và viết xRy.

1.2.1.3 Ví dụ a) Quan hệ “bé hơn hoặc bằng thông thường” trên Z :

Nếu aR 1 b thì ta viết a ≤ b. b) Quan hệ "chia hết" trên N ∗ :

Nếu aR 1 b thì ta viết a|b. c) Quan hệ "đồng dư theo môđun n" trên Z.

Cho n là một số nguyên dương,

R 3 = n(a, b) ∈ Z×Z| a−b no.Nếu aR 3 b thì ta viết a ≡ b (mod n).

Trên một tập hợp cho trước, có thể tồn tại nhiều quan hệ hai ngôi khác nhau Trong đại số, hai loại quan hệ hai ngôi đặc biệt quan trọng cần được lưu ý là quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự, đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng và phát triển các cấu trúc đại số.

Quan hệ tương đương

1.2.2.1 Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là quan hệ tương đương nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) Tính phản xạ: ∀x ∈ X thì xRx,

(2) Tính đối xứng: ∀x, y ∈ X nếu xRy thì yRx,

(3) Tính bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X mà xRy và yRz thì xRz.

1.2.2.2 Ví dụ Ví dụ, quan hệ đồng dư theo môđun n là một quan hệ tương đương trên Z (xem Ví dụ 1.2.1.3, c).

Nếu R là một quan hệ tương đương trên tập hợp X thì thay vì viết xRy ta thường viết “x ∼ y” Khi đó nếu x, y ∈ X mà x ∼ y thì ta nói x tương đương với y.

Trên tập X có quan hệ tương đương ∼, khi cho x ∈ X, ta ký hiệu x = {y ∈ X | y ∼ x} ⊆ X Đây là tập con của X gồm tất cả các phần tử tương đương với x, trong đó x ∈ x Tập x được gọi là lớp tương đương chứa phần tử x, thể hiện mối quan hệ tương đương giữa các phần tử trong tập X.

Mối quan hệ giữa hai lớp tương đương trong một tập hợp X được xác định bởi quan hệ tương đương ∼ Khi x và y là các phần tử trong X, ta có x ∈ y nếu và chỉ nếu x ∼ y, dẫn đến hai kết quả quan trọng: x = y khi và chỉ khi x ∼ y, và x ∩ y = ∅ khi và chỉ khi x và y không tương đương Do đó, tập hợp X được chia thành các lớp tương đương, mỗi lớp gồm các phần tử tương đương với nhau, và hai lớp tương đương bất kỳ hoặc là trùng nhau hoặc là rời nhau Hợp của tất cả các lớp tương đương của X chính bằng X, và ta nói X được phân hoạch thành các lớp tương đương Mỗi phần tử trong một lớp tương đương có thể được chọn làm đại diện của lớp đó, và phần tử này được gọi là một đại diện của lớp.

1.2.2.3 Định nghĩa Tập hợp các lớp tương đương của X được gọi là tập thương của X theo quan hệ tương đương ∼ Tập hợp này thường được kí hiệu là X/ ∼ Vậy

Ví dụ, cho n là một số nguyên dương, quan hệ đồng dư theo môđun n trên Z tạo thành một quan hệ tương đương, và dễ thấy tập thương gồm n phần tử.

{0,1, , n−1}, trong đó r = {a ∈ Z | (a−r) n} Tập thương này được kí hiệu là Zn và gọi là tập hợp các số nguyên modulo n.

Quan hệ thứ tự

1.2.3.1 Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Tính phản xạ: ∀x ∈ X thì xRx,

(ii) Tính phản đối xứng: ∀x, y ∈ X nếu xRy và yRx thì x = y,

(iii) Tính bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X mà xRy và yRz thì xRz.

1.2.3.2 Ví dụ Các quan hệ hai ngôi R1 và R2 trong Ví dụ 1.2.1.3 là những quan hệ thứ tự.

1.2.3.3 Chú ý Giả sử R là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X Khi đó thay vì viết xRy ta thường viết x ≤ y Nếu x, y ∈ X mà x ≤ y thì ta nói x bé hơn hoặc bằng y.

1.2.3.4 Định nghĩa Giả sử trên tập hợp X cho một quan hệ thứ tự “≤”. Khi đó X được gọi là tập sắp thứ tự, ta thường ký hiệu (X,≤).

(1) Trên tập sắp thứ tự (X,≤), hai phần tử x, y ∈ X được gọi là so sánh được với nhau theo quan hệ thứ tự “≤” nếu x ≤ y hoặc y ≤ x.

Quan hệ thứ tự "≤" trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần nếu bất kỳ hai phần tử nào của X đều có thể so sánh được với nhau theo quan hệ thứ tự này.

Quan hệ thứ tự "≤" trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận nếu như tồn tại ít nhất hai phần tử x và y thuộc X mà không thể so sánh được với nhau theo quan hệ thứ tự "≤", nghĩa là không có x ≤ y và cũng không có y ≤ x.

1.2.3.5 Ví dụ a) Quan hệ R1 trong Ví dụ 1.2.1.3 là một quan hệ thứ tự toàn phần trên Z. b) Quan hệ R2 trong Ví dụ 1.2.1.3 là một quan hệ thứ tự bộ phận trên

N ∗ , vì ∃2,5∈ N ∗ nhưng 2 không chia hết 5 và 5 cũng không chia hết 2.

1.2.3.6 Định nghĩa Cho (X,≤) là một tập sắp thứ tự.

(1) Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử lớn nhất của X nếu ∀x ∈ X thì x ≤a.

(2) Phần tử b ∈ X được gọi là phần tử bé nhất của X nếu ∀x ∈ X thì b ≤x.

(3) Phần tử c ∈ X được gọi là phần tử cực đại (hay tối đại) của X nếu

(4) Phần tử d ∈ X được gọi là phần tử cực tiểu (hay tối tiểu) của X nếu

1.2.3.7 Ví dụ Cho X = {2,3, ,12}. a) Trên X xét quan hệ thứ tự chia hết “|”: a ≤b ⇔ a|b Khi đó:

- Phần tử lớn nhất: Không có.

- Phần tử bé nhất: Không có.

- Phần tử cực tiểu: 2,3,5,7,11. b) Nếu xét quan hệ thứ tự bé hơn hoặc bằng thông thường “≤”.

- Phần tử lớn nhất trùng với phần tử cực đại: 12.

- Phần tử bé nhất trùng với phần tử cực tiểu: 2.

1.2.3.8 Định nghĩa Giả sử (X,≤) là một tập sắp thứ tự và A ⊆ X Khi đó:

(1) Phần tử x ∈ X được gọi là một cận dưới (hay chặn dưới) của A nếu

∀a ∈ A thì x ≤ a Phần tử lớn nhất trong tập tất cả các cận dưới của A được gọi là cận dưới đúng của A trong X, ký hiệu là inf A.

(2) Phần tử y ∈ X được gọi là một cận trên (hay chặn trên) của A nếu

∀a ∈ A thì a ≤ y Phần tử bé nhất trong tất cả các cận trên của A được gọi là cận trên đúng của A trong X, ký hiệu là sup A.

(3) A được gọi là xích trong X nếu hai phần tử bất kỳ của A đều so sánh được với nhau, nghĩa là, với mọi a, b ∈ A thì a ≤b hoặc b ≤a.

Bổ đề Zorn là một mệnh đề toán học quan trọng thường được sử dụng rộng rãi trong các chứng minh toán học Chứng minh chi tiết của bổ đề này có thể được tham khảo thêm Đặc biệt, bổ đề Zorn được chứng minh là tương đương với Tiên đề chọn, một khái niệm toán học quan trọng khác.

1.2.3.9 Định lý (Bổ đề Zorn) Cho X là một tập sắp thứ tự Nếu mỗi xích trong X đều có chặn trên trong X thì trong X có ít nhất một phần tử cực đại.

1.2.3.10 Định nghĩa Giả sử (X,≤) là một tập sắp thứ tự Ta nói X là tập sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử bé nhất. Định lý sau đây cũng tương đương với Tiên đề chọn.

1.2.3.11 Định lý (Định lý Zemelo) Mọi tập hợp đều có thể sắp thứ tự tốt.

19 Cho n là một số nguyên dương Trên tập hợp các số nguyên Z ta xét quan hệ đồng dư theo môđun n như sau: Giả sử a và b là hai số nguyên, ta nói a đồng dư với b theo môđun n khi và chỉ khi số dư trong phép chia a và b cho n là như nhau, điều này tương đương với a−b chia hết cho n Khi đó ta ký hiệu a ≡ b (mod n).

(1) Chứng minh rằng quan hệ đồng dư theo môđun n là một quan hệ tương đương trên Z.

(2) Tập thương của Z theo quan hệ đồng dư theo môđun n được ký hiệu là Z/nZ (hoặc Z n ) Hãy tìm tập thương Z/nZ.

20 Trên tập hợp các số thực R, xét quan hệ hai ngôi R như sau:

Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương Hãy tìm các lớp tương đương.

21 Cho f là một đơn ánh từ tập X vào tập các số tự nhiên N Chứng minh rằng quan hệ R được xác định bởi:

∀x, y ∈ X, xRy ⇐⇒ f(x) ≤ f(y) là một quan hệ thứ tự toàn phần trên X.

22 Cho X là một tập hợp, kí hiệu P(X) là tập tất cả các tập con của X.

(1) Tính số phần tử của tập P(X) nếu tập hợp X có n phần tử.

Trong tập hợp P(X) \ {∅} với quan hệ thứ tự bao hàm "⊆", phần tử tối đại là tập hợp {2,4,6,7,8,10,11,12} vì nó bao hàm tất cả các tập hợp khác Phần tử tối tiểu là các tập hợp chỉ chứa một phần tử, chẳng hạn như {2}, {4}, {6}, {7}, {8}, {10}, {11}, {12} Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất của tập hợp P(X) \ {∅} cũng tương ứng là tập hợp {2,4,6,7,8,10,11,12} và các tập hợp chỉ chứa một phần tử, vì chúng cũng thỏa mãn quan hệ thứ tự bao hàm "⊆".

23 Giả sử f : X → Y là một ánh xạ, S là một tập con của X ×X gồm các cặp (x, x 0 ) sao cho f(x) = f(x 0 ).

(1) Chứng minh S là một quan hệ tương đương trên X.

Ánh xạ p: X → X/S được xác định bởi p(x) = x, trong đó x là lớp tương đương chứa phần tử x Theo đó, ánh xạ này ánh xạ mỗi phần tử x của X vào lớp tương đương chứa nó trong X/S Để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của ánh xạ f : X/S → Y sao cho biểu đồ giao hoán, chúng ta cần xem xét mối quan hệ giữa các lớp tương đương và ánh xạ f.

(3) Chứng minh rằng f là đơn ánh và nếu f toàn ánh thì f là một song ánh.

24 Chứng minh rằng các quan hệ sau là các quan hệ tương đương:

(1) Quan hệ ∼ trên Z×Z xác định bởi: với mọi (a, b),(c, d) ∈ Z×Z,

(2) Quan hệ ∼ trên Q×Q ∗ xác định bởi: với mọi (a, b),(c, d) ∈ Z×Q ∗ ,

(a, b) ∼(c, d) nếu và chỉ nếu ad = bc, trong đó ký hiệu Q ∗ là tập các số hữu tỷ khác 0.

25 Cho X là một không gian ba chiều thông thường và O là một điểm cố định của X Trong X ta xác định quan hệ S như sau: với hai điểm P và P 0 thì P SP 0 khi và chỉ khi O, P, P 0 thẳng hàng.

(1) S có phải là một quan hệ tương đương trên X không?

(2) S có phải là một quan hệ tương đương trên X\ {O} không? Nếu phải, hãy xác định các lớp tương đương.

26 Giả sử X là một tập hợp và S là một quan hệ thứ tự trên X Chưng minh rằng quan hệ T trên X xác định bởi aT b khi và chỉ khi bSa cũng là một quan hệ thứ tự trên X.

27 Giả sử X là một tập hợp và S là một quan hệ tương đương trên X. Chứng minh S không phải là một quan hệ thứ tự.

28 Chứng minh rằng nếu a là phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) của một tập hợp X đối với một quan hệ thứ tự S nào đó thì a là phần tử tối tiểu(tương ứng tối đại) duy nhất của X.

Phép toán

Khái niệm phép toán hai ngôi

1.3.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp khác rỗng Một phép toán hai ngôi trên X là một ánh xạ từ X ×X đến X.

1.3.1.2 Chú ý Giả sử f là một phép toán trên X Khi đó: f :X ×X → X (x, y) 7→ xf y := f(x, y) là một ánh xạ Với x, y ∈ X, phần tử f((x, y)) ∈ X thường được viết là xf y. Trong thực tế, phép toán f thường được kí hiệu theo lối nhân: x.y := xf y (thường viết gọn là xy), khi đó phép toán hai ngôi được gọi là phép nhân và cái hợp thành xy được gọi là tích của x và y Nếu phép toán được kí hiệu theo lối cộng: x+y := xf y thì phép toán hai ngôi được gọi là phép cộng và cái hợp thành x +y được gọi là tổng của x và y Để thuận tiện, khi nghiên cứu những tính chất chung của phép toán người ta thường kí hiệu phép toán theo lối nhân.

Nói chung,f((x, y)) 6= f((y, x)) (chẳng hạn khi f đơn ánh) Do đó cần chú ý đến thứ tự viết các phần tử x và y.

1.3.1.3 Ví dụ (1) Phép cộng, phép nhân các số thông thường là các phép toán trên các tập hợp số N,Z,Q,R,C Phép trừ là phép toán trên Z chứ không phải là phép toán trên N.

(2) Cho X là một tập hợp Ký hiệu P(X) là tập tất cả các tập con của

X Khi đó phép hợp, phép giao các tập hợp là những phép toán trên P(X).

(3) Phép hợp thành các ánh xạ là phép toán trên tập hợp m(X) các ánh xạ từ X đến X.

Phép nhân ma trận là một phép toán được áp dụng trên tập hợp các ma trận vuông cấp n, trong khi đó phép cộng ma trận lại được thực hiện trên tập các ma trận có kích thước m×n.

(5) Phép mũ hóa a b là một phép toán trên N ∗

1.3.1.4 Định nghĩa Giả sử ∗ là một phép toán trên tập hợp X và A⊆ X.

Tập con A được coi là ổn định (hay khép kín) đối với phép toán ∗ nếu với mọi phần tử a, b thuộc A thì kết quả của phép toán a ∗ b cũng thuộc A Khi đó, phép toán ∗ cũng được gọi là phép toán trên A và được xem là phép toán cảm sinh.

Các tính chất có thể có của phép toán hai ngôi

1.3.2.1 Định nghĩa Giả sử trên tập hợp X đã cho phép toán ∗.

(1) Phép toán ∗ được gọi là có tính chất kết hợp nếu

(2) Phép toán ∗ được gọi là có tính chất giao hoán nếu x∗y = y∗x, ∀x, y ∈ X.

(3) Giả sử trên X cho hai phép toán > và ⊥ Ta nói rằng:

- Phép toán > có tính chất phân phối bên trái đối với phép toán ⊥ nếu x>(y⊥z) = (x>y)⊥(x>z), ∀x, y, z ∈ X.

- Phép toán > có tính chất phân phối bên phải đối với phép toán ⊥ nếu

Nếu phép toán > vừa phân phối bên trái vừa phân phối bên phải đối với phép toán ⊥ thì ta nói > phân phối đối với ⊥.

1.3.2.2 Ví dụ (1) Tất cả các phép toán ở Ví dụ 1.3.1.3 không kể phép trừ trên Z và phép mũ hóa trên N ∗ đều có tính kết hợp Phép mũ hóa trên N ∗ là ví dụ về phép toán không có tính kết hợp vì chẳng hạn (2 3 ) 2 6= 2 (3 2 )

Các phép toán trong Ví dụ 1.3.1.3, cụ thể là (1) và (2) (trừ phép trừ trên Z), đều sở hữu tính chất giao hoán, trong khi đó các phép toán ở Ví dụ 1.3.1.3 (3), (4) và (5) lại không có tính chất này Ví dụ điển hình là phép nhân ma trận ở Ví dụ 1.3.1.3 (4), khi lấy ma trận A = 1 00 0

Trên tập hợp R, phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, trong khi đó phép cộng không phân phối đối với phép nhân Ngược lại, trên tập hợp P(X), phép giao có tính phân phối đối với phép hợp và phép hợp cũng phân phối đối với phép giao.

Phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo

1.3.3.1 Định nghĩa Giả sử trên tập hợp X đã cho phép toán ∗ Khi đó phép toán này có thể có những phần tử đặc biệt sau:

(1) Phần tử e ∈ X được gọi là đơn vị trái của phép toán ∗ nếu e∗x = x, ∀x ∈ X.

(2) Phần tử e ∈ X được gọi là đơn vị phải của phép toán ∗ nếu x∗e = x, ∀x ∈ X.

(3) Phần tử e ∈ X được gọi là đơn vị của phép toán ∗ nếu e vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.

1.3.3.2 Ví dụ (1) Số 0 là đơn vị của phép cộng và số 1 là đơn vị của phép nhân trên R.

Phép trừ trên tập hợp số thực R không có phần tử đơn vị vì nếu tồn tại phần tử đơn vị e thuộc R, thì x - e = x sẽ suy ra e = 0 Tuy nhiên, khi xét 0 - x, ta có 0 - x = -x, và rõ ràng -x ≠ x khi x ≠ 0, do đó 0 không phải là phần tử đơn vị của phép trừ trên R.

Tập hợp các ánh xạ từ A đến A được ký hiệu là m(A) Trong đó, ánh xạ đồng nhất 1A đóng vai trò là đơn vị của phép hợp thành ánh xạ trong m(A) do thỏa mãn hai điều kiện: 1A thuộc m(A) và 1Af = f = f1A với mọi ánh xạ f thuộc m(A).

(4) Phép mũ hóa trong N ∗ có đơn vị phải là 1 vì n 1 = n, ∀n ∈ N nhưng không có đơn vị trái; do đó nó không có đơn vị.

1.3.3.3 Chú ý Nếu một phép toán hai ngôi trên X có một phần tử đơn vị trái e 0 và một phần tử đơn vị phải e 00 thì e 0 = e 00 Từ đó suy ra mỗi phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử đơn vị Thông thường, nếu phép toán được ký hiệu theo lối cộng thì phần tử đơn vị được gọi là phần tử không và ký hiệu là 0.

1.3.3.4 Định nghĩa Giả sử phép toán ∗ trên tập hợp X có đơn vị là e.

(1) Cho x ∈ X Phần tử y ∈ X được gọi là nghịch đảo của x nếu y ∗x = e = x∗y = e.

(2) Phần tử a ∈ X được gọi là chính qui trái (tương ứng phải) nếu a∗x = a∗y kéo theo x = y,∀x, y ∈ X

(tương ứng x∗a = y ∗a kéo theo x = y,∀x, y ∈ X) Phần tử a được gọi là chính qui nếu nó chính qui bên trái và bên phải.

1.3.3.5 Chú ý Nếu a là phần tử chính qui thì ta nói luật giản ước được thực hiện đối với a.

Do tính đối xứng của x và y trong định nghĩa, nếu y là nghịch đảo của x thì x cũng là nghịch đảo của y.

Nếu phép toán ∗ trên tập X có tính chất kết hợp thì phần tử nghịch đảo của x ∈ X nếu có là duy nhất Điều này có nghĩa là nếu y và y0 là hai phần tử nghịch đảo của x thì chúng sẽ bằng nhau Thật vậy, bằng cách sử dụng tính chất kết hợp của phép toán ∗, chúng ta có thể chứng minh rằng y = y0.

Trong một tập hợp X, nếu phép toán được ký hiệu theo lối nhân, phần tử nghịch đảo của x sẽ được ký hiệu là x −1, và x được gọi là khả nghịch trong X Ngược lại, nếu phép toán trên X được ký hiệu theo lối cộng, phần tử nghịch đảo của x sẽ được gọi là phần tử đối của x và được ký hiệu là −x.

1.3.3.6 Ví dụ (1) Đối với phép nhân trên R có đơn vị là 1, mọi phần tử x 6= 0 đều có nghịch đảo và x −1 = 1/x là nghịch đảo của x Đối với phép cộng trên R có đơn vị là 0, mọi phần tử x ∈ R đều có phần tử đối là −x.

Đối với phép cộng trên tập số nguyên Z, phần tử đơn vị là 0 và mọi số nguyên x đều có phần tử đối là -x Trong khi đó, đối với phép nhân trên Z, phần tử đơn vị là 1, nhưng chỉ có -1 và 1 là có nghịch đảo, và nghịch đảo của chúng chính là chính nó.

Phép hợp thành ánh xạ trên m(A) có đơn vị là 1A, trong đó mỗi phần tử f thuộc m(A) có nghịch đảo nếu và chỉ nếu f là một ánh xạ song ánh Khi đó, ánh xạ ngược f −1 sẽ chính là nghịch đảo của ánh xạ f, đảm bảo tính chất của phép hợp thành ánh xạ.

1 Cách xác định một tập hợp Hợp, giao, hiệu, tích Descartes các tập hợp.

2 Phân biệt khái niệm phần tử và tập con, phân biệt dấu ∈ và dấu ⊆.

3 Chứng minh X ⊆ Y và chứng minh X = Y.

4 Nhận biết ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh.

5 Sự tồn tại và tính chất của ánh xạ ngược.

6 Tính chất của ánh xạ hợp thành.

7 Quan hệ tương đương, lớp tương đương, sự phân hoạch, tập thương.

8 Quan hệ thứ tự, quan hệ thứ tự toàn phần, quan hệ thứ tự bộ phận, các phần tử đặc biệt trong một tập sắp thứ tự Bổ đề Zorn.

9 Khái niệm phép toán hai ngôi Các tính chất có thể có của phép toán hai ngôi Phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo.

CHƯƠNG 2 NỬA NHÓM VÀ NHÓM

Khái niệm nửa nhóm

2.1.1.1 Định nghĩa (1) Một tập hợp khác rỗng trên đó được trang bị một phép toán có tính chất kết hợp được gọi là một nửa nhóm.

(2) Một nửa nhóm mà phép toán trên đó có tính chất giao hoán thì được gọi là nửa nhóm giao hoán.

(3) Một nửa nhóm mà phép toán trên đó có đơn vị thì được gọi làvị nhóm.

2.1.1.2 Ví dụ (1) Các tập hợp số N,Z,Q,R,C cùng với phép nhân các số thông thường là những ví dụ về nửa nhóm giao hoán, hơn nữa đó là những vị nhóm với đơn vị là 1 Tương tự như vậy, các tập hợp số N,Z,Q,R,C cùng với phép cộng các số thông thường là những vị nhóm giao hoán với đơn vị là 0.

Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n phần tử thực cùng với phép nhân ma trận tạo thành một vị nhóm không giao hoán, với đơn vị là ma trận đơn vị I_n.

(3) Tập hợp các số tự nhiên khác không N ∗ cùng với phép cộng là một nửa nhóm giao hoán nhưng không phải là vị nhóm.

(4) N ∗ cùng với phép mũ hóa không phải là nửa nhóm.

Khi X là một tập hợp, ta có thể xác định hai cấu trúc đại số trên tập hợp các tập con P(X) của X Cụ thể, P(X) cùng với phép giao là một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là tập hợp X, trong khi đó P(X) cùng với phép hợp cũng là một vị nhóm giao hoán nhưng có phần tử đơn vị là tập hợp rỗng ∅.

(6) Cho X là một tập hợp Khi đó tập hợp m(X) các ánh xạ từ X đến

X cùng với phép hợp thành ánh xạ là một vị nhóm không giao hoán với đơn vị là ánh xạ đồng nhất 1X.

Nửa nhóm con

2.1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là một nửa nhóm và A là một tập con ổn định của nửa nhóm X Khi đó A cùng với phép toán cảm sinh là một nửa nhóm và được gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X.

2.1.2.2 Ví dụ Ta có dãy các nửa nhóm con lồng nhau

Cũng như thế nếu ta thay phép cộng (+) bởi phép nhân (.).

Tập 2N+ 1 đại diện cho tất cả các số tự nhiên lẻ, nhưng nó không phải là nửa nhóm con của nửa nhóm cộng (N,+) Tuy nhiên, tập 2N+ 1 lại là nửa nhóm con của nửa nhóm nhân (N, ), thể hiện mối quan hệ đặc biệt trong cấu trúc số học.

Một số tính chất của nửa nhóm

Từ nay về sau, để thuận tiện, chúng ta sẽ ký hiệu phép toán theo lối nhân, trừ những trường hợp cụ thể Trong nửa nhóm X, do phép toán có tính chất kết hợp, giá trị chung của hai vế của đẳng thức (xy)z = x(yz) sẽ được ký hiệu là xyz Tương tự, tích của nhiều phần tử sẽ được xác định theo cách tổng quát: x 1 x n−1 x n := (x 1 x n−1 )x n Định lý sau đây cho thấy chúng ta có thể bỏ dấu ngoặc vào biểu thức x 1 x n một cách tùy ý mà không làm thay đổi giá trị của biểu thức, miễn là không đảo vị trí các phần tử.

2.1.3.1 Định lý (Định lý kết hợp) Giả sử x1, , xn (n ≥ 3) là n phần tử (phân biệt hoặc không) của nửa nhóm X Khi đó x 1 x n = (x 1 x i )(x i+1 x j ) .(x m+1 x n )

Chứng minh Ta chứng minh định lý bằng qui nạp theo n.

Khi n = 3, định lý được chứng minh là đúng do phép toán trong X có tính chất kết hợp Giả sử định lý đúng với mọi số tự nhiên k thỏa mãn 3 ≤ k ≤ n - 1, chúng ta cần chứng minh định lý đúng với số tự nhiên n.

Trong một nhóm giao hoán, thứ tự của các nhân tử không ảnh hưởng đến kết quả của tích Cụ thể, với mọi phần tử x, y, z thuộc nhóm X, ta có xy = yx và xyz = xzy = zxy = yxz = yzx Điều này cho phép chúng ta viết lại thứ tự các nhân tử x i trong biểu thức x 1 x n một cách tùy ý mà không làm thay đổi giá trị của tích.

2.1.3.2 Định lý Trong nửa nhóm giao hoán X, tích x 1 x n không phụ thuộc thứ tự các nhân tử.

Chứng minh Ta chứng minh định lý bằng qui nạp theo n.

Với n= 2, định lý đúng do X là nửa nhóm giao hoán.

Để chứng minh định lý đúng với n, chúng ta cần chứng minh x 1 x n = x i 1 x i n với mọi hoán vị (i 1 , , i n ) của (1, , n) Giả sử (i 1 , , i n ) là một hoán vị tùy ý của (1, , n) và x i k = x n, thì biểu thức x i 1 x i k−1 x i k x i k+1 x i n có thể được viết lại thành (x i 1 x i k−1 x i k )(x i k+1 x i n), giúp chúng ta dễ dàng chứng minh định lý hơn.

Vậy định lý được chứng minh.

Khái niệm nhóm

Định nghĩa và ví dụ

2.2.1.1 Định nghĩa Nhóm là một tập hợp G 6= ∅ trên đó được trang bị một phép toán ∗ thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) Phép toán ∗ có tính chất kết hợp: (a∗b)∗c = a∗(b∗c), ∀a, b, c ∈ G.

(2) Phép toán ∗ có đơn vị: ∃e ∈ G sao cho a∗e = a = e∗a, ∀a ∈ G.

(3) Mọi phần tử củaGđều có nghịch đảo trong G: với mỗia ∈ G, ∃a 0 ∈ G sao cho a∗a 0 = a 0 ∗a = e.

Như vậy, nhóm là một vị nhóm mà mọi phần tử của nó đều có nghịch đảo Trong mỗi nhóm G, chỉ tồn tại một phần tử đơn vị duy nhất và mỗi phần tử của G đều có một phần tử nghịch đảo duy nhất, đảm bảo tính toàn vẹn của cấu trúc nhóm.

Nếu phép toán trên nhóm G có tính chất giao hoán thì G được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel, trong đó mọi phần tử a, b ∈ G thỏa mãn tính chất a/b := ab −1, ký hiệu này được gọi là thương của a và b, hoặc trong trường hợp phép toán trên G là phép cộng, ký hiệu a−b := a+ (−b) được gọi là hiệu của a và b.

Một nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó là một tập hợp hữu hạn, và số phần tử của G được gọi là cấp của nhóm G, ký hiệu là |G| Ngược lại, nếu G là tập hợp vô hạn thì nhóm G được phân loại là nhóm cấp vô hạn hay nhóm vô hạn.

2.2.1.2 Ví dụ (1) (Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+) là những nhóm Abel cấp vô hạn với đơn vị là 0 Chú ý rằng Z,Q,R,C không là nhóm đối với phép nhân vì số 0 không có nghịch đảo Tuy nhiên, Q ∗ ,R ∗ ,C ∗ lại là những nhóm đối với phép nhân Đây là những nhóm Abel vô hạn với đơn vị là 1.

GL(n,R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n không suy biến với phần tử thực, tạo thành một nhóm không giao hoán khi kết hợp với phép nhân ma trận Trong đó, đơn vị của nhóm này là ma trận đơn vị I n, được ký hiệu là "1 0 ".

Với mỗi A ∈ GL(n,R), phần tử nghịch đảo của nó chính là ma trận nghịch đảo A −1

Tập hợp m(X) các ánh xạ từ X đến X cùng với phép hợp thành ánh xạ tạo thành một vị nhóm không giao hoán, nhưng không phải là một nhóm Tuy nhiên, tập con S(X) của m(X) gồm các song ánh từ X đến X cùng với phép hợp thành ánh xạ lại tạo thành một nhóm không giao hoán Đặc biệt, trong nhóm này, nghịch đảo của mỗi phần tử f ∈ S(X) chính là ánh xạ ngược f −1, thể hiện tính chất quan trọng của nhóm này.

Các tính chất cơ bản của nhóm

Nhóm là một vị nhóm nên nó sở hữu đầy đủ các tính chất của một vị nhóm, đồng thời cũng có một số tính chất cơ bản khác.

2.2.2.1 Mệnh đề (Luật giản ước) Trong một nhóm G, mọi phần tử đều chính qui, do đó, luật giản ước được thực hiện:

(i) Luật giản ước trái: xy = xz =⇒y = z, ∀x, y, z ∈ G.

(ii) Luật giản ước phải: yx = zx =⇒y = z, ∀x, y, z ∈ G.

Chứng minh Do xy = xz ⇒ x −1 (xy) = x −1 (xz) ⇒ (x −1 x)y = (x −1 x)z ⇒ ey = ez ⇒ y = z, ∀x, y, z ∈ G.

Tương tự nếu yx = zx ta cũng có y = z, ∀x, y, z ∈ G.

2.2.2.2 Mệnh đề Trong một nhóm G, các phương trình ax = b (hoặc xa = b) có nghiệm duy nhất x = a −1 b (hoặc x = ba −1 ) với mọi a, b ∈ G.

Chứng minh Xét phương trình ax = b Ta thấy ax = b là một nghiệm vì a(a −1 b) = (aa −1 )b = eb = b Nếu c là một nghiệm của phương trình ax = b

⇒ ac = b ⇒ a −1 (ac) = a −1 b ⇒ (a −1 a)c = a −1 b ⇒ c = a −1 b Vậy phương trình ax = b có nghiệm duy nhất x = a −1 b.

Chứng minh tương tự đối với phương trình xa = b.

2.2.2.3 Mệnh đề Trong một nhóm G, ta có

Chứng minh Rõ ràng y −1 x −1 ∈ G Mặt khác

(xy)(y −1 x −1 ) =x(yy −1 )x −1 = xex −1 = xx −1 = e và tương tự, (y −1 x −1 )(xy) =e nên y −1 x −1 = (xy) −1

2.2.2.4 Chú ý Mệnh đề này có thể mở rộng được cho tích của n nhân tử

Đối với số mũ nguyên âm, ta có công thức (x^n)−1 = (x−1)^n với mọi n thuộc tập hợp số tự nhiên khác không Theo quy ước, phần tử này thường được viết dưới dạng x−n Ngoài ra, ta cũng quy ước giá trị của x^0 là e, giúp hoàn thiện việc xác định x^n cho mọi số nguyên n.

Nếu n < 0 thì −n > 0, khi đó x −n đã được xác định và ta có x n = x −(−n)

Ta có công thức sau x m x n = x m+n và (x m ) n = x mn ,∀m, n ∈ Z. Đối với phép cộng thay cho x n ta viết nx, ∀n ∈ Z và ta cũng có công thức mx+nx = (m+ n)x và m(nx) = (mn)x, ∀m, n ∈ Z.

Các định nghĩa tương đương của nhóm

Ta có thể dùng các phát biểu tương đương trong các định lý sau đây như là những định nghĩa của nhóm.

2.2.3.1 Định lý Giả sử G là một nửa nhóm Khi đó G là một nhóm nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) G có một đơn vị trái e;

(2) Mỗi phần tử x ∈ G đều tồn tại x 0 ∈ G sao cho x 0 x = e.

Chứng minh rằng nếu G là một nhóm thì rõ ràng các điều kiện (1) và (2) được thỏa mãn Ngược lại, giả sử G là một nửa nhóm thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), khi đó với bất kỳ phần tử x ∈ G, tồn tại phần tử x 0 ∈ G sao cho x 0 x = e và tồn tại phần tử x 00 ∈ G sao cho x 00 x 0 = e Từ đó, ta có thể suy ra xx 0 = e, chứng minh rằng G là một nhóm.

Mặt khác, ta lại có xe = x(x 0 x) = (xx 0 )x = ex = x.

Vậy e là đơn vị phải và do đó nó là đơn vị của phép toán trên G và x 0 là nghịch đảo của x Vì vậy, G là một nhóm.

Ta cũng có một phát biểu tương tự như định lý trên đây nếu thay "đơn vị trái" bởi "đơn vị phải" và phần tử x0 trong điều kiện (2) đáng lẽ ở bên trái của x thì ta viết ở bên phải của x, tạo ra một phiên bản đối xứng của định lý.

2.2.3.2 Định lý Giả sử G là một nửa nhóm Khi đó G là một nhóm nếu và chỉ nếu các phương trình ax = b và ya = b có nghiệm trong G với mọi a, b ∈ G.

Chứng minh Nếu Glà một nhóm thì theo Mệnh đề 2.2.2.2, các phương trình ax = b và ya = b có nghiệm trong G với mọi a, b ∈ G.

Ngược lại, nếu trong nửa nhóm G, các phương trình ax = b và ya = b luôn có nghiệm với mọi a, b thuộc G, thì ta có thể suy ra một số kết quả thú vị Giả sử e là một nghiệm của phương trình ya = b, khi đó ta có ea = a Lấy một phần tử b bất kỳ thuộc G và c là một nghiệm của phương trình ax = b, ta có thể kết luận rằng eb = e(ac) = (ea)c = ac = b.

Như vậy, e là đơn vị trái của G Xét phương trình yb = e, với b0 là nghiệm của phương trình này, ta có b0b = e Theo Định lý 2.2.3.1, điều này cho thấy G là một nhóm.

1 (1) Hãy cho ví dụ về một nửa nhóm mà không phải là vị nhóm, một vị nhóm mà không phải là nhóm.

(2) Cho G là một nửa nhóm và a, b ∈ G Chứng minh rằng nếu ab = ba thì (ab) n = a n b n với mọi số tự nhiên n Nếu (ab) 2 = a 2 b 2 thì có suy ra được ab = ba không?

2 Chứng minh các tập hợp sau với phép toán đã cho làm thành một nhóm.

(1) Tập hợp mZcác số nguyên là bội của m với phép cộng (m là số nguyên cho trước).

(2) Tập hợp các số thực dương với phép nhân.

(3) Tập hợp các số phức có môđun bằng 1 với phép nhân.

(4) Tập các căn phức bậc ncủa đơn vị với phép nhân (nlà một số nguyên dương cho trước).

(5) Tập các số hữu tỷ có dạng 2 n , n ∈ Z, với phép nhân.

(9) Tập Z[i] = {a+ bi | a, b ∈ Z} với phép cộng.

3 Chứng minh các tập hợp sau với phép toán đã cho làm thành một nhóm.

(1) Tập các véctơ của không vectơ gian thực R n với phép cộng véctơ (n là một số nguyên dương cho trước).

(2) Tập các ma trận cỡ m ×n với các phần tử thực cùng với phép cộng ma trận (m, n là các số nguyên dương cho trước).

(3) Tập các ma trận vuông không suy biến cấp n với phần tử thực với phép nhân ma trận (n là một số nguyên dương cho trước).

(4) Tập các đa thức với hệ số thực với phép cộng các đa thức.

(5) Tập gồm đa thức 0 và các đa thức bậc không quá n với phép cộng đa thức (n là một số nguyên dương cho trước).

4 Hãy lập bảng toán cho một tập X để được những nhóm với

5 Trên tập hợp các số hữu tỷ Q, xét phép toán ∗ xác định như sau:

(1) Q với phép toán ∗ có phải là một nhóm không? Vì sao?

(2) Chứng minh rằng Q\ {−1} với phép toán ∗ là một nhóm.

6 Chứng minh tập hợp G = {(a, b) | a, b ∈ R, b 6= 0} cùng với phép toán xác định bởi

(a, b)(a 0 , b 0 ) = (ab 0 +a 0 , bb 0 ), với mọi (a, b),(a 0 , b 0 ) ∈ G là một nhóm.

7 Giả sử trên tập hợp G= R ∗ ×R (với R ∗ = R\ {0}) cho phép toán nhân xác định bởi:

Chứng minh rằng G với phép nhân nói trên là một nhóm.

8 Cho G là một nhóm với đơn vị e sao cho a 2 = e với mọi a ∈ G Chứng minh rằng G là một nhóm abel.

9 Cho G là một nửa nhóm khác rỗng Với mỗi a ∈ G ta kí hiệu aG= {ax | x∈ G} và Ga= {xa |x ∈ G}.

Chứng minh rằng G là một nhóm nếu và chỉ nếu aG= Ga= G,∀a ∈ G.

10 Cho G là một nửa nhóm hữu hạn khác rỗng Chứng minh rằng G là một nhóm nếu và chỉ nếu luật giản ước thực hiện được đối với mọi phần tử của G Điều này còn đúng không khi G có vô hạn phần tử?

11 Cho m > 0 là một số tự nhiên Chứng minh rằng:

(1) Tập Z ∗ m các lớp thặng dư nguyên tố với m là một nhóm với phép nhân các lớp thặng dư.

(2) Hai phần tử nghịch đảo của hai phần tử khác nhau trong Z ∗ m là khác nhau.

12 Cho p là một số nguyên tố Sử dụng kết quả trong Bài tập 11(b) đối với nhóm nhân Z ∗ p để chứng minh các tính chất sau trong số học:

2 + + 1 p−1 với a, b ∈ Z, a/b là phân số tối giản thì p là ước của a.

(p−1) 2 với a, b ∈ Z, a/b là phân số tối giản thì p là ước của a.

(p−1) 3 với a, b ∈ Z, a/b là phân số tối giản thì p là ước của a.

13 Sử dụng kết quả trong Bài tập 11(b) để chứng minh Định lí Wilson:

Số tự nhiên p > 1 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu (p−1)!≡ −1(mod p).

Nhóm con

Định nghĩa và tiêu chuẩn nhóm con

2.3.1.1 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm, A6= ∅ là một tập con ổn định của G Khi đó A được gọi là nhóm con của G nếu A là một nhóm đối với phép toán cảm sinh.

2.3.1.2 Định lý Cho G là một nhóm và ∅ 6= A ⊆G A là nhóm con của G khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

(2) e∈ A với e là đơn vị của nhóm G;

Để chứng minh điều kiện cần, ta giả sử A là nhóm con của G Khi đó, ta dễ dàng thấy (1) được thỏa mãn Lấy e0 là đơn vị của A, ta có e0a = a với mọi a thuộc A Mặt khác, ta cũng có ea = a với mọi a thuộc G Từ đó, ta suy ra e0a = ea, dẫn đến e0 = e, và do đó (2) được thỏa mãn Với x thuộc A và x khác 0, ta có x0 và x−1 tương ứng là nghịch đảo của x trong A và G.

G Ta có x 0 x = e = x −1 x ⇒ x 0 x = x −1 x ⇒ x 0 = x −1 Do đó (3) được thỏa mãn. Điều kiện đủ Giả sử A là một tập con của nhóm G thỏa mãn các điều kiện (1), (2) và (3) Từ điều kiện (1) suy ra A là nửa nhóm; thêm điều kiện

Từ điều kiện (2), ta suy ra A là vị nhóm và khi thêm điều kiện (3), ta có thể kết luận A là một nhóm Do đó, A trở thành một nhóm con của nhóm G Để xác định một tập con của một nhóm có phải là nhóm con của nhóm đó hay không, không cần thiết phải kiểm tra toàn bộ điều kiện trong định nghĩa nhóm Thay vào đó, ta có thể áp dụng tiêu chuẩn sau, là hệ quả của định lý trên, để kiểm tra một nhóm con.

2.3.1.3 Hệ quả Cho G là một nhóm, A là một tập con khác rỗng của G. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

Chứng minh Ta chứng minh theo sơ đồ sau: (1) ⇒(2) ⇒ (3)⇒ (1).

(1) ⇒ (2) : hiển nhiên do Định lý 2.3.1.2.

Từ (3) suy ra (1) vì A khác rỗng nên tồn tại phần tử x thuộc A Theo (3), ta có xx^(-1) thuộc A, nghĩa là phần tử đơn vị e thuộc A Hơn nữa, với mọi x thuộc A, ta cũng có ex^(-1) thuộc A Ngoài ra, với mọi x, y thuộc A, do y^(-1) thuộc A nên x(y^(-1))^(-1) thuộc A, tức xy thuộc A Do đó, theo Định lý 2.3.1.2, A là một nhóm con của nhóm G.

2.3.1.4 Ví dụ (1) Trong một nhóm G bất kỳ bao giờ cũng có hai nhóm con tầm thường là {e} và G Một nhóm con A 6= G được gọi là nhóm con thực sự của G.

(2) Ta có dãy các nhóm con thực sự lồng nhau sau đây:

(3) Cho A = {−1,1} Khi đó A là một nhóm con của nhóm nhân R ∗ các số thực khác 0 nhưng A không phải nhóm con của nhóm cộng các số thực R.

(4) H là nhóm con của nhóm cộng các số nguyênZ khi và chỉ khi∃m ∈ Z sao cho

Thật vậy, giả sử m ∈ Z Dễ dàng chứng minh được rằng mZ là nhóm con của (Z,+).

Giả sử H là một nhóm con của (Z,+), nếu H chỉ chứa phần tử 0 thì H là một nhóm con tầm thường của Z và khi đó H = 0Z Trong trường hợp H không phải là nhóm con tầm thường, luôn tồn tại một phần tử khác 0, ký hiệu là a, và do H là nhóm con nên -a cũng thuộc H Từ đó, ta xác định được tập D gồm tất cả các số nguyên dương của H, và trong D luôn tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất, ký hiệu là m Theo đó, với bất kỳ phần tử x thuộc H, ta luôn có thể biểu diễn x dưới dạng x = qm + r, với 0 ≤ r < m, trong đó mq thuộc H do H là nhóm con.

) Suy ra r = x−mq ∈ H Do m là số nguyên dương bé nhất thuộc H nên ta phải có r = 0 Vậy x = mq ∈ mZ Do đó H ⊆ mZ.

Nhóm con sinh bởi một tập

Ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề sau.

2.3.2.1 Mệnh đề Giao của một họ tùy ý các nhóm con của nhóm G là một nhóm con của G.

Xét nhóm cộng các số nguyên Z Khi đó mỗi nhóm con củaZ có dạng mZ.

Ta có 2Z∩3Z = 6Z; mZ∩nZ = dZ, với d = U CLN(m, n); ∩ p∈PpZ = 0, với

P là tập tất cả các số nguyên tố.

Chú ý rằng, hợp của các nhóm con của G có thể không là nhóm con của

G Thật vậy 2Z∪3Z không phải là nhóm con của Z vì 4,9 ∈ 2Z∪3Z nhưng

2.3.2.2 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm Cho X là một tập con của G. Khi đó nhóm con bé nhất của G (theo quan hệ bao hàm) chứa X được gọi là nhóm con sinh bởi tập X Nhóm con này thường được kí hiệu bởi < X > hoặc (X) Khi đó X được gọi là tập sinh hay hệ sinh của < X >.

Nếu H là nhóm con của G sinh bởi tập X, thì H chính là giao của tất cả các nhóm con của G chứa X Điều này có nghĩa là H là tập hợp con nhỏ nhất của G chứa X Trong trường hợp H = G, ta nói X là một tập sinh của nhóm G hay nhóm G sinh bởi tập X, thể hiện mối quan hệ trực tiếp giữa tập X và cấu trúc của nhóm G.

Một nhóm luôn có tập sinh tồn tại, nhưng không nhất thiết phải duy nhất Thật vậy, mỗi nhóm đều là tập sinh của chính nó Ngoài ra, nhóm con sinh bởi tập rỗng là {e} Một nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn sinh nếu nó có một tập sinh hữu hạn.

Mệnh đề sau đây mô tả phần tử của một nhóm con sinh bởi một tập.

2.3.2.3 Mệnh đề Giả sử X 6= ∅ là một tập con của nhóm G Khi đó, H là nhóm con sinh bởi X khi và chỉ khi

Rõ ràng A ⊇ X Vì X 6= ∅ nên A 6= ∅ ∀x, y ∈ A, x = x ε 1 1 x ε m m , y y 1 ε 0 1 yn ε 0 n với ε i , ε 0 j = ±1, i = 1, m, j = 1, , n, m, n ∈ N ta có xy −1 x ε 1 1 x ε m m y 1 −ε 0 1 yn −ε 0 n ∈ A Vậy A là một nhóm con của G chứa X.

Giả sử B là một nhóm con tùy ý của G chứa X Khi đó, B chứa tất cả các phần tử dạng x ε 1 1 x ε 2 2 x ε n n với x i ∈ X, ε i = ±1, i = 1, n, n ∈ N Điều này cho thấy B chứa A, do đó A là nhóm con bé nhất của G chứa X Theo đó, A được coi là nhóm con của G sinh bởi X, được ký hiệu là A = H.

Phần sau của tiết này chúng ta sẽ đề cập đến một lớp nhóm rất quan trọng, đó là nhóm xyclic.

Nhóm xyclic

2.3.3.1 Định nghĩa Nhóm được sinh bởi một phần tử gọi là nhóm xyclic. Như vậy, nếu G là một nhóm xyclic và a là phần tử sinh của G thì

Khi phép toán trong nhóm G là phép cộng, ta có thể biểu diễn G dưới dạng {na | n ∈ Z} và ký hiệu là G = Trong đó, đơn vị của nhóm G được ký hiệu là e = a^0, và với mỗi phần tử x = a^n thuộc G, phần tử nghịch đảo của x được ký hiệu là x^−1 = a^−n.

- ∀m, n ∈ Z, m 6= n thì a m 6= a n Khi đó tập hợp G là vô hạn:

G = { , a −2 , a −1 , a 0 = e, a, a 2 , } và G được gọi là nhóm xyclic vô hạn.

Tồn tại hai số nguyên khác nhau m1 và m2 thuộc tập hợp số nguyên Z sao cho a m1 = a m2 Khi đó, ta có thể suy ra a m1 - m2 = e và a - (m1 - m2) = e Trong hai số m1 - m2 và - (m1 - m2), chắc chắn có một số dương, và ta gọi m là số nguyên dương bé nhất sao cho a m = e Theo đó, với mọi số nguyên n thuộc Z, ta có thể biểu diễn n dưới dạng n = mq + r, trong đó q là số nguyên và 0 ≤ r ≤ m - 1, dẫn đến a n = (a m) q a r = a r.

Do đó G có m phần tử:

G = {e, a, a 2 , a n−1 } và G được gọi là nhóm xyclic hữu hạn cấp m.

Sau đây là hai ví dụ đặc trưng nhất của nhóm xyclic.

2.3.3.2 Ví dụ (1) (Z,+) là nhóm xyclic với phần tử sinh là 1 hoặc −1. Vậy phần tử sinh của một nhóm xyclic là không duy nhất Chú ý rằng Z là nhóm xyclic vô hạn.

(2) Cho n là một số nguyên dương Trên tập hợp các số nguyên Z, ta xét quan hệ đồng dư theo môđun n (xem Ví dụ 1.2.1.3):

Ta biết rằng quan hệ này là một quan hệ tương đương trên Z Do đó tập hợp

Z được phân hoạch thành các lớp tương đương, trong đó mỗi lớp tương đương chứa tất cả các số nguyên có cùng số dư khi chia cho n Tập hợp các lớp tương đương này được gọi là Zn, hay còn được biết đến là tập thương của Z.

Z theo quan hệ tương đương này thì Zn có n phần tử:

Z n = {0,1, , n−1}, ở đâyr là tập tất cả các số nguyên chia chondưr,tức là r = {nq+r | q ∈ Z}. Trên Zn ta trang bị phép cộng như sau: a+b = a+b.

Dễ thấy phép toán này không phụ thuộc việc chọn đại diện của các lớp tương đương, tức là, nếua = a 0 và b = b 0 thì a+b = a 0 +b 0 Ta có thể kiểm tra thấy

Nhóm Z n với phép cộng được định nghĩa là một nhóm Abel, trong đó phần tử không là 0 và phần tử đối của a là −a = n−a Nhóm này thường được gọi là nhóm cộng các số nguyên môđun n hoặc nhóm cộng các lớp thặng dư môđun n Đặc biệt, Z n là một nhóm xyclic được sinh bởi phần tử 1, vì với mọi phần tử a thuộc Z n, ta đều có thể biểu diễn a như là tổng của các phần tử 1, cụ thể là a = 1 + + 1.

Chú ý rằng với mỗi k ∈ Z n mà (k, n) = 1 thì k cũng là phần tử sinh của Z n Trên Z n ta trang bị phép nhân như sau: ab = ab.

Phép toán này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện, và phép nhân các lớp thặng dư có tính chất giao hoán, kết hợp và có đơn vị là 1, do đó nó có thể được sử dụng một cách linh hoạt và hiệu quả trong nhiều ứng dụng khác nhau.

Z n cùng với phép nhân các lớp thặng dư tạo thành một vị nhóm giao hoán nhưng không phải là một nhóm Tuy nhiên, tập con Z ∗ n của Z n, bao gồm tất cả các phần tử khả nghịch trong Z n, lại hình thành một nhóm với phép nhân này Trong đó, phần tử đơn vị là 1, và với mỗi phần tử k thuộc Z ∗ n, luôn tồn tại nghịch đảo u sao cho ku ≡ 1 (mod n), do (k, n) = 1.

2.3.3.3 Mệnh đề Mỗi nhóm con của một nhóm xyclic là một nhóm xyclic.

Chứng minh Giả sử G =< a > là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử a và H một nhóm con của G.

Nếu H = {e} thì tồn tại m ∈ Z, m ≠ 0 sao cho a^m ∈ H, từ đó suy ra a^(-m) ∈ H Trong hai số m và -m sẽ có một số dương, do đó tồn tại số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho a^m ∈ H Với mọi x ∈ H thì x ∈ G, nên tồn tại n ∈ Z sao cho x = a^n Khi đó ta có thể biểu diễn n dưới dạng n = mq + r, q, r ∈ Z, 0 ≤ r < m, dẫn đến a^r = a^(n-mq) = a^n (a^m)^(-q) ∈ H Tuy nhiên, nếu r > 0 thì sẽ mâu thuẫn với tính bé nhất của m, do đó r = 0 và n = mq với mọi n ∈ Z, suy ra a^n = (a^m)^q.

Từ chứng minh trên ta cũng suy ra mọi nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z đều là nhóm con xyclic, tức có dạng H = mZ.

2.3.3.4 Định nghĩa Cho G là một nhóm và a ∈ G Cấp của nhóm xyclic sinh bởi a được gọi là cấp của phần tử a, ký hiệu là ord(a).

Như vậy, với mỗi a ∈ G thì hoặc a có cấp vô hạn hoặc a có cấp n, với n là số nguyên dương bé nhất sao cho a n = e Chú ý rằng ord(a) = 1 khi và chỉ khi a = e.

14 Chứng minh tập hợp H = {(a,1) | a ∈ R} là một nhóm con của nhóm

G xác định trong Bài tập 6.

15 Chứng tỏ rằng với mỗi số thực k cho trước, tập hợp

H k = {(x, k(x−1/x)) | x ∈ R ∗ } là một nhóm con giao hoán của nhóm G xác định trong Bài tập 7.

16 Cho G là một nhóm, A, B, C là các nhóm con của G Chứng minh rằng:

(1) A∩B là một nhóm con của G.

(2) A∪B là một nhóm con của G khi và chỉ khi A⊆ B hoặc B ⊆ A.

17 Cho G là một nhóm Với các tập con A, B 6= ∅ của G ta kí hiệu

A −1 = {a −1 | a ∈ A}, AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Chứng minh rằng:

(1) A(BC) = (AB)C với mọi tập con A, B, C của G.

(3) Nếu A là một nhóm con của G thì A −1 = A.

(4) A là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu AA −1 = A.

18 Cho A, B là các nhóm con của một nhóm G Chứng minh rằng:

(1) Nếu AB là một nhóm con của G thì BA cũng là một nhóm con của G.

(2) AB là một nhóm con của G khi và chỉ khi AB = BA.

(3) Nếu A, B là các nhóm con chuẩn tắc của G thì AB là một nhóm con chuẩn tắc của G.

19 Cho A là một nhóm con của nhóm G Với mỗi x ∈ G, ký hiệu xA = {xa | a ∈ A}.

Chứng minh rằng xA là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu x ∈ A.

20 Chứng minh rằng tập các phần tử có cấp hữu hạn của một nhóm abel

G là nhóm con của G Điều này còn đúng không khi G không phải là nhóm abel.

21 Chứng minh rằng mỗi tập con khác rỗng ổn định của một nhóm hữu hạn G là một nhóm con của G Điều này còn đúng không khi G là nhóm vô hạn.

22 Tìm nhóm con sinh bởi tập tất cả các số nguyên tố của nhóm nhân các số hữu tỷ dương.

23 Trong nhóm nhân C ∗ các số phức khác không, hãy xác định nhóm con xyclic sinh bởi phần tử x ∈ C trong các trường hợp sau:

24 Cho n > 1 là một số tự nhiên Chứng minh rằng nhóm nhân các căn bậc n của đơn vị C n = {z ∈ C | z n = 1} là một nhóm xyclic.

25 Cho G =< a > là một nhóm xyclic vô hạn Chứng minh rằng G có đúng hai phần tử sinh là a và a −1

26 Cho G=< a > là nhóm xyclic cấp n Chứng minh rằng phần tử a k là phần tử sinh của G nếu và chỉ nếu (k, n) = 1 Từ đó suy ra rằng G có đúng ϕ(n) phần tử sinh, trong đó ϕ là hàm Euler.

27 (1) Tìm cấp của các phần tử trong nhóm Z6 và nhóm Z12.

(2) Hãy liệt kê các nhóm con của nhóm Z6 và của nhóm Z12.

28 Cho G là một nhóm và a, b ∈ G Chứng minh rằng các phần tử ab và ba có cùng cấp.

29 Cho G là một nhóm và a, b, c là các phần tử của G Chứng minh rằng các phần tử abc, bca, cab có cùng cấp.

30 Cho G =< a > là nhóm xyclic cấp n và k ∈ Z Chứng minh rằng cấp của phần tử a k là n/d, trong đó d = (n, k) Từ đó suy ra rằng a k là phần tử sinh của G nếu và chỉ nếu (n, k) = 1.

31 Cho G =< a > là nhóm xyclic cấp n và d là một ước nguyên dương của n Chứng minh rằng G có duy nhất một nhóm con H cấp d Hơn nữa, mọi phần tử cấp d của G đều thuộc H.

32 Cho G là một nhóm và a, b ∈ G có cấp lần lượt là r, s Chứng minh rằng nếu r và s nguyên tố cùng nhau và ab = ba thì cấp của ab là rs và (a)∩(b) = e Nếu bỏ giả thiết ab = ba thì bài toán còn đúng không?

33 Chứng minh rằng mọi nhóm vô hạn đều có vô hạn nhóm con.

Lớp ghép, Định lý Lagrange

Lớp ghép

Giả sử G là một nhóm và H là một nhóm con của G Khi đó ta xác định trên G một quan hệ ∼ như sau:

Quan hệ ∼ trong G là một quan hệ tương đương Thật vậy, quan hệ ∼ có những tính chất sau:

- Đối xứng: giả sử x ∼ y, tức x −1 y ∈ G Khi đó (x −1 y) −1 = y −1 x ∈ G. Suy ra y ∼ x.

- Bắc cầu: giả sử x ∼ y và y ∼ z Khi đó x −1 y, y −1 z ∈ G Suy ra (x −1 y)(y −1 z) =x −1 z ∈ G Do đó x ∼z.

Quan hệ tương đương ∼ trên G sẽ phân hoạch G thành các lớp tương đương Với mỗi x ∈ G, kí hiệu x là lớp tương đương chứa x Ta có x = {y ∈ G | y ∼ x}= {y ∈ G| x −1 y ∈ H}

Mỗi lớp tương đương xH được gọi là một lớp ghép trái hoặc lớp kề trái của

H trong G Vì hai lớp tương đương bất kỳ hoặc trùng nhau hoặc rời nhau nên ∀x, y ∈ G ta có:

(i) xH = yH khi và chỉ khi x −1 y ∈ H;

(ii) xH ∩yH = ∅ khi và chỉ khi x −1 y /∈ H.

Tập thương của G theo quan hệ tương đương ∼ được gọi là tập thương của nhóm G theo nhóm con H, kí hiệu là G/H Như vậy

Khi một nhóm con H chỉ có hữu hạn lớp ghép trái, số lớp ghép trái của H trong G được gọi là chỉ số của H trong G, ký hiệu là [G : H] Điều này có nghĩa là cấp của nhóm G được xác định bởi chỉ số [G : e], trong đó e là phần tử đơn vị của nhóm, và chỉ số của nhóm con tầm thường {e} cũng được xác định theo cách này.

Chú ý rằng, nếu xét quan hệ ∼ là

∀x, y ∈ G, x ∼ y ⇔ xy −1 ∈ H thì hoàn toàn tương tự ta có khái niệm lớp ghép phải hay lớp kề phải:

Định lý Lagrange và các hệ quả

Cấp của một nhóm G, ký hiệu là |G|, được định nghĩa là số phần tử của nhóm G Định lý quan trọng sau đây mô tả mối liên hệ chặt chẽ giữa cấp của một nhóm hữu hạn và cấp của các nhóm con của nó, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các nhóm hữu hạn.

2.4.2.1 Định lý (Định lý Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn cấp m và H là một nhóm con của G Khi đó cấp của H là một ước của m.

Chứng minh Ta sẽ chứng minh ]H = ]aH, với mọia ∈ G Thật vậy, với mỗi a ∈ G, xét tương ứng f :H → aH. h 7→ ah

Ta thấy f là một song ánh Vậy tất cả các lớp ghép trái của H đều có số phần tử bằng nhau và bằng |H| Do đó

|G| = (số lớp ghép trái của H)×(số phần tử của mỗi lớp ghép trái). Hay nói cách khác |G| = [G: H]× |H| Suy ra |H| là một ước của m.

Từ chứng minh trên, ta cũng suy ra

Vì vậy, Định lý Lagrange có thể được phát biểu dưới dạng tổng quát hơn như sau.

2.4.2.2 Định lý Giả sử G là một nhóm hữu hạn; H là một nhóm con của

G và T là một nhóm con của H Khi đó

Cấp của phần tử a ∈ G được định nghĩa là cấp của nhóm con xyclic sinh bởi a, ký hiệu là ord(a) Ord(a) là số nguyên dương bé nhất n sao cho a^n = e, và theo Định lý Lagrange, ta có hệ quả quan trọng liên quan đến cấp của phần tử và cấu trúc của nhóm.

2.4.2.3 Hệ quả Giả sử G là một nhóm hữu hạn cấp m Khi đó, với mọi a ∈ G ta có:

(1) ord(a) là một ước của m;

2.4.2.4 Hệ quả Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic.

Giả sử nhóm G có cấp p, với p là một số nguyên tố lớn hơn 1, thì tồn tại một phần tử a thuộc G khác phần tử đơn vị e Khi đó, tập hợp các bội của a, ký hiệu là < a >, không chỉ chứa phần tử đơn vị e và do đó bậc của a, ký hiệu là ord(a), khác 1 Theo Hệ quả 2.4.2.3, bậc của a là một ước của p, nhưng vì p là số nguyên tố nên bậc của a phải bằng p Do đó, nhóm G được tạo ra bởi phần tử a và là nhóm xyclic.

Chứng minh trên cũng suy ra rằng mỗi phần tử khác đơn vị của một nhóm hữu hạn cấp nguyên tố đều là phần tử sinh của nhóm đó.

Hàm số số học Euler ϕ được định nghĩa là số các số nguyên từ 1 đến n mà nguyên tố cùng nhau với n Với mỗi số tự nhiên n khác 0, ϕ(n) đại diện cho số lượng các số nguyên tố cùng nhau với n trong khoảng từ 1 đến n Định lý Lagrange là một trong những công cụ quan trọng giúp chứng minh các định lý cơ bản trong lý thuyết số học, bao gồm cả các tính chất của hàm số Euler ϕ.

2.4.2.5 Hệ quả (Định lý Euclid) Cho n là một số nguyên dương, a là một số nguyên sao cho (a, n) = 1 Khi đó a ϕ(n) ≡ 1(mod n).

Chứng minh Xét nhóm nhân Z ∗ n các lớp thặng dư khả nghịch môđun n. Nhóm này có cấp là ϕ(n) Vì (a, n) = 1 nên a ∈ Z ∗ n Theo Hệ quả 2.4.2.3 thì (a) ϕ(n) = 1 D o đó a ϕ(n) = 1 hay a ϕ(n) ≡1(mod n).

2.4.2.6 Hệ quả (Định lý Fecma bé) Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên bất kỳ thì a p ≡ a(mod p).

Nếu a chia hết cho p thì a ≡ 0(mod p) Do đó a p ≡ 0 ≡a(mod p).

Chứng minh Nếu a không chia hết cho p thì (a, p) = 1 Theo Định lý Euler thì a ϕ(p) ≡ 1(mod p) Vì p nguyên tố nên ϕ(p) = p − 1 Do đó a p−1 ≡1(mod p) Suy ra a p ≡ a(mod p).

Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương

Nhóm con chuẩn tắc

Cho H là một nhóm con của nhóm G, chú ý rằng có thể tồn tại x ∈ G sao cho xH 6= Hx, do đó ta có định nghĩa sau.

2.5.1.1 Định nghĩa Giả sử H là một nhóm con của nhóm G H được gọi là nhóm con chuẩn tắc (hay ước chuẩn) của G nếu xH = Hx, ∀x ∈ G.Khi đó ta ký hiệu H / G.

2.5.1.2 Mệnh đề Giả sử H là một nhóm con của nhóm G H là ước chuẩn của G khi và chỉ khi x −1 hx ∈ H, ∀h ∈ H và ∀x ∈ G.

Giả sử H là một ước chuẩn của G, khi đó ta có xH = Hx với mọi x thuộc G Điều này có nghĩa là với mọi x thuộc G và h thuộc H, tồn tại h0 thuộc H sao cho hx = xh0, suy ra x−1hx = h0 thuộc H Ngược lại, nếu x−1hx thuộc H với mọi h thuộc H và mọi x thuộc G, thì ta có Hx ⊆ xH và xH ⊆ Hx với mọi x thuộc G, dẫn đến Hx = xH với mọi x thuộc G, hay H là một ước chuẩn của G.

2.5.1.3 Chú ý (1) Mỗi nhómG đều có hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường là {e} và G.

(2) Nếu G là nhóm Abel thì mọi nhóm con của Gđều là nhóm con chuẩn tắc.

(3) Mỗi nhóm con H của nhóm G xác định hai nhóm con quan trọng của

Có thể dễ dàng kiểm tra rằng C_G(H) và N_G(H) là các nhóm con của G, trong đó C_G(H) và N_G(H) lần lượt được gọi là nhóm tâm hóa và nhóm chuẩn hóa của H trong G Hơn nữa, C_G(H) là nhóm con chuẩn tắc của N_G(H), thể hiện mối quan hệ chặt chẽ giữa các nhóm con này.

Nhóm thương

Giả sửG là một nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắc của G Khi đó ta có tập thương

(do H là ước chuẩn của G nên không phân biệt lớp ghép trái hay lớp ghép phải) Ta trang bị cho G/H một phép toán như sau

Định nghĩa (xH)(yH) = (xy)H, ∀x, y ∈ G không phụ thuộc vào phần tử đại diện của các lớp ghép Nếu xH = x0H và yH = y0H, thì tồn tại các phần tử h1, h2, h3, h4 thuộc H sao cho xh1 = x0h2 và yh3 = y0h4 Điều này dẫn đến x0 = xh1h−12 và y0 = yh3h−14 Từ đó, ta có x0y0 = xh1h−12yh3h−14 = xy(y−1h1h−12y)h3h−14 ∈ xyH.

Như vậy, xyH = x 0 y 0 H Điều đáng chú ý là phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện của các lớp ghép, do đó cần giả thiết H là ước chuẩn của G.

2.5.2.1 Mệnh đề Nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của của G thì tập thương G/H cùng với phép toán nói trên lập thành một nhóm.

Chứng minh Phép toán trên G/H có tính chất kết hợp vì

(xHyH)zH = (xy)zH = x(yz)H = xH(yHzH),∀xH, yH, zH ∈ G/H. Đơn vị của phép toán là eH = H, vì eH ∈ G/H và

(xH)(eH) = (xe)H = xH = (ex)H = (eH)(xH),∀xH ∈ G/H.

∀xH ∈ G/H, tồn tại phần tử nghịch đảo là x −1 H Thật vậy, x −1 H ∈ G/H và

Vậy G/H cùng với phép toán đã cho là một nhóm.

2.5.2.2 Định nghĩa NhómG/H được gọi lànhóm thươngcủa Gtheo nhóm con chuẩn tắc H.

2.5.2.3 Ví dụ Xét nhóm cộng các số nguyên Z Mỗi nhóm con của Z đều có dạng mZ, với m là một số nguyên dương nào đó Vì Z là nhóm Abel nên mZ là nhóm con chuẩn tắc của Z Khi đó ta có nhóm thương

Với mỗi a ∈ Z, ta viết dưới dạng a = mq+r, với q ∈ Z,0 ≤r ≤m−1 Khi đó, a+mZ = (r +mq) + mZ = (r +mZ) + (mq +mZ) = r+ mZ.

Tập Z/mZ được định nghĩa là tập hợp các số nguyên đồng dư theo môđun m, ký hiệu là {a+mZ | a ∈ Z} hoặc {r+mZ | 0≤ r ≤ m−1} Tập này bao gồm các số nguyên từ 0 đến m-1, trong đó mỗi số nguyên r đại diện cho tập các số nguyên chia cho m dư r.

Phép cộng trong nhóm thương Z/mZ được thực hiện như sau:

Như vậy, nhóm thương Z/mZ chính là nhóm cộng Zm các số nguyên môđun m.

34 Chứng minh công thức về chỉ số: Nếu H, K là các nhóm con của G sao cho H ⊆ K thì [G :H] = [G: K][K :H].

35 Cho G là một nhóm nhân và H là một nhóm con của G Chứng minh:

(1) Nếu [G: H] = 2 thì H / G và a 2 ∈ H với mọi a ∈ G.

36 Hãy tìm các nhóm thương của

(1) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 3 trên nhóm con các số nguyên là bội của 15.

(2) Nhóm cộng các số nguyên là bội của 4 trên nhóm con các số nguyên là bội của 24.

(3) Nhóm nhân các số thực khác 0 trên nhóm con các số thực dương.

37 Cho A là nhóm con của một nhóm G và B là nhóm con chuẩn tắc của

G Chứng minh rằng AB = BA Suy ra rằng AB là nhóm con của G.

38 Cho G là một nhóm Với mỗi cặp a, b ∈ G ta gọi phần tử aba −1 b −1 là hoán tử của a và b Kí hiệu H là nhóm con của Gsinh bởi tất cả các hoán tử của các cặp phần tử của G Ta gọiH là nhóm con các hoán tử củaG Chứng minh rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G.

39 Cho G là nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc của G Chứng minh rằng nhóm thương G/H là giao hoán nếu và chỉ nếu H chứa nhóm con các hoán tử của G.

40 Chứng minh rằng nhóm thương của một nhóm xyclic là xyclic.

41 Cho G là một nhóm Đặt

C(G) được gọi là tâm của G Chứng minh rằng C(G) là nhóm con của G và mọi nhóm con của C(G) đều là nhóm con chuẩn tắc của G.

42 Cho G là một nhóm Kí hiệu C(G) là tâm của G Chứng minh rằng nếu nhóm thương G/C(G) là xyclic thì G là nhóm giao hoán.

43 Hãy xác định tâm của nhóm G trong Bài tập 7.

44 Kí hiệu SL(n,R) là tập các ma trận vuông cấp n với phần tử thực và có định thức bằng 1 Chứng minh rằng SL(n,R) là nhóm con chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát GL(n,R).

45 Cho G là nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc của G Chứng minh rằng quy tắc cho ứng mỗi nhóm con K của G chứa H với nhóm con K/H của G/H là một song ánh bảo toàn thứ tự bao hàm từ tập các nhóm con của G chứa H đến tập các nhóm con của G/H.

46 Cho G là nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc của G Chứng minh rằng quy tắc cho ứng mỗi nhóm con chuẩn tắc K của G chứa H với nhóm con chuẩn tắc K/H của G/H là một song ánh bảo toàn quan hệ bao hàm từ tập các nhóm con chuẩn tắc của G chứa H đến tập các nhóm con chuẩn tắc củaG/H.

Đồng cấu nhóm

Khái niệm đồng cấu nhóm

Để nghiên cứu mối quan hệ giữa các nhóm, người ta đã đưa ra khái niệm đồng cấu nhóm.

2.6.1.1 Định nghĩa Cho G và G 0 là các nhóm.

(1) Một ánh xạ f : G→ G 0 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f(ab) = f(a)f(b),∀a, b ∈ G.

(2) Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu hoặc đẳng cấu) nếu ánh xạ f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh hoặc song ánh).

(3) Đồng cấu nhóm f :G → Gđược gọi là một tự đồng cấu của nhóm G. Một tự đồng cấu mà song ánh được gọi là một tự đẳng cấu.

(4) Nếu tồn tại một đẳng cấu nhóm f : G →G 0 thì ta nói nhóm G đẳng cấu với nhóm G 0 và ký hiệu là G∼= G 0

(5) Gọi e G và e G 0 lần lượt là đơn vị của nhóm G và nhóm G 0 Khi đó

Im f = f(G) ={f(x) | x ∈ G} được gọi là ảnh của của đồng cấu f và

Ker f = f −1 (e 0 G ) = {x ∈ G | f(x) = e G 0 } được gọi là hạt nhân (hay hạch) của đồng cấu f.

2.6.1.2 Ví dụ (1) Xét nhóm cộng các số thực R và nhóm nhân các số thực dương R + Khi đó ánh xạ f : R → R + x 7→ 10 x là một đồng cấu nhóm vì ∀x, x 0 ∈ R ta có f(x+x 0 ) = 10 x+x 0 = 10 x 10 x 0 = f(x)f(x 0 ).

Hàm số f còn đóng vai trò là một đẳng cấu Thật vậy, f là đơn ánh vì với mọi x, x0 thuộc R mà f(x) = f(x0) thì suy ra x = x0; đồng thời f là toàn ánh vì với mọi y thuộc R+ đều tồn tại x = lg y thuộc R sao cho f(x) = 10^lg y = y Điều này cho thấy nhóm cộng các số thực R đẳng cấu với nhóm nhân các số thực dương R+, được ký hiệu là R ∼= R+.

(2) Cho n là một số nguyên dương Ký hiệu

GL(n,R) là tập hợp các ma trận vuông kích thước n×n có định thức khác 0, và R∗ là tập hợp các số thực khác 0 GL(n,R) là một nhóm với phép nhân các ma trận, trong khi R∗ là nhóm đối với phép nhân các số thông thường Ánh xạ f từ GL(n,R) đến R∗ được định nghĩa như một hàm số biến đổi các ma trận trong GL(n,R) thành các số thực khác 0 trong R∗.

A7→ detA là một đồng cấu nhóm vì ∀A, B ∈ GL(n,R) ta có f(AB) = det(AB) = (detA)(detB) = f(A)f(B). f là toàn ánh vì ∀r ∈ R ∗ thì tồn tại A "r 0

∈ GL(n,R) sao cho f(A) = detA = r f không đơn ánh vì

= B nhưng detA = detB nên f(A) = f(B) Vậy f là một toàn cấu mà không đơn cấu.

Nhóm nhân GL(n,R) được chứng minh là đẳng cấu với nhóm nhân các tự đẳng cấu tuyến tính trên một không gian véctơ thực n chiều Cụ thể, với không gian vectơ V và GL(V) là tập tất cả các tự đẳng cấu tuyến tính của V, ta có GL(V) là một nhóm với phép hợp thành ánh xạ Khi chọn một cơ sở S của V, ta có thể xác định một ánh xạ ϕ từ GL(V) đến GL(n,R) bằng cách ánh xạ mỗi tự đẳng cấu tuyến tính f sang ma trận A_f của f đối với cơ sở S Ánh xạ ϕ này là một đẳng cấu nhóm vì nó bảo toàn phép hợp thành và là một song ánh.

Do đó ta có thể đồng nhất nhóm tuyến tính tổng quátGL(V) với nhóm nhân

GL(n,R) các ma trận vuông cấp n bằng cách đồng nhất mỗi tự đẳng cấu f của không gian V với ma trận Af của nó đối với cơ sở S.

Với mỗi phần tử a thuộc nhóm G, ánh xạ fa: G → G được xác định bởi fa(x) = a−1xa đối với mọi x ∈ G là một tự đẳng cấu của G, thường được gọi là tự đẳng cấu trong của nhóm G Đối với một nhóm con H của G, H được coi là nhóm con chuẩn tắc nếu và chỉ nếu fa(H) = H với mọi a ∈ G, nghĩa là H bất biến đối với mọi tự đẳng cấu trong của G Do đó, nhóm con chuẩn tắc cũng thường được gọi là nhóm con bất biến.

Một số đồng cấu đặc biệt

(1) Giả sử H là một nhóm con của nhóm G Khi đó ánh xạ i : H →G a 7→a là một đơn cấu và được gọi là đơn cấu chính tắc hay làphép nhúng chính tắc.

(2) Ánh xạ đồng nhất của nhóm G là một tự đẳng cấu nhóm và được gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của nhóm G.

(3) Giả sử H là ước chuẩn của nhóm G Khi đó ta có nhóm thương G/H. Xét ánh xạ p: G →G/H, x 7→xH.

(4) Cho G và G 0 là các nhóm Ánh xạ θ : G →G 0 x 7→e G 0 ,trong đó e G 0 là đơn vị của nhóm G 0 là một đồng cấu nhóm, gọi là đồng cấu tầm thường.

Tính chất cơ bản của đồng cấu nhóm

Kí hiệu G, G 0 , G 00 là các nhóm với đơn vị tương ứng là e G , e G 0 , e G 00

2.6.3.1 Mệnh đề Giả sử f : G → G 0 và g : G 0 → G 00 là các đồng cấu nhóm Khi đó ánh xạ hợp thành gf : G→ G 0 cũng là một đồng cấu nhóm.

Chứng minh Ta cần chứng minh gf : G→ G 0 là một đồng cấu nhóm Thật vậy, ∀a, b ∈ G ta có (gf)(ab) = g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b)) (gf)(a)(gf)(b) Vậy gf là một đồng cấu nhóm.

Từ tính chất trên, ta có thể suy ra rằng nếu f và g là các đơn cấu (tương ứng toàn cấu hoặc đẳng cấu), thì tích hợp gf cũng sẽ là một đơn cấu (tương ứng toàn cấu hoặc đẳng cấu), đảm bảo tính chất tương thích và nhất quán trong cấu trúc toán học.

2.6.3.2 Mệnh đề Cho f : G→ G 0 là một đồng cấu nhóm Khi đó

Chứng minh (1) ∀x ∈ G ta có f(e G )f(x) = f(e G x) = f(x) = e G 0 f(x). Thực hiện luật giản ước trong nhóm G 0 ta suy ra f(e G ) = e G 0

Do đó f(x −1 )f(x) = (f(x)) −1 f(x) Thực hiện luật giản ước trong nhóm G 0 ta có f(x −1 ) = (f(x)) −1

2.6.3.3 Mệnh đề Cho f : G→ G 0 là một đồng cấu nhóm Khi đó:

(1) Nếu A là một nhóm con của nhóm G thì f(A) là nhóm con của nhóm

(2) Nếu B là một nhóm con của nhóm G 0 thì f −1 (B) là nhóm con của nhóm G;

(3) Nếu C là một ước chuẩn của nhóm G 0 thì f −1 (C) là ước chuẩn của nhóm G.

Chứng minh rằng f(A) là nhóm con của G 0 Trước hết, ta thấy rõ ràng f(A) ⊆ G 0 vì f là một ánh xạ từ G đến G 0 Vì A là nhóm con của G nên phần tử đơn vị e G của G thuộc A, suy ra f(e G ) = e G 0 thuộc f(A), do đó f(A) không phải là tập rỗng Lấy hai phần tử y 1 , y 2 bất kỳ thuộc f(A), khi đó tồn tại x 1 , x 2 thuộc A sao cho y 1 = f(x 1 ) và y 2 = f(x 2 ) Từ đó, ta có y 1 y 2 -1 = f(x 1 )(f(x 2 )) -1 = f(x 1 x 2 -1 ) thuộc f(A) vì x 1 x 2 -1 thuộc A do A là nhóm con Điều này chứng tỏ rằng f(A) là nhóm con của G 0

(2) Rõ ràng f −1 (B) ⊆ G Do B là nhóm con của G 0 nên eG 0 ∈ B Theo Mệnh đề 2.6.3.2, eG ∈ f −1 (e 0 G ) ⊆ f −1 (B) Suy ra f −1 (B) 6= ∅ Lấy tùy ý x1, x2 ∈ f −1 (B) Khi đó f(x1), f(x2) ∈ B Ta có f(x1x −1 2 ) =f(x1)f(x −1 2 ) f(x1)(f(x2)) −1 ∈ B Do đó x1x −1 2 ∈ f −1 (B) và f −1 (B) là nhóm con của G.

Từ phát biểu trên, ta thấy f −1 (C) là một nhóm con của nhóm G Để chứng minh f −1 (C) là ước chuẩn của G, ta giả sử a ∈ f −1 (C) và x ∈ G Khi đó, f(x −1 ax) = f(x −1 )f(a)f(x) = (f(x)) −1 f(a)f(x) ∈ C vì C là ước chuẩn của G Điều này dẫn đến kết luận x −1 ax ∈ f −1 (C), và do đó f −1 (C) là một ước chuẩn của nhóm G.

Vì Imf = f(G) và Kerf = f −1 (e G 0 ) nên từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau đây.

2.6.3.4 Hệ quả Giả sử f : G → G 0 là một đồng cấu nhóm Khi đó Im f là một nhóm con của G 0 và Ker f là một ước chuẩn của G.

Ta có thể kiểm tra tính đơn ánh và toàn ánh của một đồng cấu thông qua ảnh và hạt nhân Mệnh đề này cung cấp một cách thức để xác định tính chất của đồng cấu dựa trên ảnh và hạt nhân của nó, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về bản chất của đồng cấu và cách nó hoạt động.

2.6.3.5 Mệnh đề Giả sử f : G →G 0 là một đồng cấu nhóm Khi đó:

(1) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f = G 0

(2) f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker f = {e G }.

Chứng minh (1) được suy ra từ định nghĩa toàn ánh.

(2) Giả sử f là một đơn ánh Khi đó, với mỗi y ∈ G 0 có nhiều nhất một phần tử x ∈ X sao cho f(x) = y Mặt khác, bởi Mệnh đề 2.6.3.2 ta có f(e G ) =e G 0 , suy ra f −1 (e 0 G ) ={e G }.

Ngược lại, giả sử Ker f = {e G } Khi đó, ∀x 1 , x 2 ∈ G sao cho f(x 1 ) f(x 2 ), ta có f(x 1 )f(x −1 2 ) = e G 0 hay f(x 1 x −1 2 ) = e G Từ đó suy ra x 1 x −1 2 ∈ f −1 (e G 0 ) Do đó x 1 x −1 2 = e G Vậy x 1 = x 2 và f là một đơn ánh.

Nhóm các tự đẳng cấu

Nhóm tự đẳng cấu Aut(G) của một nhóm G là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của nhóm G Khi đó, với mọi ϕ, ψ ∈ Aut(G) thì ϕψ ∈ Aut(G), cho thấy phép hợp thành ánh xạ là phép toán trên Aut(G) Phép hợp thành ánh xạ trên Aut(G) có tính chất kết hợp và có đơn vị là tự đẳng cấu đồng nhất 1G, do đó Aut(G) là một vị nhóm Hơn nữa, mỗi phần tử ϕ ∈ Aut(G) đều có nghịch đảo là ϕ−1 ∈ Aut(G), điều này chứng tỏ Aut(G) là một nhóm, được gọi là nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G.

Định lý đồng cấu nhóm

2.6.5.1 Định lý (Định lý đồng cấu nhóm) Giả sử f : G → G 0 là một đồng cấu nhóm Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu nhóm f : G/Ker f →Imf sao cho biểu đồ sau là giao hoán

G/Kerf tức là f = f p, trong đó p :G → G/Kerf là phép chiếu chính tắc.

Do f : G → G0 là một đồng cấu nhóm, nên K := Ker f là một ước chuẩn của G, dẫn đến việc tồn tại nhóm thương G/K = {xK | x ∈ G} và phép chiếu chính tắc p : G → G/K, được định nghĩa bởi x ↦ xK.

Xét tương ứng f : G/K → Imf. xK 7→f(x)

Để chứng minh f là đẳng cấu cần tìm, ta cần xem xét các tính chất của ánh xạ này Trước hết, f là ánh xạ vì nó ánh xạ mỗi phần tử xK trong G/K vào một phần tử duy nhất f(x) trong Imf, và nếu xK = yK thì f(xK) = f(yK) Ngoài ra, f cũng là một đồng cấu nhóm vì nó bảo toàn phép nhân nhóm, tức là f((xK)(yK)) = f(xK)f(yK) Để chứng minh f là một đẳng cấu nhóm, ta cần chứng minh nó là đơn cấu và toàn ánh Thật vậy, nếu xK ∈ Ker f thì x ∈ K, suy ra xK = K và Ker f = {K}, chứng tỏ f là đơn cấu Mặt khác, với mỗi phần tử y trong Imf, đều tồn tại phần tử x trong G sao cho f(x) = y, chứng tỏ f là toàn ánh Cuối cùng, biểu đồ giao hoán cho thấy f p = f, khẳng định thêm tính chất của f là một đẳng cấu nhóm.

Tính duy nhất của đồng cấu được chứng minh thông qua việc giả định có đồng cấu g: G/K → Imf sao cho biểu đồ giao hoán, tức là gp = f Điều này dẫn đến kết quả g = f, được chứng minh bằng cách xét ∀xK ∈ G/K, tại đó f(xK) = g(xK), suy ra g = f, khẳng định tính duy nhất của đồng cấu.

Hệ quả sau đây là một cách phát biểu khác của Định lý đồng cấu nhóm.

2.6.5.2 Hệ quả Giả sử f : G → G 0 là một đồng cấu nhóm Khi đó Imf ∼ G/Kerf.

Trường hợp f là toàn cấu, hệ quả trên suy ra ngay hệ quả sau đây.

2.6.5.3 Hệ quả Giả sử f : G → G 0 là một toàn cấu nhóm Khi đó G 0 ∼ G/Kerf.

Một nhóm con Imf của G0 được gọi là ảnh đồng cấu của nhóm G nếu tồn tại một đồng cấu nhóm f từ G lên G0 Theo định nghĩa, một nhóm H bất kỳ được gọi là ảnh đồng cấu của nhóm G nếu có một toàn cấu từ G lên H Định lý đồng cấu nhóm chỉ ra rằng mọi ảnh đồng cấu của nhóm G đều đẳng cấu với một nhóm thương của G, do đó, việc tìm tất cả các ảnh đồng cấu của một nhóm G có thể quy về việc tìm các nhóm con chuẩn tắc K của G và mô tả nhóm thương G/K.

Các định lý đẳng cấu nhóm

Trước hết ta có bổ đề sau đây.

2.6.6.1 Bổ đề Cho S là nhóm con và N là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G Khi đó tập hợp

N S = {ab | a ∈ N, b ∈ S} là một nhóm con của G chứa N ∪S và N nhóm con chuẩn tắc của N S.

Chứng minh Rõ ràng N S ⊆ G và e = ee ∈ N S nên N S 6= ∅ Cho ab, cd ∈

N S, trong đó a, c ∈ N và b, d ∈ S Vì N chuẩn tắc nên (bd −1 )c −1 (bd −1 ) −1 ∈

(ab)(cd) −1 = abd −1 c −1 = a((bd −1 )c −1 (bd −1 ) −1 )(bd −1 ) ∈ N S.

Vậy N S là nhóm con của G Cho a ∈ N, b ∈ S Khi đó a = ae ∈ N S và b = eb ∈ N S Vậy N S chứa N ∪S Vì N là nhóm con chuẩn tắc của G nên nó là nhóm con chuẩn tắc của N S.

2.6.6.2 Định lý (Định lý đẳng cấu thứ nhất) Cho S là một nhóm con và

N là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Khi đó N∩S là nhóm con chuẩn tắc của S và

Theo Bổ đề 2.6.6.1, N là nhóm con chuẩn tắc của N S, do đó ta có thể xác định nhóm thương (N S)/N Ánh xạ f : S → (N S)/N được định nghĩa bởi f(x) = xN là một đồng cấu nhóm Đối với axN ∈ (N S)/N, trong đó a ∈ N và x ∈ S, do N là nhóm con chuẩn tắc nên a ∈ N, từ đó ánh xạ f có thể được áp dụng để ánh xạ các phần tử của S lên các phần tử của nhóm thương (N S)/N.

Do đó f là một toàn cấu nhóm Ta có

Suy ra N ∩ S là nhóm con chuẩn tắc của S và theo Định lý đồng cấu nhóm ta có đẳng cấu

2.6.6.3 Định lý (Định lý đẳng cấu thứ hai) Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và K là một nhóm con chuẩn tắc của G chứa H Khi đó K/H là nhóm con chuẩn tắc của G/H và

Chứng minh cho thấy vì H và K là các nhóm con chuẩn tắc của G, nên ta có thể xác định các nhóm thương G/H và G/K Ánh xạ f : G/H → G/K được định nghĩa bởi f(xH) = xK là một ánh xạ toàn cấu nhóm với Kerf = K/H Điều này cho thấy K/H là nhóm con chuẩn tắc của G/H, và theo Định lý đồng cấu nhóm, ta có đẳng cấu giữa các nhóm này.

Áp dụng mô tả nhóm thương và nhóm xyclic

Nhóm xyclic là một khái niệm quan trọng trong đại số, và nó có thể được mô tả qua cấu trúc của mình Khi tìm hiểu về nhóm xyclic, chúng ta đã có hai ví dụ điển hình về nhóm xyclic, đó là nhóm cộng các số nguyên.

Z và nhóm cộng Z m các số nguyên môđun m Mệnh đề sau đây cho thấy sai khác một đẳng cấu mọi nhóm xyclic chỉ có một trong hai dạng này.

2.6.7.1 Mệnh đề Mọi nhóm xyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z Mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp m đều đẳng cấu với nhóm cộng Zm.

Chứng minh Giả sử G là nhóm xyclic sinh bởi phần tử a Khi đó

Xét tương ứng f từ tập hợp các số nguyên Z đến nhóm G, được xác định bởi f(n) = a^n với mọi số nguyên n Dễ thấy f là một toàn cấu nhóm, nghĩa là một ánh xạ bảo toàn cấu trúc nhóm Do đó, hạt nhân của f, ký hiệu là Ker f, là một nhóm con của Z và do đó tồn tại một số nguyên dương m sao cho Ker f chính là tập hợp các bội của m trong Z, ký hiệu là mZ.

Ta xét hai trường hợp sau đây.

Nếu m = 0 thì Ker f = {0} Khi đó f là đơn cấu và do đó f là một đẳng cấu, nghĩa là G∼= Z.

Nếu m 6= 0 thì theo Định lý đồng cấu nhóm ta có

Do đó G ∼= Z/mZ = {0,1, , m−1} = Z m Hơn nữa |G| = m.

(2) Mô tả nhóm thương Xét bài toán: Cho G là một nhóm và H là một ước chuẩn của G Hãy mô tả nhóm thương G/H.

Nhóm thương G/H có thể được mô tả thông qua một nhóm đẳng cấu với nó bằng cách xây dựng một toàn cấu nhóm ϕ : G → X từ nhóm G vào một nhóm X nào đó sao cho Ker ϕ = H Áp dụng Định lý đồng cấu nhóm, ta có thể xác định được mối quan hệ đồng cấu giữa G/H và X, cụ thể là G/H ∼= X.

2.6.7.2 Ví dụ Mô tả nhóm thương R ∗ /R +

R ∗ là một nhóm đối với phép nhân với đơn vị 1, R + là một ước chuẩn của

R ∗ và {−1,1} là một nhóm con của R ∗ Xét tương ứng ϕ : R ∗ → {−1,1} xác định như sau ϕ(x) 1 nếu x > 0

Có thể chứng minh một cách dễ dàng rằng ϕ là một toàn cấu nhóm Ngoài ra, Kerϕ = R+ Theo Định lý đồng cấu nhóm, ta có R*/R+ ∼= {−1,1}, nghĩa là nhóm này đẳng cấu với một nhóm có hai phần tử.

R ∗ /R + = {xR + | x ∈ R ∗ } = {R + ,R − }, ở đây ta ký hiệu R − là tập các số thực âm.

2.6.7.3 Ví dụ Mô tả nhóm thương GL(n,R)/SL(n,R), trong đó GL(n,R) là nhóm nhân các ma trận vuông cấp n không suy biến với phần tử thực,SL(n,R) là nhóm nhân các ma trận vuông cấp n phần tử thực có định thức bằng 1 (dễ thấy SL(n,R) là ước chuẩn của GL(n,R)).

Ánh xạ f từ GL(n,R) đến R∗ được xác định bởi f(A) = detA với mọi A thuộc GL(n,R) Ánh xạ này là một toàn cấu nhóm và nhân của nó là SL(n,R) Theo Định lý đồng cấu nhóm, ta có thể kết luận rằng GL(n,R)/SL(n,R) đồng cấu với R∗.

47 Cho f : G1 → G2 là một đẳng cấu nhóm Chứng minh rằng ánh xạ ngược của f cũng là một đẳng cấu nhóm Từ đó suy ra rằng tập hợp các tự đẳng cấu của một nhóm G là một nhóm với phép hợp thành các ánh xạ.

48 Cho n, m là các số tự nhiên với n là một ước của m Chứng minh rằng có một đơn cấu f : Z n →Z m sao cho Z m /Imf ∼= Z m/n

49 Trong nhóm cộng các số nguyên Z, chứng minh rằng với mọi m, n ∈ Z ta có:

(1) mZ∩nZ = bZ, trong đó b là bội chung nhỏ nhất của n và m.

50 Cho X =< x > và Y =< y > là các nhóm xyclic có cấp lần lượt là s và t Với mỗi số tự nhiên k > 0, chứng minh rằng quy tắc ϕ : X → Y cho bởi ϕ(x n ) = (y k ) n là một đồng cấu nếu và chỉ nếu sk chia hết cho t Hơn nữa, nếu sk = mt và ϕ là đẳng cấu thì s và m nguyên tố cùng nhau.

51 Cho G là một nhóm giao hoán Chứng minh rằng ánh xạ ϕ : G → G cho bởi ϕ(a) =a k là đồng cấu với mọi k ∈ Z.

52 Cho G là một nhóm Chứng minh rằng G là nhóm giao hoán nếu và chỉ nếu ánh xạ ϕ: G →G cho bởi ϕ(a) =a −1 là đẳng cấu.

53 Cho n > 0 là một số tự nhiên và f là một tự đồng cấu của Zn Chứng minh rằng f là tự đẳng cấu của Zn nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên k nguyên tố với n sao cho f(a) =ka với mọi a ∈ Z n Từ đó suy ra rằng nhóm các tự đẳng cấu của Zn đẳng cấu với nhóm nhân Z ∗ n.

54 Chứng minh rằng có đúng 2 tự đẳng cấu của nhóm cộng các số nguyên

Z, đó là ánh xạ đồng nhất 1 Z và ánh xạ −1 Z cho bởi −1 Z (n) = −n với mọi n∈ Z.

55 Tìm các tự đẳng cấu nhóm của một nhóm xyclic cấp vô hạn Chứng minh rằng nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm xyclic cấp vô hạn đẳng cấu với nhóm {−1,1} (với phép nhân các số thực).

56 Cho Qlà nhóm cộng các số hữu tỷ Chứng minh rằng ánh xạf : Q → Q là một đồng cấu nhóm khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một số a ∈ Q sao cho f(x) =ax,∀x ∈ Q.

Có duy nhất một đồng cấu từ nhóm cộng các số hữu tỷ Q đến nhóm cộng các số nguyên Z, điều này dẫn đến kết luận rằng các nhóm cộng Q và Z không đẳng cấu với nhau.

(2) Nhóm cộng các số thực R đẳng cấu với nhóm nhân các số thực dương.

58 (1) Tìm các đồng cấu nhóm từ Z4 đến Z12;

(2) Tìm các đồng cấu nhóm từ Z12 đến Z4.

59 Cho n, m ∈ N Tìm các đồng cấu nhóm:

(1) từ một nhóm xyclic cấp n đến chính nó;

(2) từ một nhóm xyclic cấp n đến một nhóm xyclic cấp m.

60 Cho tương ứng f : C → R a+bi 7→a từ nhóm cộng các số phức C đến nhóm cộng các số thực R.

(1) Chứng tỏ f là một toàn cấu nhóm.

(2) Tìm Ker f và nhóm thương C/Ker f.

(3) Thiết lập đẳng cấu ϕ :C/Ri ∼= R Ý nghĩa hình học của đẳng cấu này.

61 Cho tương ứng f : C → R từ nhóm cộng các số phức C đến nhóm cộng các số thực R, xác định bởi f(a+ bi) =b

(1) Chứng tỏ f là một toàn cấu nhóm.

(2) Tìm Ker f và nhóm thương C/Ker f.

(3) Thiết lập đẳng cấu ϕ: C/R ∼= R Ý nghĩa hình học của đẳng cấu này.

62 Ký hiệu G = GL(n,R) là nhóm nhân các ma trận vuông thực không suy biến cấp n, A là tập các ma trận vuông thực cấp n có định thức bằng ±1, B là tập các ma trận vuông thực cấpn có định thức dương Chứng minh rằng:

(1) A và B là các ước chuẩn của G.

(2) G/A đẳng cấu với nhóm nhân các số thực dương.

(3) G/B là một nhóm xiclic cấp 2.

(4) R ∗ ∼= GL(n,R)/SL(n,R), trong đó SL(n,R) là tập các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1.

63 Trên tập hợp G= Z 3 ta xác định một phép toán 2 ngôi như sau:

(1) G cùng với phép toán nói trên là một nhóm.

(2) Nhóm con A sinh bởi (1,0,0) là nhóm con chuẩn tắc.

64 Cho H là một nhóm con của nhóm G Kí hiệu fx là tự đẳng cấu trong của G ứng với phần tử x ∈ G Chứng minh rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G nếu và chỉ nếu fx(H) = H với mọi x ∈ G.

Nhóm đối xứng

Khái niệm nhóm đối xứng

Cho X là một tập hợp khác rỗng Ký hiệu S(X) là tập tất cả các song ánh từ X đến X Khi đó dễ kiểm tra thấyS(X) là một nhóm với phép hợp thành ánh xạ Đơn vị của nhóm này ánh xạ đồng nhất1 X Với mỗi f ∈ S(X), phần tử nghịch đảo là f −1 chính là ánh xạ ngược của f Nhóm S(X) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp X Mỗi nhóm con của S(X) được gọi là nhóm các phép thế trên X.

Khi X = {1, , n} thì S(X) được kí hiệu là S n và được gọi theo các cách gọi khác nhau là nhóm đối xứng trên n phần tử, nhóm đối xứng bậc n và thông thường là nhóm các phép thế bậc n S n là nhóm hữu hạn cấp n!. Nhóm S n nói chung là không giao hoán, S n là nhóm giao hoán nếu và chỉ nếu n= 1 hoặc n= 2 Người ta thường viết mỗi phần tử f ∈ S n dưới dạng f 1 2 n f(1) f(2) f(n)

Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát cấu trúc của nhóm S n

Nhóm các phép thế bậc n

2.7.2.1 Định nghĩa Một phép thế f ∈ S n được gọi là một chu trình độ dài k hay một xích độ dài k nếu tồn tại các số a 1 , , a k ∈ {1, , n} sao cho f(a 1 ) = a 2 , , f(a k−1 ) = a k , f(a k ) = a 1 và f(a) = a,∀a /∈ {a 1 , , a k }. Khi đó ta viết f dưới dạng f = (a 1 a k ) hoặc f = (a 1 , , a k ).

Khi đó tập hợp{a 1 , , a k } được gọi làtập nền của xíchf Hai xíchf, g ∈ S n được gọi là độc lập nếu các tập nền của chúng rời nhau.

2.7.2.2 Ví dụ (1) Phép thế đồng nhất là một xích có độ dài 1 với tập nền gồm một phần tử tùy ý thuộc tập {1, , n}.

(3) Ta có thể viết các phần tử của nhóm đối xứng S 3 dưới dạng vòng xích như sau:

2.7.2.3 Định lý Mỗi phép thế f ∈ S n đều viết được thành tích của các xích độc lập trong S n

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n Trường hợp n = 1, định lý hiển nhiên đúng.

Với n > 1 và f thuộc tập hợp S n, nếu f là phép thế đồng nhất thì định lý đúng Tuy nhiên, nếu f không phải là phép thế đồng nhất, ta có thể tìm số a 1 nhỏ nhất sao cho f(a 1) không bằng a 1 Từ đó, ta đặt a 2 = f(a 1) và giả sử a 1, , a k là các số phân biệt thỏa mãn f(a 1) = a 2, f(a 2) = a 3, , f(a k-1) = a k và f(a k) thuộc tập hợp {a 1, , a k-1} Do f là một song ánh, f(a k) phải bằng a 1, và ta ký hiệu f 0 = (a 1 a k) Ngoài ra, ta đặt X là tập hợp các phần tử từ 1 đến n trừ đi các phần tử a 1, , a k, và do f là song ánh nên f(a) thuộc X với mọi a thuộc X.

Ánh xạ g : X → X, a 7→ g(a) = f(a) là một song ánh, do đó nó là một phép thế bậc n−k, nghĩa là g ∈ S n−k Theo giả thiết quy nạp, g có thể phân tích thành tích các xích độc lập g = g 1 g t, trong đó mỗi g i thuộc về S n−k.

Với mỗi i từ 1 đến t, ta định nghĩa hàm f i từ tập {1, , n} đến tập {1, , n} bằng cách gán f i (a) = g i (a) với mọi a thuộc X và f i (a) = a với mọi a không thuộc X Do đó, f i trở thành một song ánh và thuộc nhóm đối xứng S n Hơn nữa, các hàm f i còn tạo thành các vòng xích độc lập trong S n và thỏa mãn đẳng thức f = f 0 f 1 f t.

2.7.2.4 Chú ý Cho f ∈ S n Giả sử f = f 1 f t là một sự phân tíchf thành tích các xích độc lập Nếu trong sự phân tích này ta yêu cầu a 1 < < a t , trong đó a i là phần tử bé nhất trong tập nền của f i ,∀i = 1, , t thì theo chứng minh trên sự phân tích như thế của f là duy nhất nếu không kể đến các nhân tử là các xích có độ dài 1.

2.7.2.5 Ví dụ (1) Trong nhóm các phép thế S 4 ta có f 1 2 3 4

(2) Trong nhóm các phép thế S 8 ta có f 1 2 3 4 5 6 7 8

Chú ý rằng, trong nhóm Sn, mỗi xích độ dài k đều có cấp k nên ta có hệ quả sau.

2.7.2.6 Hệ quả Cho f ∈ Sn Giả sử f = f1 ft là một sự phân tích f thành tích của các xích độc lập Khi đó cấp của f là bội chung nhỏ nhất của các độ dài của các xích f1, , ft.

2.7.2.7 Định nghĩa Mỗi xích độ dài 2 trong nhóm Sn được gọi là một chuyển trí hoặc là một phép thế sơ cấp.

2.7.2.8 Mệnh đề Mối phép thế Sn đều là tích của các chuyển trí Vì thế nhóm Sn được sinh bởi các chuyển trí của nó.

Chứng minh Theo Định lý 2.7.2.3 thì f là tích của các xích độc lập trong

Để chứng minh mỗi xích trong Sn đều là tích của những chuyển trí, ta giả sử (a1a2 ak) là một xích trong Sn Khi đó, ta có thể phân tích xích này thành các chuyển trí, thể hiện mối quan hệ giữa các phần tử trong xích.

(a1 a2 ak) = (a1 a2)(a2 a3) .(a k−1 ak) và như vậy mệnh đề được chứng minh.

Cho f ∈ Sn Ta đặt sign(f) = f(∆ n )

Với mỗi cặp (i, j) thỏa mãn 1≤ i < j ≤ n, ta cần đảm bảo thừa số j − i xuất hiện đúng một lần duy nhất trong tích ∆ n Điều này có thể thực hiện được do tính chất song ánh của hàm f, cho phép xác định duy nhất cặp k, t ∈ {1, , n} sao cho f(k) = i và f(t) = j Khi đó, j − i sẽ bằng f(t) − f(k) nếu t > k và ngược lại.

−(j−i) = f(k)−f(t) nếu k > t Vì thế chỉ có một trong hai thừa số j −i hoặc −(j−i) xuất hiện đúng một lần trong tích f(∆ n ) Suy ra sign(f) = 1 hoặc sign(f) =−1.

2.7.2.9 Định nghĩa Nếu sign(f) = 1 thì f được gọi là phép thế chẵn Nếu sign(f) = −1 thì f được gọi là phép thế lẻ Ta gọi sign(f) là dấu của f. Chú ý rằng, phép thế đồng nhất e có dấu bằng 1 nên nó là phép thế chẵn.

2.7.2.10 Bổ đề Xét nhóm {−1,1} với phép nhân thông thường Khi đó ánh xạ ϕ : S n → {−1,1} xác định bởi ϕ(f) = sign(f) là một đồng cấu nhóm. Chứng minh Với mọi f, g ∈ Sn, ta có

Vi vậy, sign(gf) = sign(g)sign(f) hay ϕ(gf) = ϕ(g)ϕ(f) và do đó ϕ là một đồng cấu nhóm.

2.7.2.11 Nhận xét Theo chứng minh của bổ đề trên, ∀f, g ∈ S n ta có sign(gf) = signg.signf Từ đó suy ra tích của hai phép thế cùng tính chẵn hoặc cùng tính lẻ là một phép thế chẵn; tích của hai phép thế có tính chẵn lẻ khác nhau là một phép thế lẻ Vì phép thế đồng nhất là phép thế chẵn nên với mọi f ∈ S n thì f và f −1 có cùng tính chẵn, lẻ.

Cặp (i, j), với 1 ≤ i < j ≤ n, được gọi là một nghịch thế của f nếu f(i) > f(j) Ví dụ, phép thế g 1 2 3 4

3 2 4 1 có 4 nghịch thế Phép thế h 1 2 3 4 5

2.7.2.12 Mệnh đề Cho f ∈ S n Nếu số nghịch thế của f là chẵn (tương ứng lẻ) thì f là phép thế chẵn (tương ứng lẻ).

Nếu cặp (i, j) là một nghịch thế của f thì trong ∆ n, thừa số j−i khác dấu với thừa số f(j)−f(i) Ngược lại, nếu cặp (i, j) không phải là nghịch thế thì thừa số j−i cũng khác dấu với thừa số f(j)−f(i) Điều này chứng minh cho mệnh đề đã được đề cập.

Khi viết phép thế dưới dạng xích, ta có thể kiểm tra tính chẵn, lẻ nhờ kết quả sau đây.

2.7.2.13 Mệnh đề Giả sử f = (a1 ak) ∈ Sn là một xích độ dài k Nếu k là số chẵn (tương ứng lẻ) thì f là phép thế lẻ (tương ứng chẵn).

Chứng minh Chú ý rằng f = (a1 a2)(a2 a3) .(ak−1 ak).

Chuyển trí g = (a b) là một phép thế lẻ vì nó có số lượng nghịch thế lẻ Cụ thể, nếu i không bằng a và j không bằng b, thì cặp (i, j) không phải là một nghịch thế của g Ngược lại, nếu i bằng a hoặc j bằng b, thì cặp (i, j) là một nghịch thế của g Điều này dẫn đến kết quả là các nghịch thế của g chỉ bao gồm (a, a+ t) với t = 1, , b−a hoặc (a+ t, b) với t= 1, , b−a−1, tổng cộng là 2(b−a)−1 nghịch thế.

Theo Mệnh đề 2.7.2.12 thì g là phép thế lẻ Do đó theo Nhận xét 2.7.2.11 ta có sign(f) = Y i=1, ,k−1 sign((ai ai+1)) = (−1) k−1 Mệnh đề được chứng minh.

2.7.2.14 Ví dụ Cho phép thế f 1 2 3 4 5 6 7 8

Theo Mệnh đề 2.7.2.13 và Nhận xét 2.7.2.11 thì f là một phép thế chẵn.

Nhóm thay phiên

Nhóm thay phiên trên n phần tử, ký hiệu là An, được định nghĩa là tập hợp các phép thế chẵn của Sn Theo đó, An tương ứng với nhân của đồng cấu nhóm ϕ, như đã nêu trong Bổ đề 2.7.2.10, và do đó An là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm Sn.

2.7.3.1 Mệnh đề Với mỗi n ≥ 2, A n là một nhóm con chuẩn tắc của S n với chỉ số [S n : A n ] = 2 Nhóm A n có n!/2 phần tử Nhóm thương S n /A n là một nhóm xyclic cấp 2.

Chứng minh Rõ ràng A n = eA n = f A n ,∀f ∈ A n là một lớp ghép trái của

S n , nó gồm tập tất cả các phép thế chẵn.

Giả sử f là một phép thế lẻ bất kỳ trong S n, ta có thể chứng minh rằng f A n, tập hợp các phép thế lẻ của S n, bằng S n \A n Mỗi phần tử của f A n là tích của một phép thế lẻ và một phép thế chẵn, do đó nó là một phép thế lẻ, dẫn đến f A n ⊆ S n \A n Ngược lại, với g là một phép thế lẻ trong S n \A n, f −1 cũng là một phép thế lẻ và f −1 g là phép thế chẵn, suy ra g = f(f −1 g) ∈ f A n Do đó, f A n = S n \A n, và nhóm S n chỉ có đúng 2 lớp ghép trái Nhóm thương G/A n chỉ có 2 phần tử, và do đó [S n : A n] = 2 Hơn nữa, các lớp ghép trái đều có số phần tử như nhau, dẫn đến |A n| = n!/2.

Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu nó không chứa bất kỳ nhóm con chuẩn tắc nào ngoài hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường là {e} và G Điều này có nghĩa là nhóm đơn không thể được phân hủy thành các nhóm con nhỏ hơn, tương tự như cách số nguyên tố không thể được phân hủy thành các số nguyên tố nhỏ hơn.

2.7.3.2 Định lý (Galois) Nhóm thay phiên A n là một nhóm đơn, trừ khi n= 4.

Nhúng các nhóm vào nhóm đối xứng

2.7.4.1 Định lý Mỗi nhóm G (hữu hạn hoặc vô hạn) đều đẳng cấu với một nhóm con nào đó của nhóm đối xứng S(G) Nói cách khác, có một đơn cấu nhóm G →S(G) từ G vào nhóm đối xứng trên tập hợp G.

Chứng minh Với mỗi a ∈ G, ta xét phép tịnh tiến trái bởi a :

Để chứng minh L(a) là một song ánh, chúng ta cần xem xét hai tính chất: đơn ánh và toàn ánh Thật vậy, với mọi x, y thuộc nhóm G, nếu ax = ay thì theo luật giản ước trong nhóm G, chúng ta suy ra x = y, do đó L(a) là đơn ánh Mặt khác, với mọi z thuộc G, ta có L(a)(a^(-1)z) = a(a^(-1)z) = z, suy ra L(a) là toàn ánh Như vậy, L(a) là một song ánh, hay nói cách khác L(a) thuộc tập hợp S(G).

L là một đồng cấu nhóm vì ∀a, b, x∈ G ta có:

(L(ab))(x) = (ab)x = a(bx) =L(a)(bx) = L(a)(L(b)(x)) = (L(a)L(b))(x) nên

Mặt khác L là một đơn ánh vì nếu với mọi a, b ∈ G mà L(a) = L(b) thì ax = bx,∀x∈ G Suy ra a = b.

Vậy L là một đơn cấu nhóm và định lý được chứng minh. Định lý trên cho ngay ta hệ quả sau đây.

2.7.4.2 Hệ quả Mỗi nhóm hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm các phép thế S n

Chứng minh Giả sử G là một nhóm hữu hạn cấp n Sử dụng định lý trên ta chỉ cần chứng minh S(G) ∼= Sn với n = |G|.

Thật vậy, hãy cố định một song ánh h : G → {1,2, , n}, đây chính là một cách đánh số lại các phần tử của G Khi đó dễ chứng minh được ánh xạ

S(G) → Sn, α→ hαh −1 là một đẳng cấu nhóm.

Việc nghiên cứu nhóm S n và các nhóm con của nó mang lại ý nghĩa quan trọng trong nghiên cứu các nhóm hữu hạn Khi X là tập hợp hữu hạn gồm n phần tử, nhóm đối xứng S(X) đẳng cấu với nhóm S n các phép thế bậc n, do đó S(X) cũng được gọi là nhóm các phép thế của X hoặc nhóm các phép thế bậc n và được ký hiệu là S n.

Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các nhóm

Trường hợp tổng quát

Giả sử {G i } i∈I là một họ tùy ý các nhóm (nhân) Trên tích Descartes

G i = {(a i ) i∈I | a i ∈ G i , i ∈ I} định nghĩa một phép nhân như sau:

G i cùng với phép nhân nói trên là một nhóm, được gọi là tích trực tiếp của họ nhóm {G i } i∈I và ký hiệu là Q i∈I

G i Phần tử đơn vị là

(ei) i∈I với ei là đơn vị của nhóm Gi; nghịch đảo của phần tử x = (xi) i∈I là x −1 = (x −1 i ) i∈I , với x −1 i là nghịch đảo của xi trong nhóm Gi.

Ta ký hiệu ⊕ i∈IGi là tập con của Q i∈I

Tập hợp G bao gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn, nghĩa là, nó bao gồm các phần tử (a i ) i∈I sao cho a i = e i hầu hết chỉ trừ ra một số hữu hạn chỉ số i Điều này cho phép chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng ⊕ i∈IGi là một nhóm con của Q i∈I.

Gi, và được gọi là tổng trực tiếp của họ nhóm {G i } i∈I

Khi tập chỉ số I hữu hạn, tích trực tiếp và tổng trực tiếp là như nhau Điều này có nghĩa là trong trường hợp này, hai khái niệm này có thể được sử dụng thay thế cho nhau mà không ảnh hưởng đến kết quả Tuy nhiên, khi tập chỉ số I vô hạn, tích trực tiếp và tổng trực tiếp có thể khác nhau, đòi hỏi phải phân biệt rõ ràng giữa hai khái niệm này.

Tích trực tiếp của hai nhóm

Giả sử A và B là các nhóm Gọi G là tích trực tiếp của A và B Khi đó

Phép toán trên nhóm G được thực hiện như sau:

Phần tử đơn vị của nhóm G là e = (e A , e B ) và phần tử nghịch đảo của (a, b) ∈ G là (a, b) −1 = (a −1 , b −1 ).

Mệnh đề sau đây là một số tính chất đơn giản của tích trực tiếp các nhóm.

2.8.2.1 Mệnh đề Giả sử A, B, C là các nhóm Các phát biểu sau là đúng.

(3) Có thể coi A và B như là những nhóm con của A×B Khi đó trong nhóm A×B ta có ab = ba,∀a ∈ A,∀b ∈ B và A∩B = {e}.

(4) A∪B là một tập sinh của nhóm A×B.

(5) A và B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm A×B.

Chứng minh (1) Xét ánh xạ ϕ : A×B →B ×A,(a, b) 7→(b, a) Dễ chứng minh được ϕ là một đẳng cấu nhóm.

Dễ chứng minh được ϕ là một đẳng cấu nhóm.

(3) Xét ánh xạ f : A → A× B, a 7→ (a, eB) Khi đó f là một đơn cấu nhóm Do đó A ∼= f(A) = A× {e B } A× {e B } là một nhóm con của A×B.

Nếu đồng nhất mỗi phần tử a ∈ A với phần tử f(a) = (a, eB) ∈ A×B, ta có thể coi A như là một nhóm con của A×B Tương tự, bằng cách đồng nhất mỗi phần tử b ∈ B với phần tử (eA, b) ∈ A×B, ta cũng có thể coi B là một nhóm con của A×B.

Để chứng tỏ nhóm con bé nhất của A×B chứa A∪B chính là A×B, chúng ta giả sử H là một nhóm con của A×B chứa A∪B Khi đó, H chứa A× {e_B} và {e_A} ×B, và do đó chứa tất cả các phần tử dạng (a, e_B)(e_A, b) = (a, b) với a ∈ A, b ∈ B Điều này dẫn đến kết luận rằng H = A×B, chứng tỏ rằng nhóm A×B được sinh bởi các phần tử của A và B.

(5) A là nhóm con chuẩn tắc của A×B vì với mọi (x, y) ∈ A×B và với mọi (a, e B ) ∈ A ta có

Tương tự, ta cũng có B là nhóm con chuẩn tắc của A×B.

(6) Ta có các toàn cấu nhóm p 1 : A×B → A.(a, b) 7→a và p 2 : A×B → A.(a, b) 7→ b.

Dễ thấy Kerp 1 = B và Kerp 2 = A Vì vậy theo Định lý đồng cấu nhóm ta có các đẳng cấu cần chứng minh.

Nếu một nhóm G là tích trực tiếp của hai nhóm A và B, ta có thể xem A và B như các tập con của G bằng cách xác định a ≡ (a, e B ) và b ≡ (e A , b) với mọi a ∈ A và b ∈ B Khi đó, A và B trở thành các nhóm con chuẩn tắc của G và A∪B là tập sinh của G Định lý quan trọng sau đây cho ta biết điều kiện cần và đủ để một nhóm G đẳng cấu với tích trực tiếp của hai nhóm con của nó: Nếu A và B là các nhóm con chuẩn tắc của G, A∩B = {e} và A∪B là tập sinh của G, thì G đẳng cấu với tích trực tiếp A×B.

Để chứng minh điều này, chúng ta hãy xem xét biểu diễn của các phần tử trong nhóm G Đối với mọi phần tử a thuộc tập hợp A và b thuộc tập hợp B, ta có thể quan sát thấy rằng ab = ba Điều này có thể được chứng minh thông qua việc áp dụng các quy tắc của nhóm, cụ thể là aba −1 b −1 = (aba −1 )b −1 = a(ba −1 b −1 ).

Vì A, B là các nhóm con chuẩn tắc củaG nênba −1 b −1 ∈ A vàaba −1 ∈ B Do đó a(ba −1 b −1 ) ∈ A và (aba −1 )b −1 ∈ B Như vậy, aba −1 b −1 ∈ A∩ B = {e}. Suy ra aba −1 b −1 = e hay ab = ba.

Tiếp theo ta đặt AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Rõ ràng AB ⊆ Gvà AB 6= ∅ vì e = ee ∈ AB Mặt khác, với mọi ab, cd ∈ AB ta có

(ab)(cd) −1 = (ab)(d −1 c −1 ) = (ac −1 )(bd −1 ) ∈ AB

(vì theo chứng minh trên xy = yx,∀x∈ A,∀y ∈ B) Vì vậy AB là một nhóm con của G Mặt khác, ∀a ∈ A,∀b ∈ B ta có a = ae ∈ AB và b = eb ∈ AB.

Do đó AB là nhóm con của G chứa A∪B.

Giả thiết G sinh bởi A∪ B có nghĩa là G là nhóm con bé nhất chứa A∪B, dẫn đến kết quả AB = G Theo đó, mỗi phần tử g ∈ G đều có thể biểu diễn dưới dạng g = ab, trong đó a ∈ A và b ∈ B.

Ta sẽ chứng minh biểu diễn đó là duy nhất Thật vậy, giả sử g có hai biểu diễn g = a1b1 = a2b2, với a 1 , a 2 ∈ A, b 1 , b 2 ∈ B Khi đó a −1 1 a 2 = b 1 b −1 2 ∈ A ∩ B = {e} Suy ra a 1 = a 2 và b 1 = b 2

Bây giờ ta xét ánh xạ ϕ: G →A×B, g = ab 7→ (a, b).

Khi đó, ∀g, g 0 ∈ G với g = ab, g 0 = cd, a, c∈ A và b, d ∈ B ta có ϕ(gg 0 ) = ϕ((ab)(cd)) = ϕ((ac)(bd)) = (ac, bd) = (a, b)(c, d) = ϕ(g)ϕ(g 0 ).

Do đó ϕ là một đồng cấu nhóm Hơn nữa, dễ thấy ϕ là một song ánh Vậy ϕ là một đẳng cấu nhóm Định lý được chứng minh.

70 Tìm các nhóm con và nhóm con chuẩn tắc của nhóm đối xứng S 3

71 Giả sử G 1 , G 2 là các nhóm với đơn vị lần lượt là e 1 , e 2 Đặt G G 1 ×G 2 , A = G 1 × {e 2 } và B = {e 1 } ×G 2 Chứng minh rằng A và B là các nhóm con chuẩn tắc củaG vàAB = BA = G Hơn nữa, A∼= G 1 vàB ∼= G 2

72 Chứng minh rằng nhóm cộng Z[i] đẳng cấu với nhóm tích Z×Z.

73 Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm Gthoả mãn A∩B = e và G = AB Chứng minh rằng G ∼= A×B Nếu bỏ giả thiết chuẩn tắc của

A hoặc B thì đẳng cấu trên còn đúng không?

74 Chứng minh rằng tâm của nhóm đối xứng S n là nhóm con tầm thường với mọi n ≥ 3 Kết hợp với Bài tập 66, hãy suy ra rằng Int(Sn) ∼= S n với mọi n≥ 3.

75 Chứng minh rằng tích trực tiếp G 1 ×G 2 × .×G n là giao hoán khi và chỉ khi các nhóm G 1 , G 2 , , G n là giao hoán.

76 Cho X, Y là các nhóm xyclic có cấp lần lượt là m, n Chứng minh rằng

X ×Y là nhóm xyclic nếu và chỉ nếu m và n nguyên tố cùng nhau.

(1) Mọi nhóm xyclic đều giao hoán;

(2) Nhóm Z 2 ×Z 3 là xyclic, Z 2 ×Z 2 không là nhóm xyclic.

78 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 4 hoặc đẳng cấu với nhóm Z 4 hoặc đẳng cấu với nhóm Z 2 ×Z 2

79 Cho G1 là một nhóm xyclic và G2 là một nhóm Chứng minh rằng nếu

G1 ∼= G2 thì G2 cũng là nhóm xyclic Từ đó suy ra rằng các nhóm Z 12 và

Z 2 ×Z 6 có cùng cấp 12 nhưng không đẳng cấu với nhau.

80 Cho A, B là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G Chứng minh rằng tương ứng f : G/(A∩B) → G/A×G/B cho bởif(x(A∩B)) = (xA, xB) là một đơn cấu Từ đó suy ra bất đẳng thức về chỉ số [G : (A∩B)] ≤ [G : A][G : B].

Đối xứng hóa của một vị nhóm giao hoán

Đối xứng hóa

Trong một nhóm, tất cả các phần tử đều là phần tử chính quy Tuy nhiên, trong một vị nhóm, chỉ những phần tử có nghịch đảo mới đảm bảo tính chính quy Điều đáng chú ý là không phải tất cả các phần tử chính quy trong một vị nhóm đều có nghịch đảo Ví dụ, trong vị nhóm nhân của các số tự nhiên N, mọi phần tử khác 0 đều là phần tử chính quy, nhưng chỉ có số 1 mới có nghịch đảo.

Xét vấn đề nhúng một vị nhóm giao hoán X vào một vị nhóm X sao cho mọi phần tử chính quy của X đều có nghịch đảo trong X Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm một cách để tích hợp X vào X sao cho các phần tử chính quy của X vẫn giữ được tính chất của chúng và có thể có nghịch đảo trong X Việc nhúng này cần đảm bảo rằng mọi phần tử chính quy của X đều có thể được biểu diễn dưới dạng một phần tử trong X và có nghịch đảo tương ứng.

Trước hết ta có bổ đề sau đây.

2.9.1.1 Bổ đề Giả sử X là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là e và X ∗ là tập tất cả các phần tử chính quy của X Khi đó:

(2) X ∗ là tập con ổn định của vị nhóm X.

Chứng minh (1) Vì với mọi a.b ∈ X, nếu ea = eb thì a = b nên e là phần tử chính quy của vị nhóm X hay e ∈ X ∗

Khi giả sử a, b là các phần tử chính quy trong tập X, ta có thể chứng minh rằng ab cũng là phần tử chính quy Cụ thể, với mọi x, y thuộc X, nếu (ab)x = (ab)y thì ta có thể suy ra a(bx) = a(by), từ đó kết luận bx = by do a là phần tử chính quy Mặt khác, vì b cũng là phần tử chính quy, nên từ bx = by ta có thể suy ra x = y Như vậy, ab là phần tử chính quy, hay ab thuộc tập X ∗.

2.9.1.2 Định lý Giả sử X là một vị nhóm giao hoán và X ∗ là tập tất cả các phần tử chính quy của X Khi đó, tồn tại một vị nhóm giao hoán X và một đơn cấu f :X →X có các tính chất sau:

(1) Mọi phần tử của f(X ∗ ) có nghịch đảo trong X;

(2) Mỗi phần tử của X có dạng f(a)f(b) −1 với a ∈ X, b ∈ X ∗

Cặp (X, f) xác định như trên là duy nhất (sai khác một đẳng cấu).

Chứng minh Trên X ×X ∗ ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi ∼ như sau: (a, b) ∼(c, d) nếu và chỉ nếu ad = bc với mọi (a, b),(c, d) ∈ X ×X ∗

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng quan hệ ∼ sở hữu các tính chất phản xạ và đối xứng Hơn nữa, nếu (a, b) ∼ (c, d) và (c, d) ∼ (u, v) thì từ đó ta suy ra ad = bc và cv = du, qua đó dẫn đến kết quả adv = bcv = bdu.

Quan hệ ∼ có tính chất bắc cầu do phần tử chính quy, từ đó suy ra av = bu hay (a, b) ∼ (u, v) Điều này cho thấy ∼ là một quan hệ tương đương trên tập hợp X × X ∗, thỏa mãn các tính chất cần thiết của một quan hệ tương đương.

Với mỗi (a, b) ∈ X ×X ∗ , ta kí hiệu (a, b) là lớp tương đương của (a, b).

X = {(a, b) | (a, b) ∈ X ×X ∗ } là tập thương của X × X ∗ theo quan hệ tương đương ∼ Trên X ta định nghĩa một phép toán như sau:

Phép toán trên tập X được định nghĩa là (a, b) (c, d) = (ac, bd) với mọi phần tử (a, b) và (c, d) thuộc X Phép toán này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của các phần tử trong X, nghĩa là nếu (a, b) tương đương với (a 0 , b 0 ) và (c, d) tương đương với (c 0 , d 0 ) thì (ac, bd) tương đương với (a 0 c 0 , b 0 d 0 ) Khi đó, tập X cùng với phép toán này tạo thành một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là (e, e), và (e, e) (a, a) với mọi a thuộc X ∗

Ánh xạ f : X → X được xác định bởi f(a) = (a, e) là một đồng cấu nửa nhóm Khi f(a) = f(a0), ta có (a, e) = (a0, e), từ đó suy ra a = a0 Điều này chứng tỏ rằng f là một đơn cấu nửa nhóm.

(1) Giả sử y ∈ f(X ∗ ) là một phần tử tùy ý Khi đó tồn tại a ∈ X ∗ sao cho y = f(a) = (a, e) Ta có (e, a) ∈ X và (a, e) (e, a) = (e, e) nên (e, a) là nghịch đảo của y trong X.

(2) Giả sử x ∈ X là một phần tử tùy ý Khi đó tồn tại a ∈ X, b ∈ X ∗ sao cho x = (a, b) Ta có x= (a, b) = (a, e) (e, b) =f(a)f(b) −1

Vậy cặp (X, f) thoả mãn các yêu cầu của định lý.

Cuối cùng, giả sử Y là một vị nhóm giao hoán và g : X → Y là một đơn cấu nửa nhóm sao cho mỗi phần tử của Y đều có thể biểu diễn dưới dạng g(a)g(b) −1 với a, b ∈ X, trong đó b thuộc tập X ∗ Khi đó, ta có thể xác định một tương ứng ϕ : X → Y bằng cách ánh xạ mỗi cặp (a, b) thành g(a)g(b) −1

Khi cho (a, b) = (a 0 , b 0 ) ∈ X, ta có ab 0 = a 0 b, suy ra g(a)g(b 0 ) = g(a 0 )g(b) Do b, b 0 ∈ X ∗ nên g(b), g(b 0 ) có nghịch đảo trong Y, từ đó suy ra g(a)g(b) −1 = g(a 0 )g(b 0 ) −1 , chứng tỏ ϕ là một ánh xạ Hơn nữa, ϕ là đồng cấu nửa nhóm và toàn ánh vì mỗi phần tử của Y đều có thể biểu diễn dưới dạng g(a)g(b) −1 với a ∈ X, b ∈ X ∗ Nếu ϕ((a, b)) = ϕ((a 0 , b 0 )), thì g(a)g(b) −1 = g(a 0 )g(b 0 ) −1 , dẫn đến g(a)g(b 0 ) = g(a 0 )g(b), và do g là đơn ánh nên ta có ab 0 = a 0 b hay (a, b) = (a 0 , b 0 ).

Do đó ϕ là một đơn ánh Vậy ϕ là một đẳng cấu.

Trong định lý trên, do f là một đơn cấu nên mỗi phần tử a ∈ X có thể được đồng nhất với ảnh của nó là f(a) ∈ X Điều này cho phép ta xem X như một vị nhóm con của vị nhóm X, và mỗi phần tử của X có thể được biểu diễn dưới dạng ab −1 , với a ∈ X và b ∈ X ∗

2.9.1.3 Hệ quả Với giả thiết như trong định lý trên, nếu tất cả các phần tử của X đều chính quy thì X là một nhóm.

Nếu tất cả các phần tử của tập hợp X đều chính quy, thì tập hợp X sẽ có tính chất X ∗ = X Điều này có nghĩa là trong vị nhóm X, mọi phần tử đều có nghịch đảo, do đó nó thỏa mãn điều kiện để trở thành một nhóm.

Xây dựng nhóm cộng các số nguyên

Áp dụng Định lý 2.9.1.2, ta có thể xây dựng nhóm cộng các số nguyên Z từ vị nhóm cộng các số tự nhiên N.

Ta lấy X là vị nhóm cộng các số tự nhiên N, trong đó mọi phần tử đều chính quy Theo Hệ quả 2.9.1.3, điều này cho phép chúng ta kết luận rằng X là một nhóm.

Z Mỗi phần tử của Z được gọi là một số nguyên Phép toán trong Z xây dựng như trong Định lý 2.9.1.2 gọi là phép cộng các số nguyên và cũng ký hiệu bằng dấu + như phép cộng các số tự nhiên Mỗi phần tử của Z được viết dưới dạng m−n, với m, n ∈ N Nếu m ≥n, ta có m−n= p, p là số tự nhiên sao cho m = n+ p Nếu m < n, ta có m −n = −p, p là số tự nhiên sao cho m+ p= n Vậy

Xây dựng nhóm nhân các số hữu tỷ dương

Trong vị nhóm nhân N ∗ của các số tự nhiên khác 0, mọi phần tử đều chính quy, do đó theo Hệ quả 2.9.1.3, X là một nhóm, ký hiệu là Q + Các phần tử của Q + được gọi là số hữu tỷ dương và phép toán trong Q + được xây dựng tương tự như trong Định lý 2.9.1.2, ký hiệu bằng dấu × hoặc Mỗi phần tử của Q + được biểu diễn dưới dạng pq −1, với p, q ∈ N ∗, và thường được viết là p/q hay p q Phép nhân trên Q + được thực hiện bằng cách nhân các tử số và mẫu số riêng biệt, cụ thể là p 1 q 1 p 2 q 2 = p 1 p 2 q 1 q 2.

Nhận xét

Khi xây dựng nhóm cộng các số nguyên Z từ vị nhóm cộng các số tự nhiên N và nhóm nhân các số hữu tỷ dương Q+ từ vị nhóm nhân các số tự nhiên N*, ta thấy rằng có sự tương đồng trong cấu trúc và tính chất giữa các nhóm số này, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa chúng.

Z = N∪ {−1,−2,−3, ,−n, }; tuy nhiên, không có điều tương tự cho Q + , nghĩa là

4, , 1 n, }. Định lý sau đây sẽ giải thích tình trạng này.

2.9.4.1 Định lý Cho X là một vị nhóm giao hoán sao cho mọi phần tử của

X đều chính quy Khi đó

X = X ∪ {c −1 | c ∈ X} nếu và chỉ nếu với mọi a, b ∈ X, hoặc phương trình ax = b có nghiệm trong

X, hoặc phương trình bx = a có nghiệm trong X.

Cho a, b là các phần tử tùy ý của X Xét phương trình ax = b Vì mọi phần tử của X đều chính quy nên theo Hệ quả 2.9.1.3 thì X là một nhóm.

Phương trình này có nghiệm trong X và đó là x = ba −1 Điều này dẫn đến hai khả năng: hoặc là ba −1 ∈ X hoặc là ba −1 ∈ {c −1 | c ∈ X} Trong trường hợp đầu tiên, phương trình ax = b có nghiệm Trong trường hợp thứ hai, tồn tại c ∈ X sao cho ba −1 = c −1, từ đó suy ra ab −1 = c hay phương trình bx = a có nghiệm trong X.

Ngược lại, ta giả sử với mọi a, b ∈ X, hoặc phương trình ax = b có nghiệm trong X, hoặc phương trình bx = a có nghiệm trong X Ta cần chứng minh

Giả sử u ∈ X là một phần tử tùy ý, khi đó tồn tại a ∈ X và b ∈ X∗ sao cho u = ab−1 Nếu phương trình ax = b có nghiệm trong X, thì nghiệm đó phải có dạng ba−1 ∈ X, và do đó u = ab−1 = (ba−1)−1 ∈ {c−1 | c ∈ X} Tương tự, nếu phương trình bx = a có nghiệm trong X, thì nghiệm đó phải có dạng ab−1 ∈ X, chứng tỏ được mối quan hệ giữa các phần tử trong X và X∗.

Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Vị nhóm cộng các số tự nhiên N thỏa mãn định lý trên nên

Trong khi đó vị nhóm nhân các số tự nhiên khác 0 không thỏa mãn định lý trên nên Q + không có dạng

Tính chất của nhóm cộng các số nguyên

Nhóm cộng các số nguyên Z là một nhóm Abel cấp vô hạn, và trong phần này, chúng ta sẽ tổng hợp lại các tính chất quan trọng của Z Phát biểu sau đây đã được chứng minh trong Ví dụ 2.3.3.2, cung cấp cơ sở để hiểu rõ hơn về cấu trúc của nhóm cộng các số nguyên Z.

2.9.5.1 Mệnh đề Nhóm cộng các số nguyên Z là một nhóm xyclic với phần tử sinh là 1 hoặc -1.

Phát biểu sau đây đã được chứng minh ở Ví dụ 2.3.1.4.

2.9.5.2 Mệnh đề Mỗi nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z đều có dạng mZ với m là một số nguyên không âm nào đó.

Phát biểu sau đây được chứng minh trong Ví dụ 2.5.2.3.

2.9.5.3 Mệnh đề Mỗi nhóm thương của nhóm cộng các số nguyên Z là một nhóm cộng các số nguyên modulo m với m là một số nguyên không âm nào đó.

Một nhóm H được gọi là ảnh đồng cấu của nhóm Z nếu tồn tại một toàn cấu từ nhóm Z lên nhóm H Theo Định lý đồng cấu nhóm, mọi ảnh đồng cấu của nhóm Z đều đẳng cấu với một nhóm thương của Z, bao gồm chính nhóm Z và các nhóm Zm với m = 1, 2,

1 Định nghĩa, ví dụ, tính chất, nhận biết các cấu trúc: nửa nhóm, vị nhóm, nhóm.

2 Định nghĩa, ví dụ, tính chất, nhận biết các cấu trúc con: nửa nhóm con, nhóm con, nhóm con chuẩn tắc.

3 Tính chất của vị nhóm cộng các số tự nhiên và vị nhóm nhân các số tự nhiên.

4 Lớp ghép, chỉ số của nhóm con, xây dựng nhóm thương, mô tả nhóm thương.

5 Định lý Lagrange: phát biểu, chứng minh định lý và các hệ quả.

6 Đồng cấu nhóm: định nghĩa, tính chất, ví dụ, các định lý đồng cấu và đẳng cấu nhóm Chứng minh một đồng cấu, đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Tìm các đồng cấu, tự đồng cấu.

5 Ảnh, hạt nhân của đồng cấu nhóm: định nghĩa, tính chất, ví dụ Tìm ảnh và hạt nhân.

6 Nhóm xyclic: định nghĩa, ví dụ Xác định nhóm xyclic, chứng minh nhóm xyclic.

7 Nhóm đối xứng, nhúng một nhóm vào nhóm đối xứng.

8 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp các nhóm.

9 Xây dựng nhóm cộng các số nguyên Z, nhóm nhân các số hữu tỷ dương.Tính chất của nhóm cộng các số nguyên Z.

CHƯƠNG 3 VÀNH, MIỀN NGUYÊN, TRƯỜNG

Định nghĩa vành

Ta gọi một vành là một tập hợp R 6= ∅ cùng với hai phép toán, gồm phép cộng

: R×R → R, (x, y) 7→xy thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) (R,+) là một nhóm Abel, nghĩa là

- Phép cộng có tính chất giao hoán: x+y = y +x,∀x, y ∈ R.

- Phép cộng có tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+ (y +z),∀x, y, z ∈ R.

- Phần tử không: tồn tại 0 ∈ R sao cho

- ∀x ∈ R, tồn tại phần tử đối −x ∈ R, sao cho x+−x= −x+x = 0. (ii) (R, ) là một nửa nhóm, nghĩa là phép nhân có tính chất kết hợp:

(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: x(y+ z) = xy +xz và (y +z)x = yx+zx,∀x, y, z ∈ R.

• Nếu phép nhân của vành có tính chất giao hoán thì ta gọi vành đó là vành giao hoán

Một vành được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, thường được ký hiệu bởi 1 Tuy nhiên, cũng cần lưu ý rằng có tồn tại những vành không có đơn vị.

Một vành chỉ gồm một phần tử không, cùng với phép cộng và phép nhân, cũng tạo thành một vành và được gọi là vành không Tương tự, mọi vành chỉ gồm một phần tử đều là vành không Đối với vành R có đơn vị nhưng không phải là vành không, ta có thể chứng minh rằng 1 ≠ 0 Nếu 1 = 0, thì với mọi phần tử x thuộc R, ta sẽ có x = x1 = x0 = 0, dẫn đến R là vành không, tạo ra một mâu thuẫn Do đó, ta có thể kết luận rằng 1 ≠ 0.

Ví dụ

(1) Mỗi tập hợp số Z, Q, R với phép cộng và phép nhân các số thông thường là một vành giao hoán, có đơn vị là 1.

Với một số nguyên dương n cho trước, tập hợp Z n = {0,1, , n−1} đại diện cho các số nguyên modulo n, hoạt động dựa trên phép cộng và phép nhân được định nghĩa đặc biệt Trong đó, phép cộng và phép nhân được thực hiện theo quy tắc k + l = k + l và kl = kl, tạo thành một vành giao hoán có đơn vị là 1, thường được gọi là vành các số nguyên modulo n.

Cho trước một số nguyên dương n, tập hợp M(n,R) gồm các ma trận vuông cấp n có phần tử thực, cùng với phép cộng và phép nhân ma trận, tạo thành một vành có đơn vị là ma trận đơn vị cấp n.

Vành này nói chung không giao hoán.

(4) Cho trước một số nguyên n > 1 Tập hợp nZ cùng với phép cộng và phép nhân các số thông thường là một vành giao hoán nhưng không có đơn vị.

(5) Cho trước một số nguyên n > 1 Tập hợp các ma trận vuông có dạng

 với a1, , an ∈ R cùng với phép cộng và phép nhân ma trận là một vành.Vành này không giao hoán và cũng không có đơn vị.

Các tính chất cơ bản của vành

Mỗi vành đại diện cho một nhóm Abel đối với phép cộng và một nửa nhóm đối với phép nhân, do đó sở hữu đầy đủ các tính chất của một nhóm cộng và một nửa nhóm nhân Đồng thời, vành còn mang những tính chất đặc biệt khác biệt được suy ra từ tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, tạo nên sự đa dạng và phong phú trong cấu trúc đại số của nó.

3.1.3.1 Định lý Giả sử R là một vành Khi đó, với mọi x, y, z ∈ R ta có:

Do đó, xy = x[(y −z) +z] = x(y −z) + xz Suy ra x(y−z) =xy −xz. Tương tự, ta có (y −z)x = yx−zx.

(2) Ta có 0x = (x−x)x = xx−xx = 0 và x0 = x(x−x) =xx−xx = 0.

(3) Ta có x(−y) +xy = x(y−y) = x0 = 0 và (−x)y +xy = (x−x)y 0y = 0 Do đó, x(−y) = (−x)y = −xy Ta suy ra (−x)(−y) =−(x(−y)) −(−xy) =xy Đặc biệt, với mọi số nguyên dương n ta có (−x) n = x n nếu n chẵn và (−x) n = −x n nếu n lẻ.

(4) Với n >0 ta có n(xy) =xy + .+xy

Với n < 0 giả sử n= −n 0 (n 0 > 0) ta có n(xy) = (−n 0 )xy = ((−n 0 )x)y (nx)y.

Với n= 0 thì theo (2) ta có 0(xy) = (0x)y = 0.

Tương tự ta cũng có n(xy) = x(ny).

Tính chất sau đây gọi là luật phân phối tổng quát.

3.1.3.2 Định lý Giả sử R là một vành Khi đó ta có n

Tương tự, ta cũng có n

3.1.3.3 Chú ý Trong vành giao hoán R, công thức sau thỏa mãn:

C n k a k b n−k với mọi a, b ∈ R và với mọi số nguyên dương n.

1 Cho X = Z×Z Trên X xác định phép toán cộng và phép toán nhân như sau:

Chứng minh rằng X là một vành giao hoán, có đơn vị.

2 Chứng minh rằng tập hợp Z[i] = {a+bi | a, b ∈ Z} là một vành giao hoán với phép cộng và phép nhân thông thường.

3 Cho A là một vành và Z là vành các số nguyên Trên tập A×Z, ta định nghĩa các phép toán cộng và nhân:

(a, n)(b, m) = (ab+nb+ma, nm) với mọi (a, n),(b, m) ∈ A×Z Chứng minh rằng A×Z là một vành với hai phép toán nói trên.

4 Cho A là một vành và B là một tập hợp được trang bị hai phép toán hai ngôi cộng và nhân Cho f : A→ B là một song ánh thoả mãn f(a+b) f(a) +f(b);f(ab) = f(a)f(b) với mọi a, b ∈ A Chứng minh rằng B cũng là một vành Hơn nữa, nếu A là vành giao hoán thì B cũng là một vành giao hoán.

5 Cho Alà một vành có đơn vị là 1 Phần tửa ∈ Ađược gọi là khả nghịch nếu tồn tại b ∈ A sao cho ba = ab = 1 Kí hiệu A ∗ là tập tất cả các phần tử khả nghịch của vành A Chứng minh rằng A ∗ ổn định với phép nhân trên A và cùng với phép toán này, A ∗ là một nhóm Nhóm A ∗ được gọi là nhóm các phần tử khả nghịch của vành A.

6 Cho A là một vành có tính chất a 2 = a với mọi a ∈ A Chứng minh rằng A là vành giao hoán và a = −a với mọi a ∈ A.

7 Cho A 1 , , A n là các vành Đặt A = A 1 ×A 2 × A n Định nghĩa phép cộng và phép nhân trên A như sau: với mọi a = (a 1 , , a n ) ∈ A, b (b 1 , , b n ) ∈ A: a+b = (a 1 +b 1 , , a n +b n );ab = (a 1 b 1 , , a n b n ).

Vành A được gọi là tích trực tiếp của các vành A1, , An nếu và chỉ nếu A là một vành và các phần tử của A có thể biểu diễn dưới dạng tích của các phần tử từ A1, , An Điều kiện cần và đủ để A là một vành giao hoán là các vành A1, , An phải giao hoán.

Vành con, iđêan và vành thương

Định nghĩa và tiêu chuẩn vành con

3.2.1.1 Định nghĩa Cho R là một vành và A là một tập con ổn định với hai phép toán trong R, nghĩa là x+ y ∈ A và xy ∈ A,∀x, y ∈ A Khi đó,

A được gọi là một vành con của vành R nếu A cũng lập thành một vành với hai phép toán cảm sinh.

3.2.1.2 Ví dụ (1) Một vành R bất kỳ bao giờ cũng có hai vành con tầm thường là {0} và R.

Với một số nguyên m được cho trước, mZ là một vành con của vành Z Điều đáng chú ý là mặc dù vành Z có đơn vị là 1, nhưng vành con mZ lại không có đơn vị nếu m khác 1.

Chú ý rằng, một tập con A của vành R là vành con của R khi và chỉ khi

A là nhóm con của nhóm cộng R và A ổn định đối với phép nhân Vì thế ta có phát biểu sau.

3.2.1.3 Định lý Giả sử R là một vành và A là một tập con khác rỗng của

R Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(1) A là một vành con của R.

Chứng minh Ta chứng minh theo sơ đồ: (1) ⇒ (2)⇒ (3) ⇒(1).

(1) ⇒ (2) : Hiển nhiên, vì A là vành nên A là nhóm đối với phép cộng và ổn định đối với phép nhân.

Các phép toán trên A được cảm sinh từ phép cộng và phép nhân của vành R, do đó phép nhân trên A có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép cộng Điều kiện (3) cũng cho thấy A là nhóm con của nhóm cộng R Từ đó, ta có thể kết luận rằng A là một vành và do đó A là vành con của R.

Ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau.

3.2.1.4 Định lý Giao của một họ tùy ý các vành con của vành R là một vành con của vành R.

Một tập con U bất kỳ của vành R sẽ được chứa trong ít nhất một vành con của R, chẳng hạn như R Theo định lý trên, giao của tất cả các vành con của R chứa U là một vành con của R chứa U Vành này là vành con nhỏ nhất của R chứa U (theo quan hệ bao hàm) và được gọi là vành con của R sinh bởi U, đồng thời là vành con bé nhất chứa U.

Định nghĩa và tiêu chuẩn iđêan

Giả sử I là một vành con của vành R và cho a ∈ I, r ∈ R Trong một số trường hợp, ta có thể gặp tình huống ar ∉ I hoặc ra ∉ I Tuy nhiên, cũng có những vành con mà tình huống này không bao giờ xảy ra, và chúng được định nghĩa như sau.

3.2.2.1 Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị và I là một vành con của vành R.

(1) I được gọi là một iđêan trái của vành R nếu với mọi r ∈ R và mọi a ∈ I thì ra ∈ I.

(2) Nếu ar ∈ I,∀a ∈ I,∀r ∈ R thì vành con I được gọi là một iđêan phải của vành R.

(3) Nếu I vừa là một iđêan trái, vừa là một iđêan phải thì I được gọi là iđêan hai phía hay gọi tắt là iđêan.

Từ tiêu chuẩn vành con ta có ngay tiêu chuẩn iđêan trái như sau Đối với iđêan phải ta có phát biểu hoàn toàn tương tự.

3.2.2.2 Mệnh đề Cho R là một vành Khi đó I là iđêan trái của R khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

Nếu R là một vành giao hoán và I là một iđêan trái của R thì I cũng là iđêan phải và do đó I là iđêan hai phía Trong trường hợp này, ta thường gọi I là một iđêan của R mà không cần chỉ rõ nó là iđêan trái, phải hay hai phía.

I là iđêan mà không cần phân biệt trái hay phải.

Một iđêan I 6= R được gọi làiđêan thực sự của vành R Iđêan là khái niệm rất quan trọng để nghiên cứu cấu trúc vành.

3.2.2.3 Ví dụ (1) Trong một vành R tùy ý thì {0} và R là các iđêan hai phía.

(2) Cho R là một vành tùy ý và x ∈ R Tập hợp

Trong vành R, tập hợp Rx = {rx | r ∈ R} được gọi là iđêan trái chính sinh bởi phần tử x, đồng thời là một iđêan trái của R Tương tự, tập hợp xR = {xr | r ∈ R} được định nghĩa là iđêan phải chính sinh bởi phần tử x và cũng là một iđêan phải của R.

(3) Mọi iđêan của vành Z đều có dạng mZ với m là một số nguyên không âm nào đó.

3.2.2.4 Định nghĩa Nếu vành R mà mọi iđêan trái (phải) của R đều là iđêan trái (phải) chính thì R được gọi là vành iđêan trái (phải) chính.

Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh

Cho x1, , xn ∈ R Khi đó tập hợp

Rx 1 + .+ Rx n = {r 1 x 1 + .+r n x n | r 1 , , r n ∈ R} là một iđêan trái của R chứa x 1 , , x n

3.2.3.1 Định nghĩa (1) Cho I là một iđêan trái (phải hoặc hai phía) của vành R và S là một tập con của I (S có thể vô hạn phần tử) Khi đó S được gọi là hệ sinh của I nếu mọi phần tử của I đều biểu diễn được dưới dạng r 1 x 1 + .+r n x n (tương ứng x 1 r 1 + + x n r n hoặc t 1 x 1 r 1 + .+ t 1 x n r n ), trong đó x 1 , , x n ∈ S, r 1 , , r n , t 1 , , t n ∈ R, n ∈ N Khi đó, ta ký hiệu

(2) Một iđêan trái (phải hoặc hai phía) được gọi là iđêan trái (phải hoặc hai phía) hữu hạn sinh nếu nó có hệ sinh hữu hạn.

(3) Một hệ sinh S của iđêan I được gọi là hệ sinh tối tiểu nếu mọi tập con thực sự của S đều không là hệ sinh của I.

3.2.3.2 Ví dụ Trong vành Z, cho iđêan I = nZ Dễ thấy {n},{2n,3n} đều là hệ sinh tối tiểu của I Suy ra I iđêan hữu hạn sinh và hơn nữa I còn là iđêan chính Như vậy, các hệ sinh tối tiểu của một iđêan có thể không cùng lực lượng.

Kết quả sau đây được chứng minh dễ dàng.

3.2.3.3 Bổ đề Giao của một họ tùy ý các iđêan của R là một iđêan của R.

Từ bổ trên ta dễ dàng chứng minh được phát biểu sau đây.

3.2.3.4 Mệnh đề Cho I là một iđêan trái (phải, hai phía) Tập S ⊂ I là hệ sinh của I khi và chỉ khi I là iđêan trái (phải, hai phía) bé nhất chứa I(theo quan hệ bao hàm).

Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại

3.2.4.1 Định nghĩa Cho I là một iđêan trái (phải, hai phía) của vành R và I 6= R Khi đó I được gọi là iđêan trái (phải, hai phía) cực đại nếu không tồn tại một iđêan trái (phải, hai phía) thực sự nào của R chứa thực sự I. Định lý sau chỉ ra sự tồn tại iđêan cực đại trong vành có đơn vị.

3.2.4.2 Định lý Cho R là một vành có đơn vị và I ( R là một iđêan trái của R Khi đó tồn tại một iđêan trái cực đại của R chứa I.

Chứng minh Ký hiệu X là tập tất cả các iđêan trái thực sự của R chứa I.

Rõ ràng I ∈ X nên X 6= ∅ Giả sử A là một xích trong X với quan hệ thứ tự bao hàm Ký hiệu K = S

J Dễ kiểm tra thấy rằng K là một iđêan trái của R chứa I Mặt khác K 6= R Vì nếu K = R thì 1 ∈ K Do đó tồn tại

J ∈ A sao cho 1∈ J Suy ra J = R, điều này mâu thuẫn vì J ∈ A Như vậy

K là một iđêan trái thực sự của R chứa I nên K ∈ X ∀J ∈ A, J ⊆ K nên

Trong trường hợp A bị chặn trong X, việc áp dụng Bổ đề Zorn cho phép xác định được phần tử cực đại trong X, đồng thời cũng là iđêan trái cực đại của R chứa I Khi áp dụng định lý này với iđêan I = {0}, ta có thể suy ra rằng nếu R là vành có đơn vị thì luôn tồn tại iđêan trái (hoặc phải, hoặc hai phía) cực đại trong R.

Cho I, J là các iđêan trái (phải, hai phía) của vành R Khi đó tập hợp

I +J = {a+b | a ∈ I, b ∈ J} là một iđêan trái (phải, hai phía) của R và gọi là iđêan tổng và I ∩J là một iđêan trái (phải, hai phía).

Cho I là một iđêan trái và J là một iđêan phải của vành R Khi đó tập hợp

IJ = {x 1 y1 + .+xnyn | n∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J} là một iđêan hai phía của vành R và được gọi iđêan tích.

3.2.4.3 Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị và p 6= R là một iđêan hai phía của R.

(1) p được gọi là iđêan nguyên tố nếu với mọi iđêan hai phía I, J của R sao cho IJ ⊂p thì I ⊂p hoặc J ⊂ p.

(2) p được gọi là iđêan nguyên tố hoàn toàn nếu với mọi a, b ∈ R mà ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p.

3.2.4.4 Mệnh đề (1) Mọi iđêan nguyên tố hoàn toàn là iđêan nguyên tố.

(2) Nếu R là vành giao hoán có đơn vị thì mọi iđêan nguyên tố là iđêan nguyên tố hoàn toàn.

Để chứng minh rằng p là một iđêan nguyên tố hoàn toàn của vành R, ta giả sử ngược lại rằng p không phải là iđêan nguyên tố Khi đó, tồn tại các iđêan hai phía I và J không chứa hoàn toàn trong p sao cho IJ ⊂ p Do đó, có thể tìm thấy các phần tử a ∈ I\p và b ∈ J\p, dẫn đến ab ∈ IJ ⊂ p, từ đó suy ra ab ∈ p Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, và do đó, p phải là iđêan nguyên tố.

(2) Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị và p là một iđêan nguyên tố của

R Ta cần chứng minh p là một iđêan nguyên tố hoàn toàn.

Giả sử a, b ∈ R sao cho ab ∈ p Khi đó, iđêan I và J tương ứng được sinh bởi a và b, và IJ là iđêan sinh bởi ab Do ab ∈ p, suy ra IJ ⊂ p Tuy nhiên, nếu a /∈ p và b /∈ p thì I và J đều không chứa hoàn toàn trong p, điều này mâu thuẫn với giả thiết p là iđêan nguyên tố Do đó, ta có thể kết luận rằng a ∈ p hoặc b ∈ p, và như vậy p là iđêan nguyên tố hoàn toàn.

3.2.4.5 Chú ý Từ mệnh đề trên ta suy ra trong một vành giao hoán, một iđêan p là iđêan nguyên tố hoàn toàn khi và chỉ khi p là iđêan nguyên tố. Như vậy, trong vành giao hoán hai khái niệm này là trùng nhau nên người ta chỉ gọi đơn giản là iđêan nguyên tố Ta có thể xây dựng vành không giao hoán có đơn vị mà trong đó tồn tại iđêan nguyên tố nhưng không là iđêan nguyên tố hoàn toàn Hơn nữa tồn tại những vành không giao hoán có đơn vị không chứa iđêan nguyên tố hoàn toàn.

3.2.4.6 Mệnh đề (1) Cho R là vành có đơn vị Nếu m là một iđêan hai phía cực đại của R thì m là iđêan nguyên tố.

(2) Mọi vành có đơn vị đều chứa iđêan nguyên tố.

(3) Mọi vành giao hoán có đơn vị đều chứa iđêan nguyên tố hoàn toàn.

Chứng minh Khẳng định (2) và (3) được suy ra từ khẳng định (1) và Định lý 3.2.4.2, do đó ta chỉ cần chứng minh khẳng định (1).

Giả sử m là một iđêan hai phía cực đại của R Giả sử m không nguyên tố. Khi đó tồn tại các iđêan I và J không chứa trongm sao choIJ ⊂ m Vì I và

J không chứa trongmnên tồn tạix ∈ I\m vày ∈ J\m.Vì mlà iđêan cực đại của R nên iđêan sinh bởi m và x là R Do đó tồn tại ai, bi ∈ R, i = 1, , n sao cho

(a i x)(b i y) ∈ m Điều này là mâu thuẫn với việc y /∈ m Vậy giả sử m không nguyên tố là sai Suy ra m là iđêan nguyên tố.

3.2.4.7 Ví dụ Xét vành các số nguyên Z và cho I = mZ là một iđêan của

(1) I là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu m là số nguyên tố hoặc m = 0;

(2) I là iđêan cực đại nếu và chỉ nếu m là số nguyên tố.

Ví dụ trên cho thấy trong một vành có thể có nhiều iđêan cực đại.

Vành thương

Khi I là một iđêan của vành R, thì I trở thành một nhóm con của nhóm cộng R Do nhóm cộng R là nhóm Abel, I cũng là một ước chuẩn Từ đó, ta có thể xác định nhóm thương R/I.

R/I = {x+I | x ∈ R} là một nhóm Abel với phép cộng thực hiện như sau: với x+I, y+I ∈ R/I, x+I +y +I = (x+ y) +I.

Bây giờ ta hãy trang bị cho R/I một phép nhân để nó trở thành một vành.Trước hết, ta có nhận xét sau.

3.2.5.1 Mệnh đề Nếu I là một iđêan của vành R thì lớp xy+I chỉ phụ thuộc vào các lớp x +I và y + I mà không phụ thuộc vào các phần tử đại diện x và y của các lớp đó.

Chứng minh Giả sử x+I = x 0 +I và y+I = y 0 +I Khi đó ta có x 0 −x ∈ I và y 0 −y ∈ I Suy ra tồn tại a, b ∈ I sao cho x 0 −x = a và y 0 −y = b Do đó, x 0 = x+ a và y 0 = y + b Ta có x 0 y 0 = xy + xa+ xb +ab ∈ I Vì vậy x 0 y 0 + I = xy +I.

Từ mệnh đề trên ta có thể định nghĩa trên R/I một phép nhân xác định như sau: với x+I, y+I ∈ R/I,

3.2.5.2 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của vành R Khi đó R/I cùng với hai phép toán cộng và nhân nói trên lập thành một vành.

Để chứng minh R/I là một vành, ta có thể dễ dàng kiểm tra các tính chất cần thiết Phần tử không của vành này là 0 = 0 + I Hơn nữa, nếu R là vành giao hoán thì R/I cũng là vành giao hoán Ngoài ra, nếu R có đơn vị là 1 thì 1 = 1 + I sẽ là đơn vị của R/I.

3.2.5.3 Định nghĩa Vành R/I được gọi là vành thương của vành R theo iđêan I.

3.2.5.4 Ví dụ Cho I = mZ là một iđêan của vành Z Khi đó vành thương

∀x ∈ Z, ta viết x = mq +r, với 0≤ r ≤ m−1 Ta có x+ mZ = (mq +r) +mZ = r +mZ.

8 Chứng minh rằng mỗi vành sau đây là một vành con của vành đứng sau nó:

M n (Z) ⊂ M n (Q) ⊂ M n (R) ⊂ M n (C), trong đó M(A) là vành các ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc vành A.

9 Cho A là một vành tùy ý và nlà một số nguyên cho trước Chứng minh rằng bộ phận X = {x ∈ A | nx = 0} là một iđêan của vành A.

10 Cho A là một vành tùy ý và a ∈ A Chứng minh rằng:

(1) Bộ phận aA = {ax | x ∈ A} là một iđêan phải của A;

(2) Bộ phận Aa = {xa | x ∈ A} là một iđêan trái của A;

Iđêan chính phải (tương ứng trái) sinh bởi a được ký hiệu là Aa (tương ứng aA) Trong trường hợp vành giao hoán, hai iđêan này trùng nhau và thường được ký hiệu là (a).

11 Cho R là một vành giao hoán, I và J là các iđêan của R Chứng minh rằng:

(1) Tập hợp I ∩J là một iđêan của R;

(2) Tập hợp I ∪J là một iđêan của R khi và chỉ khi I ⊆ J hoặc J ⊆ I;

(3) Tập hợp I +J = {a+b | a ∈ I, b ∈ J} là một iđêan của R;

(4) Tập hợp I : J = {x ∈ R | xa ∈ I,∀a ∈ J} là một iđêan của R chứaI.

12 Giả sử R là một vành có đơn vị là 1 và I là một iđêan của R Chứng minh rằng ba điều kiện sau là tương đương:

(3) Tồn tại một phần tử khả nghịch của R thuộc I.

13 ChoRlà một vành giao hoán có đơn vị Giả sửI = (a)vàJ = (b)là các iđêan chính của vành R Chứng minh rằngI ⊆ J khi và chỉ khi tồn tạiq ∈ R sao cho a = bq Hãy tìm điều kiện cần và đủ để hai iđêan I 1 = (a 1 , , a n ) và I 2 = (b 1 , , b m ) bằng nhau.

14 Giả sử A là vành giao hoán sao cho với mỗi x ∈ A, tồn tại một số tự nhiên n ≥ 2 để x n = x Chứng minh rằng mỗi iđêan nguyên tố của A đều là iđêan tối đại.

15 Chứng minh các phát biểu trong Ví dụ 3.2.4.7.

Đồng cấu vành

Khái niệm đồng cấu vành

3.3.1.1 Định nghĩa Giả sử R và R 0 là các vành Một ánh xạ f : R → R 0 được gọi là một đồng cấu vành nếu nó bảo toàn các phép toán trên vành, nghĩa là, thỏa mãn điều kiện: ∀x, y ∈ R f(x+y) = f(x) + f(y) và f(xy) = f(x)f(y).

• Một đồng cấu vành f : R → R được gọi là một tự đồng cấu của vành R.

• Nếu đồng cấu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh hoặc song ánh) thì f được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu hoặc đẳng cấu).

• Giả sử R và R 0 là các vành Nếu tồn tại một đẳng cấu vành f : R → R 0 thì ta nói vành R đẳng cấu với vành R 0 , kí hiệu R ∼= R 0

• Giả sử f : R → R 0 là một đồng cấu vành Cũng như đối với đồng cấu nhóm ta ký hiệu Im f = f(R) gọi là ảnh và Ker f = f −1 (0) là hạt nhân của đồng cấu f.

3.3.1.2 Ví dụ (1) Giả sử A là một vành con của vành R Đơn ánh i : A → R a 7→ a là một đồng cấu vành gọi là đơn cấu chính tắc hay phép nhúng chính tắc.

(2) Ánh xạ đồng nhất của vành R

1 R : R → R x 7→x là một đẳng cấu vành, gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của vành R.

Khi I là một iđêan của vành R, ta có thể xác định vành thương R/I Ánh xạ p từ R đến R/I, được định nghĩa bởi p(x) = x + I, là một toàn cấu vành, thường được gọi là toàn cấu chính tắc hoặc phép chiếu chính tắc.

(4) Giả sử R và R 0 là các vành Ánh xạ

0 : R →R 0 x 7→ 0 là một đồng cấu vành, gọi là đồng cấu không hay đồng cấu tầm thường.

Các tính chất của đồng cấu vành

Mỗi đồng cấu vành đều là một đồng cấu nhóm cộng, vì vậy nó sở hữu đầy đủ các tính chất của một đồng cấu nhóm cộng Ví dụ, đối với đồng cấu vành f : R → R0, chúng ta có thể tận dụng các tính chất này để phân tích và hiểu rõ hơn về hành vi của đồng cấu vành.

• f là toàn ánh khi và chỉ khi Imf = R 0 ,

• f là đơn ánh khi và chỉ khi Kerf = {0}.

Ngoài ra, đồng cấu vành còn có các tính chất sau.

3.3.2.1 Mệnh đề Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành, nghĩa là, nếu f : R → R 0 và g : R 0 → R 00 là các đồng cấu vành thì gf : R → R 00 cũng là một đồng cấu vành Đặc biệt, tích của hai đơn cấu (tương ứng toàn cấu hoặc đẳng cấu) là một đơn cấu (tương ứng toàn cấu hoặc đẳng cấu).

Để chứng minh phát biểu đầu tiên, chúng ta giả sử rằng f : R → R 0 và g : R 0 → R 00 là các đồng cấu vành Khi đó, gf : R → R 00 là một ánh xạ thỏa mãn các tính chất quan trọng, bao gồm gf(x+y) = gf(x)+gf(y) và gf(xy) = gf(x)g(f(y)), thể hiện tính chất bảo toàn phép cộng và phép nhân của ánh xạ gf.

∀x, y ∈ R Vậy gf là một đồng cấu vành.

3.3.2.2 Mệnh đề Giả sử f : R → R 0 là một đồng cấu vành Khi đó, ta có:

(1) Nếu A là một vành con của R thì f(A) là một vành con của R 0 ;

(2) Nếu I là một iđêan hai phía của R 0 thì f −1 (I) là một iđêan hai phía của R.

Để chứng minh f(A) là một nhóm con của nhóm cộng R 0, chúng ta cần chỉ ra rằng nó khép kín đối với phép nhân Thật vậy, với bất kỳ y 1, y 2 ∈ f(A), tồn tại x 1, x 2 ∈ A sao cho f(x 1) = y 1 và f(x 2) = y 2 Khi đó, y 1 y 2 = f(x 1)f(x 2) = f(x 1 x 2) ∈ f(A) do x 1 x 2 ∈ A, chứng tỏ f(A) là một nhóm con của nhóm cộng R 0.

Nhóm con f −1 (I) của nhóm cộng R cần chứng minh tính chất "hấp thụ" để trở thành một iđêan hai phía của R Điều này có nghĩa là với mọi x thuộc R và mọi a thuộc f −1 (I), ta có f(xa) = f(x)f(a) thuộc I do f(a) thuộc I và I là iđêan hai phía của R 0 Từ đó suy ra xa thuộc f −1 (I) và tương tự, ta cũng có ax thuộc f −1 (I), chứng minh rằng f −1 (I) là một iđêan hai phía của R.

Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau.

3.3.2.3 Hệ quả Giả sử f : R → R 0 là một đồng cấu vành Khi đó Imf là một vành con của R 0 và Kerf là một iđêan hai phía của R.

3.3.2.4 Hệ quả Cho R là một vành và I là một tập con khác rỗng của R. Khi đó I là một iđêan hai phía của R khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu vành nào đó có nguồn là R.

Chứng minh Nếu có một đồng cấu vành f : R → R 0 sao cho I = Kerf thì theo Hệ quả 3.3.2.3, I là một iđêan hai phía của R.

Ngược lại, giả sử I là một iđêan hai phía của R Phép chiếu chính tắc p :R →R/I, x 7→ x+I có hạt nhân Kerp= I.

Định lý đồng cấu vành

3.3.3.1 Định lý (Định lý đồng cấu vành) Giả sử ϕ : R → R 0 là một toàn cấu vành Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu vành ϕ : R/Ker ϕ →R 0 sao cho biểu đồ sau là giao hoán

R/Kerϕ tức là ϕ = ϕp, trong đó p : R →R/Ker ϕ là toàn cấu chính tắc.

Chứng minh cho thấy ϕ là một đồng cấu vành, do đó cũng là một đồng cấu nhóm cộng Theo Định lý đồng cấu nhóm, ánh xạ ϕ : R/Ker ϕ → R 0 được xác định bởi ϕ(x+ Ker ϕ) = ϕ(x), ∀x ∈ R là một đẳng cấu nhóm duy nhất, đảm bảo rằng ϕ = ϕp.

Để hoàn thiện chứng minh, chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng ϕ là một đồng cấu vành Thực tế, chúng ta đã biết rằng ϕ bảo toàn phép cộng và đối với phép nhân, chúng ta có thể thấy rõ ràng qua các bước tính toán sau: ϕ((x+Ker ϕ)(y +Ker ϕ)) = ϕ(xy +Ker ϕ) = ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), từ đó chứng minh ϕ bảo toàn cả phép nhân.

3.3.3.2 Hệ quả Giả sử ϕ : R → R 0 là một toàn cấu vành Khi đó R 0 ∼ R/Kerϕ.

3.3.3.3 Hệ quả Giả sử ϕ : R → R 0 là một đồng cấu vành Khi đó Imϕ ∼ R/Kerϕ.

3.3.3.4 Nhận xét Nếu có một toàn cấu vành ϕ : R → R 0 thì R 0 = Imϕ nên vành R 0 được gọi là ảnh đồng cấu của vành R Theo Định lý Đồng cấu vành thì mỗi ảnh đồng cấu của một vành R đẳng cấu với một vành thương R/I với I là một iđêan nào đó của R Ngược lại, mỗi vành thương R/I đều là một ảnh đồng cấu của R bởi phép chiếu chính tắc p : R → R/I Do đó,bài toán tìm tất cả các ảnh đồng cấu của một vành R (sai khác đẳng cấu) chính là bài toán tìm tất cả các vành thương của vành R Chẳng hạn, đối với vành các số nguyên Z, mỗi iđêan của Z đều có dạng mZ với m là một số nguyên không âm nào đó Vì vậy, tất cả các ảnh đồng cấu của vành Z gồm có Z/0 ∼= Z và Z/mZ ∼= Z m với m = 1,2,

Đặc số của vành

3.3.4.1 Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị là 1 Ta nói đặc số của vành R là n nếu n là số nguyên dương bé nhất thỏa mãn tính chất: với mọi x ∈ R thì nx = 0 Nếu không tồn tại số n như thế thì ta nói vành R có đặc số 0. Đặc số của vành R được ký hiệu là char(R).

3.3.4.2 Ví dụ Vành Zn có đặc số n Trường các số hữu tỷ Q, trường các số thực R, trường các số phức C đều có đặc số 0.

3.3.4.3 Bổ đề (1) Giả sử vành R có đặc số dương Khi đó đặc số của vành

R là số nguyên dương n bé nhất thỏa mãn n1 = 0.

(2) Nếu không tồn tại số nguyên dương n để n1 = 0 thì vành R có đặc số 0.

(3) Nếu charR = n > 0 và m1 = 0 thì m chia hết cho n.

Chứng minh (1) Ký hiệu n = char(R) Khi đó n1 = 0 Giả sử tồn tại số nguyên dương m < n mà m1 = 0 Khi đó ∀x ∈ R, ta có mx = m(1x) (m1)x = 0x = 0 Điều này mâu thuẫn với tính bé nhất của n.

Khi đặt n bằng charR, ta có n lớn hơn 0 và n1 bằng 0 Giả sử m1 bằng 0 và m được biểu diễn dưới dạng nq + r, trong đó 0 ≤ r ≤ n Từ đó, ta có 0 = m1 = (nq + r)1 = q(n1) + r1 = r1, suy ra r1 bằng 0 Điều này dẫn đến kết quả r bằng 0 do tính bé nhất của n, và do đó m chia hết cho n.

Đặc số của vành R thường được định nghĩa là số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n1 = 0 Trong trường hợp không tồn tại số nguyên dương n như vậy, vành R được gọi là có đặc số 0.

3.3.4.4 Mệnh đề (1) Nếu charR = 0 thì Z đẳng cấu với một vành con của

(2) Nếu charR = n > 0 thì Zn đẳng cấu với một vành con của R.

Chứng minh Xét đồng cấu vành λ : Z →R, n 7→n1.

Theo Định lý đồng cấu vành thìZ/Kerλ ∼= Imλ Ta có Kerλ = {n| n1 = 0}.

(1) Nếu charR = 0 thì Kerλ = 0 và khi đó Z ∼= Imλ là một vành con của

(2) Nếu charR = n > 0 thì Kerλ = nZ và khi đó Zn = Z/nZ ∼= Imλ là một vành con của R.

3.3.4.5 Nhận xét Từ mệnh đề trên ta suy ra ngay nếu charR = 0 thì R có vô hạn phần tử vì R chứa Z Chú ý rằng, chiều ngược lại của phát biểu này có thể không đúng Từ đây ta cũng suy ra nếu vành R có hữu hạn phần tử thì R không thể có đặc số 0, nghĩa là charR = n > 0.

3.3.4.6 Mệnh đề Cho R là vành giao hoán có đơn vị và char(R) = p với p là một số nguyên tố Khi đó ∀n ≥0 và ∀x, y ∈ R ta có

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp.

Với n= 0 thì mệnh đề là hiển nhiên.

Với n= 1 thì áp dụng nhị thức Newton ta có

Chú ý rằng C p i = i!(p−i)! p! và do plà số nguyên tố nên C p i là một số nguyên chia hết cho p với mọi i = 1, , p−1 Mặt khác do p = char(R) nên px i y p−i với mọi i = 1, , p−1 Vì vậy (x+y) p = x p +y p

Với n >1 áp dụng giả thiết quy nạp ta có

16 Chứng minh rằng nếu R và R 0 là những vành có đơn vị và f : R → R 0 là một đồng cấu vành không tầm thường thì f(1R) = 1R 0

17 Chứng minh rằng ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành là một đẳng cấu vành.

18 Cho f : A →A là một đồng cấu vành Chứng minh rằng bộ phận

19 Cho A là một vành giao hoán và I ⊆ A Chứng minh rằng I là iđêan của A nếu và chỉ nếu I là hạt nhân của một đồng cấu vành nào đó có nguồn là A.

20 Chứng minh rằng ánh xạ f : A → A×Z xác định bởi f(a) = (a,0) là một đơn cấu vành, trong đó A và A ×Z là các vành được xác định như trong Bài tập 3.

21 Giả sửV = A×B là tích trực tiếp của các vànhAvàB Gọip1 : V →A và p2 : V → B là các ánh xạ cho bởi p1(a, b) = a và p2(a, b) = b Chứng minh rằng p1, p2 là những toàn cấu vành Hơn nữa, với mọi vành X và mọi đồng cấu vành f1 : X → A, f2 : X → B, tồn tại duy nhất một đồng cấu vành f : X →V sao cho f 1 = p 1 f và f 2 = p 2 f.

(1) Các tự đồng cấu của vành Z.

(2) Các tự đồng cấu vành của vành Zm với m > 1 là một số nguyên.

(3) Các đồng cấu vành từ Z18 đến Z6.

(4) Các đồng cấu vành từ Z6 đến Z18.

23 Cho A là một vành Ký hiệu End(A) là tập tất cả các tự đồng cấu nhóm của nhóm cộng A Chứng minh rằng:

(1) Chứng minh rằng End(A) là một vành với phép nhân là phép hợp thành ánh xạ và phép cộng xác định bởi: với f, g ∈ End(A) thì f +g : A→

(2) Với mỗia ∈ A,ta định nghĩaha : A→ Alà ánh xạ cho bởiha(x) = ax với mọi x ∈ A Chứng minh rằng ha ∈ End(A) với mọi a ∈ A.

(3) Chứng minh rằng ánh xạ h : A → End(A) cho bởi h(a) = ha là một đơn cấu vành.

Từ đó suy ra rằng mọi vành A đều nhúng được vào vành các tự đồng cấu nhóm của nhóm cộng A.

24 Cho m, n là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng

25 Cho I là một iđêan, S là một vành con của vành giao hoán A Chứng minh rằng

(1) Tập con I + S = {a+ s | a ∈ I, s ∈ S} là một vành con của A, và I là iđêan của I +S.

(2) I ∩S là một iđêan của S và S/(I ∩ S) ∼= (I +S)/I.

Miền nguyên, thể và trường

Ước của không, miền nguyên

3.4.1.1 Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị Phần tử x ∈ R, x 6= 0 được gọi là ước trái (phải) của 0 nếu tồn tại y ∈ R, y 6= 0 sao cho xy = 0 (yx = 0); x được gọi là ước của 0 nếu nó vừa là ước trái vừa là ước phải của 0.

Nếu R là vành giao hoán, thì mọi ước trái của 0 đều là ước phải của 0 và ngược lại, do đó không cần phân biệt ước trái hay ước phải của 0 mà chỉ cần gọi là ước của 0.

3.4.1.2 Ví dụ Trong vành Z6,2,3 là các ước của 0 Vành Zp với p là số nguyên tố không chứa ước của 0.

3.4.1.3 Định nghĩa Một vành giao hoán có đơn vị 1 6= 0 không chứa ước của 0 được gọi là một miền nguyên.

3.4.1.4 Ví dụ Vành số nguyên Z là một miền nguyên Vành Z6 không phải là miền nguyên Chú ý rằng vành Zn là miền nguyên khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

Trong một nhóm, luật giản ước thường được áp dụng, nhưng điều này không nhất thiết đúng trong một vành đối với phép nhân Tuy nhiên, trong một miền nguyên, tình hình lại khác biệt, luật giản ước đối với phép nhân cũng được đảm bảo.

3.4.1.5 Mệnh đề Một vành giao hoán R có đơn đơn vị 1 6= 0 là một miền nguyên khi và chỉ khi trong R có luật giản ước đối với phép nhân: ab = ac, a 6= 0 ⇒b = c, với mọi a, b, c ∈ R.

Trong một vành giao hoán có đơn vị, giả sử tồn tại hai phần tử a và b thỏa mãn ab = 0 Theo luật giản ước, nếu a khác 0 thì b phải bằng 0 Điều này cho thấy vành không chứa ước của 0, do đó nó là một miền nguyên.

Trong một miền nguyên R, nếu ta có a, b, c ∈ R và a ≠ 0, khi đó phương trình ab = ac sẽ dẫn đến a(b−c) = 0 Do R là miền nguyên và a ≠ 0, nên từ phương trình này suy ra b−c = 0, hay b = c Điều này chứng tỏ luật giản ước được thực hiện đối với phép nhân trong miền nguyên R.

3.4.1.6 Mệnh đề Cho R là một vành có đơn vị và p là một iđêan hai phía của R Khi đó p là iđêan nguyên tố hoàn toàn nếu và chỉ nếu vành thươngR/p không chứa ước của 0.

Chứng minh cho thấy rằng nếu p là iđêan nguyên tố hoàn toàn, thì với mọi a, b thuộc R/p, ab = 0 sẽ kéo theo a = 0 hoặc b = 0 Điều này có nghĩa là vành thương R/p không chứa ước của 0, do p là iđêan nguyên tố hoàn toàn nên a ∈ p hoặc b ∈ p, từ đó dẫn đến kết luận trên.

Ngược lại, nếu vành thương R/p không chứa ước của 0, thì với mọi a, b ∈ R mà ab ∈ p, ta có ab = 0 Điều này dẫn đến a = 0 hoặc b = 0, hay tương đương a ∈ p hoặc b ∈ p Do đó, p là iđêan nguyên tố hoàn toàn.

Hệ quả sau đây được suy ra ngay lập tức từ mệnh đề trên.

3.4.1.7 Hệ quả Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và p 6= R là một iđêan của R Khi đó p là iđêan nguyên tố hoàn toàn nếu và chỉ nếu vành thương R/p là một miền nguyên.

Phần tử khả nghịch, thể và trường

3.4.2.1 Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị 1 6= 0 Phần tử x ∈

R, x 6= 0 được gọi là phần tử khả nghịch của vành R nếu tồn tại y ∈ R sao cho xy = yx = 1.

Ký hiệu R ∗ đại diện cho tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành R Tập hợp này tạo thành một nhóm đối với phép nhân cảm sinh và được gọi là nhóm các ước của đơn vị hay nhóm các phần tử khả nghịch của vành R, phản ánh mối quan hệ nhân giữa các phần tử khả nghịch trong vành.

(2) Trong vành Z n một phần tử a là khả nghịch khi và chỉ khi (a, n) = 1, nghĩa là,

3.4.2.3 Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị 16= 0.

(1) Nếu trong vành R mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch thì R được gọi là một thể.

(2) Một thể giao hoán được gọi là một trường.

Như vậy, một vành R với đơn vị 1 6= 0 là một thể khi và chỉ khi R ∗ R\ {0}; một vành giao hoánR với đơn vị 16= 0 là một trường khi và chỉ khi

3.4.2.4 Ví dụ (1) Z là một vành giao hoán có đơn vị nhưng không phải là một trường vì Z ∗ 6= Z\ {0} Các vành Q,R,C đều là trường.

(2) Cho n là một số nguyên dương Vì Z n là một vành giao hoán có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và

Z ∗ n = {a ∈ Z n | (a, n) = 1} nên Z n là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

(3) Gọi H là một không gian vectơ thực 4 chiều với cơ sở{1, i, j, k}.Trang bị cho H một phép nhân bởi các hệ thức sau i 2 = j 2 = k 2 = −1; ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j.

Dễ kiểm tra rằng H là một thể, nhưng H không phải là một trường vì phép nhân trên H không có tính chất giao hoán H được gọi là thể quaternion.

3.4.2.5 Chú ý Chú ý rằng, khái niệm trường có thể được định nghĩa theo một trong những cách sau đây.

• Một vành giao hoán, có đơn vị, khác 0 mà mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch được gọi là một trường.

• Một miền nguyên mà mọi phần tử khác không đều khả nghịch được gọi là một trường.

Một trường là một tập hợp F được trang bị hai phép toán cơ bản là cộng và nhân, sao cho (F,+) tạo thành một nhóm Abel, (F \ {0}, ) cũng tạo thành một nhóm Abel, và phép nhân phân phối đối với phép cộng.

Một tập hợp cùng với hai phép toán là phép cộng và phép nhân, nếu thỏa mãn đầy đủ các tiên đề về trường trừ tiên đề về tính giao hoán của phép nhân, thì được gọi là một thể.

3.4.2.6 Mệnh đề Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0 hoặc là một số nguyên tố Đặc biệt, đặc số của một trường hữu hạn là một số nguyên tố.

Chứng minh cho thấy rằng nếu R là một miền nguyên với đặc trưng n > 0, và n có thể biểu diễn thành tích của hai số nguyên dương r và s, thì n sẽ là một số nguyên tố Cụ thể, nếu n = rs, thì 0 = n1 = (rs)1 = (r1)(s1), dẫn đến kết luận rằng r1 = 0 hoặc s1 = 0 do R là miền nguyên Điều này suy ra rằng r = n hoặc s = n do tính bé nhất của n, và từ đó kết luận rằng n là một số nguyên tố.

Nếu R là một trường hữu hạn, theo Nhận xét 3.3.4.5 thì charR > 0 Do đó charR phải là một số nguyên tố chứ không thể bằng 0 được.

Trường con

3.4.3.1 Định nghĩa Giả sử F là một trường và A là một tập con ổn định với hai phép toán trong trường F, nghĩa là, a+b ∈ A và ab ∈ A,∀a, b ∈ A. Khi đó A được gọi là trường con của F nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh cũng lập thành một trường.

Mệnh đề sau đây là tiêu chuẩn để nhận biết một trường con.

3.4.3.2 Mệnh đề Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của trường F Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(1) A là một trường con của trường F;

3.4.3.3 Ví dụ Trường các số hữu tỷ Q là một trường con của trường các số thực R và R là một trường con của trường các số phức C.

3.4.3.4 Bổ đề Giao của một họ tuỳ ý những trường con của một trường F là một trường con của F.

Chứng minh cho thấy rằng, nếu chúng ta có một họ các trường con (Ai) của F với i thuộc I, thì giao của chúng, ký hiệu là A, cũng là một trường con của F Bởi vì mỗi Ai là một nhóm con của nhóm cộng F, nên A cũng là một nhóm con của nhóm cộng F Ngoài ra, do 1 thuộc A i với mọi i thuộc I, nên 1 cũng thuộc A Đối với hai phần tử a và b thuộc A, ta có a và b thuộc A i với mọi i thuộc I, do đó ab cũng thuộc A i với mọi i thuộc I, suy ra ab thuộc A Như vậy, A là một vành con của F.

Cuối cùng, cho a ∈ A, a 6= 0 Khi đó a ∈ Ai,∀i ∈ I Vì thế a −1 ∈ Ai,∀i ∈ I. Suy ra a −1 ∈ A Vậy A là một trường con của F.

3.4.3.5 Định nghĩa Cho F là một trường Khi đó giao của tất cả các trường con của F là một trường con của F Trường con này là trường con bé nhất của F (theo quan hệ bao hàm) và được gọi là trường con nguyên tố của F.

3.4.3.6 Ví dụ Trường Q không có trường con thực sự nào Vì thế Q là trường con nguyên tố của Q Hơn nữa, Q cũng là trường con nguyên tố của trường R và trường C Thật vậy, giả sử P là trường con của Q Vì 1∈ P nên ta có n = 1 + + 1 ∈ P với mọi n ∈ N Suy ra −n ∈ P với mọi n ∈ N.

Vì thế n ∈ P với mọi n ∈ Z Cho m ∈ Z, m 6= 0 Do m ∈ P nên 1/m ∈ P. Suy ra n/m = n.(1/m) ∈ P với mọi n/m∈ Q Vậy P = Q Gọi K là trường nguyên tố của R Khi đó K ⊆ Q Vì Q không có trường con nào khác Q nên

K = Q Tương tự, Q là trường nguyên tố của C.

Một số tính chất về iđêan và đồng cấu trường

Trong một vành giao hoán có đơn vị R, một iđêan I của R sẽ bằng R khi và chỉ khi I chứa một phần tử khả nghịch của R Điều này có nghĩa là nếu một phần tử khả nghịch thuộc về iđêan I, thì I sẽ bao gồm phần tử đơn vị của R, và do đó sẽ bằng với toàn bộ vành R.

R là một trường khi và chỉ khi R chỉ có hai iđêan là {0} và R Định lý sau đây là một đặc trưng của trường.

3.4.4.1 Định lý Cho F là một vành giao hoán, có đơn vị Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(2) F chỉ có hai iđêan là {0} và F;

(3) Mọi đồng cấu vành f : F → R đều là đơn cấu hoặc là đồng cấu tầm thường.

Chứng minh Ta sẽ chứng minh (1) ⇔ (2) và (2) ⇔ (3).

(1) ⇒ (2) : Giả sử I là một iđêan của F mà I 6= {0} Khi đó tồn tại x ∈ I, x 6= 0 Do F là trường nên x khả nghịch và vì vậy 1 = xx −1 ∈ I Từ đó suy ra x = x1∈ I,∀x ∈ F hay I = F.

Để chứng minh rằng mọi phần tử khác 0 của F đều khả nghịch, ta giả sử ngược lại, tồn tại x ∈ F, x ≠ 0 sao cho x không khả nghịch Khi đó, iđêan I = sinh bởi x không chứa 1, do không tồn tại y ∈ F để xy = 1, và do đó I ≠ F Theo giả thiết, F chỉ có hai iđêan là {0} và F, điều này mâu thuẫn với việc I ≠ F.

F, suy ra I = 0 Điều này không thế vì 0 6= x ∈ I Vậy mọi phần tử khác 0 của F đều khả nghịch.

(2) ⇒ (3) : Vì Kerf là một iđêan của F và theo (2) F chỉ có hai iđêan là

0 và F nên Kerf = 0 hoặc Kerf = F Nếu Kerf = 0 thì f là một đơn cấu và nếu Kerf = F thì f là đồng cấu tầm thường.

Theo Hệ quả 3.3.2.4, mỗi iđêan của F đều là hạt nhân của một đồng cấu vành nào đó có nguồn là F Điều này có nghĩa là nếu I là một iđêan tùy ý của F, thì sẽ tồn tại một đồng cấu vành f : F → R, với R là một vành nào đó sao cho Kerf = I Theo đó, Kerf chỉ có thể nhận hai giá trị là 0 hoặc R, dẫn đến kết quả I = 0 hoặc I = F.

Trường các thương

Giả sửX là một miền nguyên, theo Mệnh đề 3.4.1.5, mọi phần tử khác

0 của X đều chính quy đối với phép nhân Tuy nhiên, không phải mọi phần tử khác 0 của X đều có nghịch đảo trong X Chẳng hạn, đối với miền nguyên

Z, chỉ có 2 phần tử có nghịch đảo trong Z là −1 và 1, ngoài ra các phần tử khác đều không có nghịch đảo trong Z.

Vì vậy, ta đặt vấn đề nhúng một miền nguyên X vào một trường X sao cho mọi phần tử khác 0 của X đều có nghịch đảo trong X.

Vì X là một miền nguyên nên X là một vị nhóm nhân giao hoán Do đó theo Định lý 2.9.1.2 thì ta có thể nhúng X vào một vị nhóm nhân giao hoán

Để giải quyết vấn đề, chúng ta cần tìm một tập hợp X sao cho mọi phần tử khác 0 của X đều có nghịch đảo trong X Điều này có nghĩa là mỗi phần tử trong X phải có một phần tử ngược lại để khi nhân chúng lại với nhau sẽ cho kết quả là 1 Nếu chúng ta có thể trang bị cho X thêm phép toán cộng để X trở thành một trường, thì vấn đề sẽ được giải quyết một cách hiệu quả.

3.4.5.1 Định lý Cho X là một miền nguyên Khi đó tồn tại một cặp (T, f) trong đó T là một trường, f : X → T là một đơn cấu vành sao cho mỗi phần tử của T đều viết được dưới dạng f(a)(f(b)) −1 với a, b ∈ X, b 6= 0 Hơn nữa, nếu F là một trường và g : X → F là một đơn cấu vành sao cho mỗi phần tử của F đều viết được dưới dạng g(a)(g(b)) −1 với a, b ∈ X, b 6= 0, thì F ∼= T.

Trên tập hợp X × X ∗, chúng ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi ∼ giữa các phần tử (a, b) và (c, d) như sau: hai phần tử này được coi là tương đương nếu và chỉ nếu ad = bc Quan hệ này có hai tính chất quan trọng: phản xạ, có nghĩa là mỗi phần tử tương đương với chính nó, và đối xứng, có nghĩa là nếu (a, b) tương đương với (c, d) thì (c, d) cũng tương đương với (a, b).

Do X là miền nguyên nên ∼ có tính chất bắc cầu Vì thế ∼ là một quan hệ tương đương trên X ×X ∗ Với mỗi (a, b) ∈ X × X ∗ , ta kí hiệu a/b là lớp tương đương của (a,b) Kí hiệu

Tập thương T của X×X ∗ được định nghĩa theo quan hệ tương đương ∼, với các phần tử a/b, trong đó (a, b) ∈ X × X ∗ Trên tập T, ta định nghĩa các quy tắc cộng và nhân như sau: a/b + c/d = (ad + bc)/bd và (a/b)(c/d) = ac/bd, áp dụng cho mọi phần tử a/b, c/d ∈ T Các quy tắc này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của các phần tử trong T, đảm bảo tính nhất quán khi thực hiện các phép toán.

T được trang bị hai phép toán hai ngôi là cộng và nhân, tạo thành một trường hoàn chỉnh Phần tử không của trường này là 0/1, trong khi phần tử đơn vị là 1/1 Đối với mỗi phần tử a/b, đối xứng của nó là −a/b và nghịch đảo là b/a, miễn là a/b không bằng 0/1.

Ánh xạ f : X → T được xác định bởi f(a) = a/1 là một đồng cấu vành Điều này có thể được kiểm tra dễ dàng Giả sử a ∈ X thỏa mãn tính chất f(a) = 0/1, khi đó a/1 = 0/1, suy ra a = 0, điều này chứng tỏ f là đơn cấu vành Đối với a/b∈ T, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng (a/1)(1/b) = (a/1)(b/1) −1 = f(a)f(b) −1.

Cặp (T, f) thỏa mãn các yêu cầu của định lí Giả sử F là một trường và g : X → F là một đơn cấu vành sao cho mỗi phần tử của F đều có thể viết dưới dạng g(a)g(b) −1 với a, b ∈ X, b ≠ 0 Xét tương ứng ϕ : T → F cho bởi ϕ(a/b) = g(a)g(b) −1, ta có thể chứng minh rằng ϕ là một đơn cấu vành.

Ánh xạ ϕ được xác định bởi ϕ(a/b) = g(a)g(b) −1 là một ánh xạ vì g(b), g(b 0 ) khả nghịch trong F, dẫn đến g(a)g(b) −1 = g(a 0 )g(b 0 ) −1 Hơn nữa, ϕ là đồng cấu vành và toàn cấu vì mỗi phần tử của F đều có thể biểu diễn dưới dạng g(a)g(b) −1 với a, b ∈ X, b ≠ 0 Ngoài ra, ϕ là đơn cấu vì nếu ϕ(a/b) = 0 thì g(a)g(b) −1 = 0, suy ra g(a) = 0 và do g là đơn cấu nên a = 0, dẫn đến a/b = 0/1 Do đó, ϕ là một đẳng cấu.

3.4.5.2 Định nghĩa Trường T xây dựng như trong định lý trên được gọi là trường các thương của miền nguyên X.

3.4.5.3 Chú ý Theo định lý trên, trường các thương T của miền nguyên X là trường tối tiểu chứa X như một vành con và trường các thương của mỗi miền nguyên là tồn tại duy nhất sai khác một đẳng cấu.

3.4.5.4 Ví dụ Q là trường các thương của miền nguyên Z.

Trường các số hữu tỷ Q và trường các số phức C

Trường các số phức C được xây dựng từ trường các số thực R thông qua việc mở rộng trường R bằng cách bổ sung thêm phần ảo Quá trình này cho phép ta tạo ra một trường mới có thể chứa cả phần thực và phần ảo, từ đó mở rộng khả năng tính toán và biểu diễn số.

Ký hiệu C = {(a, b)| a, b ∈ R} Trên C, xác định phép cộng và phép nhân như sau

Khi đó, ta có thể kiểm tra thấy tập hợp C cùng với hai phép toán nói trên lập thành một trường với phần tử không là (0,0), phần tử đơn vị là (1,0) Điều này cho phép chúng ta xác định rằng mỗi phần tử của C được gọi là một số phức và C được gọi là trường các số phức, tạo nên một hệ thống toán học hoàn chỉnh và thống nhất.

Tiếp theo chúng ta sẽ xét các dạng biểu diễn khác nhau của tập hợp các số phức.

Biểu diễn hình học: Dùng mặt phẳng Đềcác vuông góc xOy để biểu diễn tập hợp các số phức C.

- Mỗi số phức u = (a, b) được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ (a, b) trên mặt phẳng xOy.

- Mỗi điểm có tọa độ (a, b) trên mặt phẳng xOy biểu diễn một số phức u = (a, b).

Tập hợp các số phức C tạo thành mặt phẳng phức, bao gồm cả trục thực Ox và trục ảo Oy Trong đó, hai số phức được coi là bằng nhau khi chúng được biểu diễn tại cùng một điểm trên mặt phẳng này.

Chú ý rằng, ta cũng có thể biểu diễn số phức u = (a, b) bởi vectơ −−→

M là điểm có tọa độ (a, b).

Dạng đại số của số phức cho phép ta biểu diễn các số thực dưới dạng số phức Cụ thể, ánh xạ f : R → C với a 7→ (a,0) là một đơn cấu trường, cho phép ta đồng nhất a ≡ f(a) Điều này có nghĩa là mỗi số thực a có thể được coi là số phức (a,0), biến tập hợp số thực R thành một tập con của tập hợp số phức C, và do đó trường các số thực R trở thành một trường con của trường các số phức C.

Số phức i là một nghiệm của phương trình x^2 + 1 = 0, và mỗi số phức u = (a, b) có thể được biểu diễn dưới dạng u = a + bi Trong đó, a được gọi là phần thực của số phức u, kí hiệu là Re(u), còn b được gọi là phần ảo của số phức u, kí hiệu là Im(u), giúp biểu diễn số phức một cách rõ ràng và dễ hiểu.

Hai số phức u = a+bi và v = c+di là bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau, tức là a = c và b = d.

Dạng lượng giác của số phức: Cho số phứcu = a+bi 6= 0 Ta viếtu dưới dạng: u = √ a 2 + b 2 a

Đặt r = √ a 2 +b 2 , cosϕ= √ a a 2 +b 2 , sinϕ= √ b a 2 +b 2 Khi đó u = r(cosϕ+isinϕ). r được gọi là môđun của số phức u, ký hiệu |u|. ϕ được gọi là argument của số phức u.

Hai số phức bằng nhau khi môđun của chúng bằng nhau và argument sai khác nhau một bội của 2π Phép nhân và phép chia số phức dưới dạng lượng giác được thực hiện dựa trên quy tắc sau: cho hai số phức u = r(cosϕ+isinϕ) và v = s(cosθ+isinθ), khi đó tích của u và v là r.s(cos(ϕ+θ) +isin(ϕ+θ)), và nếu v khác 0, thương của u và v là r/s(cos(ϕ−θ) + isin(ϕ−θ)).

Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh được công thức sau đây, công thức này được gọi là công thức Moivre: u n = r n (cosnϕ+isinnϕ), ∀n ∈ Z.

Căn của một số phức được định nghĩa là số phức v sao cho v n = u, với u là số phức và n là số tự nhiên khác không Để xác định v từ u, ta giả sử u = r(cosϕ+isinϕ) và v = s(cosθ+isinθ) là một căn bậc n của u Khi đó, ta có v n = u nếu và chỉ nếu s n (cosnθ +isinnθ) = r(cosϕ+ isinϕ).

Do đó các căn bậc n của u là: v k = √ n r cos ϕ+k2π n + isin ϕ+k2π n

Khi k chạy khắp tập hợp Z, ta có thể dễ dàng chứng minh rằng v k chỉ nhận n giá trị tương ứng với n giá trị phân biệt liên tiếp của k Điều này dẫn đến việc xác định được n căn bậc n của u, được biểu diễn dưới dạng v k = √ n r cosϕ+k2π n +isinϕ+k2π n.

Các căn bậc n của u là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính √ n r.

Ví dụ, tìm các căn bậc n của 1: Ta có 1 = cos 0 +isin 0 Các căn bậc n của

1 là ωk = cos2kπ n +isin2kπ n , k = 0, , n−1. ω 0 = 1, ω 1 = cos 2π n +isin 2π n , , ω k−1 = cos2(k−1)π n +isin2(k−1)π n

Số phức liên hợp là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là khi làm việc với số phức Cho số phức u = a + bi, số phức liên hợp của nó được định nghĩa là u = a - bi Khi nghiên cứu về số phức liên hợp, ta có thể dễ dàng kiểm tra và xác định các tính chất quan trọng của nó.

(5) uv = u v với mọi số phức u, v;

(6) u n = u n với mọi số phức u và với mọi số nguyên dương n;

(7) Nếu f(x) là một đa thức hệ số thực vàu là một nghiệm phức của f(x) thì u cũng là nghiệm của f(x).

26 Chứng minh rằng mọi miền nguyên hữu hạn là một trường.

27 Mô tả các iđêan của vành các số nguyên Z Giả sử nlà một số nguyên, dương Chứng minh rằng vành thương Z/nZ là một trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

28 Cho A là một vành giao hoán và p là một iđêan của A Chứng minh rằng

(1) p là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu A/p là một miền nguyên.

(2) p là iđêan tối đại nếu và chỉ nếu A/p là một trường.

Từ đó suy ra rằng mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố.

29 Từ Bài tập 12, hãy suy ra rằng vành giao hoán có đơn vị R là một trường khi và chỉ khi R chỉ có hai iđêan là {0} và R.

30 Giả sử X là một trường với phần tử đơn vị là 1 Xét tập con

(1) Chứng minh rằng A là một vành con của X.

(2) Chứng minh rằng A ∼= Z khi và chỉ khi 1 có cấp vô hạn; A ∼= Z p khi và chỉ khi 1 có cấp p.

31 Cho p là một số nguyên tố Chứng minh rằng

(1) Bộ phận Q(√ p) = {a+b√ p : a, b ∈ Q} là một trường con của trường các số thực R.

11) không đẳng cấu với nhau.

32 Kí hiệu M n (R) là vành các ma trận vuông cấp n với phần tử thực. Cho A ∈ M n (R) là một ma trận khác ma trận 0 Chứng minh rằng A là ước của 0 nếu và chỉ nếu định thức của A bằng 0.

33 Chứng minh rằng tập các ma trận vuông cấp 2 có dạng u −v v u

Không gian vector phức tạp C, bao gồm các phần tử u, v, cùng với các phép toán cộng và nhân ma trận, tạo thành một thể gần như đầy đủ, thỏa mãn hầu hết các tiên đề về trường, ngoại trừ tiên đề giao hoán của phép nhân.

34 Chứng minh rằng tập các ma trận có dạng a b

, a, b ∈ R là một trường với phép cộng và phép nhân các ma trận; trường này đẳng cấu với trường các số phức C.

35 Chứng minh rằng tập các ma trận có dạng a b 2b a

, a, b∈ Q là một trường với phép cộng và phép nhân các ma trận; trường này đẳng cấu với trường Q(√

36 Kí hiệu u là một nghiệm thực của phương trình x 3 = 2 Chứng minh rằng bộ phận

T = {a+bu+cu 2 | a, b, c ∈ Q} là một trường con của trường các số thực R.

(1) Các tự đồng cấu của trường các số hữu tỷ.

(2) Các tự đồng cấu của trường Q(√

(3) Các tự đồng cấu của trường các số thực.

(4) Các tự đồng cấu của trường các số phức giữ nguyên các số thực.

38 Giả sử p là một số nguyên tố Chứng minh rằng tập hợp các số hữu tỷ có dạng n/m trong đó m và p nguyên tố cùng nhau, là một miền nguyên. Tìm trường các thương của miền nguyên này.

39 Cho T là một trường Chứng minh rằng

(1) Nếu T có đặc số 0 thì trường nguyên tố của T đẳng cấu với Q.

(2) Nếu T có đặc số p thì trường nguyên tố của T đẳng cấu với Zp.

1 Trình bày định nghĩa, ví dụ, tính chất, mối liên hệ, cách nhận biết của các cáu trúc đại số: vành, miền nguyên, thể, trường.

2 Trình bày định nghĩa, ví dụ, tính chất, mối liên hệ, cách nhận biết của các cấu trúc con: vành con, trường con, iđêan, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên tố hoàn toàn.

3 Mô tả iđêan chính, iđêan sinh bởi một tập.

4 Đồng cấu vành: định nghĩa, ví dụ, tính chất Các định lý đồng cấu và đẳng cấu vành.

5 Vành thương: định nghĩa, ví dụ, mô tả.

7 Tính chất của vành các số nguyên Z.

8 Xây dựng trường các số hữu tỷ Q từ miền nguyên Z.

9 Xây dựng trường số phức C từ trường các số thực R.

CHƯƠNG 4 VÀNH CHÍNH, VÀNH EUCLID VÀ VÀNH NHÂN TỬ HÓA

Trong chương này ta luôn giả thiết R là một vành là giao hoán có đơn vị 1 6= 0.

4.1 Vành chính và vành nhân tử hóa

Tính chất số học trong vành

4.1.1.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ R Khi đó nếu tồn tạiq ∈ R sao choa = bq thì ta nói rằng b là ước của a trong vành R và kí hiệu là b | a.

Tập hợp tất cả các ước của đơn vị trong vành R chính là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành R Điều này có nghĩa là các phần tử khả nghịch trong vành R có thể tạo thành một nhóm đối với phép nhân, thể hiện mối quan hệ chặt chẽ giữa các phần tử này.

4.1.1.2 Mệnh đề Giả sử R là một miền nguyên Khi đó ta có:

(2) Vì c |b và b | a nên tồn tại q 1 , q 2 ∈ R sao cho a = bq 1 , b = cq 2 Do đó a = cq 1 q 2 Suy ra c | a.

(3) Do u khả nghịch nên tồn tại q ∈ R sao cho uq = 1 Do đó a = a1 auq = u(qa) Suy ra u | a.

4.1.1.3 Định nghĩa Cho a, b là các phần tử của vành R Khi đó a và b được gọi là liên kết nếu tồn tại phần tử khả nghịch u ∈ R sao cho a = ub.

4.1.1.4 Ví dụ 1 Trong vành các số nguyên Z, ∀a ∈ Z thì a liên kết với a và −a vì trong vành Z chỉ có 2 phần tử khả nghịch là 1 và −1.

2 Cho a, b là các phần tử khả nghịch trong vành R Khi đó a vàb liên kết. Thật vậy, vì a, b khả nghịch nên tồn tạiq 1 , q 2 ∈ R sao cho 1 = aq 1 và 1 = bq 2 Suy ra b = b1 = b(aq 1 ) = a(bq 1 ) Do (bq 1 )(aq 2 ) = (aq 1 )(bq 2 ) = 1.1 = 1 nên bq 1 khả nghịch Suy ra a và b liên kết.

4.1.1.5 Mệnh đề Trong vành R quan hệ S xác định bởi aSb khi và chỉ khi a, b liên kết là một quan hệ tương đương.

Chứng minh Với mọi a ∈ R, ta có a = 1a nên a liên kết với chính a Do đó

Quan hệ S có tính phản xạ vì nếu aSb thì tồn tại phần tử khả nghịch u sao cho a = ub, dẫn đến b = u −1 a và bSa Điều này chứng tỏ S có tính đối xứng Ngoài ra, nếu aSb và bSc thì tồn tại các phần tử khả nghịch u, v sao cho a = ub và b = vc, suy ra a = (uv)c và aSc, chứng minh S có tính bắc cầu Như vậy, S là một quan hệ tương đương trên tập hợp.

4.1.1.6 Mệnh đề Trong miền nguyên R, hai phần tử a và b khác 0 là liên kết khi và chỉ khi a | b và b | a.

Chứng minh Nếu a liên kết với b thì b | a Theo Mệnh đề 4.1.1.5, quan hệ liên kết có tính đối xứng nên b liên kết cũng với a Do đó a | b.

Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a, thì tồn tại các phần tử q, q0 thuộc R sao cho a = bq và b = aq0 Điều này dẫn đến a = aqq0, do đó qq0 = 1 theo luật giản ước trong miền nguyên Kết quả là q và q0 khả nghịch và a, b liên kết.

Một iđêan chính được tạo ra từ một phần tử, và mối quan hệ giữa hai iđêan chính có thể được xác định thông qua các phần tử sinh của chúng Điều này cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các iđêan chính và cách chúng được tạo ra từ các phần tử cơ bản.

4.1.1.7 Mệnh đề b | a khi và chỉ khi < b > ⊇ < a >

Giả sử b | a Cho a 0 ∈< a > Khi đó tồn tại x ∈ R sao cho a 0 = ax Mặt khác, do b | a nên tồn tại q ∈ R sao cho a = bq Suy ra a 0 = b(qx) ∈< b > Vậy < a > ⊆ < b >

Ngược lại, giả sử < b > ⊇ < a > Khi đó do a = a1 ∈< a > nên a ∈< b > Nghĩa là tồn tại q ∈ R sao cho a = bq Suy ra b | a.

Quan sát trong vành Z, ta thấy rằng mZ ⊆ nZ khi và chỉ khi n là ước của m Điều này cũng dẫn đến kết luận rằng pZ là iđêan cực đại khi và chỉ khi p là một số nguyên tố.

Từ hai mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau đây.

4.1.1.8 Hệ quả Trong một miền nguyên R :

(1) a và b liên kết khi và chỉ khi < a > = < b >;

(2) u khả nghịch khi và chi khi < u > = R.

4.1.1.9 Định nghĩa Giả sử b | a Khi đó b được gọi là ước thực sự của a nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:

4.1.1.10 Ví dụ Trong vành Z: ±2,±3,±4,±6 là các ước thực sự của 12 còn ±1,±12 là các ước không thực sự của 12.

4.1.1.11 Định nghĩa Trong vành R, phần tử a được gọi là bất khả qui nếu a không có ước thực sự.

Trong vành Z: các số nguyên tố và các số đối của chúng là các phần tử bất khả qui.

4.1.1.12 Định nghĩa Trong một vành R:

(1) Phần tử d được gọi là ước chung của hai phần tử a và b nếu d | a và d | b.

Phần tử d được gọi là ước chung lớn nhất của hai phần tử a và b khi nó thỏa mãn hai điều kiện: d là một ước chung của a và b, và với bất kỳ ước chung nào c của a và b, c đều chia hết cho d.

(3) Hai phần tử a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu 1 là ước chung lớn nhất của chúng Khi đó ta kí hiệu (a, b) = 1.

4.1.1.13 Nhận xét (1) Theo định nghĩa trên ước chung lớn nhất của a và b cũng bằng ước chung lớn nhất của a 0 và b với a 0 liên kết với a.

Nếu d và d0 đều là ước chung lớn nhất của a và b, theo Mệnh đề 4.1.1.6, thì d và d0 liên kết, nghĩa là chúng chỉ sai khác nhau một nhân tử khả nghịch Trong vành Z, ước chung lớn nhất của hai số nguyên a, b được quy ước là số dương trong hai số d và -d Tương tự, trong vành đa thức k[X] với k là một trường, ước chung lớn nhất của hai đa thức f(x) và g(x) được quy ước là đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 trong số các ước chung lớn nhất của f(x) và g(x) Với quy ước này, ước chung lớn nhất là duy nhất.

(3) Khái niệm ước chung lớn nhất của nhiều phần tử cũng được định nghĩa tương tự.

Vành chính và sự tồn tại ước chung lớn nhất

4.1.2.1 Định nghĩa Giả sử R là một miền nguyên Khi đó R được gọi là vành chính nếu mọi iđêan của R đều là iđêan chính.

Trong giáo trình này, một vành chính được định nghĩa trước hết là một miền nguyên, tuy nhiên một số tài liệu mở rộng định nghĩa này bằng cách không yêu cầu miền nguyên, mà chỉ cần là một vành giao hoán có đơn vị và mọi iđêan đều là iđêan chính, còn gọi là miền iđêan chính.

4.1.2.2 Ví dụ Vành các số nguyên Z là vành chính Thật vậy, trước hết ta thấy rằng Z là miền nguyên Nếu I là iđêan không của Z thì I =< 0 > Nếu I 6= {0} thì tồn tại a ∈ I, a 6= 0 Khi đó −a ∈ I Trong 2 số a và −a sẽ có một số dương Do đó trong I có số dương Gọi m là số dương nhỏ nhất thuộc I Với mọi a ∈ I, do a ∈ Z nên tồn tại q, r ∈ Z sao cho a = mq +r, với 0 ≤ r < m Nếu r 6= 0 thì r = a−mq ∈ I, trái với cách chọn m Do đó r = 0 Suy ra a = mq Vậy I là iđêan chính sinh bởi m.

4.1.2.3 Mệnh đề Trong một vành chính R ước chung lớn nhất của hai phần tử a, b luôn tồn tại.

Chứng minh Kí hiệu I = < a, b > Ta có I = {ax+by | x, y ∈ R} Vì R là vành chính nên I là iđêan chính Do đó tồn tại d ∈ R sao cho I = < d >

Ta sẽ chứng minh d là ước chung lớn nhất của a và b.

Vì a, b thuộc tập hợp I = < d >, nên tồn tại các số nguyên q1, q2 sao cho a = dq1 và b = dq2, điều này chứng tỏ d là ước chung của a và b Giả sử c là một ước chung khác của a và b, khi đó a = cx và b = cy với x, y thuộc R Do d thuộc I nên d = az + bt = cxz + cyt = c(xz + yt), suy ra c chia hết d Điều này chứng tỏ d là ước chung lớn nhất của a và b.

Từ chứng minh trên đây ta có ngay các hệ quả sau.

4.1.2.4 Hệ quả Trong vành chính R, nếu d là ước chung lớn nhất của a và b thì tồn tại u, v ∈ R sao cho d = au+ bv.

4.1.2.5 Hệ quả Trong vành chính R, nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì tồn tại u, v ∈ R sao cho au+bv = 1.

4.1.2.6 Hệ quả Trong vành chính R, nếu c | ab và c, a nguyên tố cùng nhau thì c | b.

Do c và a là các nguyên tố cùng nhau nên theo hệ quả trên, tồn tại u, v ∈ R sao cho cu + av = 1 Điều này suy ra bcu + bav = b Mặt khác, do c chia hết cho ab nên tồn tại x ∈ R sao cho ab = cx Từ đó, ta có thể suy ra c(bu + x) = b, hay c chia hết cho b.

4.1.2.7 Mệnh đề Trong vành chính R cho phần tử bất khả qui x Khi đó với mọi a ∈ R thì chỉ một trong hai khả năng sau xảy ra: x | a hoặc (x, a) = 1.

Vì x bất khả qui nên x chỉ có ước không thực sự, nghĩa là các ước của x là khả nghịch hoặc liên kết với x Điều này dẫn đến việc ước chung lớn nhất của x và a, gọi là d, có thể là khả nghịch hoặc liên kết với x Nếu d khả nghịch thì x và a sẽ nguyên tố cùng nhau, tức là (x, a) = 1 Ngược lại, nếu d liên kết với x thì x sẽ chia hết cho a do d chia hết cho a.

4.1.2.8 Mệnh đề Trong vành chính R cho phần tử x 6= 0 không khả nghịch. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

Chứng minh (1) =⇒ (2) : Vì x bất khả qui nên theo mệnh đề trên x | a hoặc (x, a) = 1 Mặt khác do x | ab nên nếu (x, a) = 1 thì theo Mệnh đề 4.1.2.6 ta có x | b Vậy (2) được chứng minh.

Giả sử d là một ước của x, khi đó tồn tại q ∈ R sao cho x = dq Do đó x chia hết cho dq Theo giả thiết, ta có x chia hết cho d hoặc x chia hết cho q Nếu x chia hết cho d, lại do d chia hết cho x nên d và x liên kết với nhau Nếu x chia hết cho q thì tồn tại u ∈ R sao cho q = xu, từ đó suy ra du = 1, vì q ≠ 0 và R là miền nguyên.

1−du = 1), nghĩa là d khả nghịch.

Vậy mọi ước của x đều khả nghịch hoặc liên kết với x nên x bất khả qui.

Vành nhân tử hóa và sự phân tích trong vành chính 126

4.1.3.1 Định nghĩa Một phần tử x 6= 0 trong miền nguyên R được gọi là có phân tích duy nhất thành các nhân tử bất khả qui nếu x = up 1 p 2 p n , trong đó u là phần tử khả nghịch, p i , i= 1, , n là các phần tử bất khả qui trong R; và nếu có hai sự phân tích như vậy. x = up 1 p 2 p n = vq 1 q 2 q m , trong đó v là phần tử khả nghịch, qi, i = 1, , m là các phần tử bất khả qui trong R thì m = n và sau một phép hoán vị các chỉ số (nếu cần) ta có pi = viqi, i = 1, , m, với vi khả nghịch trong R.

4.1.3.2 Định nghĩa Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác 0 đều có phân tích duy nhất thành các nhân tử bất khả qui được gọi là một vành nhân tử hóa (hay còn gọi là vành Gauss). Định lý sau đây cho thấy rằng trong một vành chính mọi phần tử khác 0 đều có thể phân tích duy nhất thành các nhân tử bất khả qui.

4.1.3.3 Định lý Mỗi vành chính là một vành nhân tử hóa.

Chứng minh rằng mọi phần tử khác 0 trong vành chính R đều có thể phân tích thành tích của các phần tử bất khả qui Điều này có thể được thực hiện bằng cách giả sử rằng tồn tại một phần tử không thể phân tích thành tích của các phần tử bất khả qui, và sau đó chứng minh rằng giả định này dẫn đến một mâu thuẫn.

Tập S được định nghĩa là tập hợp tất cả các iđêan chính khác 0 của R, trong đó các phần tử sinh của chúng không thể phân tích thành tích của các nhân tử bất khả qui Để chứng minh tính chất này, chúng ta cần xem xét kỹ lưỡng các yếu tố tạo nên tập S và cách chúng tương tác với nhau trong cấu trúc đại số của R.

S = ∅ Giả sử ngược lại, S 6= ∅ và < a 1 >∈ S Xét dãy tăng thực sự các iđêan trong S :

Để chứng minh dãy này là hữu hạn, ta cần xem xét tính chất của iđêan trong R Thật vậy, ∪ i < a i > là một iđêan của R nên nó là iđêan chính Do đó, tồn tại một phần tử sinh a của ∪ i < a i >, và a thuộc một iđêan nào đó trong dãy, chẳng hạn a ∈< a n >.

Vì thế < a > = < a n > và do < a n > thuộc tập S nên a n không bất khả qui, dẫn đến a n = bc với b, c là các phần tử không khả nghịch Điều này có nghĩa các iđêan sinh bởi b hoặc c đều chứa thực sự < a n >, và do tính cực đại của < a n >, ta có < b > và < c > không thuộc S, suy ra b và c có thể phân tích thành tích các nhân tử bất khả qui Từ đó, a n cũng có thể phân tích thành tích các nhân tử bất khả qui, mâu thuẫn với việc < a n > thuộc S, và kết luận rằng mọi phần tử khác 0 đều có thể phân tích thành tích của các phần tử bất khả qui.

Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử x ∈ R, x ≠ 0 và x = up1 p2 pn = vq1 q2 qm, trong đó u, v là các phần tử khả nghịch và pi, qj là các phần tử bất khả qui trong R Do p1 chia hết cho q1q2 qm, nên p1 phải là ước của một qi nào đó, và do R là vành giao hoán, ta có thể giả thiết p1 chia hết cho q1 Tuy nhiên, do q1 bất khả qui, nó không có ước thực sự, và p1 không khả nghịch, nên p1 và q1 liên kết, tức là tồn tại u1 ∈ R khả nghịch sao cho q1 = u1p1, từ đó ta có p1p2 pn = u1p1q2 qm.

Vì p1 6= 0 và R là miền nguyên nên suy ra p2 pn = u1q2 qm Lại tiếp tục quá trình trên n lần, ta được n≤ m và

Vì các qi không khả nghịch nên ta phải có m = n và như vậy định lí được chứng minh.

4.1.3.4 Ví dụ Sự phân tích một số nguyên thành tích các thừa số nguyên tố là những ví dụ cho định lý trên Chẳng hạn

Một số ví dụ về vành chính và vành nhân tử hóa

(1) Vành các số nguyên Zlà vành chính (xem Ví dụ 4.1.2.2) và do đó theo Định lý 4.1.3.3, Z cũng là một vành nhân tử hóa.

Vành R = {a + b√(-3) | a, b ∈ Z} là một vành con của trường các số phức C, do đó nó là một miền nguyên Tuy nhiên, R không phải là vành nhân tử hóa vì 4 ∈ R và nó có hai sự phân tích khác nhau thành các nhân tử bất khả qui.

Do đó R không phải là vành chính.

(3) Vành các số nguyên Gauss Z[i] = {a+bi | a, b ∈ Z, i 2 = −1} là một vành chính và do đó theo Định lý 4.1.3.3,Z[i] cũng là một vành nhân tử hóa

Vì Z[i] là một vành con của trường các số phức C, nên nó là một miền nguyên Mọi iđêan của Z[i] đều là iđêan chính Q[i] = {α + βi | α, β ∈ Q} là trường các thương của Z[i] Với mọi số hữu tỉ α, luôn tồn tại số nguyên a sao cho | α−a |≤1/2, do đó, ∀x = α+βi ∈ Q[i], tồn tại a, b ∈ Z sao cho x có thể được biểu diễn gần giống với a + bi.

Giả sử I là một iđêan của Z[i] Nếu I = {0} thì I =< 0 > Nếu I 6= {0} thì ta đặt

Tập X là một tập con khác rỗng của N không chứa 0, và ta gọi u ∈ Z[i] sao cho | u | 2 là số tự nhiên bé nhất của X Với phần tử tùy ý v của I, do v/u ∈ Q[i] nên tồn tại z ∈ Z[i] sao cho | v/u −z | 2 < 1, hay tương đương | v − zu | 2 , nghĩa là I là iđêan chính.

2 |a, b ∈ Z} là vành chính và do đó theo Định lý 4.1.3.3, Z[√

2] cũng là một vành nhân tử hóa.

1 Giả sử R là một vành chính và p là một phần tử khác 0 của R Chứng minh rằng p là bất khả quy khi và chỉ (p) là iđêan tối đại.

2 Chứng minh rằng, trong một vành chính các iđêan nguyên tố khác {0} là các iđêan tối đại.

3 Vành con, vành thương của một vành chính có phải là vành chính không?

4 Chứng minh rằng nếu K là một trường thì K là một vành chính.

−3] cùng với phép cộng và phép nhân số phức là một miền nguyên;

−3 là những phần tử bất khả quy của Z[√

−3] Từ đó hãy suy ra Z[√

−3] không phải là vành chính.

6 Chứng minh rằng tập hợp

A = {a+ 3bi | a, b ∈ Z, i 2 = −1} cùng với phép cộng và phép nhân các số phức là một vành giao hoán có đơn vị nhưng không phải là vành chính.

7 Chứng minh rằng tập hợp

2 | a, b ∈ Z, i 2 = −1} cùng với phép cộng và phép nhân các số phức là một vành chính.

Vành Euclid

Định nghĩa và ví dụ

4.2.1.1 Định nghĩa Một vành Euclid là một miền nguyên R được trang bị một ánh xạ δ : R\ {0} → N thoả mãn các tính chất sau:

(1) δ(ab) ≥δ(a), với mọi a, b khác 0 trong R;

(2) ∀a, b ∈ R, b 6= 0, tồn tại q, r ∈ R sao cho a = bq +r, trong đó r = 0 hoặc nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(b).

Phần tử q trong biểu thức (2) được gọi là thương và r là dư trong phép chia a cho b Khi r bằng 0, b chia hết a và theo (1) ta có δ(b) ≤ δ(a), điều này cho thấy điều kiện cần để một phần tử b là ước của phần tử a khác 0 là δ(b) ≤ δ(a) Ánh xạ δ được gọi là ánh xạ Euclid và vành Euclid còn được gọi là vành có phép chia với dư.

4.2.1.2 Ví dụ (1) Vành các số nguyên Z là vành Euclid với ánh xạ δ : Z\ {0} → N, xác định bởi δ(n) =|n|.

(2) Vành các số nguyên Gauss Z[i] là vành Euclid với ánh xạ δ :Z[i]\ {0} → N, xác định bởi δ(z) =|z| 2

Mối liên hệ giữa vành chính và vành Euclid, thuật toán

4.2.2.1 Mệnh đề Mọi vành Euclid đều là vành chính.

Chứng minh rằng nếu R là một vành Euclid và I là một iđêan tùy ý của R, thì I có thể được biểu diễn như một iđêan chính sinh bởi một phần tử a nào đó Cụ thể, nếu I bằng 0, thì I là iđêan chính sinh bởi 0 Trong trường hợp I khác 0, ta có thể chọn phần tử a khác 0 trong I sao cho δ(a) là nhỏ nhất trong tất cả các phần tử khác 0 của I.

Với mọi x ∈ I, x 6= 0, xét phép chia x cho a x = aq +r.

Khi đó r = x −aq ∈ I, do đó r = 0, vì nếu trái lại thì δ(r) < δ(a), mâu thuẫn với định nghĩa của a Như vậy I = aR là iđêan chính sinh bởi a.

Trong một vành chính ước, tồn tại ước chung lớn nhất của hai phần tử, như đã nêu trong Mệnh đề 4.1.2.3 Điều này cũng đúng đối với vành Euclid, nơi chúng ta có thể tìm ước chung lớn nhất của hai phần tử thông qua thuật toán Euclid, dựa trên một bổ đề quan trọng.

4.2.2.2 Bổ đề Giả sử R là một vành chính, a, b, q, r ∈ R thoả mãn a = bq +r.

Chứng minh Vì tập các ước chung củaavàb cũng chính là tập các ước chung của b và r nên UCLN (a, b) = UCLN (b, r).

Vành Euclid luôn thỏa mãn bổ đề trên, vì thế ta có thuật toán sau để tìm ước chung lớn nhất của hai phần tử trong một vành Euclid.

Thuật toán Euclid Giả sử R là một vành Euclid và a, b là các phần tử của

R Đặt vấn đề tìm ước chung lớn nhất của a, b.

Nếu a = 0 thì UCLN(0, b) =b hoặc nếu b = 0 thì UCLN(a,0) = a.

Nếu a, b 6= 0 thì thực hiện phép chia a cho b ta được a = bq0 +r0, với r 0 = 0 hoặc δ(r 0 ) < δ(b) nếu r 0 6= 0 Nếu r 0 6= 0 ta lại chia b cho r 0 : b = r 0 q 1 +r 1 , với r 1 = 0 hoặc δ(r 1 ) < δ(r 0 ) nếu r 1 6= 0 Nếu r 1 6= 0 ta lại chia r 0 cho r 1 : r 0 = r 1 q 2 +r 2 , với r 2 = 0 hoặc δ(r 2 ) < δ(r 1 ) nếu r 2 6= 0.

Quá trình chia này phải kết thúc sau một số hữu hạn bước do dãy số tự nhiên δ(b) > δ(r 0 ) > δ(r 1 ) > δ(r 2 ) > không thể giảm vô hạn Điều này có nghĩa là sau một số hữu hạn phép chia, ta sẽ đạt đến một phép chia với dư bằng 0: r k−1 = r k q k+1 + 0 Khi đó, dựa trên bổ đề đã đề cập, ta có thể xác định r k = UCLN(r k ,0) = UCLN(r k−1 , r k ) = UCLN(r k−2 , r k−1 ).

Ước chung lớn nhất của hai phần tử a, b được xác định bằng cách tìm dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclid Quá trình này liên quan đến việc tính toán UCLN(r1, r2), UCLN(r0, r1) và UCLN(b, r0) cho đến khi đạt được giá trị dư cuối cùng khác 0 Kết quả này chính là ước chung lớn nhất của a và b, được ký hiệu là UCLN(a, b).

8 Chứng minh rằng các vành sau đây đều là vành Euclid:

9 Chứng minh rằng nếu K là một trường thì K là vành Euclid.

10 Giả sử A là một vành Euclid Chứng minh rằng A là một trường khi và chỉ khi δ(x) là một hằng số với mọi x ∈ A\ {0}.

1 Khái niệm ước, bội, phần tử bất khả quy trong một vành.

2 Khái niệm và tính chất của vành chính, vành Euclid và vành nhân tử hóa;

3 Khái niệm ước chung lớn nhất, sự tồn tại ước chung lớn nhất trong vành chính.

4 Sự phân tích trong vành nhân tử hóa, thuật toán Euclid trong vành Euclid.

5 Mối liên hệ giữa vành chính, vành nhân tử hóa và vành Euclid.

6 Tính chất của vành các số nguyên Z, trường Q, trường R và trường C.

5.1 Vành đa thức một ẩn

Khái niệm đa thức

Cho A là một vành giao hoán.

5.1.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một vành, A là một vành con của S và

X ∈ S Khi đú ta núi X là siờu việt trờn A, nếu với mọi a 0 , a 1 ,ã ã ã , a n ∈ A (n ≥0), mà a 0 +a 1 X +ã ã ã+a n X n = 0 trong S thì a i = 0 với mọi 0 ≤ i ≤ n Nếu X không siêu việt trên A thì ta nói X là đại số trên A.

Chú ý rằng với mọi a ∈ A thì a là đại số trên A Như vậy, nếu phần tử X siêu việt trên A thì chắc chắn rằng X /∈ A.

Cho trước một vành A, định lý sau khẳng định luôn tồn tại một cặp (S, X), trong đó S là một vành giao hoán chứa A như là một vành con và

X ∈ S là một phần tử siêu việt trên A.

5.1.1.2 Định lý Cho trước một vành A luôn tồn tại một cặp (S, X) thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) S là một vành giao hoán và A là một vành con của S,

(2) X ∈ S và X là siêu việt trên A,

(3) Mỗi phần tử f ∈ S biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng f = a 0 +a 1 X +ã ã ã+a n X n trong đú a0, a1,ã ã ã , an ∈ A (n≥ 0).

Chứng minh Trước hết ta xây dựng vành S Ký hiệu

Trên tập S, hai quy tắc cộng và nhân được định nghĩa như sau: với f = (a0, a1, ) và g = (b0, b1, ) thuộc S, ta có f + g = (a0 + b0, a1 + b1, ) và fg = (c0, c1, ) với ck = ∑i+j=k ai bj, k = 0, 1, 2, Tập S cùng với hai phép toán này tạo thành một vành giao hoán, có đơn vị là 1 (1, 0, 0, ) và phần tử không là 0 (0, 0, 0, ).

Sau đây ta sẽ chứng minh rằng cặp (S, X) thỏa mãn định lý.

Vì A là vành giao hoán nên vành S cũng là vành giao hoán, do đó ánh xạ ϕ : A → S, a 7→ (a,0, ) là một đơn cấu vành Điều này cho phép ta xem A là vành con của vành S bằng cách đồng nhất mỗi phần tử a ∈ A với ảnh của nó ϕ(a) = (a,0, ) ∈ S Khi đó, với mọi a ∈ A và với mọi n ∈ N, ta có aX^n = (0, ,0, a, 0, ).

• Ta chứng minh X siêu việt trên A Thật vậy, nếu a 0 +a 1 X + .+a n X n = 0, với ai ∈ A và n ∈ N thì ta có (a0, a1, , an,0, ) = (0,0, ) Điều này kéo theo ai = 0, i= 0,1, , n Vì vậy X siêu việt trên A.

• Với mỗi f = (a0, a1, ) ∈ S, nếu f 6= 0 thì tồn tại số tự nhiên n sao cho an 6= 0 và ai = 0,∀i > n Khi đó f =(a0,0, ) + (0, a1,0, ) + .+ (0, ,0, an,0, )

Cách biểu thị như vậy là duy nhất đối với mỗi phần tử f ∈ S Điều này có nghĩa là, nếu một phần tử f có hai biểu diễn khác nhau, chẳng hạn như f = a0 + a1X + + anX n và f = b0 + b1X + + bmX m, với ai, bi ∈ A và m ≤ n, thì hai biểu diễn này phải tương đương nhau.

Vì X siêu việt trên A nên ta suy ra a 0 −b 0 = a 1 −b 1 = = a m −b m = a m+1 = = a n = 0.

(a 0 , a 1 , ) = (b 0 , b 1 , ) hay biểu diễn như vậy của f là duy nhất Đặc biệt, nếu f = 0 thì ta có thể xem f = a 0 +a 1 X + .+a n X n với a 0 = a 1 = = a n = 0.

5.1.1.3 Định nghĩa Vành S thỏa mãn Định lý 5.1.1.2 được gọi là vành đa thức một biến X trên vành A và ký hiệu S := A[X] Mỗi phần tử của vành A[X] được gọi là một đa thức biến X với hệ tử trong A.

Đối với hai đa thức f(X) = a0 + a1X + + anXn và g(X) = b0 + b1X + + bmXm thuộc A[X], theo Định lý 5.1.1.2, f(X) = g(X) khi và chỉ khi m = n và ai = bi với mọi i = 0, , n Điều này dẫn đến kết quả rằng f(X) = a0 + a1X + + anXn = 0 khi và chỉ khi ai = 0 với mọi i = 0, , n Đối với mỗi đa thức f thuộc A[X], nếu f khác 0 và chọn biểu diễn của f sao cho an khác 0, thì số nguyên n ≥ 0 được xác định duy nhất bởi f và được gọi là bậc của f, ký hiệu bởi degf Tuy nhiên, bậc của đa thức 0 không được định nghĩa; trong một số trường hợp cụ thể, người ta có thể quy ước bậc của đa thức 0 là -1 hoặc -∞ để phù hợp với vấn đề đang xem xét.

5.1.1.4 Bổ đề Cho vành đa thức A[X] và 06= f, g ∈ A[X] Giả sử degf m, degg = n và f = a0 + a1X +ã ã ã+amX m , g = b0 +b1X +ã ã ã+bnX n

(a i , b j ∈ A, a m , b n 6= 0) Nếu a m không là ước của không trong A thì f g 6= 0 và deg(f g) = degf + degg.

Chứng minh Vì a m không là ước của không trong A, a m , b n 6= 0 nên a m b n 60 Do đó f g 6= 0 Hạng tử cao nhất của f g là a m b n X m+n nên deg(f g) =m+ n= degf + degg.

Từ bổ đề trên ta có ngay hệ quả sau đây.

5.1.1.5 Hệ quả Nếu A là một miền nguyên thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên.

5.1.1.6 Định lý Cho vành đa thức A[X] và ψ : A → T là một đồng cấu vành Cho t ∈ T Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành ϕ : A[X] → T thỏa mãn các điều kiện sau.

Chứng minh cho thấy ánh xạ ϕ: A[X] → T được xác định bởi ϕ(a0 + a1X + + anXn) = ψ(a0) + ψ(a1)t + + ψ(an)tn là một đồng cấu vành thỏa mãn định lý Đồng thời, giả sử có một đồng cấu vành ϕ0: A[X] → T thỏa mãn các điều kiện tương tự.

Khi đó với mọi a 0 +a 1 X + +a n X n ∈ A[X] ta có: ϕ 0 (a 0 +a 1 X+ .+a n X n ) = ψ(a 0 )+ψ(a 1 )t+ .+ψ(a n )t n = ϕ(a 0 +a 1 X+ .+a n X n ).

Do đó ϕ 0 = ϕ và định lý được chứng minh.

Với mỗi f ∈ A[X] ta ký hiệu ϕ(f) bởi f(t) và gọi là giá trị của f tại

5.1.1.7 Hệ quả Cho A[X] và A[Y] là các vành đa thức Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu vành ϕ : A[X] → A[Y] sao cho ϕ(X) = Y và ϕ(a) = a với mọi a ∈ A.

Chứng minh Theo Định lý 5.1.1.6, tồn tại các đồng cấu vành ϕ : A[X] →

A[Y] sao cho ϕ(X) = Y và ϕ(a) = a với mọi a ∈ A và ϕ 0 : A[Y] → A[X] sao cho ϕ 0 (Y) = X và ϕ(a) = a với mọi a ∈ A Khi đó ϕϕ 0 = 1 A[Y ] và ϕ 0 ϕ = 1 A[X] Do đó ϕ là một đẳng cấu vành.

Như vậy vành đa thức A[X] là xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu.

Phép chia với dư, thuật toán Euclid tìm UCLN

5.1.2.1 Định lý Giả sử R là một miền nguyên và g ∈ R[X] là một đa thức với hệ tử cao nhất khả nghịch trong vành R Khi đó, với mỗi đa thức f ∈ R[X], tồn tại duy nhất một cặp đa thức q, r ∈ R[X] sao cho f = gq+r, trong đó r = 0 hoặc deg r < deg g nếu r 6= 0.

Chứng minh Giả sử f = a 0 +a 1 X + ã ã ã+ a n X n , g = b 0 +b 1 X +ã ã ã+b m X m , trong đó anbn 6= 0) và bm khả nghịch trong vành R Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo n.

Nếu n = 0, m = 0 thì ta đặt r = 0, q = a0b −1 0 Nếu n = 0, m > 0 thì ta đặt q = 0, r = f.

Giả sử n > 0 và định lý đã được chứng minh cho mọi đa thức f có bậc nhỏ hơn n Khi đó, nếu m > n, ta chọn q = 0 và r = f Ngược lại, nếu m ≤ n, ta có thể biểu diễn f dưới dạng f = f - (anb^(-1)m)X^(n-m)g, với bậc của f nhỏ hơn n Theo giả thiết quy nạp, tồn tại các đa thức q và r thỏa mãn f = qg + r, trong đó r = 0 hoặc bậc của r nhỏ hơn m nếu r khác 0 Bằng cách đặt q = anb^(-1)mX^(n-m) + q, ta có thể tìm được cặp đa thức q và r thỏa mãn điều kiện f = gq + r, trong đó r = 0 hoặc bậc của r nhỏ hơn bậc của g nếu r khác 0.

Để chứng minh tính duy nhất của cặp q, r, ta giả sử q0 và r0 là các đa thức thỏa mãn f = gq0 + r0, với r0 = 0 hoặc deg r0 < deg g nếu r0 ≠ 0 Khi đó, r - r0 = (q0 - q)g, và nếu q ≠ q0 thì deg(r - r0) ≥ deg g, mâu thuẫn với giả thiết degr < degg và degr0 < degg Do đó, q = q0 và dẫn tới r = r0, hoàn tất chứng minh định lý.

Từ định trên ta có ngay hệ quả sau.

5.1.2.2 Hệ quả Giả sử K là một trường, f, g ∈ K[X] là hai đa thức khác không Khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức q, r ∈ K[X] sao cho f = gq+r,trong đó r = 0 hoặc deg r < deg g nếu r 6= 0.

5.1.2.3 Chú ý Như vậy, nếu K là một trường thì vành đa thức K[X] là một vành Euclid với ánh xạ Euclid: δ : K[X]\ {0} → N xác định bởi δ(f(X)) = degf(X) Do đó, theo Định lý 4.1.3.3 và Mệnh đề 4.2.2.1, K[X] cũng là vành chính và vành nhân tử hóa Vì vậy, K[X] có đầy đủ các tính chất của vành chính, vành Euclid và vành nhân tử hóa như đã trình bày trong Chương 4 Chẳng hạn, mọi iđêan của vànhK[X]đều là iđêan chính, mỗi đa thức khác không trong vành K[X] đều có phân tích duy nhất thành tích của các đa thức bất khả quy, có thể tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức bằng thuật toán Euclid.

Nghiệm của đa thức

5.1.3.1 Định nghĩa Cho đa thức f(X) = a 0 + a 1 X + .+a n X n ∈ R[X] và phần tử c ∈ R Khi đó:

(1) Nếu f(c) := a 0 +a 1 c+ .+ a n c n = 0 thì c được gọi là một nghiệm (trong vành R) của đa thức f(X);

(2) Việc tìm tất cả các nghiệm trong vành R của đa thức f(X) được gọi là giải phương trình đại số f(X) = 0 trong vành R.

5.1.3.2 Mệnh đề (Định lý Bézout) Giả sử R là một miền nguyên, c ∈

R, f(X) ∈ R[X] Khi đó dư của phép chia f(X) cho X −c là f(c).

Chứng minh Vì deg (X−c) = 1, theo Định lý 5.1.2.1 thì dư trong phép chia f(X) cho X −c hoặc bằng 0 hoặc là một đa thức bậc 0 Do đó f(X) = (X −c)q(x) +r, với r ∈ R Thay X = c ta được r = f(c).

Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau đây.

5.1.3.3 Hệ quả Giả sử R là một miền nguyên Khi đó c ∈ R là nghiệm của đa thức f(X) ∈ R[X] khi và chỉ khi f(X) chia hết cho X −c.

Sơ đồ Hoocne Cho R là một miền nguyên, c ∈ R và f(X) = a 0 X n +a 1 X n−1 + .+a n−1 X +a n ∈ R[X].

Giả sử q(X) =b 0 X n−1 +b 1 X n−2 + .+b n−2 X +b n−1 là thương và r ∈ R là dư của phép chia f(X) cho X −c Khi đó ta có f(X) = q(X)(X −c) +r. Đồng nhất hệ tử hai vế ta được

 b 0 = a 0 bi = ai+ cbi−1, i= 1, , n−1 r = an+ cb n−1

Do đó ta có thể dùng sơ đồ sau để tính b i và r và gọi là sơ đồ Hoocne: a0 a1 a2 an c b 0 b 1 b 2 r trong đó

 b 0 = a 0 b i = a i + cb i−1 , i= 1, , n−1 r = a n + cb n−1 5.1.3.4 Ví dụ 1) Tìm thương và dư của phép chia:f(X) = X 4 −2X 2 +X−1 cho X −2

2) Biểu diễn f(X) =X 4 −2X 2 +X −1 qua luỹ thừa của X −2

5.1.3.5 Định nghĩa Cho m là một số nguyên dương Phần tử c ∈ R được gọi là nghiệm bội cấp m của đa thức f(X) ∈ R[X] nếu f(X) chia hết cho(X −c) m và f(X) không chia hết cho (X −c) m+1

Nếu m = 1 thì c được gọi là nghiệm đơn.

Nếu m = 2 thì c được gọi là nghiệm kép.

5.1.3.6 Định lý Giả sử K là một trường Phần tử c ∈ K là nghiệm bội của đa thức f(X) ∈ K[X] khi và chỉ khi f 0 (c) = 0.

Chứng minh Giả sửc là nghiệm bội củaf(X) Khi đó f(X) = (X−c) k g(X) vớik > 1vàg(X) ∈ K[X].Do đóf 0 (X) = (X−c) k g 0 (X)+k(X−c) k−1 g(X). Suy ra f 0 (c) = 0.

Ngược lại, nếu f 0 (c) = 0 Ta viết f(X) = (X − c) k g(X) với k ≥ 0 và g(X) ∈ K[X] Khi đó nếu k = 0 hoặc k = 1 thì f 0 (c) 6= 0 Do đó k > 1 hay c là một nghiệm bội của f(X).

Đặc số của một trường K là số nguyên không âm nhỏ nhất p sao cho p1 = 0, trong đó 1 là đơn vị của trường K Trường hợp đặc số của trường là một số nguyên tố nếu trường đó có đặc số hữu hạn Đặc biệt, trường các số thực R và trường các số phức C có đặc số 0, thể hiện tính chất đặc biệt của chúng trong đại số.

5.1.3.7 Mệnh đề (1) Nếu trường K có đặc số 0 và f(X) ∈ K[X] sao cho f 0 (X) = 0 thì f(X) ∈ K.

(2) Giả sử trường K có đặc số p > 0 và cho đa thức f(X)a 0 +a 1 X + .+a n X n ∈ K[X].

Khi đó f 0 (X) = 0 khi và chỉ khi mọi chỉ số k mà a k 6= 0 đều chia hết cho p.

Chứng minh (1) Nếu trường K có đặc số 0 thì đạo hàm các hạng tửa k X k là ka k X k−1 6= 0nếua k 6= 0.Do đó nếuf 0 (X) = 0thìa k = 0vớik = 1,2, , n Vậy f(X) =a 0 ∈ K.

Giả sử đặc số của trường K là p lớn hơn 0, khi đó đạo hàm của các hạng tử a k X k sẽ bằng 0 khi và chỉ khi p chia hết cho k, với điều kiện a k khác 0 Điều này có nghĩa là f 0 (X) sẽ bằng 0 khi và chỉ khi p chia hết cho k đối với mọi k mà a k khác 0.

5.1.3.8 Định lý Giả sử R là một miền nguyên và f(X) ∈ R[X] là một đa thức bậc n ≥ 1 Khi đó f(X) có không quá n nghiệm trên R.

Giả sử đa thức f(X) có nhiều hơn n nghiệm, cụ thể là n+1 nghiệm c1, c2, , cn+1 Khi đó, f(X) sẽ chia hết cho (X−c1)(X−c2) (X−cn+1), dẫn đến tồn tại một đa thức q(X) trong K[X] sao cho f(X) = (X−c1)(X−c2) (X−cn+1)q(X) Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn vì bậc của các đa thức ở hai vế là khác nhau.

5.1.3.9 Chú ý (1) Định lý trên không đúng nếu R không phải là miền nguyên Chẳng hạn, đa thức f(X) =X 2 + 14 ∈ Z 15 [X] có bậc 2 nhưng có 4 nghiệm là 1,4,11,14.

Khi đa thức f(X) có bậc lớn hơn 1 và thuộc trường K, nếu f(X) bất khả qui trên K thì nó sẽ không có nghiệm trên K Tuy nhiên, điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng, chẳng hạn như đa thức f(x) = (x^2 + 1)(x^4 + 5) không có nghiệm trên trường số thực R nhưng vẫn có thể qui về dạng đơn giản hơn trên R Đặc biệt, trong trường hợp bậc của f(X) bằng 3, thì f(X) bất khả qui trên K khi và chỉ khi nó không có nghiệm trên K.

5.1.3.10 Định lý (Công thức Viet) ChoK là một trường và đa thức f(X) a0X n +a1X n−1 + .+an ∈ K[X] Giả sử f(X) có n nghiệm trên trường K là c1, c2, , cn Khi đó

Chứng minh Do c 1 , c 2 , , c n là các nghiệm của f(X) nên f(X) viết được dưới dạng f(X) =a 0 (X −c 1 )(X −c 2 ) .(X −c n )

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

1 Trong vành đa thức Z3[x] hãy tìm tất cả các đa thức có bậc là:

2 Trong vành đa thức Z5[x], hãy thực hiện các phép nhân sau đây:

3 Trong vành đa thức Z 6 [x], hãy thực hiện các phép nhân:

4 Trong vành đa thức Z5[x], hãy thực hiện các phép chia f(x) cho g(x) với f(x) = (−1x 3 + 2x 2 + 2x+ 1) và g(x) = −2x 2 + 2x−1.

5 Trong vành đa thức Z7[x], hãy xác định p để đa thức 1x 3 +px+ 5 chia hết cho đa thức 1x 2 + 5x+ 6.

6 Tìm tất cả các vành Zn mà trong đó đa thức 2x 5 −20x+ 24 chia hết cho đa thức 1x 2 + 1x+ 2.

7 Trong vành Q[x], chứng minh rằng đa thức (x+ 1) 2n −x 2n −2x−1 chia hết cho các đa thức sau đây:

8 Trong vành R[x], tìm điều kiện của số tự nhiên n để:

(1) Đa thức f(x) = x 2n +x n + 1 chia hết cho đa thức g(x) =x 2 +x+ 1.

(2) Đa thức f(x) = (x+1) n +x n +1chia hết cho đa thứcg(x) = x 2 +x+1.

9 Trong vành R[x], chứng minh rằng:

(1) Đa thức f(x) = (1−x n )(1 +x) −2nx n (1−x) −n 2 x n (1−x) 2 chia hết cho (1−x) 3 với n nguyên ≥ 2;

(2) Đa thức x 300 + x 31 +x 32 chia hết cho x 2 +x+ 1.

10 Tìm đa thức hệ số thực có bậc nhỏ nhất sao cho chia cho (x−1) 2 còn dư 2x và chia cho (x−2) 3 còn dư 3x

11 Tìm ước chung lớn nhất của các đa thức f(x) = x 3 + x 2 −x −1 và g(x) =x 4 + x 3 −3x 2 −4x−1.

12 Cho đa thức f(x) ∈ Z[x] Chứng minh rằng:

(a) f(x) không có nghiệm nguyên nếu f(0) và f(1) đều là các số lẻ; (b) Nếu phân số tối giản p/q là nghiệm của đa thức f(x) thì p−q là ước của f(1) và p+q là ước của f(−1).

13 Trong vành đa thức R[x] cho iđêan I sinh bởi x.

(2) Chứng minh rằng vành thương R[x]/I ∼= R.

14 Trong vành Z[x] cho I là iđêan sinh bởi hai phần tử x và 2.

(1) Chứng minh rằng I là tập hợp gồm tất cả các đa thức có hệ số tự do chẵn.

(3) Chứng minh rằng Z[x] không phải là vành chính.

Vành đa thức nhiều ẩn

Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Cho n là một số nguyên dương Vành đa thức n ẩn được định nghĩa bằng qui nạp như sau: giả sử R là vành giao hoán, có đơn vị Đặt:

Vành đa thức của n ẩn là một cấu trúc đại số được ký hiệu là R[x 1, x 2, , x n], trong đó x 1, x 2, , x n là các biến lấy từ vành R Mỗi phần tử của vành đa thức này được gọi là một đa thức n ẩn, thường được ký hiệu là f(x 1, x 2, , x n) hoặc g(x 1, x 2, , x n).

Như vậy, mỗi đa thức f(x1, x2, , xn) ∈ R[x1, x2, , xn] được viết dưới dạng f(x1, x2, , xn) =c1x a 1 11 x a n 1n + .+cmx a 1 m1 x a n mn , trong đóc i ∈ R, a ij ∈ N, i= 1, , m, j = 1, , n,(a i1 , a in ) 6= (a k1 , a kn ) với i 6= k.

Mỗi đơn thức của n biến x₁, , xₙ được biểu diễn dưới dạng x₁^a₁₁ * * xₙ^aₙn, trong đó số nguyên a₁₁ + + aₙn được gọi là bậccủa đơn thứcx₁^a₁₁ * * xₙ^aₙn Hai đơn thứcx₁^a₁₁ * * xₙ^aₙn và x₁^a₁₁ * * xₙ^aₙn được coi là bằng nhau nếu tất cả các chỉ số a₁₁, , aₙn đều bằng nhau.

Một từ được định nghĩa là biểu thức có dạng c i x a 1 i1 x a n in, trong đó c i là hệ số và x a 1 i1 x a n in là đơn thức của từ Hai từ được coi là đồng dạng nếu chúng có đơn thức giống nhau, và được coi là bằng nhau nếu chúng đồng dạng và có cùng hệ số Bậc của một từ khác 0 được xác định là bậc của đơn thức tương ứng của từ đó.

Một đa thức được định nghĩa là một tổng hữu hạn các từ Khi biểu diễn một đa thức f dưới dạng tổng của các từ đôi một không đồng dạng, cách viết đó được gọi là biểu diễn chính tắc của f Đáng chú ý, mỗi đa thức chỉ có một biểu diễn chính tắc duy nhất, không phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp của các hạng tử.

Bậc của đa thức f(x1, x2, , xn) đối với ẩn xi được xác định là số mũ cao nhất của xi trong tất cả các từ của đa thức đó Trong trường hợp ẩn xi không có mặt trong đa thức, thì bậc của nó sẽ được coi là bằng 0.

Bậc của một đa thức, còn được gọi là bậc tổng thể, được xác định là số lớn nhất trong các bậc của các từ trong đa thức đó Điều quan trọng cần lưu ý là không có định nghĩa về bậc của đa thức 0.

Một đa thức được gọi là đa thức thuần nhất bậc k nếu tất cả các từ của nó đều có cùng bậc k Đặc biệt, đa thức thuần nhất bậc nhất được gọi là đa thức tuyến tính, còn đa thức thuần nhất bậc hai được gọi là một dạng toàn phương.

Bằng cách thêm các từ 0, cho hai đa thứcf(x 1 , x 2 , , x n )vàg(x 1 , x 2 , , x n ) bao giờ ta cũng viết được chúng dưới dạng f(x 1 , x 2 , , x n ) m

Khi đó phép cộng và phép nhân trong R[x 1 , x 2 , , x n ] được thực hiện như sau: f(x1, x2, , xn)±g(x1, x2, , xn) m

Viết đa thức theo lối từ điển

Thông thường, các từ của đa thức được viết theo thứ tự lũy thừa tăng hoặc giảm theo một ẩn nào đó, nhưng trong nhiều trường hợp, người ta lại viết đa thức theo lối từ điển Để hiểu rõ hơn về cách viết này, trước hết ta cần định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên tích Đêcac, giúp chúng ta sắp xếp và tổ chức các từ của đa thức một cách khoa học và logic.

5.2.2.1 Định nghĩa Cho (a1, , an),(b1, , bn) ∈ N n Ta nói

(a 1 , , a n ) < (b 1 , , b n ) nếu tồn tại chỉ số k sao cho a k < b k và a i = b i vói mọi i < k.

5.2.2.2 Định nghĩa Cho u = ax a 1 1 x a n n và v = bx b 1 1 x b n n là hai từ Ta nói u < v nếu (a 1 , , a n ) < (b 1 , , b n ).

Ta ký hiệu Mon(U) là tập tất cả các đơn thức của vành U = R[x1, , xn] Trong tập này, hai đơn thức u, v ∈ Mon(U) được sắp xếp theo thứ tự từ điển, với quan hệ u ≤ v nếu u = v hoặc u < v Quan hệ thứ tự này là một quan hệ thứ tự toàn phần trên Mon(U), cung cấp một cách sắp xếp thống nhất và toàn diện cho các đơn thức trong vành U.

5.2.2.3 Bổ đề Các phát biểu sau là đúng:

(1) Mỗi tập con khác rỗng của Mon(U) đều có phần tử bé nhất;

(2) Nếu u ≤ v thì uw ≤vw với mọi u, v, w ∈ Mon(U).

Chứng minh (1) Giả sử E là một tập con khác rỗng của Mon(U) Nếu

Nếu tập E chỉ chứa phần tử 0, thì 0 là phần tử nhỏ nhất của E Ngược lại, nếu E không chỉ chứa phần tử 0, ta có thể xác định số a1 là bậc nhỏ nhất theo biến x1 của các đơn thức khác 0 trong E Tập con E1 của E bao gồm các đơn thức có bậc a1 theo biến x1 sẽ không rỗng Tiếp theo, ta chọn số a2 là bậc nhỏ nhất theo biến x2 của các đơn thức trong E1.

Quá trình chọn lọc các đơn thức trong tập E được thực hiện theo từng bước Bắt đầu từ tập E1, ta chọn tập con E2 gồm các đơn thức có bậc a2 theo biến x2, đảm bảo E2 không phải là tập rỗng Tiếp tục quá trình này cho đến bước thứ n, ta sẽ chọn được tập En gồm đúng một đơn thức, và đây chính là phần tử nhỏ nhất của tập E.

(2) Giả sử u = x i 1 1 x i n n , v = x j 1 1 x j n n , w = x k 1 1 x k n n là các đơn thức trong Mon(U) sao cho u < v Khi đó tồn tại số tự nhiên m ≤ n sao cho i 1 = j 1 , , i m−1 = j m−1 và i m < j m Suy ra i 1 + k 1 = j 1 + k 1 , , i m−1 + k m−1 = j m−1 +k m−1 và i m +k m < j m +k m Vì thế uw < vw.

Quan hệ thứ tự từ điển trên Mon(U) là quan hệ thứ tự toàn phần, cho phép biểu diễn mỗi đa thức f(x1, x2, , xn) ∈ R[x1, x2, , xn] thành tổng của các từ từ cao xuống thấp Từ lớn nhất trong các từ của f(x1, x2, , xn) được ký hiệu là in(f) và được gọi là từ dấu của f(x1, x2, , xn) Ví dụ, đối với đa thức f(x1, x2, x3) = 2x1x22x53 - x21x2 + 3x93 + 6, từ dấu in(f) là thành phần quan trọng nhất trong biểu diễn đa thức.

(sắp xếp theo lũy thừa tăng của x 1 ) Hệ thống số mũ của nó được sắp xếp như sau:

Vì vậy, đa thức f(x1, x2, x3) được xếp theo lối từ điển: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = −x 2 1 x 2 + 2x 1 x 2 2 x 5 3 + 3x 9 3 + 6 in(f) = −x 2 1 x 2 là từ dấu của f(x 1 , x 2 , x 3 ).

Từ Bổ đề 5.2.2.3 ta có ngay hệ quả sau.

5.2.2.4 Hệ quả Giả sử R là một miền nguyên, f, g ∈ R[x 1 , , x n ] Khi đó in(f g) = in(f)in(g).

Đa thức đối xứng

5.2.3.1 Định nghĩa ChoRlà một vành giao hoán có đơn vị vàf(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R[x 1 , x 2 , , x n ] Ta nói f(x 1 , x 2 , , x n ) là một đa thức đối xứng của n ẩn nếu: f(x 1 , x 2 , , x n ) =f(x σ(1) , x σ(2) , , x σ(n) ), với mọi hoán vị (σ(1), σ(2), , σ(n)) của (1,2, , n).

5.2.3.2 Ví dụ 1) f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 , và g(x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 , là những đa thức đối xứng hai ẩn.

2) h(x 1 , x 2 , x 3 ) =x 2 1 x 2 +x 2 2 x 3 +x 2 3 x 1 +x 1 x 2 2 +x 2 x 2 3 +x 3 x 2 1 + 2x 1 x 2 x 3 là một đa thức đối xứng ba ẩn.

Ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề sau.

5.2.3.3 Mệnh đề.Tập hợp tất cả các đa thức đối xứng của vànhR[x1, x2, , xn] là một vành con của vành R[x1, x2, , xn].

Các đa thức sau đây được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản của n ẩn:

Các đa thức đối xứng cơ bản đóng vai trò quan trọng trong đại số vì chúng cho phép biểu diễn mọi đa thức đối xứng thông qua các phép kết hợp của chúng Định lý này chỉ ra rằng bất kỳ đa thức đối xứng nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một hàm của các đa thức đối xứng cơ bản, chẳng hạn như σn = x1x2 xn, trong đó σk là đa thức đối xứng đẳng cấp bậc k.

5.2.3.4 Định lý (Định lý cơ bản của đa thức đối xứng)Giả sửf(x1, x2, , xn) ∈ R[x1, x2, , xn] là một đa thức đối xứng khác 0 Khi đó tồn tại duy nhất một đa thức ϕ ∈ R[x1, x2, , xn] sao cho f(x1, x2, , xn) =h(σ1, , σn), trong đó σ 1 , , σ n là các đa thức đối xứng cơ bản.

Chứng minh Giả sử in(f) = a i x i 1 1 x i n n , trong đó a i ∈ R Trước hết, ta khẳng định i 1 ≥ i 2 ≥ ≥ i n Thật vậy, với mỗi số tự nhiên m thỏa mãn

Khi thay thế x m bằng x m+1 và x m+1 bằng x m, đồng thời giữ nguyên các x k với mọi k khác m và m+1, từ cao nhất a i x i 1 1 x i n n của f(x 1 , x 2 , , x n ) trở thành từ aix i 1 1 x m+1 m x i m+1 m x i n n Do f(x1, x2, , xn) là đa thức đối xứng, từ này cũng là một từ của f(x1, x2, , xn) và không thể lớn hơn in(f) Điều này dẫn đến kết luận rằng im ≥ im+1 với mọi m.

Tiếp theo, ta cần xác định từ dấu của đa thức σ 1 i 1 −i 2 σ i 2 2 −i 3 σ n−1 i n−1 −i n σ n i n , trong đó σ1, , σn là các đa thức đối xứng cơ bản Ta có in(σ i 1 1 −i 2 ) = x i 1 1 −i 2 in(σ i 2 2 −i 3 ) = x i 1 2 −i 3 x i 2 2 −i 3 in(σ i n−1 n−1 −i n ) =x i 1 n−1 −i n x i 2 n−1 −i n x i n−1 n−1 −i n in(σ i n n ) = x i 1 n x i 2 n x i n n

Do đó theo Hệ quả 5.2.2.4, từ dấu của σ 1 i 1 −i 2 σ 2 i 2 −i 3 σ n−1 i n−1 −i n σ n i n là x i 1 1 x i n n Đặt f 1 (x 1 , x 2 , , x n ) = f(x 1 , x 2 , , x n )−a i σ 1 i 1 −i 2 σ i 2 2 −i 3 σ n−1 i n−1 −i n σ n i n

Khi đó in(f 1 ) < in(f) vì σ 1 i 1 −i 2 σ 2 i 2 −i 3 σ n−1 i n−1 −i n σ n i n là đa thức đối xứng, dẫn đến f 1 (x 1 , x 2 , , x n ) cũng là đa thức đối xứng Giả sử in(f 1 ) =a j x j 1 1 x j n n với a j ∈ R, tại đó j 1 ≥ j 2 ≥ ≥ j n Từ dấu của σ j 1 1 −j 2 σ 2 j 2 −j 3 σ n−1 j n−1 −j n σ n j n là x j 1 1 x j n n , ta có thể đặt f 2 (x 1 , x 2 , , x n ) =f 1 (x 1 , x 2 , , x n )−a j σ 1 j 1 −j 2 σ 2 j 2 −j 3 σ n−1 j n−1 −j n σ n j n.

Quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi đạt được đa thức đối xứng Khi đó, đa thức đối xứng sẽ có bậc nhỏ hơn so với đa thức ban đầu, tức là in(f 1 ) < in(f) Điều này dẫn đến hệ quả là j t ≤ i 1 với mọi t = 1, , n Do chỉ có hữu hạn bộ số nguyên không âm (k 1 , , k n ) thỏa mãn k t ≤ i 1 với mọi t = 1, , n, nên quá trình này phải kết thúc sau một số hữu hạn bước.

Vì vậy, đến bước thứ s nào đó ta có f s (x 1 , x 2 , , x n ) =f s−1 (x 1 , x 2 , , x n )−a k σ 1 k 1 −k 2 σ k 2 2 −k 3 σ k n−1 n−1 −k n σ n k n = 0, trong đó in(f s−1 ) =a k x k 1 1 x k n n Do đó f(x1, x2, , xn) = aiσ 1 i 1 −i 2 σ 2 i 2 −i 3 σ n−1 i n−1 −i n σ n i n +ajσ j 1 1 −j 2 σ 2 j 2 −j 3 σ n−1 j n−1 −j n σ n j n

Biểu diễn của f(x1, x2, , xn) dưới dạng một đa thức của σ1, , σn là duy nhất Giả sử có hai biểu diễn khác nhau, g1(σ1, , σn) và g2(σ1, , σn), ta đặt g(x1, x2, , xn) = g1(σ1, , σn) - g2(σ1, , σn) để chứng minh tính duy nhất của biểu diễn này.

Khi đa thức g(x1, x2, , xn) được biểu diễn chính tắc và khác 0, thì ít nhất một hệ số ai phải khác 0 Điều này dẫn đến đa thức g(σ1, , σn) = Paiσ1i1 σnin (xét như đa thức theo biến x1, x2, , xn) trở thành đa thức 0 Đặc biệt, nếu (i1, , in) và (j1, , jn) là hai phần tử khác nhau của Nn, thì hai từ dấu tương ứng của σ1i1 σnin và σj1j1 σnjn sẽ không đồng dạng.

Khi xét đa thức đối xứng dạng f(x1, , xn) = x m1 + + x mn, ta có thể biểu thị chúng qua các đa thức đối xứng cơ bản Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng kết quả cho phép biểu diễn các đa thức đối xứng thông qua các đa thức đối xứng cơ bản Ngoài ra, khi chứng minh định lý, ta có thể dựa trên việc xét từ dấu cao nhất trong các từ dấu của các hạng tử aiσi1 1 σin in của g(σ1, , σn) để kết luận rằng đa thức g(σ1, , σn) là đa thức khác 0, dẫn đến mâu thuẫn và chứng minh định lý hoàn toàn.

5.2.3.5 Định lý (Công thức Newton-Girard) Trong vành R[x 1 , x 2 , , x n ] cho đa thức

Chứng minh Lấy y là biến không xác định Khi đó, theo công thức Viet ta có

Chia hai vế đẳng thức trên cho y n và đặt z = 1/y ta có

Ký hiệu σ 0 (z) là đạo hàm của σ(z) Khi đó σ 0 (z) = − n

Với 1 ≤k ≤ n, đồng nhất các hệ số của z k ở hai vế của đẳng thức trên ta có

Với k > n, đồng nhất hệ số của z k ta được

5.2.3.6 Ví dụ Áp dụng Công thức Newton-Girard, biểu thị đa thức đối xứng P3 = x 3 1 +x 3 2 +x 3 3 qua các đa thức đối xứng cơ bản, ta có

5.2.3.7 Chú ý Cho f(x 1 , x 2 , , x n ) là một đa thức đối xứng Ký hiệu S n là tập tất cả các hoán vị củanphần tử1.2, , n Khi đó nếua i x i 1 1 x i n n là một từ của f(x 1 , x 2 , , x n ) thì a i x i π(1) 1 x i π(n) n cũng là từ của f(x 1 , x 2 , , x n ) với mọi π ∈ S n Ký hiệu S(a i x i 1 1 x i n n ) là tổng các từ của f(x 1 , x 2 , , x n ) có dạng a i x i π(1) 1 x i π(n) n với π ∈ S n Khi đó S(a i x i 1 1 x i n n ) là đa thức đối xứng thuần nhất bậc i 1 + + i n Hơn nữa, f(x 1 , x 2 , , x n ) phân tích được thành tổng của các đa thức đối xứng thuần nhất dạng S(a i x i 1 1 x i n n ),trong đó a i x i 1 1 x i n n là một từ của f(x 1 , x 2 , , x n ) Do đó để biểu diễn f(x1, x2, , xn) qua các đa thức đối xứng cơ bản ta chỉ cần biểu diễn các đa thức đối xứng thuần nhất S(aix i 1 1 x i n n ) qua các đa thức đối xứng cơ bản. Phương pháp sau gọi làphương pháp hệ tử bất định Chof(x1, x2, , xn) ∈ R[x1, x2, , xn]là một đa thức đối xứng thuần nhất vớiin(f) = αx a 1 1 x a n n Vậy deg f(x1, x2, , xn) = a1 + + an Vì các đa thức đối xứng cơ bản σ1, , σn là thuần nhất với bậc theo thứ tự tương ứng là 1, 2, , n nên đa thức ασ 1 a 1 −a 2 σ 2 a 2 −a 3 σ a n n cũng là đa thức thuần nhất và có bậc là a 1 −a 2 + 2(a 2 −a 3 ) + .+na n = a 1 +a 2 + .+ a n

Đa thức f1(x1, x2, , xn) = f(x1, x2, , xn) - ασ a1 1 - a2 σ2 a2 - a3 σn an cũng là một đa thức thuần nhất và có bậc a1 + a2 + + an nếu nó khác 0 Khi sắp xếp đa thức f1(x1, x2, , xn) theo lối từ điển, ta có thể giả định rằng in(f1) = βx b1 1 x bn n, tại đó b1 + a2 + + bn = a1 + a2 + + an.

Theo chứng minh của Định lý 5.2.3.4 ta có một dãy hữu hạn các phần tử của

(a1, , an) > (b1, , bn) > (c1, , cn) > thỏa mãn tính chất a 1 ≥ ≥ a n ; b 1 ≥ ≥ b n ; Vậy ta có hệ thống số mũ

• ti1 ≥ti2 ≥ ≥ tin, với mọi i = 1, , m.

• ti1 +ti2 + +tin = a1 +a2 + +an với mọi i = 1, , m.

Theo Định lý 5.2.3.4 ta có f 1 (x 1 , x 2 , , x n ) m

X i=1 r i σ t 1 i1 −t i2 σ 2 t i2 −t i3 σ n t n , với ri ∈ R, r1 = hệ tử của hạng tử cao nhất của f.

5.2.3.8 Ví dụ 1) Trở lại ví dụ trên, áp dụng phương pháp hệ tử bất định, biểu thị đa thức f(x1, x2, x3) = x 3 1 + x 3 2 + x 3 3 qua các đa thức đối xứng cơ bản.

- Trước hết ta xác định in(f) = x 3 1 , tương ứng với bộ số mũ cao nhất là

- Ta có hệ thống số mũ M = {(3,0,0),(2,1,0),(1,1,1)}.

- Do đó f(x1, x2, x3) = r1σ 1 3−0 σ 2 0−0 σ 0 3 +r2σ 2−1 1 σ 1−0 2 σ 0 3 +r3σ 1 1−1 σ 2 1−1 σ 3 1 = σ 1 3 +r2σ1σ2+r3σ3, ở đâyr1 = 1(hạng tử cao nhất của f), còn r2, r3 tìm bằng phương pháp hệ số bất định Gán chox1 = x2 = 1, x3 = 0ta được σ1 = 2, σ2 = 1, σ3 = 0, f = 2.

Suy ra r 2 = −3 Tương tự gán x 1 = x 2 = 1, x 3 = −1 ta tìm được r 3 = 3. Vậy f(x 1 , x 2 , x 3 ) = σ 1 3 −3σ 1 σ 2 + 3σ 3

Đối với đa thức đối xứng không thuần nhất f(x1, x2, x3) = x31 + x32 + x33 + x21x2x3 + x1x22x3 + x1x2x23, ta có thể tách f thành tổng của hai đa thức đối xứng thuần nhất Cụ thể, f(x1, x2, x3) = S(x31) + S(x21x2x3), trong đó S(x31) = x31 + x32 + x33 và S(x21x2x3) = x21x2x3 + x1x22x3 + x1x2x23 Theo đó, S(x31) có thể biểu diễn dưới dạng σ13 - 3σ1σ2 + 3σ3.

Biểu thị đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng sơ cấp có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các bài toán đại số sơ cấp, bao gồm giải phương trình, hệ phương trình, phân tích đa thức thành nhân tử và chứng minh bất đẳng thức Ngoài ra, phương pháp này cũng giúp tìm nghiệm nguyên trong nhiều trường hợp.

5.2.3.9 Ví dụ Tính giá trị của biểu thức f(x1, x2, x3) = (x1+x2+x3) 4 +x 3 1 +x 3 2 +x 3 3 +−2x 2 1 x2x3−2x1x 2 2 x3−2x1x2x 2 3 , trong đó x 1 , x 2 , x 3 là ba nghiệm của phương trình x 3 +x 2 −3x+ 2 = 0.

Nhận xét rằng f(x 1 , x 2 , x 3 ) là một đa thức đối xứng đối với ba ẩn Theo kết quả ở Ví dụ 5.2.3.8, ta có f(x 1 , x 2 , x 3 ) =σ 1 4 +σ 1 3 −3σ 1 σ 2 + 3σ 3 +σ 1 σ 3

Theo Định lý Viet, ta có σ 1 = −1, σ 2 = −3, σ 3 = −2 Thay vào ta được f(x 1 , x 2 , x 3 ) = −19.

5.2.3.10 Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

Theo công thức Viet, x 1 , x 2 , x 3 là ba nghiệm của phương trình f(x) = x 3 −σ 1 x 2 +σ 2 x−σ 3

Do đó, chúng ta cần tính toán σ1, σ2, σ3 Theo Định lý 5.2.3.4, vì vế trái của các phương trình trong hệ trên đều là các đa thức đối xứng của ba ẩn x1, x2, x3, nên chúng đều có thể biểu thị được qua σ1, σ2, σ3.

Từ phương trình đầu tiên ta có σ1 = 1 hoặc σ1 = −1 Nếu σ1 = −1 thì σ2 = 5/3 ∈/ Z nên loại trường hợp này Do đó σ1 = 1 Khi đó σ2 = σ3 = −1.

Vì vậy, x1, x2, x3 là ba nghiệm của phương trình f(x) = x 3 −x 2 −x+ 1.

Ta có f(x) = (x−1) 2 (x+ 1) Vậy hệ có 3 nghiệm nguyên là

15 Trong vành đa thức hai biến hệ số thực R[x, y] cho I là tập hợp các đa thức không chứa hệ số tự do.

(1) Chứng minh rằng I là một iđêan của vành R[x, y]

(2) Chứng minh rằng vành thương R[x, y]/I là một trường.

16 Biểu thị các đa thức đối xứng sau theo các đa thức đối xứng sơ cấp

17 Giải các hệ phương trình sau

Đa thức bất khả quy trên các trường số

Đa thức với hệ số thực và phức

Định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng trường số phức C là trường đóng đại số, nghĩa là mọi đa thức bậc n > 0 hệ số phức đều có n nghiệm phức Điều này dẫn đến kết quả là các đa thức bất khả qui trong vành C[x] chỉ là những đa thức bậc nhất Mặc dù có tên gọi "Định lý cơ bản của đại số", nhưng đến nay vẫn chưa có chứng minh thuần túy đại số cho định lý này, và hầu hết các chứng minh đều dựa vào kiến thức về giải tích hoặc tôpô, đặc biệt là tính liên tục của các hàm đa thức với hệ số thực.

5.3.1.1 Bổ đề Mọi đa thức hệ số thực có bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực. Chứng minh Cho f(x) = a 0 +a 1 x+ .+a n x n ∈ R[x], a n 6= 0 với n là một số lẻ.

Với những giá trị dương và âm của x có giá trị tuyệt đối lớn, hàm số f(x) có xu hướng mang các giá trị trái dấu nhau Điều này cho phép chúng ta xác định được hai số thực a và b, trong đó f(a) < 0 và f(b) > 0 Do tính liên tục của hàm số f(x), chắc chắn sẽ tồn tại một số thực c nằm trong khoảng giữa a và b sao cho f(c) = 0.

5.3.1.2 Bổ đề Mọi đa thức bậc hai ax 2 + bx + c hệ số phức đều có hai nghiệm phức.

Chứng minh Gọi ω 1 và ω 2 là hai căn bậc hai của b 2 −4ac Hai nghiệm của đa thức đã cho là −b+ω 2a 1 và −b+ω 2a 2

Chứng minh của bổ đề này đòi hỏi sự tồn tại của trường phân rã của một đa thức, tuy nhiên do giới hạn của giáo trình, chúng ta không thể trình bày chi tiết vấn đề này và tạm thời công nhận bổ đề này là đúng.

5.3.1.3 Bổ đề Mọi đa thức bậc dương với hệ số thực có ít nhất một nghiệm phức.

5.3.1.4 Định lý (Định lý cơ bản của đại số) Mọi đa thức bậc dương với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức.

Chứng minh Giả sử f(x) =a0 +a1x+ .+anx n là một đa thức bậc n >0 với hệ số phức Đặt f(x) = a0 +a1x+ .+anx n , với a i là liên hợp của a i , i = 0, , n Xét đa thức g(x) = f(x)f(x).

Ta có g(x) = b 0 +b 1 x+ .+ b 2n x 2n , với b k = P i+j=k a i a j , k = 0,1, ,2n Vì b k = P i+j=k a i a j = b k nên các hệ số b k là thực Theo Bổ đề 5.3.1.3, g(x) có ít nhất một nghiệm phức z = s+it g(z) = f(z)f(z) = 0.

Do đó f(z) = 0 hoặc f(z) = 0 Nếu f(z) = 0 thì a 0 +a 1 z + .+a n z n a 0 + a 1 z + + a n z n = 0, tức f(z) = 0 Như vậy z hoặc z là nghiệm của f(x).

Từ định lý trên ta có ngay các hệ quả sau.

5.3.1.5 Hệ quả Đa thức f(x) ∈ C[x] là bất khả quy trên C nếu và chỉ nếu degf(x) = 1.

5.3.1.6 Hệ quả Mọi đa thức bậc n > 0 với hệ số phức đều có n nghiệm phức.

5.3.1.7 Chú ý Giả sử f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n là một đa thức hệ số thực có nghiệm phức z = s + it Khi đó z = s − it cũng là nghiệm của f(x) Thật vậy, do f(z) = a0 + a1z + + anz n = 0 nên f(z) a0 +a1z + .+anz n = a0 + a1z + + anz n = 0 Suy ra f(z) = 0 hay z là nghiệm của f(x) Do đó f(x) chia hết cho đa thức bậc hai hệ số thực g(x) = (x−z)(x−z) = x 2 −(z +z)x+zz ∈ R[x].

5.3.1.8 Hệ quả Đa thức f(x) ∈ R[x] là bất khả quy trên R nếu và chỉ nếu degf(x) = 1 hoặc degf(x) = 2 nhưng không có nghiệm thực.

Mọi đa thức bậc nhất hoặc bậc hai ax^2 + bx + c với biệt số b^2 - 4ac < 0 đều bất khả quy trong vành R[x] Ngược lại, nếu p(x) là một đa thức bất khả quy của R[x] bậc lớn hơn 1, thì p(x) không có nghiệm thực Theo Định lý 5.3.1.4, p(x) có nghiệm phức z, và do đó p(x) chia hết cho đa thức hệ số thực g(x) = x^2 - (z + z̄)x + zz̄ Từ đó, ta có thể kết luận rằng p(x) phải liên kết với g(x), tức là p(x) = ug(x) với 0 ≠ u ∈ R.

Đa thức với hệ số hữu tỷ

Nghiệm hữu tỷ của đa thức hệ số hữu tỷ

Cho f(x) = a 0 +a 1 x+ .+a n x n ∈ Q[x] Ta đặt vấn đề tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức f(x) Trước hết, ta có những nhận xét sau.

Việc tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức hệ số hữu tỷ có thể quy về việc tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức hệ số nguyên Thật vậy, quá trình này có thể được minh họa bằng ví dụ đơn giản, chẳng hạn như đa thức f(x) = 2, nơi mà việc tìm nghiệm hữu tỷ có thể được thực hiện một cách hiệu quả.

Nghiệm hữu tỷ của đa thức f(x) là nghiệm hữu tỷ của phương trình

Phương trình này tương đương với phương trình

Việc tìm nghiệm hữu tỷ của f(x) được chuyển đổi thành giải phương trình hệ số nguyên (1), giúp tìm ra nghiệm hữu tỷ của đa thức hệ số nguyên một cách hiệu quả.

Đối với một đa thức hệ số nguyên f(x) = a0 + a1x + + anxn ∈ Z[x], nếu phân số tối giản p/q là một nghiệm hữu tỷ của phương trình f(x) = 0, thì theo quy tắc, p phải chia hết cho hệ số tự do a0 và q phải chia hết cho hệ số cao nhất an Điều này được chứng minh thông qua việc thay thế p/q vào phương trình f(x) = 0, từ đó ta có a0 + a1p/q + + an(p/q)n = 0.

Từ đó ta có a0q n p, nhưng (p, q) = 1 nên a0 p Mặt khác, từ đẳng thức trên ta có anp n = −q(a n−1 + .+a1pq n−2 +a0q n−1 ) = 0.

Từ đó, ta cũng có thể suy ra rằng mọi nghiệm nguyên (nếu có) của f(x) đều là ước của hệ số tự do a0 Ngoài ra, nếu hệ số cao nhất a_n bằng 1, thì mọi nghiệm hữu tỷ của f(x) đều là nghiệm nguyên.

Từ hai nhận xét trên, việc tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức hệ số hữu tỷ luôn quy được về việc tìm nghiệm nguyên của đa thức hệ số nguyên Điều này có nghĩa là chúng ta có thể chuyển đổi một phương trình có hệ số hữu tỷ thành một phương trình tương đương có hệ số nguyên, giúp việc tìm kiếm nghiệm trở nên dễ dàng hơn.

(10x) 3 + 30(10x) + 100 = 0. Đặt y = 10x, phương trình trên trở thành g(y) =y 3 + 30y + 100 = 0.

Việc tìm nghiệm hữu tỷ của f(x) có thể được chuyển đổi thành tìm nghiệm hữu tỷ của g(y) Điều đáng chú ý là mọi nghiệm hữu tỷ của g(y) đều là nghiệm nguyên và đồng thời là ước của 100, giúp thu hẹp phạm vi tìm kiếm nghiệm hữu tỷ.

Như vậy, việc tìm nghiệm hữu tỷ của một đa thức hệ số hữu tỷ có thể được chuyển đổi thành việc tìm nghiệm nguyên của đa thức hệ số nguyên với hệ số cao nhất bằng 1, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và giải quyết vấn đề.

• Nếu α là nghiệm khác ±1 của đa thức g(x) =x n +a 1 x n−1 + .+a n ∈ Z[x] thì 1−α g(1) , g(−1) 1+α ∈ Z Thật vậy, do α là nghiệm của g(x) nên ta có g(x) = (x−α)q(x), q(x) ∈ Z[x].

Thay x = 1 và x = −1 vào ta được q(1) = 1−α g(1) , q(−1) = g(−1) 1+α ∈ Z Do q(1), q(−1) là các số nguyên nên ta có điều phải chứng minh.

• Từ các nhận xét trên đây, ta có các bước để tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức f(x) = a 0 +a 1 x+ .+a n x n ∈ Q[x] như sau.

Bước 1 Chuyển việc giải phương trình f(x) = 0 về việc giải phương trình hệ số nguyên g(x) = x n +a 0 1 x n−1 + .+a 0 n = 0.

Bước 2 Tìm các ước của hệ số tự do a 0 n

Bước 3 Tính g(1), g(−1) Giữ lại ±1 nếu chúng là nghiệm và các ước α của a 0 n sao cho 1−α g(1) , g(−1) 1+α ∈ Z.

Bước 4 Dùng sơ đồ Hoocne để kiểm tra xem các ướcα được giữ lại ở Bước

3 có phải là nghiệm của g(x) hay không.

Ví dụ Tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức f(x) =x 5 −8x 4 + 20x 3 −20x 2 + 19x−12.

Trước hết, ta nhận thấy rằng tổng tất cả các hệ số của f(x) bằng 0, điều này cho thấy x = 1 là nghiệm của f(x) Để tìm thương của phép chia f(x) cho x−1, chúng ta có thể áp dụng sơ đồ Hoocne, một phương pháp hiệu quả giúp tìm thương và số dư trong phép chia đa thức.

Ta tiếp tục tìm nghiệm của g(x) Nhận xét rằng g(c) > 0,∀c < 0 nên g(x) không có nghiệm âm Do đó ta chỉ xét các ước dương của hệ số tự do 12 là:

Để xác định các ước của hàm số g(x), chúng ta thực hiện các bước kiểm tra Với g(1) = 12 và g(−1) = 40, ta thấy rằng 1 không phải là nghiệm của hàm số Tiếp theo, chúng ta chỉ giữ lại các ước 3 và 4 vì chúng thỏa mãn điều kiện 1−α g(1) và g(−1) 1+α là các số nguyên Để kiểm tra xem 3 và 4 có phải là nghiệm của g(x) hay không, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Hoocne.

Vậy 3 và 4 là nghiệm của g(x) và do đó là nghiệm của f(x) Như vậy, f(x) có các nghiệm hữu tỷ là 1, 3, 4 và có sự phân tích f(x) = (x−1)(x−3)(x−4)(x 2 + 1). Đa thức bất khả quy trong vành Q[x]

Việc xác định xem một đa thức trong vành R[x] hoặc vành C[x] có bất khả quy hay không tương đối đơn giản vì chỉ cần dựa vào bậc của chúng, giúp quá trình kiểm tra trở nên dễ dàng và nhanh chóng hơn.

Q[x] thì ta không thể dựa vào bậc của đa thức để đánh giá tính bất khả quy của chúng.

Các đa thức bậc 2 hoặc 3 trong Q[x] bất khả quy khi và chỉ khi chúng không có nghiệm trong Q Tuy nhiên, đối với các đa thức bậc lớn hơn 3, việc có nghiệm hữu tỷ không phải là tiêu chí đánh giá tính bất khả quy Ví dụ, đa thức x^4 + 2x^2 + 1 không có nghiệm hữu tỷ nào nhưng vẫn không phải là đa thức bất khả quy Để xét tính bất khả quy của các đa thức trong Q[x], ta có thể chuyển đổi chúng thành dạng có hệ số nguyên và chỉ cần xét tính bất khả quy của các đa thức hệ số nguyên tương ứng, vì trong vành Q[x], các đa thức này là liên kết và có tính bất khả quy tương đương.

5.3.2.1 Định nghĩa Đa thức hệ số nguyên f(x) được gọi là đa thức nguyên bản nếu các hệ số của f(x) không có ước chung nào ngoài ±1.

Nếu đa thức f(x) có hệ số nguyên tùy ý và a là ước chung lớn nhất của các hệ số, thì ta có thể biểu diễn f(x) dưới dạng f(x) = af*(x), với f*(x) là đa thức nguyên bản Đối với đa thức f(x) thuộc Q[x], ta có thể viết nó dưới dạng f(x) = abf*(x), trong đó f*(x) là đa thức nguyên bản và a, b là các số nguyên nguyên tố cùng nhau.

Các số 10,3,15 không có ước chung nào ngoài ±1, nên 10x 3 + 3x + 15 là một đa thức thức nguyên bản Đối với phân số 15 1 thì 1 và 15 nguyên tố cùng nhau.

5.3.2.2 Bổ đề Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản. Chứng minh Giả sử f(x) = a0 +a1x+ .+amx m và g(x) = b 0 +b 1 x+ .+b n x n là hai đa thức nguyên bản Để chứng minh rằng f(x)g(x) là một đa thức nguyên bản, ta sẽ chứng minh các hệ số của f(x)g(x) không chia hết cho bất kỳ một số nguyên tố nào.

Giả sử p là một số nguyên tố tùy ý, không phải là ước chung của các số a0, a1, , am và cũng không phải là ước chung của các số b0, b1, , bm Tuy nhiên, nếu p là ước chung của a0, , a r−1 và b0, , b s−1 nhưng không phải là ước của ar và bs, thì hệ số cr+s của đa thức tích f(x)g(x) sẽ được xác định bởi công thức: cr+s = ( .+a r+s b s+1 ) +a r b s + (a r+1 b s+1 + ).