Tôpô đại cương nông quốc chinh

Trong một táp sắp thứ tự không nhát thiết phải luôn có phần tử cực tiêu cực đ ại , và cũng có thể có nhiêu... Tập sắp thứ tự toàn phần X được gừi là tập sắp thứ tự tốt nếu m ừ i tập con

T S N Ô N G Q U Ố C C H I N H

T Ô P Ô Đ Ạ I C Ư Ơ N G

N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I H Ọ C s ư P H Ạ M

M ã số: 01.02 -17/18 - Đ H 2003

L ò i n ó i đ á u

Giáo trình " T ô p ỏ đ ạ i c ư ơ n g " trình bày những khái niệm cơ bản của tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại các không gian tôpô, sự đồng phôi giữa các khôn", gian tôpô và xét trường hợp riêng của không gian tốpõ như không gian compắc, không gian liên thông, không gian mêtric, Đây là những kiến thức cơ sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán hừc khác nhau n h ư G i ả i tích hàm, Lý thuyết độ đo và tích phân, Tôpỏ đ ạ i số, Hình hừc vi phân,

Giáo trình được viết trên cơ sở những bài giảng cho sinh viên n ă m thứ 3 hệ Cử nhân ngành Toán và sinh viên h ệ Sau đ ạ i hừc ngành Toán của khoa Toán, trường Đ ạ i hừc Sư phạm - Đ ạ i hừc Thái N g u y ê n Giáo trình bao g ồ m 4 chương, trong m ỗ i chương có nêu nhiều ví

dụ minh hoa và có phần bài tập cơ bản để sinh viên tự giải

Trong lần xuất bản đầu tiên này chắc rằng không tránh k h ỏ i thiếu sót C h ú n g tôi mong nhận được sự gó p ý của bạn đừc

TÁC GIẢ

2 Tích Đềcác

Giả sử, X và Y là những tập hợp, X x Y là tích Đềcác của chúng Với u , , ụ c X và V , , V j C Y ta có:

Quan hệ hai ngôi < trên tập hợp X được gừi là một quan hệ thứ tự

nếu các điều kiện sau thỏa mãn :

Khi X < y và X + y, tã sẽ viết X < y Ta nói hai phần tử X và y trong X

là so sánh được nếu X < y hoặc y < X

Cho X là tập sắp thứ tự Phẩn tử a e x được gừi là phần tử cực tiểu (lương ứng cực đại) trong X , nếu Vx e X, điều kiện X < a (tương ứng a < X) kéo theo X = a Trong một táp sắp thứ tự không nhát thiết phải luôn có phần tử cực tiêu (cực đ ại) , và cũng có thể có nhiêu

phần tử cực tiểu (cực đ ạ i ) khác nhau

G i ả sử A c X Phần l ử a 6 X được g ừ i là cận dưới (tương ứng cận

trên) của tập A , nếu Vx E A , ta luôn có a < X (tương ứng X < a) N ế u tập con A c X có cận dưới (tương ứng cận trên) thì la nói A bị chặn (lưới (tương ứng chặn trên) Tập A được g ừ i là bị chặn (hay giới nội) nếu A đồng thời bị chặn dư ớ i và bị chặn t r ẽ n Ta ký hiệ u DA là lặp tất

cả các cận dưới của A , ký hiệu T \ là tập tất cả các cân trên của A Nếu DA + 0 , và à,, e DA thỏa mãn a < ao, Va e DA, thì a„ được gừi là cận dưới đúng của tập A , ký hiệu là ào = i n f A Tương tự, nếu

TA £ 0 , và ao e TA thỏa m ã n ao < a, Va e TA, thì ao được gừi là cận trên đúng của tập A , ký hiệu là a0 = supA Phần tử x0 6 A được g ừ i là phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) của A nếu Vx e A luôn có Xo < X (tương ứng X < Xo)

Ta nói tập X được sắp thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) nếu Vx,y e X , thì X < y hoặc y < X K h i đ ó ta cũng nói < là quan h ệ thứ tự toàn phần trên X

Giả sử X là tập sắp thứ tự toàn phần, với a.b e X tùy ý, a < b Ta

ký hiệu: [a, b] = (X € X I a < X < b Ị , và gừi là khoáng đóng với đầu múi trái là a, đầu mút phải là b

ịa, b) = Ị x e X I a < X < b } , và gừi là khoảng m ở bên phải, đóng bên trái

(a.b| = | x e X I a < X < b } , và gừi là khoảng đóng bên phải, m ở bên trái

(a,h) = { x e Xịa < X < b } , và gừi là khoáng m ớ trong X

Tập sắp thứ tự toàn phần X được gừi là tập sắp thứ tự tốt nếu m ừ i tập con khác rỗng của X luôn có phần tử bé nhất

G i ả sử X là một tập hợp sắp thứ tự Tập hợp tất cả các tập con sắp thứ tự toàn phần của X với quan hệ bao hàm là một tập sắp thứ tự

M ỗ i phần tử cực đ ạ i của tập này được g ừ i là tập con sắp t h ứ tự toàn phần cực đ ạ i của tập hừp X

§ 3 TIÊN Đ Ề C H Ọ N

Giả sử ơ là một hừ nào đó các tập hợp Ta nói rằng hừ a có đặc

trưng hữu hạn nếu nó thỏa m ã n các điều kiện sau:

(1) V A e a, nếu B là một tập con hữu hạn của A thì B £ a

(2) N ế u A là một tập hợp thỏa m ã n : m ỗ i tập con hữu hạn bất kỳ của A đ ề u thuộc a, thì A e a

Định lý Các điều kiện sau là tương đ ư ơ n g :

(í) Cho tập hợp khác rỗng bất kỳ X Đ ố i v ớ i m ộ t h ừ tùy ý (AịXei những tập con khác rỗng của tập X , tồn t ạ i h à m f : ì - > X sao cho f(i) e A i v ớ i m ừ i i E ì

(li) Trên m ỗ i tập hợp tùy ý luôn tồn t ạ i m ộ t quan hệ thứ tự tốt (Hi) M ỗ i một tập con sắp thứ tự toàn phần của tập hừp sắp t h ứ tự X luôn được chứa trong một tập con sắp thứ tự toàn phần cực đ ạ i

(iv) N ế u hừ ơ các tập có đặc trưng hữu hạn thì m ỗ i phần tử của nó được chứa trong một phần tử cực đ ạ i xác định

(v) N ế u m ừ i tập con sắp thứ tự toàn phần của tập sắp t h ứ tự X đều bị chặn trên, thì m ỗ i phần tử X e X luôn so sánh được v ớ i một phần tử cực đ ạ i nào đó của X

Điều kiện (í) được g ừ i là tiên đề chừn

Đ i ề u kiện (li) được g ừ i là điều kiện Zermelo

Đ i ề u kiện (iii) được gừi là điều k i ệ n Hausdortĩ

Điều kiện (iv) được gừi là điều kiện Tukey

Điều kiện (v) được gừi là điều kiện Kuratovvsky - Zorn

C h ư ơ n g Ì KHÔNG GIAN MÊTRIC

§1 KHÔNG GIAN MÊTRIC, sự HỘI TỤ TRONG

K H Ô N G G I A N M Ê T R I C

Ì Không gian mêtric

Định nghĩa 1.1 K h ô n g gian mêtric là một cặp ( X , d), trong đó X là

một tập hợp, d : X X X -» [R là một h à m xác định trên X X X thoa mãn các điều kiện sau:

1 V ớ i m ừ i X, y e X : d(x, y) > 0; d(x, y) = 0 <=> X = y, (tiên đề đồng nhất)

Ví dụ 1.1

Tập hợp các số thực 1R và tập hợp các số phức c là những k h ô n g gian métric, với mêtric d(x, y) = IX — y I , với m ừ i X y e R (hoặc <C)

Ví dụ 1.2

Táp hơp Rk là khổng gian mêtric với mêtric d xác định n h ư sau:

d ( x , y ) = f t | ạ i - n i |2 , v ớ i x = ( ệ „ , ệk) , y = ( r i , , H k í e l R '

H i ế n nhiên d thoa m ã n hai tiên đ ề đồng nhất và đ ố i xứng Ta

k i ế m tra tiên đề tam g i á c Trước hết, đ ể ý rằng nếu a,, ,ak,

SI <b x.y e C[a,b]

Định nghĩa 1.2 Giả sử M là một tập hợp con của không gian

mêtric (X, d) D ễ dàng thấy rằng hàm dM = d |M M là một mêtric trên tập hợp M Không gian mêtric ( M , dM) được gừi là không gian con của không gian mêtric (X, d), ta gừi dM là mêtric cảm sính bởi mêtric d trên M

2 Sự hội tụ trong không gian mêtric

mêtric ( X , d) hội tụ đến phần tử x0e X nếu l i m d ( xu, x0) = 0 Khi đó

li—>w * *

ta viết limx„ = Xo, hoặc xu — > x0 Ta nói dãy { xn} * , là dãy

h ộ i tụ và g ừ i x0 là giới hạn của dãy { xuỊ

b) Trong khống gian mêtric (X, d) nếu lim X = a và

Ịimy,, =b thì limd(xu,yu) = d(a,b)

Thật vậy, với m ừ i n, ta đều có:

c l ( a , b ) < d ( a , ^ ) + d ( xu, yu) + d ( yn, b )

Từ đó ta có: d(a,b) - d ( xu, yu) < d ( a , x „ ) + d ( yu ,b)

Chứng minh tương tự ta được:

d ( xn, yu) - d ( a , b ) < d ( a , xu) + d ( y1 1, b )

Từ hai bất đẳng thức trên suy ra:

| d ( xu, yu) - d ( a , b ) | < d ( a , xu) + d ( yu, b )

Vì l ú n d ( a , xn) = 0 và l i m d ( yu, b ) = 0 , nên từ bất đẳng thức trên suy ra l i m d ( xu, yu) = d ( a , b ) Ta có điều cần chứng minh

VI d ụ Ì 4

Trong không gian BR và c , l i m xu = x0"í=>lim|xu - x0| = 0 Đ â y là

sự h ộ i tụ m à ta đã biết trong g i ả i tích cổ điển

Trong không gian C[a,b], l i m xu = x0 <=> dãy hàm số { xu( t ) Ị "= 1

h ộ i tụ đều đến hàm số x0( t ) trên la b] Thật vậy,

là một số dương Tập hợp S(x0, r) = Ị x e X I d(x, Xo) < r} được g ừ i là hình cầu m ở tâm x0 bán kính r

Tập hợp S[x0, r] = {x e X I d(x, x0) < r} được g ừ i là hình cầu đóng tâm x0 bán kính r

V ớ i A , B là 2 tập con k h á c rỗng trong X , ta g ừ i :

d ( A , B ) = i n f { d ( x , y ) }

xeA.yeB

là khoảng cách giữa hai tập con A , B

Định nghĩa 1.5 Giả sử A là một tập con của không gian métric

(X, d) Đ i ể m Xo của X được gừi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một hình cầu m ớ S(x( J,r) c A Tập tất cả các điểm trong của tập A được gừi là phần trong của A và ký hiệu là intA hoặc A°

Phần trong của một tập hợp có thế là tập hợp rồng

Định nghĩa 1.6 Tập hợp G c X được gừi là tập mở nếu mừi điểm

của G đều là điểm trong của nó

Hiển nhiên tập X và tập 0 đều là những tập m ở trong không gian mêlric (X, d) M ỗ i hình cầu m ở là tập m ở trong (X, d)

Định lý 1.1 Trong không gian mêtric (X, d) ta có:

li b) Giả sử U j , , u „ là những tập mở Ta chứng minh V = P | u

1=1

là tập mở Thật vậy, nếu x e V thì x e U ị với m ừ i i = Ì, lĩ Vì m ỗ i u

mở nên tồn tại một số dương r, sao cho S(x,r-j) C Ư , i = I n Đặt

r = m i n { r1, r„} K h i đổ, hiến nhiên S(x, r) c Ui với ĩ = Ì n do

đó S(x, r) c V V ậ y V là một tập mở •

Định nghĩa 1.7 Với X e (X, d) tùy ý tập con bất kỳ u c X chứa

điểm X được gừi là lân cận của điểm X nếu u chứa một tập m ở chứa X Hiển nhiên, tập A trong không gian mêtric X là mở khi và chỉ k h i với mỗi X e A luôn tồn t ạ i một lân cận u của X chứa trong A

Hiển nhiên ta có:

1) A° là tập mở, và đó là tập m ở lớn nhất chứa trong A

2) Tập A là m ở khi và chỉ khi A = A"

3) Nếu A c B thì A° c B°

Định lý 1.2 Trong k h ô n g gian mêtric ( X , d) ta có:

a) Giao của một hừ tuy ý những tập đ ó n g là một tập đ ó n g

b) Hợp của một hừ hữu hạn những tập đóng là một tập đ ó n g Chứng minh

a) G i ả sử {F, Ị là một h ừ tùy ý những tập đ ó n g trong không gian mêtric X K h i đó X \ p | F , = Ị J ( X \ F , ) là tập m ở , vì với m ừ i

íeT IST

t e T, tập X\F, là mở V ậ y p | F , là m ộ t tập hợp đ ó n g

b) Chứng minh tương tự •

Định lý 1.3 Tập con F của không gian mêtric X là đóng khi và chỉ

khi với dãy bất kỳ {x„} "=J những phần tử của F, nếu lún xn= x0 e X

li—>x thì x0 e F

(<=) Đảo l ạ i , giả sử với dãy bất kỳ { x j "= I những phần tử của F,

n C u l i m x" = x0 e X thì Xo e F, và giả sử X \ F không phải là một tập

mở Khi đổ tồn tại ít nhất một điểm x„ e X\F không phải là điểm

trong của x \ p Khi đó, với m ừ i số tự nhiên n, tồn tại một phần tử L^ãy {xu} 1=1 là một dãy phần tử

xu e F thuộc hình cầu s

của tập F hội tụ đến x0 £ F ' ( v ì d ( x0, xu) < - với m ừ i n) Đi ề u n à y

n mâu thuẫn với giả thiết •

Định nghĩa 1.9 Cho A c (X, d), giao của tất cả các tập đóng trong

X chứa A được gừi là bao đóng của tập A , ký hiệu là Ã

Vì X là một tập đóng chứa A nên bao đóng của tập A luôn tồn t ạ i Hiển nhiên ta có:

1) A là một tập đóng và đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A

2) Tập A là đóng khi và chỉ khi à = A

3) Nếu A c B thì Ã c B

Định lý 1.4 Giả sử A c (X, d), và X e X Điểm X G Ã khi và chỉ

khi m ỗ i lân cận u của X đều có điểm chung với A

Chứng minh

(=>) Giả sử X 6 A , và g i ả sử tồn tại một lân càn mở u của X thỏa mãn u n A = 0 , khi đó x \ u là táp đóng chứa À => Ã c x \ u =>

à n u = 0 , vô l ý

O) Nếu X € Ã thì u = X\Ã là một lán cận của X không có điểm

thung với A , mâu thuẫn với giả thiết •

Định lý 1.5 Giả sử A c (X, d), và X e X Điểm X 6 Ã khi và chỉ

khi tồn tại một dãy { x j := 1 những phần tử của A sao cho l i m Xu

Chứng minh , ( = » G i ả sử X e à Theo định lý 1.4, v ố i m ỗ i số tư nhiên n ta có

X 1^1 n A * 0 Với mỗi n chừn xu G A n síx'—J K h i đ ó { x j *

s

là một dãy điểm của A thoa mãn lim x„ = X

(<=) NẾU {x } *Lj CA thỏa mãn lim x„ = X thì từ định lý 1.3 suy ra

X6Ã.D

Định nghĩa 1.10 Tập con A của không dan mêtric X được gừi là

tập trù mật trong X nếu A = X Tập con B của không gian mêtric X

được gừi là tập không đâu trù mật trong X nếu Ị BÌ =0

Nhận xét

a) Tập A là trù mật trong X khi và chỉ khi với m ỗ i x e X tồn tại

một d ã y { xnỊ "= 1 trong A sao cho l i m xu = X

11-*»

b) Tập B của không gian mêtric X là tập không đâu trù mật khi

và chỉ khi m ỗ i hình cầu tùy ý trong X luôn chứa m ộ t hình cầu không

có điểm chung với B

Định nghĩa 1.11 Không gian mêtric X được gừi là không gian khả

li nếu tồn tại một tập con M đ ế m được trù mật trong X

Ví dụ 1.7

R là một không gian khả l i vì Q là đếm được và trù mài trong R

V ớ i b ấ t k ỳ ( x1, x2) , ( y1, y2) e X1x X2đ ặ t :

ánh xạ f : X - > Y g ừ i là liên tục t ạ i đi ể m X(j ỄE X nếu vớ i m ỗ i số dươn g

E, đều tồn tại một số dương ố sao cho với m ừ i X e X , nếu dx( x , x0) < 5 thì dY( f ( x ) , f ( X o ) ) < e

Ta nói ánh xạ f là liên tục Irèn X nếu nó liên tục tại mừ i điểm X e X

vào k h ô n g gian mêtric ( Y , dy), K h i đó la có các mệnh đ ề sau là tương đương:

1) Ánh xạ f là liên tục t ạ i điểm X e X

2) V ớ i m ừ i dãy { x „ } *= l trong X , nếu I i m xu = x trong X thì

li ->t/

lim f ( xu) = f ( x ) trong Y

Chứng minh ì liến nhiên •

Nhận xét Nếu X, Y z là ba không gian mêtric, í* : X -* Y và

g : Y - > z là những ánh xạ liên lục thì g.l* : X - > z là một ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.14 Song ánh í": X - > Y từ khổne gian mêtric ( X , dx) lên không gian mêtric ( Y , (ly) được gừi là một phép đồng phôi nêu các ánh xạ f và r1 : Y —» X đều là nhữrm ánh xạ liên tục

ì liến nhiên, song ánh f : X —» Y là một phép đồng phôi khi và chỉ khi với m ừ i dãy { xuỊ K = 1 nhữrm phần tử của X và với X(,eX, ta có limx,, = x0< = » l ừ ĩ i f ( xu) = f ( x0)

li >' li »'

Hai k h ô n g gian m ê t r i c X và Y được gừ i là đ ồn g phôi vớ i nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi f : X - > Y

vào không gian mêtric ( Y , dy) được gừi là liên tục đ ề u nếu với m ỗ i số dương 8, đều tổn tại một số dươnu ố sao cho với m ừ i X j , x2 E X , nếu

dx( x , , x2) < ô thì dY íf (x, ) , f ( x , ) j < £

Hiển nhiên một ánh xạ liên lục đều là ánh xạ liên tục Điều ngược

lại k h ô n s đúng

Định lý 1.7 Cho không gian mêtric (X, d), A c X, A * 0 Khi đó

ánh xạ: f : X —> R, xác định bởi f(x) = d(x,A), là ánh xạ liên tục đều

T ừ (*) và (**) => ị d(x,, A ) - d(x2, A ) | < d ( x „ x2) V ớ i 8>0 tuy ý

ta chừn ồ = s K h i đó Vx,, x2 e X thoa mãn dx( x , , x2) < s Ta có: d(f(x,), f ( x2) ) = d(d(x,, A ) , d(x2, A)) = I d ( x „ A ) - d(x2, A ) I

Giả sử dx, đy, dz, lần lượt là các mêtric trên các tập tương ứng X ,

Y , z K h i đó Vs > 0, vì g là liên tục đều nên 30 > 0 sao cho v ớ i m ỗ i cặp Vi ^ 2 e Y thoa mãn dY( y , , y , ) < ố thì dz(8(yi)'g(y2)) < s M ặ t khác

do f là ánh xạ liên tục đều n ê n 3Ẹ, > 0 sao cho với m ỗ i cặp X , , X , £ X thoa mãn dx( xl 5 x2) < l\ thì dY( f ( X j ) , f ( x2) ) < ô, và do vậy ta có

d7( g f ( x , ) , gíCx,)) < E Suy ra gí' là ánh xạ liên tục đều

Định nghĩa 1.16 Ánh xạ f : (X, dx) -> (Y, dY) được gừi là một

phép đẳng cự nếu Vx, y e X ta có dx( x , y) = dy(f(x), í'(y)) H a i k h ô n g gian mêtric X , Y g ừ i là đẳng cự nếu tồn tại một phép đẳng cự từ

X l ê n Y

Nhận xét Phép đẳng cự / là một đơn ánh liên tục đều nếu n ó là

toàn ánh nữa thì án h xạ f l cũng là mộ t phé p đẳng cự, và kh i đ ó hai không gian X và Y là đẳng cự, đồng thời cũng là đồng phôi với nhau

§ 4 K H Ô N G G I A N M Ê T R I C Đ Ầ Y Đ Ủ

Ì Không gian m ê t r i c đ ầ y đ ủ

gừi là dãy Côsi, (hoặc dãy cơ bản), nếu với m ỗ i £ > 0, tồn tại số n0 6 N sao cho với m ừ i số i , ị > n0 luôn có d(X|, Xj) < s K h ô n g gian mêtric (X, d) được gừi là không gian đầy đủ nếu m ừ i dãy Côsi trong X đều hội tụ

Định lý 1.9 Mừi dãy hội tụ trong không gian mêtric đều là dãy

Côsi

Chứng minh

Giả sử dãy ị x j ™=J là dãy h ộ i tụ, và lim xu = a, khi đó với mừi

li—

E > 0 tùy ý, 3n0 e N sao cho Vi > n0 ta có d(a, Xi) < — Ta có:

d(Xi, Xj) < d(Xi, a) + d(a, Xj) < e

V ậ y ỉxu } U=1 l à dãy Côsi •

Ta có thể chỉ ra một ví dụ chứng tỏ một dãy Côsi chưa chắc đã hội tụ

VI dụ Ì 8

Xét tập các số hữu tỉ Q với mêtric d(x, y) = I X - y I và dãy

UB}Ỗ=I xác dp111 như sau: xu = (l + -), n = Ì, 2, Khi đó với

n , , , 2 moi e > 0, tôn tai chí sô n( ) > — sao cho với moi số i ị > n luôn

' Ai, s I 1 1 I I 1 I I 1 I 2

CÓ d(x„ Xj) £ l Ỳ - - T l = | - 7 l + | - 7 l < f - < E Xay dãy

{x„Ị * J là dãy Côsi Tuy nhiên lim xu = e £ Q, chứng tỏ trong Q dãy u } ,'Í=| không hội tụ Và do vậy Q không phải là không gian

A Vì nó cũng là dãy Côsi trong X , nên nó hội tụ: lún X = x0 Do A

u —> - J

đóng nên x0e A V ậ y A là không gian con đầy đủ •

(X, d), x0 e X thoa mãn m ỗ i lân cận bất kỳ của Xừ đều chứa vô số điểm của dãy { x „ } "= 1 K h i đó dãy { xuỊ „= J h ộ i tụ đến x„ ( l i m xu = Xo)

Chứng minh

G i ả sử s là một số thực dương tuy ý, xét hình cầu m ở S(x„, e) trong X Vì {x„Ị *= 1 là dãy Côsi nên 3 n0 e Ri sao cho với i , ị > n„ ta có

Giả sử { x j "= 1 là dãy Côsi trong tập các số thực R Khi đó với

e = Ì, 3k sao cho Vi, j > k ta có d(xh Xj) = I Xi - Xj I < Ì

Đặt m = max{ I X) I , I X , I , I x3| , , I xk_! I , I xk| + Ì } Khi đó với

i > k ta có:

I Xi I =d(xi, 0) < d(Xj, xk) +d(xk, 0) < | xk| + 1 < m Vậy dãy {xu} *_J là dãy bị chặn

Gừi A = { y e R I (y, +00) chỉ chứa nhiều nhất một số hữu hạn điểm của dãy Ị x J l ị Ị Ta có A * 0 , do dãy { xuỊ "= 1 là bị chặn Do A là tập bị chặn dưới, ta ký hiệu X = iníA Với s > 0 lũy ý, theo cách xác định của tập A và của phần tử X ta có khoảng (x - 5, X + ô) chứa vô

hạn điểm của dãy { x j l = ì, theo định lý trên ta suy ra dãy {x Ị °°=] hội

lự đến điểm X Vậy mừi dãy Côsi trong R đều hội tụ, ta có [R là không gian mêtric đầy đủ •

Định lý 1.13 Tích Đềcác của hai không gian mêtric đầy đủ là mót

không gian mêtric đầy đủ

Chứng minh

G i ả sử ( X , dx) , ( Y , dy) là hai không gian mêtric đầy đủ, d là

m ê l n c trên tích X X Y (theo định nghĩa 1.12) G i ả sử Ị ( xu, yu) Ị ° U=Ị là một dãy Côsi trong X X Y Do với m ỗ i cặp i , j ta có

dx(x,, Xj) < d[(x„ ý,), (Xj, Vj)] và dv( y „ yỳ < d[(X:, Vị), (Xj, y,)j nên suy

ra các dãy { xuỊ l = Ị, ly,,} * Ì cũng là dãy Côsi, theo g i ả thiết các dãy này hội tụ G i ả sử lún x„ = x0 và lim yn = y „ V ớ i É > 0 tuy ý, tồn t ạ i

li—>/ li—>C

-£ -£ chỉ SỐ k đ ể dx( x „ x0) < —f= và dyCy;, y0) < - ^ r với m ừ i i > k T ừ đ ỏ

V2 V2 suy ra:

a) Tích Đềcác của một số hữu hạn các không gian mêtric đầy đủ

là không gian métric đầy đủ

b) K h ô n g gian mêtric Euclid Ru là không gian mêlric đ ầ y đủ

đối với m ỗ i dãy Côsi { x j *= 1 trong X ta có dãy { f ( x j } *=J trong Y cũng là dãy Côsi ( á n h xạ liên tục đ ề u biến dã y Còsi (hành dã y Côsi) Chứng minh

Ta chứng minh d ã y Ị f ( xu) } *= l là dãy Côsi Vì f là ánh xạ liên tục đều nên Vs > 0, BÔ > 0 để từ dx( x , x') < s => dY(f(x), f(x')) < e

Hơn nữa theo g i ả thiết { xu} *= I là dã y Côsi né n vớ i ô tìm được ở

trên luôn tồn t ạ i n0 sao cho dx(Xj, Xj) < 5, với m ừ i í, j - "() =*

dY(f(Xj), f(Xj)) < E với m ừ i i , j > n0 V ậ y dãy {f(x„)} *= 1 là dãy Côsi trong Y ũ

2 Nguyên lý ánh xạ co, bổ đế Cantor

ánh xạ f: ( X , dx) - > ( Y , dy) được g ừ i là ánh xạ co nếu 3 k e [0, 1) sao cho: dY( f ( x ) , f ( x ' ) ) < k dx( x , x ' ) vớ i m ừ i X, x ' e X

Nhận xét N ế u í : X —> Y là ánh xạ co thì f là ánh xạ liên tục đều

Thát vây, Ve > 0, lấy 8 = — ta có với bất kỳ X, x' eX thoa mãn

k

dx( x , x ' ) < ô thì ta có dY(t'(x), f ( x ' ) ) < k dx( x , x ' ) < k.ô = E V ậ y f là liên tục đ ề u

Định lý 1.15 (Nguyên lý ánh xạ co) N ế u ( X , d) là không gian

mêlric đầy đủ, ĩ : X —> X là ánh xạ co thì trong X t ồ n t ạ i duy nhất

một điểm a thoa m ã n í'(a) = a

V ậ y {x„} * , là dãy Côsi trong không gian mêtric đầy đủ X Do

đó tồn tại giới hạn lim X = a, a e X

li —>ư _

Mặt khác biểu thức (*) có thể viết dưới dạng:

d(xn, f ( xu) ) < kud(x( ), X,), cho n - > oe và sử dụng tính liên tục của f ta nhận được: d(a, f(a)) = 0 f(a) = a Vậy a là điểm bất động của ánh xạ f

Giả sử a' cũng là điểm bất động của f, nghĩa là f(a') = a' K h i đó

ta có:

d(a, à') = d(f(a), f(a')) < Ld(a, a') => (Ì - k)d(a, a') < 0

=>d(a, a') = 0=> a = a'

V ậ y điểm bất động a của ánh xạ f là duy nhất •

cầu đóng bao nhau trong không gian rnêtric đầy đủ X :

=* ỉ a u) Ỏ=| là dãy Côsi trong X

Do X là không gian mêtric đầy đủ nên dãy {a Ị °°=J hội tụ

l Ị m au = a e X K h i đó a e Su[ au, r j , Vn e r y vì Vn 6 ^ ta có dãy {au+kỊ *, là một dãy trong SJa„, rj và lim a„ = a

G i ả sử b cũng là một đ i ể m chung của tất cả các hình cầu Suịau r j Khi đ ó ta c ó d(a, b) < d(a, a j + d(an, b) < 2ru, Vn e => d(a, h) = 0

• => a = b •

Định nghĩa 1.19 Tập con A trong khỏnti gian mêtric X được gừi là

tập hợp thuộc phạm trù thứ nhất n ế u n ó là hợp của một h ừ đ ế m được những tập con không đâu trù mật trong X (nghĩa là A = [J Au , trong

G i ả sử ( X , d) là k h ô n g gian mêtric đ ầ y đủ và X thuộc phạm trù

thứ nhất Khi đó X = ỊJAu , trong đó (AU j° = 0, với mừi neN Gừi

11=1

A i = 0 với m ừ i n, n ê n t ồ n t ạ i hình cầu đ ó n g s, c s thỏa m ã n Sị n A ị = 0 (ta có thể chừn b á n kính của Sị < Ì ) , tương tự t ồ n t ạ i hình cầu đổng s, c s, thỏa m ã n

s, n A, = 0 (ta có thể chừn bán kính của S2 < —) Bằng quy nạp ta

nhàn được một dãy hình cầu đóng {Su} bao nhau, thỏa mãn

s„ n Au = 0 và s„ có bán kính nhỏ hơn — với mừi n Theo bổ đề

n Cantor, trong X t ồ n t ạ i đ i ế m a thỏa m ã n a e Su với m o i n = > a ệ A v ớ i

co moi n Do đ ó a i X = Ị j Au V Ỏ lý •

3 T h á c triển liên tục

•

Định nghĩa1.20 Giả sử M là không dan con của không gian

mêtric X , g: M - > Y là ánh xạ liên tục từ M vào không gian mêtric Y Nếu tồn tạ i ánh xạ liên tục f : X - » Y , sao cho t i M = g, thì ta nói f là một thác triển liên tục của g từ M lên X

Định lý 1.18 (Nguyên lí thác triển liên tục) Giả sử M là không

gian con trù mật của không gian mêtric X , g : M - > Y là ánh xạ liên tục đêu, trong đó Y là không gian mêtric đầy đủ K h i đó tồn t ạ i duy

nhất ánh xạ liên tục đều f : X —> Y , sao cho f IM = g

Chứng minh

M trù mật trong X => Vx e X , 3 { xuỊ "= 1 c M sao cho l i m xu = X

li >' (theo định lý 1.5) H i ể n nhiên { xu} "_J là dãy Côsi trong M Vì g liên tục đều, nên { g ( { xu} ) [ là dãy Côsi trong Y Do Y là khôn g gian mêtric đầy đủ nên dãy { g ( xu) Ị "= I h ộ i tụ đến phần tử y E Y Phần tử y chỉ phụ thuộc vào X chứ không phụ thuộc vào dãy { xu í u'= 1

Thật vậy, giả sử ta có dãy {x'u} " a _ị c M, thoa mãn lún x' = X

Khi đó: l i m dx( xu, x 'u) = 0 =» l i m dY( g ( xn) , g ( x 'u) ) = 0 Do g liên tục đều => lừn g(x'u) = y Như vậy, ta có ánh xạ f : X —>• Y cho phần

tử X e X tương ứng với phần tử f(x) = y xác định như trên

Nếu X e M , chừn xu = X (Vn e N), khi đó f(x) = lừn g(x ) = g(x)

u->»:

=> f IM = g Ta có ánh xạ f liên tục đều Thật vậy vì g là liên tục đều suy ra Ve > 0, 3Ỗ > 0 sao cho VXj, x2 e M , thoa mãn dx( X j , x2) < 5, thì (iy(g(x,), g(x2)) < E L ấ y tuy ý x', x" e X sao cho dx( x \ x") < ô G i ả sử

{x'u}u=i< {x"u}u=i l à h a i dãy t r o nễ M s a o c h S sx' " x '

l i m x " , = x" K h i đó ta có l i m dx( x ' „ , x"n) = dx( x \ x") =>

dx( x ' , x "u) < 5 (với ri đủ lớn ) => dY( g ( x 'n) , g(x"„)) < s (với n đủ lớn )

=> dY( f ( x ' ) , f ( x " ) ) < e => t" liên tục đều

Á n h x ạ f được xá c định nh ư trên là duy nhất Thật vậy , giả sử

h • X —> Y cũng là một ánh xạ liên tục đ ề u sao cho h I M= g L ấ y bất kỳ

X e X và g i ả sử { xu} "= I là m ộ t dãy của M thoa m ã n l i m xu = X Khi

li—>C/-J

đó, VÌ h là á n h xạ liên tục đ ề u , nên ta có h(x) = l i m h ( x )

n—»1»

= lừn g( xu) = f ( x ) T ừ đ ó suy ra f = h •

4 Bổ sung của một không gian mêtric

Tính đ ầ y đủ của một k h ô n g gian mêtric đóng một vai trò rất quan

trừng trong g i ả i tích h à m , vì vậy từ m ộ t k h ô n g gian mêtric không đầy

đủ, n g ư ờ i ta tìm cách n h ú n g nó vào một k h ô n g gian mêtric đầy đủ

Định lý 1.19 G i ả sử ( X , d) là k h ô n g gian mêtric k h ô n g đầy đủ Khi

K h ô n g gian ( X , d ) được xác định một cách duy nhất nếu coi các

k h ô n g gian đẳng cự là đổng nhất K h ô n g gian ( X , d ) được g ừ i là bổ

sung của k h ô n g gian ( X , d)

Chứng minh

G ừ i z là tập lất cả các dãy Côsi của X Ta xây dựng trẽn z ỏ

quan hệ tương đương sau : với {x„ Ị ;= 1, { y j ti e Z '

hiệu các phần tử của X bởi X , ỳ , Lấy X , ỳ e X tùy ý và giả sử:

í XII ỉ u i e X 'íyu} 1=1 e ý • Khi đó vói hai số tự nhiên n, m bất kỳ, ta

có : d(xu, yj < d(xu, xm) + d(xm, ym> + d(ym, yu) suy ra:

d(x„ y„) - d(xm, yin) < d(xu, xin) + d(ym, yu)

Tương tự ta có d(xm, yj - d(xu, yu) < d(xtt, xm) + d(ym, yu)

Do đó : I d(xu, yu) - d(xm, ym)| < d(xu, xj + d(yu, ym)

Vì {xuỊ •,, {y,,} l =, là các dãy Côsi => {d( xu, yu)Ị - , là dãy Côsi

trong R, ta có dãy {d(xu, yu)} "=, hội tụ (do R là không gian mêtric

đầy đủ)

Hơn nữa, lim d( xu ,yu) không phụ thuộc vào việc chừn các dãy

li—>«:

Côsi đại diện trong X và ỳ là { xu} "=J, {yu} "=1 Thật vậy, giả sử

{x'uỊ *, ex.ịy;!*, eỳ Tương tự trên, ta có:

A

cp: X —>• X được xác định bởi (p(x) = X là một p h é p đẳng cự V ậ y X

A đẳng cự v ớ i k h ô n g gian con X , = cp(X) của X

Gừi ỳ là phần tử của X chứa dãy { y j *=j Ta chứng minh lim X „ = ỳ Thật vậy, với mừi n ta có:

d(y„„ y„)< |

Nghĩa là Vn > n0: lim d(ym, yu) < -, do vây Vn > n0ta có:

in- >cc 2 d(ỳ, ỹu) < I (**)

gian con X2 trù mật của Y , thì Y đẳng cự với X

Thật vậy, vì X, và X2 cùng đẳng cự với X nên chúng đẳng cự

với nhau

, A

G ừ i Vị/ : X , - > x2 là phép đẳng cự từ X j lên X2 L ấ y X e X K h i

đó tồn tại dãy { X „} * , trong X , thoa mãn lim X u = X Vì VỊ/ là phép đẳng cự và { X J ,;=1 là dãy Côsi trong x„ nên [xụi X „} * , là dãy Côsi

trong x2, do đó là dãy trong Y Do Y đầy đủ, nên tồn tại lim \|/( X ) = y D ễ thấy rằng phần tử y chỉ phụ thuộc vào X chứ

li —>oo

không phụ thuộc vào việc chừn dãy { X u} "= 1 trong X j

Đặt 0( X ) = y, ta được một ánh xạ từ X vào Y, và chứng minh

được <D là toàn ánh Thật vậy, với bất kỳ y e Y , tồn tại dãy { y j "= 1 c x2 sao cho l i m yu = y trong Y , =>{yQỊ - , là dãy Côsi trong

x2 và \ị> là phép đẳng cự, nên {vị/ -'(yB)} -=1 là dãy Côsi trong x„ và

§ 5 T Ậ P C O M P Ắ C

ì Tập compảc

Ta biết rằng một khoảng đóng hữu hạn [a, b] trong không gian ÍR

cổ nhiều tính chất đặc biệt Chẳng hạn, một hàm số liên tục trên [a, b] thì giới n ộ i trên đoạn đó, đạt được cận trên, cận dưới và liên tục đều trên la, b] Những tính chất đó được suy ra từ một trong những tính chất đặc trưng : M ỗ i dãy bất kỳ những phần tử của [a, b] đều có một dãy con hội tụ Khái quát tính chất này vào không gian mêtric, ta nhận được khái niệm tập compắc

Định nghĩa 1.21 Tập con A c (X, d) được gừi là tập compắc nếu

mỗi dãy bất kỳ { xuỊ ™=J c A đều có một dãy con | xk Ị ™=I h ộ i tụ đến một phần tử nào đó của A

Tập con của một tập compắc được gừi là tập compắc tương đ ố i

Nhận xét

1) Tập compắc là tập compắc tương đ ố i

2) Tập compắc trong khổng gian mêtric là tập đóng

3) Tập con đóng của một tập compắc là một tập compắc

4) Tập A là compắc tương đ ố i khi và chỉ khi bao đóng A là tập compắc

Thật vậy, nếu A là compắc thì theo định nahĩa A là compắc tương đ ố i Đảo l ạ i , nếu A là compắc tương đ ố i thì A là tập hợp con của một tập hợp compắc K Vì K là một tập hợp đóng và A c K nên

A c K Từ 3) suy ra A là một tập hợp compác

5) Tập con A của không gian mêtric X là compắc tương đ ố i khi

và chỉ khi m ỗ i dãy bất kỳ {x„Ị l , c A , tồn tai một dãy con j xk Ị *= 1

hội tụ đến phần tử nào đó của X

Thật vậy, Nếu A là compắc tương đ ố i suy ra A là tập compắc, do dãy { xu} "= I nằm trong A nên nó cũng nằm trong A Do đó {x„}„= 1

có một dãy con | xk I "=, h ộ i tụ đến một phần tử của A c X

Đảo lại, g i ả sử m ỗ i dãy phần tử của tập con A đều có một dãy con hội tụ trong X Đ ể chứng minh A là tập compắc tương đ ố i ta sẽ chỉ ra rằng à là compắc Thật vậy, g i ả sử { xuỊ "= 1 là một dãy trong A Khi

đó, với m ỗ i n tồn t ạ i một phần tử yu của A sao cho d ( xu, yu) < —

n Theo giả thiết, dãy { yu} "= 1 những phần tử A chứa một dãy con

| yk Ị "= I h ộ i tu trong X , l i m yk = X e X K h i đó

d(xkn >x) £ d(xkn >ytn)+d(yku 'x) < TT+d (y K >x).với mừin

-Vì limd(yk x) = 0, nên từ bất đẳng thức trên suy ra

2 Tập giói nội và tập hoàn toàn giới nội

Định nghĩa 1.22 Tập con A của không gian mêtric (X d) được gừi

là giới n ộ i nếu nó là tập con của một hình cầu nào đó

Nếu A là một tập con giớ i n ộ i của không gian mêtric ( X d) thì số