Trang 7 CHƯƠNG ITẬP HỢP VÀ QUAN HỆ§1.. TẬP HỌP VÀ ÁNH XẠ1.. Mộttập hợp thuộc loại đđ gọi là tập họp hai p h ầ n tứ.Người ta cũng định nghĩa như vậy tập hợp ba bốn.. Các tập hợp đó cùng v
CK.0000071025 ÃUÂN ỐÍNH y v '' BẠI SO DẠI CIJONG JYEN lỆU NHÀ XUẤT BẦN GIÁO DỤC VIỆT NAM HOÀNG XN SÍNH lẠi $í lẠi aHMc (Tái bàn ìán tkứm uài bốn) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM Chịu trách nhiệm xuất bán: Qiủ tịch Hội đồng Thành viên kiêm Tổng Giám đốc NGƠ TRÂN ÁI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập v ũ VÃN HÙNG Tổ chức bán tháo chịu trách nhiệm nội dung: Phó Tổng biên tập NGƠ ÁNH TƯYET Giám đốc Cơng ty CP Sách ĐH-DN NGƠ THỊ THANH BÌNH Biên tập lần đàu tái bàn: TRẦN PHOÍNG dưng Biên tập lã thuật: BÙI CHÍ HIEU Sửa bàn in: HỒNG D ỄM Chẻ bản: PHÒNG CHẾ BẢN (NXB GIÁO DỤC VIỆT NAM) LỊ I N Ĩ I ĐẦU C ho x u ấ t b n lẩ n t h ứ n h ấ t Tập I I hàu nhu dộc lập tập I, không k ề dến sổ khái niệm n h u hoán vị, phép thế, m a trận , m m ột dõi kh i đè cập dến T h y vậy, vè m ặ t ngôn ngữ k ỉ hiệu lỉ thuyết tãp họp, tập I I trung thành uới tập I Ị dãy chúng tơi khơng làm việc thuyết m in h từ ng chuơng, bạn đọc có th ể xem bàn thuyết m in h chương trin h Đại só cao ccíp cùa Bộ Giáo dục Sau mỏi § chương, bạn dọc có nhừng tap đé hiểu sâu lí thuvết rèn luyện k i none tỉn h toán, hiểu rộng lỉ thuyết hơn, với m ột số khái niêm m ời dưa vào tập Mỗi văn đề nhác lại dược thich chương, tiết, m ục vẩn d ề dua vào, chẳng hạn ch §3, có nghỉa văn dè dó dã nói dến ã chương V, tiết 3, m ục N ếu văn đề dược nhắc lại chương với vấn dè dang xét chì thích tiết m ục ; nêu laĩ tiết chi chủ thích mục Trong m ột tiết, đinh nghỉa, hổ de đ ịnh lỉ dưọc đ n h số bàng 1, 2, Cuốị d ể xãv dụng m ột giáo trình Đại số cao cấp ngày tốt hơn, rát m ong bạn dọc vui lịng chi bào thiếu sót hồn không tránh khỏi cùa sách X in cảm ơn P T S Bill H uy Hiền tổ Đại số khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội dã có nhiều dóng góp ve p h àn Bài tập H Nội ncãy 13-1-19~ Ho.AjsG XUAn Sìn h LỊ I N Ĩ I ĐẦU C ho x u ấ t b ả n lẩ n t h ứ h a i Tuy nhiều N hà xuát Giáo dục đề nghị cho tái sách Đại số cao cáp tập II, chúng tơi từ chối đá có Đại số S ố học giáo sư N gô Thúc Lanh N hư ng trĩnh dạy học, tháy Dại số cao cáp tập I I dược sinh viên trường Dại học Sư phạm dùng d ể ơn thi, cịn sinh viên trường Cao đàng Sư phạm lại dùng tài liệu chỉnh khóa, chúng tơi nhận lời vói N hà xuất Giáo dục cho in lại sách Trong sách tái làm việc sau : 1) Chữa lại m ột số chứng m in h hay p h t biểu đ ịn h lí cho ngấn gọn hơn, hay khơng thừa 2) Cho thêm §3 chương I, nói sơ lược vè tiên đề lí thuyết tập họp, m ột dièu cần thiết cho người g iả n g củng cần thiết cho sinh viên có trí tị mị khoa học 3) Thêm vi dụ, tập ve vanh chinh vành Oclit, hai loại vành dóng vai trị quan trọng S ố học Chúng tơi trăn trọng cám ơn bạn địng nghiệp dã có ý kiến dóng góp va N hà xuăt Giáo dục đá nhiều lần d ì nghị cho tái Há Nội ngày 21-12-1994 HỒNG XN SÍNH CHƯƠNG I TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ §1 TẬP HỌP VÀ ÁNH XẠ Khái niệm tập hợp Những vật, đm tượng txỉán học tụ tập m ột tính chát chung th àn h lập tập hạp Đây không phài m ột định n ^ iỉa m m ột hỉnh ảnh trự c quan khải niệm tập hợp Li thu 3^ t tập hợp trìn h bày ỏ m ột li thuyẽt sơ cãp theo quan điểm ngây thơ Người ta nói : T ập hợp học sinh tro n g m ột lớp, tập hợp cãc láp m ột trưòng, tập hợp N số tự nhiên, tập hợp z sổ nguvẽn, tập hợp Q số hữu tỉ, tập hạp R số thực, tập hợp c số phức Các vật tro n g tậ p hợp X gọi p h n tủ X Kí hiệu z E: X đọc "i m ột phần tử cùa X" ’i thuộc X* Phủ đĩnh cùa X E X ki hiệu X X Ta tà o hai tập hơp A B ỉã bàng r viết A = B chi mọi, p h án từ th u ộ c A th ì th u ộ c B đảo lại, nghĩa q u a n hệ I € A X £ B tư n g đương N hư vặv A = B chi ch ủ n g ch ứ a p h án tử y n h n h au Bộ phận cùa tập hợp Đ ịn h n g h ỉ a Già sù A rò B ỉà hai tập hơp Th k ỉ hiệu A Z B quan sau dây vơ: moi X I £ A kéo theo X £ s Nói m ột cách khác, quan hệ A c có n g h ĩa phấn tử A thuộc B Quan hệ A c B quan hệ bao hàm , đọc "A ch ứ a tro n g B", "JB chứa A", "A m ột p h ận B ", 'A m ột tập hỢp B ” người ta viết B D A P hủ định A c B viết \à A Ợ: B hay B 7> A Đ ịn h lí Quan hệ bao hàm có tín h ch i sau : c (i) Các quan hệ A B B c c kéo theo quan hệ A c c (ii) Muốn có A = B càn đù có A c B B c A Chứng minh, (i) Ta lấy m ột p h ầ n tử tù y ý X £ A A c B nên X E B N hư ng B c c n ên X £ c Vậy với X £ A kéo theo X £ c , tứ c A c c X, (ii) H iển nhiên ■ Thường m ột p h ận A m ột tậ p hợp B xác địn h m ột tín h ch ất c đo', m p h ẩn tử củ a tậ p hợp B th ỏ a m ãn tín h ch ất c p h ần tử tậ p hợp A Ta kí hiệu sau A = { X £ £ ị X co' tỉn h c h ấ t đọc : "A tập hợp tấ t p h ần tử tín h chất c c }, X £ B mà X có VÍ dụ - X ét tập hợp z số nguyên p h ận A sô nguyên chẵn, ta viết A = { X £ z I X chia h ế t cho } Hiệu cùa hai tập hợp Đ ịn h n g h ĩa Cho hai tập hợp A £ tù y ý, tậ p hợp A - B = { x £ A | x Ể £ ) gọi hiệu tập hợp A tập hạp B N ếu £ c A th ì hiệu A - B gọi phần bù tập hợp B tập hạp A cịn kí hiệu C ^£ Đ ịn h lỉ Già sù A ườ B bò p h ậ n m ột tập hợp X thê X - 'X - A f = A (ii' Các quan hệ A (Z B X - B (Z X - A tương dương Chứng minh, (i^ Tập hợp X - 'X - Ai gổm p h ần từ X G X cho X ể X - A tứ c gồm p h ẵ n từ X G A' cho X G A ùi» G ià sử.ACB Vì q u an hệ X G A kéo theo q u an hệ X G nên quan hệ X ^ B kéo theo X ^ A, tức quan hệ X G X’^ kéo theo quan hệ X G X - A Đ lại giả sử X - B c X T h ế b àn g lỉ lu ậ n tư n g tự n h trê n ta có X' - 'X' - A / X - X - B tứ c th eo lih A c B ■ B B A c Tập hợp rỗng Già sừ A' m ột lậ p hợp A' cũ n g m ột p h ận cù a A' điểu đõ cho phép ta x ét tậ p hợp = A' - Ẵ' gọi p h ận rỗng A’ r G có ng h ĩa lã r G A' X ẽ X Rõ ràníT khơng cổ phần từ T X lại co' tín h c h ấ t Tập hợp A' - A' = không phụ th u ộ c vào tậ p hợp X Xói cách khác, ta co' X - A’ = y - V với X y Thực ta có th ể coi X - Ẵ' Y - Y chứa p h n từ y n h au \-i ch ú n g ch ẳn g cd p h ấn từ cà ixin đ n g coi m ột ch ứ n g minh>Tập hợp X - X = o không phụ thuộc vào tập hợp X, vi lí ta gọi ỉộp kơp rỗng T ập hỢD nàv không cd m ột phấn tử Rõ rà n g ta co' c c X với tậ p hợp X tin h ch ãt đặc trư n g tập hợp rỗng Tập hợp mộỉ, hai phần tử G ià sử r m ột vât T hế thi co' m ột tậ p hợp kí hiệu \.r'‘ gồm co' p h ấn từ X Một tậ p hợp thuôc loại đo' goi tập h"^í?(x) b ìà m ẫu sô chung cùa phân sổ c: số nguvên M f'X y g'xi chi khảc nhân tử bậc nên nghiệm f i n ^ ệ m cùa g'Xỉ Vậv việc tìm nghiệm cùa đa thức với hệ sô hữu tỉ đưa vể \iệ c tìm nghiệm m ột đa thức với hệ số ngut'en M ật khảc ta Tìhậ-n xét ràng c nghiêm đa thức g'x — a.■ : ta CD iD - - sau nhàn hai ^■ẽ' với — c , _ - (G, xì’' ^ _ T ■— c = ' + Qt ■ (C x') ũ ỏl ■ = Ta cc' i = C, X nghiệm đa thức r = r ^ ^ _ £2 yí _ X ^ C- c_ ■X ^ G 171 với hệ số nguyên hệ số cao n h ất Do muốn có nghiệm g(x) ta việc tìm nghiệm h(x) Ta đ ật vấn để tìm nghiệm hữu ti đa thức f(x) có dạng f(x) = xT + _ 1x" ■ ‘ + + Oj X + với a nguyên Giả sử a nghiệm hữu tỉ f(x), thi theo định lí (Ch V, §1, 2), a phải nguyên M ặt khác, từ a" + a„_ jà/I-I + + Ojtt + = ta có th ể viết a{a + a.T t - \ a ” ^ + + Cj) = -a^, a\ a^ Như nghiệm nguyên f(x), có, phải ước a^ Cho nên muốn tìm nghiệm nguyên f(x) ta xét ước số hạng tự a , sau đó, thử xem ước có phải nghiệm f(x) hay không Để hạn chế số lẩn thử người ta đưa vào nhận xét sau Giả sử a m ột nghiệm nguyên f(x) T hế f(x) chia h ế t cho x - a f{x) = (X - a)q{x) theo sơ đổ Hoóc nẹ (Ch IV, §1, 4), q(x) m ột đa thức với hệ số nguyên Do q(l) g (-l) số nguyên fW A -l) iV s = a khác -1 Vì trước hết ta tính f(l) f ( - l) để xem -1 co' phải nghiệm f(x), sau ta xét ước a ^ ± l a cho A l) /•(-!) — a + a số nguyên để thử xem chúng co' phải nghiệm f(x), số lấn thử ta bớt nói chung 172 diỊ Tim nghiệm hữu ti cùa đa thủc f*i) = I ' - ỗi" + 20tr^ - 20tr" ISbr - 12 Trưỏc hết ta có to n s hệ sò f'x bầne nên nEỈũệm cùa f i B ằng sơ đổ Hoóc ne (Ch R" §1, 4), ta tính cảc hệ sơ đa thức thư ng g^Xj iro n s phéD chia f i cho X - - í: 20 -2 19 - i 13 -/ 12 -1 nshĩệm cịn lại f 'x nshiệm g X gx = x ' - 7x' 13x“ - 7x -r 12- Ta nhặn lé ĩ ràn g g c- > với c < nên g x khơng có nshiệm âm, \1 vậv ta chi xét ước dương số hạng lự : 2, 4, 6, 12 Ta co' g = 12, s -1 = 40 Vì sô 40 40 40 T ' T ' Ĩ3 khcns phải nsu\-ên n ên k h ô n s phải n sh iệm g x Cáo sô v đễu làm cho g tl) - ể < -l) - nsưvên nên chủns có ĩhể nghiệm cùa g x Muốn thừ xem chúng cõ phải ìà nshiệm g X ta chi việc tiếp tục vào bàng sau ; 20 -2 19 -12 13 -7 12 X * - -4 _ > n» t 0 V ậ y t a có f(x) = (x - l)(x - 3)(x - 4)(t? + 1) Các nghiệm nguyên f(x) 1, 3, Đa thức bất khả quy vành Q[x] Đối với trư ờng số thực R trư ờng số phức c , vấn để xét xem m ột đa thức cho vành R[x] hay C [i] có bất khả quy hay khơng rấ t đơn giản (§1, 1) ; tro n g vành QM với Q trư ờng số hữu ti vấn để phức tạ p nhiều Đối với đa thức bậc hai ba Q[x], việc xét xem có bất khả quy hay khơng đưa việc tìm nghiệm hữu ti đa thức (ch V, §1, tập 2) : đa thức bậc hai bậc ba Q[x] bất khả quy chi chúng khơng có nghiệm hữu tỉ Đối với đa thức bậc lớn ba vấn đê phức tạp nhiều Chẳng hạn đa thức + 2x^ + = (x^ + 1)^ rõ rà n g khơng có nghiệm hữu ti nào, có m ột ước thực + 1, bất khả quy Trong mục ta nhận xét rà n g đa thức f(x) với hệ số hữu tỉ đểu viết dạng f(x) = b~^ g(x) b số nguyên khác 0, g(x) đa thức với hệ số nguyên Trong vành Q[x], f(x) g(x) liên kết f(x) bất khả quy chi g(x) bất khả quy Do tiêu chuẩn Aidenstainơ mà ta đưa để xét đa thức Q[x] có bất khả quy hay không tiêu chuẩn cho đa thức với hệ số nguyên Để chuẩn bị cho việc chứng m inh tiêu chuẩn ấy, trước hết ta giới thiệu khái niệm đa thức nguyên chứng m inh hai bổ đề Đ ịn h n g h ĩa Giả sử f(x) m ột đa thức với hệ số nguyên, f(x) gọi nguyên hệ số f(x) khơng có ước chung khác ±1 Cho m ột đa thức với hệ số nguyên f(x) G Z[x], kí hiệu a ước chung lớn n h ất hệ số f(x), ta co' 174 f(x) = a f{ x ) với /*(i) e Z[x] hệ số f (x) khơng có ước chung khác ngồi ±1, tức f {x) nguyên Nếu f(x) E Q[x] ta có th ế viết f(x) dạng /*(x) nguyên a, 6e z I^C~ 12r^ 15 v í dụ /(x) = 6i^ + ^ - Y = = ^ nguyên tố ĨÕ^ + 24x^ - 75) (2(h^ + Si^ - 25) Các số 20, 8, -2 khơng có ước chung khác ngDãi -1 Bổ d ể Tích hai da thúc nguyễn bàn m ột da thức nguỵẻn bàn Chứng Giả sử /Txj = + jX + + g(xj = 6^ + 6jX + + 6^x" hai đa thức nguvên I k cần chứng minh rang cho số nguyên tổ p tùy ý, p không chia hết hệ số đa thức tích f(xig(xi Rõ ràn g p không chia hết hệ số f(x) g(x) Giả sử p chia hết a J, q , /) không chia hết a Tầ xét hệ số c đa thức tích ffx)g(x) (° r + lV l p chia hết tổng dấu ngoặc, khơng chia hết tích a b \ ì p ngun tố Do p không chia hết ■ Bổ d ể N ếu fix) m ột đa thức với hệ số ngun có bậc lớn f(x) khơng bát khả quy Q[x], f,c 0C o^ b đễu chia hết cho D Vậy Ỉ>J.C phải chia hẽĩ cho p M p ìà nguvên tố, ta suv chia hết cho p c í i i a hết cho p mâu thuẫn với già thiết vé %"à C^.B \~ỉ 1' Đ a th ứ c x"* — 6br — ISr" -ỉ- 42r -r 12 b ấ t khả quv tro n g Q[x] T h ật vậv ta có th ể áp d ụn g tiêu chuẩn A idenstainơ với r> = 32 ' Đ a thứ c X — nx ~ vửi D ìà mội sơ nguvẽn ĩõ tùy ~ V — D b ãt khả qu%- tro n g Q[x] BẦ l T - ^ nghiệm hữu ti da thứ c a ■X — òr" — l õ r — 2x' — 3x* — dx — * òx^ - llx ' 2r ' d t' - r' - l ã r ' - r 3t- - 42r - 177 Giả sử —, với p, g e z nguyên tố nhau, nghiệm đa thức + + với hệ số nguyên Chứng m inh rằn g : a) p I Uq g I b) p - mq ước f(m) với m nguyên ; đặc biệt p - g ước f(l), p + q \à ước Áp dụng tậ p 2) để tín h nghiệm hữu tỉ đa thức lOx^ - + - 102x2 + g o ^ _ 21 Chứng m inh rằn g đa thức f(x) với hệ số 'nguyên nghiệm nguyên f(0) f( l ) số lẻ Giả sử p(x) m ột đa thức với hệ số nguyên p(x) bất khả quy Z[x] Chứng m inh rằng, Z[x], p(x)\f(x)g(x), th ì p(x)\f(x) p(x)\g(x) Trong vành Z[x] chứng m inh rằ n g đa thức, khác khác ±1, có th ể viết dạng tích đa thức bất khả quy D ùng tiêu chuẩn A idenstainơ để chứng m inh rằn g đa thức sau b ất khả quy Q[x] a) x'^ - 8x^ + 12x2 _ + b) x"* - x2 + 2x + c) xP ^ + xF + + X + với p nguyên tố H ướng dẫn : đặt X = y + Tỉm điều kiện cần đù để đa thức x^ + px2 + g bất khả quy Q[x] Giả sử f(x) = (x - aj)(x (x - o^) - 1, với alà số nguyên phân biệt Chứng m inh ràng f(x) b ất khả quy Q[x] 178 MỤC LỤC TrãnỊ LỜI nói d ju Ckuơr.ị: l - TẬP HOP VÀ quan §1 Tập hợp ánh xạ Khái niậm tập hỌp Bộ phận taội tịp họp 3- H iậ: cùa hai lập hợp 4, Tập hỌp rổíE Tãp bọp roột, hai phán tủ t> Tập hỌp cãc t v phận lập hợp ■- Tích để cãc hai lặp hop s, Họp vã £330 hai tập họp 9 Anh X3 11 10 Anh vã tạo ành 13 11- Don ánh - Toàn ánh - Sons ánh 14 12 Tích ánh xa 13 Thu hẹp vã mò rộna ánh X3 14 Tập họp chi sò 15 Hop dao, ũch để cảc họ Lập họp Bit lỊp §2 Q aan hệ Q uan hệ hai nsôt Quan hẻ lUOrts dưons Quan hẽ thư tụ Bà; tàp §3 Scr Iinỵc tiẽii đè lí Ihnvết tập hợp Chương II - NỬA NHĨM VÀ NHĨM §1 Nửa nhóm Phép loan hai ngơi 37 Nửa nhóm 39 Bài lập 42 §2 Nhóm Nhóm 43 Nhóm 47 Nhóm chuẩn tắc nhóm thưcing 52 Dồng cấu 58 Dối xứng hóa 64 Bài tập 68 C hương III - VÀNH VÀ TRƯỜNG §1 Vành miền ngun Vành 78 ó c cùa khơng Miền nguyên 80 Vành SI Iđêan vành Ihuơng 82 Đồng câu 85 Bài tập 87 §2 T rư ờng Trường 91 Trường 91 Trưòng thương 92 Bài tập 94 C hương IV - VÀNH DA THỨC §1 Vành đa thức ằn Vành đa thức ẳn 97 Bậc đa thức 100 Phép chia với dư 101 Nghiệm cùa đa thức 105 180 r c - Sac" s la " IC C Da> nccề — \hà xcả; cã" G a c Ccc \ ‘iề; C'Z' ojv e", cõ"'i: t>c tac ccẩ'^ ĐẠI Sò' ĐẠI CƯƠNG M ã sò: “K S v3 -D A l >c fã"c X < - \ B - 2: ' 2X5 5'